Đề cương Ôn tập môn Toán Lớp 9 - Học kì 2 - Năm học 2017-2018 - Trường THCS Thăng Long

Nội dung text: Đề cương Ôn tập môn Toán Lớp 9 - Học kì 2 - Năm học 2017-2018 - Trường THCS Thăng Long

1. 1/4 3 Toán h ọc là đam mê TRƯỜNG THCS THĂNG LONG ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KÌ II Năm học: 2017-2018 MÔN TOÁN A. ĐẠI SỐ I. CÁC BÀI TOÁN RÚT GỌN Bài 1: Cho hai biểu thức sau: xx 1 12xx P Q : x 2 xxxx 1 a) Tính giá trị của biểu thức P khi x 49. b) Rút gọn biểu thức Q Q 1 c) Tìm giá trị của x để P 2 Hướng dẫn giải xx 1 57 xx 1 P Q a) x 2 5 b) x 2 c) 0 xx 36; 4 Bài 2: x x 2 x 3 x 2 A 1: x 1 x x 6 2 x x 3 Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức A. b) Tính giá trị của A biết x 7 4 3 2 A c) Tìm x để 5 d) Tìm x nguyên để A nhận giá trị nguyên. e) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A Hướng dẫn:
2. 2/4 3 Toán h ọc là đam mê x 2 1 A a) x 1 b) 13 c) x 16 d) x 0 e) M i n 2 khi x 0 Bài 3: x 1 1 8 x 3 x 2 B :1 3x 1 3 x 191x 3 x 1 Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức B. 2 x b) Tính giá trị của B biết 35 14 B c) Tìm x để 5 d) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B Hướng dẫn giải xx 13 5 5 4 xx 49; a) 31x b) 22 c) 45 d) Min 1 khi x 1 Bài 4: 10x 2 x 3 x 1 D Cho biểu thức x 3 x 4 x 4 1 x a) Rút gọn biểu thức D. b) Chứng minh rằng D 3 với mọi x thuộc tập xác định. c) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức D. Hướng dẫn giải 73 x a) x 4 b)
3. 3/4 3 Toán h ọc là đam mê 7 Max c) 4 khi x 0 Bài 5: 1 2x x x 1 E : x 1 x x x x 1 x x x x 1 x 1 Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức E. b) Tìm giá trị của x để Ex 2 x E m 1 x c) Tìm m để x thỏa mãn Hướng dẫn giải x 1 a) x 1 b) x 3 2 2 c) mm 1; 1 II. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI-QUAN HỆ GIỮA (P) VÀ (d) Bài 1: x2 2 m 1 x 2 m 5 0 Cho phương trình: . Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m . Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu. Tìm m để hai nghiệm của phương trình thỏa mãn tích hai nghiệm không lớn hơn tổng hai nghiệm. xx, Gọi 12 là hai nghiệm của phương trình. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A 4 x x x22 x 1 2 1 2 . Hướng dẫn giải a 1; b 2 m 1; c 2 m 5 Ta có: 2 ' m 1 2 m 5 m2 6 0 với mọi m .
4. 4/4 3 Toán h Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m. ọc là đam mê 5 acmm0250 Phương trình có hai nghiệm trái dấu 2 . Vì phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt nên áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: c x12 x.m 2 5 Tích hai nghiệm: a . b xxm12 21 Tổng hai nghiệm: a . 252170mm Tích hai nghiệm không lớn hơn tổng hai nghiệm (luôn đúng) Vậy: Tích hai nghiệm không lớn hơn tổng hai nghiệm với mọi m. 2 A 46 x x x22 x x x x x Ta có: 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 A 6252 m m 1 344 m2 4 m 3321 m 33 1 A 33 2 m 1 0 m 2 1 maxAm 33 Vậy: 2 . Bài 2: x22 2 m 3 x m 1 0 Cho phương trình: . Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt. x 1 Tìm m để phương trình có nghiệm1 tìm nghiệm còn lại. xx22 11 Với giá trị nào của m thì 12 . A x22 x Tìm m để 12 có giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị nhỏ nhất đó. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình không phụ thuộc vào m. Hướng dẫn giải a 1; b 2 m 3 ; c m2 1 a) Ta có:
5. 5/4 3 Toán h 2 ọc là đam mê 23411213mmm 2 13 0 12mm 13 0 Phương trình có hai nghiệm phân biệt 12 . 22 x 1 123.110 mm b) 1 là một nghiệm của phương trình 2 mm 2 3 0 m 1 m 3 (thỏa mãn điều kiện có nghiệm của phương trình) c 22 xxmxm122.11 Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: a . 2 x 1 1 0 Với m 1, ta có: 2 x 32 1 8 Với m 3, ta có: 2 13 m c) Với 12 , phương trình có nghiệm. c 2 x12.1 x m Ta có: a b x12 x 23 m a 22 x2 x 2 x x 2. x x 232 m m2 12 m 2 1211 m 1 2 1 2 1 2 x2 x 2 11 2 m 2 12 m 11 11 Do đó: 12 2mm2 12 0 2mm 6 0 m 0 m 6 13 m Vì 12 nên chỉ có giá trị m 0 thỏa mãn.
6. 6/4 3 Toán h 2 ọc là đam mê Axxmmmmm 2222 212112697237 d) Ta có: 12 13 13 23 m m 33 Với 12 thì 12 12 2 2 23529 m 3 12144 52925 2.7 A 14472 2513 min Am Vậy 7212 . e) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình không phụ thuộc vào m. 13 m Với 12 , phương trình có hai nghiệm phân biệt. P x.1 x m2 Ta có: 12 (1) S x x 23 m 12 (2) 3 S m Từ (2) 2 . Thay vào (1) ta được: 2 ⇒ 2 22 3 SSSSS 9 6 6 5 x1 x 2 65 x 1 x 2 xx12. 1 1 2 4 4 4 2 4x . x x x 6 x x 5 1 2 1 2 1 2 2 x x 6 x x 5 0 1 2 1 2 Đó là hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình không phụ thuộc vào m. Bài 3: yx 2 Cho hàm số (P): . a) Vẽ đồ thị của hàm số (P). b) Xác định tọa độ A, B là giao điểm của (P) với đường thẳng y=2x +3. c) Gọi C, D lần lượt là hình chiếu của A và B. Tính chu vi và diện tích của tứ giác ABDC.
