Bài giảng Toán Lớp 10 Sách Kết nối tri thức - Bài 10: Vectơ trong mặt phẳng tọa độ

Nội dung text: Bài giảng Toán Lớp 10 Sách Kết nối tri thức - Bài 10: Vectơ trong mặt phẳng tọa độ

1. CHƯƠNGCHƯƠNG IV .I VECTƠ §7. Các khái niệm mở đầu §8. Tổng và hiệu của hai vectơ §9. Tích của một vectơ với một số §10. Vectơ trong mặt phẳng tọa độ §11. Tích vô hướng của hai vectơ Bài tập cuối chương 4
2. CHƯƠNGCHƯƠNG IV . IVECTƠ TOÁN HÌNH 10 ➉HỌC VECTƠ TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ 1 TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ 2 BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ 3 BÀI TẬP
3. Một bản tin dự báo thời tiết thể hiện đường đi trong 12 giờ của một cơn bão trên một mặt phẳng tọa độ. Trong khoảng thời gian đó, tâm bão di chuyển thẳng đều từ vị trí có tọa độ (13,8;106,3) đến vị trí có tọa độ (14,1;106,3). Dựa vào thông tin trên, liệu ta có dự đoán được vị trí của tâm bão tại thời điểm bất kì trong khoảng thời gian 12 giờ đó không? Hình 4.31. Ta có thể dùng một phần mặt Trong bài học phẳng tọa độ này, ta gắn cho để mô tả một mỗi vectơ trên phạm vi nhất định trên Trái mặt phẳng tọa Đất mà vị trí x0 độ một cặp số vĩ bắc, y0 kinh để có thể làm đông của tâm việc với vectơ ấp thấp được thông qua cặp thể hiện bởi điểm có tọa độ số đó. (x;y).
4. 1. TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ ❑ HĐ1: Trên trục số 푶풙, gọi là điểm biểu diễn số và đặt 푶 = 풊Ԧ 푯. ퟒ. . Gọi 푴 là điểm biểu diễn số ퟒ, 푵 là điểm biểu diễn số − . Hãy biểu thị mỗi vectơ 푶푴, 푶푵 theo vectơ 풊Ԧ. ➢ Hướng dẫn: • Nhận xét về độ dài của các vectơ 푶푴, 푶푵 so với độ dài vectơ 푶 ? • Nhận xét về hướng của các vectơ 푶푴, 푶푵 so với vectơ 푶 ? • 푶푴 = ퟒ푶 = ퟒ풊Ԧ • 푶푵 = − 푶 = − 풊Ԧ
5. 1. TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ ❖ Trục toạ độ (còn gọi là trục, hay trục số ) là một đường thẳng mà trên đó đã xác định một điểm 푶 và một vectơ 풊Ԧ có độ dài bằng 1. Điểm 푶 gọi là gốc toạ độ, vectơ 풊Ԧ gọi là vectơ đơn vị của trục. Điểm 푴 trên trục biểu diễn số 풙 (hay có toạ độ 풙 ) nếu 푶푴 = 풙 풊Ԧ. ▪ Ví dụ: • 푶푴 = ퟒ풊Ԧ thì điểm 푴 có tọa độ là ퟒ. • 푶푵 = − 풊Ԧ 퐭퐡ì đ퐢ể퐦 푵 퐜ó 퐭ọ퐚 độ 퐥à − . ✓ Chú ý: Điểm gốc 푶 có tọa độ là .
6. 1. TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ ❑ HĐ2: Trong hình 4.33: ➢ Hướng dẫn: a) Hãy biểu thị mỗi vectơ 푶푴, 푶푵 theo các vectơ 풊Ԧ, 풋Ԧ. a) Ta có: b) Hãy biểu thị vectơ 푴푵 theo các vectơ 푶푴, 푶푵; từ • 푶푴 = 풊Ԧ + 풋Ԧ đó biểu thị vectơ 푴푵 theo các vectơ 풊Ԧ, 풋Ԧ. • 푶푵 = − 풊Ԧ + 풋Ԧ 2 b) Ta có: • 푴푵 = 푶푵 − 푶푴 = − 풊Ԧ + 풋Ԧ − 풊Ԧ + 풋Ԧ = − 풊Ԧ − 풊Ԧ + 풋Ԧ − 풋Ԧ 1 = − 풊Ԧ − 풋Ԧ
7. 1. TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ ❖ Trên mặt phẳng, xét hai trục 푶풙, 푶풚 có chung gốc 푶 và vuông góc với nhau. Vectơ đơn vị của trục 푶풙 là 풊Ԧ, vectơ đơn vị của trục 푶풚 là 풋Ԧ. Hệ gồm hai trục 푶풙, 푶풚 như vậy được gọi là hệ trục tọa độ 푶풙풚. Điểm 푶 gọi là gốc tọa độ, trục 푶풙 gọi là trục hoành; trục 푶풚 gọi là trục tung. Mặt phẳng chứa hệ trục 푶풙풚 gọi là mặt phẳng tọa độ 푶풙풚 hay mặt phẳng 푶풙풚.
