›
›
›

Chuyên đề Phương pháp tọa độ trong không gian Oxyz

docx 89 trang hoanvuK 10/01/2023 2571
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Chuyên đề Phương pháp tọa độ trong không gian Oxyz", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docxchuyen_de_phuong_phap_toa_do_trong_khong_gian_oxyz.docx

Nội dung text: Chuyên đề Phương pháp tọa độ trong không gian Oxyz

  1. BÀI 1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN A. KIẾN THỨC SÁCH GIÁO KHOA CẦN NẮM I. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN 1. Hệ tọa độ Trong khơng gian, xét ba trục x Ox ; y Oy ; z Oz vuơng gĩc với nhau từng đơi một. Gọi i , j, klần lượt là các vectơ đơn vị các trục x Ox ; y Oy ; z Oz . Hệ ba trục như vậy gọi là hệ trục tọa độ Đề-các vuơng gĩc Oxyz trong khơng gian hay hệ tọa độ Oxyz . Điểm O được gọi là gốc tọa độ. 2 2 2 Chú ý: i j k 1 và i. j i.k k. j 0 . 2. Tọa độ của một điểm  a) Định nghĩa: M x; y; z OM x.i y. j z.k (x : hồnh độ, y : tung độ, z : cao độ) Chú ý: M Oxy z 0;M Oyz x 0;M Oxz y 0 M Ox y z 0;M Oy x z 0;M Oz x y 0 . b) Tính chất: Cho A xA; yA; zA  xB ; yB ; zB  AB xB xA; yB yA; zB zA  2 2 2 AB AB xB xA yB yA zB zA xA xB yA yB zA xB Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB: M ; ; 2 2 2 Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC: xA xB xC yA yB yC zA zB zC G ; ; 3 3 3 Toạ độ trọng tâm G của tứ diện ABCD: xA xB xC xD yA yB yC yD zA zB zC zD G ; ; 4 4 4 3. Tọa độ vectơ Định nghĩa:u x; y; z u x.i y. j z.k  Nhận xét: M x; y; z OM x; y; z II. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA PHÉP TỐN VECTƠ Định lý:Trong khơng gian Oxyz cho a a1;a2;a3 ;b b1;b2;b3 ;k R a b a1 b1;a2 b2;a3 b3
  2. ka k a1;a2;a3 ka1;ka2;ka3 Hệ quả: Trong khơng gian Oxyz cho a a1;a2;a3 ;b b1;b2;b3 ;k R a1 b1 a b a2 b2 a3 b3 0 0;0;0 ;i 1;0;0 ; j 0;1;0 ;k 0;0;1 ; a cùng phương b b 0 a kb k R a1 kb1 a1 a2 a3 a2 kb2 , b1,b2 ,b3 0 b1 b2 b3 a3 kb3 Cho hai điểm A xA; yA; zA  xB ; yB ; zB thì:    * AB OB OA xB xA; yB yA; zB zA xA xB yA yB zA zB *Tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB là M ; ; 2 2 2 III. TÍCH VƠ HƯỚNG 1. Biểu thức tọa độ của tích vơ hướng Định lý:Trong khơng gian Oxyz , tích vơ hướng của hai vectơ a a1;a2;a3 và b b1;b2;b3 được xác định bởi: a.b a1.b1 a2.b2 a3.b3 2. Ứng dụng a  b a1.b1 a2.b2 a3.b3 0 2 2 2 a a1 a2 a3 2 2 2 2 a a1 a2 a3 a.b a .b a .b a .b cos a,b 1 1 2 2 3 3 (với a,b 0 ) 2 2 2 2 2 2 a . b a1 a2 a3 . b1 b2 b3 IV. PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU Định lý: Trong khơng gian Oxyz , mặt cầu S tâm I a;b;c bán kính r cĩ phương trình là: 2 2 2 x a y b z c r 2 . Nhận xét: Phương trình mặt cầucịn cĩ thểviết dưới dạng: x2 y2 z2 2ax 2by 2cz d 0với d a2 b2 c2 r 2 r a2 b2 c2 d .
  3. V. TÍCH CĨ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ 1. Định nghĩa Trong khơng gian M a;b; c cho hai vectơ a a1;a2;a3 và b b1;b2;b3 . Tích cĩ hướng  a b của hai vectơ và kí hiệu là a,b , được xác định bởi  a a a a a a a,b 2 3 ; 3 1 ; 1 2 a b a b ;a b a b ;a b a b 2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 b2 b3 b3 b1 b1 b2 Chú ý: Tích cĩ hướng của hai vectơ là một vectơ, tích vơ hướng của hai vectơ là một số. 2. Tính chất a,b  a; a,b  b a,b b,a i, j k; j,k i; i,k j; ([Chươnga,b] a trình. b .si nnâng a,b cao) 3. Ứng dụng của tích cĩ hướng: (Chương trình nâng cao)   a,b c Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ: và đồng phẳng a,b .c 0   S AB,AD Diện tích hình bình hành ABCD : ABCD 1   Diện tích tam giác ABC : S AB,AC ABC 2    V AB, AD .AA' Thể tích khối hộp ABCDA'B'C 'D' : ABCDA'B'C 'D' 1    Thể tích tứ diện:ABCD V AB,AC .AD ABCD 6 Chú ý: – Tích vơ hướngcủa hai vectơ thường sử dụng để chứng minh hai đường thẳng vuơng gĩc, tính gĩc giữa hai đường thẳng. – Tích cĩ hướngcủa hai vectơ thường sử dụng để tính diện tích tam giác; tính thể tích khối tứ diện, thể tích hình hộp; chứng minh các vectơ đồng phẳng – khơng đồng phẳng, chứng minh các vectơ cùng phương. B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1: Các bài tốn liên quan tọa độ điểm, tọa độ của vectơ {Tìm tọa độ điểm, tọa độ vecto thỏa tính chất nào đĩ, tìm tọa độ trung điểm, trọng tâm, trực tâm, đỉnh của hình bình hành, đỉnh của một hình đa diện, } PHẦN 1: CÁC VÍ DỤ
  4. Ví dụ1. Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz , cho ba vectơ: a (2; 5;3) , b 0;2; 1 , c 1;7;2 .  Tìm tọa độ vectơ d a 4b 2c . Lời giải Ta cĩ: a 2; 5;3 4b 0;8; 4 2c 2;14;4  Suy ra: d a 4b 2c 2; 5;3 0;8; 4 2;14;4 2 0 2; 5 8 14;3 4 4  0; 27;3 . Vậy d 0; 27;3 . Ví dụ2. Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz , cho ba điểm A 1;2;4 , B 2; 1;0 ,C 2;3; 1 . 1/ Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành. 2/ Tìm tọa độ tâm I của hình bình hành ABCD . Lời giải xD xC xB xA 3   1/ Tứ giác ABCD là hình bình hành AD BC yD yC yB yA 6 D 3;6;3 zD zC zB zA 3 2/ Điểm I là tâm hình bình hành ABCD x x x A C I 2 yA yC 1 5 3 I là trung điểm của AC yI I ; ; . 2 2 2 2 zA zC zI 2 Ví dụ3. Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz , cho ba điểm A 1; 1;5 , B 3;4;4 ,C 4;6;1 . Tìm tọa độ điểm Mthuộc mặt phẳng Oxy và cách đều các điểm A, B, C ? Lời giải Gọi M x; y;0 Oxy , x, y ¡ ; x2 y2 0 là điểm cần tìm. AM 2 BM 2 Vì M cách đều A, B,C nên ta cĩ: MA MB MC 2 2 AM CM
  5. 2 2 2 2 2 2 x 1 y 1 0 5 x 3 y 4 0 4 2 2 2 2 2 2 x 1 y 1 0 5 x 4 y 6 0 1 4x 10y 14 0 2x 5y 7 x 16 . 2x 4y 12 0 x 2y 6 y 5 Vậy M 16; 5;0 . Ví dụ4. Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm K 2;4;6 , gọi K ' là hình chiếu vuơng gĩc của K trên trục Oz . Tìm tọa độ trung điểm của đoạn thẳng OK ' ? Lời giải Vì K ' là hình chiếu vuơng gĩc của K 2;4;6 lên trục Oz nên K ' 0;0;6 . Gọi I x1; y1; z 1 là trung điểm OK '. Suy ra I 0;0;3 . Ví dụ5. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyzcho A( 2;2; 1) , B 2;3;0 , C x;3; 1 . Tìm các giá trị của x để tam giác ABC đều? Lời giải Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB 5 1 2 1 Ta cĩ: M 2; ; ,AB 2 , CM (x 2) 2 2 2 Tam giác ABC đều khi và chỉ khi 3 2 1 6 2 x 1 CM AB (x 2) (x 2) 1 2 2 2 x 3 x 1 Vậy: là các giá trị cần tìm. x 3 VẬN DỤNG THẤP VÀ VẬN DỤNG CAO Ví dụ6. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC cĩ A 2;0; 3 , B 4;1; 1 ,C 4; 4;1 . Gọi D là chân đường phân giác trong gĩc A của tam giác ABC.Tìm tọa độ điểm D. Lời giải A B D C Theo tính chất phân giác trong, ta cĩ: DB AB  AB  DB DC 1 DC AC AC
  6. Mà: AB 3; AC 6 xC xD 2 xB xD   2 1 Từ 1 DC 2DB yC yD 2 yB yD D 4; ; . 3 3 zC zD 2 zB zD Ví dụ7. Cho hình hộp ABCD.A'B'C 'D'    1/ Chứng minh: AC ' CA' 2C 'C 0 2/ Cho A 1;0;1 , B 2;1;2 ,C ' 4;5; 5 , D 1; 1;1 . Tính tọa độ các đỉnh cịn lại của hình hộp. Lời giải         1/ Ta cĩ: AC ' AC CC ' ; CA' CC ' C ' A và C ' A' CA        Suy ra: AC ' CA' 2C 'C 2CC ' AC CA 2C 'C 0 (đpcm) 2/ Sử dụng cơng thức hai vecto bằng nhau ta được: C 2;0;2 , B' 4;6; 5 , A' 3;5; 6 , D' 3;4; 6 Ví dụ8. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác đều ABC cĩ A 5;3; 1 , B 2;3; 4 và điểm C nằm trong mặt phẳng Oxy cĩ tung độ nhỏ hơn 3 . 1/ Tìm tọa độ điểm C . 2/ Tìm tọa độ điểm D biết ABCD là tứ diện đều. Lời giải 1/ Vì C Oxy nên C x; y;0 .    Ta cĩ: AB 3;0; 3 , AC x 5; y 3;1 , BC x 2y; y 3;4 AB AC AB2 AC 2 Tam giác ABC đều nên 2 2 AC BC AC BC 2 2 x 5 y 3 1 18 x 1 x 1  . 2 2 2 2 y 4 y 2 x 5 y 3 1 x 2 y 3 16 Vì C cĩ tung độ nhỏ hơn 3 nên C 1;2;0 . 2/ Gọi D x; y; z .    Khi đĩ: AD x 5; y 3; z 1 ;BD x 2; y 3; z 4 ;CD x 1; y 2; z . Vì tam giác ABC đều nên tứ diện ABCD đều khi và chỉ khi AD BD CD AB 3 2
  7. x 5 2 y 3 2 z 1 2 x 2 2 y 3 2 z 4 2 2 2 2 2 2 2 x 5 y 3 z 1 x 1 y 2 z x 5 2 y 3 2 z 1 2 18 10 x 3 z 1 x z 1 x x 2 2 y 16 5x y 16 5x y 6  y . 3 2 2 2 3x2 16x 20 0 z 1 x 5 y 3 z 1 18 7 z 3 10 2 7 Vậy: D 2;6; 1  D ; ; . 3 3 3 PHẦN 2: CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 1. [2H3-1.1-1] Trong khơng gian Oxyz , gọi i, j,k là các vectơ đơn vị, khi đĩ với M x; y; z thì  OM bằng: A xB.i .C.y.j k z D xi y j k z x j yi k z xi y j k z Lời giải Chọn A  OM xi y j k z . Câu 2. [2H3-1.1-1] Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz , cho ba vectơ: a (2; 5;3) ,b 0;2; 1 ,  c 1;7;2 . Tọa độ vectơ d a 4b 2c là: A (B.0;.2C.7;. 3) D 1;2; 7 0; 27;3 0;27; 3 Lời giải Chọn C  Cĩ d a 4b 2c 2; 5;3 4 0;2; 1 2 1;7;2 2; 5;3 0;8; 4 2;14;4 2 0 2; 5 8 14;3 4 4 0; 27;3 .  Vậy d 0; 27;3 . Câu 3. [2H3-1.1-2] Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz , cho tam giác ABC với A 3; 2;5 , B 2;1; 3 và C 5;1;1 . Trọng tâm G của tam giác ABC cĩ tọa độ là:
  8. A GB. .2C.;0. ; 1 D G 2;1; 1 G 2;0;1 G 2;0;1 Lời giải Chọn D xA xB xC yA yB yC zA zB zC Tọa độ trọng tâm G ; ; G 2;0;1 . 3 3 3 Vậy G 2;0;1 . Câu 4. [2H3-1.1-2] Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hình bình hành OABD cĩ   OA 1;1;0 , OB 1;1;0 (O là gốc toạ độ) . Toạ độ tâm hình bình hành OABD là: 1 1 A B.1;0.C.;0. D ; ;0 1;0;1 1;1;0 2 2 Lời giải Chọn B  Ta cĩ OA 1;1;0 A 1;1;0 .  OB 1;1;0 B 1;1;0 . 1 1 Gọi I là tâm hình bình hành OABD. Suy ra I là trung điểm OB I ; ;0 . 2 2 Câu 5. [2H3-1.1-2]Cho điểm M 2;5;0 , hình chiếu vuơng gĩc của điểm M trên trục Oy là điểm A MB. .C. 0;. 5;0 D M 0; 5;0 M 2;5;0 M 2;0;0 Lời giải Chọn A Với M a;b;c hình chiếu vuơng gĩc của M lên trục Oy là M1 0;b;0 . Câu 6. [2H3-1.1-2] Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm K 2;4;6 , gọi K ' là hình chiếu vuơng gĩc của K trên trục Oz , khi đĩ trung điểm OK ' cĩ toạ độ là A B. 1;.0C.;0. D 0;0;3 0;2;0 1;2;3 Lời giải Chọn B Vì K ' là hình chiếu vuơng gĩc của K 2;4;6 lên trục Oz nên K ' 0;0;6 . Gọi I x1; y1; z 1 là trung điểm OK '. Suy ra I 0;0;3 . Câu 7. [2H3-1.1-2] Cho điểm M 1;2; 3 , hình chiếu vuơng gĩc của điểm M trên mặt phẳng Oxy là điểm A MB. .C. 0;.D.2; . 3 M 1;0; 3 M 1;2;0 M 1;2;3
  9. Lời giải Chọn C Với M a;b;c hình chiếu vuơng gĩc của M lên mặt phẳng Oxy là M1 a;b;0 . Câu 8. [2H3-1.1-2] Trong khơng gianOxyz , cho 2 điểm B(1;2; 3) ,C(7;4; 2) . Nếu E là điểm thỏa   mãn đẳng thức CE 2EB thì tọa độ điểm E là: 8 8 8 1 8 8 A B.3;.3C.; . D 3; ; 1;2; ;3; 3 3 3 3 3 3 Lời giải Chọn B 8 x 3   E(x; y; z) , từ CE 2EB y 3 . 8 z 3 Câu 9. [2H3-1.1-2] Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz , cho 3 điểm M 2;0;0 , N 0; 3;0 , P 0;0;4 . Nếu MNPQ là hình bình hành thì toạ độ của điểm Q là: A B. .2C.; . 3;4 D 3;4;2 2;3;4 2; 3; 4 Lời giải Chọn C   Ta cĩ: MN 2; 3;0 ,QP xQ ; yQ ; zQ 4 . 2 xQ xQ 2   Để tứ giác MNPQ là hình bình hành thì MN QP 3 yQ yQ 3 . 0 zQ 4 zQ 4 Câu 10. [2H3-1.1-2] Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz , cho A 1;0;0 , B 0;1;0 , C 0;0;1 , D 1;1;1 . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB,CD . Toạ độ điểm G là trung điểm MN là: 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 1 1 A B ;C.;. D ; ; ; ; ; ; 3 3 3 2 2 2 3 3 3 4 4 4 Lời giải Chọn B 1 1 Vì M là trung điểm của AB nên M ; ;0 . 2 2 1 1 N là trung điểm của CD nên N ; ;1 . 2 2 1 1 1 Do đĩ G ; ; . 2 2 2
