Bài tập môn Hình học Lớp 7 - Bài: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác (Có lời giải)

Nội dung text: Bài tập môn Hình học Lớp 7 - Bài: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác (Có lời giải)

1.  TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN CỦA TAM GIÁC I. KIẾN THỨC CƠ BẢN Đường trung tuyến của tam giỏc A Đoạn thẳng AM nối đỉnh A của tam giỏc ABC với trung điểm M của cạnh BC gọi là đường trung tuyến của tam giỏc ABC .  Mỗi tam giỏc cú ba đường trung tuyến. B M C Tớnh chất ba đường trung tuyến của tam giỏc Ba đường trung tuyến của một tam giỏc cựng đi qua một điểm. Điểm đú cỏch mỗi đỉnh 2 một khoảng bằng độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh A 3 ấy. F E AG BG CG 2  G là trọng tõm tam giỏc ABC thỡ . AD BE CF 3 G II. BÀI TẬP B D C Bài 1: Từ cỏc đẳng thức trờn, hóy suy ra cỏc đẳng thức khỏc: 1 1 2 GD = AD = AG = AD = 3 2 3 2 BG = BE = GE = ẳẳẳẳ = ẳẳẳẳ 3 2 CG = CF = GF = ẳẳẳẳ = ẳẳẳẳ 3 AD = ẳẳẳ = ẳẳẳ ; BE = ẳẳẳ = ẳẳẳ ; CF = ẳẳẳ = ẳẳẳ Bài 2: Cho tam giỏc ABC cú hai đường trung tuyến BP,CQ cắt nhau tại G. Trờn tia đối của tia PB lấy điểm E sao cho PE PG. Trờn tia đối của tia QG lấy điểm F sao cho QF QG. Chứng minh rằng: a) GB GE,GC GF; b) EF BC và EF // BC. Bài 3: Tam giỏc ABC cú cỏc đường trung tuyến BD và CE bằng nhau. Chứng minh rằng ABC là tam giỏc cõn. Bài 4: Cho ΔABC cú 3 đường trung tuyến AD, BE,CF đồng quy tại G . a) Nếu ΔABC đều hóy chứng minh: GD GE GF .
2. b) Đảo lại, nếu cú GD GE GF khi đú hóy chứng minh tam ΔABC đều. Bài 5: : Chứng minh rằng, trong một tam giỏc vuụng, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền. Bài 6: Chứng minh rằng nếu một tam giỏc cú đường trung tuyến tương ứng với một cạnh bằng một nửa cạnh ấy thỡ tam giỏc đú là tam giỏc vuụng. Bài 7: Cho ABC cõn ở A, AB 34cm, BC 32cm và 3 trung tuyến AM , BN,CP đồng quy tại trọng tõm G . a) Chứng minh AM ^ BC b) Tớnh độ dài AM , BN,CP . (làm trũn kết quả đến chữ số thập phõn thứ hai). Bài 8: ΔABC cú đường cao AH , trung tuyến AM (H nằm giữa M, B) . Cho biết ã ã ã BAH = HAM = MAC . a) Chứng minh MC 2MH b) Vẽ MI  AC tại I. Chứng minh IãMB 2.ãABC . c) Tớnh cỏc gúc của ΔABC . Bài 9: Cho ΔABC vuụng tại A cú AD là trung tuyến. 1 a) Chứng minh AD = BC . 2 b) Biết AC 8 cm, AD 3 cm + Tớnh cạnh AB. + Trung tuyến BE của ΔABC cắt AD tại G. Tớnh BE và chứng minh AGB là tam giỏc vuụng. Bài 10: Cho ΔABC cú hai trung tuyến AM và BN vuụng gúc với nhau tại G. Chứng minh BC 2 CA2 5AB2 . Cể THỂ EM CHƯA BIẾT Mỗi trung tuyến chia thành 2 tam giỏc cú diện tớch bằng nhau. Nối 3 đỉnh của tam giỏc với trọng tõm của nú ta được 3 tam giỏc nhỏ cú diện tớch bằng nhau. 3 trung tuyến của tam giỏc phõn tam giỏc thành 6 tam giỏc nhỏ cú diện tớch bằng nhau. Hết
3. HDG Bài 1: Hs tự điền Bài 2: A a) Vỡ G là trọng tõm ABC nờn : BG 2GP,CG 2GQ. Lại cú PE PG,QF QG nờn : GE 2GP,GF 2GQ. F E Do đú BG GE,CG GF. Q G P b) Suy ra : GBC GEF (c.g.c) ã ã Từ đú ta cú EF BC và GEF GBC EF // BC. B C 2 Bài 3: Gọi G là giao điểm của BD và CE, ta cú BG = BD, 3 A 2 CG = CE . Do BD CE nờn BG CG, GD GE 3 BGE CGD c.g.c BE CD E D G 1 1 Ta lại cú BE AB, CD AC nờn AB AC . Vậy ABC là tam 2 2 giỏc cõn. B C ΔABC AD BE CF Bài 4: a) Vỡ đều nờn A 1 1 1 mà EG = EB; FG = CF; DG = AD ị GE = GF = GD 3 3 3 E F 1 1 1 b) Ta cú: EG = EB; FG = CF; DG = AD G 3 3 3 mà GE = GF = GD ị AD = BE = CF C D B BE CF AB AC ( đó chứng minh bài 3 ) AD = BE ị CA = CB ị AB = BC = CA ị ΔABC đều. Bài 5: Xột ABC vuụng tại A, đường trung tuyến AM. 1 Ta sẽ chứng minh AM = BC 2
