Bài tập môn Hình học Lớp 7 - Bài: Tính chất ba đường trung trực của tam giác (Có lời giải)

Nội dung text: Bài tập môn Hình học Lớp 7 - Bài: Tính chất ba đường trung trực của tam giác (Có lời giải)

1.  TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG TRUNG TRỰC CỦA TAM GIÁC I. KIẾN THỨC CƠ BẢN A Định lớ 1. Ba đường trung trực của một tam giỏc cựng đi qua một điểm. Điểm này cỏch đều ba đỉnh của tam giỏc đú. Trờn hỡnh bờn, điểm O là giao điểm cỏc đường trung trực của O DABC. Ta cú OA = OB = OC. Điểm O là tõm đường trũn ngoại tiếp DABC. B C Định lớ 2. Trong một tam giỏc cõn, đường trung trực của cạnh đỏy đồng thời là đường trung tuyến ứng với cạnh đỏy. II. BÀI TẬP Bài 1: Chứng minh rằng trong tam giỏc vuụng, tõm đường trũn ngoại tiếp tam giỏc là trung điểm của cạnh huyền. Bài 2: Cho tam giỏc MNP cõn tại M. Trờn cạnh MN lấy điểm K, trờn cạnh MP lấy điểm D sao cho MK = DP. Đường trung trực của MP cắt đường trung trực của DK tại O. ã ã a) Chứng minh MKO = PDO. b) Chứng minh O thuộc đường trung trực của MN. ã c) Chứng minh MO là tia phõn giỏc của NMP. Bài 3: Cho tam giỏc ABC cõn tại A, àA 900 . Cỏc đường trung trực của AB và của AC cắt nhau tại O và cắt BC tại D và E. Chứng minh rằng: a) OA là đường trung trực của BC; b) BD = CE; c) ODE là tam giỏc cõn; Bài 4: Cho DABC nhọn, O là giao điểm hai đường trung trực của AB và AC. Trờn tia đối của tia OB lấy điểm D sao cho OB = OD. a) Chứng minh O thuộc đường trung trực của AD và CD. b) Chứng minh cỏc tam giỏc ABD, CBD vuụng. ã ã c) Biết ABC = 70°. Hóy tớnh số đo gúc ADC. à Bài 5: Cho DABC vuụng tại A, C = 30°. Kẻ đường trung trực của đoạn thẳng AC, cắt AC tại H và cắt BC tại D. Nối A và D. a) Chứng minh DABD đều.
2. à b) Kẻ phõn giỏc gúc B cắt AD tại K, cắt DH kộo dài tại I. Chứng minh I là tõm đường trong đi qua ba đỉnh của tam giỏc ADC. c) Gọi E, F là hỡnh chiếu vuụng gúc của I xuống cỏc đường thẳng BC, BA. Chứng minh IE = IF = IK. ã d) Tớnh số đo gúc DAI. à Bài 6: Cho tam giỏc ABC cú A > 90°. Trờn cạnh BC lấy cỏc điểm D và E sao cho BD = BA, CE = CA . Gọi I là giao điểm cỏc tia phõn giỏc trong của tam giỏc ABC. a) Chứng minh BI, CI là đường trung trực của AB, AC. b) Chứng minh rằng IA = ID = IE. Bài tập tự luyện Bài 7: Tam giỏc ABC cõn tại A cú AB = 14cm. Đường trung trực của AB cắt cạnh AC ở E. Biết chu vi tam giỏc BEC bằng 24cm. Tớnh độ dài BC. Bài 8: Cho tam giỏc ABC cú Bà 900 . Gọi d là đường trung trực của BC, O là giao điểm của AB và d. Trờn tia đối của tia CO lấy điểm E sao cho CE = BA. Chứng minh rằng d là đường trung trực của AE. Bài 9: Cho tam giỏc ABC cõn ở A, đường phõn giỏc AK. Cỏc đường trung trực của AB và AC cắt nhau tại O. a) Chứng minh rằng ba điểm A, K, O thẳng hàng.b) Kộo dài CO cắt AB ở D, kộo dài BO cắt AC ở E. Chứng minh rằng AK và cỏc đường trung trực của AD và AE đồng quy. Bài 10: Cho tam giỏc ABC vuụng tại A. Kẻ AH vuụng gúc với BC, H BC. Tia phõn giỏc của gúc Hã AB cắt BC tại D, tia phõn giỏc của gúc Hã AC cắt BC tại E. Chứng minh rằng điểm cỏch đều ba cạnh của ABC chớnh là điểm cỏch đều ba đỉnh của ADE. Hết