  10. Câu 11. [2H3-1.1-1] Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz , vectơ đơn vị cùng hướng với vec tơ a (1;2;2) cĩ tọa độ là: 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 1 1 A B. . ; ; C. . D ; ; ; ; ; ; 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 Lời giải Chọn A 1 2 2 1 1 2 2 Ta thấy với u ; ; u 1 ; u a ; ; là vectơ đơn vị cùng hướng với a . 3 3 3 3 3 3 3 Câu 12. [2H3-1.1-2]Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm A(1;2; 1 ,) B(2; 1;3 ,) C( 2;3;3) . Điểm M a;b;c là đỉnh thứ tư của hình bình hành ABCM , khi đĩ P a2 b2 c2 cĩ giá trị bằng A.42 . B.43 . C. 44 . D.45 . Lời giải Chọn C M (x; y; z) , ABCM là hình bình hành thì x 1 2 2   AM BC y 2 3 1 M ( 3;6; 1) P 44 . z 1 3 3 Câu 13. [2H3-1.1-2]Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz , cho ba điểm A 2; 3;4 , B 1; y; 1 C x;4;3 . Để ba điểm A, B, C thẳng hàng thì tổng giá trị 5x + y là: A 42 B C 41 D 40 36 Lời giải Chọn B   Cĩ AB 1; y 3; 5 ; AC x 2;7; 1 .   1 y 3 5 Để ba điểm A, B, C thẳng hàng thì AB cùng phương AC . x 2 7 1 9 x ; y 32 5 5x + y = 41 Vậy 5x + y = 41 . Câu 14. [2H3-1.1-2] Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hai điểm A 1;1;0 , B 2;0; 3 . Điểm M 1 chia đoạn AB theo tỉ số k cĩ tọa độ là: 2 4 2 2 2 1 2 2 2 A MB C ; ; 1 D M ; ; 2 M ; ;1 M ; ; 2 3 3 3 3 3 3 3 3
  11. Lời giải Chọn A Giả sử M x; y; z là điểm cần tìm. 1  1  Vì M chia đoạn AB theo tỉ số k nên ta cĩ: MA MB . 2 2 1 4 1 x 2 x x 2 3 1 2 1 y 0 y y . 2 3 1 z 1 z 3 z 2 4 2 Vậy M ; ; 1 . 3 3 Câu 15. [2H3-1.1-2]Cho điểm M 3;2; 1 , điểm đối xứng của M qua mặt phẳng Oxy là điểm A MB. .C. 3;.D.2;0. M 3; 2; 1 M 3; 2;1 M 3;2;1 Lời giải Chọn D Với M a;b;c điểm đối xứng của M qua mặt phẳng Oxy là M a;b; c Câu 16. [2H3-1.1-3]Cho điểm M 3;2; 1 , điểm M a;b;c đối xứng của M qua trục Oy , khi đĩ a b c bằng A. .0B C D 4 6 2 Lời giải Chọn A Với M a;b;c điểm đối xứng của M qua trục Oy là M a;b; c M 3;2;1 a b c 0 . Câu 17. [2H3-1.1-3] Trong khơng gian Oxyz , cho tứ diện ABCD cĩ A(1;0;2), B( 2;1;3),C(3;2;4), D(6;9; 5) . Tìm tọa độ trọng tâm G của tứ diện ABCD 14 18 A.G 8;12;4 . B.G 2;3;1 . C.G 3;3; . D.G 9; ; 30 . 4 4 Lời giải Chọn B Câu 18. [2H3-1.1-3] Trong khơng gian Oxyz , cho hai điểm A(1;2;1), B(2; 1;2) . Điểm M trên trục Ox và cách đều hai điểm A, B cĩ tọa độ là 1 1 3 1 3 1 3 A MB C ;D.;. M ;0;0 M ;0;0 M 0; ; 2 2 2 2 2 2 2
  12. Lời giải Chọn C M Ox M a;0;0 . 2 2 M cách đều hai điểm A, B nên MA2 MB2 1 a 22 12 2 a 22 12 . 3 2a 3 a . 2 Câu 19. [2H3-1.1-4]Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz , cho ba điểm A 1; 1;5 , B 3;4;4 ,C 4;6;1 . Điểm M thuộc mặt phẳng (Oxy) và cách đều các điểm A, B, C cĩ tọa độ là: A MB C.16.; 5;0 D M 6; 5;0 M 6;5;0 M 12;5;0 Lời giải Chọn A Gọi M x; y;0 x, y ¡ ; x2 y2 0 là điểm cần tìm. Vì M cách đều A , B , C nên ta cĩ: MA MB MC x 1 2 y 1 2 0 5 2 x 3 2 y 4 2 0 4 2 x 4 2 y 6 2 0 1 2 2x 2y 27 6x 8y 41 8x 12y 53 4x 10y 14 0 2x 5y 7 x 16 Vậy M 16; 5;0 . 2x 4y 12 0 x 2y 6 y 5 Câu 20. [2H3-1.1-4] Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz , cho A 2;1; 1 , B 3;0;1 ,C 2; 1;3 điểm D thuộc Oy và thể tích của tứ diện ABCD bằng 5. Toạ độ của D là: 0; 7;0 0; 8;0 A B.0;. C.7;. 0 D 0;8;0 0;8;0 0;7;0 Lời giải Chọn C   Điểm D thuộc trục Oy cĩ tọa độ D(0; y0;0) . Ta cĩ AB 1; 1;2 , AC 0; 2;4 và  AD 2; y0 1;1 . Dễ thấy   1 2 2 1 1 1 AB, AC ; ; 0; 4; 2 , 2 4 4 0 0 2 1    1 5 V AB, AC .AD 2 4y , ABCD 6 6 0 nên y0 7 hoặc y0 8 .
  13. Dạng 2: Tích vơ hướng và các ứng dụng của tích vơ hướng { Tích vơ hướng hai vt, gĩc giữa hai vt, độ dài vt, độ dài đường trung tuyến, phân giác,đường cao, diện tích tam giác, chu vi tam giác } PHẦN 1: CÁC VÍ DỤ Ví dụ 1. Trong khơng gian m cho tam giác ABC cĩ A 2; 1;3 , B 3;0; 2 ,C 5; 1; 6 .Tính cos B· AC Lời giải   Ta cĩ: AB 1;1; 5 ; AC 3;0; 9     AB.AC 16 8 30 Suy ra: cos B· AC cos AB; AC . AB.AC 3 30 45 Ví dụ 2. Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz , cho tam giác ABC biết A 1;2;3 , B đối xứng với A qua mặt phẳng (Oxy ), C đối xứng với B qua gốc tọa độ O. Tính diện tích tam giác ABC ? Lời giải Theo đề bài: B đối xứng với A qua mặt phẳng (Oxy ) B(1;2; 3) C đối xứng với B qua gốc tọa độ O C( 1; 2;3)   1   AB (0;0; 6); AC ( 2; 4;0) S AB; AC 6 5 . ABC 2 Ví dụ 3. Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz , cho tam giác ABC cĩ A 2;0;0 , B 0;3;1 , C 3;6;4 . Gọi M là điểm trên cạnh BC sao cho MC 2MB . Tính độ dài đoạn thẳng.AM Lời giải   Vì điểm M thuộc cạnh BC nên MC 2MB , suy ra tọa độ điểm M là x ( 2)x x C B 1 M 1 ( 2) yC ( 2)yB yM 4 . 1 ( 2) zC ( 2)zB zM 2 1 ( 2) Vậy độ dài AM bằng: 2 2 2 2 2 2 xM xA yM yA (zM zA ) 1 2 4 0 (2 0) 29 . Ví dụ 4.Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai vecto a,b thỏa mãn a;b 1200; a 2; b 3 1) Tính a 2b . 2) Tính gĩc giữa hai vecto a và x 3a 2b . Lời giải
  14. 1) Ta cĩ: a.b a . b .cos a;b 3 2 2 2 a 2b a 4a.b 4b 52 a 2b 2 13 . 2 2 2) Ta cĩ: a.x a a 2b a 2a.b 6 và x 3a 2b 6 . a.x 1 cos a; x a; x 600 . a . x 2 Ví dụ 5.Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho A( 2;2; 1) , B 2;3;0 , C x;3; 1 . Tìm các giá trị của x để tam giác ABC đều? Lời giải Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB . 5 1 2 1 Ta cĩ: M 2; ; ,AB 2 , CM (x 2) . 2 2 2 Tam giác ABC đều khi và chỉ khi 3 2 1 6 2 x 1 CM AB (x 2) (x 2) 1 . 2 2 2 x 3 x 1 Vậy: là các giá trị cần tìm. x 3 Ví dụ 6.Trong khơng gian m , cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C 'D'cĩ đỉnh A trùng với gốc O , B a;0;0 , D 0;a;0 , A' 0;0;b a,b 0 . Gọi M là trung điểm của cạnh CC ' .Tính thể tích của khối tứ diện BDA'M . Lời giải b Ta cĩ : C a;a;0 ,C ' a;a;b M a;a; . 2  BD a;a;0   ab ab  2  b BD, BM ; ; a ; BA' a;0;b BM 0;a; 2 2 2    3a2b BD, BM .BA' 2 1    a2b Vậy thể tích của khối tứ diện BDA'M là: V BD, BM .BA' . BDA'M 6 4 PHẦN 2: CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 1. [2H3-1.2-1]Tích vơ hướng của hai vectơ a 2;2;5 ,b 0;1;2 trong khơng gian bằng: A 1B.0 .C D 12 13 14
  15. Lời giải Chọn B Câu 2. [2H3-1.2-1]Trong khơng gian cho hai điểm A 1;2;3 , B 0;1;1 , độ dài đoạn AB bằng A B.6.C D 8 10 12 Lời giải Chọn A  2 2 2 2 2 2 AB xB xA yB yA zB zA 0 1 1 2 1 3 6 . Câu 3. [2H3-1.2-1]Cho điểm M 1;2; 3 , khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng Oxy bằng A B.1.4C D 3 1 2 Lời giải Chọn B Với M a;b;c d M , Oxy c 3 . Câu 4. [2H3-1.2-1]Cho điểm M 2;5;0 , khoảng cách từ điểm M đến trục Ox bằng A.25.B.5.C. 4.D. 0. Lời giải Chọn B Với M a;b;c d M ,Ox b2 c2 52 02 5 Câu 5. [2H3-1.2-2] Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz , cho ba vectơ a 1;1;0 ,b 1;10 ,c 1;1;1 . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai ? A B.a . C 2 D c 3 a  b c  b Lời giải Chọn D a ( 1)2 12 0 2 . c 12 12 12 3 . a.b 1 .1 1.1 0.0 0 a  b . b.c 1.1 1.1 0.1 2 . Câu 6. [2H3-1.2-2] Cho 3 điểm A 1;2;0 , B 1;0; 1 , C 0; 1;2 . Tam giác ABC là A.Tam giác cĩ ba gĩc nhọn. B. Tam giác cân đỉnh A . C. Tam giác vuơng đỉnh A .D. Tam giác đều. Lời giải
  16. Chọn A     AB (0; 2; 1); AC ( 1; 3;2) . Ta thấy AB.AC 0 ABC khơng vuơng.   AB AC ABC khơng cân. Câu 7. [2H3-1.2-1] Gọi là gĩc giữa hai vectơ a và b , với a và b khác 0 , khi đĩ cos bằng: a b a.b a.b a.b A B. .C. .D a . b a . b a . b a . b Lời giải Chọn D Câu 8. [2H3-1.2-2] Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz , cho ba vectơ a 1;1;0 ,b 1;10 ,c 1;1;1 . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng ? 2 A aB c 1cùng phương .C a D c cos b,c a b c 0 6 Lời giải Chọn C a.c 1.1 1.1 0.1 0 a  c. Nên đáp án A và B sai. a b c 1;3;1 0. 1.1 1.1 0.1 2 cos b,c . 1 1. 1 1 1 6 Câu 9. [2H3-1.2-2] Trong khơng gian Oxyz cho ba điểm A 1;2;0 , B 1;1;3 ,C 0; 2;5 . Để 4 điểm A, B,C, D đồng phẳng thì tọa độ điểm D là A DB. .1C.; . 1;6 D D 1;2;3 D 0;3;0 D 0;0;2 Lời giải Chọn C Xét D 2;5;0 . D 1; 1;6    Ta cĩ: AB 2; 1;3 ; AC 1; 4;5 . AD 1;1;0   Do đĩ: AB, AC 7;7;7 ;    Suyra : AB, AC .AD 0 . Câu 10. [2H3-1.2-2] Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz , cho tứ diện ABCD biết A 2; 1;6 , B 3; 1; 4 , C 5; 1;0 , D 1;2;1 . Độ dài đường cao AH của tứ diện ABCD là: A 9B C D 7 6 5 Lời giải
  17. Chọn D    Cĩ BC 8;0;4 ;BD 4;3;5 ;BA 5;0;10      BC, BD 12; 24;24 ; BC, BD .BA 180 1    V . BC, BD .BA 30 ABCD 6 1   1 2 2 S . BC, BD . 12 24 242 18 ABC 2 2 1 3.VABCD Mà VABCD .AH.S BCD AH 5 3 S BCD Vậy AH 5 . Câu 11. [2H3-1.2-2] Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz , cho tam giác ABC cĩ A 2;0;0 , B 0;3;1 , C 3;6;4 . Gọi M là điểm trên cạnh BC sao cho MC 2MB . Độ dài đoạn AM bằng A 3 3 B C 2 7 D 29 30 Lời giải Chọn C   Vì điểm M thuộc cạnh BC nên MC 2MB , suy ra tọa độ điểm M là x ( 2)x x C B 1 M 1 ( 2) yC ( 2)yB yM 4 . 1 ( 2) zC ( 2)zB zM 2 1 ( 2) 2 2 2 2 2 2 Vậy AM xM xA yM yA (zM zA ) 1 2 4 0 (2 0) 29 . Câu 12. [2H3-1.2-2] Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz , cho ba điểm A 2;2;1 , B 1;0;2 và C 1;2;3 . Diện tích tam giác ABC là: 3 5 5 A B C D 3 5 4 5 2 2 Lời giải Chọn A   Cĩ AB 3; 2;1 ; AC 1;0;2   AB, AC 4; 5;2 1   1 2 2 3 5 S . AB, AC 4 5 22 . ABC 2 2 2
  18. 3 5 Vậy S . ABC 2 Câu 13. [2H3-1.2-2] Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz , cho tam giác ABC cĩ A 1;0;1 , B 0;2;3 , C 2;1;0 . Độ dài đường cao của tam giác kẻ từ C là: 26 26 A B.2.6C D 26 2 3 Lời giải Chọn C   AB 1;2;2 , AC 1;1; 1   AB, AC 26 Độ dài đường cao kẻ từ C của tam giác ABC là :d C, AB  . AB 3 Câu 14. [2H3-1.2-2] Cho A 1; 2;0 , B 3;3;2 ,C 1;2;2 , D 3;3;1 . Thể tích của tứ diện ABCD bằng A. .3B C D 4 5 6 Lời giải Chọn A    Tính AB 2;5;2 , AC 2;4;2 , AD 2;5;1 . 1    V AB, AC .AD 3 . 6 Câu 15. [2H3-1.2-2] Trong khơng gian Oxyz cho tứ diện ABCD . Độ dài đường cao vẽ từ D của tứ diện ABCD cho bởi cơng thức nào sau đây:       AB, AC .AD 1 AB, AC .AD A h   B h   3 AB.AC AB.AC       AB, AC .AD AB, AC .AD 1 C hD. .   h   3 AB.AC AB.AC Lời giải Chọn A    1 1   1    AB, AC .AD Vì V h. AB.AC AB, AC .AD nên h   . ABCD 3 2 6 AB.AC Câu 16. [2H3-1.2-2] Trong khơng gian tọa độ Oxyz , cho bốn điểm A 1; 2;0 , B 3;3;2 ,C 1;2;2 , D 3;3;1 . Độ dài đường cao của tứ diện ABCD hạ từ đỉnh D xuống mặt phẳng ABC là
  19. 9 9 9 9 A B C D 2 7 7 2 14 Lời giải Chọn C    Tính AB 2;5;2 , AC 2;4;2 , AD 2;5;1 1    V AB, AC .AD 3 6 1 1   V B.h , với B S AB, AC 7 2 , h d D, ABC 3 ABC 2 3V 3.3 9 h . B 7 2 7 2    AB, AC .AD 18 9 h   . 14 2 7 2 áp dụng cơng thức ở câu trên ta được: AB.AC Câu 17. [2H3-1.2-3] Cho hai vectơ a và b tạo với nhau gĩc 600 và a 2; b 4 . Khi đĩ a b bằng A 2B 7C D 2 3 2 5 2 Lời giải Chọn A 2 2 2 Ta cĩ a b a b 2 a b .cos a,b 4 16 8 28 a b 2 7 . Câu 18. [2H3-1.2-3] Cho u 1;1;1 và v 0;1;m . Để gĩc giữa hai vectơ u,v cĩ số đo bằng 450 thì m bằng A 1B. .C.3.D 3 2 3 3 Lời giải Chọn C m 1 1.0 1.1 1.m 1 2 cos 2 m 1 3 m 1 2 m 2 3 2 2 3. m 1 2 3 m 1 2 m 1 . 2 Câu 19. [2H3-1.2-3] Cho a 2; b 5, gĩc giữa hai vectơ a và b bằng , u ka b;v a 2b. Để 3 u vuơng gĩc với v thì k bằng 6 45 6 45 A B C D 45 6 45 6 Lời giải Chọn D
