›
›
›

Bài tập trắc nghiệm Giới hạn hàm số

docx 57 trang hoanvuK 10/01/2023 3100
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài tập trắc nghiệm Giới hạn hàm số", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docxbai_tap_trac_nghiem_gioi_han_ham_so.docx

Nội dung text: Bài tập trắc nghiệm Giới hạn hàm số

  1. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM GIỚI HẠN HÀM SỐ A – LÝ THUYẾT TĨM TẮT Giới hạn hữu hạn Giới hạn vơ cực, giới hạn ở vơ cực 1. Giới hạn đặc biệt: 1. Giới hạn đặc biệt: lim x x0 ; k k nếu k chẵn x x lim x ; lim x 0 x x nếu k lẻ lim c c (c: hằng số) x x c 0 lim c c ; lim 0 2. Định lí: x x xk a) Nếu lim f (x) L và 1 1 ; x x0 lim lim x 0 x x 0 x lim g(x) M x x 1 1 0 lim lim thì: lim  f (x) g(x) L M x 0 x x 0 x x x 0 2. Định lí: lim  f (x) g(x) L M Nếu lim f (x) L 0 và lim g(x) thì: x x0 x x0 x x0 lim  f (x).g(x) L.M nếu L và lim g(x) cùng dấu x x x x 0 lim f (x)g(x) 0 f (x) L x x0 nếu L và lim g(x) trái dấu x x lim (nếu M 0) 0 x x0 g(x) M 0 nếu lim g(x) b) Nếu f(x) 0 và lim f (x) L x x0 x x f (x) 0 lim nếu lim g(x) 0 và L.g(x) 0 x x g(x) x x thì L 0 và lim f (x) L 0 0 x x0 nếu lim g(x) 0 và L.g(x) 0 x x c) Nếu lim f (x) L thì 0 x x 0 0 * Khi tính giới hạn cĩ một trong các dạng vơ định: , lim f (x) L 0 x x 0 3. Giới hạn một bên: , – , 0. thì phải tìm cách khử dạng vơ định. lim f (x) L x x0 lim f (x) lim f (x) L x x0 x x0 lim f (x) lim f (x) L x x0 x x0 B – BÀI TẬP DẠNG 1: TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH NGHĨA HOẶC TẠI MỘT ĐIỂM Phương pháp: + Sử dụng định nghĩa chuyển giới hạn của hàm số về giới hạn của dãy số. + Nếu f (x) là hàm số cho bởi một cơng thức thì giá trị giới hạn bằng f (x0 ) + Nếu f (x) cho bởi nhiều cơng thức, khi đĩ ta sử dụng điều kiện để hàm số cĩ giới hạn (Giới hạn trái bằng giới hạn phải). x3 2x2 1 Câu 1. Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của lim là: x 1 2x5 1
  2. 1 1 A. . 2 B. . C. . D. . 2 2 2 4x3 1 Câu 2. lbằng:im x 2 3x2 x 2 11 11 A. . B. . . C. . . D. . 4 4 x 1 Câu 3. Tìm giới hạn hàm số lim bằng định nghĩa. x 1 x 2 A. B. C. 2 D. 1 Câu 4. Tìm giới hạn hàm số lim x3 1 bằng định nghĩa. x 2 A. B. C. 9 D. 1 x 3 2 Câu 5. Tìm giới hạn hàm số lim bằng định nghĩa. x 1 x 1 1 A. B. C. 2 D. 4 x 3 Câu 6. Tìm giới hạn hàm số lim bằng định nghĩa. x x 2 A. B. C. 2 D. 1 2x2 x 1 Câu 7. Tìm giới hạn hàm số lim bằng định nghĩa. x x 2 A. B. C. 2 D. 1 3x 2 Câu 8. Tìm giới hạn hàm số lim bằng định nghĩa. x 1 2x 1 A. B. C. 5 D. 1 4x2 3x Câu 9. Cho hàm số f (x) . Chọn kết quả đúng của lim f (x) : 2x 1 x3 2 x 2 5 5 5 2 A. . B. . C. . D. . 9 3 9 9 x 4 2 Câu 10. Tìm giới hạn hàm số lim bằng định nghĩa. x 0 2x 1 A. B. C. 2 D. 1 8 4x 3 Câu 11. Tìm giới hạn hàm số lim bằng định nghĩa. x 1 x 1 A. B. C. 2 D. 1 3x 1 Câu 12. Tìm giới hạn hàm số lim bằng định nghĩa. x 2 x 2 A. B. C. 2 D. 1 2x2 x 3 Câu 13. Tìm giới hạn hàm số lim bằng định nghĩa. x 1 x 1 A. B. 5 C. 2 D. 1 x 1 Câu 14. Tìm giới hạn hàm số lim bằng định nghĩa. x 2 2 x 4 A. B. C. 2 D. 1
  3. 3x2 Câu 15. Tìm giới hạn hàm số lim bằng định nghĩa. x 2x2 1 3 A. B. C. D. 1 2 Câu 16. Tìm giới hạn hàm số lim x2 x 1 bằng định nghĩa. x A. B. C. 2 D. 1 x2 4 Câu 17. Tìm giới hạn hàm số lim bằng định nghĩa. x 2 x4 1 2 x A. B. C. 0 D. 1 x2 3x 2 Câu 18. Tìm giới hạn hàm số lim bằng định nghĩa. x 1 x 1 A. B. C. 2 D. 1 x2 x 1 Câu 19. Tìm giới hạn hàm số A lim bằng định nghĩa. x 1 x 1 1 A. B. C. D. 1 2 2 tan x 1 Câu 20. Tìm giới hạn hàm số B lim bằng định nghĩa. x sin x 1 6 4 3 6 A. B. C. D. 1 9 3 x 2 x 1 Câu 21. Tìm giới hạn hàm số C lim bằng định nghĩa. x 0 3x 1 A. B. C. 3 2 1 D. 1 3 7x 1 1 Câu 22. Tìm giới hạn hàm số D lim bằng định nghĩa. x 1 x 2 A. B. C. 2 D. 3 x 1 Câu 23. Tìm giới hạn hàm số A lim bằng định nghĩa. x 2 x2 x 4 1 A. B. C. D. 1 6 sin2 2x 3cos x Câu 24. Tìm giới hạn hàm số B lim bằng định nghĩa. x tan x 6 3 3 9 A. B. C. D. 1 4 2 2x2 x 1 3 2x 3 Câu 25. Tìm giới hạn hàm số C lim bằng định nghĩa. x 1 3x2 2 3 3 9 A. B. C. D. 2 3 5 4 2 3x 1 2 Câu 26. Tìm giới hạn hàm số D lim bằng định nghĩa. x 1 3 3x 1 2 1 A. B. C. D. 0 6
  4. x2 3 khi x 2 Câu 27. Cho hàm số f x . Chọn kết quả đúng của lim f x : x 1 khi x 2 x 2 A. . 1 B. . 0 C. . 1 D. Khơng tồn tại. x2 ax 1 khi x 2 Câu 28. Tìm a để hàm số sau cĩ giới hạn khi x 2 f (x) . 2 2x x 1 khi x 2 1 A. B. C. D. 1 2 2 5ax 3x 2a 1 khi x 0 Câu 29. Tìm a để hàm số sau cĩ giới hạn tại x 0 f (x) . 2 1 x x x 2 khi x 0 2 A. B. C. D. 1 2 2 5ax 3x 2a 1 khi x 0 Câu 30. Tìm a để hàm số. f (x) cĩ giới hạn tại x 0 2 1 x x x 2 khi x 0 2 A. B. C. D. 1 2 x2 ax 1 khi x 1 Câu 31. Tìm a để hàm số. f (x) cĩ giới hạn khi x 1 . 2 2x x 3a khi x 1 1 A. B. C. D. 1 6 DẠNG 2: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG VƠ ĐỊNH 0 0 P(x) 1. L = lim với P(x), Q(x) là các đa thức và P(x0) = Q(x0) = 0 x x0 Q(x) Phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử và rút gọn. Chú ý: 2 + Nếu tam thức bậc hai ax bx+c cĩ hai nghiệm x1, x2 thì ta luơn cĩ sự phân tích 2 ax bx c a(x x1 )(x x2 ) . + an bn (a b)(an 1 an 2b abn 2 bn 1) P(x) 2. L = lim với P(x0) = Q(x0) = 0 và P(x), Q(x) là các biểu thức chứa căn cùng bậc x x0 Q(x) Sử dụng các hằng đẳng thức để nhân lượng liên hợp ở tử và mẫu. Các lượng liên hợp: + ( a b)( a b) a b 3 3 3 2 3 3 2 + ( a b)( a  ab b ) a b + ( n a n b)( n an 1 n an 2b n bn 1 ) a b P(x) 3. L = lim với P(x0) = Q(x0) = 0 và P(x) là biêu thức chứa căn khơng đồng bậc x x0 Q(x) m n m n Giả sử: P(x) = u(x) v(x) với u(x0 ) v(x0 ) a . Ta phân tích P(x) = m u(x) a a n v(x) .
