Bộ đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 7

Nội dung text: Bộ đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 7

1. ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI ĐỀ 1 MễN TOÁN LỚP 7 Thời gian: 120 phỳt 212.35 46.92 510.73 255.492 Bài 1:( 3 điểm) a) Thực hiện phộp tớnh: A 6 3 22.3 84.35 125.7 59.143 b) Chứng minh rằng: Với mọi số nguyờn dương n thỡ : 3n 2 2n 2 3n 2n chia hết cho 10 1 4 2 Bài 2:(2 điểm) Tỡm x biết: x 3,2 3 5 5 a c a2 c2 a Bài 3: (2 điểm) Cho . Chứng minh rằng: c b b2 c2 b Bài 4: (3 điểm) Cho tam giỏc ABC, M là trung điểm của BC. Trờn tia đối của của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA. Chứng minh rằng: a) AC = EB và AC // BE b) Gọi I là một điểm trờn AC ; K là một điểm trờn EB sao cho AI = EK . C.minh ba điểm I , M , K thẳng hàng 0 0 c) Từ E kẻ EH  BC H BC . Biết Hã BE 50 ;Mã EB 25 . Tớnh Hã EM và Bã ME ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI ĐỀ 2 MễN TOÁN LỚP 7 Thời gian: 120 phỳt 1 Bài 1. Tỡm giỏ trị n nguyờn dương: a) .16n 2n ; b) 27 < 3n < 243 8 1 1 1 1 1 3 5 7 49 Bài 2. Thực hiện phộp tớnh: ( ) 4.9 9.14 14.19 44.49 89 Bài 3. a) Tỡm x biết: 2x 3 x 2 b) Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của A = x 2006 2007 x Khi x thay đổi Bài 4. Hiện nay hai kim đồng hồ chỉ 10 giờ. Sau ớt nhất bao lõu thỡ 2 kim đồng hồ nằm đối diện nhau trờn một đường thẳng. Bài 5. Cho tam giỏc vuụng ABC ( A = 1v), đường cao AH, trung tuyến AM. Trờn tia đối tia MA lấy điểm D sao cho DM = MA. Trờn tia đối tia CD lấy điểm I sao cho CI = CA, qua I vẽ đường thẳng song song với AC cắt đường thẳng AH tại E. Chứng minh: AE = BC. ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI ĐỀ 3 MễN TOÁN LỚP 7 Thời gian: 120 phỳt x y a / ; xy=84 Cõu 1: Tỡm cỏc cặp số (x; y) biết: 3 7 1+3y 1+5y 1+7y b/ 12 5x 4x x2 15 Cõu 2: Tỡm giỏ trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của cỏc biểu thức sau : A = x 1 +5 ; B = x2 3 Cõu 3: Cho tam giỏc ABC cú Â < 900. Vẽ ra phớa ngoài tam giỏc đú hai đoạn thẳng AD vuụng gúc và bằng AB; AE vuụng gúc và bằng AC. a, Chứng minh: DC = BE và DC  BE b, Gọi N là trung điểm của DE. Trờn tia đối của tia NA lấy M sao cho NA = NM. C/minh: AB = ME và ABC= EMA
2. Chứng minh: MA  BC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI ĐỀ 4 MễN TOÁN LỚP 7 Thời gian: 120 phỳt 3 2 2 3 2003 2 . . 1 1 1 1 3 4 Cõu 1 ( 2 điểm) Thực hiện phộp tớnh : a- 6. 3. 1 : ( 1 ; b- 2 3 3 3 3 2 5 . 5 12 a 2 a 3 Cõu 2 ( 2 điểm) a, Tỡm số nguyờn a để là số nguyờn; b, Tỡm số nguyờn x,y sao cho x-2xy+y=0 a 1 a c Cõu 3 ( 2 điểm) a, Chứng minh rằng nếu a+c=2b và 2bd = c (b+d) thỡ với b,d khỏc 0 b d b, Cần bao nhiờu số hạng của tổng S = 1+2+3+ để được một số cú ba chữ số giống nhau . Cõu 4 ( 3 điểm) Cho tam giỏc ABC cú gúc B bằng 450 , gúc C bằng 1200. Trờn tia đối của tia CB lấy điểm D sao cho CD=2CB . Tớnh gúc ADE Cõu 5 ( 1điểm) Tỡm mọi số nguyờn tố thoả món : x2-2y2=1 ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI ĐỀ 5 MễN TOÁN LỚP 7 Thời gian: 120 phỳt 200 1000 1 1 163.310 120.69 Bài 1: a) So sỏnh hợp lý: và ; b) Tớnh A = 16 2 46.312 611 c) Cho x, y, z là cỏc số khỏc 0 và x2 = yz , y2 = xz , z 2 = xy. Chứng minh rằng: x = y = z Bài 2: Tỡm x biết: a) (2x-1)4 = 16 b) (2x+1)4 = (2x+1)6 x 1 x 2 x 3 x 4 c) x 3 8 20 d) 2009 2008 2007 2006 Bài 3: Tỡm cỏc số x, y, z biết : a) (3x - 5)2006 +(y2 - 1)2008 + (x - z) 2100 = 0 x y z b) và x2 + y2 + z2 = 116 2 3 4 Bài 4 : a) Cho hai đại lượng tỉ lệ nghịch x và y ; x1, x 2 là hai giỏ trị bất kỡ của x; y1, y2 là hai giỏ trị tương 2 2 ứng của y.Tớnh y1, y2 biết y1 + y2 = 52 và x1=2 , x 2= 3. b) Cho hàm số : f(x) = a.x2 + b.x + c với a, b, c, d Z Biết f (1)3; f (0)3; f ( 1)3.Chứng minh rằng a, b, c đều chia hết cho 3 n 2 n 2 n n c) Chứng minh rằng : Với mọi số nguyờn dương n thỡ : 3 2 3 2 chia hết cho 10 Bài 5: Cho tam giỏc ABC vuụng cõn tại A, M là trung điểm BC. Lấy điểm D bất kỡ thuộc cạnh BC. H và I thứ tự là hỡnh chiếu của B và C xuống đường thẳng AD. Đường thẳng AM cắt CI tại N. Chứng minh rằng: a) BH = AI. b) BH2 + CI2 cú giỏ trị khụng đổi. c) Đường thẳng Dn vuụng gúc với AC. d) IM là phõn giỏc của gúc HIC. ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI ĐỀ 6 MễN TOÁN LỚP 7 Thời gian: 120 phỳt Cõu 1. Tỡm x biết: a) 3x 1 5.3x 1 162 b) 3x +x2 = 0 c) (x-1)(x-3) < 0 x y z Cõu 2. a) Tỡm ba số x, y, z thỏa món: và 2x 2 2y 2 3z 2 100 3 4 5
3. a b c d b) Cho (a, b, c, d > 0) 2b 2c 2d 2a 2011a 2010b 2011b 2010c 2011c 2010d 2011d 2010a Tớnh A = c d a d a b b c Cõu 3. a) Tỡm cặp số nguyờn (x,y) thoả món x + y + xy =2. 27 2x b) Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức Q = (với x nguyờn) 12 x Cõu 4. a) Cho đa thức f(x) = ax2 + bx + c. Chứng minh rằng nếu f(x) nhận 1 và -1 là nghiệm thỡ a và c là 2 số đối nhau. 2 b) Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức P = x 3 2 y 3 2007 Cõu 5. Cho ABC vuụng tại A. M là trung điểm BC, trờn tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho AM = MD. Gọi I và K lần lượt là chõn đường vuụng gúc hạ từ B và C xuống AD, N là chõn đường vuụng gúc hạ từ M xuống AC. a) Chứng minh rằng BK = CI và BK//CI. b) Chứng minh KN 4 c, 4- x +2x =3 Cõu3: Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x + 8 -x Cõu 4: Biết rằng :12+22+33+ +102= 385. Tớnh tổng : S= 22+ 42+ +202 Cõu 5 : Cho tam giỏc ABC ,trung tuyến AM .Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AM, BI cắt cạnh AC tại D. a. Chứng minh AC=3 AD b. Chứng minh ID =1/4BD ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI ĐỀ 8 MễN TOÁN LỚP 7 Thời gian: 120 phỳt 3 a b c a b c a Cõu 1 . ( 2đ) Cho: . Chứng minh: . b c d b c d d a c b Cõu 2. (1đ). Tỡm A biết rằng: A = . b c a b c a Cõu 3. (2đ). Tỡm x Z để A Z và tỡm giỏ trị đú. x 3 1 2x a). A = . b). A = . x 2 x 3 Cõu 4. (2đ). Tỡm x, biết: a) x 3 = 5 . b). ( x+ 2) 2 = 81. c). 5 x + 5 x+ 2 = 650 Cõu 5. (3đ). Cho ABC vuụng cõn tại A, trung tuyến AM . E BC, BH AE, CK  AE, (H,K AE). Chứng minh MHK vuụng cõn ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI ĐỀ 9 MễN TOÁN LỚP 7
