Đề cương Ôn tập môn Toán Lớp 12 - Chương 1: Nguyên hàm - Cù Văn Luyến

Nội dung text: Đề cương Ôn tập môn Toán Lớp 12 - Chương 1: Nguyên hàm - Cù Văn Luyến

1. CHƯƠNG I: NGUYÊN HÀM Ths. Cù Văn Luyến Chương I: NGUYÊN HÀM 1.1. NGUYÊN HÀM CƠ BẢN 1.1.1. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1) Định nghĩa nguyên hàm : a) Định nghĩa : Cho hàm số f (x) xác định trên K . Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của f (x) trên Knếu F '(x) f ( xvới) x .K b) Nhận xét : Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x )trên K thì F(x) C, C ¡ là họ tất cả các nguyên hàm của f (x) trên .K Kí hiệu f (x)dx F(x) C * Chú ý: Biểu thức f (x)dx chính là vi phân của nguyên hàm F(x) ( với F(x) là nguyên hàm của f (x) ), vì dF(x) F '(x)dx f (x)dx . 2) Tính chất cơ bản: +)Tính chất 1: f '(x)dx f (x) C +)Tính chất 2: kf (x)dx k f (x)dx ( k là hằng số khác 0) +)Tính chất 3: [f (x) g(x)]dx f (x)dx g(x)dx 1.1.2. NGUYÊN HÀM CƠ BẢN THƯỜNG DÙNG +) Nguyên hàm 1: . dx x C x 1 +) Nguyên hàm 2: . x dx C ( 1) 1 1 +) Nguyên hàm 3: . dx ln | x | C (x 0) x 1 1 b dx ln | ax b | C,(x ) . ax b a a +) Nguyên hàm 4: . exdx ex C 1 eax bdx eax b C (a 0) . a +) Nguyên hàm 5: . cos xdx sin x C 1 cos(ax b)dx sin(ax b) C (a 0) . a 1 +) Nguyên hàm 6: . dx tan x C cos2 x 1 1 dx tan(ax b) C (a 0) . cos2 (ax b) a +) Nguyên hàm 7:. sin xdx cos x C 1 sin(ax b)dx cos(ax b) C (a 0) . a - 3 -
2. CHƯƠNG I: NGUYÊN HÀM Ths. Cù Văn Luyến 1 +) Nguyên hàm 8: . dx cot x C sin2 x 1 1 dx cot(ax b) C (a 0) . sin2 (ax b) a +) Nguyên hàm 9:. tan xdx ln | cos x | C 1 tan(ax b)dx ln | cos(ax b) | C (a 0) . a +) Nguyên hàm 10: . cot xdx ln | sin x | C 1 cot(ax b)dx ln | sin(ax b) | C (a 0) . a a x +) Nguyên hàm 11: . a xdx C (a 0,a 1) ln a 1.1.3. BÀI TOÁN MINH HOẠ Bài toán 1. Chứng minh rằng F(x) ln | x x2 a | là một nguyên hàm của 1 f (x) trên ¡ . x2 a Hướng dẫn ' 2 ' x x a Ta có: F '(x) ln | x x2 a | 2 x x a x 1 2 x a x x2 a x x2 a 1 . x x2 a x2 a x2 a 1 Nên suy ra: F '(x) f (x),x ¡ . x2 a Vì vậy, F(x) là một nguyên hàm của f (x) trên ¡ .□ 1 Từ đó, ta có họ nguyên hàm tổng quát 1: dx ln | x x2 a | C 2 x a 1 x a Bài toán 2. Chứng minh rằng F(x) ln với a 0 là một nguyên hàm của 2a x a 1 f (x) ,x a . x2 a2 - 4 -
