›
›
›

Đề cương Ôn tập môn Toán Lớp 12 - Chủ đề 1: Khảo sát hàm số và ứng dụng

pdf 47 trang nhatle22 1870
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Đề cương Ôn tập môn Toán Lớp 12 - Chủ đề 1: Khảo sát hàm số và ứng dụng", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfde_cuong_on_tap_mon_toan_lop_12_chu_de_1_khao_sat_ham_so_va.pdf

Nội dung text: Đề cương Ôn tập môn Toán Lớp 12 - Chủ đề 1: Khảo sát hàm số và ứng dụng

  1. PHẦN CUỐI: BÀI TOÁN VẬN DỤNG (8.9.10) Chủ đề 1. KHẢO SÁT HÀM SỐ & ỨNG DỤNG Câu 1: (SGD VĨNH PHÚC)Cho hàm số y x3 mx 5 , m là tham số. Hỏi hàm số đã cho có nhiều nhất bao nhiêu điểm cực trị A. 3 . B. 1. C. 2 . D. 4 . Hướng dẫn giải Chọn B. Ta có: y x6 mx 5 3 3x5 3x5 m x Suy ra: ym và hàm số không có đạo hàm tại x 0 . xx33 5x5 TH1: m 0. Ta có: y 0 vô nghiệm và hàm số không có đạo hàm tại . x 3 x 0 y y Do đó hàm số có đúng một cực trị. 3 x 0 m y 03 x5 m x x TH2: m 0. Ta có: 53 3x mx 3 Bảng biến thiên m 3 0 Do đó hàm số có đúng một cực trị. 3 x 0 m y 03 x5 m x x TH3: m 0 . Ta có: 53 3x mx 3
  2. x m 0 3 y 0 y Do đó hàm số có đúng một cực trị. Vậy trong mọi trường hợp hàm số có đúng một cực trị với mọi tham số m Chú ý:Thay vì trường hợp 2 ta xét m 0, ta có thể chọn m là một số dương (như m 3 ) để làm. Tương tự ở trường hợp 3 , ta chọn m 3 để làm sẽ cho lời giải nhanh hơn. 2x 2017 Câu 2: (SGD VĨNH PHÚC)Cho hàm số y (1) . Mệnh đề nào dưới đây là đúng? x 1 A. Đồ thị hàm số (1) không có tiệm cận ngang và có đúng một tiệm cận đứng là đường thẳng x 1. B. Đồ thị hàm số (1) có hai tiệm cận ngang là các đường thẳng yy 2, 2 và không có tiệm cận đứng. C. Đồ thị hàm số (1) có đúng một tiệm cận ngang là đường thẳng y 2 và không có tiệm cận đứng. D. Đồ thị hàm số (1) không có tiệm cận ngang và có đúng hai tiệm cận đứng là các đường thẳng xx 1, 1. Hướng dẫn giải Chọn B Hàm số có tập xác định là , nên đồ thị không có tiệm cận đứng 2xx 2017 2 2017 lim 2; lim 2, nên đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là các xx xx 11 đường thẳng . Câu 3: (SGD VĨNH PHÚC)Tìm tất cả m sao cho điểm cực tiểu của đồ thị hàm số 32 y x x mx 1nằm bên phải trục tung. 1 1 A. Không tồn tại . B. 0 m . C. m . D. m 0 . 3 3 Hướng dẫn giải Chọn D.
  3. Để hàm số có cực tiểu, tức hàm số có hai cực trị thì phương trình y 0 có hai nghiệm phân 1 biệt 3x2 2 x m 0 (1) có hai nghiệm phân biệt 1 3mm 0 . 3 Khi đó (1) có hai nghiệm phân biệt xCĐ , xCT là hoành độ hai điểm cực trị. Theo định lí Viet 2 xx 0 (2) CĐ CT 3 ta có , trong đó xx vì hệ số của x3 lớn hơn 0. m CĐ CT xx. (3) CĐ CT 3 Để cực tiểu của đồ thị hàm số nằm bên phải trục tung thì phải có: xCT 0 , kết hợp (2) và m (3) suy ra (1) có hai nghiệm trái dấu x. x 0 m 0. CĐ CT 3 2 Câu 4: (NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Phương trình x32 x x 11 m x có nghiệm thực khi và chỉ khi: 3 13 A. 6 m . B. 13 m . C. m 3 . D. m . 2 44 Hướng dẫn giải Sử dụng máy tính bỏ túi. 2 xxx3 1 mx 2 1 mxx 4 3 2 mxxm 1 2 0 Chọn m 3 phương trình trở thành 3x4 x 3 5 x 2 x 3 0 (không có nghiệm thực) nên loại đáp án B, C. Chọn m 6 phương trình trở thành 6x4 x 3 13 x 2 x 6 0 (không có nghiệm thực) nên loại đáp án A. Kiểm tra với m 0 phương trình trở thành x32 x x 00 x nên chọn đáp án D. Tự luận 32 322 x x x Ta có x x x 11 m x m 42 (1) xx 21 x32 x x Xét hàm số y xác định trên . xx42 21
  4. x3 x 2 x x 4 2 x 2 1 x 3 x 2 x x 4 2 x 2 1 y 2 xx42 21 3x2 2 x 1 x 4 2 x 2 1 x 3 x 2 x 4 x 3 4 x 2 xx42 21 x6 2 x 5 x 4 x 2 2 x 1 2 xx42 21 x42 1 x 2 x 1 2 xx42 21 42 x 1 y 0 x 1 x 2 x 1 0 x 1 Bảng biến thiên Phương trình (1) có nghiệm thực khi đường thẳng ym cắt đồ thị hàm số x32 x x y xx42 21 13 m . 44 Chọn đáp án D. 9x Câu 5: (NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Cho hàm số f x , x R . Nếu ab 3 thì 39 x f a f b 2 có giá trị bằng 1 3 A.1. B. 2 . C. D. . 4 4 Hướng dẫn giải Chọn A Ta có: ba 21 9aa 91 3 f a ; f b 2 f 1 a 3 9a 3 91 a 3 9 a
  5. 93a f a f b 21 3 9aa 3 9 Câu 6: (T.T DIỆU HIỀN) Với giá trị nào của m thì hai điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số y x32 32 x mx m nằm về hai phía so với trục hoành? A. m 3. B. 12 m . C. m 3 . D. 23 m . Hướng dẫn giải Chọn C. Ta có: y 36 x2 x m . Hàm số có hai điểm cực đại và cực tiểu nên phương trình y 0 có 2 nghiệm phân biệt. Do đó 9 3mm 0 3. Gọi x1 , x2 là điểm cực trị của hàm số và y1 , y2 là các giá trị cực trị tương ứng. 32 1 1 2 2 Ta có: yxxmxm 3 2 yx . mxm 2 2 nên y11 k x 1 , 3 3 3 3 y22 k x 1 . Yêu cầu bài toán m y.0 y k2 x 110 x x x x x 10 210 m 3 . 1 2 1 2 1 2 1 2 3 Vậy m 3 thỏa mãn bài toán. Câu 7: (TRẦN HƯNG ĐẠO – NB) Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số y x3 32 mx cắt đường tròn tâm I 1;1 , bán kính bằng 1 tại 2 điểm phân biệt AB, sao cho diện tích tam giác IAB đạt giá trị lớn nhất. 23 13 25 23 A. m . B. m . C. m . D. m . 2 2 2 3 Hướng dẫn giải Chọn A. A Ta có y 33 x2 m nên y 0 x2 m. Δ H B Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi m 0. I 11 Ta có yx 32 3 mx 2 xx 3 3 m 2 mx 2 xy . 2 mx 2 . 33 Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số có phương trình :y 2 mx 2 1 1 1 Ta có: S . IA . IB .sin AIB sin AIB IAB 2 2 2
  6. 1 Diện tích tam giác IAB lớn nhất bằng khi sinAIB 1 AI  BI . 2 12 Gọi H là trung điểm AB ta có: IH AB d 22 I , 2m 1 2 Mà d I , 41m2 2m 1 2 2 2 2 23 Suy ra: d I , 4 m 2 2 4 m 1 8m 16 m 2 0 m . 41m2 2 2 Câu 8: (TRẦN HƯNG ĐẠO – NB) Tìm tất cả các giá trị thực của m để đường thẳng y x m 1 21x cắt đồ thị hàm số y tại hai điểm phân biệt AB, sao cho AB 23. x 1 A. m 4 10 . B. m 43. C. m 23. D. m 2 10 . Hướng dẫn giải Chọn A. 21x f x x2 m 2 x m 2 0 Hoành độ giao điểm là nghiệm PT: xm 1 . x 1 x 1 Đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình fx 0 có hai nghiệm phân biệt khác 1, hay 0 mm2 8 12 0 m 2 * . f 10 10 m 6 x12 x 2 m Khi đó, gọi xx12, là hai nghiệm của phương trình , ta có (Viète). x12 x m 2 Giả sử Axxm 1; 1 1 , Bxxm 2 ; 2 1 AB 2 xx 2 1 . 2 2 Theo giả thiết AB 2 3 2 x2 x 1 2 3 x 1 x 2 4 x 1 x 2 6 m 8 m 6 0 m 4 10 Kết hợp với điều kiện * ta được m 4 10 . Câu 9: (LẠNG GIANG SỐ 1) Cho x , y là các số dương thỏa mãn xy 41 y .Giá trị nhỏ nhất của 62 xy xy 2 P ln là ab ln . Giá trị của tích ab là xy A. 45 . B. 81. C. 108 . D. 115 .