  20. 2 u.v ka b a 2b 4k 50 2k 1 a b cos 0 . 3 45 6k 45 0 k . 6 Câu 20. [2H3-1.2-3] Trong khơng gian với hệ toạ độO xyz ,cho tam giác ABC cĩ A 1;2; 1 , B 2; 1;3 ,C 4;7;5 . Độ dài đường phân giác trong của gĩc B là: 2 74 3 76 A B.2 .C.74. D 3 76 3 2 Lời giải Chọn B Gọi D là chân đường phân trong của gĩc B thuộc tam giác ABC, khi đĩ ta cĩ tỷ lệ:  DA BA 1 2 11  8 14 2 74  D ; ;1 BD ; ; 2 BD . DC BC 2 3 3 3 3 3 2 74 Vậy BD . 3  Câu 21. [2H3-1.2-3] Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz , cho tam giác ABC cĩ AB ( 3;0;4) ,  AC (5; 2;4) . Độ dài trung tuyến AM là: A 2 3 B C 4 2 D 3 2 5 3 Lời giải Chọn C     1   1   1  1  Ta cĩ:AM AB BM AB BC AB BA AC AB AC . 2 2 2 2   AM 1; 1;4 AM 12 1 2 42 18 3 2 . Câu 22. [2H3-1.2-4] Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hình chĩp S.OAMN với S 0;0;1 , A 1;1;0 ,M m;0;0 , N 0;n;0 , trong đĩ m 0,n 0 và m n 6 . Thể tích hình chĩp S.OAMN là: A 1B C D 2 4 6 Lời giải Chọn A    Cĩ OA 1;1;0 ,OM m;0;0 ,ON 0;n;0
  21. 1   1 S OA,OM m OAM 2 2 1   1 S OA,ON n OAN 2 2 1 1 S S S m n .6 3 OAMN OAM OAN 2 2 1 1 VS.OAMN .d S, OAMN .SOAMN .1.3 1. 3 3 Dạng 3: Xác định phương trình mặt cầu, tìm các thuộc tính của mặt cầu {các bài tốn tìm tâm I, bán kính R, xác định xem một phương trình cĩ phải là phương trình mặt cầu hay khơng, tìm điều kiện (cĩ chứa tham số m) để một phương trình là phương trình mặt cầu, các bài tốn về họ mặt cầu, bài tốn quỹ tích .} PHẦN 1: CÁC VÍ DỤ Ví dụ1. Xác định tọa độ tâm I, bán kính R của mặt cầu S : x2 y2 z2 2x 4y 6z 5 0 ? Lời giải Mặt cầu S cĩ tâm I 1;2;3 , bán kính R 3 . Ví dụ2. Cho mặt cầu S :(x 1)2 y2 (z 2)2 9 . Chứng minh rằng:Mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng P :2x 2y z 5 0 . Tìm tọa độ tiếp điểm M . Lời giải Mặt cầu S cĩ tâm I 1; 0; 2 , bán kính R 3 . 2 0 2 5 Ta cĩ d(I; (P)) 3 R nên mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu. 22 22 12 Tiếp điểm M là hình chiếu của I trên mặt phẳng P .  Gọi M x; y; z thì IM x 1; y; z 2 nên  x 1 y z 3 IM t.n(P) 11 20 17 2 2 1 M ; ; . M P 9 9 9 2x 2y z 5 0 Ví dụ3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho bốn điểm A 3;3;0 , B 3;0;3 ,C 0;3;3 , D 3;3;3 . Tìm tọa độ tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC . Lời giải     Ta cĩ: AB 0; 3;3 , AC 3;0;3 AB, AC 9; 9; 9 n 1;1;1 là VTPT của ABC . Suy ra phương trình ABC : x y z 6 0 . Gọi I a;b;c là tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC
  22. I ABC a b c 6 0 Suy ra IA IB b c 0 a b c 2 . Vậy I 2;2;2 . IB IC a b 0 Ví dụ4. Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng P cĩ phương trình : 2x 2y z 4 0 và mặt cầu S : x2 y2 z2 2x 4y 6z 11 0 . Chứng minh rằng mặt phẳng P cắt mặt cầu S theo một đường trịn. Xác định toạ độ tâm và tính bán kính của đường trịn đĩ. Lời giải Mặt cầu S cĩ tâm I 1;2;3 , bán kính R 5 . 2 4 3 4 Khoảng cách từ I đến P : d I, P 3 R 3 Suy ra mặt phẳng P cắt mặt cầu S theo một đường trịn. Gọi H, r lần lượt là tâm và bán kính đường trịn đĩ, suy ra H là hình chiếu vuơng gĩc của I lên mặt phẳng P nên tọa độ của H là nghiệm của hệ: x 1 2t x 3 y 2 2t 2 2 y 0 H (3;0;2) . Bán kính r R IH 4 . z 3 t z 2 2x 2y z 4 0 2 2 2 Ví dụ5. Cho mặt phẳng P : 2x 2y z m2 3m 0 và mặt cầu S : x 1 y 1 z 1 9 . Tìm m để mặt phẳng P tiếp xúc với mặt cầu S . Với m vừa tìm được hãy xác định tọa độ tiếp điểm. Lời giải Mặt cầu S cĩ tâm I 1; 1;1 , bán kính R 3 . Gọi là đường thẳng đi qua I , vuơng gĩc với P . x 1 y 1 z 1 Suy ra phương trình : . 2 2 1 m2 3m 1 Mặt phẳng P tiếp xúc với mặt cầu S d I, P R 3 3 m2 3m 10 0 m 5,m 2 . 2 m 3m 8 0 VN Khi đĩ P : 2x 2y z 10 0 . Tọa độ tiếp điểm A là nghiệm của hệ: x 1 y 1 z 1 2 2 1 , giải hệ này ta được x 3, y 1, z 2 A 3;1;2 . 2x 2y z 10 0 PHẦN 2: CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
  23. Câu 1. [2H3-1.3-1] Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , mặt cầu 2 2 2 S : x 1 y 2 z 1 16 cĩ tọa độ tâm I và tính bán kính R là: A. I 1;2;1 và R 4 . B. I 1; 2; 1 và R 4 . C. I 1;2;1 và R 16 .D. và . I 1; 2; 1 R 16 Lời giải Chọn A Tâm I 1;2;1 và bán kính R 4 . Câu 2. [2H3-1.3-1] Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , mặt cầu cĩ phương trình x 2 y 2 z 2 8x 10y 8 0 cĩ tâm I và bán kính R lần lượt là: A. I 4; 5;4 và R 57 . B. I 4; 5;4 và R 7 . C. I 4;5;0 và R 7 .D. và . I 4; 5;0 R 7 Lời giải Chọn D Mặt cầu cĩ tâm I 4; 5;0 , bán kính R 7 . Câu 3. [2H3-1.3-1] Biểu thức nào sau đây khơng là phương trình mặt cầu. A x 2 y2 z2 100 0 B 3x2 3y2 3z2 48y 36y 297 0 2 2 2 C xD.2 . y2 z2 12y 16y 100 0 x 1 y 2 z 2 9 0 Lời giải Chọn C 2 Vì 6 0 42 0 . Câu 4. [2H3-1.3-2] Cho mặt phẳng : 4x 2y 3z 1 0 và mặt cầu S : x2 y2 z2 2x 4y 6z 0 . Khi đĩ mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai: A. cĩ điểm chung với (S). B. cắt (S) theo một đường trịn. C. tiếp xúc với (S). D. đi qua tâm của (S). Lời giải Chọn C Mặt cầu S cĩ tâmI 1; 2; 3 , bán kínhR 14 . Ta cĩ: d I, 0 R nên cắt (S) theo một đường trịn. Tâm I 1; 2; 3 thuộc mặt phẳng .
  24. Câu 5. [2H3-1.3-2] Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz , tọa độ tâm và bán kính của đường trịn giao tuyến của mặt phẳng 2x 2y z 9 0 và mặt cầu x2 y2 z2 6x 4y 2z 86 0 là: A. I 1;2;3 và r 8 . B. I 1;2;3 và r 4 . C. I 1; 2;3 và r 2 .D. và . I 1;2; 3 r 9 Lời giải Chọn A Do bốn đáp án là khác nhau về bán kính nên ta chỉ tính bán kính cho đơn giản. Mặt cầu cĩ tâm O 3; 2;1 , bán kính là R 10 . Khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng là : 2 3 2. 2 1 9 d 6 . 22 2 2 1 2 Vậy bán kính đường trịn giao tuyến là : r R2 d 2 8 . Câu 6. [2H3-1.3-2] Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt cầu S : x2 y2 z2 2x 4y 6z 5 0 và mặt phẳng : 2x y 2z 1 0 . Mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu S tại điểm M cĩ tọa độ là: A B.1;1.C.;1 . D 1;2;3 3;3; 3 2;1;0 Lời giải Chọn A Mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu S tại điểm M tọa độ M thỏa và S . Lần lượt thế tọa độ M ở 4 phương án vào và S thì chỉ cĩ phương án A thỏa vì 2.1 1 2.1 1 0 và 12 12 12 2.1 4.1 6.1 5 0. Câu 7. [2H3-1.3-2] Phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu ? A xB.2 . y2 z2 2x 0 x2 y2 z2 2x y 1 0 2 2 C 2D.x2. 2y2 x y z2 2x 1 x y 2xy z2 1 Lời giải Chọn A x 1 t Câu 8. [2H3-1.3-2] Cho các điểm A 2;4;1 , B 2;0;3 và đường thẳng d : y 1 2t . Gọi S là z 2 t mặt cầu đi qua A, B và cĩ tâm thuộc đường thẳng d . Bán kính mặt cầu S bằng: A.3 3. B.6. C.3. D. 2 3. Lời giải
  25. Chọn A Tâm I d I 1 t;1 2t; 2 t .    AI 3 t; 3 2t; 3 t ; BI 1 t;1 2t; 5 t Vì S đi qua A, B nên ta cĩ IA IB IA2 IB2 3 t 2 3 2t 2 3 t 2 1 t 2 1 2t 2 5 t 2  4t 0 t 0 IA 3; 3; 3 2 2 Vậy bán kính mặt cầu S : R IA 32 3 3 3 3. Câu 9. [2H3-1.3-2] Cho mặt phẳng P và mặt cầu (S) cĩ phương trình lần lượt là P : 2x 2y z m2 4m 5 0; (S) : x2 y2 z2 2x 2y 2z 6 0 . Giá trị của m để P tiếp xúc (S) là: A. mhoặc 1 m .B. hoặc5 . m 1 m 5 C. m 1 .D. . m 5 Lời giải Chọn B  (S) : x2 y2 z2 2x 2y 2z 6 0 cĩ tâm I 1; 1;1 và bán kính R 3 .  tiếpP xúc (S) d I; P R 2.1 2.( 1) 1.1 m2 4m 5 3 m2 4m 4 9 22 22 12 m2 4m 4 9 m 1 m2 4m 5 0 . 2 m 4m 4 9 m 5 x 2 y 2 z 3 2 Câu 10. [2H3-1.3-2] Cho đường thẳng d : và mặt cầu (S) :x2 y2 z 2 9 . 2 3 2 Tọa độ giao điểm của và S là: A AB. 0;0;2 , B . 2;2; 3 A 2;3;2 C AD. 2;2 ;và 3 ( S) khơng cắt nhau. Lời giải Chọn C Tọa độ giao điểm là nghiệm hệ phương trình:
  26. x 2 2t y 2 3t t 0 A 2;2; 3 . z 3 2t 2 2 2 x y z 2 9 Câu 11. [2H3-1.3-2] Cho các điểm A 2;1; 1 và B 1;0;1 . Mặt cầu đi qua hai điểm A, B và tâm thuộc trục Oy cĩ đường kính là: A 2B 2C D 6 4 2 2 6 Lời giải Chọn D Gọi I 0;t;0 trên Oy vì IA IB t 2 I 0;2;0 R IA 6 đường kính bằng .2 6 Câu 12. [2H3-1.3-2] Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz , mặt cầu tâm I 6;3; 4 tiếp xúc với trục Ox cĩ bán kính là: A.5.B.4.C.2.D 5 Lời giải Chọn A Gọi H là hình chiếu của tâm I lên trục Ox. H Ox H 6;0;0 .  Vậy mặt cầu cĩ bán kính : R IH 02 3 2 42 5 . Câu 13. [2H3-1.3-2] Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz , bán kính của mặt cầu tâm I 3;3; 4 và tiếp xúc với trục Oy bằng: 5 A.4.B.5.C D 5 2 Lời giải Chọn B  Gọi I là hình chiếu của I lên Oy . I 0;3;0 R II 3 2 02 42 5 . Câu 14. [2H3-1.3-3] Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz , bán kính của mặt cầu tâm I 1;3;5 và tiếp x t xúc với đường thẳng d : y 1 t là : z 2 -t A B.714.C. .D.7. 14 Lời giải Chọn C
  27.  M 0 d M 0 0; 1;2 ;VTCP a 1; 1; 1    M I, a M 0I 1;4;3 0  d I;d  14 a 1; 1; 1 a Câu 15. [2H3-1.3-2] Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz , cho S là mặt cầu tâm I 2;1; 1 và tiếp xúc với mặt phẳng P : 2x 2y z 3 0 . Bán kính S là: 2 2 4 A B C D 2 9 3 3 Lời giải Chọn D 2.2 2.1 1 3 R d I; P 2. 4 4 1 Câu 16. [2H3-1.3-3] Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxy ,z mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABC vớiD A 1;0;0 , B 0;1;0 , C 0;0;1 , D 1;1;1 cĩ bán kính là: 3 3 A B C D 2 3 2 4 Lời giải Chọn A Gọi phương trình mặt cầu S ngoại tiếp tứ diện ABCD cĩ dạng: x2 y2 z2 2ax 2by 2cz d 0 a2 b2 c2 d 0 . Vì A 1;0;0 , B 0;1;0 , C 0;0;1 , D 1;1;1 thuộc mặt cầu S nên ta cĩ hệ phương trình: 1 a 2 2 2 2 1 0 0 2a.1 2b.0 2c.0 d 0 2a d 1 2 2 2 1 0 1 0 2a.0 2b.1 2c.0 d 0 2b d 1 b 2 . 2 2 2 2c d 1 0 0 1 2a.0 2b.1 2c.1 d 0 1 2 2 2 c 1 1 1 2a.1 2b.1 2c.1 d 0 2a 2b 2c d 3 2 d 0 2 2 2 1 1 1 3 R . 2 2 2 2 Câu 17. [2H3-1.3-3] Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz , với giá trị nào của m thì phương trình x2 y2 z2 2mx 2 m 1 y 4z 5m 0 là phương trình mặt cầu ? 5 5 A mB. .C.1. m 3 D 1 m m 3 m 1 m 2 2 Lời giải Chọn D
  28. Phương trình đã cho là phương trình mặt cầu khi m 1 2 2 2 2 m m 1 2 5m 0 2m 7m 5 0 5 . m 2 Câu 18. [2H3-1.3-3] Biết điểm A thuộc mặt cầu S : x2 y2 z2 2x 2z 2 0 sao cho khoảng cách từ A đến mặt phẳng P :2x 2y z 6 0 lớn nhất . Khi đĩ tọa độ điểm A là: 1 4 2 7 4 1 1 4 5 A. . 1;0; 3 B. ; . C ; D. . ; ; ; ; 3 3 3 3 3 3 3 3 3 Lời giải Chọn C Tự luận: Mặt cầu cĩ tâm I 1;0; 1 , bán kính R 2 d I, P 3 R nên mặt phẳng P và mặt cầu S khơng cĩ điểm chung. x 1 2t Gọi d là đường thẳng qua I và vuơng gĩc với P , d : y 2t z 1 t 7 4 1 1 4 4 giao điểm của d và S là hai điểm cĩ tọa độ ; ; , ; ; . Vì khoảng cách từ 3 3 3 3 3 3 7 4 1 A đến P lớn nhất nên A ; ; . 3 3 3 1 4 2 Trắc nghiệm:Thử 4 phương án thấy điểm cĩ tọa độ ; ; khơng thuộc mặt cầu S nên 3 3 3 loại. 5 Khoảng cách từ điểm 1;0; 3 đến P là: . 3 7 4 1 13 Khoảng cách từ điểm ; ; đến P là: . 3 3 3 3 1 4 5 1 Khoảng cách từ điểm ; ; đến P là: . 3 3 3 3 2 2 Câu 19. [2H3-1.3-4] Cho điểm A 2;1;2 và mặt cầu S : x2 y 1 z 1 9 mặt phẳng P đi qua A và cắt S theo thiết diện là đường trịn cĩ bán kính nhỏ nhất. Bán kính nhỏ nhất đĩ là: 3 1 A. 3.B.2. C. . D. . 2 2 Lời giải Chọn B Mặt cầu S cĩ tâm I 0;1;1 , bán kính R 3 . Dễ thấy điểm A nằm trong mặt cầu nên mặt phẳng P cần tìm đi qua A và vuơng gĩc với IA .