4. Thời gian: 120 phỳt x3 x2 03y 1 Bài 1: (1,5 điểm) Tớnh A biết x ; y là số nguyờn õm lớn nhất x2 y 2 x 16 y 25 z 9 9 x 11 x Bài 2: (2 điểm) Cho và 2.Tỡm x+y+z 9 16 25 7 9 Bài 3: (1,5 điểm) Tỡm x,y Z biết 2xy+3x = 4 ; 16 - 72 + 90. Bài 4: (2 điểm) Cho đa thức: P = 3x3 + 4x2 - 8x+1 a/ Chứng minh rằng x= 1 là nghiệm của đa thức. b/ Tớnh giỏ trị của P biết x2+x-3 = 0 Bài 5: (3 điểm) Cho tam giỏc ABC cú vuụng tại A(AB<AC) trờn cạnh Aclấy điểm Esao cho AE = AB. Tia phõn giỏc của gúc BAC cắt đường trung trực của CE tại F. a/ Chứng minh tam giỏc BFC b/ Biết gúc ACB bằng 300.Chứng minh tam giỏc BFE đều. ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI ĐỀ 10 MễN TOÁN LỚP 7 Thời gian: 120 phỳt Bài 1: (1 điểm) Tỡm số biết: = = , và x – y + z = 4 Bài 2: (1 điểm) Biết + ab + = 25 ; + = 9 ; + ac + = 16 và a 0; c ≠ 0; a ≠ -c. Chứng minh rằng: = . Bài 3: (2,5 điểm0 a/ Tỡm giỏ trị của m để đa thức sau là đa thức bậc 3 theo biến x: f (x) = ( - 25) + (20 + 4m) + 7 - 9 b/ Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của đa thức g(x) = 16 - 72 + 90. Bài 4: (2 điểm) Tỡm số chia và số dư biết rằng số bị chia bằng 112 và thương bằng 5. Bài 5: (3 điểm) Cho tam giỏc ABC cú ba gúc nhọn, AB < AC < BC. Cỏc tia phõn giỏc của gúc A và gúc C cắt nhau tại O. Gọi F là hỡnh chiếu của O trờn BC; H là hỡnh chiếu của O trờn AC. Lấy điểm I trờn đoạn FC sao cho FI = AH. Gọi K là giao điểm của FH và AI. a/ Chứng minh tam giỏc FCH cõn và AK = KI. b/ Chứng minh ba điểm B, O, K thẳng hàng. ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI ĐỀ 11 MễN TOÁN LỚP 7 Thời gian: 120 phỳt x 4 4 x y y z 2x 3y 4z Bài 1:(2 đ)a. Tỡm x, y biết: = và x+ y = 22; b. Cho và . Tớnh M = 7 y 7 3 4 5 6 3x 4y 5z Bài 2: ( 2,0 điểm) a. Cho H = 22010 22009 22008 2 1 . Tớnh 2010H 1 1 1 1 b. Thực hiện tớnh M = 1 (1 2) (1 2 3) (1 2 3 4) (1 2 3 16) 2 3 4 16 1 2 3 4 5 30 31 Bài 3: ( 2,5 điểm) Tỡm x biết:a. . . . . . 4 x 4 6 8 10 12 62 64 45 45 45 45 65 65 65 65 65 65 b. . 8 x ; c. 4x 3 - x 1 = 7 35 35 35 25 25 Bài 4: ( 3,5đ) Cho tam giỏc ABC cú B < 900 và B = 2C. Kẻ đường cao AH. Trờn tia đối của tia BA lấy điểm E sao cho BE = BH. Đường thẳng HE cắt AC tại D. a. Chứng minh BEH = ACB. b. Chứng minh DH = DC = DA. d. Chứng minh AE = HC. c. Lấy B’ sao cho H là trung điểm của BB’. Chứng minh tam giỏc AB’C cõn. ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI ĐỀ 12 MễN TOÁN LỚP 7 Thời gian: 120 phỳt
5. 212.35 46.92 510.73 255.492 Bài 1:(4 điểm)a) Thực hiện phộp tớnh: A 6 3 22.3 84.35 125.7 59.143 b) Chứng minh rằng : Với mọi số nguyờn dương n thỡ : 3n 2 2n 2 3n 2n chia hết cho 10 1 4 2 x 1 x 11 Bài 2:(4 điểm)Tỡm x biết: a. x 3,2 ; b. x 7 x 7 0 3 5 5 2 3 1 Bài 3: (4 điểm) a, Số A được chia thành 3 số tỉ lệ theo : : . Biết rằng tổng cỏc bỡnh phương của ba số 5 4 6 a c a2 c2 a đú bằng 24309. Tỡm số A. b, Cho . Chứng minh rằng: c b b2 c2 b Bài 4: (4 điểm) Cho tam giỏc ABC, M là trung điểm của BC. Trờn tia đối của của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA. Chứng minh rằng: a) AC = EB và AC // BE b) Gọi I là một điểm trờn AC; K là một điểm trờn EB sao cho AI = EK. C/m ba điểm I, M, K thẳng hàng c) Từ E kẻ EH  BC H BC . Biết Hã BE = 50o ; Mã EB =25o . Tớnh Hã EM và Bã ME Bài 5: (4 điểm) Cho tam giỏc ABC cõn tại A cú À 200 , vẽ tam giỏc đều DBC (D nằm trong tam giỏc ABC). Tia phõn giỏc của gúc ABD cắt AC tại M. Chứng minh: a, Tia AD là phõn giỏc của gúc BAC ; b, AM = BC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI ĐỀ 13 MễN TOÁN LỚP 7 Thời gian: 120 phỳt 219.273 15.49.94 Cõu 1. (3 điểm) Rỳt gọn biểu thức A 69.210 1210 Cõu 2. (4 điểm) Chứng minh: P 3x 1 3x 2 3x 3 3x 100 120 (x N) 5 4 Cõu 3. (4 điểm) Cho hai hàm số y x và y x 4 5 a. Vẽ đồ thị 2 h/số trờn trờn cựng hệ trục tọa độ Oxy. b. CMR:đồ thị của hai h/số trờn vuụng gúc với nhau. Cõu 4. (4,5điểm). Cho ∆ABC cõn, àA 100 . Gọi M là điểm nằm trong tam giỏc sao cho Mã BC 10 ,Mã CB 20 . Trờn tia đối của AC lấy điểm E sao cho CE = CB. a. Chứng minh: ∆BME đều. b. Tớnh ãAMB 2 Cõu 5. (4,5điểm). Cho ∆ABC, trung tuyến BM. Trờn tia BM lấy I và K sao cho BI BM và M là trung 3 điểm của IK. Gọi N là trung điểm của KC. IN cắt AC tại O. Chứng minh: 1 a. O là trọng tõm của ∆IKC. b. IO BC . 3 ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI ĐỀ 14 MễN TOÁN LỚP 7 Thời gian: 120 phỳt 2a b c d a 2b c d a b 2c d a b c 2d Cõu1: (2 điểm) Cho dóy tỉ số bằng nhau: a b c d a b b c c d d a Tỡm giỏ trị biểu thức: M= c d d a a b b c Cõu2: (1 điểm) . Cho S = abc bca cab . Chứng minh rằng S khụng phải là số chớnh phương. Cõu3: (2 điểm) Một ụ tụ chạy từ A đến B với vận tốc 65 km/h, cựng lỳc đú một xe mỏy chạy từ B đến A với vận tốc 40 km/h. Biết khoảng cỏch AB là 540 km và M là trung điểm của AB. Hỏi sau khi khởi hành bao lõu thỡ ụtụ cỏch M một khoảng bằng 1/2 khoảng cỏch từ xe mỏy đến M. Cõu4: (2 điểm) Cho tam giỏc ABC, O là điểm nằm trong tam giỏc. a. Chứng minh rằng: Bã OC àA ãABO ãACO