3. CHƯƠNG I: NGUYÊN HÀM Ths. Cù Văn Luyến Hướng dẫn ' x a 2a 2 1 x a 1 x a Với x a , ta có: F '(x) 2a x a 2a x a x a x a 1 1 . (x a)(x a) x2 a2 1 Vậy F(x) với a 0 là một nguyên hàm của hàm số f (x) ,x a . □ x2 a2 1 x a Từ đó ta có họ nguyên hàm tổng quát 2: dx ln C,x a x2 a2 x a asin x bcos x Bài toán 3. Chứng minh rằng f (x) có họ nguyên hàm dạng csin x d cos x F(x) Ax B ln | csin x d cos x | C Hướng dẫn Ta có: F '(x) Ax B ln | csin x d cos x | C ' c cos x d sin x A B csin x d cos x (Ac Bd)sin x (Bc Ad)cosx . csin x d cos x ac bd A Ac Bd a c2 d 2 Ta đặt: Bc Ad b bc ad B c2 d 2 Từ đó, ta có: F '(x) f (x) . asin x bcos x Vậy F(x) Ax B ln | csin x d cos x | C là họ nguyên hàm của f (x) .□ csin x d cos x Từ đó, ta có họ nguyên hàm tổng quát 3 : asin x bcos x ac bd bc ad dx Ax B ln | csin x d cos x | C ,với A ; B csin x d cos x c2 d 2 c2 d 2 Bài toán 4.Tìm họ nguyên hàm của hàm số: f (x) x(1 x)20 ( Đề thi ĐH Quốc Gia Hà Nội – Năm 1998) Hướng dẫn Ta biến đổi : f (x) x(x 1)20 (x 1) 1(x 1)20 (x 1)21 (x 1)20 . - 5 -
4. CHƯƠNG I: NGUYÊN HÀM Ths. Cù Văn Luyến Từ đó, ta có: f (x)dx x(1 x)20 dx (x 1)21 dx (x 1)20 dx (x 1)21 d(x 1) (x 1)20 d(x 1) (x 1)22 (x 1)21 C .□ 22 21 Từ đó, ta có bài toán tìm họ nguyên hàm tổng quát 4: Bài toán tổng quát 4. Tìm họ nguyên hàm của hàm số: f (x) x(1 x)2n ,n ¥ . Hướng dẫn Ta biến đổi: f (x) x(1 x)2n (x 1) 1(x 1)2n (x 1)2n 1 (x 1)2n . Từ đó, ta có: f (x)dx x(1 x)2n dx (x 1)2n 1 dx (x 1)2n dx (x 1)2n 1 d(x 1) (x 1)2n d(x 1) (x 1)2n 2 (x 1)2n 1 C .□ 2n 2 2n 1 x2001 Bài toán 5.Tìm họ nguyên hàm của hàm số: f (x) (x2 1)1002 ( Đề thi ĐH Quốc Gia Hà Nội – Năm 2000) Hướng dẫn Ta biến đổi : x2001 x2000 x dx . dx (x2 1)1002 (x2 1)1000 (x2 1)2 1000 x2 x . dx 2 2 2 x 1 (x 1) 1000 1 x2 x2 d 2 2 2 x 1 x 1 1001 1 x2 2 C .□ 2(1001) x 1 - 6 -
5. CHƯƠNG I: NGUYÊN HÀM Ths. Cù Văn Luyến Từ đó, ta có bài toán tìm họ nguyên hàm tổng quát 5: Bài toán tổng quát 5 . Tìm họ nguyên hàm của hàm số: x2n 3 f (x) (n ¥ *,n 2) . (x2 1)n Hướng dẫn Cách giải 1. Đặt x tan t, t ( , ) . 2 2 dt Vi phân hai vế ta có: dx (1 tan2 t)dt . cos2 t Từ đó, ta có: x2n 3 tan2n 3 t f (x)dx dx (tan2 t 1)dt (x2 1)n (tan2 t 1)n tan2n 3 t tan2n 3 t dt dt 2 n 1 1 (tan t 1) ( )2(n 1) cost 1 sin2n 3 t.costdt sin2n 2 t C 2n 2 n 1 1 x2 2 C . 2n 2 x 1 Cách giải 2. Ta biến đổi: x2n 3 x2n 4 x f (x)dx dx . dx (x2 1)n (x2 1)n 2 (x2 1)2 n 2 x2 x . dx 2 2 2 x 1 (x 1) n 2 1 x2 x2 .d 2 2 2 x 1 x 1 n 1 1 x2 2 C .■ 2(n 1) x 1 Bài toán 6 .Tìm họ nguyên hàm của các hàm số: x4 2x2 x 2 x4 x2 1 a) f (x) b) g(x) x2 x 1 x2 x 1 ( Đề thi ĐH Ngoại Thương – Năm 1998) Hướng dẫn a) Ta có: x4 2x2 x 2 f (x) x2 x 1 - 7 -