7. 7/4 3 Toán h d) Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm M (2; 4) có hệ số góc a và tiếp xúcọ vcớ lià (P). đa m mê Hướng dẫn giải yx 2 a) Bảng một số giá trị của hàm số (P): . x -2 -1 0 1 2 2 4 1 0 1 4 yx yx 2 Đồ thị hàm số là một parabol như hình vẽ. b) Hoành độ giao điểm của đường thẳng y=2x+3 và (P) là nghiệm của phương trình: 2 xx 2 3 0 xx 1; 3 Ta thấy a-b+c=0 nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt: 12 y 112 Suy ra 1 y 392 2 Vậy: A (-1; 1), B (3; 9). c) (Đề bài thiếu dữ liệu vì không nói C, D là hình chiếu của A, B trên đường thẳng nào. Mình nghĩ là trên Ox nên làm theo dự đoán này). Ta có: OC=1; OD=3 nên CD=1+3=4. Vì AC BD nên tứ giác ABDC là hình thang. ∥
8. 8/4 3 Toán h ọc là đam mê ACB 19 SCDABDC 420 Do đó: 22 (đơn vị diện tích). *) Ta có: AB=AE+EB 22 AE 2 1 5 22 EB 364535 AB 5 3 5 4 5 Chu vi hình thang ABDC là: ABBDDCCA 459411445 (đơn vị độ dài). d) Đường thẳng y=ax+b đi qua điểm M(2; 4) nên: 4=2a+b b=4-2a. Đường thẳng có dạng: y=ax+(4-2a). ⇒ yx 2 Hoành độ tiếp điểm của (P): và đường thẳng y=ax+(4-2a) là nghiệm kép của phương trình: x2 ax 42 a x2 ax 4 2 a 0 2 a22 4 4 2a a 8a+16 a 4 0 aa 4 0 4 Vậy, phương trình của đường thẳng đi qua điểm M(2; 4) có hệ số góc a và tiếp xúc với (P) là: y=4x-4. Bài 4: yx2 Cho hàm số (P): và đường thẳng (d): y=mx +m+1. a) Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d) khi m=-3. b) Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt. xx 2 c) Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt thỏa mãn 12 . d) Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt sao cho các tung độ của hai giao điểm bằng 5. e) Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt nằm về hai phía của trục tung. f) Tìm m để (d) đi qua điểm M nằm trên (P). Biết điểm M có hoành độ bằng-2.
9. 9/4 3 Toán h ọc là đam mê Hướng dẫn giải a) Với m=-3, đường thẳng (d) có dạng: y=-3x-2. Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình: 2 xx 3 2 2 xx 3 2 0 xx 1 ; 2 Ta thấy: a-b+c=0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt 12 2 y 11 Suy ra 1 2 y 24 2 Vậy, đường thẳng cắt (P) tại hai điểm phân biệt có tọa độ là: A(-1; 1), B(-2; 4). b) Phương trình hoành độ giao điểm: x22 mx m 1 x mx m 1 0 (1) Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt thì phương trình (1) phải có hai nghiệm phân biệt. m22 4 m 1 m 4 m 4 m 2 2 Ta có: 2 0 mm 2 0 2 Vậy, với m 2 thì (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt. c) với m 2 thì (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt, ta có: c b x12.1 x m x12 x m a và a 2 x x 2 x x 4 x . x 4 1 2 1 2 1 2 mm2 4 1 4 mm2 40 mm 40 m 0 m 4 (thỏa mãn điều kiện m 2).
10. 10/ 43 Toán h d) (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có các tung độ của hai giao điểm bằng 5. ọc là đam mê 55 xx2 Khi đó: 1,2 x x m 00 Suy ra: 12 (thỏa mãn) xx.0 e) Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt nằm về hai phía của trục tung thì 12 mmm10101 . My 2; f) Gọi tọa độ của điểm 0 . 2 y 24 Vì điểm M nằm trên (P) nên: 0 M 2; 4 Do đó: . M 2; 4 Đường thẳng (d): y=mx +m+1 đi qua điểm 4 2mm 1 m 3(thỏa mãn) Bài 5. 1 2 yx y mx 2 Cho hàm số 2 (P) và đường thẳng (d) a) Chứng minh rằng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt. xx, Gọi hoành độ giao điểm của (d) cắt (P) là 12. x22 x 44 x x Q 1 1 2 2 xx Tính giá trị biểu thức 12. b) Gọi A, B là giao điểm của (P) và (d). Tính diện tích tam giác AOB theo m. xx, c) Tìm m để (P) giao với (d) tại hai điểm có hoành độ 12 sao cho: x22 x x x 2016 1 2 1 2 . Hướng dẫn giải 1 2 1 x2 mx 20 m 4. . 2 m2 4 0  m a) Xét phương trình 2 có 2 .