6. àA b. Biết ãABO ãACO 900 và tia BO là tia phõn giỏc của gúc B. CMR: Tia CO là tia phõn giỏc của gúc 2 C. Cõu 5: (1,5điểm). Cho 9 đường thẳng trong đú khụng cú 2 đường thẳng nào song song. CMR ớt nhất cũng cú 2 đường thẳng mà gúc nhọn giữa chỳng khụng nhỏ hơn 200. Cõu 6: (1,5điểm). Khi chơi cỏ ngựa, thay vỡ gieo 1 con sỳc sắc, ta gieo cả hai con sỳc sắc cựng một lỳc thỡ điểm thấp nhất là 2, cao nhất là 12. cỏc điểm khỏc là 3; 4; 5 ;6 11. Hóy lập bảng tần số về khả năng xuất hiện mỗi loại điểm núi trờn? Tớnh tần xuất của mỗi loại điểm đú. ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI ĐỀ 15 MễN TOÁN LỚP 7 Thời gian: 120 phỳt Bài 1: Tớnh giỏ trị biểu thức: (a b)( x y) (a y)(b x) 1 3 A = . Với a = ; b = -2 ; x = ; y = 1 abxy(xy ay ab by) 3 2 a1 a2 a9 Bài 2: Chứng minh rằng: Nếu 0 < a1 < a2 < < a9 thỡ: 3 a3 a6 a9 Bài 3: Cú 3 mảnh đất hỡnh chữ nhật: A; B và C. Cỏc diện tớch của A và B tỉ lệ với 4 và 5, cỏc diện tớch của B và C tỉ lệ với 7 và 8; A và B cú cựng chiều dài và tổng cỏc chiều rộng của chỳng là 27m. B và C cú cựng chiều rộng. Chiều dài của mảnh đất C là 24m. Hóy tớnh diện tớch của mỗi mảnh đất đú. 4x 7 3x2 9x 2 Bài 4: Cho 2 biểu thức: A = ; B = x 2 x 3 a) Tỡm giỏ trị nguyờn của x để mỗi biểu thức cú giỏ trị nguyờn b) Tỡm giỏ trị nguyờn của x để cả hai biểu thức cựng cú giỏ trị nguyờn. Bài 5: Cho tam giỏc cõn ABC, AB = AC. Trờn tia đối của cỏc tia BC và CB lấy theo thứ tự hai điểm D và E sao cho BD = CE. a) Chứng minh tam giỏc ADE là tam giỏc cõn. b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh AM là tia phõn giỏc của gúc DAE c) Từ B và C vẽ BH và CK theo thứ tự vuụng gúc với AD và AE. Chứng minh BH = CK d) Chứng minh 3 đường thẳng AM; BH; CK gặp nhau tại 1 điểm. ĐÁP ÁN ĐÁP ÁN ĐỀ 1 THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LỚP 7. Mụn: TOÁN Bài 1:(3 điểm): a) (1.5 điểm)
7. 10 212.35 46.92 510.73 255.492 212.35 212.34 510.73 5 .74 A 6 3 12 6 12 5 9 3 9 3 3 22.3 84.35 125.7 59.143 2 .3 2 .3 5 .7 5 .2 .7 212.34. 3 1 510.73. 1 7 212.35. 3 1 59.73. 1 23 212.34.2 510.73. 6 212.35.4 59.73.9 1 10 7 6 3 2 b) (1.5 điểm) 3n 2 2n 2 3n 2n = 3n 2 3n 2n 2 2n =3n (32 1) 2n (22 1) =3n 10 2n 5 3n 10 2n 1 10 = 10( 3n -2n) Vậy 3n 2 2n 2 3n 2n  10 với mọi n là số nguyờn dương. Bài 2:(2 điểm) 1 4 2 1 4 16 2 x 3,2 x 3 5 5 3 5 5 5 1 4 14 x 3 5 5 1 1 x 2 x 2 3 3 x 1 2 3 x 2 1 7 3 3 x 2 1 5 3 3 a c a2 c2 a2 a.b a(a b) a Bài 3: (2 điểm) Từ suy ra c2 a.b khi đú = c b b2 c2 b2 a.b b(a b) b Bài 4: (3 điểm) a/ (1điểm) Xột AMC và EMB cú : AM = EM (gt ) A I B M C H K E ãAMC Eã MB (đối đỉnh ) BM = MC (gt ) Nờn : AMC = EMB (c.g.c ) AC = EB Vỡ AMC = EMB Mã AC Mã EB (2 gúc cú vị trớ so le trong được tạo bởi đường thẳng AC và EB cắt đường thẳng AE ) Suy ra AC // BE . b/ (1 điểm ) Xột AMI và EMK cú : AM = EM (gt ) Mã AI Mã EK ( vỡ AMC EMB ) AI = EK (gt ) Nờn AMI EMK ( c.g.c ) Suy ra: ãAMI Eã MK
8. Mà ãAMI IãME 1800 ( tớnh chất hai gúc kề bự ) Eã MK IãME 1800 Ba điểm I;M;K thẳng hàng c/ (1 điểm ) Trong tam giỏc vuụng BHE ( Hà 900 cú Hã BE 500 Hã EB 900 Hã BE 900 500 400 Hã EM Hã EB Mã EB 400 250 150 Bã ME BME là gúc ngoài tại đỉnh M của HEM Nờn Bã ME Hã EM Mã HE 150 900 1050 ( định lý gúc ngoài của tam giỏc ) ( Học sinh giải theo cỏch khỏc đỳng kết quả vẫn cho điểm tối đa) ĐÁP ÁN ĐỀ 2 THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LỚP 7. Mụn: TOÁN Bài 1. Tỡm giỏ trị n nguyờn dương: (4 điểm mỗi cõu 2 điểm) 1 a) .16n 2n ; => 24n-3 = 2n => 4n – 3 = n => n = 1 8 b) 27 33 n = 4 Bài 2. Thực hiện phộp tớnh: (4 điểm) 1 1 1 1 1 3 5 7 49 ( ) 4.9 9.14 14.19 44.49 89 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 (1 3 5 7 49) = ( ). 5 4 9 9 14 14 19 44 49 12 1 1 1 2 (12.50 25) 5.9.7.89 9 = ( ). 5 4 49 89 5.4.7.7.89 28 Bài 3. (4 điểm mỗi cõu 2 điểm) a) Tỡm x biết: 2x 3 x 2 Ta cú: x + 2 0 => x - 2. 3 + Nếu x - thỡ 2x 3 x 2 => 2x + 3 = x + 2 => x = - 1 (Thoả món) 2 3 5 + Nếu - 2 x - 2x - 3 = x + 2 => x = - (Thoả món) 2 3 + Nếu - 2 > x Khụng cú giỏ trị của x thoả món b) Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của A = x 2006 2007 x Khi x thay đổi + Nếu x -2006 => - 2x + 4013 > – 4012 + 4013 = 1 => A > 1 + Nếu 2006 x 2007 thỡ: A = x – 2006 + 2007 – x = 1 + Nếu x > 2007 thỡ A = x - 2006 - 2007 + x = 2x – 4013 Do x > 2007 => 2x – 4013 > 4014 – 4013 = 1 => A > 1. Vậy A đạt giỏ trị nhỏ nhất là 1 khi 2006 x 2007
9. Bài 4. Hiện nay hai kim đồng hồ chỉ 10 giờ. Sau ớt nhất bao lõu thỡ 2 kim đồng hồ nằm đối diện nhau trờn một đường thẳng. (4 điểm mỗi) Gọi x, y là số vũng quay của kim phỳt và kim giờ khi 10giờ đến lỳc 2 kim đối nhau trờn một đường thẳng, ta cú: 1 x – y = (ứng với từ số 12 đến số 4 trờn đụng hồ) 3 và x : y = 12 (Do kim phỳt quay nhanh gấp 12 lần kim giờ) x 12 x y x y 1 1 Do đú: :11 y 1 12 1 11 3 33 12 4 => x = (vũng) x (giờ) 33 11 Vậy thời gian ớt nhất để 2 kim đồng hồ từ khi 10 giờ đến lỳc nằm đối diện nhau trờn một đường thẳng là 4 giờ 11 Bài 5. Cho tam giỏc vuụng ABC ( A = 1v), đường cao AH, trung tuyến AM. Trờn tia đối tia MA lấy điểm D sao cho DM = MA. Trờn tia đối tia CD lấy điểm I sao cho CI = CA, qua I vẽ đường thẳng song song với AC cắt đường thẳng AH tại E. Chứng minh: AE = BC (4 điểm mỗi) Đường thẳng AB cắt EI tại F E ABM = DCM vỡ: AM = DM (gt), MB = MC (gt), F ãAMB = DMC (đđ) => BAM = CDM =>FB // ID => ID  AC I Và FAI = CIA (so le trong) (1) A IE // AC (gt) => FIA = CAI (so le trong) (2) Từ (1) và (2) => CAI = FIA (AI chung) => IC = AC = AF (3) B H M và E FA = 1v (4) Mặt khỏc EAF = BAH (đđ), D BAH = ACB ( cựng phụ ABC) => EAF = ACB (5) Từ (3), (4) và (5) => AFE = CAB =>AE = BC ĐÁP ÁN ĐỀ 3 THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LỚP 7. Mụn: TOÁN ĐÁP ÁN ĐỀ 3 TOÁN 7 Cõu 1: Tỡm tất cả cỏc số nguyờn a biết a 4 ; 0 a 4 => a = 0; 1; 2; 3 ; 4 * a = 0 => a = 0; * a = 1 => a = 1 hoặc a = - 1 ; * a = 2 => a = 2 hoặc a = - 2 * a = 3 => a = 3 hoặc a = - 3; * a = 4 => a = 4 hoặc a = - 4