4. 1 Trờn tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MA . Ta cúMA = AD , cần chứng 2 ả à minh. Dễ thấy BMD CMA (c.g.c)ị BD = AC, B1 = C do đú BD//AC . Ta lại cú Bã AC 90 nờn ãABD 90 . Do đú CAB DBA(vỡ cạnh AB chung, Cã AB Dã BA 90 , 1 AC BD ), suy ra BC AD . Vậy AM BC 2 1 Bài 6: Xột ABC , đường trung tuyến AM cú AM BC . 2 Ta sẽ chứng minh Bã AC 90 . Dễ thấy MA MB MC . à à à ả Cỏc tam giỏc MAB, MAC cõn tại M nờn: B A1,. C A2 à à à ả ã Do đú B + C = A1 + A2 = BAC Ta lại cú Bà Cà Bã AC 180 nờn Bã AC 90 Bài 7: A ã ã a) DAMB = DAMC(c.c.c) ị AMB = AMC = 90° BC b) Vỡ M là trung điểm BC ị BM = = 16cm 2 N P Áp dụng định lớ Pitago cho tam giỏc vuụng ABM ta cú: G AM 2 + MB 2 = AB 2 ị AM = AB 2 - MB 2 = 342 - 162 = 30cm C M B 1 1 Vỡ G là trọng tõm ΔABC ị GM = AM = .30 = 10cm 3 3 ỡ à à ù B = C (gt) ù Xột ΔCBP và ΔBCN cú: ớù BC chung ị DCBP = DBCN(c.g.c) ị CP = BN ù ù CN = PB (AB = AC) ợù Áp dụng định lớ Pitago cho tam giỏc vuụng GBM ta cú: GM 2 + MB 2 = MB 2 ị MB 2 = 102 + 162 = 356 ị BM ằ 18,87cm 3 3 Vỡ G là trọng tõm ΔABC ị BN = BG = .18,87 = 28,31cm 2 2
5. Vậy AM = 30cm; BN = CP = 28,31cm Bài 8: a) DABH = DAMH (c.g.c)ị BH = HM ị BM = 2HM = MC b) Chỉ ra ΔAHM ΔAIM (ch gn) ãAMH ãAMI A 1 mà ãAMH ãABH (theo a) Bã MI 2.ãABC 2 3 I CM c) Ta cú: ΔAMI ΔAMH IM MH 2 C M H B Trong tam giỏc vuụng CMI cú CM IM = ị Cà= 300 ị CãMI = 600 ị IãMB = 1200 ị Bà= 600 2 à à à à ị A = 90° . Vậy tam giỏc ABC cú: C = 30°; B = 60°; A = 90° Chứng minh bổ đề: Trong một tam giỏc vuụng, gúc đối diện với cạnh cạnh gúc vuụng bằng nửa cạnh huyền thỡ bằng 30° Bài 9: A BC a) AD BC 2AD 2 3cm 2 E b) Áp dụng định lớ Pitago cho tam giỏc vuụng ABC ta G BC 2 AB2 AC 2 C B cú: D 2 2 AB BC 2 AC 2 2 3 8 2cm Áp dụng định lớ Pitago cho tam giỏc vuụng ABE ta cú: 2 ổ 8ữử 2 2 2 2 ỗ ữ BE = AB + AE ị BE = 2 + ỗ ữ = 6cm ốỗ 2 ứữ 2 2 3 2 2 6 mà AG = AD = cm; BG = BE = cm 3 3 3 3 2 2 ổ2 3ữử ổ2 6ữử 2 2 ỗ ữ ỗ ữ 2 AG + BG = ỗ ữ + ỗ ữ = 4 = AB ị DAGB vuụng tại G ( Pitago đảo) ốỗ 3 ữứ ốỗ 3 ứữ
6. Bài 10: Vỡ AM  BN nờn : BC 2 + CA2 = (2BM )2 + (2AN )2 = 4(BG 2 + GM 2 + GN 2 + AG 2) A 2 2 2 2 = 4(GB + AG )+ 4(GM + GN ) N G ộ 2 2 ự ổ ử ổ ử C B 2 ờỗ1 ữ ỗ1 ữ ỳ 2 M = 4AB + 4 ờỗ AGữ + ỗ BGữ ỳ= 5AB ờốỗ2 ứữ ốỗ2 ứữ ỳ ở ỷ Bài tập bổ sung: 1) Cho ΔABC cú hai trung tuyến BE và CF cắt nhau tại G. Đường thẳng AG cắt BC tại D. Kẻ BH  AD tại H và CK  AD tại K. Chứng minh: a) BH CK S S S b) AGB AGC CGB ( S là diện tớch) 2) Cho ΔMNP . Gọi I là một điểm nằm trong tam giỏc. Chứng minh rằng nếu S S S ΔMNP IGN MIP NIP thỡ I là trọng tõm của A M E F F G I K K B P N C D E H H a) DBDH = DCKD(ch - gn) ị BH = CK b) Xột ΔAGB và ΔAGC cú cạnh AG chung mà: ỡ ù BH ^ AD ù ớ CK ^ AD ị S = S . Chứng minh tương tự ta được: S S ù ΔAGB ΔAGC ΔBGC ΔAGC ù BH = CK ợù Vậy S AGB S BGC S AGC
7. 2) Gọi MI  NP E; NI  MP F Kẻ NH  ME tại H, PK  ME tại K 1 1 ị S = S ị MI .NH = MI .PK DMNI DMIP 2 2 ị NH = PK ị DNHE = DPKE(cgv - gn) ị NE = EP E là trung điểm NP . Chứng minh tương tự: F là trung điểm MP mà ME  NF I I là trọng tõm ΔMNP