  7. Hướng dẫn giải Chọn B. x xy, dương ta có: xy 4 y 1 xy 1 4 y 4 y2 1 04 . y yx Có P 12 6 ln 2 . xy x Đặt t , điều kiện: 04 t thì y 6 P f t 12 ln t 2 t 6 1tt2 6 12 ft t22 t 22 t t t 3 21 ft 0 t 3 21 t 0 4 ft P f t 27 ln 6 2 27 Từ BBT suy ra GTNN P ln 6 khi t 4 2 27 a , b 6 ab 81. 2 ax2 x 1 Câu 10: (LÝ TỰ TRỌNG – TPHCM) Cho hàm số y có đồ thị C ( ab, là các hằng số 49x2 bx dương, ab 4 ). Biết rằng C có tiệm cận ngang yc và có đúng 1 tiệm cận đứng. Tính tổng T 3 a b 24 c A. T 1. B. T 4. C. T 7. D. T 11. Hướng dẫn giải Chọn D.
  8. a a lim y . Tiệm cận ngang y c c . x 4 4 (C) có một tiệm cận đứng nên phương trình 4x2 bx 9 0 có nghiệm kép. 11 0 bb2 144 0 12 . Vì b 0 b 12 a c . 3 12 Vậy T 11. Câu 11: (NGÔ GIA TỰ - VP) Tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y 2 x32 3 m 1 x 6 m 2 x 2017 nghịch biến trên khoảng ab; sao cho ba 3 là m 0 A. m 6. B. m 9 . C. m 0 . D. . m 6 Hướng dẫn giải Chọn D. Ta có y 6 x2 6 m 1 x 6 m 2 Hàm số nghịch biến trên a; b x2 m 1 x m 2 0  x a ; b mm2 69 TH1: 0x2 m 1 x m 2 0  x Vô lí TH2: 03 my có hai nghiệm x1, x 2 x 2 x 1 Hàm số luôn nghịch biến trên xx12; . Yêu cầu đề bài: 2 2 x2 x 1 3 x 2 x 1 9 S 4 P 9 2 2 m 6 m 1 4 m 2 9 m 6 m 0 m 0 32 Câu 12: (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU) Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y 2x x mx đồng biến trên 1,2. 1 1 A. m . B. m . C. m 1. D. m 8. 3 3 Hướng dẫn giải Chọn C. 32 Ta có y 3 x2 2 x m 2x x mx ln 2 . Hàm số đã cho đồng biến trên 1,2 y '0,  x  1,2 3 x2 2 x m 0,  x  1,2* b 1 Vì f x 32 x2 x m có a 3 0, 2 nên 23a
  9. 1 3m 0 0 1 m 0 1 3m 0 3 *1 xx 1 1 m 12 11 m 23 3 xx 1 1 0 m 2 m 1 12 10 33 Câu 13: (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU) Biết đường thẳng y 3 m 1 x 6 m 3 cắt đồ thị hàm số y x32 31 x tại ba điểm phân biệt sao cho một giao điểm cách đều hai giao điểm còn lại. Khi đó m thuộc khoảng nào dưới đây? 3 3 A.( 1;0) . B.(0;1) . C.(1; ) . D.( ;2) . 2 2 Hướng dẫn giải. Chọn A. Yêu cầu bài toán tương đương phương trình sau có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng x3 313163 x 2 m x m x 3 3 x 2 31620 m x m . 32 Giả sử phương trình x 3 x 3 m 1 x 6 m 2 0 có ba nghiệm x1,, x 2 x 3 thỏa xx mãn x 13(1) . 2 2 Mặt khác theo viet ta có x1 x 2 x 3 3 (2) . Từ (1) và (2) suy ra x2 1. Tức x 1là một 1 nghiệm của phương trình trên. Thay x 1vào phương trình ta được m . 3 1 Thử lại m thỏa mãn đề bài. 3 Câu 14: (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU) Số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị 4xx22 1 3 2 y là: xx2 A. 2. B.3. C. 4. D.1. Hướng dẫn giải Chọn . 11 Tập xác định: D ;  ;1  1; 22 Tiệm cận đứng: 4xx22 1 3 2 4xx22 1 3 2 limy lim ; limy lim xx 11 xx 1 xx 11 xx 1 Suy ra x 1 là tiệm cận đứng. Tiệm cận ngang: 4 1 2 3 4xx22 1 3 2 2 4 2 limy lim limx x x 3 y 3 là tiệm cận ngang x x 2 x 1 xx 1 x
  10. 4 1 2 3 4xx22 1 3 2 2 4 2 limy lim limx x x 3 y 3 là tiệm cận ngang x x 2 x 1 xx 1 x Vậy đồ thị hàm số có hai tiệm cận. 11 1 m 22 Câu 15: (SỞ GD HÀ NỘI) Cho f x e x x 1 . Biết rằng f 1 . f 2 . f 3 f 2017 e n với m mn, là các số tự nhiên và tối giản. Tính mn 2 . n A. mn 2 2018 . B. mn 2 2018 . C. mn 2 1. D. mn 2 1. Hướng dẫn giải Chọn D. 2 2 1 1 xx 1 xx2 1 1 1 1 Ta có : 1 1 1 . x22 x 11 22 x2 x x x x x 11 x x Suy ra : m f 1 f 2 f 3 f 2017 (lấy ln hai vế) n 1mm 20182 1 2018 2018nn 2018 20182 1 Ta chứng minh là phân số tối giản. 2018 Giả sử d là ước chung của 20182 1 và 2018 Khi đó ta có 20182 1 d , 2018dd 20182 suy ra 11dd Suy ra là phân số tối giản, nên mn 20182 1, 2018 . Vậy mn 2 1. Câu 16: (CHUYÊN HÙNG VƯƠNG – GL) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y sin x cos x mx đồng biến trên . A. 2 m 2. B. m 2. C. 2 m 2. D. m 2. Hướng dẫn giải Chọn D. Ta có: y sin x cos x mx y' cos x sin x m Hàm số đồng biến trên yx 0,  . m sin x cos x ,  x .
  11. mxmax , với x sin x cos x . Ta có: x sin x cos x 2 sin x 2. 4 Do đó: max x 2. Từ đó suy ra m 2. Câu 17: (CHUYÊN HÙNG VƯƠNG – GL) Cho hàm số y f() x xác định và liên tục trên đoạn  2;2 và có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên dưới. Xác định giá trị của tham số m để phương trình f x m có số nghiệm thực nhiều nhất. A.3 . B.6 . C.4 . D.5. Hướng dẫn giải Chọn B. Dựa vào đồ thị ta có đồ thị của hàm số y f() x là: Từ đồ thị ta thấy rằng, với m thỏa 02 m thì phương trình f x m có số nghiệm nhiều nhất là 6. xx2 4 Câu 18: (BIÊN HÒA – HÀ NAM) Hàm số y đồng biến trên 1; thì giá trị của m là: xm 1 1 1 A. m ;2 \ 1 . B. m 1;2 \ 1 . C. m 1; . D. m 1; . 2 2 2 Giải Chọn D. xx2 4 x2 24 mx m y có tập xác định là Dm \  và y ' . xm xm 2 m 1 Hàm số đã cho đồng biến trên 1; 2 x 2 mx 4 m 0,  x  1;
  12. x22 240, mx m  x 1; 2 m x  2 x , x  1; (1) Do x 2 thỏa bất phương trình 22m x x 2 với mọi m nên ta chỉ cần xét x 2. x2 2mx ,   1;2 x 2 Khi đó 1 (2) x2 2mx ,  2; x 2 x2 xx2 4 Xét hàm số fx trên 1; \ 2 có fx x 2 x 2 2 x 0 fx 0 x 4 Bảng biến thiên x 1 2 4 y 0 8 y 1 m 1 1 YCBT 2 m 1 1 m . 2 28m Cách khác xx2 4 x2 24 mx m y có tập xác định là Dm \  và y ' . xm xm 2 m 1 Hàm số đã cho đồng biến trên 1; 2 x 2 mx 4 m 0,  x  1; 40 m 2 m 0 0 mm 40 m 4 2 2 x 2 mx 4 m 0,  x  1; 0 mm 40 m 1 xx 1 2 12 m m 41 m 1 m 2 1 Kết hợp với đk m 1 ta được 1 m . 2 8 4a 2 b c 0 Câu 19: (CHUYÊN ĐHSP HN) Cho các số thực a, b , c thỏa mãn . Số giao điểm 8 4a 2 b c 0 của đồ thị hàm số y x32 ax bx c và trục Ox là A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 3 . Chọn D. Ta có hàm số y x32 ax bx c xác định và liên tục trên .