  29. Do đĩ : P :2x z 6 0 . Bán kính đường trịn là : r R2 IA2 9 5 2 . Câu 20. [2H3-1.3-4] Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz , cho tứ diện ABCD với A 1; 2; 1 , B 5;10; 1 ,C 4;1; 1 , D 8; 2;2 . Tâm I của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là: A B. 2.C.;3;.D. 5. 2; 4;3 2;4;5 1; 3;4 Lời giải Chọn C Gọi I(a;b;c) là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD , ta cĩ:  IA 1 a; 2 b; 1 c IA2 1 a 2 2 b 2 1 c 2  IB 5 a;10 b; 1 c IB2 5 a 2 10 b 2 1 c 2  IC 4 a;1 b; 1 c IC 2 4 a 2 1 b 2 1 c 2  ID ( 8 a; 2 b;2 c) IA2 ( 8 a)2 ( 2 b)2 (2 c)2 I a;b;c là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD 2 2 IA IB 12a 24b 120 a 2 2 2 IA IC 6a 6b 12 b 4 I 2;4;5 2 2 18a 6c 66 c 5 IA ID Vậy I( 2;4;5) . Cách 2: Phương trình mặt cầu cĩ dạng S : x2 y2 z2 2ax 2by 2cz d 0 , a2 b2 c2 d 0 Thay tọa độ A, B,C, D vào S ta được 4 phương trình. Sử dụng MTCT giải hệ phương trình 4 ẩn a,b,c,d . Lúc đĩ I a,b,c .
  30. Dạng 4: Viết phương trình mặt cầu {Viết phương trình mặt cầu biết tâm và bán kính, biết tâm và đi qua điểm, biết đường kính, mặt cầu đi qua 2 điểm và cĩ tâm thuộc trục tọa độ, mặt cầu đi qua 3 điểm cĩ tâm thuộc mặt phẳng tọa độ, mặt cầu đi qua 3 điểm và cĩ bán kính, mặt cầu ngoại tiếp tứ diện,. mặt cầu cĩ tâm và tiếp xúc với trục tọa độ, cĩ tâm và tx với mặt phẳng tọa độ, cĩ tâm và tiếp xúc với mặt cầu khác, } PHẦN 1: CÁC VÍ DỤ Ví dụ1. Lập phương trình mặt cầu S biết mặt cầu S cĩ tâm I 1;2;3 bán kính R 5 . Lời giải Phương trình mặt cầu S : (x 1)2 (y 2)2 (z 3)2 5 . Ví dụ2. Mặt cầu S cĩ tâm nằm trên Ox và đi qua A 1;2;1 , B 3;1; 2 Lời giải Gọi I là tâm mặt cầu. Vì I Ox I x;0;0 . 2 2 2 Ta cĩ IA2 IB2 x 1 22 12 x 3 12 2 x 2 . Suy ra tâm I 2;0;0 và bán kính R2 IB2 6 . Vậy phương trình mặt cầu (S) : (x 2)2 y2 z2 6 . Ví dụ3. Cĩ tâm I 6;3; 4 và tiếp xúc với Oy . Lời giải Vì mặt cầu S tiếp xúc với Oy nên suy ra R d I,Oy 3 . 2 2 2 Vậy phương trình S : x 6 y 3 z 4 9 . Ví dụ4. Cĩ tâm I 1;1;2 và tiếp xúc với mp P : x 2y 2z 1 0 . Lời giải 1 2 4 1 8 Ta cĩ, bán kính mặt cầu R d I, P . 12 22 22 3 2 2 2 64 Vậy phương trình mặt cầu S : x 1 y 1 z 2 . 9 x 2 y 1 z 1 Ví dụ5. Cĩ tâm nằm trên đường thẳng d : và tiếp xúc với hai mặt phẳng 3 2 2 P : x 2y 2z 2 0 và Q : x 2y 2z 4 0 . Lời giải Vì mặt cầu S cĩ tâm I d I 2 3t;1 2t;1 2t . Mặt cầu S tiếp xúc với hai mp P và Q nên d I, P d I, Q R
  31. 2 3t 6 3t 4 11 11 2 2 3t 6 3t t I 2; ; và R . 3 3 3 3 3 3 2 2 2 11 11 4 Vậy phương trình mặt cầu S : x 2 y z . 3 3 9 x 2 y 3 z Ví dụ6. Mặt cầu cĩ tâm I 1;3;5 và cắt : tại hai điểm A, B sao cho AB 12 1 1 1 Lời giải Đường thẳng qua điểm M 2; 3; 0 và cĩ véc tơ chỉ phương là u 1; 1; 1 .   Ta cĩ IM 1; 6; 5 nên IM , u 1; 4; 5 , do đĩ  IM , u 2 2 2 1 4 5 d I, 14 . u 2 2 2 1 1 1 Vì mặt cầu cắt tại hai điểm A, B nên bán kính mặt cầu được xác định theo cơng thức : 2 2 2 AB R d I, 14 36 50 . 2 2 2 2 Vậy mặt cầu cần tìm cĩ phương trình là: x 1 y 3 z 5 50 . PHẦN 2: CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 1. [2H3-1.3-1] Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , phương trình mặt cầu S tâm I 1; 2;2 và cĩ bán kính R 2 3 là: 2 2 2 2 2 2 A x 1 y B.2. z 2 12 x 1 y 2 z 2 12 2 2 2 2 2 2 C D.x . 1 y 2 z 2 6 x 1 y 2 z 2 6 Lời giải Chọn B 2 2 2 Phương trình mặt cầu S tâm I a;b;c và cĩ bán kính R là: x a y b z c R2 . Vậy: Mặt cầu tâm I 3; 1;2 , bán kính R 4 cĩ phương trình là: 2 2 2 x 1 y 2 z 2 12. Câu 2. [2H3-1.3-1] Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , mặt cầu tâm I 3; 1;2 , bán kính R 4 cĩ phương trình là: 2 2 2 2 2 2 A x 3 y B.1 . z 2 16 x 3 y 1 z 2 4 2 2 2 2 2 2 C D.x . 3 y 1 z 2 4 x 3 y 1 z 2 16 Lời giải Chọn D
  32. Mặt cầu tâm I 3; 1;2 , bán kính R 4 cĩ phương trình là: 2 2 2 x 3 y 1 z 2 16 . Câu 3. [2H3-1.3-1] Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , phương trình mặt cầu cĩ tâm I 1;1; 2 và đi qua điểm M 2; 1;0 là: 2 2 2 2 2 2 A x 1 y 1 B. . z 2 9 x 1 y 1 z 2 3 2 2 2 2 2 2 C. . D.x . 1 y 1 z 2 9 x 1 y 1 z 2 3 Lời giải Chọn C Tâm I 1;1; 2 , bán kính mặt cầu là R IM 3 . 2 2 2 nên phương trình mặt cầu S : x 1 y 1 z 2 9 . Câu 4. [2H3-1.3-2] Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz , mặt cầu tâm I 1;2;0 đường kính bằng 10 cĩ phương trình là: 2 2 2 2 A x 1 y 2 B. z. 2 25 x 1 y 2 z2 100 2 2 2 2 C D. x. 1 y 2 z2 25 x 1 y 2 z2 100 Lời giải Chọn A Mặt cầu tâm I 1;2;0 đường kính bằng 10 nên cĩ bán kính R 5 cĩ phương trình: 2 2 x 1 y 2 z2 25 . Câu 5. [2H3-1.3-2] Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , mặt cầu cĩ đường kính AB AB với A 1;3; 4 và A 1; 1;0 cĩ phương trình là: 2 2 2 2 2 2 A x 1 y 1B. . z 2 8 x 1 y 1 z 2 4 2 2 2 2 2 2 C D.x . 1 y 1 z 2 8 x 1 y 1 z 2 4 Lời giải Chọn C Tâm I là trung điểm của đường kính AB I 1;1; 2 , bán kính mặt cầu là R IB 2 2 2 2 2 nên phương trình mặt cầu S : x 1 y 1 z 2 8 . Câu 6. [2H3-1.3-2] Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm I 1; 2;3 . Viết phương trình mặt cầu tâm I và tiếp xúc với trục Oy . 2 2 2 2 2 2 A x 1 y B.2 . z 3 15 x 1 y 2 z 3 30
  33. 2 2 2 2 2 2 C Dx 1 y 2 z 3 20 x 1 y 2 z 3 10 Lời giải Chọn D Gọi M là hình chiếu của I 1; 2;3 lên Oy , ta cĩ: M 0; 2;0 .  IM 1;0; 3 R IM 10 là bán kính mặt cầu cần tìm. 2 2 2 PT mặt cầu cần tìm là: x 1 y 2 z 3 10 . Câu 7. [2H3-1.3-2] Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz , mặt cầu S cĩ tâmI 1;2;1 và tiếp xúc với mặt phẳng (P) : x 2y 2z 2 0 cĩ phương trình: 2 2 2 2 2 2 A x 1 y 2B. . z 1 3 x 1 y 2 z 1 9 2 2 2 2 2 2 C D.x . 1 y 2 z 1 3 x 1 y 2 z 1 9 Lời giải Chọn B Mặt cầu S cĩ tâmI 1;2;1 và tiếp xúc với mặt phẳng (P) : x 2y 2z 2 0 nên cĩ bán 1 2.2 2.1 2 2 2 2 kính R 3 cĩ phương trình: x 1 y 2 z 1 9. 1 4 4 Câu 8. [2H3-1.3-2] Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz , mặt cầu tâm I 2;1; 1 tiếp xúc với mặt phẳng Oyz cĩ phương trình là: 2 2 2 2 2 2 A x 2 y B.1 . z 1 4 x 2 y 1 z 1 1 2 2 2 2 2 2 C D. x. 2 y 1 z 1 4 x 2 y 1 z 1 2 Lời giải Chọn A 2 2 2 2 Oyz : x 0 R d I; Oyz 2 . Vây S : x 2 y 1 z 1 4 . 12 Câu 9. [2H3-1.3-2] Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz , phương trình mặt cầu cĩ tâm thuộc trục Ox và đi qua hai điểm A 3;1;0 , B 5;5;0 là: 2 2 A x 9 y2 z2 10 B x 10 y2 z2 5 2 2 2 C D.x . 10 y2 z2 50 x 10 y2 z2 25 Lời giải Chọn C Lần lượt thế tọa độ điểm A, B vào 4 phương án. Chỉ cĩ phương án A thỏa vì
  34. 2 2 3 10 12 02 50 và 5 10 52 02 50. Câu 10. [2H3-1.3-2] Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz ,viết phương trìnhmặt cầu S cĩ tâm thuộc mặt phẳng Oxy và đi qua ba điểm A 1;2; 4 , B 1; 3;1 , C 2;2;3 . 2 2 A x 2 y 1B. . z2 16 0 x2 y2 z2 4x 2y 21 0 C xD2 y2 z2 4x 2y 21 0 x2 y2 z2 4x 2y 6z 21 0 Lời giải Chọn B Ta cĩ S là mặt cầu cĩ tâm thuộc mặt phẳng Oxy S cĩ tâm I(a;b;0) . Suy ra S cĩ dạng: x2 y2 z2 2ax 2by c 0 . A 1;2; 4 S a 2 Ta cĩ B 1; 3;1 S b 1 . c 21 C 2;2;3 S S : x2 y2 z2 4x 2y 21 0 . Câu 11. [2H3-1.3-3] Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz ,viết phương trìnhmặt cầu S cĩ tâm x 2 y 1 z 1 I 4;2; 1 và tiếp xúc với đường thẳng d : . 2 1 2 2 2 2 2 2 2 A x 4 y B.2. z 1 16 x 4 y 2 z 1 16 C xD.2 . y2 z2 8x 4y 2z 5 0 x2 y2 z2 8x 4y 2z 5 0 Lời giải Chọn B Gọi S cĩ bán kính R .  Ta cĩ d qua A(2; 1;1) , cĩ VTCP ud (2;1;2) .   IA;u d S tiếp xúc với đường thẳng.d R d I;d  4 ud 2 2 2 x 4 y 2 z 1 16 . Câu 12. [2H3-1.3-2] Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A 2; 6;4 . Phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu đường kính OA ? 2 2 2 2 2 2 A x 2 yB. 6 . z 4 56 x 2 y 6 z 4 56 2 2 2 2 2 2 C. . D.x . 1 y 3 z 2 14 x 1 y 3 z 2 14 Lời giải
  35. Chọn D OA 56 Mặt cầu đường kính OA cĩ tâm I 1; 3;2 là trung điểm OA . Bán kính R . 2 2 Câu 13. [2H3-1.3-2] Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt cầu cĩ tâm I 1;2; 1 và tiếp xúc với mặt phẳng P : x 2y 2z 8 0 ? 2 2 2 2 2 2 A. . x 1 y 2B. . z 1 3 x 1 y 2 z 1 3 2 2 2 2 2 2 C x 1 y 2D. . z 1 9 x 1 y 2 z 1 9 Lời giải Chọn C 1 2.2 2. 1 8 R d 3 . I , P 12 2 2 2 2 2 2 2 Phương trình mặt cầu cần tìm cĩ dạng: x 1 y 2 z 1 9 . Cách 2: theo cơng thức phương trình mặt cầu cĩ tâm I a;b;c bán kính R cĩ dạng 2 2 2 x a y b z c R2 . Ta loại câu A và D. 1 2.2 2. 1 8 Bán kính R d 3 . Nên ta chọn câu C. I , P 12 2 2 2 2 Câu 14. [2H3-1.3-3] Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) cĩ tâm I(2;1;1) và mặt phẳng (P): 2x y 2z 2 0 . Biết mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là một đường trịn cĩ bán kính bằng 1. Phương trình của mặt cầu (S) là: 2 2 2 2 2 2 A x 1 y 1B. . z 1 8 x 2 y 1 z 1 10 2 2 2 2 2 2 C D.x . 2 y 1 z 1 8 x 2 y 1 z 1 10 Lời giải Chọn D 2.2 1 2.1 2 Ta cĩ d d(I;(P)) 3 . 22 12 22 Bán kính mặt cầu là R d 2 12 10 S : x 2 2 y 1 2 z 1 2 10 . Câu 15. [2H3-1.3-3] Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A 2;0;1 , B 1;0;0 ,C 1;1;1 và mặt phẳng P : x y z 2 0 . Viết phương trình mặt cầu đi qua ba điểm A, B,C và cĩ tâm thuộc mặt phẳng P . A. .x 2 y2 z2 x 2B.z .1 0 x2 y2 z2 x 2y 1 0 C. .xD.2 . y2 z2 2x 2y 1 0 x2 y2 z2 2x 2z 1 0
  36. Lời giải Chọn D Phương mặt cầu (S) cĩ dạng: x2 y2 z2 2ax 2by 2cz d 0 , ta cĩ A 2;0;1 S 4a 2c d 5 1 B 1;0;0 S 2a d 1 2 C 1;1;1 S 2a 2b 2c d 3 3 I P a b c 2 4  Lấy vế trừ vế của 1 cho 2 ; 2 cho 3 ; kết hợp (4) ta được hệ 2a 2c 4 a 1 2b 2c 2 b 0 d 1. a b c 2 c 1 Vậy phương trình mặt cầu là x2 y2 z2 2x 2z 1 0 . Trắc nghiệm: Thay tọa độ B 1;0;0 vào từng phương trình mặt cầu ở từng đáp án loại được đáp án A và đáp án B. Thay tọa độ A 2;0;1 vào phương trình mặt cầu loại được đáp án C. Câu 16. [2H3-1.3-3] Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng (P) : 2x y 2z 3 0 và I(1;3; 1) . Gọi S là mặt cầu tâm I và cắt mặt phẳng (P) theo một đường trịn cĩ chu vi bằng 2 . Viết phương trình mặt cầu (S). A. . S : (x B. 1 ).2 (y 3)2 (z 1)2 5 S : (x 1)2 (y 3)2 (z 1)2 5 C. . D.S . : (x 1)2 (y 3)2 (z 1)2 3 S : (x 1)2 (y 3)2 (z 1)2 5 Lời giải Chọn D 2 Bán kính của đường trịn giao tuyến của S và P là r 1 . 2 2 3 2 3 d d I, P 2 . 4 1 4 Bán kính mặt cầu S là R r 2 d 2 5 . Phương trình mặt cầu S tâm I 1;3; 1 và bán kính R 5 là S : (x 1)2 (y 3)2 (z 1)2 5. Câu 17. [2H3-1.3-3] Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , phương trình mặt cầu S qua ba điểm A 1;2; 4 , B 1; 3;1 , C 2;2;3 và cĩ tâm nằm trên mpOxy là:
  37. 2 2 7 3 2 83 2 2 2 A Bx. y z . x 2 y 1 z 26 2 2 2 2 2 2 2 7 3 2 81 7 3 2 83 C D.x. y z x y z 2 2 2 2 2 2 Lời giải Chọn B * Gọi I a;b;c là tâm mặt cầu S . * Vì I thuộc mp Oxy nên I a;b;0 * Mặt khác S qua ba điểm A 1;2; 4 , B 1; 3;1 , C 2;2;3 . 2 2 2 2 a 1 b 2 16 a 1 b 3 1 Nên IA IB IC 2 2 2 2 a 1 b 2 16 a 2 b 2 9 2a 4 a 2 . . 10b 10 b 1 * Vậy S cĩ tâm I 2;1;0 bán kính R IA 26 . 2 2 * P.trình mặt cầu S : x 2 y 1 z2 26 . x 1 t Câu 18. [2H3-1.3-4] Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hai đường thẳng d1 : y 0 và z 5 t x 0 d2 : y 4 2t . Mặt cầu nhận đoạn vuơng gĩc chung của d1 và d2 làm đường kính cĩ z 5 3t phương trình là: 2 2 2 2 A x 2 y 3 B.z.2 17 x 2 y 3 z2 25 2 2 2 2 2 2 C D.x . 2 y 3 z 1 25 x 2 y 3 z 1 25 Lời giải Chọn A  d1 cĩ vtcp u1 1;0;1 .  d2 cĩ vtcp u2 0; 2;3 . A d1 A 1 t;0; 5 t . B d2 B 0;4 2t ;5 3t .  AB 1 t,4 2t ,10 3t t .