  5. Trong nhiều trường hợp việc phân tích như trên khơng đi đến kết quả ta phải phân tích như sau: n u(x) m v(x) ( n u(x) m(x)) (m v(x) m(x)) , trong đĩ m(x) c . x2 2x 1 Câu 1. Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của lim là: x 1 2x3 2 1 A. . B. . 0 C. . D. . 2 x3 3x2 2 Câu 2. Tìm giới hạn A lim : x 1 x2 4x 3 3 A. B. C. D. 1 2 x4 5x2 4 Câu 3. Tìm giới hạn B lim : x 2 x3 8 1 A. B. C. D. 1 6 (1 3x)3 (1 4x)4 Câu 4. Tìm giới hạn C lim : x 0 x 1 A. B. C. D. 25 6 x 3 Câu 5. Cho hàm số f x . Giá trị đúng của lim f x là: x2 9 x 3 A. . . B. . 0. C. . 6. D. . (1 x)(1 2x)(1 3x) 1 Câu 6. Tìm giới hạn D lim : x 0 x 1 A. B. C. D. 6 6 xn 1 Câu 7. Tìm giới hạn A lim (m,n ¥ *) : x 0 xm 1 n A. B. C. D. m n m n 1 ax 1 Câu 8. Tìm giới hạn B lim (n ¥ *,a 0) : x 0 x a n A. B. C. D. 1 n a n 1 ax 1 Câu 8. Tìm giới hạn A lim với ab 0 : x 0 m 1 bx 1 am am A. B. C. D. 1 bn bn 1 x 3 1  x 4 1  x 1 Câu 9. Tìm giới hạn B lim với  0 . : x 0 x   A. B. C. BD. 4 3 2   B 4 3 2
  6. 2x2 5x 2 Câu 10. Tìm giới hạn A lim : x 2 x3 3x 2 1 A. B. C. D. 1 3 x4 3x 2 Câu 11. Tìm giới hạn B lim : x 1 x3 2x 3 1 A. B. C. D. 1 5 2x 3 x Câu 12. Tìm giới hạn C lim : x 3 x2 4x 3 1 A. B. C. D. 1 3 3 x 1 1 Câu 13. Tìm giới hạn D lim : x 0 4 2x 1 1 2 A. B. C. D. 1 3 3 4x 1 x 2 Câu 14. Tìm giới hạn E lim : x 7 4 2x 2 2 8 A. B. C. D. 1 27 (2x 1)(3x 1)(4x 1) 1 Câu 15. Tìm giới hạn F lim : x 0 x 9 A. B. C. D. 1 2 1 4x 3 1 6x Câu 16. Tìm giới hạn M lim : x 0 x2 1 A. B. C. D. 0 3 m 1 ax n 1 bx Câu 17. Tìm giới hạn N lim : x 0 x a b a b A. B. C. D. m n m n m 1 ax n 1 bx 1 Câu 18. Tìm giới hạn G lim : x 0 x a b a b A. B. C. D. m n m n 1 mx n 1 nx m Câu 19. Tìm giới hạn V lim : x 0 x2 mn n m mn n m A. B. C. D. 2 2 1 x 1 3 x 1 n x Câu 20. Tìm giới hạn K lim : x 1 1 x n 1
  7. 1 A. B. C. D. 0 n! n n 1 x2 x 1 x2 x Câu 21. Tìm giới hạn L lim : x 0 x A. B. C. 2n D. 0 2x2 5x 2 Câu 22. Tìm giới hạn A lim : x 2 x3 8 1 A. B. C. D. 0 4 x4 3x2 2 Câu 23. Tìm giới hạn B lim : x 1 x3 2x 3 2 A. B. C. D. 0 5 2x 3 3 Câu 24. Tìm giới hạn C lim : x 3 x2 4x 3 1 A. B. C. D. 0 6 3 x 1 1 Câu 25. Tìm giới hạn D lim : x 0 2x 1 1 1 A. B. C. D. 0 3 n (2x 1)(3x 1)(4x 1) 1 Câu 26. Tìm giới hạn F lim : x 0 x 9 A. B. C. D. 0 n 1 4x 3 1 6x Câu 27. Tìm giới hạn M lim : x 0 1 cos3x 4 A. B. C. D. 0 9 m 1 ax n 1 bx Câu 28. Tìm giới hạn N lim : x 0 1 x 1 2 an bm A. B. C. D. 0 mn 1 mx n 1 nx m Câu 29. Tìm giới hạn V lim : x 0 1 2x 3 1 3x 2 an bm A. B. C. D. mn n m mn 1 x 1 3 x 1 n x Câu 30. Tìm giới hạn K lim n 1 : x 1 1 x2 1 A. B. C. D. 0 n!
  8. 4x 1 3 2x 1 Câu 31. Tìm giới hạn A lim : x 0 x 4 A. B. C. D. 0 3 4x 5 3 Câu 32. Tìm giới hạn B lim : x 1 3 5x 3 2 4 2 A. B. C. D. 3 5 4 2x 3 3 2 3x Câu 33. Tìm giới hạn C lim : x 1 x 2 1 4 A. B. C. D. 3 3 x x 2 Câu 34. Tìm giới hạn D lim : x 2 x 3 3x 2 4 A. B. C. D. 1 3 1 2x 3 1 3x Câu 35. Tìm giới hạn A lim : x 0 x2 1 A. B. C. D. 0 2 5 4x 3 7 6x Câu 36. Tìm giới hạn B lim : x 1 x3 x2 x 1 4 A. B. C. D. 1 3
  9. DẠNG 3: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG VƠ ĐỊNH Phương pháp: P(x) L = lim trong đĩ P(x),Q(x) , dạng này ta cịn gọi là dạng vơ định. x Q(x) với P(x), Q(x) là các đa thức hoặc các biểu thức chứa căn. – Nếu P(x), Q(x) là các đa thức thì chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x. – Nếu P(x), Q(x) cĩ chứa căn thì cĩ thể chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x hoặc nhân lượng liên hợp. Tương tự như cách khử dạng vơ định ở dãy số. Ta cần tìm cách đưa về các giới hạn: + lim x2k ; lim x2k 1 ( ) . x x (x ) (x ) k + lim 0 (n 0;k 0) . x n (x ) x k + lim f (x) ( ) lim 0 (k 0) . x x0 x x0 f (x) 5 Câu 1. lbằng:im x 3x 2 5 A. .0 B. . 1 C. . D. . 3 x4 7 Câu 2. Giá trị đúng của lim là: x x4 1 A. 1. B. .1 . C. . 7. D. . 2x 3x2 2 Câu 3. Tìm giới hạn C lim : x 5x x2 1 2 3 A. B. C. D. 0 6 2x2 1 Câu 4. lbằng:im x 3 x2 1 1 A. . 2 B. . C. . D. . 2 3 3 x2 1 Câu 5. Cho hàm số f (x) . Chọn kết quả đúng của lim f (x) : 2x4 x2 3 x 1 2 A. . B. . C. . 0 D. . 2 2 1 3x Câu 6. bằng:lim x 2x2 3 3 2 2 3 2 2 A. . B. . C. . D. . 2 2 2 2 3 1 x4 x6 Câu 7. Tìm giới hạn D lim : x 1 x3 x4 4 A. B. C. D. 1 3
  10. x 1 Câu 8. Cho hàm số f x x 2 . Chọn kết quả đúng của lim f x : x4 x2 1 x 1 A. .0 B. . C. . 1 D. Khơng tồn 2 tại. x2 x 3 Câu 9. lim bằng: x 1 2 x 1 1 A. .3 B. . C. . 1 D. . 2 x4 8x Câu 10. Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của lim là: x x3 2x2 x 2 21 21 24 24 A. . B. . C. . D. . 5 5 5 5 Câu 12. Tìm giới hạn E lim ( x2 x 1 x) : x 1 A. B. C. D. 0 2 Câu 13. Tìm giới hạn F lim x( 4x2 1 x) : x 4 A. B. C. D. 0 3 Câu 14. Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của lim 4x5 3x3 x 1 là: x A. . B. 0 . C. 4 . D. . Câu 15. Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của lim x4 x3 x2 x là: x A. . B. 0 . C. 1. D. . Câu 16. Tìm giới hạn B lim x x2 x 1 : x 4 A. B. C. D. 0 3 Câu 17. Tìm giới hạn M lim ( x2 3x 1 x2 x 1) : x 4 A. B. C. D. Đáp án 3 khác Câu 18. Tìm giới hạn N lim 3 8x3 2x 2x : x 4 A. B. C. D. 0 3 Câu 19. Tìm giới hạn H lim 4 16x4 3x 1 4x2 2 : x 4 A. B. C. D. 0 3 Câu 20. Tìm giới hạn K lim x2 1 x2 x 2x : x 1 A. B. C. D. 0 2
  11. 3x2 5x 1 Câu 21. Tìm giới hạn A lim : x 2x2 x 1 3 A. B. C. D. 0 2 n a0 x an 1x an Câu 22. Tìm giới hạn B lim (a0b0 0) : x m b0 x bm 1x bm 4 A. B. C. D. Đáp án 3 khác 3 3x3 1 2x2 x 1 Câu 23. Tìm giới hạn A lim : x 4 4x4 2 3 3 2 A. B. C. D. 0 2 x x2 1 2x 1 Câu 24. Tìm giới hạn B lim : x 3 2x3 2 1 4 A. B. C. D. 0 3 (2x 1)3 (x 2)4 Câu 25.Tìm giới hạn A lim : x (3 2x)7 1 A. B. C. D. 0 16 4x2 3x 4 2x Câu 26. Tìm giới hạn B lim : x x2 x 1 x A. B. C. 2 D. 0 2x 3x2 2 Câu 27. Tìm giới hạn C lim : x 5x x2 1 2 3 A. B. C. D. 0 4 3 1 x4 x6 Câu 28. Tìm giới hạn D lim : x 1 x3 x4 4 A. B. C. D. 1 3 Câu 29. Tìm giới hạn A lim x2 x 1 3 2x3 x 1 : x 4 A. B. C. D. 0 3 Câu 30.Tìm giới hạn C lim 4x2 x 1 2x : x 1 A. B. C. D. 0 2 Câu 31. Tìm giới hạn D lim 3 x3 x2 1 x2 x 1 : x
  12. 1 A. B. C. D. 0 6 Câu 32. Tìm giới hạn A lim x2 x 1 2 x2 x x : x 3 A. B. C. D. 0 2 Câu 33.Tìm giới hạn B lim x( x2 2x 2 x2 x x) : x 1 A. B. C. D. 0 4 n a0 x an 1x an Câu 34. Tìm giới hạn A lim , (a0b0 0) : x m b0 x bm 1x bm 4 A. B. C. D. Đáp án 3 khác 4x2 x 3 8x3 x 1 Câu 35. Tìm giới hạn B lim : x 4 x4 3 4 A. B. C. D. 4 3 4x2 2 3 x3 1 Câu 36. Tìm giới hạn C lim : x x2 1 x 3 A. B. C. D. 0 2 x x2 1 2x 1 Câu 37. Tìm giới hạn D lim : x 3 2x3 x 1 x 4 A. B. C. D. 0 3 2 Câu 38. Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của lim x2 cos là: x 0 nx A. Khơng tồn tại. B. .0 C. . 1 D. .