  13. Mà lim y nên tồn tại số M 2 sao cho yM 0; lim y nên tồn tại số m 2 x x sao cho ym 0 ; y 2 8 4 a 2 b c 0 và y 2 8 4 a 2 b c 0 . Do y m . y 2 0 suy ra phương trình y 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng m;2 . yy 2 . 2 0 suy ra phương trình y 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng 2;2 . y 2 . y M 0 suy ra phương trình y 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng 2; M . Vậy đồ thị hàm số y x32 ax bx c và trục Ox có 3 điểm chung. Câu 20: (CHUYÊN ĐHSP HN) Tập hợp các giá trị của m để đồ thị hàm số 21x y có đúng 1 đường tiệm cận là mx22 2 x 1 4 x 4 mx 1 A. 0. B. ; 1  1; . C.  D. ; 1  0  1; . Chọn A. Có limy 0 . Nên hàm số luôn có 1 đường tiệm cận ngang y 0 . Vậy ta tìm điều kiện để x hàm số không có tiệm cận đứng . mx2 2 x 1 0 (1) Xét phương trình: mx22 2 x 1 4 x 4 mx 1 0 2 4x 4 mx 1 0 (2) 2x 1 1 TH1: Xét m 0, ta được y (thỏa ycbt) 2xx 1 42 1 41x2 2 TH2: Xét m 0 . Có: 1 1 m và 2 44m Th2a. Cả 2 phương trình (1) và (2) đều vô nghiệm: 10 m m 1 m  2 4m 4 0 11 m 1 Th2b: (1) vô nghiệm, (2) có nghiệm kép x : ta thấy trường hợp này vô lí (vì m 1) 2 1 Th2c: (2) vô nghiệm, (1) có nghiệm kép x : ta thấy trường hợp này vô lí (vì 11 m ) 2 mx Câu 21: (NGÔ SĨ LIÊN) Trên đoạn  2;2, hàm số y đạt giá trị lớn nhất tại x 1 khi và chỉ x2 1 khi A. m 2. B. m 0. C. m 2. D. m 0.
  14. Chọn B Cách 1: Với m 0 thì y 0 nên maxy 0 khi x 1.  2;2 Với m 0 . m Đặt xt tan , ta được yt .sin 2 . Với x  2;2 thì t  arctan 2;arctan 2. 2 Hàm số đã cho đạt giá trị lớn nhất tại x 1 tương ứng với t . 4 m Khi m 0 thì max y khi và chỉ khi .  arctan 2;arctan 2 2 Khi m 0 thì khi và chỉ khi t . 4 Vậy m 0 thỏa mãn bài toán. mx 1 2 Cách 2: Ta có y 2 , x2 1 TH1: my 00 là hàm hằng nên cũng coi GTLN của nó bằng 0 khi x 1 xn 1 ( ) TH2: m 0 . Khi đó: y 0 xn 1 ( ) Vì hàm số đã cho liên tục và xác định nên ta có hàm số đã cho đạt giá trị lớn nhất tại x 1 yy 12 trên đoạn  2;2 khi và chỉ khi y 1 y 2 m 0 m 0 (do m 0 ) yy 11 Vậy m 0 Chú ý: Ngoài cách trên trong TH2 m 0 , ta có thể xét m 0 , m 0 rồi lập BBT cũng tìm được kết quả như trên. Câu 22: (SỞ GD BẮC NINH) Tìm các giá trị thực của tham số m để phương trình 21 x x m x x2 có hai nghiệm phân biệt. 23 23 23 A. m 5; . B. m 5;6 . C. m  5; 6 . D. m 5; 6 . 4 4 4 Hướng dẫn giải +) 21 x x m x x2 (1) Điều kiện: 12 x
  15. +) 1 3 2 x22 x 2 x x m Đặt: x2 x t; f x x2 x; f x 2 x 1 1 1 1 f 1 2, f 2 2, f t 2; 2 4 4 1 3 2t 2 t m 2 t 2 t m 3 m 2 t 2 3 t Đặt f t 2 t 2 3 t 1 1 t 2 ft 1 . f t 0 1 t 2 0 t 1 tt 22 Bảng biến thiên 1 t - -2 -1 4 + f'(t) 6 f(t) 23 5 4 +) x22 x t x x t 0 1 Để phương trình có hai nghiệm phân biệt 1 4tt 0 4 1 Do đó để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì phương trình có nghiệmt 2; 4 Từ bảng biến thiên m 5;6. Chọn B x3 3 Câu 23: ( CHUYÊN QUANG TRUNG LẦN 3)Cho hàm số y x2 4 x 2017 . Định m để phương 32 trình ymm' 2 có đúng hai ngiệm thuộc đoạn [0;m ] 12 1 2 2 1 2 2 1 2 2 A. ;2 . B. ;2 . C. ;2 . D. ;2 . 3 3 2 2 Hướng dẫn giải Chọn D Ta có: y' m2 m x 2 3 x 4 m 2 m
  16. Đặt f x x2 34 x P y m2 m Yêu cầu bài toán : 4 7 3 3 m m 4 2 2 7 7 22 2 3 m m m 34 m mm 3 4 4 2 22 2 mm2 4 m m m 34 m 2 mm 4 3 m 2 1 2 2 m 2 1 2 2 m ;2 1 2 2 2 m 2 m 2 02 m Câu 24: (LÊ HỒNG PHONG) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y ln 16 x2 1 m 1 x m 2 nghịch biến trên khoảng ;. A. m ; 3 . B. m 3; . C. m ; 3 . D. m  3;3 . Hướng dẫn giải Chọn B. Ta có: y ln 16 x2 1 m 1 x m 2 32x ym 1 16x2 1 Hàm số nghịch biến trên khi và chỉ khi yx 0,  32x mx 1 0,  16x2 1 32x 2 Cách 1: 2 mx 1 0,  32x m 1 16 x 1 0,  x 16x 1 16 m 1 x2 32 x m 1 0,  x m 1 16 m 1 0 m 1 m 5 m 3. 2 2 2 16 16 m 1 0 16mm 32 240 0 m 3
  17. 32x Cách 2: mx 10  16x2 1 32x 32x mx 1,  m 1 max g ( x ), với gx() 16x2 1 16x2 1 512x2 32 Ta có: gx () 2 16x2 1 1 g ( x ) 0 x 4 11 limg ( x ) 0; g 4; g 4 x 44 Bảng biến thiên: 1 1 x 4 4 gx 0 0 4 gx 0 0 4 Dựa vào bảng biến thiên ta có maxgx ( ) 4 Do đó: mm 1 4 3. cotx 1 Câu 25: (LÊ HỒNG PHONG) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y mxcot 1 đồng biến trên khoảng ; . 42 A. m ;0  1; . B. m ;0 . C. m 1; . D. m ;1 . Hướng dẫn giải Chọn B. 1 cot2x m cot x 1 m 1 cot 2 x cot x 1 1 cot 2 x 1 m Ta có: y . mcot x 1 22 m cot x 1
  18. Hàm số đồng biến trên khoảng ; khi và chỉ khi: 42 mcot x 1 0,  x ; 42 mm 01  2 m 0 . 1 cotxm 1 10 m yx 2 0,  ; 42 mxcot 1 32 Câu 26: (NGUYỄN TRÃI – HD) Phương trình 223x .2 x 1024 x 23x 3 10 x 2 x có tổng các nghiệm gần nhất với số nào dưới đây A. 0,35. B. 0, 40. C. 0,50. D. 0, 45. Hướng dẫn giải Chọn D 3 2 3 2 Ta có 223x .2 x 1024 x 23x 3 10 x 2 x 2 23 x x 23 x 3 x 2 10 x 10 x 2 Hàm số f t 2t t đồng biến trên nên 32 52 223x x 23x 3 x 2 10 x 10 x 2 23 x 3 x 10 x 2 x 0 hoặc x 23 10 Tổng các nghiệm bằng 0,4347 23  Mẹo: Khi làm trắc nghiệm có thể dùng “Định lí Vi-ét cho phương trình bậc ba” 32 Nếu phương trình ax bx cx d 0 ( a 0) có ba nghiệm x1 , x2 , x3 thì: b c d xxx ;; xxxxxx xxx 123a 122331 a 13x a Câu 27: (H I BÀ TRƯNG – HUẾ ) Đường thẳng d:4 y x cắt đồ thị hàm số y x32 2 mx m 3 x 4 tại 3 điểm phân biệt AB 0;4 , và C sao cho diện tích tam giác MBC bằng 4, với M 1;3 . Tìm tất cả các giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán. A. m 2 hoặc m 3. B. m 2 hoặc m 3. C. m 3.D. m 2 hoặc m 3. Hướng dẫn giải Chọn C. Phương trình hoành độ giao điểm của d và đồ thị C : x32 2 mx m 3 x 4 4 x 0 32 x 2 mx m 2 x 0 2 x x 2 mx m 2 0 1 Với x 0, ta có giao điểm là A 0;4 . d cắt C tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt khác 0. 0 m 2 0 (*) 2 mm 20 Ta gọi các giao điểm của d và C lần lượt là A, B xBBCC ; x 2 , C x ; x 2 với xxBC, là nghiệm của phương trình (1).