  38. AB là đoạn vuơng gĩc chung của hai đường thẳng d1 và d2   AB.u1 0 1 t 10 3t ' t 0 2t 3t ' 9 t 3   . 2 4 2t ' 3 10 3t ' t 0 3t 13t ' 22 t ' 1 AB.u1 0 Khi đĩ: A 4;0; 2 , B 0;6;2 . AB Mặt cầu đường kính AB cĩ tâm I 2;3;0 và bán kính R 17 cĩ phương trình: 2 2 2 x 2 y 3 z2 17 . x 1 y z Câu 19. [2H3-1.3-4] Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d : và 2 1 2 hai điểm A 2;1;0 , B 2;3;2 .Viết phương trình mặt cầu đi qua A , B và cĩ tâm I thuộc đường thẳng d . 2 2 2 2 2 2 A. . x 1 y 1B. . z 2 17 x 1 y 1 z 2 17 2 2 2 2 2 2 C. . x 3 y 1D. . z 2 5 x 3 y 1 z 2 5 Lời giải Chọn A x 1 2t Phương trình tham số đường thẳng d : y t . z 2t  AB 1 2t;t 1: 2t Ta cĩ: I d I 1 2t;t; 2t  . BI 3 2t;t 3; 2 2t Vì mặt cầu S đi qua hai điểm A , B nên: R IA IB IA2 IB2 . 1 2t 2 t 1 2 2t 2 3 2t 2 t 3 2 2 2t 2 20t 20 0 t 1 I 1; 1;2 R IA 17 . 2 2 2 Phương trình mặt cầu S cần tìm là: x 1 y 1 z 2 17 . Câu 20. [2H3-1.3-4]Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , phương trình mặt cầu S cĩ tâm nằm trên x 2 đường thẳng d : và tiếp xúc với hai mặt phẳng P : x 2z 8 0 , Q : 2x z 5 0 . y 0 2 2 144 2 2 16 A. x 2 y2 z 11 và x 2 y2 z 11 . 5 5 2 2 121 2 2 126 B. x 2 y2 z 11 và x 2 y2 z 11 . 5 5 2 2 134 2 2 164 C. x 2 y2 z 11 và x 2 y2 z 11 . 5 5
  39. 2 2 144 2 2 16 D. x 2 y2 z 11 và x 2 y2 z 3 . 5 5 Lời giải Chọn D * Gọi I a;b;c là tâm mặt cầu S . x 2 * Vì I thuộc đường thẳng d : nên I 2;0; z . y 0 * Mặt khác S tiếp xúc với P và Q nên: d I, P d I, Q 2 2z 8 4 z 5 5 5 2z 10 1 z z 11 2z 10 1 z . 2z 10 1 z z 3 12 * Với z 11 tâm I 2;0; 11 bán kính R d I, P . 5 2 2 144 ta được S : x 2 y2 z 11 . 5 4 * Với z 3 tâm I 2;0; 3 bán kính R d I, P . 5 2 2 16 ta được S : x 2 y2 z 11 . 5 PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG NỘI DUNG A. LÝ THUYẾT B. MỘT SỐ BÀI TỐN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG THƯỜNG GẶP. Bài tốn 1: Viết phương trình mặt phẳng P đi qua điểm M (xo ; yo ; zo ) và cĩ vtpt  n(P) (A; B;C) Bài tốn 2: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M và cĩ cặp véctơ chỉ phương a, b cho trước. Bài tốn 3: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A, B, C khơng thẳng hàng Bài tốn 4: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng và thỏa mãn điều kiện cho trước:
  40. Bài tốn 5: Mặt phẳng và mặt cầu. Bài tốn 6: Mặt phẳng liên quan đến gĩc. Bài tốn 7: Mặt phẳng liên quan đến khoảng cách. C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM: Đề - Đáp án – Hướng dẫn giải chi tiết – Phân tích phương án nhiễu Số lượng 50 câu, trong đĩ NB: 10 TH: 15 VDT: 15 VDC: 10 A – LÝ THUYẾT CẦN NẮM 1) Véctơ pháp tuyến, cặp véctơ chỉ phương ✓ Véctơ n 0 là véctơ pháp tuyến của mặt phẳng (P )nếu giá n vuơng gĩc với (P). ✓ Hai véctơ a, b khơng cùng phương là cặp véctơ chỉ phương của mặt phẳng (P) nếu giá uuur của chúng song song hoặc nằm trên mặt phẳng (P). n(P ) ✓ Nếu a, blà một cặp véctơ chỉ phương của mặt phẳng (P ) (P). thì n a,b là 1 véctơ pháp tuyến của mặt phẳng P ✓ Nếu n 0 là 1 véctơ pháp tuyến của mặt phẳng (P thì) k.n, (k 0cũng) là véctơ pháp tuyến của mặt phẳng (P). 2) Phương trình tổng quát của mặt phẳng: (P) : Ax By Cz D 0.
  41.  ✓ Nếu mặt phẳng (P )cĩ phương trình (P) : Ax By Cz D 0thì n(P) (A; B;C là) một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng (P). ✓ Để viết phương trình mặt phẳng (P) ta, cần xác định 1 điểm đi qua và 1 véctơ pháp tuyến. • qua M (xo ; yo ; zo ) (P) :  (P) : A.(x xo ) B.(y yo ) C.(z zo ) 0  • vtpt : n(P) (A; B;C) 3) Các trường hợp đặc biệt: Các hệ số Phương trình mặt phẳng (P) Tính chất mặt phẳng (P) D 0 (P) : Ax By Cz 0 (P) đi qua gốc tọa độ O A 0 (P) : By Cz D 0 (P) P Ox hoặc (P)  Ox B 0 (P) : Ax Cz D 0 (P) P Oy hoặc (P)  Oy C 0 (P) : Ax By D 0 (P) P Oz hoặc (P)  Oz A B 0 (P) :Cz D 0 (P) P (Oxy) hoặc (P)  (Oxy) A C 0 (P) : By D 0 (P) P (Oxz) hoặc (P)  (Oxz) B C 0 (P) : Ax D 0 (P) P (Oyz) hoặc (P)  (Oyz)  Lưu ý: ✓ Nếu trong phương trình của mặt phẳng (P) khơng chứa ẩn nào thì (P) song song hoặc chứa trục tương ứng. ✓ Phương trình mặt phẳng (P) cắt các trục tọa độ tại các điểm A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) x y z là (P) : 1 (gọi là phương trình mặt theo đoạn chắn). a b c ✓ Khoảng cách từ điểm M (xM ; yM ; zM ) đến mặt phẳng (P) : Ax By Cz D 0 được xác Ax By Cz D định bởi cơng thức: d(M ;(P)) M M M  A2 B2 C 2 B – MỘT SỐ BÀI TỐN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG THƯỜNG GẶP. Bài tốn 1: Viết phương trình mặt phẳng P đi qua điểm M (xo ; yo ; zo ) và cĩ vtpt  n(P) (A; B;C) Phương pháp Minh họa • qua M (xo ; yo ; zo ) (P) :  • vtpt : n(P) (A; B;C) (P) : A.(x xo ) B.(y yo ) C.(z zo ) 0  Áp dụng:
  42. Ví dụ 1: Viết phương trình mp(P) đi qua M và vuơng gĩc với đường thẳng d đi qua 2 điểm A và B, Phương pháp Minh họa • Đi qua M P2  mp(P) :    • VTPT : n(P) ud AB với: a) M ( 1;2;3), A(2; 4;3), B(4;5;6). b) M (0;0;0), A( 2; 1;3), B(4; 2;1). c) M (2; 4;0), A(5;1;7), B( 1; 1; 1). d) M (3;0;0), A(0; 5;0), B(0;0; 7). Ví dụ 2: Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB với tọa độ A, B cho trước: Mặt phẳng trung trực (P) của đoạn AB là mp đi qua và vuơng gĩc tại trung điểm I của AB. Phương pháp Minh họa xA xB yA yB zA zB • Đi qua I ; ; mp(P) : 2 2 2   • VTPT : n(P) AB (xB xA; yB yA; zB zA ) Vận dụng a) A(2;0;1), B(0; 2;3). b) A(1;3; 4), B( 1;2;2). c) A(2;1;1), B(2; 1; 1). Ví dụ 3: Viết phương trình mp(P) đi qua M (xo ; yo ; zo ) và song song với (Q) : Ax By Cz D 0 hương pháp Minh họa • Đi qua M (xo , yo , zo ) mp(P) :   • VTPT : n(P) n(Q) (A; B;C) Vận dụng: 1. Viết ptmp (P) đi qua M và song song với mp(Q) trong các trường hợp sau: a) M (3;3;3) và (Q) : 2x 3y z 6 0. b) M (2;1;5) và (Q)  (Oxy) c) M (1; 2;1) và (Q) : 2x y 3 0. d) M ( 1;1;0) và (Q) : x 2y z 10 0. 2.(ĐH D – 2013 NC) Trong khơng gian với hệ trục Oxyz, cho điểm A( 1;3; 2) và mặt phẳng (P) : x 2y 2z 5 0. Tính khoảng cách từ A đến (P). Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua A và song song với (P) ?
  43. 2 Đáp số. d A,(P) và (Q) : x 2y 2z 3 0. 3 3.Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với mp(Q) : 2x 3y 6z 14 0 và khoảng cách từ gốc tọa độ đến mặt phẳng (P) bằng 5 ? Đáp số. (P) : 2x 3y 6z 35 0. Bài tốn 2: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M và cĩ cặp véctơ chỉ phương a, b cho trước Phương pháp Minh họa • Đi qua M mp(P) :  • VTPT : n a,b (P) Vận dụng: Ví dụ 1: a) M (1;2; 3), a (2;1;2), b (3;2; 1). b) M (1; 2;3), a (3; 1; 2), b (0;3;4). c) M ( 1;3;4), a (2;7;2), b (3;2;4). d) M ( 4;0;5), a (6; 1;3), b (3;2;1). Ví dụ 2: Viết phương trình mp(P) đi qua M , vuơng gĩc mp(Q) và mp(P) P : Phương pháp Minh họa • qua M xo , yo , zo P2  mp(P) :    • vtpt : n n ,u (P) (Q) x 1 y z 1 a) M (1;1;1), (Q) : 2x y z 1 0, :  2 1 3 x 1 3t b) M (3;2;1), (Q) : 2x 3y – z 0, : y 2 t , (t ¡ ). z 3 3t Ví dụ 3: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B và vuơng gĩc với mp(Q) : • Đi qua A, (hay B) PP  mp(P) :    • VTPT : n AB,n (P) (Q)
  44. A(0;1;0), B(1;2; 2) A(3;1; 1), B(2; 1;4) a) b) (Q) : 2x y 3z 13 0 (Q) : 2x y 3z 1 0 A(2; 1;3), B( 4;7; 9) A(3; 1; 2), B( 3;1;2) c) d) (Q) :3x 4y 8z 5 0 (Q) : 2x 2y 2z 5 0 Ví dụ 4: (ĐH A, A1 – 2014) Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho x 2 y z 3 mp(P) : 2x y 2z 1 0 và đường thẳng (d) :  Tìm tọa độ giao điểm của d 1 2 3 và mp(P). Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d và vuơng gĩc với mp(P). 7 3 Đáp số. M ; 3; và (Q) : x 8y 5z 13 0. 2 2 Ví dụ 5: (CĐ – 2010 – Chương trình nâng cao) Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho x y 1 z đường thẳng (d) : và mặt phẳng P : 2x y 2z 2 0 . 2 1 1 a) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d và (Q)  (P). . b) Tìm tọa độ điểm M d sao cho M cách đều O và mặt phẳng mp(P). Đáp số. (Q) : x 2y 2 0 và M (0;1;0). Ví dụ 6: Viết phương trình của mặt phẳng (P) đi qua điểm M và chứa đường thẳng : Phương pháp Minh họa Trên đường thẳng Δ lấy điểm A và xác định  VTCP u • Đi qua M Khi đĩ mp(P) :    • VTPT : n AM ,u (P) x 4 2t x 2 t a) M 2; 3;1 , : y 2 3t b) M 1;4; 3 , : y 1 2t z 3 t z 1 3t x 1 y 2 z 5 x y 2z 1 0 c) M 4; 2;3 , : d) M 2;1;4 , : 3 4 2 x 2y 2z 5 0 Ví dụ 7: (TNTHPT – 2010 – Chương trình nâng cao) Trong khơng gian với hệ trục tọa độ x y 1 z 1 Oxyz, cho đường thẳng cĩ phương trình :  2 2 1 a) Tính khoảng cách từ O đến đường thẳng . b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa điểm O và chứa đường thẳng .