11. 11/ 43 Toán h Vậy đường thẳng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt. ọc là đam mê Gọi hoành độ giao điểm của (d) cắt (P) là x1, x2. Theo hệ thức Vi-ét, ta có: x x m 2 xx.4 12 và 12 xxxxxxx2222 4444 xxx xx xx xxxx.4 Q 11221212212121 1212 xxxxxx Có: 12 12 12 xxxxxx.444 Q 121212 0 xx.4 12 A H B, H O y b) Vẽ AHxxBHxx , AB12 Ta có: SOAB=SAOC+SBOC 1 1 1 1 AH. OC BK . OC x1 .2 x 2 .2 x 1 x 2 = 2 2 2 2 2 2222 S OAB xx12 x 1 2 xxx 122 xx 12 2 xxxx 12 2 12 2 2m 2. 4 2. 4 4 m22 8 8 4 m 16 S 4 m22 16 2 m 4 OAB 22 c) x1 x 2 x 1 x 2 2016 x1 x 2 x 1 x 2 2016 4 . 2m 2016 m 252 Vậy giá trị m cần tìm là m=-252. III. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Bài 1. Giải các hệ phương trình sau:
12. 12/ 43 Toán h ọc là đam mê 31 2 4 352x xy 12 xy 1 2 3xy 1 21 4 3 x 53 5 2 4 3xy 8 a) b) xy12 c) xy1 Hướng dẫn giải 23152535xyxy 5243852438xyxy a) y 3 333 yy 4 231213xyx x 22 2 xy; 2 2; 3 Hệ phương trình có nghiệm 31 4 xy 12 21 x 1 3 xy 12 y 2 b) ĐK: 11 3a b 4 a 1 ab, 2a b 3 b 1 Đặt xy12 Ta có hệ phương trình sau: 1 1 x 1 xx 1 1 0 1 1 yy2 1 3 y 2 Trả ẩn xy; 0;3 Vậy hệ phương trình có nghiệm 2 3x 5 2 xy 1 4 x 5 xy 13 x 5, x y 1 c) Điều kiện: a 1 3ab 2 2 1 1 x 5, a b ab 43 b Đặt xy1 . Ta có hệ phương trình sau: 2
13. 13/ 43 Toán h ọc là đam mê xx 514 11 212417xyyy xy 12 Trả ẩn Bài 2. x m y m 1 m x y m 31 Cho hệ phương trình: a) Giải hệ phương trình với m 2 b) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất xy 31 c) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất thỏa mãn xy. d) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất sao cho có giá trị nhỏ nhất xy 2 e) Tìm các giá trị m nguyên để 25xy nhận giá trị nguyên. Hướng dẫn giải a) Với m 2 ta có hệ phương trình sau: x2 y 2 1 x 2 y 1 x 5 2x y 3( 2) 1 2 x y 7 y 3 xy; 5;3 Hệ có nghiệm x my m 1(1) mx y 3 m 1(2) b) x m 1 my (1) thay vào (2) ta được mm 1 myy 3 m 1 mmmyym22 3 1 0 1 m22 y m 2 m 1 0 * 2 Để hệ có nghiệm duy nhất thì phương trình (*) có nghiệm duy nhất 1 mm 0 1 m22 2 m 1 ( m 1) m 1 y 2 c) Khi m 1 1 m (1 m )(1 m ) m 1 m 1 m22 2 m 1 m m 31m x m 1 m x mm 11 m 1
14. 14/ 43 Toán h ọc là đam mê Ta có: xy31 311313341mmmmm 3110 mmmm 1111 mm 3 0 3 xy 31 Vậy m 3 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất 31m x m 1 m 1 y d) m 1 311(31)(1)321mmmmmm 2 . 22 (*) x.y= mm 11(1)(1)mm 4214(21)4(1)4mmmmmmmmm2222222 22222 1 (1)(1)(1)(1)(1)mmmmm m2 0  44mm22  0 1 1 xy . 1 (m 1)2 0 (mm 1)22 ( 1) Ta có  2 Dấu “=” xảy ra khi mm 00 Vậy GTNN của x.y bằng-1 m 0 xy 2 A e) Đặt 25xy 3m 1 m 1 3m 1 m 1 2 : 2 5 m 1 m 1 m 1 m 1 3m 1 2m 2 6m 2 5m 5 m 1 m 1 m 3 m 7 4 4 1 m 7 m 7 m 7 4 AZZ 1 m 7 4 Zm 7  (4) 1; 2; 4  m 7 Ta có bẳng:
15. 15/ 43 Toán h M+7 -4 -2 -1 1 2 4 ọc là đam mê M -11 -9 -8 -6 -5 -3 Kết luận TM TM TM TM TM TM xy 2 A m 11;9;8;6;5;3 Vậy Thì 25xyNhận giá trị nguyên IV. Giải bài toán bằng cách lập phương trình: Bài 1: Một xe tải đi từ A đến B cách nhau 180km. Sau đó một giờ, một xe con cũng xuất phát từ A đến B với vận tốc lớn hơn vận tốc xe tải là 10km/h và đến B sớm hơn xe tải 30 phút. Tính vận tốc của mỗi xe Hướng dẫn giải Đổi: 30 phút= h 1 Gọi vận tốc củ2a xe tải là: x (km/h) (x>0) Vận tốc của xe con là: x+10 (km/h) Thời gian xe tải đi cả quãng đường AB là: (h) 180 Thời gian xe con đi cả quãng đường AB là: (h) 180 Do xe con xuất phát sau 1h và đến B sớm hơn + 10xe tải 30 phút (= h) nên ta có phương trình: 1 =1 + 2 180 180 1 +10 + 2 =0 180 180 3 ⇔ 180. − 2. + (x+10)-180.2.x-3.x.10 − 2 (x+10)=0 ⇔ -30x +3600=0 2 ⇔=30−3 (km/h) (nhận) 1=-40 (km/h) (loại) V 2ậy vận tốc xe tải đó là: 30km/h. Vận tốc của ô tô con đó là: 30+10=40 km/h. Bài 2:
16. 16/ 43 Toán h ọc là đam mê Một người đi xe máy từ A đến B cách nhau 120km với vận tốc dự định trước. Sau khi đi được 1/3 quãng đường, người đó tăng vận tốc thêm 10km/h trên quãng đường còn lại nên người đó đến B sớm hơn dự định là 24 phút. Tính vận tốc dự định Hướng dẫn giải Đổi: 24 phút= h 2 Gọi vận tốc dự5 định của người đó là x (x>0) (km/h) Thời gian dự định là: (h) 120 1/3 Quãng đường đầu là: 120. =40 (km) 1 Thời gian người đó đi 1/3 quãng3 đường đầu là: (h) 40 Quãng đường còn lại là: 120-40=80 (km) Người đó tăng vận tốc thêm 10km/h trên quãng đường còn lại nên vận tốc lúc sau là: x+10 (km/h) Thời gian người đó đi quãng đường còn lại là: (h) 80 Sau khi đi được 1/3 quãng đường, người đó tăng + vậ10 n tốc thêm 10km/h trên quãng đường còn lại nên người đó đến B sớm hơn dự định là 24 phút ( h), nên ta có phương trình: 2 5 120 40 80 2 − ( + ) = + 10 5 120 40 80 2 ⇔ − − − = 0 + 10 5 80 80 2 ⇔ − − = 0 + 10 5 ⇔ 80.5. ( + 10) − 80.5. − 2. . ( + 10) = 0 2 ⇔ 2 + 20 − 4000 = 0 2 (km/h) (nhận) ⇔ + 10 − 2000 = 0 1 = 40 (km/h) (loại) V2ậy= v −ận50 tốc dự định của người đó là 40km/h Bài 3:
17. 17/ 43 Toán h ọc là đam mê Một ca nô chạy xuôi dòng trên một khúc sông dài 60km. Sau đó chạy ngược dòng khúc sông đó 63km hết tất cả 6 giờ. Tính vận tốc riêng của ca nô, biết vận tốc của dòng nước là 3km/h. Hướng dẫn giải Chú ý: V xuôi=V thực+V dòng nước V ngược=V thực-V dòng nước Gọi vận tốc riêng của ca nô là x (x>3) (km) Vận tốc của ca nô khi xuôi dòng là: x+3 (km/h) Vận tốc của ca nô khi ngược dòng là: x-3 (km/h) Thời gian để ca nô chạy xuôi dòng 60km là: (h) 60 Thời gian để ca nô chạy ngược dòng 63km là: +3 (h) 63 Do tổng thời gian xuôi dòng và ngược dòng củ −3a ca nô hết tất cả 6 giờ, nên ta có phương trình: 6 60 63 +3 + −3 = ⇒ 60. ( − 3) + 63. ( + 3) = 6 ( + 3). ( − 3 ) 2 ⇔ 60 − 180 + 63 + 189 − 6. ( − 9) = 0 2 ⇔ 123 + 9 − 6 + 54 = 0 2 (km/h) (nhận) ⇔ −6 + 123 + 63 = 0 1 = 21 (km/h) (loại) 1 V 2ậy= v −ận2 tốc riêng của ca nô là 21 km/h. Bài 4: Một công nhân được giao khoán sản xuất 120 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Sau khi làm được một nửa số lượng được giao, nhờ hợp lý hóa một số thao tác nên mỗi giờ người đó làm thêm được 3 sản phẩm nữa. Nhờ đó mức khoán được giao được người công nhân hoàn thành sớm hơn 1 giờ. Tính năng suất và thời gian dự định của người công nhân đó Hướng dẫn giải Gọi năng suất dự định của người công nhân đó là: x (sản phẩm) (x ) ∗ Thời gian dự định của người công nhân đó là: (h) ∈ 120
18. 18/ 43 Toán h ọc là đam mê Người đó được giao làm 120 sản phẩm, nên một nửa số lượng được giao là: 120: 2=60 (sản phẩm) Thời gian người đó làm một nửa số sản phẩm được giao là: (h) 60 Nhờ hợp lý hóa một số thao tác nên mỗi giờ người đó làm thêm được 3 sản phẩm nữa, nên năng suất của người đó lúc sau là: x+3 (sản phẩm) Thời gian để người đó làm nốt nửa số phẩm còn lại là: (h) 60 Vì người đó đã hoàn thành công việc được giao sớm hơn +3 1 giờ so với dự định nên ta có phương trình: 120 60 60 − ( + ) = 1 + 3 120 60 60 ⇔ − − − 1 = 0 + 3 60 60 ⇔ − − 1 = 0 + 3 ⇒ 60. ( + 3) − 60 − . ( + 3) = 0 2 ⇔ 60 + 180 − 60 − − 3 = 0 2 (sản phẩm) (nhận) ⇔ − − 3 + 180 = 0 1 = 12 (sản phẩm) (loại) V 2ậy= năng −15 suất dự định của người đó là 12 sản phẩm Thời gian dự định là: (giờ) Bài 5: 120: 12 = 10 Để hưởng ứng phong trào “Vì biển đảo Trường Sa”, một đội tàu dự định chở 280 tấn hàng ra đảo. Nhưng khi chuẩn bị khởi hành thì số lượng hàng hóa đã tăng lên 6 tấn so với dự định. Vì vậy đội tàu phải bổ sung thêm một tàu nữa và mỗi tàu chở ít hơn dự định 2 tấn hàng. Hỏi khi dự định đội tàu có bao nhiêu chiếc, biết các tàu chở số tấn hàng như nhau. Hướng dẫn giải Gọi số tàu chở hàng dự định ban đầu là x (chiếc tàu, x>0) 280 Với 280 tấn hàng dự định ban đầu thì số tấn hàng mỗi tàu chở được là: x (tấn). Khi khởi hành số tấn hàng tăng lên 6 tấn nên số tấn hàng thực tế phải chở là: 286 (tấn).
19. 19/ 43 Toán h Số chiếc tàu khi được bổ sung 1 tàu là: x+1 (tàu). ọc là đam mê 286 Vậy số tấn mỗi chiếc tàu phải chở thực tế là: x 1 (tấn). Vì mỗi tàu chở ít hơn dự định ban đầu 2 tấn hàng nên ta có phương trình: 280286 2 xx 1 280(1)2862(x1)xxx xx2 41400 xx10.140 xTM10() xKTM14() Vậy số chiếc tàu dự định ban đầu là 10 chiếc. Bài 6: Trong tháng thứ nhất hai tổ sản xuất được 540 sản phẩm. Do cải tiến kĩ thuật nên sang tháng thứ hai, tổ I đã vượt mức 20% và tổ II vượt mức 15%. Vì vậy trong tháng hai cả hai tổ sản xuất được 632 sản phẩm. hỏi trong tháng thứ nhất mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu sản phẩm. Hướng dẫn giải Gọi số sản phẩm tổ I làm trong tháng một là x (sản phẩm, x N*, x 540 ) y N*, x 540 Số sản phẩm tổ II làm trong tháng hai là y (sản phẩm, ) xy 540 1 Vì trong tháng một cả hai tổ làm được 540 sản phẩm nên ta có: Trong tháng 2: Tổ I vượt mức 20% nên số sản phầm làm được là: 120%.x=1,2x (sản phẩm) Tổ I vượt mức 15% nên số sản phẩm làm được là: 115%=1,15y (sản phẩm). 1,2xy 1,15 632 2 Vì cả hai tổ sản xuất được 632 sản phẩm trong tháng 2 nên ta có: Từ (1) và (2) ta có hệ: xy 540 (1) 1,2xy 1,15 632 2 x220 ( TM ) y 320 ( TM )