  19. xBC x 2 m Theo định lí Viet, ta có: xBC.2 x m 1 Ta có diện tích của tam giác MBC là S  BC  d M, BC 4. 2 Phương trình d được viết lại là: d: y x 4 x y 4 0. 1 3 4 Mà d M, BC d M , d 2. 112 2 88 Do đó: BC BC 2 32 d M, BC 2 2 2 2 2 Ta lại có: BC xCBCBCB x y y 2 x x 32 22 xBCBC x 4 x . x 16 2 m 4 m 2 16 4m2 4 m 24 0 m 3; m 2. Đối chiếu với điều kiện, loại đi giá trị m 2. x Câu 28: Cho hàm số y sin2 x , x  0;  . Hỏi hàm số đồng biến trên các khoảng nào? 2 7 11 7 11 A. 0;và ; . B. ; . 12 12 12 12 7 7 11 7 11 11 C. 0;và ; . D. ;; và . 12 12 12 12 12 12 Hướng dẫn Chọn A. xk 1 1 12 TXĐ: D . yx' sin 2 . Giải yx' 0 sin 2 , k 2 2 7 xk 12 7 11 Vì x 0;  nên có 2 giá trị x và x thỏa mãn điều kiện. 12 12 Bảng biến thiên: 7 11 x 0 12 12 y || 0 0 || y 7 11 Hàm số đồng biến 0; và ; 12 12 Câu 29: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y f( x ) x m cos x luôn đồng biến trên ?
  20. 3 1 A. m 1. B. m . C. m 1. D. m . 2 2 Hướng dẫn Chọn A. Tập xác định: D . Ta có y 1 m sin x . Hàm số đồng biến trên y' 0,  x m sin x 1,  x Trường hợp 1: m 0 ta có 0 1, x . Vậy hàm số luôn đồng biến trên 11 Trường hợp 2: m 0 ta có sinx ,  x 1 m 1 mm 11 Trường hợp 3: m 0 ta có sinx ,  x 1 m 1 mm Vậy Câu 30: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y ( m 3) x (2 m 1)cos x luôn nghịch biến trên ? 2 m 3 A. 4 m . B. m 2 . C. . D. m 2 . 3 m 1 Hướng dẫn Chọn A. Tập xác định: D . Ta có: y' m 3 (2 m 1)sin x Hàm số nghịch biến trên y' 0,  x (2 m 1)sin x 3 m ,  x 1 7 Trường hợp 1: m ta có 0 £ ,"x Î . Vậy hàm số luôn nghịch biến trên . 2 2 1 33 mm Trường hợp 2: m ta có sinxx ,  1 2 2mm 1 2 1 3 m 2 m 1 m 4 1 Trường hợp 3: m ta có: 2 33 mm 2 2 sinxx ,  1 3 m 2 m 1 m . Vậy m 4; 2mm 1 2 1 3 3 Câu 31: Tìm mối liên hệ giữa các tham số a và b sao cho hàm số y f( x ) 2 x a sin x b cos x luôn tăng trên ?
  21. 11 12 A. 1. B. ab 2 2 3 . C. ab22 4 . D. ab 2 . ab 3 Hướng dẫn Chọn C. Tập xác định D . Ta có: y 2 a cos x b sin x Áp dụng bất đẳng thức Schwartz ta có 22 a2 b 2 y a 2 b 2 Yêu cầu của bài toán đưa đến giải bất phương trình y 0,  x 2 a2 b 2 0 a 2 b 2 4 . Câu 32: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y x32 61 x mx đồng biến trên khoảng 0; ? A. m 0 . B. m 12 . C. m 0 . D. m 12 . Hướng dẫn Chọn D. Cách 1:Tập xác định: D . Ta có y 3 x2 12 x m Trường hợp 1: 3 0 (hn ) Hàm số đồng biến trên yx 0,  m 12 36 3m 0 Trường hợp 2: Hàm số đồng biến trên 0; y 0 có hai nghiệm xx12, thỏa xx12 0 (*)  Trường hợp 2.1: y 0 có nghiệm x 0 suy ra m 0. Nghiệm còn lại của là x 4 (không thỏa (*))  Trường hợp 2.2: có hai nghiệm xx12, thỏa 0 36 3m 0 x12 x 00 S 4 0(vl ) không có m .Vậy m 12 P 0 m 0 3 Cách 2:Hàm số đồng biến trên 0; m 12 x 3 x2 g ( x ),  x (0; ) . Lập bảng biến thiên của gx() trên 0; . x 0 2 +∞ g + 0 –
  22. 12 g 0 –∞ Câu 33: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y x42 2( m 1) x m 2 đồng biến trên khoảng (1;3) ? A. m  5;2 . B. m ;2 . C. m 2, . D. m ;5 . Hướng dẫn Chọn B. Tập xác định D . Ta có y' 4 x3 4( m 1) x . Hàm số đồng biến trên (1;3) y' 0,  x (1;3) g ( x ) x2 1 m ,  x (1;3) . Lập bảng biến thiên của gx()trên (1;3) . x 1 3 g + 0 10 g 2 Dựa vào bảng biến thiên, kết luận: m min g ( x ) m 2 . 11 Câu 34: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y x32 mx 2 mx 3 m 4 32 nghịch biến trên một đoạn có độ dài là 3? A. mm 1; 9. B. m 1. C. m 9 . D. mm 1; 9 . Hướng dẫn Chọn A. Tập xác định: D . Ta có y x2 mx 2 m Ta không xét trường hợp yx 0,  vì a 10 Hàm số nghịch biến trên một đoạn có độ dài là 3 y 0 có 2 nghiệm xx12, thỏa 2 0 mm 8 0 m 80 hay m m 1 xx12 3 2 2 mm2 89 m 9 x12 x 9 S 4 P 9
  23. tanx 2 Câu 35: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y đồng biến trên tan xm khoảng 0; ? 4 A.12 m . B. mm 0;1 2 . C. m 2 . D. m 0 . Hướng dẫn Chọn B. æ p ö +) Điều kiện tanx ¹ m. Điều kiện cần để hàm số đồng biến trên 0; là m Ï 0;1 ç ÷ ( ) è 4 ø 2 - m +) y' = 2 2 . cos x(tan x - m) 1 æ p ö +) Ta thấy: > 0"x Î 0; ;m Ï 0;1 2 2 ç ÷ ( ) cos x(tan x - m) è 4 ø ìy' > 0 ì-m+ 2 > 0 +) Để hs đồng biến trên Û í Û í Û m £ 0 hoặc 12 m m Ï(0;1) m £ 0;m ³1 î î Câu 36: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm mx3 số y f( x ) 7 mx2 14 x m 2 giảm trên nửa khoảng [1; ) ? 3 14 14 14 14 A. ; . B. ; . C. 2; . D. ; . 15 15 15 15 Hướng dẫn Chọn B. Tập xác định D , yêu cầu của bài toán đưa đến giải bất phương trình 14 mx2 14 mx 14 0,  x 1, tương đương với g() x m (1) xx2 14 14 Dễ dàng có được gx() là hàm tăng x 1; , suy ra ming ( x ) g (1) x 1 15 14 Kết luận: (1) ming ( x ) m m x 1 15 Câu 37: Tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y x42 (2 m 3) x m nghịch biến p p trên khoảng 1;2 là ; , trong đó phân số tối giản và q 0 . Hỏi tổng pq là? q q A. 5. B. 9. C. 7. D. 3. Hướng dẫn
  24. Chọn C. Tập xác định D . Ta có y 4 x3 2(2 m 3) x . 3 Hàm số nghịch biến trên (1;2) y 0,  x (1;2) m x2 g ( x ),  x (1;2) . 2 Lập bảng biến thiên của gx()trên (1;2) . g ( x ) 2 x 0 x 0 Bảng biến thiên x 1 2 g + 0 11 2 g 5 2 5 Dựa vào bảng biến thiên, kết luận: m min g ( x ) m . Vậy pq 5 2 7 . 2 Câu 38: Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m sao cho hàm số 2x2 (1 m ) x 1 m y đồng biến trên khoảng (1; ) ? xm A. 3. B. 1. C. 2. D. 0. Hướng dẫn Chọn D. 2x22 4 mx m 2 m 1 g ( x ) Tập xác định Dm \  . Ta có y ()()x m22 x m Hàm số đồng biến trên (1; ) khi và chỉ khi g( x ) 0,  x 1 và m 1 (1) 2 Vì g 2(mm 1) 0,  nên (1) gx( ) 0 có hai nghiệm thỏa xx12 1 2g (1) 2( m2 6 m 1) 0 Điều kiện tương đương là S m 3 2 2 0,2 . m 1 2 Do đó không có giá trị nguyên dương của m thỏa yêu cầu bài toán. Câu 39: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình 21x x m có nghiệm thực? A. m 2. B. m 2. C. m 3 . D. m 3 . Hướng dẫn Chọn B.