  45.   MO,u Đáp số. d(O; )  1 và (P) : x 2y 2z 0. u Ví dụ 8: Viết phương trình của mặt phẳng (P) đi qua hai đường thẳng cắt nhau 1, 2 : Phương pháp Minh họa • qua M , (hay M ) 1 2 mp(P) :    • vtpt : n u ,u (P) 1 2 x 3t x 1 t a) 1 : y 1 2t , (t ¡ ), 2 : y 2t , (t ¡ ) z 3 t z 4 t x 1 t x y z 3 0 b) 1 : , 2 : y 2 t , (t ¡ ) 2x y 1 0 z 3 t x 2y z 4 0 x z 2 0 c) 1 : , 2 : 2x y z 6 0 y 2z 7 0 Ví dụ 9: Cho 2 đường thẳng chéo nhau 1, 2. Hãy viết phương trình (P) chứa 1 và song song 2 Phương pháp Minh họa • qua M 1 mp(P) :    • vtpt : n u ,u (P) 1 2 x 1 2t x 2t a) 1 : y 3 t , t ¡ , 2 : y 1 t , t ¡ z 2 3t z 3 2t x 2 y 1 z x y 1 z 1 b) : , : 1 3 2 2 2 1 2 4 x 1 t x 2y z 4 0 c) 1 : 2 : y 2 t , t ¡ x 2y 2z 4 0 z 1 2t Ví dụ 10: Viết phương trình mp(P) qua M và vuơng gĩc với hai mpmp( ), ( ) : Phương pháp Minh họa
  46. • qua M mp(P) :    • vtpt : n n ,n (P) ( ) ( ) a) M (1; 3;2), ( ) : x 2y 5z 1 0, ( ) : 2x 3y z 4 0. b) M 2; 1;1 , : 2x z 1 0,  : y 0 Ví dụ 11: (CĐ – 2009 – Chương trình chuẩn) Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường các mặt phẳng P1 : x 2y 3z 4 0 và P2 :3x 2y z 1 0 . Viết phương trình mặt phẳng P đi qua điểm A 1;1;1 , vuơng gĩc hai mặt phẳng P1 và P2 . Đáp số. P : 4x 5y 2z 1 0 . Ví dụ 12: (ĐH D – 2010 – Chương trình chuẩn) Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng P : x y z 3 0 và Q : x y z 1 0 . Viết phương trình mặt phẳng R sao cho R vuơng gĩc với P và Q đồng thời d O, R 2 . Đáp số. R : x z 2 2 0 . Ví dụ 13: Viết phương trình mặt phẳng (P), biết rằng (P) vuơng gĩc với hai ( ) : x y z 1 0, ( ) : 2x y 3z 4 0 và khoảng cách từ gốc tọa độ đến mặt phẳng (P) bằng 26 ? Đáp số. (P) : 4x y 3z 26 0. Bài tốn 3: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A, B, C khơng thẳng hàng Phương pháp Minh họa • Đi qua A, (hay B hay C) mp(P) :    • VTPT : n AB, AC ( ABC) Vận dụng: Ví dụ 1: a) A(2; 5;1), B(3;4; 2), C(0;0; 1). b) A(1; 2;4), B(3;2; 1), C( 2;1; 3). c) A(3; 5;2), B(1; 2;0), C(0; 3;7). d) A( 1;2;3), B(2; 4;3), C(4;5;6). Ví dụ 2: (THPT – 2011 NC) Trong khơng gian với hệ trục Oxyz, cho A(0;0;3), B( 1; 2;1), C( 1;0;2). Viết phương trình mặt phẳng (ABC). Tính độ dài đường cao của ABC kẻ từ A. 3 5 Đáp số. (ABC) : 2x y 2z 6 0 và AH  5
  47. Ví dụ 3: Viết phương trình mặt phẳng P đi qua điểm M và giao tuyến của hai mặt phẳng ,  PP Chọn A, B thuộc giao tuyến hai mặt phẳng và  A, B P . Cụ thể: A1x B1 y C1zo D1 x Cho: z zo A ; ; P y A2 x B2 y C2 zo D2 B1 y C1z A1xo D1 y Cho: x xo B ; ; P z B2 y C2 z A2 xo D2 • Đi qua M Khi đĩ mp P :    • VTPT : n AB, AM P a) M 2;0;1 , : x 2y z 4 0,  : 2x y z 4 0 b) M 1;2; 3 , : 2x 3y z 5 0,  :3x 2y 5z 1 0 Bài tốn 4: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng và thỏa mãn điều kiện cho trước: Ví dụ 1: Viết phương trình mặt phẳng P qua giao tuyến của hai mặt phẳng ,  , đồng thời song song với mặt phẳng  cho trước a) : y 2z 4 0,  : x y z 3 0,  : x y z 2 0 b) : x 4y 2z 5 0,  : y 4z 5 0,  : 2x y 19 0 Ví dụ 2: Viết phương trình mặt phẳng P qua giao tuyến của hai mặt phẳng ,  , đồng thời vuơng gĩc với mặt phẳng  cho trước a) : 2x 3y 4 0,  : 2y 3z 5 0,  : 2x y 3z 2 0 b) : y 2z 4 0,  : x y z 3 0,  : x y z 2 0 Ví dụ 3: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua giao tuyến của hai mặt phẳng ( ) : x 3z 2 0 1 7 3 và ( ) : y 2z 1 0, đồng thời cách điểm M 0;0; một khoảng  2 18 Đáp số. (P) : x y 5z 1 0 hoặc (P) :5x 17y 19z 27 0. Bài tốn 5: Mặt phẳng và mặt cầu Ví dụ 1: Viết phương trình mặt phẳng P tiếp xúc với mặt cầu S cho trước tại điểm H : 2 2 2 a) S : x 3 y 1 z 2 24 tại H 1;3;0 b) S : x2 y2 z2 6x 2y 4z 5 0 tại H 4;3;0
  48. Ví dụ 2: (CHUYÊN LAM SƠN THANH HĨA-LẦN 2-2018) Trong khơng gian với hệ tọa độ 2 2 2 Oxyz , cho mặt cầu S : x 1 y 2 z 3 16 và các điểm A 1;0;2 , B 1;2;2 . Gọi P là mặt phẳng đi qua hai điểm A , B sao cho thiết diện của P với mặt cầu S cĩ diện tích nhỏ nhất. Khi viết phương trình P dưới dạng P : ax by cz 3 0 . Tính T a b c . A. .3 B. 3 . C. .0 D. . 2 Lời giải Chọn B I B H A K Mặt cầu cĩ tâm I 1;2;3 bán kính là R 4 . Ta cĩ A , B nằm trong mặt cầu. Gọi K là hình chiếu của I trên AB và H là hình chiếu của I lên thiết diện. Ta cĩ diện tích thiết diện bằng S r 2 R2 IH 2 . Do đĩ diện tích thiết diện nhỏ nhất khi IH lớn nhất. Mà IH IK suy ra P qua A, B và vuơng gĩc với IK .  Ta cĩ IA IB 5 suy ra K là trung điểm của AB . Vậy K 0;1;2 và KI 1;1;1 . Vậy P : x 1 y z 2 0 x y z 3 0 . Vậy T 3 . x 3 y 3 z Ví dụ 3: Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d: và mặt cầu 2 2 1 (S): x2 y2 z2 2x 2y 4z 2 0 . Lập phương trình mặt phẳng (P) song song với d và trục Ox, đồng thời tiếp xúc với mặt cầu (S). (S) cĩ tâm I(1; 1; 2), bán kính R = 2. d cĩ VTCP u (2;2;1) . (P) // d, Ox (P) cĩ VTPT n u,i  (0;1; 2) PT của (P) cĩ dạng: y 2z D 0 .
  49. 1 4 D D 3 2 5 (P) tiếp xúc với (S) d(I,(P)) R 2 D 3 2 5 2 2 1 2 D 3 2 5 (P): y 2z 3 2 5 0 hoặc (P): y 2z 3 2 5 0 . Ví dụ 4: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x2 y2 z2 2x 4y 4 0 và mặt phẳng (P):x z 3 0 . Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua điểm M (3;1; 1) vuơng gĩc với mặt phẳng (P) và tiếp xúc với mặt cầu (S). (S) cĩ tâm I(–1; 2; 0) và bán kính R = 3; (P) cĩ VTPT nP (1;0;1) . PT (Q) đi qua M cĩ dạng: A(x 3) B(y 1) C(z 1) 0, A2 B2 C 2 0 (Q) tiếp xúc với (S) d(I,(Q)) R 4A B C 3 A2 B2 C 2 (*) (Q)  (P) nQ .nP 0 A C 0 C A ( ) Từ (*), ( ) B 5A 3 2A2 B2 8B2 7A2 10AB 0 A 2B  7A 4B Với A 2B . Chọn B = 1, A = 2, C = –2 PT (Q): 2x y 2z 9 0 Với 7A 4B . Chọn B = –7, A = 4, C = –4 PT (Q): 4x 7y 4z 9 0 Câu hỏi tương tự: a) Với (S) : x2 y2 z2 2x 4y 4z 5 0 , (P) : 2x y 6z 5 0, M (1;1;2) . ĐS: (Q) : 2x 2y z 6 0 hoặc (Q) :11x 10y 2z 5 0 . Ví dụ 5: Trong khơng gian với hệ trục Oxyz, cho mặt cầu S : x2 y2 z2 – 2x 4y 2z – 3 0 . Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa trục Ox và cắt mặt cầu (S) theo một đường trịn cĩ bán kính r 3 . (S) cĩ tâm I(1; –2; –1), bán kính R = 3. (P) chứa Ox (P): ay + bz = 0. Mặt khác đường trịn thiết diện cĩ bán kính bằng 3 cho nên (P) đi qua tâm I. Suy ra: –2a – b = 0 b = –2a (a 0) (P): y – 2z = 0. Ví dụ 6: Trong khơng gian với hệ trục Oxyz, cho mặt cầu (S): x2 y2 z2 2x 2y 2z –1 0 x y 2 0 và đường thẳng d : . Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và cắt mặt cầu (S) 2x z 6 0 theo một đường trịn cĩ bán kính r 1 . (S) cĩ tâm I( 1;1; 1) , bán kính R = 2.
  50. PT mặt phẳng (P) cĩ dạng: ax by cz d 0 (a2 b2 c2 0) . Chọn M (2;0; 2), N(3;1;0) d . M (P) a b,2c (a b),d 3a b (1) Ta cĩ: N (P) 17a 7b,2c (a b),d 3a b (2) 2 2 d(I,(P)) R r + Với (1) (P): x y z 4 0 + Với (2) (P): 7x 17y 5z 4 0 x y 1 z Ví dụ 7: Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hai đường thẳng : , 1 2 1 1 x 1 y z 2 2 2 2 : và mặt cầu S : x y z – 2x 2y 4z – 3 0 . Viết phương trình tiếp 1 1 1 diện của mặt cầu S , biết tiếp diện đĩ song song với hai đường thẳng 1 và 2 . (P): y z 3 3 2 0 hoặc (P): y z 3 3 2 0 Ví dụ 8: Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S) cĩ phương trình x2 y2 z2 2x 4y 6z 11 0 và mặt phẳng ( ) cĩ phương trình 2x 2y – z 17 0 . Viết phương trình mặt phẳng () song song với ( ) và cắt (S) theo giao tuyến là đường trịn cĩ chu vi bằng p 6 . Do () // ( ) nên () cĩ phương trình 2x + 2y – z + D = 0 (D 17) (S) cĩ tâm I(1; –2; 3), bán kính R = 5. Đường trịn cĩ chu vi 6 nên cĩ bán kính r = 3. Khoảng cách từ I tới () là h = R2 r 2 52 32 4 2.1 2( 2) 3 D D 7 Do đĩ 4 5 D 12 22 22 ( 1)2 D 17 (loại) Vậy () cĩ phương trình 2x 2y – z – 7 0 . Câu hỏi tương tự: a) (S): x2 y2 z2 2x 4y 6z 11 0 , ( ): 2x y 2z 19 0 , p 8 . ĐS: ( ) : 2x y 2z 1 0 Bài tốn 6: Mặt phẳng liên quan đến gĩc. Ví dụ 1: Viết phương trình mp(P) chứa trục Oz và tạo với (Q) : 2x y 11z 3 0 một gĩc 30o ? Đáp số. (P) : x 0 hoặc (P) :3x 4y 0.
  51. 2 Ví dụ 2: Viết (P) đi qua A(3;0;1), B(6; 2;1) và (P) tạo với (Oyz) gĩc thỏa mãnc os ? 7 Đáp số. mp(P) : 2x 3y 6z 12 0 hoặc mp(P) : 2x 3y 6z 0. Ví dụ 3: Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng ( ) chứa đường thẳng ( ): x 1 y z và tạo với mặt phẳng (P): 2x 2y z 1 0 một gĩc 600. Tìm tọa độ giao điểm 1 1 2 M của mặt phẳng ( ) với trục Oz. ( ) qua điểm A(1;0;0) và cĩ VTCP u (1; 1; 2) . (P) cĩ VTPT n (2; 2; 1) .    Giao điểm M (0;0;m) cho AM ( 1;0;m) . ( ) cĩ VTPT n AM ,u (m;m 2;1) ( ) và (P): 2x 2y z 1 0 tạo thành gĩc 600 nên: 1 1 1 cos n,n 2m2 4m 1 0 m 2 2 hay m 2 2 2 2m2 4m 5 2 Kết luận: M (0;0;2 2) hay M (0;0;2 2) Ví dụ 4: Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua giao tuyến d của hai mặt phẳng ( ) : 2x – y –1 0 , ( ) : 2x – z 0 và tạo với mặt phẳng 2 2 (Q) : x – 2y 2z –1 0 một gĩc mà cos 9 Lấy A(0;1;0), B(1;3;2) d . (P) qua A PT (P) cĩ dạng: Ax By Cz – B 0 . (P) qua B nên: A 3B 2C – B 0 A (2B 2C) (P) : (2B 2C)x By Cz – B 0 2B 2C 2B 2C 2 2 cos 13B2 8BC – 5C 2 0 . 3 (2B 2C)2 B2 C 2 9 5 Chọn C 1 B 1; B . 13 + Với B C 1 (P) : 4x y z –1 0 5 + Với B , C 1 (P) : 23x 5y 13z – 5 0 . 13 Ví dụ 5: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A( 1;2; 3), B(2; 1; 6) và mặt phẳng (P) : x 2y z 3 0 . Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa AB và tạo với mặt phẳng 3 (P) một gĩc thoả mãn cos . 6
  52. PT mặt phẳng (Q) cĩ dạng: ax by cz d 0 (a2 b2 c2 0) . A (Q) a 2b 3c d 0 a 4b,c 3b,d 15b Ta cĩ: B (Q) 2a b 6c d 0 a b,c 0,d b 3 a 2b c 3 cos 2 2 2 6 a b c 1 4 1 6 Phương trình mp(Q): 4x y 3z 15 0 hoặc (Q): x y 3 0 . Câu hỏi tương tự: 1 a) A(0;0;1), B(1;1;0) , (P)  (Oxy),cos . 6 ĐS: (Q): 2x y z 1 0 hoặc (Q): x 2y z 1 0 . Ví dụ 6: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng P : x y z 3 0 và Q : 2x y z 4 0 . Viết phương trình mặt phẳng R chứa đường thẳng d và tạo với mặt phẳng Oxy một gĩc 600 . ĐS: R : 2x y z 2 2 0 hoặc R : 2x y z 2 2 0 Ví dụ 7: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P) :5x 2y 5z 1 0 và (Q) : x 4y 8z 12 0 . Lập phương trình mặt phẳng (R) đi qua điểm M trùng với gốc tọa độ O, vuơng gĩc với mặt phẳng (P) và tạo với mặt phẳng (Q) một gĩc 450 . Giả sử PT mặt phẳng (R): ax by cz d 0 (a2 b2 c2 0) . Ta cĩ: (R)  (P) 5a 2b 5c 0 (1); a 4b 8c 2 cos((·R),(Q)) cos 450 (2) 9 a2 b2 c2 2 2 2 a c Từ (1) và (2) 7a 6ac c 0 c 7a Với a c : chọn a 1,b 0,c 1 PT mặt phẳng (R) : x z 0 Với c 7a : chọn a 1,b 20,c 7 PT mặt phẳng (R) : x 20y 7z 0 Câu hỏi tương tự: a) Với (P) : x y 2z 0,(Q)  (Oyz), M (2; 3;1), 450 . ĐS: (R) : x y 1 0 hoặc (R) :5x 3y 4z 23 0
  53. Ví dụ 8: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng cĩ phương trình: x 1 y 1 z 1 x y z : và : . Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa và tạo 1 1 1 3 2 1 2 1 1 0 với 2 một gĩc 30 . Đáp số: (P):5x 11y 2z 4 0 hoặc (P): 2x y z 2 0 . Câu hỏi tương tự: x y 2 z x 2 y 3 z 5 a) Với : , : , 300 . 1 1 1 1 2 2 1 1 ĐS: (P): x 2y 2z 2 0 hoặc (P): x 2y z 4 0 x 1 y z 1 x y 2 z 1 b) : , : , 300 . 1 2 1 1 2 1 1 1 ĐS: (P): (18 114)x 21y (15 2 114)z (3 114) 0 hoặc (P): (18 114)x 21y (15 2 114)z (3 114) 0 Ví dụ 9: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M (1;2;3) và tạo với các trục Ox, Oy các gĩc tương ứng là 450 , 300 . Gọi n (a;b;c) là VTPT của (P). Các VTCP của trục Ox, Oy là i (1;0;0), j (0;1;0) . 2 sin(Ox,(P)) 2 a 2 b Ta cĩ: 1 c b sin(Oy,(P)) 2 PT mặt phẳng (P): 2(x 1) (y 2) (z 3) 0 hoặc 2(x 1) (y 2) (z 3) 0 Ví dụ 10: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (Q): x 2y z 5 0 và đường x 1 y 1 z 3 thẳng d : . Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và tạo với 2 1 1 mặt phẳng (Q) một gĩc nhỏ nhất. PT mặt phẳng (P) cĩ dạng: ax by cz d 0 (a2 b2 c2 0) . Gọi ((·P),(Q)) . M (P) c a b Chọn hai điểm M ( 1; 1;3), N(1;0;4) d . Ta cĩ: N (P) d 7a 4b 3 a b (P): ax by ( 2a b)z 7a 4b 0 cos . 6 5a2 4ab 2b2
  54. 3 b 3 TH1: Nếu a = 0 thì cos . 300 . 6 2b2 2 b 1 3 a b 2 TH2: Nếu a 0 thì cos . . Đặt x và f (x) cos 2 6 b b a 5 4 2 a a 9 x2 2x 1 Xét hàm số f (x) . . 6 5 4x 2x2 Dựa vào BBT, ta thấy min f (x) 0 cos 0 900 300 Do đĩ chỉ cĩ trường hợp 1 thoả mãn, tức a = 0. Khi đĩ chọn b 1,c 1,d 4 . Vậy: (P): y z 4 0 . Câu hỏi tương tự: x 1 y 2 z a) Với (Q): x 2y 2z – 3 0 , d : . ĐS: (P) : x 2y 5z 3 0 . 1 2 1 x 1 y 2 z b) Với (Q)  (Oxy),d : . ĐS: (P) : x y z 3 0 . 1 1 2 x t c) Với (Q) : 2x y z 2 0 , d : y 1 2t . ĐS: (P) : x y z 3 0 . z 2 t Ví dụ 11: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm M ( 1; 1;3), N(1;0;4 )và mặt phẳng Q : x 2y z 5 0 . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M, N và tạo với (Q) một gĩc nhỏ nhất. ĐS: (P) : y z 4 0 . Câu hỏi tương tự: a) M (1;2; 1), N( 1;1;2),(Q)  (Oxy) . ĐS: (P) : 6x 3y 5z 7 0 . x 1 t Ví dụ 12: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d : y 2 t . Viết phương z 2t trình mặt phẳng P chứa đường thẳng d và tạo với trục Oy một gĩc lớn nhất. PT mặt phẳng (P) cĩ dạng: ax by cz d 0 (a2 b2 c2 0) . Gọi ((·P),Oy) .
