Bài tập môn Hình học Lớp 7 - Bài: Định lý Pitago (Có lời giải)

Nội dung text: Bài tập môn Hình học Lớp 7 - Bài: Định lý Pitago (Có lời giải)

1.  ĐỊNH LÝ PITAGO I. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Định lý Py-ta-go: Trong một tam giác vuông, bình phương của cạnh huyền bằng tổng các bình phương của hai cạnh góc vuông DABC vuông tại A Þ BC 2 = AB 2 + AC 2 . B 2. Định lý Py-ta-go đảo: Nếu một tam giác có bình phương của một cạnh bằng tổng các bình phương của hai cạnh kia thì tam giác đó là tam giác vuông. A C 2 2 2 · 0 DABC có BC = AB + AC Þ BAC = 90 II. BÀI TẬP Bài 1: Tính độ dài đoạn thẳng trong các hình sau: G M E A 45° 4 4 32 3 12 9 C 45° 60° H K N P B D F Bài 2: Các tam giác cho dưới đây có phải là tam giác vuông không? Chứng minh. Nếu tam giác là tam giác vuông hãy chỉ rõ vuông tại đỉnh nào? a) AB = 25; BC = 7;CA = 24. b) DE = 2;EF = 11; FD = 15 c) GH = 5;HI = 6;IG = 7 d*) KL = 4a + 5 , LM = 9a + 12 , MK = 8a + 11 với a là độ dài cạnh huyền của tam giác vuông cân có độ dài cạnh góc vuông là 1. Bài 3: Cho tam giác ABC nhọn, cân tại A. Kẻ BH vuông góc với AC tại H. Tính độ dài cạnh BC biết a) HA 7 cm,HC 2 cm. b) AB 5 cm,HA 4 cm.
2. Bài 4: Cho DABC có AB = 24, AC = 32, BC = 40 . Trên cạnh AC lấy điểm M sao cho AM = 7 . Chứng minh rằng: a) DABC vuông · µ b) AMB = 2C AB 8 Bài 5: DABC vuông ở A có = , BC = 51 . Tính AB, AC. AC 15 Bài 6: Cho DABC vuông cân ở A; M là điểm tùy ý nằm giữa B và C. Vẽ đường cao AH của ABC. BC a) Chứng minh AH = b*) Chứng minh MB 2 + MC 2 = 2MA2. 2 Bài 7: Cho hình vẽ bên, trong đó BC = 6cm , AD = 8cm . Chứng minh rằng AD vuông góc với BC. A 3 B 7 C D Bài 8: a) DABC có đường cao AH . Chứng minh : AB 2 + AC 2 = BH 2 + CH 2 + 2AH 2. b) Cho DABC nhọn (AB > AC) có đường cao AH , E là điểm tùy ý trên AH Chứng minh: AB 2 – AC 2 = EB 2 – EC 2. c) Cho DABC có ba góc nhọn, AB = AC . Vẽ đường cao CH . Chứng minh AB 2 + BC 2 + CA2 = BH 2 + 2AH 2 + 3CH 2. Hết
3. HDG Bài 1: G M E A 45° 4 4 32 3 12 9 C 45° 60° H K N P B D F a) BC 2 = AB 2 + AC 2 = 225 Þ BC = 15 b) DDEF cân tại D Þ DF = 3 .EF 2 = DE 2 + DF 2 = 18 Þ EF = 18 = 9 2 c) DHGK đều Þ GH = GK = HK = 4 d) DMNP cân tại N MN 2 + NP 2 = MP 2 Þ 2MN 2 = 32 Þ MN 2 = 16 Þ MN = 4. Vậy MN = NP = 4 Bài 2: a) Có: BC 2 + CA2 = 72 + 242 = 49 + 576 = 625 = 252 = AB 2 . Vậy ABC vuông tại C (Định lý Pythagore đảo) 2 2 b) Có: DE 2 + EF 2 = 22 + ( 11) = 4 + 11 = 15 = ( 15) = FD 2 . Vậy DEF vuông tại E (Định lý Pythagore đảo) c) Ta có: 7 6 5 . Mà GH 2 + HI 2 = 52 + 62 = 25 + 36 = 61 > 49 = 72 = IG 2 . Vậy GHI không phải là tam giác vuông. d) KL 4a 5 , LM 9a 12 , MK 8a 11 . a là độ dài cạnh huyền của tam giác vuông cân có độ dài cạnh góc vuông là 1 nên a 2 KL < MK < LM Có: 2 2 KL2 + MK 2 = (4a + 5) + (8a + 11) = 16a2 + 40a + 25 + 64a2 + 176a + 121 = 80a2 + 216a + 146 2 LM 2 = (9a + 12) = 81a2 + 216a + 144. Thay a = 2 . Ta được: K L2 + MK 2 = 80.2 + 216. 2 + 146 = 306 + 216 2 ; LM 2 = 81.2 + 216. 2 + 144 = 306 + 216 2