20. 20/ 43 Toán h Vậy số sản phẩm tổ I làm trong tháng một là 220 sản phẩm. ọc là đam mê Số sản phẩm tổ II làm trong tháng một là 320 sản phẩm. Bài 7: Hai tổ công nhân là chung trong 12 giờ sẽ hoàn thành công việc đã định. Hai tổ công nhân làm chung với nhau trong 4 giờ thì tổ thứ nhất được điều đi làm việc khác nên tổ thứ hai làm nốt công việc còn lại trong 10 giờ. Hỏi tổ thứ hai làm một mình thì sau bao lâu sẽ hoàn thành. Hướng dẫn giải Gọi thời gian tổ thứ nhất làm một mình xong công việc là x (giờ, x>12). Thời gian tổ thứ hai làm một mình xong công việc là y (giờ, y>12) Trong một giờ: 1 Tổ thứ nhất làm được: x (công việc) 1 Tổ thứ hai làm được: y (công việc) 1 Cả hai tổ làm được 12 (công việc) 1 1 1 Do đó ta có: xy12 (1) 11 4. Trong 4 giờ cả hai tổ làm chung được: 12 3 (công việc) 1 10. Trong 10 giờ tổ thứ hai làm được: y Khi hai tổ làm trong 4 giờ và tổ hai làm nốt phần việc còn lại trong 10 giờ thì xong công việc nên ta có: 11 10. 1 (2) 3 y Từ (1) và (2) ta có hệ pt:
21. 21/ 43 Toán h ọc là đam mê 111 11 xy12 x 60 xTM60() 1115() 11 yTM 10.1 y 15 3 y Vậy tổ thứ hai làm một mình thì sau 15 giờ sẽ hoàn thành cong việc. Bài 8. 13 1 ( ) h Đổi 1 giờ 30 phút= 22 1 1 ()h ()h 15 phút= 4 , 20 phút 3 3 Gọi thời gian vòi I chảy một mình đầy bể là x (giờ, x> 2 ) 3 Thời gian vòi II chảy một mình đầy bể là y (giờ, y> 2 ) 1 Trong 1 giờ, vòi I chảy được x (bể) 1 Trong 1 giờ, vòi II chảy được y (bể) 2 Trong 1 giờ, cả hai vòi chảy được 3 (bể) 1 1 2 Theo đề bài ta có pt: xy3 (1) 1 11 ()h . Trong 4 , vòi I chảy được 4 x (bể) 1 11 ()h . Trong 3 vòi II chảy được 3 y 1 1 1 1 1 . . (2) Theo đề bài ta có pt: 4xy 3 5
22. 22/ 43 Toán h ọc là đam mê 1 1 2 xy3 1 1 7 1 1 4 3 5xy Từ (1) và (2) ta có hệ pt: 11 a b a b , ( , 0 ) Đặt xy 24 15 aba x 315 4 11125 abby Hệ pt 43552 15 5 Vậy thời gian để vòi I, vòi II chảy một mình đầy bể là 4 (giờ), 2 (giờ) Bài 9. 30 Gọi thời gian vòi I chảy một mình đầy bể là x (giờ, x> 11 ) 30 Thời gian vòi II chảy một mình đầy bể là y (giờ, y> 11 ) 1 Trong 1 giờ, vòi I chảy được x (bể) 1 Trong 1 giờ, vòi II chảy được y (bể) 11 Trong 1 giờ, cả hai vòi chảy được 30 (bể) 1 1 11 Theo đề bài ta có pt: xy30 (1) 2 Trong 2 giờ, vòi I chảy được x (bể) 3 Trong 3 giờ, vòi II chảy được y
23. 23/ 43 Toán h ọc là đam mê 2 3 9 Theo đề bài ta có pt: xy10 (2) 1 1 11 xy30 2 3 9 xy10 Từ (1) và (2) ta có hệ pt: 11 a b a b , ( , 0 ) Đặt xy 1111 111 aba xy30 305 x 5 239916 y 23abb xy10106 Hệ pt Vậy thời gian để vòi I, vòi II chảy một mình đầy bể là 5 (giờ), 6(giờ) B. HÌNH HỌC Bài 1: Cho đường tròn (O; R) đường kính AB, M là một điểm thuộc (O) và MA<MB. Từ M kẻ đường vuông góc với AB tại H và cắt (O) tại điểm thứ hai là N. Trên tia đối của tia MN lấy điểm C. Nối C với B cắt đường tròn tại điểm thứ hai I. Giao điểm của AI với MN là K. a) CMR: Tứ giác BHKI nội tiếp. b) CMR: . c) CMR: IC .là phân= 퐾 giác. góc ngoài của ΔMIN. R AH d) Cho 2 . Tính diện tích hình quạt giới hạn bởi OB, ON và BN nhỏ. Hướng dẫn giải
24. 24/ 43 Toán h ọc là đam mê C I M K A H O B N 0 a) Xét tg BHKI có BHK BIK 180 tg BHKI nội tiếp. b) đồng dạng với (g.g) c) Xét훥 퐾 (O) có đường kính훥 tại H . A= là 퐾 điể.m chính giữa MN AM AN MIA AIN⊥ IA là tia phân giác của MIN Mà IC là⊥ phân giác góc ngoài của ΔMIN R OA R AH OH d) Có 2 2 2 OH 1 cos HON 0 Xét ΔOHN vuông tại H có: ON 2 HON 60 0 BON 120 0 sđ BN nhỏ=120 120 R2 . R2 360 3 (đvdt) Bài 푆2:푞 ạ푡 =
25. 25/ 43 Toán h ọc là đam mê Cho đường tròn (O; R) và điểm A cố định nằm ngoài đường tròn. Qua A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với (O) (B và C là tiếp điểm). Kẻ tại E, CE cắt đường tròn (O) tại M. Kẻ MD BC tại D, MF AC tại F. ⊥ ⊥ a) CMR: T⊥ứ giác MDBE nội tiếp. 2 b) CMR: E B E M E C . . c) Gọi I là giao điểm của CE và OA. CMR: . d) Cho . Tính MC theo R. ∥ 퐹 = 2푅 Hướng dẫn giải B E D M A O I F C 0 a) Xét tg MDBE có MEB BDM 180 tg MDBE nội tiếp. b) ΔEBM đồng dạng với ΔECB (g.g) EB2=EM.EC. c) Xét (O) có AB, AC là tiếp tuyến của (O) tại B, C AB=AC Mà AO =là đườ ng= 푅trung trực của AB AO BC. Xét ΔABC⊥ có CE, AO là đường cao, AO cắt CE tại I I là trực tâm của ΔABC BI là đường cao của ΔABC ⇒ BI AC Mà MF⊥ AC BI MF⊥ ∥
26. 26/ 43 Toán h ọc là đam mê B E D A O M I F C BO 1 s in B A O 0 d) Xét ΔABO vuông tại B có AO 2 BAO 30 0 BAC 60 ⇒ Mà ΔABC cân tại A (AB=AC) ΔABC đều Trực tâm, tâm đường tròn nội tiếp của ΔABC trùng nhau Mà ta chứng minh được tâm đường tròn nội tiếp ΔABC là giao điểm của AO và (O) I (O) hay I là giao điểm của CE và (O) Mà CE∈ cắt (O) tại M I trùng M. 0 Xét ΔOMC cân tại O (OM=OC=R) có MOC 60 ΔMOC đều MC=OC=R Bài 3: Cho ΔABC nhọn nội tiếp đường tròn (O; R). Các đường cao BE; CF cắt nhau tại H và lần lượt cắt đường tròn (O) tại M, N. a) CMR: BFEC là tứ giác nội tiếp. b) CMR: EF MN. c) CMR: OA∥ EF. d) Gọi I, K lần⊥ lượt là trung điểm của AH, BC. CMR: IEKF là tứ giác nội tiếp.