  25. Đặt t x 1, t 0 . Phương trình thành: 2t t22 1 m m t 2 t 1 Xét hàm số f() t t2 21, t t 0;() f t 22 t Bảng biến thiên của ft : t 0 1 ft 0 ft 2 1 Từ đó suy ra phương trình có nghiệm khi m 2. Câu 40: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình x22 4 x 5 m 4 x x có đúng 2 nghiệm dương? A.13 m . B. 35 m . C. 53 m . D. 33 m . Hướng dẫn Chọn B x 2 Đặt t f( x ) x2 4 x 5 . Ta có fx () . f ( x ) 0 x 2 xx2 45 Xét x 0 ta có bảng biến thiên x 0 2 fx 0 5 fx 1 Khi đó phương trình đã cho trở thành m t22 t 5 t t 5 m 0 (1). Nếu phương trình (1) có nghiệm tt12, thì tt12 1. (1) có nhiều nhất 1 nghiệm t 1. Vậy phương trình đã cho có đúng 2 nghiệm dương khi và chỉ khi phương trình (1) có đúng 1 nghiệmt 1; 5 . Đặt g( t ) t2 t 5. Ta đi tìm m để phương trình g() t m có đúng 1 nghiệmt 1; 5 . Ta có g ( t ) 2 t 1 0,  t 1; 5 . Bảng biến thiên:
  26. 5 gt gt 3 Từ bảng biến thiên suy ra 35 m là các giá trị cần tìm. Câu 41: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình: log22x log x 1 2 m 1 0 có ít nhất một nghiệm trên đoạn 1;3 3 ? 33 A. 13 m . B.02 m . C.03 m . D. 12 m . Hướng dẫn Chọn B. 2 Đặt tx log3 1. Điều kiện: t 1. Phương trình thành: t2 t 2 m 2 0 (*) . Khi xt 1;33 [1;2] tt2 2 (*) f ( t ) m . Bảng biến thiên : 2 t 1 2 ft 2 ft 0 Từ bảng biến thiên ta có : 02 m Câu 42: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình x2 mx 2 2 x 1 có hai nghiệm thực? 7 3 9 A. m . B. m . C. m . D. m . 2 2 2 Hướng dẫn Chọn C 1 Điều kiện: x 2
  27. Phương trình x2 mx 2 2 x 1 3x2 4 x 1 mx (*) 3xx2 4 1 Vì x 0 không là nghiệm nên (*) m x 3xx2 4 1 3x2 1 1 Xét fx() . Ta có f ( x ) 0  x ; x 0 x x2 2 Bảng biến thiên x 1 0 2 fx + + 9 fx 2 9 Từ bảng biến thiên ta có để phương trình có hai nghiệm thì m . 2 Câu 43: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho mọi nghiệm của bất phương trình: xx2 3 2 0 cũng là nghiệm của bất phương trình mx2 m 1 x m 1 0? 4 4 A. m 1. B. m . C. m . D. m 1. 7 7 Hướng dẫn Chọn C. Bất phương trình 12 x . x 2 Bất phương trình m( x2 x 1) x 2 m xx2 1 x 2 x2 4x 1 Xét hàm số fx() với 12 x . Có f ( x ) 0,  x [1;2] xx2 1 (xx22 1) 4 Yêu cầu bài toán mmax f ( x ) m [1;2] 7 1 Câu 44: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho bất phương trình: x3 32 mx x 3 nghiệm đúng  x 1 ? 2 2 3 13 A. m . B. m . C. m . D. m . 3 3 2 32
  28. Hướng dẫn Chọn A. Bpt 3mx  x321 2, x 1 3 m x 1 2 f x ,  x 1. xx34x Ta có f x 2 x 4 2 2 2 x 4 2 4 2 2 0 suy ra fx tăng. x5 x 2 x 5 x 2 x 2 Ycbt f x 3 m ,  x 1 min f x f 1 2 3 m 2 m x 1 3 Câu 45: Bất phương trình 2x32 3 x 6 x 16 4 x 2 3 có tập nghiệm là ab;  . Hỏi tổng ab có giá trị là bao nhiêu? A. 2 . B. 4. C. 5. D. 3. Hướng dẫn Chọn C Điều kiện: 24 x . Xét f( x ) 2 x32 3 x 6 x 16 4 x trên đoạn  2;4. 2 31 xx 1 Có f ( x ) 0,  x 2;4 . 2x32 3 x 6 x 16 24 x Do đó hàm số đồng biến trên 2;4, bpt f( x ) f (1) 2 3 x 1. So với điều kiện, tập nghiệm của bpt là S [1;4] a b 5. Câu 46: Bất phương trình x22 2 x 3 x 6 x 11 3 x x 1 có tập nghiệm ab;  . Hỏi hiệu ba có giá trị là bao nhiêu? A. 1. B. 2. C. 3. D. 1. Hướng dẫn Chọn A. Điều kiện:13 x ; bpt x 1 22 2 x 1 3 x 2 3 x t 1 Xét f( t ) t2 2 t với t 0 . Có f'( t ) 0,  t 0 . 22t 2 2 t Do đó hàm số đồng biến trên [0; ) . (1) f( x 1) f (3 x ) x 1 3 x 2 So với điều kiện, bpt có tập nghiệm là S (2;3] 3 Câu 47: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y m 1 x42 mx chỉ có cực tiểu 2 mà không có cực đại. A. m 1. B. 1 m 0. C. m 1. D. 1 m 0.
  29. Hướng dẫn Chọn B Ta xét hai trường hợp sau đây: 3 TH1: m 10 m 1. Khi đó yx 2 hàm số chỉ có cực tiểu ( x 0 ) mà không có 2 cực đại m 1 thỏa mãn yêu cầu bài toán. TH2: m 10 m 1. Khi đó hàm số đã cho là hàm số trùng phương ta có : 32 m y' 4 m 1 x 2 mx 4 m 1 x x . 21 m Hàm số chỉ có cực tiểu mà không có cực đại y ' có đúng một nghiệm và đổi dấu từ âm 4 m 1 0 sang dương khi x đi qua nghiệm này m 10 m . 0 21 m Kết hợp những giá trị m tìm được, ta có 10 m . 22 Câu 48: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y x3 mx 2 2 3 m 2 1 x 33 có hai điểm cực trị có hoành độ x 1 , x2 sao cho x1 x 2 21 x 1 x 2 . 2 2 1 A. m 0. B. m . C. m . D. m . 3 3 2 Hướng dẫn Chọn C Ta có : y' 2 x2 2 mx 2 3 m 2 1 2 x 2 mx 3 m 2 1 , g x x22 mx 31 m là tam thức bậc hai có 13m2 4. Do đó hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi y ' có hai nghiệm phân biệt gx có hai nghiệm phân biệt 2 13 m 13 0 . (1) 2 13 m 13 x x m gx 12 x1 , x2 là các nghiệm của nên theo định lý Vi-ét, ta có 2 . x12 x 31 m m 0 2 2 Do đó x1 x 2 21 x 1 x 2 3mm 2 1 1 3mm 2 0 2 . m 3
  30. 2 Đối chiếu với điều kiện (1), ta thấy chỉ m thỏa mãn yêu cầu bài toán. 3 Câu 49: Cho hàm số y x4 2 1 m 2 x 2 m 1 . Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số lập thành tam giác có diện tích lớn nhất . 1 1 A. m . B. m . C. m 0. D. m 1. 2 2 Hướng dẫn Chọn C [Phương pháp tự luận] y' 4 x32 4 1 m x x 0 y '0 22 xm 1 Hàm số có cực đại , cực tiểu khi và chỉ khi : m 1 Tọa độ điểm cực trị Am 0; 1 B 1 m2 ; m 4 2 m 2 m C 1 m2 ; m 4 2 m 2 m BC 2 1 m2 ;0 Phương trình đường thẳng BC : y m42 20 m m d A,BC m42 2 m 1 , BC 21 m2 1 2 4 2 2 5 S ABC BC. d [ A , BC ] 1 m m 2 m 1 = 11 m 2 Vậy S đạt giá trị lớn nhất m 0 . [Phương pháp trắc nghiệm] AB 1 m2 ; m 4 2 m 2 1 AC 1 m2 ; m 4 2 m 2 1
  31. 1 5 Khi đó S = AB, AC = 1 m2 m 4 2 m 2 1 = 11 m2 2 Vậy S đạt giá trị lớn nhất m 0 . Câu 50: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y 2 x32 3 m 1 x 6 mx có hai điểm cực trị AB, sao cho đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng : yx 2 . m 3 m 2 m 0 m 0 A. . B. . C. . D. . m 2 m 3 m 2 m 3 Hướng dẫn Chọn C [Phương pháp tự luận] Ta có : y 6 x2 6 m 1 x 6 m x 1 y '0 xm Điều kiện để hàm số có 2 điểm cực trị là : m 1 Ta có : Am 1;3 1 B m;3 m32 m Hệ số góc đt AB là : km 1 2 m 0 Đt AB vuông góc với đường thẳng khi và chỉ khi k 1 m 2 [Phương pháp trắc nghiệm] Bước 1 : Bấm Mode 2 (CMPLX) 2 yy'. '' 6x 6 y 1 x 6 y 12 x 6 y 1 Bước 2 : y 2 x32 3 y 1 x 6 yx 18a 36 Bước 3 : Cacl xi , y 1000 Kết quả : 1001000 9980001.i . Hay : yx 1001000 9980001. Vậy phương trình đt qua 2 điểm cực trị là : y m2 m m 1 2 x 2 m 0 Có đt vuông góc với đường thẳng khi và chỉ khi m 11 m 2 Câu 51: Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số: y x32 32 x mx có điểm cực đại và điểm cực tiểu cách đều đường thẳng có phương trình: y x1 d .