10. 9 9 Cõu 2: Tỡm phõn số cú tử là 7 biết nú lớn hơn và nhỏ hơn 10 11 9 7 9 63 63 63 Gọi mẫu phõn số cần tỡm là x. Ta cú: => 10 x 11 70 9x 77 7 => -77 9x = -72 => x = 8 . Vậy phõn số cần tỡm là 8 Cõu 3. Cho 2 đa thức: P x = x 2 + 2mx + m 2 và Q x = x 2 + (2m+1)x + m 2 . Tỡm m biết P (1) = Q (-1) P(1) = 12 + 2m.1 + m2 = m2 + 2m + 1; Q(-1) = 1 – 2m – 1 +m2 = m2 – 2m Để P(1) = Q(-1) thỡ m2 + 2m + 1 = m2 – 2m 4m = -1 m = -1/4 x y x2 y2 xy 84 Cõu 4: Tỡm cỏc cặp số (x; y) biết: a / ; xy=84 => 4 3 7 9 49 3.7 21 => x2 = 4.49 = 196 => x = 14 => y2 = 4.4 = 16 => x = 4 Do x,y cựng dấu nờn: x = 6; y = 14 ; x = - 6; y = -14 1+3y 1+5y 1+7y b/ 12 5x 4x 1+3y 1+5y 1+7y 1 7y 1 5y 2y 1 5y 1 3y 2y ỏp dụng tớnh chất dóy tỉ số bằng nhau ta cú: 12 5x 4x 4x 5x x 5x 12 5x 12 2y 2y 1 3y 2y => => -x = 5x -12 => x = 2. Thay x = 2 vào trờn ta được: y x 5x 12 12 2 1 1 =>1+ 3y = -12y => 1 = -15y => y = . Vậy x = 2, y = thoả món đề bài 15 15 Cõu 5: Tỡm giỏ trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của cỏc biểu thức sau : A = x 1 +5 Ta cú : x 1 0. Dấu = xảy ra x= -1. A 5. M Dấu = xảy ra x= -1. Vậy: Min A = 5 x= -1. 2 2 x 15 x 3 12 12 P • B = = = 1 + E x2 3 x2 3 x2 3 2 2 N 1 Ta cú: x 0. Dấu = xảy ra x = 0 D x + 3 3 ( 2 vế dương ) 1 12 12 12 12 4 1+ 1+ 4 B 5 x2 3 3 x2 3 x2 3 A Dấu = xảy ra x = 0 . Vậy : Max B = 5 x = 0. 1 K I 2 ĐA:ĐỀ 3- Cõu 6: T a/ Xột ADC và BAF ta cú: DA = BA(gt); AE = AC (gt); DAC = BAE ( cựng bằng 900 + BAC ) => DAC = BAE(c.g.c ) => DC = BE B H C Xột AIE và TIC I1 = I2 ( đđ) E1 = C1( do DAC = BAE) => EAI = CTI => CTI = 900 => DC  BE b/ Ta cú: MNE = AND (c.g.c)
11. => D1 = MEN, AD = ME mà AD = AB ( gt) => AB = ME (đpcm) (1) 0 Vỡ D1 = MEN => DA//ME => DAE + AEM = 180 ( trong cựng phớa ) mà BAC + DAE = 1800 => BAC = AEM ( 2 ) Ta lại cú: AC = AE (gt) ( 3). Từ (1),(2) và (3) => ABC = EMA ( đpcm) c/ Kộo dài MA cắt BC tại H. Từ E hạ EP  MH Xột AHC và EPA cú: CAH = AEP ( do cựng phụ với gPAE ) AE = CA ( gt) PAE = HCA ( do ABC = EMA cõu b) => AHC = EPA => EPA = AHC => AHC = 900 => MA  BC (đpcm) ĐÁP ÁN ĐỀ 4 THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LỚP 7. Mụn: TOÁN CÂU HƯỚNG DẪN CHẤM ĐIỂM 1.a Thực hiện theo từng bước đỳng kết quả -2 cho điểm tối đa 1Điểm 1.b Thực hiện theo từng bước đỳng kết quả 14,4 cho điểm tối đa 1Điểm 2.a a 2 a 3 a(a 1) 3 3 0,25 Ta cú : = a a 1 a 1 a 1 a 2 a 3 3 vỡ a là số nguyờn nờn là số nguyờn khi là số nguyờn hay a 1 a 1 0,25 a+1 là ước của 3 do đú ta cú bảng sau : a+1 -3 -1 1 3 a -4 -2 0 2 0,25 a 2 a 3 Vậy với a 4, 2,0,2thỡ là số nguyờn a 1 0,25 2.b Từ : x-2xy+y=0 Hay (1-2y)(2x-1) = -1 0,25 Vỡ x,y là cỏc số nguyờn nờn (1-2y)và (2x-1) là cỏc số nguyờn do đú ta cú cỏc trường hợp sau : 1 2y 1 x 0 0,25 2x 1 1 y 0 1 2y 1 x 1 0,25 Hoặc 2x 1 1 y 1 Vậy cú 2 cặp số x, y như trờn thoả món điều kiện đầu bài 0,25 3.a Vỡ a+c=2b nờn từ 2bd = c (b+d) Ta cú: (a+c)d=c(b+d) 0,5 a c Hay ad=bc Suy ra ( ĐPCM) b d 0,5 3.b Giả sử số cú 3 chữ số là aaa =111.a ( a là chữ số khỏc 0) Gọi số số hạng của tổng là n , ta cú :
12. n(n 1) 0,25 111a 3.37.a Hay n(n+1) =2.3.37.a 2 Vậy n(n+1) chia hết cho 37 , mà 37 là số nguyờn tố và n+1 16 2 2 2 200 200 5.200 1000 1 1 1 1 Cỏch 2: > = 16 32 2 2 3 4 10 2 9 2 .3 3.2.5.2 . 2.3 212.310 310.212.5 212.310 1 5 b)P 6 12 12 11 11 11 11 2 12 11 2 .3 2 .3 2 3 2.3 1 2 .3 2.3 6.212.310 4.211.311 4 7.211.311 7.211.311 7
13. x z y x z y x y z c) Vỡ x, y, z là cỏc số khỏc 0 và x2 = yz , y2 = xz , z 2 = xy ; ; .ỏp dụng y x z y x z y z x x y z x y z tớnh chất dóy tỉ số bằng nhau 1 x y z y z x y z x Bài 2: (1,5 điểm): a) (2x-1)4 = 16 .Tỡm đỳng x =1,5 ; x = -0,5 (0,25điểm) b) (2x+1)4 = (2x+1)6. Tỡm đỳng x = -0,5 ; x = 0; x = -15 (0,5điểm) c) x 3 8 20 x 3 8 20 x 3 8 20 ; x 3 8 20 x 3 8 20 x 3 28 x = 25; x = - 31 x 3 8 20 x 3 12 : vụ nghiệm x 1 x 2 x 3 x 4 x 1 x 2 x 3 x 4 d) 1 1 1 1 2009 2008 2007 2006 2009 2008 2007 2006 x 2010 x 2010 x 2010 x 2010 2009 2008 2007 2006 x 2010 x 2010 x 2010 x 2010 0 2009 2008 2007 2006 1 1 1 1 x 2010 0 x 2010 0 x 2010 2009 2008 2007 2006 Bài 3: a) (3x - 5)2006 +(y2 - 1)2008 + (x - z) 2100 = 0 (3x - 5)2006 = 0; (y2 - 1)2008 = 0; (x - z) 2100 = 0 5 3x - 5 = 0; y2 - 1 = 0 ; x - z = 0 x = z = ;y = -1;y = 1 3 x y z b) và x2 + y2 + z2 = 116 2 3 4 x2 y2 z2 x2 y2 z2 116 4 Từ giả thiết 4 9 16 4 9 16 29 Tỡm đỳng: (x = 4; y = 6; z = 8 ); (x = - 4; y = - 6; z = - 8 ) Bài 4: a) Vỡ x, y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nờn: 2 2 2 2 2 2 x1 y2 y2 2 y2 y1 y2 y1 y1 y2 y1 y2 52 4 x2 y1 y1 3 2 3 2 3 9 4 9 4 13 2 )y1 36 y1 6 Với y1= - 6 thỡ y2 = - 4 ; Với y1 = 6 thỡ y2= 4 . b)Ta cú: f(0) = c; f(1) = a + b + c; f(-1) = a - b +c ) f (0)3 c3 ) f (1)3 a b c3 a b3 1 ) f ( 1)3 a b c3 a b3 2 Từ (1) và (2) Suy ra (a + b) +(a - b) 3 2a3 a3 vỡ ( 2; 3) = 1 b3 Vậy a , b , c đều chia hết cho 3 c) 3n 2 2n 2 3n 2n = 3n 2 3n 2n 2 2n