6. CHƯƠNG I: NGUYÊN HÀM Ths. Cù Văn Luyến (x2 x 1)(x2 x 1) x2 x 1 x2 x 1. Vì vậy: f (x)dx (x2 x 1)dx x3 x2 x C . ( Với C là hằng số) □ 3 2 b) Ta có: x4 x2 1 g(x) ( dùng x4 x2 1 chia cho x2 x 1 ) x2 x 1 (x2 x 2)(x2 x 1) x2 x 1 x2 x 2 . Vậy: g(x)dx (x2 x 2)dx x3 x2 2x C . ( Với C là hằng số) □ 3 2 3x2 3x 3 Bài toán 7.Tìm họ nguyên hàm của hàm số: f (x) x3 3x 2 ( Đề thi ĐH Y Dược TP. HCM – Năm 1996) Hướng dẫn Ta biến đổi: 3x2 3x 3 3x2 3x 3 A B C f (x) x3 3x 2 (x 1)2 (x 2) (x 1)2 x 1 x 2 Khi đó: 3x2 3x 3 A(x 2) B(x 1)(x 2) C(x 1)2 9 3A A 3 Giải hệ phương trình: 9 9C C 1 3 2A 2B C B 2 Từ đó, ta có: dx dx dx f (x)dx 3 2 (x 1)2 x 1 x 2 3 2ln | x 1| ln | x 2 | C .□ x 1 1 Bài toán 8.Tìm họ nguyên hàm của hàm số: f (x) x3 x5 ( Đề thi ĐH Y Hà Nội – Năm 1997) - 8 -
7. CHƯƠNG I: NGUYÊN HÀM Ths. Cù Văn Luyến Hướng dẫn Ta biến đổi: 1 1 x2 x2 f (x) x3 x5 x3 (x2 1) 1 1 x3 (1 x2 )x 1 1 x2 x2 x3 x(x2 1) 1 1 x . x3 x (x2 1) Từ đó, ta có: dx dx x f (x) dx x3 x (x2 1) 1 1 ln | x | ln(x2 1) C .□ 2x2 2 x Bài toán 9.Tìm họ nguyên hàm của hàm số: f (x) x4 3x2 2 Hướng dẫn Ta biến đổi: x f (x) (x2 1)(x2 2) x (x2 2) (x2 1) (x2 1)(x2 2) x x . x2 1 x2 2 Từ đó, ta có: x x f (x)dx dx dx x2 1 x2 2 1 d(x2 1) 1 d(x2 2) 2 x2 1 2 x2 2 1 x2 1 ln C .□ 2 x2 2 1 Bài toán 10.Tìm họ nguyên hàm của hàm số: f (x) tan x 2x 1 2x 1 ( Đề thi ĐH Quốc Gia Hà Nội – Năm 1999) Hướng dẫn - 9 -
8. CHƯƠNG I: NGUYÊN HÀM Ths. Cù Văn Luyến 1 Ta có: f (x) tan x 2x 1 2x 1 sin x 2x 1 2x 1 cos x (2x 1) (2x 1) sin x 1 ( 2x 1 2x 1) . cos x 2 Từ đó, ta có sin x 1 f (x)dx ( 2x 1 2x 1) dx cos x 2 sin x 1 1 dx 2x 1d(2x 1) 2x 1d(2x 1) cos x 4 4 1 3 3 ln | cos x | (2x 1) 2 (2x 1) 2 C .□ 6 Bài toán 11.Tìm họ nguyên hàm của hàm số: sin x cos x cos 2x a) f (x) b) g(x) sin x cos x sin x cos x ( Đề thi ĐH Ngoại Thương – Khối D – Năm 1999) Hướng dẫn a) Ta có: sin x cos x f (x)dx dx sin x cos x d(sin x cos x) sin x cos x ln | sin x cos x | C .□ b) Ta có: cos 2x g(x)dx dx sin x cos x cos2 x sin2 x dx sin x cos x (cos x sin x)dx sin x cos x C .□ sin 3x.sin 4x Bài toán 12.Tìm họ nguyên hàm của hàm số: f (x) tan x cot 2x ( Đề thi ĐH Ngoại Thương – Năm 1997) Hướng dẫn Ta có: sin x cos2x tan x cot 2x cos x sin 2x - 10 -
9. CHƯƠNG I: NGUYÊN HÀM Ths. Cù Văn Luyến sin xsin 2x cos x cos 2x cos xsin 2x cos(2x x) 1 . cos xsin 2x sin 2x sin 3x.sin 4x Do đó: f (x) 1 sin 2x sin 2x.sin 3x.sin 4x 1 (cos5x cos x)sin 4x 2 1 (cos5xsin 4x cos xsin 4x) 2 1 (sin 9x sin 5x sin 3x sin x) 4 Vì vậy: 1 f (x)dx (sin 9x sin 5x sin 3x sin x)dx 4 1 1 1 1 cos9x cos5x cos3 cos x C .□ 36 20 12 4 Bài toán 13.Tìm họ nguyên hàm của hàm số: a) f (x) cos3 x cos3x b) g(x) cos2 x cos 2x ( Đề thi ĐH Ngoại Thương – Khối D – Năm 1998) Hướng dẫn a) Ta có: 1 f (x) cos3 x cos3x (cos3x 3cos x)cos3x 4 1 3 cos2 3x cos x cos3x 4 4 1 3 (1 cos6x) (cos4x cos2x) . 8 8 Vì vậy: 1 f (x)dx (1 cos6x 3cos 4x 3cos 2x)dx 8 1 1 3 3 x sin 6x sin 4x sin 2x C .□ 8 48 32 16 b) Ta có: 1 g(x) cos2 x cos 2x (1 cos2x)cos2x 2 1 1 cos2x (1 cos4x) . 2 4 - 11 -