  13. DẠNG 4: GIỚI HẠN MỘ BÊN VÀ CÁC DẠNG VƠ ĐỊNH KHÁC Phương pháp: 1. Giới hạn một bên : Áp dụng định lý giới hạn của một tích và một thương 2. Dạng – : Giới hạn này thường cĩ chứa căn Ta thường sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp của tử và mẫu, Sau đĩ tìm cách biến đổi đưa về dạng . 3. Dạng 0. : Ta cũng thường sử dụng các phương pháp như các dạng ở trên. 1 2 Câu 1. Chọn kết quả đúng của lim : 2 3 x 0 x x A. . B. . 0 C. . D. Khơng tồn tại. x3 x2 Câu 2. lim bằng: x 1 x 1 1 x A. . 1 B. . 0 C. . 1 D. . x2 x 1 Câu 3. lim 2 bằng: x 1 x 1 A. – . B. –1. C. 1. D. + . x 3 Câu 4. Giá tri đúng của lim x 3 x 3 A. Khơng tồn tại. B. .0 C. . 1 D. . Câu 5. Tìm giới hạn A lim x2 x 1 x : x 1 A. B. C. D. 0 2 Câu 6. Tìm giới hạn B lim 2x 4x2 x 1 : x 1 A. B. C. D. 0 4 1 1 Câu 7. Cho hàm số f (x) . Chọn kết quả đúng của lim f x : x 3 1 x 1 x 1 2 2 A. . B. . C. . D. . 3 3 n Câu 8. Tìm giới hạn C lim [ (x a1)(x a2 ) (x an ) x] : x a a a A. B. C. D.1 2 n n a a a 1 2 n 2n Câu 9. Tìm giới hạn A lim ( x2 x 1 x) : x 1 A. B. C. D. 0 2 Câu 10. Tìm giới hạn B lim x( 4x2 1 x) : x
  14. 1 A. B. C. D. 0 4 Câu 11. Tìm giới hạn C lim ( x2 x 1 x2 x 1) : x 1 A. B. C. D. Đáp án 4 khác Câu 12. Tìm giới hạn D lim ( 3 8x3 2x 2x) : x 1 A. B. C. D. 0 4 Câu 13. Tìm giới hạn E lim ( 4 16x4 3x 1 4x2 2) : x 1 A. B. C. D. 0 4 Câu 14. Tìm giới hạn F lim (x 3 1 x3 ) : x 1 A. B. C. D. 0 4
  15. DẠNG 5 : GIỚI HẠN LƯỢNG GIÁC Phương pháp: Ta sử dụng các cơng thức lượng giác biến đổi về các dạng sau: sin x x tan x x lim lim 1, từ đây suy ralim lim 1 . x 0 x x 0 sin x x 0 x x 0 tan x sin u(x) tan u(x) Nếu lim u(x) 0 lim 1 vàlim 1 . x x0 x x0 u(x) x x0 u(x) 1 cos ax Câu 1. Tìm giới hạn A lim : x 0 x2 a A. B. C. D. 0 2 1 sin mx cos mx Câu 2. Tìm giới hạn A lim : x 0 1 sin nx cos nx m A. B. C. D. 0 n 1 cos x.cos 2x.cos3x Câu 3. Tìm giới hạn B lim : x 0 x2 A. B. C. 3 D. 0 1 cos 2x Câu 4.Tìm giới hạn A lim : x 0 3x 2sin 2 A. B. C. 1 D. 0 cos 2x cos3x Câu 5. Tìm giới hạn B lim : x 0 x(sin 3x sin 4x) 5 A. B. C. D. 0 2 tan2 2x Câu 6. Tìm giới hạn C lim : x 0 1 3 cos 2x A. B. C. 6 D. 0 x2 Câu 7. Tìm giới hạn D lim : x 0 1 xsin 3x cos 2x 7 A. B. C. D. 0 2 sin( xm ) Câu 8.Tìm giới hạn A lim. : x 1 sin( xn ) n A. B. C. D. 0 m Câu 9. Tìm giới hạn B lim( x) tan x : x 2 2 5 A. B. C. D. 1 2 1 Câu 10. Tìm giới hạn C lim x sin ( 0) : x 0 x
  16. 5 A. B. C. D. 0 2 Câu 11.Tìm giới hạn D lim (sin x 1 sin x) : x 5 A. B. C. D. 0 2 cos3x cos 4x Câu 12. Tìm giới hạn A lim : x 0 cos5x cos6x 7 A. B. C. D. 0 11 1 3 1 2sin 2x Câu 13. Tìm giới hạn B lim : x 0 sin 3x 4 A. B. C. D. 0 9 sin2 2x Câu 14.Tìm giới hạn C lim : x 0 3 cos x 4 cos x A. B. C. 96 D. 0 sin4 2x Câu 15.Tìm giới hạn D lim : x 0 sin4 3x 16 A. B. C. D. 0 81 1 sin( cos x) Câu 16.Tìm giới hạn E lim 2 : x 0 sin(tan x) 5 A. B. C. D. 0 2 3sin x 2cos x Câu 17. Tìm giới hạn F lim : x x 1 x 5 A. B. C. D. 0 2 m cos ax m cosbx Câu 18. Tìm giới hạn H lim : x 0 sin2 x b a A. B. C. D. 0 2n 2m 1 n cos ax Câu 19.Tìm giới hạn M lim : x 0 x2 a A. B. C. D. 0 2n cos3x cos 4x Câu 20.Tìm giới hạn A lim : x 0 cos5x cos6x 7 A. B. C. D. 0 11 1 3 1 2sin 2x Câu 21.Tìm giới hạn B lim : x 0 sin 3x
  17. 4 A. B. C. D. 0 9 sin2 2x Câu 22. Tìm giới hạn C lim : x 0 3 cos x 4 cos x A. B. C. 96 D. 0 sin4 2x Câu 23. Tìm giới hạn D lim : x 0 sin4 3x 16 A. B. C. D. 0 81 1 sin( cos x) Câu 24. Tìm giới hạn E lim 2 : x 0 sin(tan x) A. B. C. 1 D. 0 3sin x 2cos x Câu 25.Tìm giới hạn F lim : x x 1 x 5 A. B. C. D. 0 2 m cos ax m cosbx Câu 26. Tìm giới hạn H lim : x 0 sin2 x b a A. B. C. D. 0 2n 2m 3 1 3x 1 2x Câu 27. Tìm giới hạn M lim : x 0 1 cos 2x 1 A. B. C. D. 0 4 3x 5sin 2x cos2 x Câu 28. lim bằng: x x2 2 A. . B. . 0 C. . 3 D. . ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI A – LÝ THUYẾT TĨM TẮT Giới hạn hữu hạn Giới hạn vơ cực, giới hạn ở vơ cực 1. Giới hạn đặc biệt: 1. Giới hạn đặc biệt: lim x x0 ; k k nếu k chẵn x x lim x ; lim x 0 x x nếu k lẻ lim c c (c: hằng số) x x c 0 lim c c ; lim 0 2. Định lí: x x xk a) Nếu lim f (x) L và 1 1 ; x x0 lim lim x 0 x x 0 x lim g(x) M x x 1 1 0 lim lim thì: lim  f (x) g(x) L M x 0 x x 0 x x x 0 2. Định lí: lim  f (x) g(x) L M Nếu l i0m vàf (x) L l ithì:m g(x) x x0 x x0 x x0
  18. lim  f (x).g(x) L.M nếu L và lim g(x) cùng dấu x x x x 0 lim f (x)g(x) 0 nếu L và g x trái dấu f (x) L x x0 lim ( ) x x lim (nếu M 0) 0 x x g(x) M 0 0 nếu lim g(x) b) Nếu f(x) 0 và lim f (x) L x x0 x x f (x) 0 lim nếu lim g(x) 0 và L.g(x) 0 x x g(x) x x thì L 0 và lim f (x) L 0 0 x x0 nếu lim g(x) 0 và L.g(x) 0 x x c) Nếu lim f (x) L thì 0 x x0 * Khi tính giới hạn cĩ một trong các dạng vơ định: lim f (x) L 0 x x , , – , 0. thì phải tìm cách khử dạng vơ 0 0 3. Giới hạn một bên: định. lim f (x) L x x0 lim f (x) lim f (x) L x x0 x x0 lim f (x) lim f (x) L x x0 x x0 B – BÀI TẬP DẠNG 1: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG BẰNG ĐỊNH NGHĨA HOẶC TẠI MỘT ĐIỂM Phương pháp: + Sử dụng định nghĩa chuyển giới hạn của hàm số về giới hạn của dãy số. + Nếu f (x) là hàm số cho bởi một cơng thức thì giá trị giới hạn bằng f (x0 ) + Nếu f (x) cho bởi nhiều cơng thức, khi đĩ ta sử dụng điều kiện để hàm số cĩ giới hạn ( Giới hạn trái bằng giới hạn phải). x3 2x2 1 Câu 1. Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của lim là: x 1 2x5 1 1 1 A. . 2 B. . C. . D. . 2 2 2 Hướng dẫn giải: Chọn A. 3 2 x3 2x2 1 1 2. 1 1 Cách 1: lim 2 x 1 2x5 1 2 1 5 1 x3 2x2 1 Cách 2: Bấm máy tính như sau: + CACL + x 1 10 9 và so đáp án. 2x5 1 x3 2x2 1 Cách 3: Dùng chức lim của máy VNCALL 570ES Plus: lim 5 và so đáp 2x 1 x 1 10 9 án.
  19. 4x3 1 Câu 2. lbằng:im x 2 3x2 x 2 11 11 A. . B. . . C. . . D. . 4 4 Hướng dẫn giải: Chọn B 4x3 1 11 lim . x 2 3x2 x 2 4 x 1 Câu 3. Tìm giới hạn hàm số lim bằng định nghĩa. x 1 x 2 A. B. C. 2 D. 1 Hướng dẫn giải: Chọn C. xn 1 x 1 Với mọi dãy (xn ) : lim xn 1 ta cĩ: lim 2 Vậy lim 2 . x 1 xn 2 x 2 Câu 4. Tìm giới hạn hàm số lim x3 1 bằng định nghĩa. x 2 A. B. C. 9 D. 1 Hướng dẫn giải: Chọn C. x 3 2 Câu 5. Tìm giới hạn hàm số lim bằng định nghĩa. x 1 x 1 1 A. B. C. 2 D. 4 Hướng dẫn giải: Chọn D. x 3 2 1 lim x 1 x 1 4 x 3 Câu 6. Tìm giới hạn hàm số lim bằng định nghĩa. x x 2 A. B. C. 2 D. 1 Hướng dẫn giải: Chọn D. 2x2 x 1 Câu 7. Tìm giới hạn hàm số lim bằng định nghĩa. x x 2 A. B. C. 2 D. 1 Hướng dẫn giải: Chọn B. 2x2 x 1 lim x x 2 3x 2 Câu 8. Tìm giới hạn hàm số lim bằng định nghĩa. x 1 2x 1 A. B. C. 5 D. 1 Hướng dẫn giải: Chọn C. 3x 2 3xn 2 3.1 2 Với mọi dãy xn : lim xn 2 ta cĩ: lim lim 5 x 1 2x 1 2xn 1 2.1 1
  20. 4x2 3x Câu 9. Cho hàm số f (x) . Chọn kết quả đúng của lim f (x) : 2x 1 x3 2 x 2 5 5 5 2 A. . B. . C. . D. . 9 3 9 9 Hướng dẫn giải: Chọn B. 4x2 3x 4.22 3.2 5 Cách 1: lim x 2 2x 1 x3 2 2.2 1 23 2 3 4x2 3x Cách 2: Bấm máy tính như sau: + CACL + x 2 10 9 và so đáp án. 2x 1 x3 2 4x2 3x Cách 3: Dùng chức lim của máy VNCALL 570ES Plus: lim và so 3 2x 1 x 2 9 x 2 10 đáp án. cos5x Cách 2: Bấm máy tính như sau: Chuyển qua chế độ Rad + + CACL + x 109 và so đáp 2x án. Cách 3: Dùng chức lim của máy VNCALL 570ES Plus: chuyển chế độ Rad + cos5x lim và so đáp án. 2x x 109 x 4 2 Câu 10. Tìm giới hạn hàm số lim bằng định nghĩa. x 0 2x 1 A. B. C. 2 D. 1 8 Hướng dẫn giải: Chọn B. Với mọi dãy xn : lim xn 0 ta cĩ: x 4 2 x 4 2 x 1 1 lim lim n lim n lim . x 0 2x 2x 8 n 2xn xn 4 2 2 xn 4 2 4x 3 Câu 11. Tìm giới hạn hàm số lim bằng định nghĩa. x 1 x 1 A. B. C. 2 D. 1 Hướng dẫn giải: Chọn A. 4x 3 4xn 3 Với mọi dãy (xn ) : xn 1, n và lim xn 1 ta cĩ:lim lim . x 1 x 1 xn 1 3x 1 Câu 12. Tìm giới hạn hàm số lim bằng định nghĩa. x 2 x 2 A. B. C. 2 D. 1 Hướng dẫn giải: Chọn B.