  55. M (P) 2c a b Chọn hai điểm M (1; 2;0), N(0; 1;2) d . Ta cĩ: N (P) d a 2b a b 2 b (P): ax by z a 2b 0 sin . 2 5a2 5b2 2ab TH1: Nếu b = 0 thì 00 . 2 a TH2: Nếu b 0 thì sin . Đặt x và f (x) sin2 . 2 a a b 5 5 2 b b 4 5 1 Xét hàm số f (x) . Dựa vào BBT, ta được max f (x) x 00 . 5x2 2x 5 6 5 a 1 Vậy lớn nhất khi . Chọn a 1,b 5,c 2,d 9 (P): x 5y 2z 9 0 . b 5 x 1 y 2 z Ví dụ 13: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d : và 1 1 2 1 x 2 y 1 z d : . Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d sao cho gĩc giữa mặt phẳng (P) 2 2 1 2 1 và đường thẳng d2 là lớn nhất. d1 đi qua M (1; 2;0) và cĩ VTCP u (1;2; 1) .Vì d1  (P) nên M (P) . PT mặt phẳng (P) cĩ dạng: A(x 1) B(y 2) Cz 0 (A2 B2 C 2 0) Ta cĩ: d  (P) u.n 0 C A 2B . 2 · 4A 3B 1 (4A 3B) Gọi ((P),d2 ) sin . 2 2 3. 2A2 4AB 5B2 3 2A 4AB 5B 2 2 TH1: Với B = 0 thì sin 3 A 1 (4t 3)2 TH2: Với B 0. Đặt t , ta được: sin . B 3 2t 2 4t 5 (4t 3)2 25 A Xét hàm số f (t) . Dựa vào BBT ta cĩ: max f (t) khi t 7 7 2t 2 4t 5 7 B 5 3 Khi đĩ sin f ( 7) . 9 5 3 A So sánh TH1 và TH2 lớn nhất với sin khi 7 . 9 B
  56. Phương trình mặt phẳng (P): 7x y 5z 9 0 . x 1 y 2 z 1 Ví dụ 13: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : và 1 1 1 điểm A(2; 1;0) . Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, song song với d và tạo với mặt phẳng (Oxy) một gĩc nhỏ nhất. ĐS: (P) : x y 2z 1 0 . Ví dụ 14: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (Q): 2x y z 2 0 và điểm A(1;1; 1) . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A, vuơng gĩc với mặt phẳng (Q) và tạo với trục Oy một gĩc lớn nhất. ĐS: (P) : y z 0 hoặc (P) : 2x 5y z 6 0 . Bài tốn 7: Mặt phẳng liên quan đến khoảng cách. Ví dụ 1: Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) qua O, vuơng gĩc với mặt phẳng (Q): x y z 0 và cách điểm M(1; 2; –1) một khoảng bằng 2 . PT mặt phẳng (P) qua O nên cĩ dạng: Ax By Cz 0 (với A2 B2 C 2 0 ). Vì (P)  (Q) nên: 1.A 1.B 1.C 0 C A B (1) A 2B C d(M ,(P)) 2 2 (A 2B C)2 2(A2 B2 C 2 ) (2) A2 B2 C 2 2 B 0 (3) Từ (1) và (2) ta được: 8AB 5B 0 8A 5B 0 (4) Từ (3): B = 0 C = –A. Chọn A = 1, C = –1 (P): x z 0 Từ (4): 8A + 5B = 0. Chọn A = 5, B = –8 C = 3 (P): 5x 8y 3z 0 . x 1 y 3 z Ví dụ 12: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : và 1 1 4 điểm M(0; –2; 0). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M, song song với đường thẳng , đồng thời khoảng cách d giữa đường thẳng và mặt phẳng (P) bằng 4. Phương trình mp (P) đi qua M(0; –2; 0) cĩ dạng: ax by cz 2b 0 (a2 b2 c2 0 ) đi qua điểm A(1; 3; 0) và cĩ một VTCP u (1;1;4) a b 4c 0 P (P) a 4c Ta cĩ: a 5b . d(A;(P)) d 4 a 2c a2 b2 c2
  57. Với a 4c . Chọn a 4,c 1 b 8 Phương trình (P): 4x 8y z 16 0 . Với a 2c . Chọn a 2,c 1 b 2 Phương trình (P): 2x 2y z 4 0 . Câu hỏi tương tự: x y z 1 a) Với : ;M (0;3; 2),d 3 . 1 1 4 ĐS: (P) : 2x 2y z 8 0 hoặc (P) : 4x 8y z 26 0 . x t Ví dụ 13: Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng (d) : y 1 2 tvà điểm z 1 A( 1;2;3) . Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d) sao cho khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) bằng 3. (d) đi qua điểm M (0; 1;1) và cĩ VTCT u (1;2;0) . Gọi n (a;b;c) với a2 b2 c2 0 là VTPT của (P). PT mặt phẳng (P): a(x 0) b(y 1) c(z 1) 0 ax by cz b c 0 (1). Do (P) chứa (d) nên: u.n 0 a 2b 0 a 2b (2) a 3b 2c 5b 2c d A,(P) 3 3 3 5b 2c 3 5b2 c2 a2 b2 c2 5b2 c2 2 4b2 4bc c2 0 2b c 0 c 2b (3) Từ (2) và (3), chọn b 1 a 2,c 2 PT mặt phẳng (P): 2x y 2z 1 0 . Ví dụ 4: Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm M ( 1;1;0), N(0;0; 2), I(1;1;1 .) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và B, đồng thời khoảng cách từ I đến (P) bằng 3 . PT mặt phẳng (P) cĩ dạng: ax by cz d 0 (a2 b2 c2 0) . M (P) a b,2c a b,d a b (1) Ta cĩ: N (P) . 5a 7b,2c a b,d a b (2) d(I,(P)) 3 + Với (1) PT mặt phẳng (P): x y z 2 0 + Với (2) PT mặt phẳng (P): 7x 5y z 2 0 . Ví dụ 5: Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD với A(1; 1;2 ,) B(1;3;0 ,) C( 3;4;1) , D(1;2;1) . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B sao cho khoảng cách từ C
  58. đến (P) bằng khoảng cách từ D đến (P). PT mặt phẳng (P) cĩ dạng: ax by cz d 0 (a2 b2 c2 0) . A (P) a b 2c d 0 Ta cĩ: B (P) a 3b d 0 d(C,(P)) d(D,(P)) 3a 4b c d a 2b c d a2 b2 c2 a2 b2 c2 b 2a,c 4a,d 7a c 2a,b a,d 4a + Với b 2a,c 4a,d 7a (P): x 2y 4z 7 0 . + Với c 2a,b a,d 4a (P): x y 2z 4 0 . Câu hỏi tương tự: a) Với A(1;2;1), B( 2;1;3),C(2; 1;1), D(0;3;1) . ĐS: (P) : 4x 2y 7z 15 0 hoặc (P) : 2x 3z 5 0 . Ví dụ 6: Trong khơng gian với hệ trục tọa độO xyz , cho các điểm A(1;2;3) ,B (0; 1;2) ,C (1;1;1) . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và gốc tọa độ O sao cho khoảng cách từ B đến (P) bằng khoảng cách từ C đến (P) . Vì O (P) nên (P) : ax by cz 0 , với a2 b2 c2 0 . Do A (P) a 2b 3c 0 (1) và d(B,(P)) d(C,(P)) b 2c a b c (2) Từ (1) và (2) b 0 hoặc c 0 . Với b 0 thì a 3c (P) :3x z 0 Với c 0 thì a 2b (P) : 2x y 0 Câu hỏi tương tự: a) Với A(1;2;0), B(0;4;0),C(0;0;3) . ĐS: 6x 3y 4z 0 hoặc 6x 3y 4z 0 . Ví dụ 7: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm A(1;1; 1) , B(1;1;2) , C( 1;2; 2) và mặt phẳng (P): x 2y 2z 1 0 . Viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua A, vuơng gĩc với mặt phẳng (P), cắt đường thẳng BC tại I sao cho IB 2IC . PT ( ) cĩ dạng: ax by cz d 0 , với a2 b2 c2 0 Do A(1;1; 1) ( ) nên: a b c d 0 (1); ( )  (P) nên a 2b 2c 0 (2) a b 2c d a 2b 2c d IB 2IC d(B,( )) 2d(C;( )) 2 a2 b2 c2 a2 b2 c2
  59. 3a 3b 6c d 0 (3) a 5b 2c 3d 0 Từ (1), (2), (3) ta cĩ 2 trường hợp sau: a b c d 0 1 3 TH1: a 2b 2c 0 b a; c a; d a . 2 2 3a 3b 6c d 0 Chọn a 2 b 1;c 2;d 3 ( ) : 2x y 2z 3 0 a b c d 0 3 3 TH2: a 2b 2c 0 b a;c a;d a . 2 2 a 5b 2c 3d 0 Chọn a 2 b 3;c 2;d 3 ( ) : 2x 3y 2z 3 0 Vậy: ( ) : 2x y 2z 3 0 hoặc ( ) : 2x 3y 2z 3 0 Ví dụ 8: Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1,d2 lần lượt cĩ phương x 2 y 2 z 3 x 1 y 2 z 1 trình d : , d : . Viết phương trình mặt phẳng cách đều 1 2 1 3 2 2 1 4 hai đường thẳng d1,d2 . Ta cĩ d1 đi qua A(2;2;3), cĩ ud1 (2;1;3) , d2 đi qua B(1;2;1) và cĩ ud 2 (2; 1;4) . Do (P) cách đều d1,d2 nên (P) song song với d1,d2 nP ud1,ud 2  (7; 2; 4) PT mặt phẳng (P) cĩ dạng: 7x 2y 4z d 0 Do (P) cách đều d1,d2 suy ra d(A,(P)) d(B,(P)) 7.2 2.2 4.3 d 7.1 2.2 4.1 d 3 d 2 d 1 d 69 69 2 Phương trình mặt phẳng (P): 14x 4y 8z 3 0 Ví dụ 9: Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1,d2 lần lượt cĩ phương x 1 t x 2 y 1 z 1 trình d1 : y 2 t , d2 : . Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với d1 1 2 2 z 1 và d2 , sao cho khoảng cách từ d1 đến (P) gấp hai lần khoảng cách từ d2 đến (P). Ta cĩ: d1 đi qua A(1;2;1) và cĩ VTCP u1 (1; 1;0) d2 đi qua B(2;1; 1) và cĩ VTCP là u2 (1; 2;2) Gọi n là VTPT của (P), vì (P) song song với d1 và d2 nên n u1,u2  ( 2; 2; 1)
  60. Phương trìnht (P): 2x 2y z m 0 . 7 m 5 m d(d ,(P)) d(A;(P)) ; d(d ,(P)) d(B,(P)) 1 3 2 3 7 m 2(5 m) 17 7 m 2. 5 m m 3; m d(d1,(P)) 2d(d2 ,(P)) 7 m 2(5 m) 3 17 17 + Với m 3 (P) : 2x 2y z – 3 0 + Với m (P) : 2x 2y z 0 3 3 Ví dụ 10: Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A(0; 1;2) , B(1;0;3) và tiếp xúc với mặt cầu (S): (x 1)2 (y 2)2 (z 1)2 2 . (S) cĩ tâm I(1;2; 1) , bán kính R 2 . PT mặt phẳng (P) cĩ dạng: ax by cz d 0 (a2 b2 c2 0) A (P) a b,c a b,d 2a 3b (1) Ta cĩ: B (P) 3a 8b,c a b,d 2a 3b (2) d(I,(P)) R + Với (1) Phương trình của (P): x y 1 0 + Với (2) Phương trình của (P): 8x 3y 5z 7 0 Ví dụ 11: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2; 1;1) . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A và cách gốc tọa độ O một khoảng lớn nhất. Ta cĩ d(O,(P)) OA . Do đĩ d(O,(P))max OA xảy ra OA  (P) nên mặt phẳng (P) cần  tìm là mặt phẳng đi qua A và vuơng gĩc với OA. Ta cĩ OA (2; 1;1) Vậy phương trình mặt phẳng (P): 2x y z 6 0 . Ví dụ 12: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(10; 2; –1) và đường thẳng d cĩ x 1 y z 1 phương trình: . Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, song song với d và 2 1 3 khoảng cách từ d tới (P) là lớn nhất. Gọi H là hình chiếu của A trên d d(d, (P)) = d(H, (P)). Giả sử điểm I là hình chiếu của H lên (P), ta cĩ AH HI HI lớn nhất khi A  I . Vậy (P) cần tìm là mặt phẳng đi qua A và nhận  AH làm VTPT (P): 7x y 5z 77 0 . Ví dụ 13: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng (d) cĩ phương trình tham số x 2 t; y 2t; z 2 2t . Gọi là đường thẳng qua điểm A(4;0;–1) song song với (d) và I(–2;0;2) là hình chiếu vuơng gĩc của A trên (d). Viết phương trình của mặt phẳng chứa và cĩ
  61. khoảng cách đến (d) là lớn nhất. Gọi (P) là mặt phẳng chứa , thì (P) P(d) hoặc (P)  (d) . Gọi H là hình chiếu vuơng gĩc của I trên (P). Ta luơn cĩ IH IA và IH  AH . d(d,(P)) d(I,(P)) IH Mặt khác H (P) Trong (P), IH IA ; do đĩ maxIH = IA H  A . Lúc này (P) ở vị trí (P0)  IA tạiA.  Vectơ pháp tuyến của (P0) là n IA 6;0; 3 , cùng phương với v 2;0; 1 . Phương trình của mặt phẳng (P0) là: 2(x 4) 1.(z 1) 2x z 9 0 . x 1 y z 2 Ví dụ 14: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d : và điểm 2 1 2 A(2;5;3) . Viết phương trình mặt phẳng P chứa d sao cho khoảng cách từ A đến P là lớn nhất. PT mặt phẳng (P) cĩ dạng: ax by cz d 0 (a2 b2 c2 0) . (P) cĩ VTPT n (a;b;c) , d đi qua điểm M (1;0;2) và cĩ VTCP u (2;1;2) . M (P) a 2c d 0 2c (2a b) Vì (P)  d nên . Xét 2 trường hợp: n.u 0 2a b 2c 0 d a b TH1: Nếu b = 0 thì (P): x z 1 0 . Khi đĩ: d(A,(P)) 0 . TH2: Nếu b 0. Chọn b 1 ta được (P): 2ax 2y (2a 1)z 2a 2 0 . 9 9 Khi đĩ: d(A,(P)) 3 2 2 2 8a 4a 5 1 3 2 2a 2 2 1 1 Vậy max d(A,(P)) 3 2 2a 0 a . Khi đĩ: (P): x 4y z 3 0 . 2 4 Câu hỏi tương tự: x 1 y 1 z 2 a) d : , A(5;1;6) . ĐS: (P) : 2x y z 1 0 2 1 5 x 1 y 2 z b) d : , A(1;4;2) . ĐS: (P) :5x 13y 4z 21 0 1 1 2 Ví dụ 15: Trong khơng gian toạ độ Oxyz, cho hai điểm M (0; 1;2) và N( 1;1;3) . Viết phương trình mặt phẳng P đi qua M , N sao cho khoảng cách từ điểm Kđến(0 ;mặt0;2 )phẳng P