10. CHƯƠNG I: NGUYÊN HÀM Ths. Cù Văn Luyến Từ đó, ta có: 1 1 f (x)dx cos2xdx (1 cos4x)dx 2 4 1 1 1 sin 2x x sin 4x C .□ 4 4 16 Bài toán 14. Tìm họ nguyên hàm của hàm số: f (x) sin3 x cos3x cos3 xsin 3x ( Đề thi Học Viện Quan Hệ Quốc Tế – Khối A – Năm 1998) Hướng dẫn Ta có : f (x) sin3 x cos3x cos3 xsin 3x 1 1 (3sin x sin 3x)cos3x (cos3x 3cos x)sin 3x 4 4 3 1 1 3 sin x cos3x sin 6x sin 6x sin 3x cos x 4 8 8 4 3 sin 4x . 4 3 3 Vì vậy:.□ f (x)dx sin 4xdx cos4x C 4 16 Bài toán15. Tìm họ nguyên hàm của hàm số: f (x) tan4 x ( Đề thi ĐH Thương Mại – Năm 1998) Hướng dẫn Ta có : f (x) tan4 x tan2 x(tan2 x 1 1) tan2 x(tan2 x 1) (tan2 x 1) 1. Vì vậy: f (x)dx tan2 x(tan2 x 1)dx (tan2 x 1)dx dx tan2 xd(tan x) d(tan x) dx 1 tan3 x tan x x C .□ 3 1 Bài toán 16. Tìm họ nguyên hàm của hàm số: f (x) 2 sin x cos x ( Đề thi ĐH Bách Khoa Hà Nội – Năm 2000) Hướng dẫn Ta biến đổi : - 12 -
11. CHƯƠNG I: NGUYÊN HÀM Ths. Cù Văn Luyến 2 sin x cos x 2 2 cos x 4 2 1 cos x 4 2 x 2.2sin . 2 8 Từ đó, ta có : 1 dx f (x)dx 2 2 2 x sin 2 8 x d 2 2 8 2 2 2 x sin 2 8 1 x cot C .□ 2 2 8 sin3 x Bài toán17. Tìm họ nguyên hàm của hàm số: f (x) 3sin 4x sin 6x 3sin 2x ( Đề thi ĐH Sư Phạm Hà Nội – Năm 2000) Hướng dẫn Ta biến đổi : 3sin 4x sin 6x 3sin 2x 3(sin 4x sin 2x) sin 6x 6cos3xsin x 2sin 3x cos3x 2cos3x(3sin x sin 3x) 2cos3x(3sin x 3sin x 4sin3 x) 8cos3xsin3 x . Do đó: sin3 x sin3 x 1 f (x) 3sin 4x sin 6x 3sin 2x 8cos3xsin3 x 8cos3x Vì vậy, 1 f (x)dx dx 8cos3x 1 cos3x dx 8 cos2 3x 1 d(sin 3x) 24 sin2 3x 1 1 sin 3x 1 ln C .□ 48 sin 3x 1 - 13 -
12. CHƯƠNG I: NGUYÊN HÀM Ths. Cù Văn Luyến Bài toán 18. Tìm họ nguyên hàm của hàm số: f (x) sin4 x ( Đề thi ĐH Kinh Tế Quốc Dân Hà Nội – Năm 2000) Hướng dẫn Ta biến đổi : 1 f (x) sin4 x (sin2 x)2 (1 cos2x)2 4 1 1 1 2cos 2x (1 cos4x) 4 2 1 3 1 2cos 2x cos4x . 4 2 2 Vì vậy: 1 3 1 f (x)dx 2cos 2x cos4x dx 4 2 2 3 1 1 x sin 2x sin 4x C .□ 8 4 32 sin( x) Bài toán 19. Tìm họ nguyên hàm của hàm số: f (x) ( là hằng số) cos2 x ( Đề thi ĐH Xây Dựng – Năm 1999) Hướng dẫn Ta biến đổi : sin cosx sin x cos f (x)dx dx cos2 x cosx sin x sin dx cos dx cos2 x cos2 x d(sin x) d(cosx) sin cos sin2 x 1 cos2 x 1 sin x 1 cos sin ln C .□ 2 sin x 1 cos x 1 Bài toán 20. Tìm họ nguyên hàm của hàm số: f (x) 4 sin3 xcos5 x ( Đề thi ĐH Tài Chính Hà Nội – Năm 1996) Hướng dẫn Ta biến đổi: 1 1 1 1 f (x) 4 3 5 3 3 3 sin xcos x cos x sin x 2 4 sin3 xcos5 x. 4 cos8 x. cos x tan x 4 cos3 x cos3 x Từ đó, ta có: - 14 -