14. =3n (32 1) 2n (22 1) =3n 10 2n 5 3n 10 2n 1 10 = 10( 3n -2n-1) n 2 n 2 n n Vậy 3 2 3 2  10 với mọi n là số nguyờn dương. B H D Bài 5: a. AIC = BHA BH = AI M (0,5điểm) b. BH2 + CI2 = BH2 + AH2 = AB2 I (0,75điểm) c. AM, CI là 2 đường cao cắt nhau tại N N là trực tõm DN  NAC (0,75điểm) d. BHM = AIM HM = MI và BMH = IMA (0,25điểm) C mà :  IMA + BMI = 900 BMH + BMI = 900 A (0,25điểm) HMI vuụng cõn HIM = 450 (0,25điểm) mà : HIC = 900 HIM =MIC= 450 IM là phõn giỏc HIC (0,25điểm) *) Ghi chỳ: Nếu học sinh cú cỏch giải khỏc đỳng, vẫn được điểm tối đa ĐÁP ÁN ĐỀ 6 THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LỚP 7. Mụn: TOÁN ĐÁP ÁN - BIỂU CHẤM CÂU NỘI DUNG ĐIỂM Cõu 1 a) (1,5đ) 0,75 (4,5 đ) 3x 1 (1+5) = 162 3x 1 = 27 0,75 => x-1= 3 => x = 4 b) (1,5đ) 0,75 3x +x2 = 0  x(3 + x) = 0 0,75 x=0 hoặc x= -3 c) (1,5đ) (x-1)(x-3) x-3 nờn 0,5 x 1 0 1,0 (x-1)(x-3) 0 => a+b+c+d >0) 2b 2c 2d 2a 2b 2c 2d 2a 2 0,5 suy ra a = b = c= d Thay vào tớnh được P = 2 0,5 Cõu 3 a) (1,5đ) (3,0 đ) Ta cú x + y + xy =2  x + 1 + y(x + 1) = 3 0,75  (x+1)(y+1)=3 Do x, y nguyờn nờn x + 1 và y + 1 phải là ước của 3. Lập bảng ta cú:
15. CÂU NỘI DUNG ĐIỂM x+1 1 3 -1 -3 0,5 y+1 3 1 -3 -1 x 0 2 -2 -4 y 2 0 -4 -2 Vậy cỏc cặp (x,y) là: (0,2); (2,0); (-2,-4); (-4,-2) 0,25 b) (1,5 đ) 27 2x 3 Q = = 2+ 12 x 12 x 0,25 3 A lớn nhất khi lớn nhất 0,25 12 x 0,25 3 * Xột x > 12 thỡ 0. Vỡ phõn số cú tử và mẫu là cỏc số dương, tử khụng đổi 0,25 12 x nờn phõn số cú giỏ trị lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất. 12-x 0 0,25 3 Vậy để lớn nhất thỡ x Z  x = 11 12 x 12-x nhỏ nhất 0,25 A cú giỏ trị lớn nhất là 5 khi x =11 Cõu 4 a) (2,0 đ) (4,0 đ) Ta cú: 1 là nghiệm của f(x) => f(1) = 0 hay a + b + c = 0 (1) 0,75 -1 là nghiệm của f(x) => f(-1) = 0 hay a - b + c = 0 (2) 0,75 Từ (1) và (2) suy ra 2a + 2c = 0 => a + c = 0 => a = -c 0,5 Vậy a và c là hai số đối nhau. b) (2,0 đ) 2 Ta cú x 3 2 2 ,x => x 3 2 4 . Dấu "=" xảy ra  x = 3 0,5 y 3 0 , y . Dấu "=" xảy ra  y = -3 0,5 2 Vậy P = x 3 2 y 3 2007 4 + 2007 = 2011. 0,5 Dấu "=" xảy ra  x = 3 và y = -3 Vậy giỏ trị nhỏ nhất của P = 2011  x = 3 và y = -3 0,5 Cõu 5 (5,5 đ) B K D M H I A N C O' O a) (2,0 đ) 0,5 - Chứng minh IBM = KCM => IM= MK 1,0
16. CÂU NỘI DUNG ĐIỂM - Chứng minh IMC = KMB 0,5 => CI = BK và gúc MKB = gúc MIC => BK//CI b) (1,5 đ) Chỉ ra được AM = MC => AMC cõn tại M => đường cao MN đồng thời là đường trung tuyến của AMC => N là trung điểm AC 0,5 1 AKC vuụng tại K cú KN là trung tuyến => KN = AC 0,25 2 1 Mặt khỏc MC = BC 0,25 2 1 1 Lại cú ABC vuụng tại A => BC > AC => BC > AC hay MC > KN 2 2 0,5 Vậy MC > KN (ĐPCM) c) (1,0 đ) Theo CM ý a IM = MK mà AM = MD (gt) => AI = KD Vậy để AI = IM = MK = KD thỡ cần AI = IM Mặt khỏc BI  AM => khi đú BI vừa là trung tuyến, vừa là đường cao ABM 0,5 => ABM cõn tại B (1) Mà ABC vuụng tại A, trung tuyến AM nờn ta cú ABM cõn tại M (2) 0,5 Từ (1) và (2) ruy ra ABM đều => gúc ABM = 600 Vậy vuụng ABC cần thờm điều kiện gúc ABM = 600 d) (1,0 đ) Xảy ra 2 trường hợp: Trường hợp 1: Nếu I thuộc đoạn AM => H thuộc đoạn MC => BI và DH cắt tia MN. Gọi O là giao điểm của BI và tia MN, O’ là giao điểm của DH và tia MN 0,5 Dễ dàng chứng minh AIO = MHO’ => MO = MO’ => O  O’ Suy ra BI, DH, MN đồng quy. Trường hợp 2: Nếu I thuộc đoạn MD => H thuộc đoạn MB 0,5 => BI và BH cắt tia đối của tia MN. Chứng minh tương tự trường hợp 1 Vậy BI, DH, MN đồng quy. (Học sinh cú thể sử dụng cỏc cỏch khỏc để CM: VD sử dụng tớnh chất đồng quy của 3 đường cao ) Lưu ý: - Lời giải chỉ trỡnh bày túm tắt, học sinh trỡnh bày hoàn chỉnh, lý luận chặt chẽ mới cho điểm tối đa. - Học sinh cú thể trỡnh bày nhiều cỏch giải khỏc nhau nếu đỳng thỡ cho điểm tương ứng. ĐÁP ÁN ĐỀ 7 THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LỚP 7. Mụn: TOÁN Cõu1: Nhõn từng vế bất đẳng thức ta được : (abc)2=36abc +, Nếu một trong cỏc số a,b,c bằng 0 thỡ 2 số cũn lại cũng bằng 0 +,Nếu cả 3số a,b,c khỏc 0 thỡ chia 2 vế cho abc ta được abc=36 +, Từ abc =36 và ab=c ta được c2=36 nờn c=6;c=-6 +, Từ abc =36 và bc=4a ta được 4a2=36 nờn a=3; a=-3 +, Từ abc =36 và ab=9b ta được 9b2=36 nờn b=2; b=-2 -, Nếu c = 6 thỡ avà b cựng dấu nờn a=3, b=2 hoặc a=-3 , b=-2 -, Nếu c = -6 thỡ avà b trỏi dấu nờn a=3 b=-2 hoặc a=-3 b=2 Túm lại cú 5 bộ số (a,b,c) thoó món bài toỏn (0,0,0); (3,2,6);(-3,-2,6);(3,-2,-6);(-3,2.-6) Cõu 2. (3đ) a.(1đ)5x-3 -2<5x-3<2 (0,5đ) 1/5<x<1 (0,5đ)
17. b.(1đ)3x+1>4=> 3x+1>4hoặc 3x+1 4=> x>1 *Nếu 3x+1 x 1 hoặc x x 4 (0,25đ) (1) 4-x+2x=3 => x=-1( thoả món đk) (0,25đ) *4-x x>4 (0,25đ) (1) x-4+2x=3 x=7/3 (loại) (0,25đ) Cõu3. (1đ) Áp dụng a+b a+bTa cú A=x+8-x x+8-x=8 MinA =8 x(8-x) 0 (0,25đ) x 0 * =>0 x 8 (0,25đ) 8 x 0 x 0 x 0 * => khụng thoó món(0,25đ) 8 x 0 x 8 Vậy minA=8 khi 0 x 8(0,25đ) Cõu4. Ta cú S=(2.1)2+(2.2)2+ + (2.10)2(0,5đ) =22.12+22.22+ +22.102 =22(12+22+ +102) =22.385=1540(0,5đ) A Cõu5.(3đ) D E C Chứng minh: a (1,5đ) B M Gọi E là trung điểm CD trong tam giỏc BCD cú ME là đường trung bỡnh => ME//BD(0,25đ) Trong tam giỏc MAE cú I là trung điểm của cạnh AM (gt) mà ID//ME(gt) Nờn D là trung điểm của AE => AD=DE (1)(0,5đ) Vỡ E là trung điểm của DC => DE=EC (2) (0,5đ) So sỏnh (1)và (2) => AD=DE=EC=> AC= 3AD(0,25đ) b.(1đ) Trong tam giỏc MAE ,ID là đường trung bỡnh (theo a) => ID=1/2ME (1) (0,25đ) Trong tam giỏc BCD; ME là Đường trung bỡnh => ME=1/2BD (2)(0,5đ) So sỏnh (1) và (2) => ID =1/4 BD (0,25đ) ĐÁP ÁN ĐỀ 8 THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LỚP 7. Mụn: TOÁN a b c a a b c a b c Cõu 1. Ta cú . . . (1) Ta lại cú . (2) b c d d b c d b c a 3 a b c a Từ (1) và(2) => . b c d d a c b a b c Cõu 2. A = .= . b c a b c a 2 a b c 1 Nếu a+b+c 0 => A = . 2 Nếu a+b+c = 0 => A = -1. 5 Cõu 3. a). A = 1 + để A Z thỡ x- 2 là ước của 5. x 2