8. 1. TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ ❖ Với mỗi vectơ 풖 trên mặt phẳng 푶풙풚, có duy nhất cặp số 풙 ; 풚 sao cho 풖 = 풙 풊Ԧ + 풚 풋Ԧ. Ta nói vectơ 풖 có tọa độ 풙 ; 풚 và viết 풖 = 풙 ; 풚 hay 풖 풙 ; 풚 . Các số 풙 ; 풚 tương ứng được gọi là hoành độ, tung độ của 풖. ✓ Nhận xét: Hai vectơ bằng nhau khi và chỉ khi chúng có cùng tọa độ. 풙 = 풙′ 풖 풙; 풚 = 풗 풙′; 풚′ ⇔ 풚 = 풚′.  VD1: Tìm tọa độ của các vectơ đơn vị 풊Ԧ, 풋Ԧ tương ứng của các trục 푶풙, 푶풚. ➢ Giải: Vì 풊Ԧ = . 풊Ԧ + . 풋Ԧ ⟹ 풊Ԧ = ; . Vì 풋Ԧ = . 풊Ԧ + . 풋Ԧ ⟹ 풋Ԧ = ; . ❑ Luyện tập 1: Tìm tọa độ của vectơ ? ➢ Giải: Vì = . 풊Ԧ + . 풋Ԧ ⟹ = ; .
9. 2. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ ❑ HĐ3: Trong mặt phẳng tọa độ 푶풙풚, cho 풖 = ; − , 풗 = ퟒ; , = ; − . a) Hãy biểu thị mỗi vectơ 풖, 풗, theo các vectơ 풊Ԧ, 풋Ԧ. b) Tìm tọa độ của các vectơ 풖 + 풗, ퟒ풖. c) Tìm mối liên hệ giữa hai vectơ 풖, . ➢ Hướng dẫn: 풖 = 풙 풊Ԧ + 풚 풋Ԧ ⇔ 풖 = 풙 ; 풚 a) 풖 = ; − ⟹ 풖 = . 풊Ԧ − . 풋Ԧ ; 풗 = ퟒ; ⟹ 풗 = ퟒ. 풊Ԧ + . 풋Ԧ ; = ; − ⟹ = . 풊Ԧ − . 풋Ԧ b) 풖 + 풗 = + ퟒ 풊Ԧ + − + 풋Ԧ = 풊Ԧ − 풋Ԧ ⟹ 풖 + 풗 = ; − ퟒ풖 = ퟒ . 풊Ԧ − . 풋Ԧ = . 풊Ԧ − . 풋Ԧ ⟹ ퟒ풖 = ; − c) 풖 = ; − ⟹ 풖 = . 풊Ԧ − . 풋Ԧ ; = ; − ⟹ = . 풊Ԧ − . 풋Ԧ . Suy ra = ퟒ풖
10. 2. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ ❖ Cho hai vectơ 풖 = 풙; 풚 và 풗 = 풙′; 풚′ . Khi đó: • 풖 + 풗 = 풙 + 풙′; 풚 + 풚′ • 풖 − 풗 = 풙 − 풙′; 풚 − 풚′ • 풌풖 = 풌풙; 풌풚 với 풌 ∈ ℝ  VD2: Cho = ; và = ; . a) Tìm tọa độ vectơ + ; − . b) Hỏi , có cùng phương hay không? ➢ Hướng dẫn: a) Vì = ; , = ; nên + = ; . • Ta có = ; nên − = − ; ퟒ . b) Do = ; = nên hai vectơ , cùng phương. ✓ Nhận xét: Vectơ 풗 = 풙′; 풚′ cùng phương với vectơ 풖 = 풙; 풚 ≠ khi và chỉ 풙′ 풚′ khi tồn tại số 풌 sao cho 풙′ = 풌풙, 풚′ = 풌풚 (hay là = nếu 풙풚 ≠ ). 풙 풚
11. 2. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ ❑ HĐ4: Trong mặt phẳng tọa độ 푶풙풚, cho điểm 푴 풙 ; 풚 . Gọi 푷, 푸 tương ứng là hình chiếu vuông góc của điểm 푴 trên trục hoành 푶풙 và trục tung 푶풚 푯. ퟒ. a) Trên trục 푶풙, điểm 푷 biểu diễn số nào? Biểu thị 푶푷 theo 풊Ԧ và tính độ dài của 푶푷 theo 풙 . Hình 4.35 b) Trên trục 푶풚, điểm 푸 biểu diễn số nào? Biểu ➢ Hướng dẫn: a) thị 푶푸 theo 풋Ԧ và tính độ dài của 푶푸 theo 풚 . • Đ퐢ể퐦 푷 퐛퐢ể퐮 퐝퐢ễ퐧 퐬ố 풙 . c) Dựa vào hình chữ nhật 푶푷푴푸, tính độ dài • 푶푷 = 풙 . 풊Ԧ của 푶푴 theo 풙 , 풚 . • 푶푷 = 푶푷 = 풙 . d) Biểu thị 푶푴 theo các vectơ đơn vị 풊Ԧ, 풋Ԧ.
12. 2. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ ❑ HĐ4: Trong mặt phẳng tọa độ 푶풙풚, cho điểm 푴 풙 ; 풚 . Gọi 푷, 푸 tương ứng là hình chiếu vuông góc của điểm 푴 trên trục hoành 푶풙 và trục tung 푶풚 푯. ퟒ. a) Trên trục 푶풙, điểm 푷 biểu diễn số nào? Biểu thị 푶푷 theo 풊Ԧ và tính độ dài của 푶푷 theo 풙 . Hình 4.35 b) Trên trục 푶풚, điểm 푸 biểu diễn số nào? Biểu ➢ Hướng dẫn: b) thị 푶푸 theo 풋Ԧ và tính độ dài của 푶푸 theo 풚 . • Đ퐢ể퐦 푸 퐛퐢ể퐮 퐝퐢ễ퐧 퐬ố 풚 . c) Dựa vào hình chữ nhật 푶푷푴푸, tính độ dài • 푶푸 = 풚 . 풋Ԧ của 푶푴 theo 풙 , 풚 . • 푶푸 = 푶푸 = 풚 . d) Biểu thị 푶푴 theo các vectơ đơn vị 풊Ԧ, 풋Ԧ.