13. CHƯƠNG I: NGUYÊN HÀM Ths. Cù Văn Luyến dx f (x)dx 3 2 cos x tan x 4 3 tan x 4 d(tan x) 4 4 tan x C .□ Bài toán 21. Tìm họ nguyên hàm của hàm số: f (x) (sin4 x cos4 x)(sin6 x cos6 x) ( Đề thi ĐH Tài Chính Hà Nội – Năm 1996) Hướng dẫn Ta biến đổi : (sin4 x cos4 x) (sin2 x cos2 x)2 2sin2 xcos2 x 1 1 sin2 2x 2 1 (3 cos4x) . 4 (sin6 x cos6 x) (sin2 x)3 (cos2 x)3 (sin2 x cos2 x)(sin4 x cos4 x sin2 xcos2 x) 1 1 (3 cos4x) sin2 2x 4 4 1 (5 3cos 4x) . 8 Từ đó, ta có: 1 1 f (x) (3 cos4x) (5 3cos 4x) 4 8 1 (15 14cos 4x 3cos2 4x) 32 1 33 3 14cos 4x cos8x . 32 2 2 Vì vậy: 1 33 3 f (x)dx 14cos 4x cos8x dx 32 2 2 1 33 7 3 x sin 4x sin8x C .□ 32 2 2 16 - 15 -
14. CHƯƠNG I: NGUYÊN HÀM Ths. Cù Văn Luyến 1.2. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ 1.2.1. KIẾN THỨC CẦN NHỚ a) Định lí: Nếu f (u)du F(u) C và u u(x) là hàm có đạo hàm và liên tục trên K thì f (u(x))u '(x)dx F(u(x)) C. b) Hệ quả: Với u ax b,(a 0) , ta có: 1 f (ax b)dx F(ax b) C. a c) Chú ý: Nếu tính nguyên hàm theo biến mới u(u u(x)) thì sau khi tính nguyên hàm, ta phải trở lại biến x ban đầu bằng cách thay u bởi u(x) . 1.2.2. BÀI TOÁN MINH HOẠ x Bài toán 1.Tìm họ nguyên hàm của hàm số: f (x) 10 x 1 ( Đề thi Học Viện Công Nghệ Bưu Chính Viễn Thông – Năm 1999) Hướng dẫn Ta dùng phương pháp đổi biến số: Đặt t 10 x 1 t10 x 1 , ta có: 10t9dt dx Vì vậy, ta có: (t10 1) f (x)dx 10t9dt t 10 (t18 t8 )dt 10 10 t19 t9 19 9 10 (x 1)19 10 (x 1)9 10 C .□ 19 9 1 Bài toán 2. Tìm họ nguyên hàm của hàm số: f (x) 3sin2 x 8sin x cos x 5cos2 x ( Đề thi ĐH Nông Nghiệp I Hà Nội – Năm 1995) Hướng dẫn Ta biến đổi: 1 1 2 f (x) cos x . 3sin2 x 8sin x cos x 5cos2 x 3tan2 x 8tan x 5 - 16 -
15. CHƯƠNG I: NGUYÊN HÀM Ths. Cù Văn Luyến dx Đặt t tan x , ta có: dt cos2 x Từ đó, ta có: 1 2 dx f (x)dx cos x 3tan2 x 8tan x 5 dt 3t 2 8t 5 dt . (t 1)(3t 5) Ta dùng cách đồng nhất hệ số như sau: 1 A 1 A B 2 Đặt 1 A(3t 5) B(t 1) (t 1)(3t 5) t 1 3t 5 3 B 2 Vì vậy, dt 1 dt 3 dt (t 1)(3t 5) 2 t 1 2 3t 5 1 1 ln | t 1| ln | 3t 5 | C 2 2 1 3tan x 5 ln C .□ 2 tan x 1 sin x Bài toán 3. Tìm họ nguyên hàm của hàm số: f (x) 1 sin 2x ( Đề thi ĐH Quốc Gia Hà Nội – Năm 2000) Hướng dẫn Ta biến đổi: sin x sin x sin x f (x) 2 1 sin 2x (sin x cos x) 2 2sin x 4 Đặt t x , ta có: dt dx 4 Từ đó, ta có: sin t 1 4 2 sin t cost f (x)dx dt dt 2 sin2 t 4 sin2 t 2 sin t 2 cost dt dt 4 1 cos2t 4 sin2 t - 17 -