  62. là lớn nhất. PT (P) cĩ dạng: Ax B(y 1) C(z 2) 0 Ax By Cz B 2C 0 ,(A2 B2 C 2 0) N( 1;1;3) (P) A B 3C B 2C 0 A 2B C B (P) : (2B C)x By Cz B 2C 0 ; d(K, (P)) 2 2 4B 2C 4BC Nếu B = 0 thì d(K, (P)) = 0 (loại) B 1 1 Nếu B 0 thì d(K,(P)) 2 2 2 4B 2C 4BC C 2 2 1 2 B Dấu “=” xảy ra khi B = –C. Chọn C = 1. Khi đĩ PT (P): x y – z 3 0 . C – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Phần I: 10 CÂU NHẬN BIẾT Câu 1. Trong khơng gian tọa độ Oxyz , mặt phẳng đi qua điểm M x0 ; y0 ; z0 nhận n a;b;c với a2 b2 c2 0 làm vectơ pháp tuyến cĩ phương trình là: A. x0 x a y0 y b z0 z c 0 B. x0 x a y0 y b z0 z c 0
  63. C. a x x0 b y y0 c z z0 0 D. .a x x0 b y y0 c z z0 0 Câu 2. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình của mặt phẳng Oxy là: A. x 0 B. y 0 C. z 0 D. x y 0 Câu 3. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng x 3z 4 0 là: A. n 1; 3; 4 B. n 1;3;4 C. n 1;0;3 D. n 1;0;3 Câu 4. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, điểm nào sau đây thuộc mặt phẳng x 2y 3z 4 0 : A. M 1; 2;3 B. N 1;1;1 C. E 4;0;1 D. F 0; 2;0 Câu 5. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng cắt các trục tọa độ Ox, Oy, O lầnz lượt tại A a;0;0 , B 0,b;0 , C 0;0;c với abc 0 cĩ phương trình là: x y z x y z A. 1 B. 1 0 C. ax by cz 1 D. bcx cay abz 1 a b c a b c Câu 6. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng P : x 2y 3z 4 0 và Q : 2x 4y 6z 4 0 . Khẳng định nào đúng? A. P và Q cắt nhau. B. P  Q C. P / / Q D. P  Q Câu 7. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng nào sau đây chứa trục Ox : A. y z 0 B. 2x y 0 C. 2x y z 0 D. 2x z 0 Câu 8. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng nào sau đây song song với trục Oy : A. y 2 0 B. 2x 3z 1 0 C. 2x y 3z 4 0 D. 2x z 0 Câu 9. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng nào sau đây song song với mặt phẳng Oyz ? A. 2z 0 B. 2z 1 0 C. 2x 0 D. 2x 1 0 Câu 10. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, khoảng cách từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng P : x 2y 2z 1 0 bằng: 1 1 1 A. 1 B. C. D. 9 3 3 Phần II: 15 CÂU THƠNG HIỂU Câu 11. Giả sử n là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng P . Khẳng định nào sai? A. Giá của n vuơng gĩc với P . B. kn k ¡ \ 0 là vectơ pháp tuyến của P 1 C. n là một vectơ khác 0 . D. n khơng phải là vectơ pháp tuyến 2017 của P .   Câu 12. Cho u1, u2 là hai vectơ cĩ giá song song hoặc nằm trên mặt phẳng P . Khẳng định nào đúng?
  64.   A. n u ,u là một vectơ pháp tuyến của P . 1 2     B. n u ,u là một vectơ pháp tuyến của P nếu u , u khơng cùng phương. 1 2 1 2     C. n u ,u là một vectơ pháp tuyến của P khi và chỉ khi u u 1 2 1 2     D. n u ,u là một vectơ pháp tuyến của P khi u , u cùng phương. 1 2 1 2 Câu 13. Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cĩ hai giá trị của tham số m để hai mặt phẳng P : x 3y 2z 1 0 và Q : 2m 1 x m 1 2m y 2m 4 z 14 0 vuơng gĩc với nhau. Tính tổng các bình phương của hai số đĩ. 19 13 29 17 A. B. C. D. 4 4 4 4 Câu 14. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng đi qua A 1;2;3 và vuơng gĩc với trục Oy cĩ phương trình là: A. x 2y 3z 0 B. x z 4 0 C. y 2 0 D. x 3z 10 0 Câu 15. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng đi qua A 1;2;3 và chứa trục Oz cĩ phương trình là: A. z 3 B. x 2y 3z 0 C. 2x y 0 D. x 2y 5 0 Câu 16. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M 1;2;3 và hai mặt phẳng Q : x 2y 3 0 và R : y 3z 4 0 . Mặt phẳng P đi qua M đồng thời vuơng gĩc với cả Q và R cĩ phương trình là: A. 6x 3y z 3 0 B. x 7y 5z 28 0 C. 6x 3y z 9 0 D. x 7y 5z 0 Câu 17. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A 1;2;3 , B 1; 2; 3 . Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB cĩ phương trình là: A. 2x 4y 6z 28 0 B. 2x 4y 6z 28 0 C. x 2y z 0 D. x 2y 3z 0 Câu 18. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A 1;0;0 , B 0;2;0 , C 0;0;3 . Mặt phẳng ABC cĩ phương trình là: x y z x y z A. 6x 3y 2z 6 0 B. 0 C. 6x 3y 2z 6 0 D. 1 1 2 3 1 2 3 Câu 19. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M a;b;c với abc 0 . Gọi A, B, C lần lượt là hình chiếu của M trên các mặt phẳng tọa độ Oxy , Oyz , Ozx . Phương trình của mặt phẳng ABC là: x y z x y z x y z x y z A. 1 B. 0 C. 2 D. 3 a b c a b c a b c a b c
  65. Câu 20. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng P đi qua gốc tọa độ O và song song với mặt phẳng Q : x 2y 3z 4 0 cĩ phương trình là: A. x 2y 3z 4 0 B. x 2y 3z 0 C. x 2y 3z 0 D. 2x 4y 6z 0 Câu 21. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng P song song với mặt phẳng Q : x 2y 2z 1 0 và cách Q một khoảng bằng 3 cĩ phương trình là: A. x 2y 2z 8 0 B. x 2y 2z 10 0 x 2y 2z 8 0 C. D. x 2y 2z 2 0 x 2y 2z 10 0 Câu 22. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng P đi qua điểm M 1; 2;3 và cách gốc tọa độ một khoảng lớn nhất cĩ phương trình là: A. x 2y 3z 6 0 B. x y z 2 0 C. x 2y 3z 12 0 D. x 2y 3z 14 0 Câu 23. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng P song song với hai đường thẳng x 2 t x 2 y 1 z 1 : và 2 : y 3 2t nhận vectơ nào sau đây làm vectơ pháp tuyến? 2 3 4 z 1 t A. n 5;6; 7 B. n 5; 6;7 C. n 5; 6;7 D. n 5; 6; 7 Câu 24. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng P đi qua M 1;2;3 và cắt các trục tọa độ Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho M là trọng tâm tam giác ABC . Phương trình của P là: x y z x y z A. x 2y 3z 14 0 B. 1 C. 1 D. x y z 6 0 1 2 3 3 6 9 Câu 25. Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm M 4;5;6 . Phương trình mặt phẳng (P) qua M, cắt các trục tọa độ lần lượt tại I, J, K mà M là trực tâm của tam giác IJK là x y z x y z A. 1 B. 1 12 15 18 4 5 6 C. x 2y 3z 32 0 D. 4x 5y 6z 77 0 Phần III: 15 CÂU VẬN DỤNG THẤP Câu 26. Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M (1;2;3 ,) cắt 1 1 1 các tia Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao cho biểu thức cĩ giá trị nhỏ nhất là: OA2 OB2 OC 2 x y z x y z A. x y z 6 0 B. 3 C. x 2y 3z 14 0 D. 1 1 2 3 1 2 3 Câu 27. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng P : 4x 3y 7z 3 0 và điểm I 1; 1;2 . Mặt phẳng Q đối xứng với P qua điểm I cĩ phương trình 4x by cz d 0 . Giá trị của b c d là: A. 2 B. 0 C. 1 D. 1
  66. Câu 28. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A 0;1;2 , B 2; 2;1 , C 2;1;0 . Phương trình mặt phẳng ABC là ax y cz d 0 . Giá trị của a d bằng A. 4 B. 2 C. 4 D. 2 2 2 2 Câu 29. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt cầu S1 : x 1 y 2 z 3 16 và 2 2 2 S2 : x 1 y 2 z 3 25 cắt nhau theo giao tuyến là một đường trịn C . Viết phương trình mặt phẳng P chứa đường trịn C : A. x 2y 3z 9 0 B. x 2y 3z 9 0 C. 4x 8y 12z 9 0 D. 4x 8y 12z 9 0 Câu 30. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A 2;4;1 , B 1;1;3 và mặt phẳng (P): x – 3y 2z – 5 0 . Mặt phẳng (Q) đi qua hai điểm A, B và vuơng gĩc với mặt phẳng (P) cĩ phương trình là A. x y 3z 9 0 B. 3x y 10 0 C. 8y 12z 61 0 D. 2y 3z 11 0 Câu 31. Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 2 đường thẳng (d1) và (d2 ) cĩ phương trình: x 1 y 1 z 2 x 4 y 1 z 3 (d ); , (d ) : . Mặt phẳng (P) chứa (d ) và (d ) cĩ 1 2 3 1 2 6 9 3 1 2 phương trình là A. Khơng tồn tại B. x y z 0 C. 2x 3y z 1 0 D. x y 5z 10 0 Câu 32. Trong khơng gian với hệ trục Oxyz, cho mặt cầu (S): x2 y2 z2 – 2x 4y 2z – 3 0 . Phương trình mặt phẳng (P) chứa trục Ox và cắt mặt cầu (S) theo một đường trịn cĩ bán kính r 3 là: A. y 2z 0 B. x 0 C. 2y z 0 D. y z 0 Câu 33. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, Gọi P là mặt phẳng chứa hai đường thẳng x y 1 z x y 1 z 4 (d ) : và (d ) : . Khoảng cách từ điểm M 1;2;3 đến P bằng: 1 1 2 3 2 1 2 5 4 8 2 A. B. C. D. 6 6 6 6 x 3 y 2 z Câu 34. Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d: và mặt cầu (S): 2 2 1 x2 y2 z2 2x 2y 4z 1 0 . Lập phương trình mặt phẳng (P) song song với d và trục Ox, đồng thời tiếp xúc với mặt cầu (S). y 2z 2 0 y 2z 2 0 A. 2x y 2 0 B. y 2z 8 0 C. D. y 2z 8 0 y 2z 8 0 Câu 35. Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S) cĩ phương trình x2 y2 z2 2x 4y 6z 11 0 và mặt phẳng ( ) cĩ phương trình 2x + 2y – z + 17 = 0. Mặt phẳng () song song với ( ) và cắt (S) theo giao tuyến là đường trịn cĩ chu vi bằng p 6 cĩ phương trình ax by cz 1 0 . Giá trị của T a b c bằng: 3 A. T 3 B. T 7
  67. 3 3 3 C. T D. Thoặc T 7 17 7 Câu 36. Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) qua O, vuơng gĩc với mặt phẳng (Q): x y z 0 và cách điểm M(1; 2; –1) một khoảng bằng 2 . x y 0 y z 0 x z 0 2x 5y 7z 0 A. B. C. D. 5x 8y 3z 0 2x 5y 3z 0 5x 8y 3z 0 2x 5y 3z 0 Câu 37. Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD với A(1; 1;2) , B(1;3;0) , C( 3;4;1) , D(1;2;1) . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B sao cho khoảng cách từ C đến (P) bằng khoảng cách từ D đến (P). x 2y 4z 7 0 x 2y 4z 7 0 A. x 2y 4z 7 0 B. x y 2z 4 0 C. D. x y 2z 4 0 x y 2z 4 0 Câu 38. Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1,d lần2 lượt cĩ phương trình x 2 y 2 z 3 x 1 y 2 z 1 d : , d : . Viết phương trình mặt phẳng cách đều hai 1 2 1 3 2 2 1 4 đường thẳng d1,d2 . A. 7x 2y 4z 3 0 B. 7x 2y 4z 3 0 C. 14x 4y 8z 13 0 D. 14x 4y 8z 3 0 x 1 y z 2 Câu 39. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : và điểm A(2;5;3) . 2 1 2 Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d sao cho khoảng cách từ A đến (P) là lớn nhất. A. x 4y z 3 0 B. x 5y z 3 0 C. x z 1 0 D. 2x y 2z 6 0 Câu 40. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A 10;2;–1 và đường thẳng d cĩ phương trình: x 1 y z 1 . Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, song song với d và khoảng cách từ 2 1 3 d tới (P) là lớn nhất. A. 7x y 5z 77 0 B. 2x y z 19 0 C. 2x y 3z 19 0 D. 5x y 3z 77 0 Phần IV: 10 CÂU VẬN DỤNG CAO Câu 41. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x2 y2 z2 2x 4y 4 0và mặt phẳng (P):x z 3 0 . Phương trình mặt phẳng (Q) đi qua điểm M (3;1; 1) vuơng gĩc với mặt phẳng (P) và tiếp xúc với mặt cầu (S) cĩ dạng ax by cz 9 0 . Giá trị của a b c bằng: A. 0 B. 7 C. 1hoặc 7 D. hoặc7 1 Câu 42. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P) :5x 2y 5z 1 0 và (Q) : x 4y 8z 12 0 . Gọi (R) là mặt phẳng đi qua gốc tọa độ O, khơng chứa trụcO y , vuơng gĩc với mặt phẳng (P) và tạo với mặt phẳng (Q) một gĩc 450 . Khoảng cách từ M 1; 2;3 đến R bằng: 3 2 31 2 3 2 A. B. C. 2 D. hoặc2 5 15 5 Câu 43. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (Q): x 2y z 5 0và đường thẳng