  32. m 0 9 A. m 0. B. 9 . C. m 2. D. m . m 2 2 Hướng dẫn Chọn A [Phương pháp trắc nghiệm] y 36 x2 x m Hàm số có 2 cực trị m 3 , gọi xx12, là hai nghiệm của phương trình y 0 , ta có: xx12 2 Bấm máy tính: 3 2 2 x 1 x i, m A 1000 x 3 x mx 2 3 x 6 x m  33 994 2006 1000 6 2000 6 2mm 6 6 i i x 3 3 3 3 3 3 2m 6 m 6 2 m 6 m 6 Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là: A x1;;; x 1 B x 2 x 2 3 3 3 3 Gọi I là trung điểm của AB I 1; m 2mm 6 6 Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là: yx 33 26m 9 //d or  d 1 m Yêu cầu bài toán 3 2 Id m 11 m 0 Kết hợp với điều kiện thì m 0 . Câu 52: Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số: y x4 21 m 2 x 2 m 4 có ba điểm cực trị . Đồng thời ba điểm cực trị đó cùng với gốc O tạo thành 1 tứ giác nội tiếp. A. m 1. B. m 1. C. Không tồn tại m. D. m 1. Hướng dẫn Chọn A y y 44 x32 m x Hàm số có 3 điểm cực trị khi m 0 Khi đó 3 điểm cực trị là: A 0; m4 1 , B m ;1 , C m ;1
  33. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp( nếu có) của tứ giác ABOC . Do tính chất đối xứng , ta có: AOI,, thẳng hàng AO là đường kính của đường tròn ngoại tiếp( nếu có) của tứ giác . 24 m 0 Vậy AB OB AB. OB 0 m m 0 m 1 Kết hợp điều kiện m 1 ( thỏa mãn). Câu 53: Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số: y x42 2 mx m có ba điểm cực trị . Đồng thời ba điểm cực trị đó là ba đỉnh của một tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp lớn hơn 1. A. m 1. B. m 2. C. m ; 1  2; . D. Không tồn tại m. Hướng dẫn Chọn B [Phương pháp tự luận] Hàm số có 3 điểm cực trị khi m 0 Ba điểm cực trị là A 0; m , B m ; m m22 , C m ; m m Gọi I là trung điểm của BC I 0; m m2 1 S AI. BC m2 m ABC 2 Chu vi của ABC là: 22p AB BC AC m m4 m S mm2 Bán kính đường tròn nội tiếp là: r ABC p m m4 m 24 mm2 m m m m m Theo bài ra: r 1 1 4 1 (vì ) m m4 m m 4 2 2 5 2 2 m 1 mmm mm mmmmmm 20 m 2 So sánh điều kiện suy ra m 2 thỏa mãn. [Phương pháp trắc nghiệm]
  34. b24 m 2 m 2 Sử dụng công thức rr 4a 16 a2 2 ab 3 41616 m 3 11 m 3 23 2 mm11 m 3 Theo bài ra: r 1 1 3 1 1 m 1 m 11 m3 m 3 3 2 m 1 1 m m 1 1 m m 1 m m 2 0 m 2 So sánh điều kiện suy ra m 2 thỏa mãn. Câu 54: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y mx32 3 mx 3 m 3 có hai điểm cực trị AB, sao cho 2AB2 ( OA 2 OB 2 ) 20 ( Trong đó O là gốc tọa độ). A. m 1. B. m 1. 17 17 C. m 1hoặc m . D. m 1hoặc m . 11 11 Hướng dẫn Chọn D Ta có: y m(3 x2 6 x ) x 0 y 3 m 3 Với mọi m 0 , ta có y 0 . Vậy hàm số luôn có hai điểm cực trị. x 23 y m Giả sử A(0;3 m 3); B (2; m 3) . m 1 2 2 2 2 Ta có : 2AB ( OA OB )2011 m 6170 m 17 ( thỏa mãn) m 11 m 1 Vậy giá trị cần tìm là: 17 . m 11 Câu 55: Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích 48 cm2, hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất bằng: A.16 3 cm B. 43cm C. 24 cm D. 83cm Hướng dẫn Chọn A. Cách 1 Gọi cạnh của hình chữ nhật: a, b; 0 <a, b 48
  35. 48 48 Ta có: ab 48 b . Chu vi: P( a ) 2 a a a 48 Pa( ) 2 1 2 ; P( a ) 0 a 4 3 a Bảng biến thiên: a 0 43 48 Pa 0 + Pa 16 3 Cách 2 Áp dụng bất đẳng thức Côsi: a b 2 ab a b 2 48 8 3 chu vi nhỏ nhất: 2(ab ) 16 3 Hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất bằng 16 3 khi cạnh bằng 43. Câu 56: Tam giác vuông có diện tích lớn nhất là bao nhiêu nếu tổng của một cạnh góc vuông và cạnh huyền bằng hằng số a (a > 0)? a2 a2 2a2 a2 A. . B. . C. . D. . 63 9 9 33 Hướng dẫn Chọn A. a Cạnh góc vuông xx,0 ; cạnh huyền: ax 2 Cạnh góc vuông còn lại là: ()a x22 x 1 a( a 3 x ) a Diện tích tam giác S( x ) x a2 2 ax . S ( x ) ; S ( x ) 0 x 2 22a2 ax 3 Bảng biến thiên: a a x 0 3 2 Sx 0 a2 Sx 63
  36. a2 a 2a Tam giác có diện tích lớn nhất bằng khi cạnh góc vuông , cạnh huyền . 63 3 3 2cos2 xx cos 1 Câu 57: Cho hàm số y . Gọi M là giá trị lớn nhất và m là giá trị nhỏ nhất của cosx 1 hàm số đã cho. Khi đó M+m bằng A.– 4. B.– 5 . C.– 6 . D. 3. Hướng dẫn Chọn D. 21tt2 Tập xác định: D . Đặt t cos x , 0 t 1 y f( t ) , 0 t 1 t 1 24tt2 t 0 ft() 2 ; ft ( ) 0 ff(0) 1, (1) 2 (t 1) t 2  0;1 Vậy minyy 1, max 2 sinx 1 Câu 58: Cho hàm số y . Gọi M là giá trị lớn nhất và m là giá trị nhỏ nhất của hàm sin2 xx sin 1 số đã cho. Chọn mệnh đề đúng. 2 3 3 A. Mm . B. Mm 1. C. Mm . D. Mm . 3 2 2 Hướng dẫn Chọn B. t 1 tt2 2 Đặt t sin x , 1 t 1 y f() t 2 , ft() 2 tt 1 tt2 1 t 0  1;1 2 ft ( ) 0 f(0) 1, f ( 1) 0, f (1) . Vậy Mm 1, 0 t 2  1;1 3 Câu 59: Cho hai số thực xy 0, 0 thay đổi và thỏa mãn điều kiện ()x y xy x22 y xy . Giá trị 11 lớn nhất M của biểu thức A là: xy33 A. M 0. B. M 0. C. M 1. D. M 16. Hướng dẫn Chọn D. 22 1 1x3 y 3 ( x y )( x 2 xy y 2 ) x y 1 1 A 3 3 3 3 3 3 . x y x y x y xy x y Đặt x ty . Từ giả thiết ta có: (xyxyx ) 2 y 2 xy ( t 1) ty 3 ( t 2 t 1) y 2