16. CHƯƠNG I: NGUYÊN HÀM Ths. Cù Văn Luyến 2 d(cost) 2 d(sin t) 4 cos2t 1 4 sin2 t cos x 1 2 4 2 ln C .□ 4 cos x 1 4sin x 4 4 cos2 x Bài toán 4. Tìm họ nguyên hàm của hàm số: f (x) sin x 3 cos x ( Đề thi Học Viện Ngân Hàng – Khôi D – Năm 1999) Hướng dẫn Ta biến đổi: cos2 x 1 cos2x f (x) sin x 3 cos x 4sin x 3 Đặt t x , ta có: dt dx 3 Do đó, 1 cos2 t 1 cos2x 3 f (x) 4sin t 4sin x 3 2 2 1 cos2t cos sin 2t sin 3 3 4sin t 1 3 1 cos2t sin 2t 2 2 4sin t 1 1 3 sin t cost . 8sin t 4 2 Vì vậy: dt 1 3 f (x)dx sin tdt costdt 8sin t 4 2 1 sin tdt 1 3 sin tdt costdt 8 sin2 t 4 2 1 d(cost) 1 3 sin tdt costdt 8 cos2t 1 4 2 1 cost 1 1 3 ln cost sin t C 16 cost 1 4 2 - 18 -
17. CHƯƠNG I: NGUYÊN HÀM Ths. Cù Văn Luyến cos x 1 1 3 1 3 ln cos x sin x C .□ 16 4 3 2 3 cos x 1 3 x3 x Bài toán 5.Tìm họ nguyên hàm của hàm số: f (x) x6 4x4 4x2 1 Hướng dẫn Ta biến đổi : 1 1 3 1 2 1 2 x x x x f (x) . 6 4 2 4 1 3 x 4x 4x 1 x3 4x 1 1 3 x x x x x x 1 1 2 x Từ đó, ta có:f (x)dx dx . 3 1 1 x x x x 1 1 Đặt t x , ta có: dt 1 2 dx x x dt (1 t 2 t 2 )dt Vì vậy, f (x)dx t3 t t(t 2 1) dt tdt dt 1 d(t 2 1) t t 2 1 t 2 t 2 1 1 ln | t | ln | t 2 1| C 2 1 x x x2 1 ln C ln C .□ 2 4 2 1 x 3x 1 x 1 x - 19 -
18. CHƯƠNG I: NGUYÊN HÀM Ths. Cù Văn Luyến 1.3. PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN 1.3.1. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1) Công thức tính nguyên hàm từng phần a) Định lí Nếu hai hàm số v v(x) và u u(x) có đạo hàm và liên tục trên K thì u(x)v '(x)dx u(x)v(x) u '(x)v(x)dx. b) Chú ý Vì v '(x)dx dv, u '(x)dx du , nên đẳng thức trên còn được viết ở dạng udv uv vdu. c) Nhận xét +) Hàm số dưới dấu nguyên hàm thường là hai loại hàm số khác nhau. +) Cần phải chọn u, dv sao cho du đơn giản và dễ tính v, đồng thời tính nguyên hàm của vdu đơn giản hơn nguyên hàm của. udv 2) Các hàm số dùng phương pháp tính nguyên hàm từng phần cơ bản thường gặp Q(x) ln(ax b) +) Dạng 1: P(x)Q(x)dx , với P(x) là đa thức và . Q(x) logm (ax b) ln(ax b) u Q(x) u Khi đó, ta đặt: , nghĩa là: logm (ax b) dv P(x)dx dv P(x)dx Q(x) e(ax b) +) Dạng 2: P(x)Q(x)dx , với P(x) là đa thức và . (ax b) Q(x) m u P(x) u P(x) Khi đó, ta đặt: , nghĩa là: e(ax b)dx dv Q(x)dx dv (ax b) m dx Q(x) sin(ax b) +) Dạng 3 : P(x)Q(x)dx , với P(x) là đa thức và . Q(x) cos(ax b) u P(x) u P(x) Khi đó, ta đặt: , nghĩa là: sin(ax b)dx dv Q(x)dx dv cos(ax b)dx P(x) e(ax b) Q(x) sin(ax b) +) Dạng 4: P(x)Q(x)dx , với và (ax b) P(x) m Q(x) cos(ax b) - 20 -