13. 2. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ ❑ HĐ4: Trong mặt phẳng tọa độ 푶풙풚, cho điểm 푴 풙 ; 풚 . Gọi 푷, 푸 tương ứng là hình chiếu vuông góc của điểm 푴 trên trục hoành 푶풙 và trục tung 푶풚 푯. ퟒ. a) Trên trục 푶풙, điểm 푷 biểu diễn số nào? Biểu thị 푶푷 theo 풊Ԧ và tính độ dài của 푶푷 theo 풙 . Hình 4.35 b) Trên trục 푶풚, điểm 푸 biểu diễn số nào? Biểu ➢ Hướng dẫn: c) Độ dài của vectơ 푶푴 thị 푶푸 theo 풋Ԧ và tính độ dài của 푶푸 theo 풚 . c) Dựa vào hình chữ nhật 푶푷푴푸, tính độ dài • 푶푴 = 푶푴 = 푶푷 + 푶푸 của 푶푴 theo 풙 , 풚 . d) Biểu thị 푶푴 theo các vectơ đơn vị 풊Ԧ, 풋Ԧ. = 풙 + 풚
14. 2. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ ❑ HĐ4: Trong mặt phẳng tọa độ 푶풙풚, cho điểm 푴 풙 ; 풚 . Gọi 푷, 푸 tương ứng là hình chiếu vuông góc của điểm 푴 trên trục hoành 푶풙 và trục tung 푶풚 푯. ퟒ. a) Trên trục 푶풙, điểm 푷 biểu diễn số nào? Biểu thị 푶푷 theo 풊Ԧ và tính độ dài của 푶푷 theo 풙 . Hình 4.35 b) Trên trục 푶풚, điểm 푸 biểu diễn số nào? Biểu ➢ Hướng dẫn: d) thị 푶푸 theo 풋Ԧ và tính độ dài của 푶푸 theo 풚 . c) Dựa vào hình chữ nhật 푶푷푴푸, tính độ dài • 푶푴 = 푶푷 + 푶푸 = 풙 . 풊Ԧ + 풚 . 풋Ԧ của 푶푴 theo 풙 , 풚 . d) Biểu thị 푶푴 theo các vectơ đơn vị 풊Ԧ, 풋Ԧ.
15. 2. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ ❖ Nếu điểm 푴 có tọa độ 풙; 풚 thì vectơ 푶푴 có tọa độ 풙; 풚 và có độ dài 푶푴 = 풙 + 풚 . ➢ Chẳng hạn, cho 푴 ; ퟒ thì vectơ 푶푴 = ( ; ퟒ) và 푶푴 = + ퟒ = . ✓Nhận xét: • Với 풖 = 풙; 풚 , ta lấy điểm 푴 풙; 풚 thì 풖 = 푶푴. Do đó 풖 = 푶푴 = 풙 + 풚 . ➢ Chẳng hạn, vectơ 풖 = ; − có độ dài là 풖 = + − = .
16. 2. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ ❑ HĐ5: Trong mặt phẳng tọa độ 푶풙풚, ➢ Hướng dẫn: cho các điểm 푴 풙; 풚 và 푵 풙′; 풚′ . a) Ta có a) Tìm tọa độ của các vectơ 푶푴, 푶푵. • 푴 풙; 풚 ⟹ 푶푴 = 풙; 풚 . b) Biểu thị vectơ 푴푵 theo các vectơ • 푵 풙′; 풚′ ⟹ 푶푵 = 풙′; 풚′ . 푶푴, 푶푵 và tìm tọa độ của vectơ 푴푵. b) Ta có c) Tìm độ dài của vectơ 푴푵. • 푴푵 = 푶푵 − 푶푴 ⟹ 푴푵 = 풙′ − 풙; 풚′ − 풚 . c) Ta có • 푴푵 = 풙′ − 풙; 풚′ − 풚 ⟹ 푴푵 = 풙′ − 풙 + 풚′ − 풚 .
17. 2. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ ❖ Với hai điểm 푴 풙; 풚 và 푵 풙′; 풚′ thì ➢ Hướng dẫn: 푴푵 = 풙′ − 풙; 풚′ − 풚 và khoảng cách a) Ta có giữa hai điểm , là 푴 푵 • = − ; − (− ) = ; ퟒ . 푴푵 = 푴푵 = 풙′ − 풙 + 풚′ − 풚 . • 푪 = − ; ퟒ − = ퟒ; . Khoảng cách từ tới và 푪 là:  VD3: Trong mặt phẳng tọa độ 푶풙풚, cho ba điểm ; − , ; , 푪 ; ퟒ . • = = + ퟒ = . a) Tìm tọa độ của các vectơ , 푪. • 푪 = 푪 = ퟒ + = . So sánh các khoảng cách từ tới và 푪. ⟹ = 푪. b) Ba điểm , , 푪 thẳng hàng không? b) Hai vectơ = ; ퟒ , 푪 = ; ퟒ c) Tìm điểm 푫 풙; 풚 để 푪푫 là một hình không cùng phương (vì ≠ ) thoi. Do đó , , 푪 không thẳng hàng.