4. Vậy KL2 + MK 2 = LM 2 nên KLM vuông tại K (Định lý Pythagore đảo) . Bài 3: A a) AB AC HB HC 9 cm. Dùng định lý Py-ta-go ta có BC 2 BH 2 HC 2 H AB2 AH 2 HC 2 Từ đó BC 6 cm. B C b) Làm tương tự câu a, tính được HC 1 cm BC 10 cm. Bài 4: a) Có: AB 2 + AC 2 = 242 + 322 = 576 + 1024 = 1600 = 402 = BC 2 . Vậy ABC vuông tại A (Định lý Pythagore đảo) C b) Áp dụng định lý Pythagore cho ABM vuông tại A có: BM 2 = AB 2 + AM 2 = 242 + 72 = 576 + 49 = 625 MB 25 Có AM + MC = AC nên MC = AC - AM = 32 - 7 = 25. MBC có MB = MC = 25 nên MBC cân tại M . · Þ Cˆ = MBC (t/c tam giác cân) (1) M A·MB = Cˆ + M·BC Lại có: (tính chất góc ngoài tam giác) (2) A·MB = 2Cµ Từ (1) và (2) suy ra . A B Bài 5: Áp dụng định lý Pythagore cho ABC vuông tại A có: BC 2 AB2 AC 2 AB 8 AB AC Có = Þ = AC 15 8 15 AB 2 AC 2 AB 2 + AC 2 BC 2 512 Þ = = = = = 9 64 225 64 + 225 289 289 AB AC Þ = = 3 | 8 15 VậyAB = 24; AC = 45 . · · Bài 6: a) DABC vuông cân nên ABC = ACB = 45°. A · · Chỉ ra HAB = HAC = 45° , DAHB vuông cân tại H nên AH = HB DAHC vuông cân tại H nên AH = HC BC HB = HC = B C 2 H M
5. BC Þ AH = 2 b) Có MB = MH + HB ; MC = HC – MH. 2 2 MB 2 + MC 2 = (MH + HB) + (HC – HM ) = MH 2 + 2MH.HB + HB 2 + HC 2 - 2HC.HM + HM 2 Vì HA = HB = HC nên MB 2 + MC 2 = 2MH 2 + 2HA2 = 2(MH 2 + HA2) = 2MA2 (Áp dụng ĐL Pythagore cho DHAM vuông tại H ). Vậy MB 2 + MC 2 = 2MA2 Bài 7: Qua B kẻ đường thẳng song song với AD, cắt CD ở E. 3 B Ta chứng minh được DE = AB = 3 , BE = AD = 8 A Tam giác BCE có BC = 6, BE = 8, CE = 10 8 nên ta chứng minh được C· BD 90O ü AD / / BEï C E ý Þ BC ^ AD 7 D 3 BC ^ BEï þï Bài 8: C C A H H H C E B B A A B a) Áp dụng định lý Pythagore cho DHAB và DHAC vuông tại H có: AB 2 = HA2 + HB 2 ; AC 2 = HA2 + HC 2 Vậy AB 2 + AC 2 = HA2 + HB 2 + HA2 + HC 2 = BH 2 + CH 2 + 2AH 2.
6. C b) Áp dụng định lý Pythagore cho DHAB ; DHEB ; và DHEC vuông tại H có: AB 2 = HA2 + HB 2 ; AC 2 = HA2 + HC 2 ; EB 2 = HE 2 + HB 2 ; EC 2 = HE 2 + HC 2 H 2 2 2 2 2 2 2 2 Vậy AB - AC = HA + HB - (HA + HC ) = BH - CH . E EB 2 - EC 2 = HE 2 + HB 2 - (HE 2 + HC 2) = BH 2 - CH 2 B 2 2 2 2 A Vậy AB – AC = EB – EC . c) Áp dụng định lý Pythagore cho DHBC ;DHAC vuông tại H có: BC 2 = HB 2 + HC 2; AC 2 = HA2 + HC 2 Mà AB = AC Þ AB 2 = AC 2 Nên : AB 2 + BC 2 + CA2 = BC 2 + 2AC 2 = HB 2 + HC 2 + 2( HA2 + HC 2) = BH 2 + 2AH 2 + 3CH 2.