  21. 3x 1 3xn 1 Với mọi dãy (xn ) : xn 2, n và lim xn 2 ta cĩ:lim lim . x 2 x 2 xn 2 2x2 x 3 Câu 13. Tìm giới hạn hàm số lim bằng định nghĩa. x 1 x 1 A. B. 5 C. 2 D. 1 Hướng dẫn giải: Chọn B. 2 2 2x x 3 2xn xn 3 Với mọi dãy (xn ) : lim xn 1 ta cĩ:lim lim lim 2xn 3 5 . x 1 x 1 xn 1 x 1 Câu 14. Tìm giới hạn hàm số lim bằng định nghĩa. x 2 2 x 4 A. B. C. 2 D. 1 Hướng dẫn giải: Chọn A. 3x2 Câu 15. Tìm giới hạn hàm số lim bằng định nghĩa. x 2x2 1 3 A. B. C. D. 1 2 Hướng dẫn giải: Chọn C. 3x2 3 Đáp số: lim x 2x2 1 2 Câu 16. Tìm giới hạn hàm số lim x2 x 1 bằng định nghĩa. x A. B. C. 2 D. 1 Hướng dẫn giải: Chọn A. x2 4 Câu 17. Tìm giới hạn hàm số lim bằng định nghĩa. x 2 x4 1 2 x A. B. C. 0 D. 1 Hướng dẫn giải: Chọn C. x2 3x 2 Câu 18. Tìm giới hạn hàm số lim bằng định nghĩa. x 1 x 1 A. B. C. 2 D. 1 Hướng dẫn giải: Chọn D. x2 3x 2 Do x 1 x 1 (x 1) . Đáp số: lim 1 . x 1 x 1 x2 x 1 Câu 19. Tìm giới hạn hàm số A lim bằng định nghĩa. x 1 x 1 1 A. B. C. D. 1 2 Hướng dẫn giải: Chọn C.
  22. x2 x 1 1 1 1 1 Ta cĩ:A lim . x 1 x 1 1 1 2 2 tan x 1 Câu 20. Tìm giới hạn hàm số B lim bằng định nghĩa. x sin x 1 6 4 3 6 A. B. C. D. 1 9 Hướng dẫn giải: Chọn C. 2 tan 1 2 tan x 1 4 3 6 Ta cĩ B lim 6 . x sin x 1 9 6 sin 1 6 3 x 2 x 1 Câu 21. Tìm giới hạn hàm số C lim bằng định nghĩa. x 0 3x 1 A. B. C. 3 2 1 D. 1 Hướng dẫn giải: Chọn C. 3 x 2 x 1 Ta cĩ: C lim 3 2 1 . x 0 3x 1 3 7x 1 1 Câu 22. Tìm giới hạn hàm số D lim bằng định nghĩa. x 1 x 2 A. B. C. 2 D. 3 Hướng dẫn giải: Chọn D. 3 7x 1 1 3 8 1 Ta cĩ: D lim 3 . x 1 x 2 1 2 x 1 Câu 23. Tìm giới hạn hàm số A lim bằng định nghĩa. x 2 x2 x 4 1 A. B. C. D. 1 6 Hướng dẫn giải: Chọn C. sin2 2x 3cos x Câu 24. Tìm giới hạn hàm số B lim bằng định nghĩa. x tan x 6 3 3 9 A. B. C. D. 1 4 2 Hướng dẫn giải: Chọn C. 2x2 x 1 3 2x 3 Câu 25. Tìm giới hạn hàm số C lim bằng định nghĩa. x 1 3x2 2 3 3 9 A. B. C. D. 2 3 5 4 2 Hướng dẫn giải: Chọn D.
  23. 3x 1 2 Câu 26. Tìm giới hạn hàm số D lim bằng định nghĩa. x 1 3 3x 1 2 1 A. B. C. D. 0 6 Hướng dẫn giải: Chọn D. x2 3 khi x 2 Câu 27. Cho hàm số f x . Chọn kết quả đúng của lim f x : x 1 khi x 2 x 2 A. . 1 B. . 0 C. . 1 D. Khơng tồn tại. Hướng dẫn giải: Chọn C. Ta cĩ lim f x lim x2 3 1 x 2 x 2 lim f x lim x 1 1 x 2 x 2 Vì lim f x lim f x 1 nên lim f x 1 . x 2 x 2 x 2 x2 ax 1 khi x 2 Câu 28. Tìm a để hàm số sau cĩ giới hạn khi x 2 f (x) . 2 2x x 1 khi x 2 1 A. B. C. D. 1 2 Hướng dẫn giải: Chọn C. Ta cĩ:lim f (x) lim(x2 ax 2) 2a 6 .lim f (x) lim(2x2 x 1) 7 . x 2 x 2 x 2 x 2 1 1 Hàm số cĩ giới hạn khix 2 lim f (x) lim f (x) 2a 6 7 a . Vậy a là giá x 2 x 2 2 2 trị cần tìm. 2 5ax 3x 2a 1 khi x 0 Câu 29. Tìm a để hàm số sau cĩ giới hạn tại x 0 f (x) . 2 1 x x x 2 khi x 0 2 A. B. C. D. 1 2 Hướng dẫn giải: Chọn C. 2 Ta cĩ lim f (x) 2a 1 1 2 lim f (x) a . x 0 x 0 2 2 5ax 3x 2a 1 khi x 0 Câu 30. Tìm a để hàm số. f (x) cĩ giới hạn tại x 0 2 1 x x x 2 khi x 0 2 A. B. C. D. 1 2 Hướng dẫn giải: Chọn C. Ta cĩ: lim f (x) lim 5ax2 3x 2a 1 2a 1 x 0 x 0
  24. lim f (x) lim 1 x x2 x 2 1 2 x 0 x 0 2 Vậy 2a 1 1 2 a . 2 x2 ax 1 khi x 1 Câu 31. Tìm a để hàm số. f (x) cĩ giới hạn khi x 1 . 2 2x x 3a khi x 1 1 A. B. C. D. 1 6 Hướng dẫn giải: Chọn D. Ta cĩ:lim f (x) lim(x2 ax 2) a 3 . x 1 x 1 lim f (x) lim(2x2 x 3a) 3a 1 . x 1 x 1 Hàm số cĩ giới hạn khi x 1 lim f (x) lim f (x) x 1 x 1 a 3 3a 1 a 1. Vậy a 1 là giá trị cần tìm.
  25. DẠNG 2: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG VƠ ĐỊNH 0 0 P(x) 1. L = lim với P(x), Q(x) là các đa thức và P(x0) = Q(x0) = 0 x x0 Q(x) Phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử và rút gọn. Chú ý: 2 + Nếu tam thức bậc hai ax bx+c cĩ hai nghiệm x1, x2 thì ta luơn cĩ sự phân tích 2 ax bx c a(x x1)(x x2 ) . + an bn (a b)(an 1 an 2b abn 2 bn 1) P(x) 2. L = lim với P(x0) = Q(x0) = 0 và P(x), Q(x) là các biểu thức chứa căn cùng bậc x x0 Q(x) Sử dụng các hằng đẳng thức để nhân lượng liên hợp ở tử và mẫu. Các lượng liên hợp: + ( a b)( a b) a b 3 3 3 2 3 3 2 + ( a b)( a  ab b ) a b + ( n a n b)( n an 1 n an 2b n bn 1 ) a b P(x) 3. L = lim với P(x0) = Q(x0) = 0 và P(x) là biêu thức chứa căn khơng đồng bậc x x0 Q(x) m n m n Giả sử: P(x) = u(x) v(x) với u(x0 ) v(x0 ) a . Ta phân tích P(x) = m u(x) a a n v(x) . Trong nhiều trường hợp việc phân tích như trên khơng đi đến kết quả ta phải phân tích như sau: n u(x) m v(x) ( n u(x) m(x)) (m v(x) m(x)) , trong đĩ m(x) c . x2 2x 1 Câu 1. Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của lim là: x 1 2x3 2 1 A. . B. . 0 C. . D. . 2 Hướng dẫn giải: Chọn B. 2 x2 2x 1 x 1 x 1 Cách 1: lim lim lim 0 x 1 2x3 2 x 1 2 x 1 x2 x 1 x 1 2 x2 x 1 x2 2x 1 Cách 2: Bấm máy tính như sau: + CACL + x 1 10 9 và so đáp án. 2x3 2 x2 2x 1 Cách 3: Dùng chức lim của máy VNCALL 570ES Plus: lim 3 và so đáp 2x 2 x 1 10 9 án. x3 3x2 2 Câu 2. Tìm giới hạn A lim : x 1 x2 4x 3 3 A. B. C. D. 1 2 Hướng dẫn giải: Chọn C.