18. => x – 2 = ( 1; 5) * x = 3 => A = 6 * x = 7 => A = 2 * x = 1 => A = - 4 * x = -3 => A = 0 7 b) A = - 2 để A Z thỡ x+ 3 là ước của 7. x 3 => x + 3 = ( 1; 7) * x = -2 => A = 5 * x = 4 => A = -1 * x = -4 => A = - 9 * x = -10 => A = -3 . Cõu 4. a). x = 8 hoặc - 2 b). x = 7 hoặc - 11 c). x = 2. Cõu 5. ( Tự vẽ hỡnh) MHK là cõn tại M . Thật vậy: ACK = BAH. (gcg) => AK = BH . AMK = BMH (g.c.g) => MK = MH. Vậy: MHK cõn tại M . ĐÁP ÁN ĐỀ 9 THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LỚP 7. Mụn: TOÁN Bài1: (1,5 điểm) + Tỡm được: x = ; y = -1 (0,5đ) + Với x = - ; y = -1 A = - (0,5đ) + Với x = ; y = -1 A= - (0,5đ) Bài 2: (2 điểm) + Từ + = 2 (2 – x)( + ) = 0 x = 2 (0,75đ) + Thay x = 2 = = = = = 2. (1đ) + x + y + z = 100 (0,25đ) Bài 3: (2 điểm) + Biến đổi được: x(2y + 3) = 4 (0,5đ) + Chỉ ra được x, y Z x Ư(4) và 2y + 3 lẻ (0,5đ) + Lập bảng. (1đ) x -4 -2 -1 1 2 4 2y + 3 -1 -2 -4 4 2 1 y -2 loại loại loại loại -1 Bài 4: (2 điểm). a) Chỉ được; a + b + c + d = 0 đpcm. (0,5đ) (hoặc tớnh được P(1) = 0 đpcm). b) + Rỳt được: + x = 3 (1) (0,25đ) + Biến đổi được P = (3 + 3 ) + ( + x) – 9x + 1
19. = 3x( + x) + ( + x) – 9x + 1 (1đ) + Thay (1) vào: P = 9x + 3 – 9x + 1 = 4(0,25đ) (Học sinh cú thể giải đỳng bằng cỏch khỏc vẫn cho điểm) Bài 5: (2,5 điểm) + Hỡnh vẽ (phục vụ được cõu 1): (0,25đ) a) Chỉ ra được F là giao điểm 2 trung trực của BEC (0,5đ) F trung trực BC BFC cõn (0,5đ) (học sinh cú thể chứng minh: FC = FE; FB = FE đpcm). K F b) + Tớnh được EBC = 15 . (0,5đ) + Hạ FK AB FKB = FHC (ch + cgv) B (0,75đ) BFC vuụng cõn FBC = 45 . (0,25đ) + Kết luận BFE đều. (0,25đ) A F H C ĐÁP ÁN ĐỀ 10 THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LỚP 7. Mụn: TOÁN Bài 1: (1điểm) 0,5đ = = và x, y, z N, x ≠ 0 = = 0,25đ 0,25đ = = = = = 1 x = 2; y = 3; z = 5. Vậy = 235 Bài 2: (1,5 điểm) 0,5đ Ta cú: + + + ac + = + ab + (vỡ 9 + 16 = 25) 0,25đ Suy ra: 2 = a(b – c) 0,25đ = (vỡ a ≠ 0; c ≠ 0) 0,5đ = = = (vỡ a ≠ -c nờn a + c ≠ 0) Bài 3: (2,5điểm) 0,5đ a/ (1 điểm) f(x) = ( - 25) + (20 + 4m) + 7 - 9 là đa thức bậc 3 0,25đ 0,25đ biến x khi: - 25 = 0 và 20 + 4m ≠ 0 m = 5 và m ≠ -5 Vậy m = 5 thỡ f(x) là đa thức bậc 3 biến x. b/ (1,5 điểm) g(x) = 16 - 72 + 90 = - 2.4 .9 + + 9 0,25đ 0,25đ g(x) = + 9 Với mọi giỏ trị của x ta cú: ≥ 0 g(x) = + 9 ≥ 9. 0,25đ Giỏ trị nhỏ nhất của g(x) là 9 0,25đ Khi và chỉ khi = 0 0,5đ
20. - 9 = 0 = 9 = x = . Bài 4: (2 điểm) Gọi số chia là a và số dư là r (a, r N*; a > r) Ta cú: * 112 = 5a + r 0,5đ 5a r 5a + r 112 : 6 a ≥ 19 (2) Từ (1) và (2) a = 19; 20; 21; 22 lập bảng số: a 19 20 21 22 0,5đ r = 112 – 5a 17 12 7 2 Bài 5: (3 điểm) a/ (1,5 điểm) - Chứng minh CHO = CFO (cạnh huyền – gúc nhọn) 0,25đ suy ra: CH = CF. Kết luận FCH cõn tại C. 0,25đ -Vẽ IG //AC (G FH). Chứng minh FIG cõn tại I. 0,25đ - Suy ra: AH = IG, và IGK = AHK. 0,25đ - Chứng minh AHK = IGK (g-c-g). 0,25đ - Suy ra AK = KI 0,25đ b/ (1,5 điểm) Vẽ OE  AB tại E. Tương tự cõu a ta cú: AEH, BEF thứ tự cõn tại A, B. Suy ra: BE = BF và AE = AH. 0,5đ BA = BE + EA = BF + AH = BF + FI = BI. Suy ra: ABI cõn tại B. 0,5đ Mà BO là phõn giỏc gúc B, và BK là đường trung tuyến của ABI nờn: B, O, K là ba điểm thẳng hàng. 0,5đ A E H K OG B F I C ĐÁP ÁN ĐỀ 11 THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LỚP 7. Mụn: TOÁN Bài 1: (2,0 điểm) 28 7x = 28 4y 0,25 x y x y 0,25 4 7 4 7 x y 22 2 x 8; y 14 0,25 4 7 11 x y x y y z y z x y z ; (1) 0,25 3 4 15 20 5 6 20 24 15 20 24
21. 2x 3y 4z 2x 3y 4z (1) 0,25 30 60 96 30 60 96 3x 4y 5z 3x 4y 5z (1) 0,25 45 80 120 45 80 120 2x 3y 4z 3x 4y 5z 2x 3x : = : 0,25 30 60 96 45 80 120 30 45 2x 3y 4z 245 2x 3y 4z 186 . 1 M 0,25 186 3x 4y 5z 3x 4y 5z 245 Bài 2: ( 2,0 điểm) Ta cú 2H = 22011 22010 22009 22 2 0,25 2H-H = 22011 22010 22010. 22009 22009 22 22 2 2 1 0,25 H = 22011 2.22010 1 0,25 H 22011 22011 1 1 2010H = 2010 0,25 Thực hiện tớnh: 1 2.3 1 3.4 1 4.5 1 16.17 0,25 M = 1 . . 2 2 3 2 4 2 16 2 2 3 4 5 17 . 0,25 2 2 2 2 2 1 1 2 3 17 1 0,25 2 1 17.18 1 76 0,25 2 2 Bài 3: ( 2,5 điểm) 1 2 3 4 5 30 31 . . . . . 4 x 0,25 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.31 26 1.2.3.4 30.31 22x 0,25 1.2.3.4 30.31.230.26 1 22x x 18 0,25 236 4.45 6.65 . 8 x 0,25 3.35 2.25 46 66 . 23x 0,25 36 26 6 6 6 4 . 23x 0,25 3 2 212 23x x 4 0,25 3 11 x < - -(4x +3) – (1-x) =7 x = - ( Thỏa món) 0,25 4 3 3 - x < 1 4x+3 – (1-x) = 7 x = 1 ( Loại) 0,25 4 x 1 4x+ 3 – (x -1) = 7 x= 1 ( Thỏa món) 0,25
22. Bài 4: ( 3,5 điểm) Cõu a: 0,75 điểm Hỡnh vẽ: 0,25 BEH cõn tại B nờn E = H1 0,25 ABC = E + H1 = 2 E 0,25 A ABC = 2 C BEH = ACB Cõu b: 1,0 điểm 1 Chứng tỏ được DHC cõn tại D nờn DC = 0,25 D DH. DAH cú: 0,25 DAH = 900 - C B 2 1 C 0 0 0,25 H B’ DHA = 90 - H2 =90 - C DAH cõn tại D nờn DA = DH. 0,25 E Cõu c: 0,75 điểm 0,25 ABB’ cõn tại A nờn B’ = B = 2C 0,25 B’ = A1 + C nờn 2C = A1 + C 0,25 C = A1 AB’C cõn tại B’ Cõu d: 0,75 điểm AB = AB’ = CB’ 0,25 BE = BH = B’H 0,25 Cú: AE = AB + BE HC = CB’ + B’H 0,25 AE = HC ĐÁP ÁN ĐỀ 12 THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LỚP 7. Mụn: TOÁN Bài 1:(4 điểm): a) (2 điểm) 10 212.35 46.92 510.73 255.492 212.35 212.34 510.73 5 .74 A 6 3 12 6 12 5 9 3 9 3 3 22.3 84.35 125.7 59.143 2 .3 2 .3 5 .7 5 .2 .7 212.34. 3 1 510.73. 1 7 212.35. 3 1 59.73. 1 23 212.34.2 510.73. 6 212.35.4 59.73.9 1 10 7 6 3 2 b) (2 điểm) 3n 2 2n 2 3n 2n = 3n 2 3n 2n 2 2n =3n (32 1) 2n (22 1) =3n 10 2n 5 3n 10 2n 1 10 = 10( 3n -2n) Vậy 3n 2 2n 2 3n 2n  10 với mọi n là số nguyờn dương.