  37. 2 2 t22 t 11 t t 1 1 tt2 2 1 Do đó y 2 ; x ty . Từ đó A 2 . t t t 1 x y t t 1 t22 2 t 1 3 t 3 Xét hàm số f()() t 2 f t 2 . tt 1 tt2 1 1 Lập bảng biến thiên ta tìm giá trị lớn nhất của A là: 16 đạt được khi xy . 2 x 2 Câu 60: Đồ thị hàm số y có đường tiệm cận đứng là xa và đường tiệm cận ngang là 39x yb . Giá trị của số nguyên m nhỏ nhất thỏa mãn m a b là A. 0 . B. 3. C. 1. D. 2 . Hướng dẫn Chọn D 1 Ta có đường tiệm cận đứng là x 3 và đường tiệm cận ngang là y 3 1 Nên ab 3, 3 8 Do đó m a b m m 2 3 23x Câu 61: Cho hàm số yC (). Gọi M là điểm bất kỳ trên (C), d là tổng khoảng cách từ M x 2 đến hai đường tiệm cận của đồ thị (C). Giá trị nhỏ nhất của d là A. 5. B. 10. C. 6. D. 2. Hướng dẫn Chọn D 23x0 Tọa độ điểm M có dạng Mx 0 ; với x0 2 x0 2 Phương trình tiệm cận đứng, ngang lần lượt là x 2 0 d12 , y 2 0 d . 1 Ta có d d M, d1 d M , d 2 x 0 2 2 x0 2 12 Câu 62: Cho hàm số : y x32 mx x m có đồ thị C . Tất cả các giá trị của tham số m để 33m 222 Cm cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ x1, x 2 , x 3 thỏa xxx1 2 3 15 là A. m 1 hoặc m 1. B. m 1. C. m 0. D. m 1. Hướng dẫn
  38. Chọn A. Phương pháp tự luận: Phương trình hoành độ giao điểm của ()C và đường thẳng d : 12 x3 mx 2 x m0 x 1 x 2 3 m 1 x 3 m 2 0 33 x 1 2 x 3 m 1 x 3 m 2 0 (1) gx() Cm cắt Ox tại ba điểm phân biệt phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác 1 2 g 0 9mm 6 9 0 m 0 . g 10 60m x23 x 31 m Gọi x1 1 còn xx23, là nghiệm phương trình 1 nên theo Viet ta có . x23 x 32 m Vậy x222 x x 15 1 x x 2 2 x x 15 1 2 3 2 3 2 3 312321409m 2 m m2  90 m 1 m 1 Vậy chọn mm 11  . Phương pháp trắc nghiệm: Ta kiểm tra ngay trên đáp án 14 + Với m 2, ta giải phương trình bậc ba: x32 20 x x thu được 3 nghiệm 33 x1 6.37 , x 2 1, x 3 0.62 Ta chọn những giá trị nhỏ hơn các nghiệm này và kiểm tra điều kiện của bài toán. Cụ thể ta tính 6.4 22 12 0.63 42.3569 15 loại C, D. + Với m 2 , ta làm tương tự thu được 3 nghiệm x1 6.27 , x 2 1, x 3 1.27 Tính 6.222 1 1.3 2 41.13 15 loại B. Vậy chọn . x 1 Câu 63: Cho hàm số y có đồ thị là C . Gọi điểm M x; y với x 1 là điểm thuộc 21 x 00 0 C , biết tiếp tuyến của C tại điểm M cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt AB, và tam giác OAB có trọng tâm G nằm trên đường thẳng d: 4 x y 0. Hỏi giá trị của xy00 2 bằng bao nhiêu?
  39. 7 7 5 5 A. . B. . C. . D. . 2 2 2 2 Hướng dẫn Chọn A. x 1 Gọi M x; 0 C với x 1 là điểm cần tìm. 0 0 21 x0 Gọi tiếp tuyến của C tại M ta có phương trình. xx 111 :y f '( x )( x x ) 00 ( x x ) . 0 02(xx 1)2 0 2( 1) 00 x0 1 2 2 xx00 21 xx00 21 Gọi A  Ox A ;0 và B  Oy B 0; 2 . 2 2(x0 1) Khi đó tạo với hai trục tọa độ OAB có trọng tâm là 22 x0 2 x 0 1 x 0 2 x 0 1 G ; 2 . 6 6(x0 1) 22 x0 2 x 0 1 x 0 2 x 0 1 Do G thuộc đường thẳng 40xy 4. 2 0 6 6(x0 1) 1 2 4 2 (vì AB, không trùng O nên xx00 2 1 0 ) x0 1 11 xx 1 0022 . 13 xx 1 0022 1 1 3 7 Vì x0 1nên chỉ chọn x M ;2 x y . 02 2 2 0 0 2 x 1 Câu 64: Cho hàm số y có đồ thị là C , đường thẳng d: y x m . Với mọi m ta luôn có 21x d cắt C tại 2 điểm phân biệt AB, . Gọi kk12, lần lượt là hệ số góc của các tiếp tuyến với C tại AB, . Tìm m để tổng kk12 đạt giá trị lớn nhất. A. m 1. B. m 2 . C. m 3. D.m 5 . Hướng dẫn Chọn A. Phương trình hoành độ giao điểm của d và C là 1 x 1 x xm 2 . 21x 2 g x 2 x 2 mx m 1 0 (*)
  40. m 1 Theo định lí Viet ta có x x m; x x . Giả sử A x;,; y B x y . 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 Ta có y , nên tiếp tuyến của C tại A và B có hệ số góc lần lượt là 21x 2 1 1 k1 2 và k2 2 . Vậy 21x1 21x2 114(x22 x ) 4( x x ) 2 kk 1 2 1 2 12 (2xx 1)22 (2 1) 2 124x1 x 2 2( x 1 x 2 ) 1 4m2 8 m 6 4 m 1 2 2 2 Dấu "=" xảy ra m 1. Vậy kk12 đạt giá trị lớn nhất bằng 2 khi m 1. 21x Câu 65: Cho hàm số y có đồ thị C . Biết khoảng cách từ I 1; 2 đến tiếp tuyến của x 1 tại M là lớn nhấtthì tung độ của điểm nằm ở góc phần tư thứ hai, gần giá trị nào nhất? A.3e. B. 2e . C. e . D. 4e . Hướng dẫn Chọn C. Phương pháp tự luận 3 Ta có y . x 1 2 21x0 Gọi M x00; C , x 1 . Phương trình tiếp tuyến tại là x0 1 3 21x0 22 y 2 () x x0 3x ( x0 1) y 2 x 0 2 x 0 1 0 . (xx00 1) 1 61x 66 dI ,6 0 . 4 9 9 (x0 1) 2 29 2 (x0 1) (x0 1) Dấu "" xảy ra khi và chỉ khi x 1 3 y 2 3 L 9 2 2 00 (xx00 1) 1 3 . (x 1)2 0 x00 1 3 y 2 3 N Tung độ này gần với giá trị e nhất trong các đáp án. Phương pháp trắc nghiệm Ta có IM  cx00 d ad bc x 1 2 1
  41. x 1 3 y 2 3 L 0 . x0 1 3 y 2 3 N x 2 Câu 66: Cho hàm số y có đồ thị C . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tạo x 1 với hai đường tiệm cận một tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp lớn nhất. Khi đó, khoảng cách từ tâm đối xứng của đồ thị đến bằng? A. 3 . B. 26. C. 23. D. 6 . Hướng dẫn Chọn D. Phương pháp tự luận x0 2 Gọi M x00; C , x 1 , I 1;1 . Phương trình tiếp tuyến tại M có dạng x0 1 3 x 2 :()y x x 0 . 2 0 x 1 x0 1 0 x 5 Giao điểm của với tiệm cận đứng là A 1; 0 . x0 1 Giao điểm của với tiệm cận ngang là Bx 20 1;1 . 6 Ta có IA , IB 2 x0 1 IA . IB 12 . Bán kính đường tròn ngoại tiếp IAB là x0 1 SIAB pr , suy ra S IA IB IA IB IA IB r IAB 2 3 6 . p IA IB AB IA IB IA22 IB 2IA . IB 2. IA . IB 2 xyM 1 3 0 1 3 Suy ra rmax 2 3 6 IA IB x 0 1 3 . xyM 1 3 0 1 3 IM 3; 3 IM 6 . Phương pháp trắc nghiệm IA IB vuông cân tại I IM  . xyMM 1 3 1 3 cxMM d ad bc x 1 1 2 xyMM 1 3 1 3 IM 6 . 23x Câu 67: Cho hàm số y có đồ thị C . Biết rằng tiếp tuyến tại một điểm M bất kỳ của C x 2 luôn cắt hai tiệm cận của tại A và B . Độ dài ngắn nhất của đoạn thẳng AB là A. 4 . B. 2 . C. 2 . D. 22.