3. HDG Bài 1: Gọi O là tõm đường trũn ngoại tiếp tam giỏc ABC. B Do đú, OA = OB = OC. à ả à ả Suy ra: B = A , C = A . 2 1 O ỡ ả ả 2 ù O = 180° - 2A 1 ị ớù 2 2 . ù ả à 2 ù O1 = 180° - 2A1 ợù 1 ã ả ả à A C ị BOC = O1 + O2 = 360°- 2A = 180°. ị B, O, C thẳng hàng, mà OB = OC ị O là trung điểm của BC. Bài 2: M a) Từ giả thiết suy ra OK = OD, OM = OP. ã ã D DMKO = DPDO (c.c.c)ị MKO = PDO. ã ã b) Từ kết quả cõu a), suy ra OKN = ODM. K O Cú MN = MP, MK = PD ị NK = MD. D = D ị = Chứng minh OKN ODM (c.g.c) ON OM N P ị O thuộc đường trung trực của MN. c) Xột DMNP cú O là giao điểm cỏc đường trung trực của MN và MP. ị MO là đường trung trực của NP. ã Mà DMNP cõn tại M nờn MO đồng thời là tia phõn giỏc của gúc NMP. Bài 3: a) O là giao điểm cỏc đường trung trực của ABC OB OC ABC cõn tại A AB AC Vậy AO là đường trung trực của BC b) Gọi H là trung điểm của AB, K là trung điểm của AC. HBD KCE (g.c.g) BD CE ã ã ã ã c) HBD KCE HDB KEC ODE OED ODE cõn tại O
4. Bài 4: a) Ta cú OA = OB = OC nờn OA = OD = OC ị O là giao điểm hai đường trung trực của AB và AC. ả ã b) Ta cú : OA = OB ị B2 = BAO. A ả ã OA = OD ị D1 = DAO. D Xột DBAD cú: 1 2 ả ã ã ả B + BAO + DAO + D = 180° 2 2 2 O 1 ã ã ị 2(BAO + DAO)= 180° B C ã ị BAD = 90°. Vậy tam giỏc ABD vuụng tại A. Tương tự, ta chứng minh được tam giỏc BCD vuụng tại C. ả ả ả ả c) Ta cú: B2 + D1 = 90°; B1 + D2 = 90° ả ả ả ả Suy ra B1 + B2 + D2 + D1 = 180°. ã ã ị ABC + ADC = 180° ã ã ị ADC = 180°- ABC = 110°. Bài 5: B à à a) C = 30° ị B = 60°. D ã à K E Ta cú: DA = DC ị DAC = C = 30° ã 30° ị BAD = 60° ị DABD đều. A H C b) DABD đều ị BK là đường trung trực của AD F ị IA = ID. I Mà I ẻ DH ị IA = IC. Vậy IA = IC = ID. ị I là tõm đường trũn đi qua ba đỉnh của tam giỏc ADC. à c) I thuộc phõn giỏc của gúc B ị IE = IF. ã DH là đường trung trực của AC ị DH là phõn giỏc của ADC ị IK = IE. Vậy IE = IF = IK. ã d) IK = IF ị AI là tia phõn giỏc của DAF. ã ã ã ã DAF BAD = 60° ị DAF = 120° ị DAI = = 60°. 2
5. Bài 6: a) Vỡ DABC đều và O là giao điểm ba đường trung trực nờn A à AO là tia phõn giỏc của A. ã M ã BAC ị MAO = = 30°. 2 P O ã b) Tương tự cõu a), OCP = 30°. B N C Cú DMAO = DOPC (c.g.c). c) Cú: DMAO = DOPC ị OM = OP (1). Chứng minh tương tự cõu b), DMAO = DNBO (c.g.c) ị OM = ON (2). Từ (1) và (2) suy ra O là giao điểm ba đường trung trực của tam giỏc MNP.