  26. x3 3x2 2 (x 1)(x2 2x 2) x2 2x 2 3 Ta cĩ: A lim lim lim . x 1 x2 4x 3 x 1 (x 1)(x 3) x 1 x 3 2 x4 5x2 4 Câu 3. Tìm giới hạn B lim : x 2 x3 8 1 A. B. C. D. 1 6 Hướng dẫn giải: Chọn D. x4 5x2 4 (x2 1)(x2 4) (x2 1)(x 2)(x 2) Ta cĩ: B lim lim lim x 2 x3 8 x 2 x3 23 x 2 (x 2)(x2 2x 4) (x2 1)(x 2) lim 1. x 2 x2 2x 4 (1 3x)3 (1 4x)4 Câu 4. Tìm giới hạn C lim : x 0 x 1 A. B. C. D. 25 6 Hướng dẫn giải: Chọn D. (1 3x)3 (1 4x)4 Ta cĩ: C lim x 0 x (1 3x)3 1 (1 4x)4 1 lim lim x 0 x x 0 x 3x[(1 3x)2 (1 3x) 1] 4x(2 4x)[(1 4x)2 1] lim lim x 0 x x 0 x lim3[(1 3x)2 (1 3x) 1] lim 4(2 4x)[(1 4x)2 1] 25 x 0 x 0 x 3 Câu 5. Cho hàm số f x . Giá trị đúng của lim f x là: x2 9 x 3 A. . . B. . 0. C. . 6. D. . Hướng dẫn giải: Chọn B 2 x 3 x 3 lim lim . x 3 x2 9 x 3 x 3 x 3 x 3 lim 0 . x 3 x 3 (1 x)(1 2x)(1 3x) 1 Câu 6. Tìm giới hạn D lim : x 0 x 1 A. B. C. D. 6 6 Hướng dẫn giải: Chọn D. (1 x)(1 2x)(1 3x) 1 6x3 11x2 6x Ta cĩ:D lim lim 6 . x 0 x x 0 x
  27. xn 1 Câu 7. Tìm giới hạn A lim (m,n ¥ *) : x 0 xm 1 n A. B. C. D. m n m Hướng dẫn giải: Chọn C. (x 1)(xn 1 xn 2 x 1) xn 1 xn 2 x 1 n Ta cĩ: A lim lim . x 0 (x 1)(xm 1 xm 2 x 1) x 0 xm 1 xm 2 x 1 m n 1 ax 1 Câu 8. Tìm giới hạn B lim (n ¥ *,a 0) : x 0 x a n A. B. C. D. 1 n a Hướng dẫn giải: Chọn C. Cách 1: Nhân liên hợp Ta cĩ: ( n 1 ax 1)( n (1 ax)n 1 n (1 ax)n 2 n 1 ax 1) B lim x 0 x( n (1 ax)n 1 n (1 ax)n 2 n 1 ax 1) a a B lim . x 0 n (1 ax)n 1 n (1 ax)n 2 n 1 ax 1 n Cách 2: Đặt ẩn phụ t n 1 Đặt t n 1 ax x và x 0 t 1 a t 1 t 1 a B a lim a lim . t 1 t n 1 t 1 (t 1)(t n 1 t n t 1) n n 1 ax 1 Câu 8. Tìm giới hạn A lim với ab 0 : x 0 m 1 bx 1 am am A. B. C. D. 1 bn bn Hướng dẫn giải: Chọn C. Áp dụng bài tốn trên ta cĩ: n 1 ax 1 x a m am A lim .lim . . x 0 x x 0 m 1 bx 1 n b bn 1 x 3 1  x 4 1  x 1 Câu 9. Tìm giới hạn B lim với  0 . : x 0 x   A. B. C. D.B 4 3 2   B 4 3 2 Hướng dẫn giải: Chọn C. Ta cĩ: 1 x 3 1  x 4 1  x 1 1 x 3 1  x( 4 1  x 1) 1 x(( 3 1  x 1) ( 1 x 1)
  28. 4 1  x 1 3 1  x 1 1 x 1 B lim( 1 x 3 1  x) lim 1 x lim x 0 x x 0 x x 0 x 2x2 5x 2 Câu 10. Tìm giới hạn A lim : x 2 x3 3x 2 1 A. B. C. D. 1 3 Hướng dẫn giải: Chọn C. (x 2)(2x 1) 1 Ta cĩ: A lim x 2 (x 2)(x2 2x 1) 3 x4 3x 2 Câu 11. Tìm giới hạn B lim : x 1 x3 2x 3 1 A. B. C. D. 1 5 Hướng dẫn giải: Chọn C. (x 1)(x3 x2 x 2) 1 Ta cĩ: B lim x 1 (x 1)(x2 x 3) 5 2x 3 x Câu 12. Tìm giới hạn C lim : x 3 x2 4x 3 1 A. B. C. D. 1 3 Hướng dẫn giải: Chọn C. (x 3)(x 1) 1 Ta cĩ: C lim x 3 (x 3)(x 1) 2x 3 x 3 3 x 1 1 Câu 13. Tìm giới hạn D lim : x 0 4 2x 1 1 2 A. B. C. D. 1 3 Hướng dẫn giải: Chọn C. 4 3 4 2 4 x (2x 1) (2x 1) 2x 1 1 2 Ta cĩ: D lim x 0 2x 3 (x 1)2 3 x 1 1 3 3 4x 1 x 2 Câu 14. Tìm giới hạn E lim : x 7 4 2x 2 2 8 A. B. C. D. 1 27 Hướng dẫn giải: Chọn C. 3 4x 1 x 2 3 4x 1 3 x 2 3 Ta cĩ: E lim lim lim A B x 7 4 2x 2 2 x 7 4 2x 2 2 x 7 4 2x 2 2
  29. 2 2 4 2x 2 2 4 2x 2 4 3 4x 1 3 64 A lim lim x 7 4 x 7 2x 2 2 3 4x 1 2 33 4x 1 9 27 2 4 2x 2 2 4 2x 2 4 x 2 3 8 B lim lim x 7 4 2x 2 2 x 7 2 x 2 3 3 64 8 8 E A B 27 3 27 (2x 1)(3x 1)(4x 1) 1 Câu 15. Tìm giới hạn F lim : x 0 x 9 A. B. C. D. 1 2 Hướng dẫn giải: Chọn C. 1 4x 3 1 6x Câu 16. Tìm giới hạn M lim : x 0 x2 1 A. B. C. D. 0 3 Hướng dẫn giải: Chọn D. 4x 1 (2x 1) 3 1 6x (2x 1) Ta cĩ: M lim lim 0 x 0 x2 x 0 x2 m 1 ax n 1 bx Câu 17. Tìm giới hạn N lim : x 0 x a b a b A. B. C. D. m n m n Hướng dẫn giải: Chọn C. m 1 ax 1 n 1 bx 1 a b Ta cĩ: N lim lim x 0 x x 0 x m n m 1 ax n 1 bx 1 Câu 18. Tìm giới hạn G lim : x 0 x a b a b A. B. C. D. m n m n Hướng dẫn giải: Chọn D. m n 1 ax 1 bx 1 m 1 ax 1 b a Ta cĩ: G lim lim x 0 x x 0 x n m 1 mx n 1 nx m Câu 19. Tìm giới hạn V lim : x 0 x2 mn n m mn n m A. B. C. D. 2 2 Hướng dẫn giải:
  30. Chọn C. (1 nx)m (1 mnx) (1 mx)n (1 mnx) mn(n m) Ta cĩ: V lim lim . x 0 x2 x 0 x2 2 1 x 1 3 x 1 n x Câu 20. Tìm giới hạn K lim : x 1 1 x n 1 1 A. B. C. D. 0 n! Hướng dẫn giải: Chọn C. 1 1 Ta cĩ: K lim . x 1 (1 x)( 3 x2 3 x 1) ( n xn 1 1) n! n n 1 x2 x 1 x2 x Câu 21. Tìm giới hạn L lim : x 0 x A. B. C. 2n D. 0 Hướng dẫn giải: Chọn C. n n 2 2 1 x x 1 1 x x 1 L lim 2n . x 0 n x 1 x2 x 2x2 5x 2 Câu 22. Tìm giới hạn A lim : x 2 x3 8 1 A. B. C. D. 0 4 Hướng dẫn giải: Chọn C. (2x 1)(x 2) 1 Ta cĩ: A lim x 2 (x 2)(x2 2x 4) 4 x4 3x2 2 Câu 23. Tìm giới hạn B lim : x 1 x3 2x 3 2 A. B. C. D. 0 5 Hướng dẫn giải: Chọn C. (x2 1)(x2 2) 2 Ta cĩ: B lim x 1 (x 1)(x2 x 3) 5 2x 3 3 Câu 24. Tìm giới hạn C lim : x 3 x2 4x 3 1 A. B. C. D. 0 6 Hướng dẫn giải: Chọn C.
  31. 2(x 3) 1 Ta cĩ: C lim x 3 (x 1)(x 3) 2x 3 3 6 3 x 1 1 Câu 25. Tìm giới hạn D lim : x 0 2x 1 1 1 A. B. C. D. 0 3 Hướng dẫn giải: Chọn C. x 2x 1 1 1 Ta cĩ: D lim x 0 2x 3 (x 1)2 3 x 1 1 3 n (2x 1)(3x 1)(4x 1) 1 Câu 26. Tìm giới hạn F lim : x 0 x 9 A. B. C. D. 0 n Hướng dẫn giải: Chọn C. Đặt y n (2x 1)(3x 1)(4x 1) y 1 khi x 0 yn 1 (2x 1)(3x 1)(4x 1) 1 Và: lim lim 9 x 0 x x 0 x yn 1 9 Do đĩ: F lim x 0 x yn 1 yn 2 y 1 n 1 4x 3 1 6x Câu 27. Tìm giới hạn M lim : x 0 1 cos3x 4 A. B. C. D. 0 9 Hướng dẫn giải: Chọn C. 1 4x 3 1 6x x2 2 4 Ta cĩ: M lim . 2. . x 0 x2 1 cos3x 9 9 m 1 ax n 1 bx Câu 28. Tìm giới hạn N lim : x 0 1 x 1 2 an bm A. B. C. D. 0 mn Hướng dẫn giải: Chọn C. m 1 ax 1 n 1 bx 1 x a b 2(an bm) Ta cĩ: N lim . .2 . x 0 x x 1 x 1 m n mn 1 mx n 1 nx m Câu 29. Tìm giới hạn V lim : x 0 1 2x 3 1 3x
  32. 2 an bm A. B. C. D. mn n m mn Hướng dẫn giải: Chọn D. n 1 mx 1 (1 nx)m 1 x2 mn(n m) Ta cĩ: V lim .2 mn(n m) . x 0 2 2 3 x x 1 2x 1 3x 2 1 x 1 3 x 1 n x Câu 30. Tìm giới hạn K lim n 1 : x 1 1 x2 1 A. B. C. D. 0 n! Hướng dẫn giải: Chọn C. 1 1 Ta cĩ: K lim . x 1 (1 x)( 3 x2 3 x 1) ( n xn 1 1) n! 4x 1 3 2x 1 Câu 31. Tìm giới hạn A lim : x 0 x 4 A. B. C. D. 0 3 Hướng dẫn giải: Chọn C. 4x 1 1 3 2x 1 1 Ta cĩ: A lim lim x 0 x x 0 x 4x 1 1 4x 4 Mà: lim lim lim 2 x 0 x x 0 x 4x 1 1 x 0 4x 1 1 3 2x 1 1 2x 2 lim lim x 0 x x 0 x 3 (2x 1)2 3 2x 1 1 3 2 4 Vậy A 2 . 3 3 4x 5 3 Câu 32. Tìm giới hạn B lim : x 1 3 5x 3 2 4 2 A. B. C. D. 3 5 Hướng dẫn giải: Chọn D. 3 2 3 3 2 3 4(x 1) (5x 3) 2 5x 3 4 4 (5x 3) 2 5x 3 4 2 Ta cĩ: B lim lim . x 1 x 1 5 5(x 1) 4x 5 3 5 4x 5 3 4 2x 3 3 2 3x Câu 33. Tìm giới hạn C lim : x 1 x 2 1
  33. 4 A. B. C. D. 3 3 Hướng dẫn giải: Chọn D. 4 2x 3 1 3 3x 2 1 Ta cĩ: C lim lim x 1 x 2 1 x 1 x 2 1 4 2(x 1) 1 1 3 3(x 1) 1 1 2 1 lim x 1 lim x 1 4 3 x 1 (x 1) 1 1 x 1 (x 1) 1 1 1 1 x 1 x 1 2 2 x x 2 Câu 34. Tìm giới hạn D lim : x 2 x 3 3x 2 4 A. B. C. D. 1 3 Hướng dẫn giải: Chọn D. x2 x 2 x2 x.3 3x 2 3 (3x 2)2 x2 x.3 3x 2 3 (3x 2)2 Ta cĩ: D lim lim 1. x 2 (x3 3x 2) x x 2 x 2 (x 1) x x 2 1 2x 3 1 3x Câu 35. Tìm giới hạn A lim : x 0 x2 1 A. B. C. D. 0 2 Hướng dẫn giải: Chọn C. t3 1 Cách 1: Đặt t 3 3x 1 x và x 0 t 1 3 t3 1 t3 2 1 t t 3 3 Nên A lim 2 9lim 2 2 2 t 1 t3 1 t 1 (t 1) (t t 1) 3 t3 3t 2 2 3lim t 1 t3 2 (t 1)2 (t 2 t 1)2 t 3 (t 1)2 (t 2) 3lim t 1 t3 2 (t 1)2 (t 2 t 1)2 t 3 t 2 1 3lim . t 1 t3 2 2 (t 2 t 1)2 t 3 Cách 2: Ta cĩ:
  34. 1 2x (1 x) 3 1 3x (1 x) A lim lim x 0 x2 x 0 x2 1 3 x lim lim x 0 1 2x 1 x x 0 3 (1 3x)2 (1 x) 3 1 3x (1 x)2 1 Do đĩ: A . 2 5 4x 3 7 6x Câu 36. Tìm giới hạn B lim : x 1 x3 x2 x 1 4 A. B. C. D. 1 3 Hướng dẫn giải: Chọn D. 5 4x 3 7 6x Ta cĩ: B lim x 1 x 1 2 x 1 Đặt t x 1 . Khi đĩ: 5 4x 3 7 6x 1 4t 3 1 6t lim lim x 1 x 1 2 t 0 t 2 1 4t (2t 1) 3 1 6t (2t 1) lim lim x 0 t 2 t 0 t 2 4 8t 12 lim lim 2 . t 0 1 4t 2t 1 t 0 3 (1 6t)2 (2t 1) 3 (1 6t)2 (2t 1)2 Do đĩ: B 1 .