18. 2. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ ❖ Với hai điểm 푴 풙; 풚 và 푵 풙′; 풚′ thì ➢ Hướng dẫn: 푴푵 = 풙′ − 풙; 풚′ − 풚 và khoảng cách c) giữa hai điểm 푴, 푵 là Các điểm , , 푪 không thẳng hàng 푴푵 = 푴푵 = 풙′ − 풙 + 풚′ − 풚 . và = 푪, nên 푪푫 là một hình thoi ⇔ 푫 = 푪.  VD3: Trong mặt phẳng tọa độ 푶풙풚, cho ba điểm ; − , ; , 푪 ; ퟒ . a) Tìm tọa độ của các vectơ , 푪. So sánh các khoảng cách từ tới và 푪. • 푫 = 풙 − ; 풚 + , 푪 = ퟒ; b) Ba điểm , , 푪 thẳng hàng không? 풙 − = ퟒ 풙 = • 푫 = 푪 ⇔ ⇔ c) Tìm điểm 푫 풙; 풚 để 푪푫 là một hình 풚 + = 풚 = . thoi. • Vậy 푫 ; .
19. 2. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ ❖ Luyện tập 2: ➢ Hướng dẫn: Trong mặt phẳng tọa độ 푶풙풚, cho hai a) Ta có điểm ; , ; . • Hai vectơ 푶 = ; , 푶 = ; a) Các điểm , , có thẳng hàng 푶 không cùng phương (vì ≠ ) không? • Do đó các điểm 푶, , không cùng b) Tìm điểm 푴 풙; 풚 để 푶 푴 là một nằm trên một đường thẳng. hình bình hành. • Vậy 푶, , không thẳng hàng.
20. 2. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ  Luyện tập 2: ➢ Hướng dẫn: b) Trong mặt phẳng tọa độ 푶풙풚, cho hai điểm ; , ; . a) Các điểm 푶, , có thẳng hàng • Các điểm 푶, , không thẳng hàng không? nên 푶 푴 là một hình bình hành khi b) Tìm điểm 푴 풙; 풚 để 푶 푴 là một và chỉ khi 푶푴 = . hình bình hành. • 푶푴 = 풙; 풚 , = ; 풙 = • 푶푴 = ⇔ 풚 = • Vậy 푴 ; .
21. CHƯƠNGCHƯƠNG IV . IVECTƠ TOÁN ĐẠI SỐ 10 ➉ VECTƠ TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ 1 TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ 2 BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ 3 BÀI TẬP
22. Ví dụ 4: Trong mặt phẳng tọa độ 푶풙풚, cho ba điểm ; , − ; ,푪 ; . a) Tìm tọa độ trung điểm 푰 của đoạn thẳng . Giải: b) Tìm tọa độ trọng tâm 푮 của tam giác 푪. a) Điểm 푰 풙; 풚 là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi 푰 + 푰 = ∗ . • Mặt khác 푰 = − 풙; − 풚 , 푰 = − − 풙; − 풚 ⇒ 푰 + 푰 = − − 풙; − 풚 . 풙 = − − − 풙 = • Do đó, (*) tương đương với ⇔ . Vậy 푰 − ; . − 풚 = 풚 = b) Điểm 푮 풙; 풚 là trọng tâm của ∆ 푪 khi và chỉ khi 푮 + 푮 + 푮푪 = ( ). Mặt khác 푮 = − 풙; − 풚 , 푮 = − − 풙; − 풚 , 푮푪 = − 풙; − 풚 . • Suy ra 푮 + 푮 + 푮푪 = ퟒ − 풙; − 풚 . ퟒ 풙 = ퟒ − 풙 = ퟒ • Do đó, ( ) tương đương với ⇔ . Vậy 푮 ; . − 풚 = 풚 =
23. Vận dụng. Từ thông tin dự báo bão được đưa ra ở đầu bài học, hãy xác định toạ độ vị trí 푴 của tâm bão tại thời điểm 9 giờ trong khoảng thời gian 12 giờ của dự báo. Bài giải Trong 12 giờ, tâm bão được dự báo • Gọi 푴 풙; 풚 , (풙 ∈ , ; ퟒ, , 풚 , ; , ). di chuyển thẳng đều từ 13,8; 108,3 tới vị trí có toạ độ • = , ; − ⇒ = , + − = ퟒ, . 14,1; 106,3 . Gọi toạ độ của • 푴 = 풙 − , ; 풚 − , . là ; . Bạn hãy tìm mối liên hệ 풙− , 풚− , • , 푴 cùng phương ⇔ = giữa hai vectơ và rồi thể , − − 풙+ , hiện mối quan hệ đó theo toạ độ để ⇔ 풚 = . , tìm ; . • Quãng đường cơn bão đi được sau 9 giờ là: ퟒ, ퟒ, . = . ퟒ
24. ퟒ, ퟒ, • Ta có 푴 = ⇔ 풙 − , + 풚 − , = . ퟒ ퟒ − 풙+ , ퟒ, ⇔ 풙 − , + − , = . , ퟒ − 풙 + , ퟒ, , ⇔ 풙 − , + − , = = , ퟒ − 풙+ , , ⇔ 풙 − , + = . , • Dùng chức năng SLOVE của MTCT ta tìm được hai nghiệm của phương 풙 = , 퐥퐨ạ퐢 trình là: . 풙 = ퟒ, ⇒ 풚 = , Vậy 푴 ퟒ, ; , .
25. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CỦNG CỐ 풙 +풙 풚 +풚 Chú ý: - Trung điểm 푴 của đoạn thẳng có toạ độ là ; . 풙 +풙 +풙 풚 +풚 +풚 -Trọng tâm 푮 của tam giác 푪 có toạ độ là 푪 ; 푪 . - Để thể hiện một phần Trái Đất trên một bản đồ phẳng người ta dùng một phép chiếu bản đồ, với độ sai khác nhất định giữa bản vẽ và thực địa (thường được quy định với từng loại bản đồ), về nguyên tắc, phạm vi thể hiện càng hẹp thì càng chính xác. - Trong vận dụng này, ta chỉ tính toán trong phạm vi một đoạn đường đi ngắn của tâm bão.
26. BÀI TẬP 4.16. Trong mặt phẳng toạ độ 푶풙풚, cho các điểm 푴 ; , 푵 ퟒ; . a) Tính độ dài của các đoạn thẳng 푶푴, 푶푵, 푴푵. b) Chứng minh rằng tam giác 푶푴푵 vuông cân. Bài giải a) 푶푴 = + = , 푶푵 = ퟒ + = . b) 푴푵 = ퟒ − + − = . Vì 푶푴 + 푴푵 = = 푶푵 nên ∆푶푴푵 vuông tại 푴. Mà 푶푴 = 푴푵 nên ∆푶푴푵 vuông cân tại 푴.
27. BÀI TẬP 4.17. Trong mặt phẳng toạ độ 푶풙풚, cho các vectơ = 풊Ԧ − 풋Ԧ, = ퟒ; − và các điểm 푴 − ; , 푵 ; − . a) Tìm mối liên hệ giữa các vectơ 푴푵 và − . b) Các điểm 푶, 푴, 푵 có thẳng hàng hay không? c) Tìm điềm 푷 풙; 풚 để 푶푴푵푷 là một hình bình hành. Bài giải a) 푴푵 = ; − ; = ; − ⇒ = ; −ퟒ ; − = ; − . Suy ra 푴푵 = − . b) Ta có: 푶푴 = − ; , 푶푵 = ; − . − Vì ≠ nên 푶푴, 푶푵 không cùng phương, suy ra 푶, 푴, 푵 không thẳng hàng. − c) Ta có: 푶푴 = − ; , 푷푵 = − 풙; − − 풚 . Do đó: 푶푴푵푷 là một hình bình hành khi và chỉ khi 푶푴 = 푷푵 − = − 풙 풙 = ⇔ ⇔ ⇒ 푷 ; − . = − − 풚 풚 = −
28. BÀI TẬP 4.18. Trong mặt phẳng toạ độ 푶풙풚, cho các điểm ; , ; ퟒ , 푪 − ; . a) Hãy chứng minh rằng , , 푪 là ba đỉnh của một tam giác. b) Tìm toạ độ trung điểm 푴 của đoạn thẳng . c) Tìm toạ độ trọng tâm 푮 của ∆ 푪. d) Tìm điểm 푫 풙; 풚 để 푶 ; là trọng tâm của ∆ 푫. Bài giải a) Ta có: = ; ​ ; 푪 = −ퟒ; −​ . + + − 풙푮 = = c) ⇒ 푮 ; . Vì ≠ nên ; 푪 không cùng phương. +ퟒ+ −ퟒ − 풚푮 = = Suy ra , , 푪 là ba đỉnh của một tam giác. d) Gọi 푫 풙푫; 풚푫 . Ta có: + 풙푴 = = + +풙푫 b) ⇒ 푴 ; . = 풙 = − +ퟒ 푫 풚 = = +ퟒ+풚 ⇔ ⇒ 푴 = 푫 풚푫 = − 푫 − ; − .
29. BÀI TẬP 4.19. Sự chuyển động của một tàu thủy được thể hiện trên một mặt phẳng toạ độ như sau: Tàu khởi hành từ vị trí ; chuyển động thẳng đều với vận tốc (tính theo giờ) được biểu thị bởi vectơ 풗 = ; ퟒ . Xác định vị trí của tàu (trên mặt phẳng toạ độ) tại thời điểm sau khi khởi hành , giờ. Bài giải Gọi 풙; 풚 , (풚 > ). 풗 = + ퟒ = ; = 풙 − ; 풚 − . Quảng đường tàu thủy chạy được sau , giờ là: , . = , . Ta có: = 풙 − + 풚 − = , ⇔ 풙 − + 풚 − = , ( ). ⇔ 풚 − 풚 − = và 풗 cùng phương nên 풙− 풚− 풚 = ⇒ 풙 = = ⇔ 풙 = 풚 − ( ). ⇔ . ퟒ ퟒ Thay vào ta có: 풚 = −ퟒ(퐥퐨ạ퐢) Vậy ; . 풚 − − + 풚 − = , ퟒ
30. BÀI TẬP 4.20. Trong Hình 4.38, quân mã đang ở vị trí có toạ độ ; . Hỏi sau một nước đi, quân mã có thể đến những vị trí nào? Bài giải Quân mã di chuyển theo hình chữ L, mỗi nước đi gồm tổng cộng 3 ô: tiến 1 ô rồi quẹo trái hoặc quẹo phải 2 ô và ngược lại; tiến 2 ô rồi quẹo trái hoặc quẹo phải 1 ô và ngược lại. Khác với toàn bộ quân cờ trong bàn cờ vua, mã không bị cản bởi bất cứ quân nào và có thể nhảy qua tất cả các quân khác trên đường đi của mình. Vậy Quân mã có thể ở các vị trí sau: ; ퟒ , ; , ; , ; , ; , ; , ; ퟒ , ; ퟒ , ;