23. Bài 2:(4 điểm) a) (2 điểm) 1 4 2 1 4 16 2 x 3,2 x 3 5 5 3 5 5 5 1 4 14 x 3 5 5 1 1 x 2 x 2 3 3 x 1 2 3 x 2 1 7 3 3 x 2 1 5 3 3 b) (2 điểm) x 7 x 1 x 7 x 11 0 x 1 10 x 7 1 x 7 0 x 7 x 1 1 x 7 10 0 x 1 x 7 0 1 (x 7)10 0 x 7 0 x 7 10 (x 7) 1 x 8 Bài 3: (4 điểm) a) (2,5 điểm) Gọi a, b, c là ba số được chia ra từ số A. 2 3 1 Theo đề bài ta cú: a : b : c = : : (1) 5 4 6 và a2 +b2 +c2 = 24309 (2) a b c 2 3 k Từ (1) = k a k;b k;c 2 3 1 5 4 6 5 4 6 4 9 1 Do đú (2) k 2 ( ) 24309 25 16 36 k = 180 và k = 180 + Với k =180, ta được: a = 72; b = 135; c = 30. Khi đú ta cú số A = a + b + c = 237. + Với k = 180 , ta được: a = 72 ; b = 135 ; c = 30
24. Khi đú ta cú sú A = 72 +( 135 ) + ( 30 ) = 237 . b) (1,5 điểm) a c Từ suy ra c2 a.b c b a2 c2 a2 a.b khi đú b2 c2 b2 a.b a(a b) a = b(a b) b Bài 4: (4 điểm) a/ (1điểm) Xột AMC và EMB cú : A AM = EM (gt ) I ãAMC = Eã MB (đối đỉnh ) B M C BM = MC (gt ) H Nờn : AMC = EMB (c.g.c ) AC = EB K E Vỡ AMC = EMB Mã AC = Mã EB (2 gúc cú vị trớ so le trong được tạo bởi đường thẳng AC và EB cắt đường thẳng AE ) Suy ra AC // BE . b/ (1 điểm ) Xột AMI và EMK cú : AM = EM (gt ) Mã AI = Mã EK ( vỡ AMC EMB ) AI = EK (gt ) Nờn AMI EMK ( c.g.c ) Suy ra ãAMI = Eã MK Mà ãAMI + IãME = 180o ( tớnh chất hai gúc kề bự ) Eã MK + IãME = 180o Ba điểm I;M;K thẳng hàng c/ (1,5 điểm ) Trong tam giỏc vuụng BHE ( Hà = 90o ) cú Hã BE = 50o Hã BE = 90o - Hã BE = 90o - 50o =40o
25. Hã EM = Hã EB - Mã EB = 40o - 25o = 15o A Bã ME là gúc ngoài tại đỉnh M của HEM Nờn Bã ME = Hã EM + Mã HE = 15o + 90o = 105o ( định lý gúc ngoài của tam giỏc ) Bài 5: (4 điểm) 200 M a) Chứng minh ADB = ADC (c.c.c) suy ra Dã AB Dã AC Do đú Dã AB 200 : 2 100 b) ABC cõn tại A, mà àA 200 (gt) nờn D ãABC (1800 200 ) : 2 800 ABC đều nờn Dã BC 600 Tia BD nằm giữa hai tia BA và BC suy ra ãABD 800 600 200 . Tia BM là phõn giỏc của gúc ABD B C nờn ãABM 100 Xột tam giỏc ABM và BAD cú: AB cạnh chung ; Bã AM ãABD 200 ; ãABM Dã AB 100 Vậy: ABM = BAD (g.c.g) suy ra AM = BD, mà BD = BC (gt) nờn AM = BC ĐÁP ÁN ĐỀ 13 THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LỚP 7. Mụn: TOÁN Cõu1: (3 điểm) 219.273 15.49.94 219.39 3.5.218.38 218.39.(2 5) 1 A (mỗi bước đỳng 1điểm) 69.210 1210 29.39.210 (22.3)10 219.39.(1 6) 2 Cõu 2: 4 điểm. (Phõn tớch đỳng 1 bước 1điểm) P 3x 1 3x 2 3x 3 3x 4 3x 5 3x 6 3x 7 3x 8 3x 97 3x 98 3x 99 3x 100 3x. 3 32 33 34 3x 4. 3 32 33 34 3x 96. 3 32 33 34 3x.120 3x 4.120 3x 96.120 120. 3x 3x 4 3x 96 120 Cõu 3: 4 điểm. Vẽ đồ thị 1điểm a) x 0 4 x 0 5 (mỗi bảng 0,25điểm) 5 4 y x 0 5 y x 0 -4 4 5 Đồ thị 5 y x là đường thẳng qua điểm 4 O(0;0) và điểm A(4;5) (0,25điểm) 4 Đồ thị y x là đường thẳng qua điểm O(0;0) và điểm B(5;-4) (0,25điểm) 5 b) Cần chứng minh OA  OB y Xột ∆OMA và ∆ONB cú: OM ON 5 5 M A Mả Nà 90  OMA ONB (c.g.c) (1điểm) MA NB 4  ã ã  AOM BON  Bã OA Bã ON ãAON 90 (1điểm) mà ãAOM ãAON 90 N  O 5 4 x Vậy OA  OB -4 B
26. Cõu 4: 4,5 điểm a) Chứng minh ∆BME đều ∆ABC cõn (gt), àA 100 ãABC Cà 40 (0,25đ) CB CE BCE cõn tại C (0,25đ) Cà 40 Bã EC Eã BC 70 (0,25đ) E Eã BM Eã BC Mã BC 70 10 60 (1) (0,25đ) Mã CE Bã CE Mã CB 40 20 20 (0,25đ) A CE CB  Vỡ Mã CE Mã CB 20  MCE MCB (c.g.c) (1đ) M 0 0 CM chung B 10 20 C  ME MB EMB cõn tại M (2) (0,25đ) Từ (1) và (2) BME đều. (0,25đ) b) ãABM ãABC Mã BC 40 10 30 (0,25đ) ãABE Eã BM ãABM 60 30 30 (0,25đ) BE BM  ãABE ãABM 30  ABE ABM (c.g.c) Vỡ (1,25đ) BM chung  ãAMB ãAEB 70 5. a) ∆IKC cú MI =MK và NK= NC (gt) (0,5đ) Nờn CM và IN là hai trung tuyến. (0,25đ) A Mà CM cắt IN tại O nờn O là trọng tõm. (0,25đ) b) ∆AMI và ∆CMK cú MI = MK (gt) (0,25đ) ả ả K M1 M 2 (đđ); MA = MC (gt) (0,5đ) M Nờn ∆AMI = ∆CMK (c.g.c) (0,25đ) 1 2 1 Kà Ià và AI = KC (1) (0,25đ) I N 1 o 1 2 ∆ABC cú I là trọng tõm IE AI (2) (0,25đ) 2 E C 1 B Mặt khỏc KN KC (3) (0,25đ) 2 Từ (1), (2) và (3) KN = IE (0,25đ) ∆IBE và ∆KIN cú KN = IE (cmt) (0,25đ) à à à K I2 ( I1) ; IB =IK (0,25đ) Nờn ∆IBE = ∆KIN (c.g.c) (0,25đ) 1 1 IN BE mà BE BC IN BC (4) (0,25đ) 2 2 2 ∆IKC cú O là trọng tõm nờn IO IN (5) (0,25đ) 3 2 1 1 Từ (4) và (5) IO . BC BC (0,25đ) 3 2 3 ĐÁP ÁN ĐỀ 14 THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LỚP 7. Mụn: TOÁN Cõu 1: Mỗi tỉ số đó cho đều bớt đi 1 ta được: 2a b c d a 2b c d a b 2c d a b c 2d 1 1= 1 1 a b c d a b c d a b c d a b c d a b c d a b c d