  35. DẠNG 3: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG VƠ ĐỊNH Phương pháp: P(x) L = lim trong đĩ P(x),Q(x) , dạng này ta cịn gọi là dạng vơ định. x Q(x) với P(x), Q(x) là các đa thức hoặc các biểu thức chứa căn. – Nếu P(x), Q(x) là các đa thức thì chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x. – Nếu P(x), Q(x) cĩ chứa căn thì cĩ thể chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x hoặc nhân lượng liên hợp. Tương tự như cách khử dạng vơ định ở dãy số. Ta cần tìm cách đưa về các giới hạn: + lim x2k ; lim x2k 1 ( ) . x x (x ) (x ) k + lim 0 (n 0;k 0) . x n (x ) x k + lim f (x) ( ) lim 0 (k 0) . x x0 x x0 f (x) 5 Câu 1. lbằng:im x 3x 2 5 A. .0 B. . 1 C. . D. . 3 Hướng dẫn giải: Chọn A. 5 5 Cách 1: lim lim x 0 x x 2 3x 2 3 x 5 Cách 2: Bấm máy tính như sau: + CACL + x 109 và so đáp án (với máy casio 570 VN 3x 2 Plus) 5 Cách 3: Dùng chức lim của máy VNCALL 570ES Plus: lim và so đáp án. 3x 2 x 109 x4 7 Câu 2. Giá trị đúng của lim là: x x4 1 A. 1. B. .1 . C. . 7. D. . Hướng dẫn giải: Chọn B 7 4 1 x 7 4 lim lim x 1. x 4 x 1 x 1 1 x4 2x 3x2 2 Câu 3. Tìm giới hạn C lim : x 5x x2 1 2 3 A. B. C. D. 0 6
  36. Hướng dẫn giải: 2 2 3 2 2 3 Ta cĩ: C lim x x 1 6 5 1 x2 2x2 1 Câu 4. lbằng:im x 3 x2 1 1 A. . 2 B. . C. . D. . 2 3 3 Hướng dẫn giải: Chọn D. 1 2 2x2 1 2 Cách 1: lim lim x 2 x 2 x 3 3 x 1 x2 2x2 1 Cách 2: Bấm máy tính như sau: + CACL + x 109 và so đáp án. 3 x2 2x2 1 Cách 3: Dùng chức lim của máy VNCALL 570ES Plus: lim 2 và so đáp án. 3 x x 109 x2 1 Câu 5. Cho hàm số f (x) . Chọn kết quả đúng của lim f (x) : 2x4 x2 3 x 1 2 A. . B. . C. . 0 D. . 2 2 Hướng dẫn giải: Chọn C. 1 1 2 x 1 2 4 Cách 1: lim lim x x 0 x 4 2 x 1 3 2x x 3 2 x2 x4 x2 1 Cách 2: Bấm máy tính như sau: + CACL + x 109 và so đáp án. 2x4 x2 3 x2 1 Cách 3: Dùng chức lim của máy VNCALL 570ES Plus: lim và so đáp án. 2x4 x2 3 x 109 1 3x Câu 6. bằng:lim x 2x2 3 3 2 2 3 2 2 A. . B. . C. . D. . 2 2 2 2 Hướng dẫn giải: Chọn A. 1 3 1 3x 2 3 2 Cách 1: lim lim x x 2 x 3 2 2x 3 2 x2
  37. 1 3x Cách 2: Bấm máy tính như sau: + CACL + x 109 và so đáp án. 2x2 3 1 3x Cách 3: Dùng chức lim của máy VNCALL 570ES Plus: lim và so đáp án. 2 2x 3 x 109 3 1 x4 x6 Câu 7. Tìm giới hạn D lim : x 1 x3 x4 4 A. B. C. D. 1 3 Hướng dẫn giải: 1 1 2 3 x 6 2 1 Ta cĩ: D lim x x 1 x 1 1 x2 1 x4 x2 x 1 Câu 8. Cho hàm số f x x 2 . Chọn kết quả đúng của lim f x : x4 x2 1 x 1 A. .0 B. . C. . 1 D. Khơng tồn 2 tại. Hướng dẫn giải: Chọn A. 1 1 2 x 1 x 1 x 2 2 3 4 lim f x lim x 2 lim lim x x x 0 . x x 4 2 x 4 2 x 1 1 x x 1 x x 1 1 x2 x4 x2 x 3 Câu 9. lim bằng: x 1 2 x 1 1 A. .3 B. . C. . 1 D. . 2 Hướng dẫn giải: Chọn A. 1 3 1 3 1 3 x 1 x 1 1 x2 x 3 2 2 2 lim lim x x lim x x lim x x 3. . x 1 2 x 1 x 1 2x 1 x 1 1 x 1 1 x 2 2 x x x4 8x Câu 10. Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của lim là: x x3 2x2 x 2 21 21 24 24 A. . B. . C. . D. . 5 5 5 5 Hướng dẫn giải: Chọn C. x4 8x x4 8x lim thành lim x x3 2x2 x 2 x 2 x3 2x2 x 2
  38. 2 2 x4 8x x x 2 x 2x 4 x x 2x 4 24 lim lim lim . x 2 x3 2x2 x 2 x 2 x 2 x2 1 x 2 x2 1 5 Câu 12. Tìm giới hạn E lim ( x2 x 1 x) : x 1 A. B. C. D. 0 2 Hướng dẫn giải: x 1 1 Ta cĩ: E lim x x2 x 1 x 2 Câu 13. Tìm giới hạn F lim x( 4x2 1 x) : x 4 A. B. C. D. 0 3 Hướng dẫn giải: 1 Ta cĩ: F lim x2 4 1 x 2 x Câu 14. Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của lim 4x5 3x3 x 1 là: x A. . B. . 0 C. . 4 D. . Hướng dẫn giải: Chọn A. 5 3 5 3 1 1 lim 4x 3x x 1 lim x 4 2 4 5 . . x x x x x Câu 15. Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của lim x4 x3 x2 x là: x A. . B. . 0 C. . 1 D. . Hướng dẫn giải: Chọn D. 4 3 2 4 1 1 1 lim x x x x lim x 1 2 3 x x x x x Câu 16. Tìm giới hạn B lim x x2 x 1 : x 4 A. B. C. D. 0 3 Hướng dẫn giải: 1 1 1 1 Ta cĩ: B lim x x 1 lim x 1 1 x 2 x 2 x x x x Câu 17. Tìm giới hạn M lim ( x2 3x 1 x2 x 1) : x 4 A. B. C. D. Đáp án 3 khác Hướng dẫn giải: 4x 2 khi x Ta cĩ: M lim x x2 3x 1 x2 x 1 2 khi x
  39. Câu 18. Tìm giới hạn N lim 3 8x3 2x 2x : x 4 A. B. C. D. 0 3 Hướng dẫn giải: 2x Ta cĩ: N lim 0 x 3 (8x3 2x)2 2x 3 8x3 2x 4x2 Câu 19. Tìm giới hạn H lim 4 16x4 3x 1 4x2 2 : x 4 A. B. C. D. 0 3 Hướng dẫn giải: 16x4 3x 1 (4x2 2) Ta cĩ: H lim x 4 16x4 3x 1 4x2 2 16x4 3x 1 (4x2 2)2 lim x 4 16x4 3x 1 4x2 2 16x4 3x 1 4x2 2 16x2 3x 3 lim x 4 16x4 3x 1 4x2 2 16x4 3x 1 4x2 2 Suy ra H 0 . Câu 20. Tìm giới hạn K lim x2 1 x2 x 2x : x 1 A. B. C. D. 0 2 Hướng dẫn giải: 2x2 x 1 2 (x2 1)(x2 x) Ta cĩ: K lim x x2 1 x2 x 2x 2 4(x4 x3 x2 x) 2x2 x 1 lim x x2 1 x2 x 2x 2 (x2 1)(x2 x) 2x2 x 1 2 4(x4 x3 x2 x) 2x2 x 1 lim x x2 1 x2 x 2x 2 (x2 1)(x2 x) 2x2 x 1 8x3 7x2 2x 1 1 lim x x2 1 x2 x 2x 2 (x2 1)(x2 x) 2x2 x 1 2 3x2 5x 1 Câu 21. Tìm giới hạn A lim : x 2x2 x 1 3 A. B. C. D. 0 2 Hướng dẫn giải:
  40. 5 1 5 1 x2 (3 ) 3 2 2 3 Ta cĩ: A lim x x lim x x x 1 1 x 1 1 x2 (2 ) 2 2 x x2 x x2 n a0 x an 1x an Câu 22. Tìm giới hạn B lim (a0b0 0) : x m b0 x bm 1x bm 4 A. B. C. D. Đáp án 3 khác Hướng dẫn giải: n a1 an 1 an x (a0 n 1 n ) Ta cĩ: B lim x x x x b b b xm (b 1 m 1 m ) 0 x xm 1 xm a a a a 1 n 1 n 0 n 1 n a * Nếu.m n B lim x x x 0 x b b b b b 1 m 1 m 0 0 x xm 1 xm a1 an 1 an a0 n 1 n * Nếu m n B lim x x x 0 x b b b xm n (b 1 m 1 m ) 0 x xm 1 xm ( Vì tử a0 , mẫu). 0 * Nếu m n n m a1 an 1 an x (a0 n 1 n ) x x x khi a0.b0 0 B lim . x b b b khi a b 0 b 1 m 1 m 0 0 0 x xm 1 xm 3 3x3 1 2x2 x 1 Câu 23. Tìm giới hạn A lim : x 4 4x4 2 3 3 2 A. B. C. D. 0 2 Hướng dẫn giải: 1 1 1 x 3 3 x 2 3 2 3 3 2 Ta cĩ:A lim x x x . x 2 2 x 4 4 x4 x x2 1 2x 1 Câu 24. Tìm giới hạn B lim : x 3 2x3 2 1 4 A. B. C. D. 0 3 Hướng dẫn giải:
  41. 2 1 2 1 1 2 1 x ( 1 2 2 ) x( 1 2 2 ) B lim x x x x x x x 2 1 2 1 x( 3 2 ) 3 2 x3 x x3 x (do tử , mẫu). 3 2 (2x 1)3 (x 2)4 Câu 25.Tìm giới hạn A lim : x (3 2x)7 1 A. B. C. D. 0 16 Hướng dẫn giải: 3 4 1 2 2 1 x x 1 A lim 7 x 3 16 2 x 4x2 3x 4 2x Câu 26. Tìm giới hạn B lim : x x2 x 1 x A. B. C. 2 D. 0 Hướng dẫn giải: 3 4 4 2 2 B lim x x 2 x 1 1 1 x x x2 2x 3x2 2 Câu 27. Tìm giới hạn C lim : x 5x x2 1 2 3 A. B. C. D. 0 4 Hướng dẫn giải: 2 2 3 2 2 3 C lim x x 1 4 5 1 x2 3 1 x4 x6 Câu 28. Tìm giới hạn D lim : x 1 x3 x4 4 A. B. C. D. 1 3 Hướng dẫn giải: 1 1 3 6 2 1 D lim x x 1 x 1 1 1 x x4 Câu 29. Tìm giới hạn A lim x2 x 1 3 2x3 x 1 : x