27. 27/ 43 Toán h ọc là đam mê e) Cho B, C cố định, A di chuyển trên BC lớn. CMR: Bán kính đường tròn ngoại tiếp ΔAEF không đổi. Hướng dẫn giải A M E N O F H B C 0 a) Xét tg BFEC có BFC BEC 90 tg BFEC nội tiếp. b) tg BFEC nội tiếp FEB FCB Xét (O) có NCB NMB FEB NMB MN EF c) tg BFEC∥ nội tiếp FBE FCE Xét (O) có ABM ACN AM AN A là điểm chính giữa MN⇒ OA MN Mà EF ⊥MN OA∥ EF. ⊥
28. 28/ 43 Toán h ọc là đam mê A M I E N O F H B K C 0 d) Xét tg AEHF có A F H A E H 180 tg AEHF nội tiếp đường tròn đường kính AH FAH FEH Mà FEH FCB FAH FCB (1) AH AI HI FI ΔAFH vuông tại F có FI là đường trung tuyến 2 ΔAFI cân tại I FAH IFA (2) BC FK CK BK ΔBFC vuông tại F có FK là đường trung tuyến 2 ΔCKF cân tại K ⇒ FCB KFC(3) Từ (1) (2) (3) AFI KFC 0 Mà AFI IFC⇒ 180 00 IFC CFK 180 IFK 90 0 Chứng minh tương tự có IEK 90
29. 29/ 43 Toán h ọc là đam mê 0 Xét tg IEKF có I F K I E K 180 tg IEKF nội tiếp. A M I E N O F H B K C P e) Kẻ đường kính AP của đường tròn (O) 0 ABP 90 AB  BP ACP 900 AC CP Xét (O) đường kính AP có B, C (O) Mà CF AB; BE AC ∈ CH⊥BP; BH ⊥CP tg BHCP∥ là hình∥ bình hành Mà K là trung điểm BC K là trung điểm HP Xét ΔAPH có O, K lần lượt là trung điểm AP, HP OK là đường trung bình ΔAHP AH=2OK Mà O, BC cố định K cố định và OK không đối AH không đổi ⇒ Mặt khác có tg AEHF nội tiếp đường tròn đường kính AH ΔAEF nội tiếp đường tròn đường kính AH Bán kính đường tròn ngoại tiếp ΔAEF không đổi. Bài 4:
30. 30/ 43 Toán h ọc là đam mê OR; Cho đường tròn đường kính BC , A là một điểm nằm trên đường tròn ( A khác B và C I ). Kẻ AH vuông góc BC ( H thuộc BC ). Đường tròn tâm đường kính AH cắt A B A, C O và đường tròn lần lượt tại D E, , F . a) Chứng minh AH DE . b) Chứng minh tứ giác BDEC nội tiếp. c) Chứng minh OA vuông góc với DE . e) AF cắt BC tại S . Chứng minh S D, , E thẳng hàng. 0 f) Cho sđ cung AB 6 0 . Tính diện tích tứ giác B D E C theo R . 2 1 1 g) Kẻ AM là phân giác của góc B A C ( M thuộc BC ). Chứng minh: A M A B A C . Hướng dẫn giải a) Chứng minh: tứ giác ADHE là hình chữ nhật AH DE. ˆ b) ΔAID cân tại I ADI DAI C tứ giác BDEC⇒ nội tiếp. ⇒ ⇒
31. 31/ 43 Toán h ọc là đam mê c) ΔAIE cân tại I IAE IEA . ˆ ΔO AC cân tại O ⇒O A C C . 0 0 Mà I A E C ˆ 90 ⇒ I A E O A C 9 0 D E A O . e) I A I F và O A O ⇒ F nên OI là đường⇒ trung trực của AF nên O I AF . Xét tam giác A S O có A H S O , O I AS nên I là trực tâm của tam giác A S O, và D I A O và S I AO nên S D, , I , E thẳng hàng. R 3 0 A H D E f) Vì số đo cung AB là 60 nên ΔA B O tam giác đều 2 . 13⇒ R2 SABACABC . Tính được: BCRABRACR 2, ;3 ; 22. 2 2 S DE R 33 22 ADE :2R 3RR 3 3 3 S . S BC 2 16 ADE ΔADE đồng dạng ΔACB ABC 16 2 32 RRRR2⇒3 3 3 2 2 3 13 3 ⇒ 2 SSSBDEC ABC ADE 3. 1 2 32 2 16 32 1 1 1 AB sin AC BAC AB . AM .sin BAM AC . AM .sin CAM SSS g) ABC ABM AMC 2 2 2 1⇔ 1 1 2 1 1 AB. AC .sin90000 AB . AM .sin45 AC . AM .sin45 2 2 2 AM AB AC Bài⇔ 5: ⇔ OR; Cho đường tròn đường kính AB. Gọi I là điểm cố định trên OB . Lấy điểm C nằm trên O đường tròn sao cho CA CB . Dựng đường thẳng d vuông góc AB tại I cắt BC tại E, cắt AC tại F . a) Chứng minh tứ giác AICE nội tiếp. b) Chứng minh IE IF IA IB. c) Đường tròn ngoại tiếp tam giác CEF cắt AE tại N . Chứng minh N thuộc đường tròn OR; .
32. 32/ 43 Toán h ọc là đam mê d) Gọi M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF. Chứng minh rằng khi C đi chuyển trên O đường tròn thì M luôn thuộc đường thẳng cố định. Hướng dẫn giải 0 a) Xét tứ giác AIEC có: ACE EIA 90 tứ giác AIEC nội tiếp. b) ΔIFA đồng dạng ΔIBE IE IF IA IB.⇒ c) F là trực tâm ΔAEB AN⇒  FB . N thuộc đường tròn đườ⇒ng kính AB AN BN . BFN, , thẳng hàng. ⇒ d)⇒ CM: ΔIAE đồng dạng ΔIFG (g.g) IG IA IE IF . mà IE IF IA IB IA IB IG IA IG⇒ IB G cố định điểm M luôn thuộc trung trực AG cố định. ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ Bài 6: OR; Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn . Kẻ đường cao AD và đường kính AM . Hạ BE và CF cùng vuông góc với AM .