27. +, Nếu a+b+c+d 0 thỡ a = b = c = d lỳc đú M = 1+1+1+1=4 +, Nếu a+b+c+d = 0 thỡ a+b = - (c+d); b+c = - (d+a); c+d = - (a+b); d+a = -(b+c), lỳc đú M = (-1) + (-1) + (-1) + (-1) = -4. Cõu 2: S = (100a+10b+c)+(100b+10c+a)+ (100c+10a+b) = 111(a+b+c) = 37.3(a+b+c). Vỡ 0 S khụng thể là số chớnh phương. Cõu 3: Quóng đường AB dài 540 Km; nửa quảng dường AB dài 270 Km. Gọi quóng đường ụ tụ và xe mỏy đó đi là S1, S2. Trong cựng 1 thời gian thỡ quóng đường tỉ lệ thuận S S gian với vận tốc do đú 1 2 t (t chớnh là thời A M B cần tỡm). V1 V2 270 a 270 2a 540 2a 270 2a (540 2a) (270 2a) 270 t= ;t 3 65 40 130 40 130 40 90 Vậy sau khi khởi hành 3 giờ thỡ ụ tụ cỏch M một khoảng bằng 1/2 khoảng cỏch từ xe mỏy đến M. Cõu 4: a, Tia CO cắt AB tại D. ã ã à ả +, Xột BOD cú BOC là gúc ngoài nờn BOC = B1 D1 A ả à à +, Xột ADC cú gúc D1 là gúc ngoài nờn D1 A C1 ã à à à Vậy BOC = A C1 + B1 D àA àA àA b, Nếu ãABO ãACO 900 thỡ Bã OC = àA 900 900 2 2 2 O C Xột BOC cú: B àA Bà Cả 1800 Oà Bả 1800 900 2 2 2 2 àA Bà 1800 Cà Cà Cả 900 900 2 2 2 2  tia CO là tia phõn giỏc của gúc C. Cõu 5: Lấy điểm O tuỳ ý.Qua O vẽ 9 đường thẳng lần lượt song song với 9 đường thẳng đó cho. 9 đường thẳng qua O tạo thành 18 gúc khụng cú điểm trong chung, mỗi gúc này tương ứng bằng gúc giữa hai đường thẳng trong số 9 đương thẳng đó cho. Tổng số đo của 18 gúc đỉnh O là 3600 do đú ớt nhất cú 1 gúc khụng nhỏ hơn 3600 : 18 = 200, từ đú suy ra ớt nhất cũng cú hai đường thẳng mà gúc nhọn giữa chỳng khụng nhỏ hơn 200. Cõu 6: Tổng số điểm ghi ở hai mặt trờn của hai con sỳc sắc cú thể là: 2 = 1+1 3 = 1+2 = 2+1 4 = 1+3 =2 +2 = 3+1 5 = 1+4 =2+3=3+2=4+1. 6=1+5=2+4=3+3=4+2=5+1 7=1+6=2+5=3+4= 4+3=5+2=-6+1 8= 2+6=3+5=4+4=5+3=6+2 9=3+6=4+5=5+4=6+3 10=4+6=5+5=6+4
28. 11=5+6=6+5 12=6+6. Điểm số (x) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Tần số( n) 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1 Tần suất (f) 2,8% 5,6% 8,3% 11,1% 13,9% 16,7% 13,9% 11,1% 8,3% 5,6% 2,8% Như vậy tổng số 7 điểm cú khả năng xảy ra nhất tới 16,7% ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LỚP 7. Mụn: TOÁN Bài Cỏch giải Tổng (a b)( x y) (a y)(b x) a( x y) b( x y) a(b x) y(b x) A = = abxy(xy ay ab by) abxy(xy ay ab by) ax ay bx by ab ax by xy ay bx ab xy = = abxy(xy ay ab by) abxy(xy ay ab by) 1 (xy ay ab by) 1 2,5 = = abxy(xy ay ab by) abxy 1 3 1 Với a = ; b = -2 ; x = ; y = 1 ta được: A = 1 1 3 3 2 ( 2) 1 3 2 Ta cú: 0 0 nờn ta được: 3 a3 a6 a9 Gọi diện tớch, chiều dài, chiều rộng của cỏc mảnh đất A, B, C theo thứ tự là SA, dA, rA, SB, SA 4 SB 7 dB, rB, SC, dC, rC. Theo bài ra ta cú: ; ; dA = dB ; rA + rB = 27(m) ; rB = rC SB 5 SC 8 ; dC = 24(m) Hai hỡnh chữ nhật A và B cú cựng chiều dài nờn cỏc diện tớch của chỳng tỉ lệ thuận với cỏc SA 4 rA rA rB rA rB 27 chiều rộng. Ta cú: 3 rA = 12(m) ; rB = 15(m) S 5 r 4 5 4 5 9 3 B B 4,5 = rC Hai hỡnh chữ nhật B và C cú cựng chiều rộng nờn cỏc diện tớch của chỳng tỉ lệ thuận với SB 7 dB 7dC 7.24 cỏc chiều dài. Ta cú: dB = 21 (m) = dA SC 8 dC 8 8 2 Do đú: SA = dA.rA = 21. 12 = 252 (m ) 2 SB = dB. rB = 21. 15 = 315 (m ) 2 SC = dC. rC = 24. 15 = 360 (m ) 4x 7 4(x 2) 1 1 a) Ta cú: A = = 4 Với x Z thỡ x - 2 Z. x 2 x 2 x 2 1 Để A nguyờn thỡ nguyờn. x - 2 là ước của 1 x 2 Ta cú: x - 2 = 1 hoặc x - 2 = -1. Do đú: x = 3 hoặc x = 1 4 Vậy để A nguyờn thỡ x = 3 hoặc x = 1 3 3x2 9x 2 3x(x 3) 2 2 +) B = = 3x x 3 x 3 x 3 Với x Z thỡ x - 3 Z. 2 Để B nguyờn thỡ nguyờn. x - 3 là ước của 2 x 3
29. Ta cú: x - 3 = 2 hoặc x - 3 = 1. Do đú x = 5 ; x = 1 ; x = 4 ; x = 2 Vậy để B nguyờn thỡ x = 5 hoặc x = 1 hoặc x = 4 hoặc x = 2 b) Từ cõu a) suy ra: Để A và B cựng nguyờn thỡ x = 1 ABC cú AB = AC. A GT DB = CE (D tia đối của CB; E tia đối của BC) a) ADE cõn b) MB = MC, chứng minh AM H K KL là tia phõn giỏc gúc DAE M c) BH  AD = H; CK  AE = K D B C E chứng minh: BH = CK O d) AM BH CK tại 1 điểm Chứng minh: a) ABC cõn cú AB = AC nờn: Ã C Ã C Suy ra: Ã D Ã CE Xột ABD và ACE cú: AB = AC (gt) Ã D Ã CE (CM trờn) DB = CE (gt) Do đú ABD = ACE (c - g - c) AD = AE (2 cạnh tương ứng). Vậy ADE cõn tại A. 5 b) Xột AMD và AME cú: 8 MD = ME (Do DB = CE và MB = MC theo gt) AM: Cạnh chung AD = AE (CM trờn) Do đú AMD = AME (c - c - c) Mã AD Mã AE . Vậy AM là tia phõn giỏc của Dã AE c) Vỡ ADE cõn tại A (CM cõu a)). Nờn ãADE ãAED Xột BHD và CKE cú: Bã DH Cã EK (Do ãADE ãAED ) DB = CE (gt) BHD = CKE (Cạnh huyền- gúc nhọn). Do đú: BH = CK. d) Gọi giao điểm của BH và CK là O. Xột AHO và AKO cú: OA: Cạnh chung AH = AK (Do AD = AE; DH = KE (vỡ BHD = CKE )) AHO = AKO (Cạnh huyền- Cạnh gúc vuụng) Do đú Oã AH Oã AK nờn AO là tia phõn giỏc của Kã AH hay AO là tia phõn giỏc của Dã AE . Mặt khỏc theo cõu b) AM là tia phõn giỏc của Dã AE . Do đú AO  AM, suy ra 3 đường thẳng AM; BH; CK cắt nhau tại O.