  42. 4 A. B. C. D. 0 3 Hướng dẫn giải: 1 1 1 1 Ta cĩ: A lim x 1 x 3 2 x 2 2 3 x x x x 1 1 1 1 lim x 1 3 2 x 2 2 3 x x x x Câu 30.Tìm giới hạn C lim 4x2 x 1 2x : x 1 A. B. C. D. 0 2 Hướng dẫn giải: 1 1 x 1 1 x 1 x 1 Ta cĩ: C lim lim lim x . x 4x2 x 1 2x x 1 1 x 1 1 2 x 4 2x 4 2 x x2 x x2 Câu 31. Tìm giới hạn D lim 3 x3 x2 1 x2 x 1 : x 1 A. B. C. D. 0 6 Hướng dẫn giải: Ta cĩ: D lim 3 x3 x2 1 x lim x2 x 1 x M N x x x2 1 1 M lim x 3 (x3 x2 1)2 x.3 x3 x2 1 x2 3 1 1 x 1 1 N lim lim x x 2 x 1 1 2 x x 1 x 1 1 x x2 1 1 1 Do đĩ:.B 3 2 6 Câu 32. Tìm giới hạn A lim x2 x 1 2 x2 x x : x 3 A. B. C. D. 0 2 Hướng dẫn giải: 2 x2 x 1 x 4(x2 x) Ta cĩ: x2 x 1 2 x2 x x x2 x 1 2 x2 x x 2x x2 x 1 1 5x 2x2 x2 x 1 2 x2 x x 2 2x x x 1 x 1 5x x2 x 1 2 x2 x x x2 x 1 2 x2 x x
  43. 2x(x 1) x2 x 1 2 x2 x x x2 x 1 x 1 5x . x2 x 1 2 x2 x x 2 2 Do đĩ: A lim x x 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 2 1 x x x x x 1 5 1 5 3 lim x x 1 1 1 4 4 2 1 2 1 1 x x2 x Câu 33.Tìm giới hạn B lim x( x2 2x 2 x2 x x) : x 1 A. B. C. D. 0 4 Hướng dẫn giải: 2x2 2x 2x x2 2x 4x2 4x Ta cĩ: x2 2x 2 x2 x x x2 2x 2 x2 x x x2 2x x 1 2x x2 2x 2 x2 x x 2x . ( x2 2x 2 x2 x x)( x2 2x x 1) 2x2 Nên B lim x ( x2 2x 2 x2 x x)( x2 2x x 1) 2 1 lim . x 2 1 2 1 4 ( 1 2 1 1)( 1 1 ) x x x x n a0 x an 1x an Câu 34. Tìm giới hạn A lim , (a0b0 0) : x m b0 x bm 1x bm 4 A. B. C. D. Đáp án 3 khác Hướng dẫn giải: n a1 an 1 an x (a0 n 1 n ) Ta cĩ: A lim x x x x b b b xm (b 1 m 1 m ) 0 x xm 1 xm a a a a 1 n 1 n 0 n 1 n a Nếu m n B lim x x x 0 . x b b b b b 1 m 1 m 0 0 x xm 1 xm
  44. a1 an 1 an a0 n 1 n Nếu m n B lim x x x 0 x b b b xm n (b 1 m 1 m ) 0 x xm 1 xm ( Vì tử a0 , mẫu 0 ). n m a1 an 1 an x (a0 n 1 n ) x x x khi a0.b0 0 Nếu m n , ta cĩ: B lim x b b b khi a b 0 b 1 m 1 m 0 0 0 x xm 1 xm 4x2 x 3 8x3 x 1 Câu 35. Tìm giới hạn B lim : x 4 x4 3 4 A. B. C. D. 4 3 Hướng dẫn giải: 1 1 1 1 1 1 3 3 x 4 x. 8 2 3 4 8 2 3 Ta cĩ:B lim x x x lim x x x 4 x 3 x 3 x 4 1 4 1 x4 x4 4x2 2 3 x3 1 Câu 36. Tìm giới hạn C lim : x x2 1 x 3 A. B. C. D. 0 2 Hướng dẫn giải: 2 1 2 1 x 4 x 3 1 4 3 1 2 3 2 3 3 Ta cĩ: C lim x x lim x x x 1 x 1 2 x 1 x 2 1 2 1 x x x x2 1 2x 1 Câu 37. Tìm giới hạn D lim : x 3 2x3 x 1 x 4 A. B. C. D. 0 3 Hướng dẫn giải: 1 2 1 x2 1 x2 x x2 Ta cĩ:D lim . x 2 1 1 1 2 3 x 3 5 6 x x x x 2 Câu 38. Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của lim x2 cos là: x 0 nx A. Khơng tồn tại. B. .0 C. . 1 D. . Hướng dẫn giải: Chọn B.
  45. 2 2 Cách 1: 0 cos 1 0 x2 cos x2 nx nx 2 Mà lim x2 0 nên lim x2 cos 0 x 0 x 0 nx 2 Cách 2: Bấm máy tính như sau: Chuyển qua chế độ Rad + x2 cos + CACL + x 10 9 + nx n 10 và so đáp án.
  46. DẠNG 4: GIỚI HẠN MỘ BÊN VÀ CÁC DẠNG VƠ ĐỊNH KHÁC Phương pháp: 1. Giới hạn một bên : Áp dụng định lý giới hạn của một tích và một thương 2. Dạng – : Giới hạn này thường cĩ chứa căn Ta thường sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp của tử và mẫu, Sau đĩ tìm cách biến đổi đưa về dạng . 3. Dạng 0. : Ta cũng thường sử dụng các phương pháp như các dạng ở trên. 1 2 Câu 1. Chọn kết quả đúng của lim : 2 3 x 0 x x A. . B. . 0 C. . D. Khơng tồn tại. Hướng dẫn giải: Chọn C. 1 2 x 2 lim lim 2 3 3 x 0 x x x 0 x lim x 2 2 0 x 0 Khi x 0 x 0 x3 0 x 2 Vậy lim . 3 x 0 x x3 x2 Câu 2. lim bằng: x 1 x 1 1 x A. . 1 B. . 0 C. . 1 D. . Hướng dẫn giải: Chọn C. x3 x2 x2 x 1 x x 1 x lim lim lim lim 1. . x 1 x 1 1 x x 1 x 1 x 1 2 x 1 x 1 1 x 1 x 1 1 x 1 x2 x 1 Câu 3. lim 2 bằng: x 1 x 1 A. – . B. –1. C. 1. D. + . Hướng dẫn giải: Chọn D. 2 x x 1 2 2 2 lim 2 vì lim x x 1 1 0 và lim x 1 0; x 1 0 . x 1 x 1 x 1 x 1 x 3 Câu 4. Giá tri đúng của lim x 3 x 3 A. Khơng tồn tại. B. .0 C. . 1 D. . Hướng dẫn giải: Chọn A.
  47. x 3 x 3  lim lim 1 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3  lim lim x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 lim lim 1 x 3 x 3 x 3 x 3  Vậy khơng tồn tại giới hạn trên. Câu 5. Tìm giới hạn A lim x2 x 1 x : x 1 A. B. C. D. 0 2 Hướng dẫn giải: Chọn C. ( x2 x 1 x)( x2 x 1 x) Ta cĩ: A lim x x2 x 1 x x2 x 1 x2 x 1 1 lim lim . x x2 x 1 x x x2 x 1 x 2 Câu 6. Tìm giới hạn B lim 2x 4x2 x 1 : x 1 A. B. C. D. 0 4 Hướng dẫn giải: Chọn C. (2x 4x2 x 1)(2x 4x2 x 1) x 1 1 B lim lim . x 2x 4x2 x 1 x 2x 4x2 x 1 4 1 1 Câu 7. Cho hàm số f (x) 3 . Chọn kết quả đúng của lim f x : x 1 x 1 x 1 2 2 A. . B. . C. . D. . 3 3 Hướng dẫn giải: Chọn A. x2 x lim f x lim 3 x 1 x 1 x 1 lim x2 x 2 x 1 Khi x 1 x 1 x3 1 0 Vậy lim f x . x 1 n Câu 8. Tìm giới hạn C lim [ (x a1)(x a2 ) (x an ) x] : x a a a A. B. C. D.1 2 n n a a a 1 2 n 2n Hướng dẫn giải: Chọn C. n Đặt y (x a1)(x a2 ) (x an )
  48. yn xn yn xn (y x)(yn 1 yn 1x xn 1) y x yn 1 yn 1x xn 1 yn xn lim (y x) lim x x yn 1 yn 2 x xn 1 yn xn n 1 C lim x . x yn 1 yn 1x xn 1 xn 1 n n y x b2 b3 bn Mà lim lim (a1 a2 an ) x xn 1 x x x2 xn 1 a1 a2 an . yk xn 1 k yn 1 yn 2 x xn 1 lim 1 k 0, ,n 1 lim n . x xn 1 x xn 1 a a a Vậy.C 1 2 n n Câu 9. Tìm giới hạn A lim ( x2 x 1 x) : x 1 A. B. C. D. 0 2 Hướng dẫn giải: Chọn C. x 1 1 A lim x x2 x 1 x 2 Câu 10. Tìm giới hạn B lim x( 4x2 1 x) : x 1 A. B. C. D. 0 4 Hướng dẫn giải: Chọn B. Câu 11. Tìm giới hạn C lim ( x2 x 1 x2 x 1) : x 1 A. B. C. D. Đáp án 4 khác Hướng dẫn giải: Chọn D. 2x lim x2 x 1 x2 x 1 lim 1 x x x2 x 1 x2 x 1 2x lim x2 x 1 x2 x 1 lim 1. x x x2 x 1 x2 x 1 Câu 12. Tìm giới hạn D lim ( 3 8x3 2x 2x) : x 1 A. B. C. D. 0 4 Hướng dẫn giải: Chọn D.
  49. 2x D lim 0 x 3 (8x3 2x)2 2x 3 (8x3 2x) 4x2 Câu 13. Tìm giới hạn E lim ( 4 16x4 3x 1 4x2 2) : x 1 A. B. C. D. 0 4 Hướng dẫn giải: Chọn D. E lim 4 16x4 3x 1 2x lim 4x2 2 2x 0 x x Câu 14. Tìm giới hạn F lim (x 3 1 x3 ) : x 1 A. B. C. D. 0 4 Hướng dẫn giải: Chọn D.