19. CHƯƠNG I: NGUYÊN HÀM Ths. Cù Văn Luyến e(ax b) u (ax b) u P(x) m Khi đó, ta đặt: , nghĩa là: dv Q(x)dx sin(ax b)dx dv cos(ax b)dx Q(x) sin(ln x) Q(x) cos(ln x) +) Dạng 5: P(x)Q(x)dx , với P(x) xk (k ¡ ) và Q(x) sin(logm x) Q(x) cos(logm x) sin(ln x) cos(ln x) u Q(x) u Khi đó, ta đặt: , nghĩa là : sin(logm x) , k ¡ dv P(x)dx cos(log x) m k dv x dx 1.3.2. BÀI TOÁN MINH HOẠ 1.3.2.1. Dạng 1: Tìm họ nguyên hàm : P(x)Q(x)dx , với P(x) là đa thức và Q(x) ln(ax b) Q(x) logm (ax b) 1 ln(x 1) Bài toán 1.Tìm họ nguyên hàm f (x) . x2 Hướng dẫn Ta dùng phương pháp tính nguyên hàm từng phần: dx u 1 ln(x 1) du x 1 Đặt: dx , ta có dv 1 x2 v x Từ đó, ta được: 1 ln(x 1) f (x) dx x2 1 ln(x 1) dx x x(x 1) 1 ln(x 1) 1 1 dx x x x 1 1 ln(x 1) x ln C .□ x x 1 Bài toán 2. Tìm họ nguyên hàm f (x) x3 ln2 x. - 21 -
20. CHƯƠNG I: NGUYÊN HÀM Ths. Cù Văn Luyến Hướng dẫn Dùng phương pháp nguyên hàm từng phần 2ln x 2 du1 dx u1 ln x x Đặt , ta được dv x3dx x4 1 v 1 4 Từ đó, suy ra: x4 1 f (x)dx ln2 x x3 ln xdx 4 2 x4 1 ln2 x J . 4 2 Chúng ta tính: J x3 ln xdx Ta dùng phương pháp nguyên hàm từng phần như sau: 1 du2 dx u2 ln x x Đặt , ta được dv x3dx x4 2 v 2 4 Ta suy ra: x4 1 J ln x x4 C . 4 16 4 4 x 2 1 x 1 4 Vì vậy: f (x)dx ln x ln x x C .□ 4 2 4 16 1.3.2.2. Dạng 2 : Tìm họ nguyên hàm : P(x)Q(x)dx , với P(x) là đa thức và Q(x) e(ax b) (ax b) Q(x) m Bài toán 1. Tìm họ nguyên hàm f (x) (x 2)e2x Hướng dẫn Dùng phương pháp nguyên hàm từng phần du dx u x 2 Đặt 2x , ta được 1 2x dv e dx v e 2 Từ đó, ta có: f (x)dx (x 2)e2xdx 1 1 e2x (x 2) e2xdx 2 2 1 5 xe2x e2x C .□ 2 4 - 22 -
21. CHƯƠNG I: NGUYÊN HÀM Ths. Cù Văn Luyến 2 Bài toán 2. Tìm họ nguyên hàm f (x) x5ex Hướng dẫn Đặt t x2 . Vi phân hai vế ta được: dt 2xdx 2 1 Từ đó, ta có: f (x)dx x5ex dx t2etdt 2 u t 2 du 2tdt Dùng phương pháp nguyên hàm từng phần: Đặt , ta có: t t dv e dt v e 1 1 Ta được: f (x)dx t 2et tet dt t 2et J 2 2 +) Tính J tet dt Dùng phương pháp nguyên hàm từng phần: u1 t du1 dt Đặt t , ta có: t dv1 e dt v1 e Ta được: J tet et dt tet et C . 1 1 2 2 Vậy: f (x)dx t 2et et C x4ex ex C .□ 2 2 1.3.2.3. Dạng 3 : Tìm họ nguyên hàm : P(x)Q(x)dx , với P(x) là đa thức và Q(x) sin(ax b) Q(x) cos(ax b) Bài toán 1. Tìm họ nguyên hàm f (x) (2x 1)cos2x Hướng dẫn Ta biến đổi: 2 1 cos2x f (x)dx (2x 1)cos xdx (2x 1) dx 2 1 1 (2x 1)dx xcos2xdx cos2xdx 2 2 J K L 1 1 +)Tính J (2x 1)dx (x2 x) C . 2 2 1 +) Tính K xcos2xdx Dùng phương pháp nguyên hàm từng phần: du dx u x Đặt , ta có: 1 dv cos2xdx v sin 2x 2 1 1 Ta được, K xcos2xdx xsin 2x sin 2xdx 2 2 - 23 -
22. CHƯƠNG I: NGUYÊN HÀM Ths. Cù Văn Luyến 1 1 xsin 2x cos2x C . 2 4 2 1 +) Tính L cos2xdx sin 2x C . 4 3 1 1 1 1 Vậy: I J K L (x2 x) xsin 2x cos2x sin 2x C .□ 2 2 4 4 1 xsin x Bài toán 2. Tìm họ nguyên hàm f (x) cos2x Hướng dẫn Ta biến đổi: 1 xsin x f (x)dx dx cos2x 1 xsin x dx dx I I . cos2 x cos2 x 1 2 1 +) Tính: I dx tan x C 1 cos2 x 1 xsin x +) Tính: I dx 2 cos2 x Ta dùng phương pháp nguyên hàm từng phần: u x du dx Đặt : sin x , ta có 1 dv dx v cos2 x cos x Khi đó, x dx x cos xdx I 2 cos x cos x cos x cos2 x x d(sin x) cos x sin2 x 1 x 1 1 1 d(sin x) cos x 2 sin x 1 sin x 1 x 1 sin x 1 ln C2 cos x 2 sin x 1 x 1 sin x 1 Vậy : I I1 I2 tan x ln C .□ cos x 2 sin x 1 P(x) e(ax b) 1.3.2.4. Dạng 4: Tìm họ nguyên hàm :, Pvới(x) Q (x)dx và (ax b) P(x) m Q(x) sin(ax b) Q(x) cos(ax b) Bài toán 1. Tìm họ nguyên hàm f (x) e3x sin4x Hướng dẫn - 24 -
23. CHƯƠNG I: NGUYÊN HÀM Ths. Cù Văn Luyến Dùng phương pháp nguyên hàm từng phần: du 4cos 4xdx u sin 4x Đặt 3x , ta có: 1 3x dv e dx v e 3 Ta được: 1 4 I f (x)dx e3x sin 4xdx e3x sin 4x e3xcos4xdx 3 3 1 4 e3x sin 4x e3xcos4xdx 3 3 1 4 e3x sin 4x J . 3 3 +) Tính J e3xcos4xdx Dùng phương pháp nguyên hàm từng phần: du1 4sin 4xdx u1 cos4x Đặt 3x , ta có: 1 3x dv1 e dx v1 e 3 Từ đó, ta có : 1 4 J e3xcos4xdx e3xcos4x e3xsin4xdx 3 3 1 4 e3xcos4x I 3 3 1 3 4 (e 4 1) I . 3 3 Do đó, ta suy ra : 3 1 3x 4 1 4 I e sin 4x (e 4 1) I 3 3 3 3 2 1 3x I 3e sin 4x 4(e 4 1) C .□ 25 Bài toán 2. Tìm họ nguyên hàm f (x) excos2xdx Hướng dẫn Ta biến đổi: 1 I f (x)dx excos2xdx ex (1 cos2x)dx 2 1 1 exdx excos2xdx 2 2 1 1 ex J . 2 2 +) Tính J excos2xdx - 25 -
24. CHƯƠNG I: NGUYÊN HÀM Ths. Cù Văn Luyến Dùng phương pháp nguyên hàm từng phần: u cos2x du 2sin 2xdx Đặt x , ta có: x dv e dx v e Từ đó, ta có : J excos2xdx excos2x 2 exsin2xdx excos2x 2K . +) Tính K exsin2xdx Dùng phương pháp nguyên hàm từng phần: u1 sin2x du1 2cos2xdx Đặt x , ta có: x dv1 e dx v1 e Từ đó, ta có : K exsin2xdx exsin2x 2 excos2xdx exsin2x 2J . Suy ra: J excos2x 2K excos2x 2exsin2x 4J 5J excos2x 2exsin2x 1 J (excos2x 2exsin2x) C . 5 1 1 Vậy : I ex (excos2x 2exsin2x) C .□ 2 10 1.3.2.5.Dạng 5 :Tìm họ nguyên hàm : P(x)Q(x)dx , với P(x) xk (k ¡ ) và Q(x) sin(ln x) Q(x) cos(ln x) Q(x) sin(logm x) Q(x) cos(logm x) Bài toán 1. Tìm họ nguyên hàm f (x) cos(ln x) Hướng dẫn Dùng phương pháp nguyên hàm từng phần: 1 u cos(ln x) du sin(ln x)dx Đặt , ta có: x dv dx v x Từ đó, ta có : I f (x)dx cos(ln x)dx xcos(ln x) sin(ln x)dx x cos(ln x) J . +) Tính J sin(ln x)dx Dùng phương pháp nguyên hàm từng phần: - 26 -
25. CHƯƠNG I: NGUYÊN HÀM Ths. Cù Văn Luyến 1 u1 sin(ln x) du1 cos(ln x)dx Đặt , ta có: x dv1 dx v1 x Suy ra: J sin(ln x)dx xsin(ln x) cos(ln x)dx xsin(ln x) I . Vì vậy: I x cos(ln x) J x cos(ln x) xsin(ln x) I 2I x cos(ln x) xsin(ln x) C 1 I x cos(ln x) xsin(ln x) C .□ 2 - 27 -