  42. Hướng dẫn Chọn D. 1 1 Lấy điểm Mm ;2 C với m 2 . Ta có ym' 2 . m 2 m 2 11 Tiếp tuyến tại M có phương trình d:2 y x m . m 2 2 m 2 2 Giao điểm của d với tiệm cận đứng là A 2;2 . m 2 Giao điểm của d với tiệm cận ngang là Bm 2 2;2 . 2 1 2 2 Ta có AB 4 m 2 2 8 , suy ra AB 2 2 . Dấu “=” xảy ra khi m 21, m 2 nghĩa là m 3 hoặc m 1. xx2 33 Câu 68: Cho hàm số y có đồ thị C . Tổng khoảng cách từ một điểm M thuộc x 2 đến hai hai trục tọa độ đạt giá trị nhỏ nhất bằng ? 1 3 A. 1. B. . C. 2 . D. . 2 2 Hướng dẫn Chọn D. 3 3 Điểm M 0, nằm trên trục Oy . Khoảng cách từ M đến hai trục là d= . 2 2 3 Xét những điểm M có hoành độ lớn hơn d x y . 2 Xét những điểm có hoành độ nhỏ hơn : 3 3 3 Với 0 x y d x y 2 2 2 3 1 1 1 Với x0; y 0 d x x 1 1 ; d ' 0 . 2xx 2 2 x 2 2 3 Chứng tỏ hàm số nghịch biến. Suy ra mindy 0 . 2 x 4 Câu 69: Tọa độ cặp điểm thuộc đồ thị ()C của hàm số y đối xứng nhau qua đường thẳng x 2 d: x 2 y 6 0 là A. 4;4 và 1; 1 . B. 1; 5 và .
  43. C. 0; 2 và 3;7 . D. 1; 5 và 5;3 . Hướng dẫn Chọn B. 1 Gọi đường thẳng vuông góc với đường thẳng d:3 y x suy ra :2y x m . 2 Giả sử cắt ()C tại hai điểm phân biệt AB, . Khi đó hoành độ của là nghiệm của phương trình x 2 x 4 2xm 2x2 ( m 3) x 2 m 40. x 2 hx() Điều kiện cần: Để cắt tại hai điểm phân biệt thì phương trình hx( ) 0 có hai nghiệm phân biệt 0 mm2 10 23 0 m 5 4 3 khác 2 , tức là (*). h(2) 0 60 m 5 4 3 Điều kiện đủ: Gọi I là trung điểm của AB , ta có: m 3 xx AB xI xI 4 mm 3 3 3 2 I ; . m 3 42 yII 2 x m ymI 2 Để hai điểm AB, đối xứng nhau qua d: x 2 y 6 0 khi mm 3 3 3 Id 2. 6 0 m 3 (thỏa điều kiện (*)). 42 2 xy 11 Với m 3 phương trình h( x ) 0 2 x 2 0 xy 15 Vậy tọa hai điểm cần tìm là và 1; 1 . x2 mx 1 Câu 70: (CHUYÊN QU NG TRUNG) Để hàm số y đạt cực đại tại x 2 thì m thuộc xm khoảng nào ? A. 0;2 . B. 4; 2 . C. 2;0 . D. 2;4 . Hướng dẫn giải Chọn B. Tập xác định: Dm \  .
  44. x22 21 mx m Đạo hàm: y . xm 2 4 4mm 2 1 m 3 Hàm số đạt cực trị tại x 2 thì y 2 0 2 0 . 2 m m 1 xx2 68 x 2 Với m 3 y 2 ; y 0 . Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt x 3 x 4 cực đại tại x 2 nên m 3 ta nhận. xx2 2 x 0 Với m 1 y 2 ; y 0 . Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực x 1 x 2 tiểu tại x 2 nên m 1 ta loại. Câu 71: (CHUYÊN VINH – L2)Cho các số thực xy, thỏa mãn x y 2 x 3 y 3 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 4 x22 y 15 xy là A. minP 80. B. minP 91. C. minP 83 . D. minP 63 . Hướng dẫn giải Chọn C. Ta có 2 xy 4 xyx 2( 3 y 3)( xy )4( xyxy )8 3. 34( xy ) xy 0 Mặt khác x y2( x 3 y 3)22( x y ) x y 8 x y  4;8 Xét biểu thức P 4( xy2 2 ) 15 xy 4( xy ) 2 7 xy 16( xy ) 7 xyxy 7 ( 3) 16 yx 5 . y 30 Mà P 16(4 x ) 5 x 64 21 x , kết hợp với yx 4 x y 4 x  3;7 64 21 x 83 Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là 83 Câu 72: (CHUYÊN VINH – L2)Cho hàm số bậc ba y f x có đồ thị như hình bên. Tất y cả các giá trị của tham số m để hàm số y f x m có ba điểm cực trị 1 là O A. m 1 hoặc m 3 . B. m 3 hoặc m 1. x C. m 1 hoặc m 3 . D. 13 m . Hướng dẫn giải 3 Chọn A. Nhận xét: Đồ thị hàm số gồm hai phần: Phần 1 là phần đồ thị hàm số y f x m nằm phía trên trục hoành; Phần 2 là phần đối xứng của đồ thị hàm số nằm phía dưới trục hoành qua trục hoành. Dựa vào đồ thị của hàm số y f x đã cho hình bên ta suy ra dạng đồ thị của hàm số y f x m . Khi đó hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ khi đồ thị hàm số và trục hoành tại nhiều nhất hai điểm chung
  45. 1 mm 0 1 . 3 mm 0 3 Câu 73: (CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH – L2) Cho hàm số y f() x ax32 bx cx d có bảng biến thiên như sau: x 0 1 y y 1 0 1 Khi đó |f ( x ) | m có bốn nghiệm phân biệt x x x x khi và chỉ khi 1 2 32 4 1 1 A. m 1. B. m 1. C. 01 m . D. 01 m . 2 2 Hướng dẫn giải Chọn A. f 01 a 2 f 10 b 3 Ta có , suy ra y f( x ) 2 x32 3 x 1. f 00 c 0 d 1 f 10 x 0 NX: fx 0 1 . x 2 Bảng biến thiên của hàm số y f() x như sau: Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình có bốn nghiệm phân biệt 1 khi và chỉ khi m 1. 2 Câu 74: (CHUYÊN THÁI BÌNH – L4) h h số y f( x ) x ( x2 1)( x 2 4)( x 2 9) . Hỏi đồ thị hàm số y f x cắt trục hoành tại ba nhiêu điểm phân biệt? A. 3. B. 5. C. 6. D. 4. Hướng dẫn giải Chọn C
  46. Ta có fxxx 21 x 2 4 x 2 9 xxxx 3 4 13 2 36 xxxx 7 14 5 49 3 36 f x 7 x6 70 x 4 147 x 2 36 Đặt t x2 ,0 t Xét hàm g t 7 t32 70 t 147 t 36 D phương trình g t 21 t2 140 t 147 0 có hai nghiệ dương phân biệt và g 0 36 0 nên gt 0 có 3 nghiệ dương phân biệt D đó fx 0có 6 nghiệm phân biệt. Câu 75: (CHUYÊN THÁI BÌNH – L4) ì t t cả c c gi trị thực của để h số y m x33 1 x đồng biến trên 0; 1 . A. m 2. B. m 2. C. m 1. D. m 1. Hướng dẫn giải. Chọn B + Tập x c định: D ; 1. 33xx22 + y 3 x2 1 x 3 . m x 3 3 x 3 m 2 . 2 1 xx33 2 1 x 0 y 0 m 2 . x 3 3 * rường hợp 1: m 2, ta có bảng xét d u: Dựa vào BXD, ta có y 0,  x 0; 1 hàm số nghịch biến trên 0; 1 . * rường hợp 2: m 2. m 2 Để hàm số nghịch biến trên thì 3 02 m . 3 Vậy m 2 thì hàm số nghịch biến trên . Câu 76: (CHUYÊN THÁI BÌNH – L4) hương trình 2017sinx sinxx 2 cos 2 có ba nhiêu nghiệ thực tr ng  5 ;2017  ? A. v nghiệ B. 2017 . C. 2022 . D. 2023. Hướng dẫn giải Chọn D Ta có hàm số y 2017sinx sin x 2 cos 2 x tuần hoàn với chu kỳ T 2 . Xét hàm số trên 0;2 . Ta có sinxx2sinx .cos x sin sin x y cos x .2017 .ln 2017 cos x cos x . 2017 .ln 2017 1 2 2 cos22xx 1 sin
  47. 3 Do vậy trên 0;2 , y 0 cos x 0 x  x . 22 31 y 2017 1 2 0; y 1 2 0 2 2 2017 Bảng biến thiên x 3 0 2 2 2 y 0 0 y y 0 2 3 y 2 Vậy trên phương trình 2017sinx sinxx 2 cos 2 có đúng ba nghiệm phân biệt. Ta có y 0 , nên trên phương trình có ba nghiệm phân biệt là 0, , 2 . Suy ra trên  5 ;2017  phương trình có đúng 2017 5 1 2023 nghiệm.