  50. DẠNG 5 : GIỚI HẠN LƯỢNG GIÁC Phương pháp: Ta sử dụng các cơng thức lượng giác biến đổi về các dạng sau: sin x x tan x x lim lim 1, từ đây suy ralim lim 1 . x 0 x x 0 sin x x 0 x x 0 tan x sin u(x) tan u(x) Nếu lim u(x) 0 lim 1 vàlim 1 . x x0 x x0 u(x) x x0 u(x) 1 cos ax Câu 1. Tìm giới hạn A lim : x 0 x2 a A. B. C. D. 0 2 Hướng dẫn giải: Chọn C. 2 2 ax ax 2sin sin 2 a 2 a Ta cĩ:A lim lim . x 0 2 x 0 ax x 2 2 2 1 sin mx cos mx Câu 2. Tìm giới hạn A lim : x 0 1 sin nx cos nx m A. B. C. D. 0 n Hướng dẫn giải: Chọn C. mx mx mx 2sin2 2sin cos 1 sin mx cos mx Ta cĩ: 2 2 2 nx nx nx 1 sin nx cos nx 2sin2 2sin cos 2 2 2 mx nx mx mx sin sin cos m 2 . 2 . 2 2 mx nx nx nx n sin sin cos 2 2 2 2 mx nx mx mx sin sin cos m m A lim 2 .lim 2 .lim 2 2 . x 0 mx x 0 nx x 0 nx nx n sin sin cos n 2 2 2 2 1 cos x.cos 2x.cos3x Câu 3. Tìm giới hạn B lim : x 0 x2 A. B. C. 3 D. 0 Hướng dẫn giải: Chọn C. Ta cĩ: 1 cos x.cos 2x.cos3x 1 cos x cos x cos 2x(1 cos3x) cos x(1 cos 2x) x2 x2 1 cos x 1 cos3x 1 cos 2x cos x.cos 2x cos x x2 x2 x2
  51. 1 cos x 1 cos3x 1 cos 2x B lim limcos x.cos 2x limcos x 3 x 0 x2 x 0 x2 x 0 x2 1 cos 2x Câu 4.Tìm giới hạn A lim : x 0 3x 2sin 2 A. B. C. 1 D. 0 Hướng dẫn giải: Chọn D. 3x 2 sin sin x sin x 3 Ta cĩ:A lim lim x( )2. lim 2 0 . x 0 3x x 0 x 0 3x sin x 2 2 2 cos 2x cos3x Câu 5. Tìm giới hạn B lim : x 0 x(sin 3x sin 4x) 5 A. B. C. D. 0 2 Hướng dẫn giải: Chọn C. 5x x 5x 2sin sin sin 5 1 5 B lim 2 2 lim( . 2 ).lim . x 0 7x x x 0 5x x 0 7x 2x cos sin 2 cos 2 2 2 2 2 tan2 2x Câu 6. Tìm giới hạn C lim : x 0 1 3 cos 2x A. B. C. 6 D. 0 Hướng dẫn giải: Chọn C. tan2 2x tan2 2x(1 3 cos 2x 3 cos2 2x) C lim lim x 0 1 3 cos 2x x 0 1 cos 2x tan2 2x(1 3 cos 2x 3 cos2 2x) lim 2 x 0 2sin x tan 2x x 2lim( )2.( )2 (1 3 cos 2x 3 cos2 2x). x 0 2x sin x C 6 . x2 Câu 7. Tìm giới hạn D lim : x 0 1 xsin 3x cos 2x 7 A. B. C. D. 0 2 Hướng dẫn giải: Chọn C. 1 Ta cĩ: D lim x 0 1 xsin 3x cos 2x x2
  52. 1 xsin 3x cos 2x 1 xsin 3x 1 1 cos 2x Mà : lim lim lim x 0 x2 x 0 x2 x 0 x2 sin 3x 1 7 3lim( . ) 2 . x 0 3x 1 xsin 3x 1 2 7 Vậy:.D 2 sin( xm ) Câu 8.Tìm giới hạn A lim. : x 1 sin( xn ) n A. B. C. D. 0 m Hướng dẫn giải: Chọn C. sin (1 xm ) sin (1 xm ) (1 xn ) 1 xn A lim lim .lim .lim x 1 sin (1 xn ) x 1 (1 xm ) x 1 sin (1 xn ) x 1 1 xm 1 xn (1 x)(xn 1 xn 2 1) n lim lim . x 1 1 xm x 1 (1 x)(xm 1 xm 2 1) m Câu 9. Tìm giới hạn B lim( x) tan x : x 2 2 5 A. B. C. D. 1 2 Hướng dẫn giải: Chọn D. x sin x Ta cĩ:B lim( x) lim 2 .lim sin x 1 . x 2 cos x x x 2 2 sin( x) 2 2 1 Câu 10. Tìm giới hạn C lim x sin ( 0) : x 0 x 5 A. B. C. D. 0 2 Hướng dẫn giải: Chọn D. 1 Ta cĩ:0 | x sin | x . Mà lim x 0 x x 0 Nên theo nguyên lí kẹp. A39 0 Câu 11.Tìm giới hạn D lim (sin x 1 sin x) : x 5 A. B. C. D. 0 2 Hướng dẫn giải: Chọn D. Trước hết ta cĩ: sin x x x 0 x 1 x x 1 x 1 Ta cĩ: sin x 1 sin x 2sin .cos 2 2 x 1 x
  53. 1 Mà lim 0 nênD 0 . x x 1 x cos3x cos 4x Câu 12. Tìm giới hạn A lim : x 0 cos5x cos6x 7 A. B. C. D. 0 11 Hướng dẫn giải: Chọn C. 7x x sin sin 7 Ta cĩ: A lim 2 2 x 0 11x x sin sin 11 2 2 1 3 1 2sin 2x Câu 13. Tìm giới hạn B lim : x 0 sin 3x 4 A. B. C. D. 0 9 Hướng dẫn giải: Chọn C. 2sin 2x 4 Ta cĩ B lim x 0 sin 3x 1 3 1 2sin 2x 3 (1 2sin 2x)2 9 sin2 2x Câu 14.Tìm giới hạn C lim : x 0 3 cos x 4 cos x A. B. C. 96 D. 0 Hướng dẫn giải: Chọn C. sin2 2x 2 Ta cĩ: C lim x 96 x 0 3 cos x 1 1 4 cos x x2 x2 sin4 2x Câu 15.Tìm giới hạn D lim : x 0 sin4 3x 16 A. B. C. D. 0 81 Hướng dẫn giải: Chọn C. 1 sin( cos x) Câu 16.Tìm giới hạn E lim 2 : x 0 sin(tan x) 5 A. B. C. D. 0 2 Hướng dẫn giải: Chọn D.
  54. 1 sin cos x 2 E lim tan x 0 x 0 sin(tan x) tan x 3sin x 2cos x Câu 17. Tìm giới hạn F lim : x x 1 x 5 A. B. C. D. 0 2 Hướng dẫn giải: Chọn D. 3sin x 2cos x 1 Ta cĩ: 0 0 khi x x 1 x x 1 x Vậy F 0 . m cos ax m cosbx Câu 18. Tìm giới hạn H lim : x 0 sin2 x b a A. B. C. D. 0 2n 2m Hướng dẫn giải: Chọn C. m cos ax 1 1 n cosbx 2 2 b a Ta cĩ: H lim x x x 0 sin2 x 2n 2m x2 1 n cos ax Câu 19.Tìm giới hạn M lim : x 0 x2 a A. B. C. D. 0 2n Hướng dẫn giải: Chọn C. 1 cos ax Ta cĩ: 1 n cos ax 1 n cos ax ( n cos ax)2 ( n cos ax)n 1 1 cos ax 1 a 1 a M lim lim . . x 0 x2 x 0 1 n cos ax ( n cos ax)2 ( n cos ax)n 1 2 n 2n cos3x cos 4x Câu 20.Tìm giới hạn A lim : x 0 cos5x cos6x 7 A. B. C. D. 0 11 Hướng dẫn giải: Chọn C. 7x x sin sin 7 Ta cĩ: A lim 2 2 x 0 11x x sin sin 11 2 2
  55. 1 3 1 2sin 2x Câu 21.Tìm giới hạn B lim : x 0 sin 3x 4 A. B. C. D. 0 9 Hướng dẫn giải: Chọn C. 2sin 2x 4 Ta cĩ B lim x 0 sin 3x 1 3 1 2sin 2x 3 (1 2sin 2x)2 9 sin2 2x Câu 22. Tìm giới hạn C lim : x 0 3 cos x 4 cos x A. B. C. 96 D. 0 Hướng dẫn giải: Chọn C. sin2 2x 2 Ta cĩ: C lim x 96 x 0 3 cos x 1 1 4 cos x x2 x2 sin4 2x Câu 23. Tìm giới hạn D lim : x 0 sin4 3x 16 A. B. C. D. 0 81 Hướng dẫn giải: Chọn C. 4 4 sin 2x 3x 16 16 Ta cĩ: D lim . . x 0 2x sin 3x 81 81 1 sin( cos x) Câu 24. Tìm giới hạn E lim 2 : x 0 sin(tan x) A. B. C. 1 D. 0 Hướng dẫn giải: Chọn D. 1 sin cos x 2 sin(tan x) Ta cĩ: E lim tan x Mà lim 1 ; x 0 sin(tan x) x 0 tan x tan x 2 x sin 2 2 2sin 2 1 sin cos x 1 cos (1 cos x) 2 2 lim lim lim x 0 tan x x 0 tan x x 0 tan x
  56. 2 x sin 2 2 sin 2 x sin2 x lim 2 .x. 0 x 0 x x 4 sin2 ( )2 tan x 2 2 2 Do đĩ: E 0 . 3sin x 2cos x Câu 25.Tìm giới hạn F lim : x x 1 x 5 A. B. C. D. 0 2 Hướng dẫn giải: Chọn D. 3sin x 2cos x 1 Ta cĩ: 0 0 khi x x 1 x x 1 x Vậy F 0 . 3 1 3x 1 2x Câu 26. Tìm giới hạn M lim : x 0 1 cos 2x 1 A. B. C. D. 0 4 Hướng dẫn giải: Chọn C. 3 3x 1 2x 1 1 2 1 Ta cĩ: M lim x 2 . x 0 1 cos 2x 2 4 x2 3x 5sin 2x cos2 x Câu 27. lim bằng: x x2 2 A. . B. . 0 C. . 3 D. . Hướng dẫn giải: Chọn B. 3x 5sin 2x cos2 x 3x 5sin 2x cos2 x lim lim lim lim x x2 2 x x2 2 x x2 2 x x2 2 3 3x x A1 lim lim 0 2 x 2 x x 2 1 x2 5 5sin 2x 5 lim 0 A2 lim lim 0 A2 0 x x2 2 x x2 2 x x2 2 0 cos2 x 1 lim 0 A3 lim lim 0 A3 0 x x2 2 x x2 2 x x2 2 3x 5sin 2x cos2 x Vậy.lim 0 x x2 2
  57. Xem tiếp tài liệu tại: