Bài tập môn Hình học Lớp 7 - Bài: Tính chất đường trung trực của đoạn thẳng (Có lời giải)

Nội dung text: Bài tập môn Hình học Lớp 7 - Bài: Tính chất đường trung trực của đoạn thẳng (Có lời giải)

1.  TÍNH CHẤT ĐƯỜNG TRUNG TRỰC CỦA ĐOẠN THẲNG I. KIẾN THỨC CƠ BẢN Định nghĩa đường trung trục: Đường trung trực của một đoạn d thẳng là đường thẳng vuông gó với đoạn thẳng ấy tại trung M điểm của nó. Trên hình vẽ bên, d là đường trung trực của đoạn thẳng AB . A H B Ta cũng nói: A đối xứng với B qua d . Định lí 1: Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó. Định lí 2: Điểm cách đều ai mút của một đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó. MA = MB Þ M thuộc đường trung trực của AB Tập hợp các điểm cách đều hai mút của một đoạn thẳng là đường trung trực của đoạn thẳng đó. II. BÀI TẬP Bài 1: Cho tam giác ABC, đường phân giác AD. Trên tia AC lấy điểm E sao cho AE = AB. Chứng minh rằng AD vuông góc với BE µ Bài 2: Tam giác ABC vuông tại A có C = 30°. Trên tia đối của tia AC lấy điểm D sao cho · AD = AC. Tính số đo góc DBC. Bài 3: Cho 3 tam giác cânMAB, NAB, PAB có chung đáy AB . Chứng minh M ,N,P thẳng hàng. Bài 4: Cho tam giác ABC có µA 600 , M là điểm nằm giữa B và C. Vẽ điểm E sao cho AB là đường trung trực của ME, điểm F sao cho AC là đường trung trực của MF. a) Chứng minh trung trực của EF đi qua A. b) Chứng minh BE CF BC . c) Tính các góc của tam giác AEF. d) EF cắt AB, AC lần lượt tại I, K. Chứng minh MA là phân giác của góc IMK. e) Phải cho góc A của tam giác ABC bằng bao nhiêu độ để A là trung điểm của EF.
2. Bài 5: Cho DABC góc A nhọn, đường cao AH. Lấy các điểm P và Q lần lượt đối xứng với H qua AB, AC. a) Chứng minh AP = AQ. · · b) Cho BAC = 60°. Tính số đo góc PAQ. c) Chứng minh A· PI A· HI và A· HK A· QK. d) Gọi I, K lần lượt là giao điểm của PQ với AB, AC. Chứng minh HA là tia phân giác · của IHK. Bài 6: Cho tam giác ABC có µA 900 . Trên tia BA lấy điểm M sao cho BM BC . Phân giác của góc ABC cắt AC tại I, MC ở K. Tia MI cắt BC ở H. a) Chứng minh BI là trung trực của AH và AH // MC. b) Chứng minh AK KH CM . c) Nếu K· AH 600 , tính ·ABC 600 . Bài 7: Cho tam giác ABC có µA 900 , AB AC , AH là đường cao HM, HN lần lượt là đường phân giác của tam giác ABH và ACH. Gọi I là trung điểm của MN. Tia AI cắt BC ở K. a) Chứng minh MN AK và I là trung điểm của AK. b) Chứng minh tam giác MAN là tam giác vuông. Hết
3. HDG Bài 1: ABD AED (c.g.c) DB DE (1) A Theo giả thiết: AB AE (2) E C Từ (1) và (2), ta chứng minh được AD là đường trung trực của B D BE. Suy ra AD ^ BE B Bài 2: AB là đường trung trực của AC Þ BD = BC Þ DDBC cân. 30o · µ · D A C Þ BDA = C = 30°. Þ DBC = 180° - 60° = 120° Bài 3: Vì MAB cân tại M Þ MA = MB Þ M Î đường trung trực của đoạn thẳng AB NAB cân tại N Þ NA = NB Þ N Î đường trung trực của đoạn thẳng AB PAB cân tại P Þ PA = PB Þ P Î đường trung trực của đoạn thẳng AB M , N, P thẳng hàng. Bài 4: a) Vì AB là trung trực của EM Þ AE = AM Vì AC là trung trực của MF Þ AF = AM Þ AE = AF ( = AM) Þ A Î đường trung trực của E B EF hay đường trung trực của EF đi qua A. b) Vì AB là trung trực của EM Þ BE = BM Vì AC là trung trực của MF Þ CF = CM M I Có BC = BM + CM = BE + CF Þ BC = BE + CF c) Xét AEM cân tại A có AB là đường trung trực AB là phân giác E· AM E· AB M· AB A K C Xét AFM cân tại A có AC là đường trung trực · · · AC là phân giác FAM FAC MAC F Có: B·AC = B·AM + M·AC Þ 2B·AC = B·AM + M·AC + E·AB + F·AC Þ E·AF = 1200 0 0 · 0 · · 180 - 120 0 Vì AEF cân tại A và EAF = 120 Þ AEF = AFE = = 30 2 d) Vì K trung trực MF KM KF VKMF cân tại K K· MF K· FM
4. AFM cân tại A ·AMF ·AFM ·AMK ·AFK Vì I trung trực ME IM IE VIEM cân tại I I·EM I·ME AEM cân tại A ·AME ·AEM ·AEI ·AMI Mà ·AEI ·AFK ·AMK ·AMI MA là phân giác của I·MK e) Để A là trung điểm của EF E· AF 1800 · · · 0 mà EAF = 2BAC Þ BAC = 90 Bài 5: a) Từ giả thiết suy ra AP = AH và AQ = AH nên AP = AQ. b) Ta có: A · = · + · PAQ PAH HAQ Q · · = 2(BAH + HAC) K I · = 2BAC = 120°. P · · c) DAPI = DAHI (c.c.c)Þ API = AHI (1). B H C · · DAHK = DAQK (c.c.c)Þ AHK = AQK (2). · · d) Có AP = AQ Þ DPAQ cân Þ API = AQK (3). · · Từ (1), (2) và (3) suy ra AHI = AHK. · Þ HA là tia phân giác của IHK. B · · Bài 6: DMBI = DCBI (c.g.c) Þ BMI = BCI H DBHM = DBAC (g - c - g) Þ BA = BH hay DBAH cân tại B có A I C phân giác BI nên BI đồng thời là đường trung trực của AH K BI  AH . M BK là phân giác trong tam giác cân MBC cân tại B nên BK cũng là đường trung trực của đoạn MC BK  MC mà B,I ,K thẳng hàng BI  MC . Từ đó suy ra AH // MC 1 b) Tam giác AMC vuông tại A, trung tuyến AK nên AK = KC = KM = MC 2
5. DBHM = DBAC (cmt) Þ B·HM = 90° Þ C·HM = 90° 1 Tam giác CHM vuông tại H, đường trung tuyến KC nên HK = KC = KM = MC 2 Từ đó suy ra AK KH CM [ Lưu ý: Xem lại bài 5 – Phiếu C304: Tính chất 3 đường trung tuyến của tam giác] c) Nếu K· AH 600 thì DAHK đều (vì AK = HK ). · · AKM = HKC = 60° Þ DAKM ;DHKC là các tam giác đều · · · · Þ AMK = HCK = 60° Þ BMC = BCM = 60° Suy ra tam giác BMC đều hay ·ABC 600