31. III BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CỦNG CỐ CÂU 1 Trong hệ tọa độ 푶풙풚, cho ; , ퟒ; , 푪( ; − ). Tìm tọa độ điểm M thỏa mãn hệ thức 푴 + 푴 − 푴푪 = ? A 푴 ; . B 푴 − ; . C 푴 ; − . D 푴 − ; . Bài giải Gọi tọa độ 푴 풙; 풚 . Suy ra 푴 = ( − 풙; − 풚), 푴 = (ퟒ − 풙; −풚), 푴푪 = ( − 풙; − − 풚). − 풙 + ퟒ − 풙 − − 풙 = Ta có 푴 + 푴 − 푴푪 = ⇔ ⇔ − 풚 − 풚 − − − 풚 = 풙 = Vậy 푴 ; −. . 풚 = −
32. III BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CỦNG CỐ CÂU 2 Trong mặt phẳng 푶풙풚, cho các điểm − ; , ퟒ; , 푪 ; . Tìm điểm 푴 biết rằng 푪푴 + 푪 = . A 푴 ; − . B 푴 ; − . C 푴 − ; . D 2; 5 . Bài giải Gọi tọa độ 푴 풙; 풚 . Khi đó ta có:푪푴 = 풙 − ; 풚 − , 푪 = ퟒ; , = ; − . 풙 − + . ퟒ = . Theo giả thiết ta có: 푪푴 + 푪 = ⇔ ⇔ 풚 − + . = . − 풙 = . Vậy풚 = 푴− ; − .
33. III BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CỦNG CỐ CÂU 3 Các điểm 푴 ; , 푵 ; −ퟒ , 푷 − ; lần lượt là trung điểm các cạnh 푪, 푪 , của tam giác 푪. Tọa độ đỉnh của tam giác là A ; − . B ; . C − ; − . D − ; − . A Bài giải Ta có: Tứ giác 푷푴푵 là hình bình hành. Nên hai đường chéo 푴 và 푷푵 cắt nhau tại trung P N điểm mỗi đường. 풙 + 풙 = 풙 + 풙 풙 + = + (− ) B C Do đó 푴 푷 푵 ⇔ ⇔ M 풚 + 풚푴 = 풚푷 + 풚푵 풚 + = (−ퟒ) + 풙 = − Vậy − .; − . 풚 = −
34. III BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CỦNG CỐ CÂU 4 Cho ; , − ; . Tìm tọa độ điểm 푴 thuộc trục 푶풚 sao cho ba điểm , , 푴 thẳng hàng? 푴 ; . 푴 ; . 푴 ; . 푴 ; . A B C D Bài giải Vì 푴 thuộc trục 푶풚 nên 푴 ; 풚 . Suy ra = (− ; ퟒ), 푴 = (− ; 풚 − ). − 풚− Để ba điểm , , 푴 thẳng hàng thì = ⇔ ퟒ = 풚 − ⇔ 풚 = . − ퟒ Vậy 푴 ; .
35. III BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CỦNG CỐ CÂU 5 Trong mặt phẳng 푶풙풚, cho hai điểm ; , − ; . Tìm tọa độ điểm 푰 sao cho là trung điểm của đoạn thẳng 푰. A 푰 − ; B 푰 ; ퟒ C 푰 −ퟒ; . D 푰 ; ퟒ . C Bài giải Gọi tọa độ 푰 풙푰; 풚푰 . +풙 푰 = − 풙푰 = −ퟒ Do là trung điểm của đoạn thẳng 푰 nên ta có +풚 ⇔ . 푰 = 풚푰 = Vậy tọa độ điểm 푰 −ퟒ; .
36. III BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CỦNG CỐ CÂU 6 Trong hệ tọa độ 푶풙풚, cho tam giác 푪 có ; , − ; và trọng tâm 푮 − ; . Tìm tọa độ đỉnh 푪? A 푪 ; − . B 푪 − ; . CC 푪 − ; − . D 푪 − ; . Bài giải Gọi 푪 풙; 풚 . + − +풙 = − 풙 = − Vì 푮 là trọng tâm tam giác 푪 nên + +풚 ⇔ . = 풚 = − Vậy tọa độ đỉnh 푪(− ; − ).
37. III BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CỦNG CỐ CÂU 7. Trong hệ tọa độ 푶풙풚, cho tam giác 푪 có 푪 − ; −ퟒ , trọng tâm 푮 ; ퟒ và trung điểm cạnh 푪 là 푴 ; . Tổng hoành độ của điểm và là A − . B . C ퟒ. D . Bài giải 풙 = 풙 − 풙 = . − − = Vì 푴 là trung điểm 푪 nên 푴 푪 ⇒ 풚 = 풚푴 − 풚푪 = . − −ퟒ = ퟒ ; ퟒ . 풙 = 풙 − 풙 − 풙 = −ퟒ Vì 푮 là trọng tâm ∆ 푪 nên 푮 푪 ⇒ −ퟒ; . 풚 = 풚푮 − 풚 − 풚푪 = Suy ra 풙 + 풙 = .
38. III BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CỦNG CỐ CÂU 8. Trong hệ tọa độ 푶풙풚, cho ba điểm ; , ; , 푪 ; . Tìm tọa độ điểm 푫 để tứ giác 푪푫 là hình bình hành. A 푫 ퟒ; . B 푫 ; ퟒ . CC 푫 ퟒ; ퟒ . D 푫 ; . Bài giải Ta có Gọi 푫 풙; 풚 . = ; . Tứ giác 푪푫 là hình bình 푫푪hành= ⇔ − 풙; =−푫푪풚 = − 풙 풙 = ퟒ ⇔ ⇔ = − 풚 풚 = ퟒ ⇒ 푫 ퟒ; ퟒ . Vậy tọa độ đỉnh 푫(ퟒ; ퟒ).
39. III BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CỦNG CỐ CÂU 9. Trong mặt phẳng tọa độ 푶풙풚, cho hình bình hành 푪푫 có ; , ; − . Điểm 푮 ; − là trọng tâm tam giác 푪. Tìm tọa độ điểm 푫. A ; . BB ; . C ; . D − ; − . Bài giải Từ 푪푫 là hình bình hành và 푮 là trọng tâm 휟 푪 suy ra 푫 = 푮 . Với 푮 = ; thì 푫 = ; . Do đó tọa độ điểm 푫 ; .
40. III BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CỦNG CỐ CÂU 10. Trong hệ tọa độ 푶풙풚, cho hình chữ nhật 푪푫 có ; , 푫 ; và 푰 − ; là tâm của hình chữ nhật. Tìm tọa độ trung điểm của cạnh 푪. A ; . B − ; − . CC − ; − . D −ퟒ; − . Bài giải Gọi 푴 là tọa độ trung điểm của cạnh 푫 ⇒ 푴 ; . Gọi 푵 풙푵; 풚푵 là tọa độ trung điểm của cạnh 푪. 퐃퐨 푰 퐥à 퐭â퐦 퐜ủ퐚 퐡ì퐧퐡 퐜퐡ữ 퐧퐡ậ퐭 ⇒ 푰 퐥à 퐭퐫퐮퐧퐠 đ퐢ể퐦 퐜ủ퐚 푴푵. 풙 = 풙 − 풙 = − 퐒퐮퐲 퐫퐚 푵 푰 푴 ⇒ 푵 − ; − . 풚푵 = 풚푰 − 풚푴 = −
41. III BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CỦNG CỐ CÂU 11. Trong hệ tọa độ 푶풙풚, cho tam giác 푪 có ; , 퐂 ; − . Gọi 푴, 푵 lần lượt là trung điểm của , 푪. Tìm tọa độ vectơ 푴푵? A 푴푵 = ; − . BB 푴푵 = ; −ퟒ . C 푴푵 = ; . D 푴푵 = ; . Bài giải Gọi tọa độ 풙 ; 풚 . 풙 + 풚 + Do 푴 là trung điểm của cạnh ⇒ 푴 ; . 풙 + 풚 − 퐃퐨 푵 퐥à 퐭퐫퐮퐧퐠 đ퐢ể퐦 퐜ủ퐚 퐜ạ퐧퐡 푪 ⇒ 푵 ; . 퐕ậ퐲 퐭ọ퐚 độ 퐯퐞퐜퐭ơ 푴푵 = ( ; −ퟒ).
42. III BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CỦNG CỐ CÂU 12. Trong hệ tọa độ 푶풙풚, cho tam giác 푪 có 푴 ; , , 푵 ; −ퟒ , 푷 − ; lần lượt là trung điểm của các cạnh 푪, 푪 , . Tìm tọa độ đỉnh ? A ; . BB − ; − . C − ; − . D ; − . Bài giải Gọi tọa độ 풙; 풚 . A Từ giả thiết, ta suy ra 푷 = 푴푵. ∗ N P 퐓퐚 퐜ó 푷 = 풙 + ; 풚 − 퐯à 푴푵 = − ; − . 풙 + = − 풙 = − 퐊퐡퐢 đó ∗ ⇔ ⇔ ⇒ − ; − . C M B 풚 − = − 풚 = −
43. III BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CỦNG CỐ CÂU 13. Trong hệ tọa độ 푶풙풚, cho hai điểm 퐀 ; − , ; ퟒ . Tìm tọa độ điểm 푴 thuộc trục hoành sao cho , , 푴 thẳng hàng. 푴 ; . 푴 ퟒ; . 푴 − ; − . 푴 ; . A B C DD Bài giải Điểm 푴 ∈ 푶풙 ⇒ 푴 ; . Ta có = ; và 푴 = − ; . Để , , 푴 퐭퐡ẳ퐧퐠 퐡à퐧퐠 ⇔ 퐜ù퐧퐠 퐩퐡ươ퐧퐠 퐯ớ퐢 푴 − ⇔ = ⇔ = ⇒ 푴 ; .
44. Câu 14 Trong hệ tọa độ 푶풙풚, cho ba điểm 퐀 ; , ; và 푪 − ; − . Tìm A 푴 ퟒ; . BB 푴 −ퟒ; . điểm 푴 thuộc trục hoành sao cho biểu thức 푷 = 푴 − 푴 + 푴푪 đạt C 16; 0 . D −16; 0 . giá trị nhỏ nhất. Bài giải Ta có 푴 − 푴 + 푴푪 = 푴푰 + 푰 − 푴푰 + 푰 + 푴푰 + 푰푪 , ∀푰 = 푴푰 + 푰 − 푰 + 푰푪 , ∀푰. 퐂퐡ọ퐧 푰 퐬퐚퐨 퐜퐡퐨 푰 − 푰 + 푰푪 = . ∗ 퐓퐚 퐜ó 푷 = 푴 − 푴 + 푴푪 = 푴푰 = 푴푰. 퐆ọ퐢 푰 풙; 풚 , 퐭ừ ∗ 퐭퐚 퐜ó Để 푷 퐧퐡ỏ 퐧퐡ấ퐭 ⇔ 푴푰 퐧퐡ỏ 퐧퐡ấ퐭. − 풙 − − 풙 + − − 풙 = 퐌à 푴 퐭퐡퐮ộ퐜 퐭퐫ụ퐜 퐡퐨à퐧퐡 퐧ê퐧 푴푰 퐧퐡ỏ 퐧퐡ấ퐭 퐤퐡퐢 − 풚 − − 풚 + − − 풚 = 푴 퐥à 퐡ì퐧퐡 퐜퐡퐢ế퐮 퐯퐮ô퐧퐠 퐠ó퐜 퐜ủ퐚 푰 퐥ê퐧 퐭퐫ụ퐜 퐡퐨à퐧퐡 풙 = −ퟒ ⇔ ⇒ 푴 −ퟒ; . 풚 = − ⇒ 푰 −ퟒ; − .
45. III BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CỦNG CỐ CÂU 15. Trong mặt phẳng tọa độ 푶풙풚 cho các điểm ; , ퟒ; , 푪 ; − . Tọa độ điểm 푴 thỏa mãn 푴 + 푴 − 푴푪 = là A 푴 ; . B 푴 − ; . C 푴 − ; . DD 푴 ; − . Bài giải Gọi điểm 푴 풙푴; 풚푴 . 퐓퐡퐞퐨 퐛à퐢 퐫퐚 푴 + 푴 − 푴푪 = − 풙 + ퟒ − 풙 − − 풙 = ⇔ ⇔ 푴 푴 푴 = 1 − 풚푴 + − 풚푴 − − − 풚푴 = . = −18 Vậy 푴 ; − .
46. III BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CỦNG CỐ CÂU 16. Trong hệ tọa độ 푶풙풚, cho hai điểm ; − , ; −ퟒ . Biết 푴 풙; 풚 trên trục hoành sao cho chu vi tam giác 푴 nhỏ nhất. Giá trị của 풙 nằm trong khoảng nào sau đây? AA ; . B ; ퟒ ./ C ; . D ; . Bài giải Nhận xét: , nằm cùng phía đối với trục hoành. 퐆ọ퐢 푴 풙; 퐥à đ퐢ể퐦 퐜ầ퐧 퐭ì퐦 퐯à ′ ; đố퐢 퐱ứ퐧퐠 퐯ớ퐢 퐪퐮퐚⇔ 퐭퐫ụ퐜− 풙퐡퐨à퐧퐡− =. − . ⇔ − 풙 + ퟒ = − ∗ ′ = ; − . ⇔ 풙 = ≈ , ퟒ. Ta có: 푷 = 푴 + 푴 + = 푴 + 푴 ′ + ′ ′ ⇒ 푷 ≥ + ⇒ 푷 풊풏 퐤퐡퐢 , 푴, 퐭퐡ẳ퐧퐠 퐡à퐧퐠 퐕ậ퐲 푴 ; 퐭퐡ỏ퐚 퐲ê퐮 퐜ầ퐮 퐛à퐢 퐭퐨á퐧 ∗ ′푴 = 풙 − ; − . . 퐁퐚 đ퐢ể퐦 ′, 푴, 퐭퐡ẳ퐧퐠 퐡à퐧퐠 ⇔ 푴 퐜ù퐧퐠 퐩퐡ươ퐧퐠 ′
47. III BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CỦNG CỐ CÂU 17. Trong mặt phẳng푶풙풚, cho tam giác 푪 có đỉnh ; , ; − , 푪 − ; . Điểm 푴 thuộc trục tung sao cho 푴 + 푴 + 푴푪 nhỏ nhất có tung độ là . − . . . A B C D Bài giải Gọi 푮 là trọng tâm tam giác 푪 ⇔ 푮 ; . Ta có 푴 + 푴 . + 푴푪 = 푴푮 = 푴푮. 퐃퐨 đó 푴 + 푴 + 푴푪 퐧퐡ỏ 퐧퐡ấ퐭 퐤퐡퐢 푴푮 퐧퐡ỏ 퐧퐡ấ퐭 ⇔ 푴 퐥à 퐡ì퐧퐡 퐜퐡퐢ế퐮 퐯퐮ô퐧퐠 퐠ó퐜 퐜ủ퐚 푮 퐥ê퐧 퐭퐫ụ퐜 tung ⇒ 푴 ; .
48. III BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CỦNG CỐ CÂU 18. Trong mặt phẳng tọa độ 푶풙풚, cho tam giác 푪 có − ; , ; −ퟒ , 푪 ; . Tìm tọa độ tâm 푰 đường tròn ngoại tiếp tam giác 푪. A 푰 − ; −ퟒ . B 푰 − ; ퟒ . C 푰 ; −ퟒ . D 푰 ; ퟒ . Bài giải Gọi 푰 풙; 풚 là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác 푪. Ta có: 푰 = 푰 = 푰푪 . 풙 + + 풚 − = 풙 − + 풚 + ퟒ ⇔ 푰 = 푰 ⇒ 푰 = 푰푪 풙 + + 풚 − = 풙 − + 풚 풙 − 풚 = ⇔ 풙 − 풚 = − 풙 = − ⇔ 풚 = −ퟒ 퐕ậ퐲 푰 − ; −ퟒ .