33. 33/ 43 Toán h ọc là đam mê a) Chứng minh tứ giác ABDE và A C F D nội tiếp đường tròn. b) Chứng minh D F B// M . 0 c) Cho A B C R c6 m 0 , 6 . Tính diện tích hình quạt giới hạn bởi O C O, M và cung nhỏ CM . d) Cho BC cố định, A chuyển động trên cung lớn BC sao cho ΔABC có ba góc nhọn, chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp ΔDEF là một điểm cố định. Hướng dẫn giải 0 a) AEB ADB 90 tứ giác ABDE nội tiếp đường tròn. 0 ADC AFC 90 ⇒tứ giác ADFC nội tiếp đường tròn. b) CDF MAC vì t⇒ứ giác ADFC nội tiếp 1 MBC MAC sđ 2 cung MC CDF CBM DF// BM (slt) R2060 ⇒ ⇒ 0 0 0 S 0 6 c) ABC 60 MBC 30 MAC MOC 60 360 (đvdt) d) Gọi N là trung⇒ điểm BC ta sẽ chứ⇒ng minh N là⇒ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF
34. 34/ 43 Toán h ọc là đam mê Tứ giác ONFC nội tiếp FNC FOC 2. OAC 2. MBC 2. FDC ΔNDF cân tại N N D N F ⇒ ⇒ ⇒ Gọi T là trung điểm EF . Xét hình thang BECF có: N và T là trung điểm hai đường chéo. N T B/ /E / /C F N T E F ΔN E F cân tại N NE NF tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF luôn đi qua N là trung điểm BC cố định. ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ Bài 7: OR; O O Cho đường tròn và điểm M nằm bên ngoài . Kẻ hai tiếp tuyến MB ; MC tới ( B, C là các tiếp điểm) và tia Mx nằm giữa hai tia MO và MC . Qua B kẻ đường thẳng song O song với Mx , đường thẳng này cắt tại điểm thứ hai là A , AC cắt Mx tại I . Vẽ đường kính BD . Qua O kẻ đường thẳng vuông góc BD cắt MC , DC lần lượt tại K và E. a) Chứng minh tứ giác MOIC nội tiếp. b) Chứng minh OI vuông góc với Mx . c) Tính ME . d) Cho OM 2 R. Khi M di chuyển thì K di chuyển trên đường nào? Hướng dẫn giải
35. 35/ 43 Toán h ọc là đam mê J C D x E I K O N M A B a) Chứng minh tứ giác MOIC nội tiếp. Ta có MB OB (tính chất tiếp tuyến) MBO 90 . MC OC (tính chất tiếp tuyến) MCO 90  . Vậy MBO MCO 180  MBOC là tứ giác nội tiếp (dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp). MBC MOC (hai góc nội tiếp cùng chắn cung MC của đường tròn ngoại tiếp tứ giác MBOC ). (1) Lại có MBC BAC (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung BC O của đường tròn ). (2) Có Mx// AB BAC MIC (hai góc so le trong) (3). Từ (1); (2) và (3) ta suy ra MOC MIC mà hai góc này nằm cùng phía và cùng nhìn cạnh MC nên suy ra tứ giác MOIC là tứ giác nội tiếp (dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp).
36. 36/ 43 Toán h ọc là đam mê b) Chứng minh OI vuông góc với Mx . Ta có tứ giác MOIC nội tiếp (Chứng minh trên) MIO MCO (hai góc cùng phía cùng nhìn cạnh MO ) M  I O 90 (vì M  C O 90 ) O I Mx . c) Tính ME . 1 CO D CO B. Ta có 2 (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung BC ). 1 MOB COB . 2 (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau). O M E// D Suy ra M O B M O D mà hai góc này ở vị trí so le trong . (*) Xét hai tam giác E O D và MB O có MOB MOD (chứng minh trên). OD OB R . EOD MBO 90  . g c g EOD MBO ED OM (hai cạnh tương ứng của hai tam giác bằng nhau). ( ). Từ (*) và ( ) EDOM là hình bình hành ME OD R . d) Cho OM 2 R. Khi M di chuyển thì K di chuyển trên đường nào? Gọi J  ME OC . Ta có EDOM là hình bình hành (chứng minh trên) EMO EDO . 1 EDO COA. COB Mà 2 . Từ đó suy ra EMO COA JMO cân tại J . OE// MB Ta có (vì cùng vuông góc với OB ) và OE MB (vì EOD MBO ) EOBM là hình bình hành có EOB 90 EOBM là hình chữ nhật OEM 90  OE JM (4) Lại có MC OC (tính chất tiếp tuyến) hay MC JO (5)
37. 37/ 43 Toán h ọc là đam mê Mà M C O E K (6). Từ (4), (5) và (6) ta suy ra K là trực tâm của J M O . Mà JMO cân tại J JK OM tại trung điểm N của OM . Xét tứ giác EK NM có MEKMNK    9090180 mà hai góc này đối diện nhau tứ giác EK NM nội tiếp N E K K M N hay N E O K M O OE ON ON OM. OK O E N O∽ M K (g-g) OM OK OE . Mà ta có 1 O N O M R O M R 2 , 2 2 2 2 2 2 2 OE OM EM 43 R R R OE R 3 OK23 R . 2.RRR R OK KO ; Vậy 2R 3 3 3 . R R O; Do O cố định và 3 không đổi nên đường tròn 3 cố định. R O; Vậy K chạy trên đường tròn 3 cố định. Bài 8: Bài 8: O CA CB Cho nửa đường tròn đường kính AB, C là một điểm trên nửa đường tròn . Gọi D là hình chiếu của C trên AB. Trên CD lấy E, AE cắt nửa đường tròn tại F . a) Chứng minh: BDEF là tứ giác nội tiếp. 2 b) Chứng minh: AC AE. AF . c) Tính AE AF BD BA theo R . d) Khi điểm E di chuyển trên CD thì tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CEF di chuyển trên đường nào? Vì sao.
38. 38/ 43 Toán h ọc là đam mê Hướng dẫn giải F C E A D O B a) Chứng minh tứ giác BDEF nội tiếp. 0 Ta có A F B 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính AB) 0 E F B 90 00 CD AB  D CDB 90 EBD 90 O 00 Suy ra EDB EFB 90 90 180 mà hai góc ở vị trí đối nhau nên tứ giác BDEF nội tiếp. 2 b) Chứng minh AC AE. AF Xét AED và ABF : EDA AFB 900  AE AD  AED∽ ABF g g AE. AF AB . AD 1 AB AF A chung  AC2 AD. AB 2 Áp dụng hệ thức lượng với tam giác vuông ACB, với đường cao CD : 2 Từ (1)(2) suy ra AC AE. AF c) Tính AE AF BD BA theo R. 2 Theo chứng minh trên ta có AE. AF AC Cũng áp dụng hệ thức lượng với tam giác vuông ACB, với đường cao CD , ta có: 2 BD. BA BC 2 2 2 Suy ra AE AF BD BA AC BC AB (Pitago) d) Khi C di chuyển trên đường tròn, tâm đường tròn ngoại tiếp CEF di chuyển trên đường nào?
39. 39/ 43 Toán h ọc là đam mê Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp CEF F C Xét A C E và A F C : H A chung  ACAE  E do .ACAEAF2 AFAC  A D O B AFCACE∽ c-g-c A CE A FC 3 Mà E H C C F2 E (4) (góc nội tiếp nhọn bằng nửa góc ở tâm tương ứng) 0 Xét EHCEHCHCE:2180 (5) 0 Từ (3)(4)(5) suy ra ACE ECH 90 0 ACH 90 AC  CH Mà AC CB H CB Vậy khi C di chuyển trên đường tròn, tâm đường tròn ngoại tiếp CEF di chuyển trên đường CB. C. MỘT SỐ BÀI TOÁN THAM KHẢO Bài 1: Giải các phương trình sau: 2 2 2 2 a) x x 1 x x 1 x x 2. b) x 5 x 14 4 x 1. 2 2 x 2 x 2 2 x 1 x 1 c) x 2 6 x x 8 x 24 . d) . x 5 x 2 1 x2 7 x 10 3 e) . Hướng dẫn giải 2 2 2 1 a) x x 1 x x 1 x x 2 .
40. 40/ 43 Toán h ọc là đam mê xx2 10 xx2 10 * xx 2 10 x 0 Điều kiện xác định: . Áp dụng bất đẳng thức AM-GM: xxxx22 11 1.1 xx2 22. xxxx 22112 1.1 xx 2 22. xxxx22 2 xxxxx22 111 Suy ra 22 . 2 1 xxxx2 2110 Từ ta có x 1. S 1  Vậy bất phương trình có tập nghiệm . 2 1 b) x 5 x 14 4 x 1 Điều kiện xác định x 1 1 2 x 2 x 1 7 x 13 4 x 1 2 x 1 7 x 1 4 x 1 20 0 2 . t x 10 t Đặt . 2 2 ttt42 7 4 20 0 t 2 t32 2 t 3 t 10 0 t 2 t2 4 t 5 0 . Dot2 4 t 5 0  t 0 t 20 t 2 . Với t 2 x 12 x 3 (thỏa mãn điều kiện). S 3  Vậy phương trình có tập nghiệm . 2 1 c) x 2 6 x x 8 x 24 .
41. 41/ 43 Toán h ọc là đam mê xx 2 0 2 6 0 6 xx * Điều kiện . ax 2 xxab222 82412 ab,0 bx 6 ab22 4 Đặt . Ta có . Do đó ta có hệ phương trình 2 22 22 22 a b a b 12 12242 abab a b a b 12 2 ab22 4 a b ab 24 ab22 4 . 2 Giải . 2 2280 abab a b a b2 4 0 ab 20 (do ab,0 ) ab 2 . 2 Khi đó ta có xx 2. 6 2 xx 8 16 0 x 4 (thỏa mãn điều kiện). S 4  Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm . 2 x 2 x 2 2 x 1 x 1 2 d) x 2 x 2 2 x x 1 x 1 2 2 x x 1 x x 1 1 0 x 2 x x 1 x 1 x 1 x 1 0 2 Đặt t x x 1 tt 10 (vô nghiệm vì 30 ) Vậy phương trình đx cho vô nghiệm. e) ĐKXĐ: x 2 . x 5 x 2 1 x2 7 x 10 3 xx 52 x 5 x 2 1 x2 7 x 10 3 xx 52 3 1 x2 7 x 10 3 x 5 x 2 1 x 2 x 5 x 5 x 2
42. 42/ 43 Toán h ọc là đam mê xxxx255210 xx51210 xxx 510514 x 210 xx 211 (thỏa mãn điều kiện) Bài 2: 143 x Ax 42016 Cho x 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 41xx . Hướng dẫn giải Ta biến đổi A như sau: 2 1431431xx 21x Axxx 4201644201242012 414141xxxxxx Ta có các đánh giá sau: 2 11 21x 4xx 2 4 . 2 (1) 0 (2) 44xx ; x 1 Từ (1) và (2) ta có A 2 0 2012 2014 Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 2014 1 4x 1 4x x 2 4 2x 1 0 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi Bài 3: xy B xy,0 x 33 x y y y x Cho Tìm GTNN của biểu thức 4x 3 x y 7 x y 2x 3 x y 4 x 3 x y Ta có 22 4y 3 y x 7 y x 2y 3 y x 4 y 3 y x Tương tự 22 2xxy 3 2 yyx 3 4 xy xxy 3 2 yyx 3 2 xy Suy ra:
43. 43/ 43 Toán h ọc là đam mê 111 xy xxyyyxxxyyyx 323323 2 xy 2 1 M in B xy Vậy 2 khi Bài 4: a,b ,c 0 Cho thỏa mãn a b c 1. Tìm GTNN của biểu thức A sau 222222 Aaabbbbccaacc Hướng dẫn giải 3 aabbab22 Ta có đánh giá sau 2 (1) 3 3 3 3 1 2 aabb2 2 ab aabb 2 2 a 2 abb 2 ab 0 Thật vậy: 2 4 2 4 4 3 3 b22 bc c b c a22 ac c a c Tương tự, ta có cũng có các đánh giá 2 (2); 2 (3) Cộng vế theo vế của (1), (2), (3) ta có: 2 2 2 2 2 2 a abb b bcc a acc 3 1 a b c Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 3 1 a b c Min A 3 Vậy khi 3