43 Bài toán thực tế môn Toán Lớp 12 (Chuẩn kiến thức)

Nội dung text: 43 Bài toán thực tế môn Toán Lớp 12 (Chuẩn kiến thức)

1. Câu 1:(Chuyên Lam Sơn-Thanh Hĩa 2018) Người ta muốn xây một bể chứa nước dạng hình hộp chữ nhật khơng nắp cĩ thể tích bằng 200m3 đáy bể là hình chữ nhật cĩ chiều dài gấp đơi chiều rộng. Giá thuê nhân cơng xây bể là 300.000đồng/ m2. Chi phí thuê nhân cơng thấp nhất là: A. 75 triệu đồngB. triệu51 đồngC. triệu đồng36 D. triệu đồng 46 Đáp án B Gọi chiều rộng của hình chữ nhật là x m suy ra chiều dài của hình chữ nhật là 2x m 100 Gọi h là chiều cao của bể nên ta cĩ V S.h 2x2.h 200 x2.h 100 h x2 100 600 Diện tích của bể là S 2.h.x 2.2h.x 2x2 2x2 6.hx 2x2 6. .x 2x2 x2 x Áp dụng bất đẳng thức AM GM, ta cĩ 600 300 300 300 300 2x2 2x2 33 2x2. . 33 2.3002 x x x x x 300 Dấu = xảy ra khi 2x2 x 3 150 chi phí thấp nhất thuê nhân cơng là x 33 2.3002 .300.000 51triệu đồng. Câu 2:( Chuyên Biên Hịa-Hà Nam) Một người gửi ngân hàng 100 triệu đồng theo hình thức lãi kép, lãi xuất r =0,5% một tháng (kể từ tháng thứ 2, tiền lãi được tính theo phần trăm tổng tiền cĩ được của tháng trước đĩ với tiền lãi của tháng trước đĩ). Sau ít nhất bao nhiêu tháng, người đĩ cĩ nhiều hơn 125 triệu. A. 45 tháng.B. 46 tháng.C. 47 tháng.D. 44 tháng. Đáp án A. Ta cĩ 100 1 0,5% n 125 n 44,74. Suy ra sau ít nhất 45 tháng thì cơ An cĩ nhiều hơn 125 triệu. Câu 3: ( Chuyên Biên Hịa-Hà Nam) Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc v (km/h) phụ thuộc vào thời gian t(h) cĩ đồ thị vận tốc như hình bên. Trong khoảng thời gian 1 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị đĩ là một phần của đường parabol cĩ đỉnh I(2;5) và trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian cịn lại đồ thị là một đoạn thẳng song song với trục hồnh. Tính quãng đường mà vật di chuyển được trong 3 giờ đĩ.
2. 32 35 A. 15 km . B. C. km . D. 12 km . km . 3 3 Đáp án B. PT vạn tốc theo thịi gian là Parabol cĩ dạng: y ax2 bx 1 b 2 a 1 Do parabol cĩ đỉnh I 2;5 nên 2a b 4 y 2 4a 2b 1 5 Khi đĩ quãng đường mà vật di chuyển được trong 3 giờ đầu là 1 3 32 S x2 4x 1 dx 4dt km. 0 1 3 Câu 4:( Chuyên Thái Bình Lần 3-2018) Một người gửi tiết kiệm vào ngân hàng 200 triệu đồng theo thể thức lãi kép (tức là tiền lãi được cộng vào vốn của kỳ kế tiếp). Ban đầu người đĩ gửi với kỳ hạn 3 tháng, lãi suất 2,1%/kỳ hạn, sau 2 năm người đĩ thay đổi phương thức gửi, chuyển thành kỳ hạn 1 tháng với lãi suất 0,65%/tháng. Tính tổng số tiền lãi nhận được (làm trịn đến nghìn đồng) sau 5 năm. A. 98217000 đồng. B. 98215000 đồng. C. 98562000 đồng.D. 98560000 đồng. Đáp án A. Tiền lãi bằng 24 24 6 6 36 200.10 1 2,1% 3 200.10 1 2,1% 3 1 0,65 200 98.217.000 đồng Câu 5:( Chuyên Thái Bình Lần 3-2018) Một đám vi khuẩn tại ngày thứ x cĩ số lượng là 2000 N x . Biết rằng N ' x và lúc đầu số lượng vi khuẩn là 5000 con. Vậy ngày 1 x
3. thứ 12 số lượng vi khuẩn (sau khi làm trịn) là bao nhiêu con? A. 10130.B. 5130.C. 5154.D. 10132. Đáp án A. 12 2000 12 Ta cĩ dx 2000ln 1 x 2000ln13 N 12 N 0 0 1 x 0 N 12 2000ln13 5000 10130. Câu 6:( Chuyên Thái Bình Lần 3-2018) Một giải thi đấu bĩng đá quốc gia cĩ 16 đội thi đấu vịng trịn 2 lượt tính điểm. Hai đội bất kỳ đều đấu với nhau đúng 2 trận. Sau mỗi trận đấu, đội thắng được 3 điểm, đội thua 0 điểm, nếu hịa mỗi đội được 1 điểm. Sau giải đấu, Ban tổ chức thống kê được 80 trận hịa. Hỏi tổng số điểm của tất cả các đội sau giải đấu bằng bao nhiêu? A. 720.B. 560.C. 280.D. 640. Đáp án D. Tổng số trận các đội phải đá là 8.15.2 240 trận. Suy ra cĩ 240 80 160 trận khơng kết thúc với tỉ số hịa. Suy ra tổng điểm các đội giành được là 160.3 80.2 640 điểm. Câu 7: ( Chuyên Vĩnh Phúc-Lần 3) Số 6303268125 cĩ bao nhiêu ước số nguyên? A. 420 B. C. D.6 30 240 720 Đáp án D Ta cĩ 6303268125 54.35.73.112. Suy ra 63032681252 cĩ 2 4 1 5 1 3 1 2 1 720 ước số nguyên. Câu 8:( Chuyên Vĩnh Phúc-Lần 3) Một ơ tơ đang chạy với tốc độ 10(m/s) thì người lái đạp phanh, từ thời điểm đĩ ơ tơ chuyển động chậm dần đều với v t 5t 10 m / s , trong đĩ t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ơ tơ cịn di chuyển bao nhiêu mét? A. 8m B. C. D. 10m 5m 20m Đáp án B Ơ tơ dừng hẳn v t 0 5t 10 0 t 2 s 2 2 5 2 Suy ra quãng đường đi được bằng 5t 10 dt t 10t 10 m 0 2 0 Câu 9: (Chuyên Hùng Vương-Phú Thọ) Trong thời gian liên tục 25 năm, một người lao động luơn gửi đúng 4.000.000 đồng
4. vào một ngày cố định của tháng ở ngân hàng M với lại suất khơng thay đổi trong suốt thời gian gửi tiền là 0,6% tháng. Gọi A là số tiền người đĩ cĩ được sau 25 năm. Hỏi mệnh đề nào dưới đây là đúng? A.3.500.000.000 A 3.550.000.000 B.3.400.000.000 A 3.450.000.000 C. D.3. 350.000.000 A 3.400.000.000 3.450.000.000 A 3.500.000.000 Đáp án C Sau tháng thứ 1 người lao động cĩ: 4 1 0,6% triệu Sau tháng thứ 2 người lao động cĩ: 2 4 1 0,6% 4 1 0,6% 4 1 0,6% 1 0,6% triệu Sau tháng thứ 300 người lao động cĩ: 300 300 299 1 0,6% 1 4 1 0,6% 1 0,6% 1 0,6% 4 1 0,6% 3364,866 1 0,6% 1 3.364.866.000 đồng Câu 10:(Chuyên Lê Hịng Phong- Nam Định) Một chất điểm đang chuyển động với 2 2 vận tốc v0 15m / s thì tăng vận tốc với gia tốc a t t 4t m / s . Tính quảng đường chất điểm đĩ đi được trong khoảng thời gian 3 giây kể từ khi abwts đầu tăng vận tốc. A. 70,25mB. 68,25mC. 67,25mD. 69,75m Đáp án D 1 Câu 11: (Đại Học Vinh 2018) Một vật chuyển động theo quy luật vớis t3 6t2 2 t (giây) là khoảng thời gian từ khi vật bắt đầu chuyển động và s mét là quãng đường vật di chuyển trong thời gian đĩ. Hỏi trong khoảng thời gian 6 giây, kể từ lúc bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất vật đạt được bằng bao nhiêu? A. 24 m / s . B. 108 C. m / s . D. 64 m / s . 18 m / s . Đáp án là A. 3 • v t s t t 2 12t 0; v t 3t 12 0 t 4 0;6. 2 • v 0 0;v 6 18;v 4 24. • Vận tốc lớn nhất là 24 m / s . Câu 12: (Đại Học Vinh 2018) Một người muốn xây một cái bể chứa nước, dạng một
5. khối hộp chữ nhật khơng nắp cĩ thể tích bằng 288dm3 . Đáy bể là hình chữ nhật cĩ chiều dài gấp đơi chiều rộng, giá thuê nhân cơng để xây bể là 500000 đồng/ m2 . Nếu người đĩ biết xác định các kích thước của bể hợp lí thì chi phí thuê nhân cơng sẽ thấp nhất. Hỏi người đĩ trả chi phí thấp nhất để thuê nhân cơng xây dựng bể đĩ là bao nhiêu? A. 1,08 triệu đồng.B. 0, 9 triệu1 đồng.C. 1triệu,68 đồng.D. triệu0, 54 đồng Đáp án là A. • Gọi x x 0 chiều rộng của đáy bể. Ta cĩ: + Chiều dài của đáy bể là: 2x . 0,144 + Chiều cao của bể là: . x2 0,864 • Diện tích cần xây: 2x 2 . x 0,864 0,864 Xét f a 2x2 . Ta cĩ: f x 4x f x 0 x 0,6. x x2 • Bảng biến thiên: x -∞ 0 0.6 +∞ f'(x) _ 0 + f(x) +∞ +∞ 2,16 Từ bảng biến thiên ta cĩ min f x 2,16 . Vậy: chi phí thấp nhất để thuê nhân cơng xây bể là: 2,16.500000 1080000 đồng Câu 13: (Đại Học Vinh 2018) Một người tham gia chương trình bảo hiểm An sinh xã hội của cơng ty Bảo Việt với thể lệ như sau: Cứ đến tháng 9 hàng năm người đĩ đĩng vào cơng ty là 12 triệu đồng với lãi suất hàng năm khơng đổi là6% / năm . Hỏi sau đúng 18 năm kể từ ngày đĩng, người đĩ thu về được tất cả bao nhiêu tiền? Kết quả làm trịn đến hai chữ số phần thập phân. A. 403,32 (triệu đồng).B. 293,32 (triệu đồng).C. 412,23 (triệu đồng).D. 393,12 (triệu đồng).
6. Đáp án là D. • Sau đúng một năm kể từ ngày đĩng tiền thì số tiền của người đĩ là 12 12.0,06=12.1,06 triệu đồng. Người đĩ nạp thêm 12 triệu thì tổng số tiền cĩ là 12.1,06+12=12 1,06 1 triệu. • Sau đúng hai năm thì số tiền của người đĩ là 12 1,06 1 .1,06 12. 1,062 1,06 . • Người đĩ nạp thêm 12 triệu thì tổng số tiền cĩ là:12. 1,062 1,06 12 12 1,062 1,06 1 triệu. • Sau 18 năm thì số tiền người đĩ cĩ là: 1,0618 1 12 1,0618 1,0617 1,06 12.1,06 ; 393,12 triệu. 1,06 1 Câu 14: (Chuyên Bắc Ninh-2018) Một người bán gạo muốn đĩng một thùng tơn đựng gạo cĩ thể tích khơng đổi bằng 8 m3 , thùng tơn hình hộp chữ nhật cĩ đáy là hình vuơng, khơng nắp. Trên thị trường, giá tơn làm đáy thùng là 100.000 / m2 và giá tơn làm thành xung quanh thùng là 50.000 / m2 . Hỏi người bán gạo đĩ cần đĩng thùng đựng gạo với cạnh đáy bằng bao nhiêu để chi phí mua nguyên liệu là nhỏ nhất ? A. B.3 mC. D. 1,5 m 2 m 1 m Đáp án C Phương pháp: Lập hàm số chi phí theo một ẩn sau đĩ tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số đĩ. Cách giải: Gọi a là chiều dài cạnh đáy hình vuơng của hình hộp chữ nhật và b là chiều 8 cao của hình hộp chữ nhật ta cĩ a2b 8 a,b 0 ab a Diện tích đáy hình hộp là a2 và diện tích xung quanh là 4ab nên chi phí để làm thùng tơn 2 2 2 8 2 1600 2 16 là 100a 50.4ab 100a 200ab 100a 100. 100a 100 a (nghìn a a a đồng) 16 8 8 8 8 Áp dụng BĐT Cauchy ta cĩ a2 a2 33 a2 3.4 12 a a a a a 8 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a2 a 2. a Vậy chi phí nhỏ nhất bằng 1200000 đồng khi và chỉ khi cạnh đáy hình hộp bằng 2m. Câu 15: (Chuyên Lam Sơn –Lần 2) Mơt người gửi 75 triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất 5,4%/năm. Biết rằng nếu khơng rút tiền ra khỏi ngân hằng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi được nhập vào gốc để tình lãi cho năm tiếp theo. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm người đĩ nhận được số tiền nhiều hơn 100 triệu đồng bao gồm cả gốc và lãi? Giả định suốt trong thời gian gửi, lãi suất khơng đổi và người đĩ khơng rút tiền ra. A. 7 nămB. 4 nămC. 6 nămD. 5 năm Đáp án C
7. n Áp dụng cơng thức lãi kép: An A 1 r Với An yM ' là số tiền nhận được sau n năm (cả gốc và lãi). A là tiền gốc. n là số năm gửi. r là lãi suất hằng năm. Cách giải: n 5,4 Sau n năm người đĩ nhận được An 75 1 100 n 5,47 100 Vậy sau ít nhất 6 năm người đĩ nhận được số tiền nhiều hơn 100 triệu đồng. Câu 16: ( Chuyên Đại Học Vinh) Ơng An gửi 100 triệu đồng vào ngân hàng với hình thức lãi kép, kỳ hạn 1 năm với lãi suất 8% /năm. Sau 5 năm ơng rút tồn bộ tiền và dùng một nửa để sửa nhà, số tiền cịn lại ơng tiếp tục gửi ngân hàng với lãi suất như lần trước. Số tiền lãi mà ơng An nhận được sau 10 năm gửi gần nhất với giá trị nào sau đây? A. 34,480 triệuB. 81,413 triệuC. 107,946 triệuD. 46,933 triệu Đáp án B 5 5 5 100 1 8 5 100 1 8 Số tiền lãi bằng: 100 1 8% 100 1 8% 81,413 2 2 triệu đồng Câu 17: ( Chuyên Thái Bình-Thái Bình-Lần 2)Một người gửi tiết kiệm số tiền 80 000 000 đồng với lãi suất là6,9% / năm . Biết rằng tiền lãi hàng năm được nhập vào tiền gốc, hỏi sau đúng 5 năm người đĩ cĩ rút được cả gốc và lãi số tiền gần với con số nào nhất sau đây? A. 116570000 đồngB. 10766700đồng0 C. 105370đồng000D. 111680000 đồng : Đáp án D Số tiền thu được là 8.107 1 6,9% 5 111680000 đồng. Câu 18: (Viên Khoa Học và Thương Mại Quốc Tế) Thầy Quang thanh tốn tiền mua xe bằng các kỳ khoản năm: 5.000.000 đồng, 6.000.000 đồng, 10.000.000 đồng và 20.000.000 đồng. Kỳ khoản thanh tốn 1 năm sau ngày mua. Với lãi suất áp dụng là 8%. Hỏi giá trị của chiếc xe thầy Quang mua là bao nhiêu ? A. 32.412.582 đồngB. 35.412.582 đồngC. 33.412.582 đồngD. 34.412.582 đồng Đáp án A n n Phương pháp : Sử dụng cơng thức lãi kép : An A. 1 r A An . 1 r Cách giải: Kỳ khoản thanh tốn 1 năm sau ngày mua là 5.000.000 đồng, qua năm 2 sẽ thanh tốn 6.000.000 đồng, qua năm 3 sẽ thanh tốn là 10.000.000 đồng và qua năm 4 sẽ
8. thanh tốn 20.000.000 đồng. Các khoản tiền này đã cĩ lãi trong đĩ. Do đĩ giá trị chiếc xe bằng tổng các khoản tiền lúc chưa cĩ lãi. n n Ta cĩ An A. 1 r A An . 1 r Goi A0 là tiền ban đầu mua chiếc xe 1 2 3 4 A0 5.1,08 6.1,08 10.1,08 20.1,08 32,,412582 (triệu đồng) = 32.412.582 đồng Câu 19: (Viên Khoa Học và Thương Mại Quốc Tế) Một vật chuyển động trong 4 giờ với vân tốc v (km/h) phụ thuộc vào thời gian t (h) cĩ đồ thị vận tốc như hình bên. Trong khoảng thời gian 3 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị đĩ là một phần của parabol cĩ đỉnh I 2;9 với trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian cịn lại đồ thị là một đoạn thẳng song song với trục hồnh. Tính quãng đường s mà vật di chuyển được trong 4 giờ đĩ được : A. s 28,5 km B. s 2 7 km C. s 26 ,5 kmD. s 24 km Đáp án B Phương pháp: +) Viết phương trình mơ tả vận tốc của vật trong 3h đầu, và trong 1h tiếp theo. t2 +) Sử dụng cơng thức s v t dt t1 9 Cách giải: Trong 3h đầu. Ta dễ dàng tìm được phương trình parabol là v t t2 9t 4 => Quãng đường vật di chuyển được trong 3h đầu là 3 3 9 81 s v t dt t2 9t dt 1 0 0 4 4 27 Tại t 3 ta cĩ: v 3 4 27 27 Trong 1h tiếp theo v km / h s km 4 2 4 Vậy quãng đường s mà vật di chuyển được trong 4 giờ đĩ được : s s1 s2 27 km Câu 20: (Chuyên Hùng Vương-Bình Dương.) Một người mỗi tháng đều đặn gửi vào một ngân hàng một khoản tiền T theo hình thức lãi kép với lãi suất 0,6% mỗi tháng. Biết sau 15 tháng người đĩ cĩ số tiền là 10 triệu đồng. Hỏi số tiền T gần với số tiền nào nhất trong các số sau A. 635.000 đồngB. 645đồng.000C. đồng61D.3. 0 00 đồng 535.000 Đáp án A a n Áp dụng cơng thức lãi suất: T . 1 m 1 . 1 m với a là số tiền gửi hàng n m
9. tháng, m là lãi suất mỗi tháng và n là số tháng, ta được T 15 10 1 0,6% 1 1 0,6% T 0,635 triệu đồng. 0,6% Câu 21: (Chuyên Sư Phạm Hà Nội Lần 2) Một người gửi tiết kiệm với lãi suất 5% một năm và lãi hàng năm được nhập vào vốn. Sau ít nhất bao nhiêu năm người đĩ nhận được số tiền lớn hơn 150% số tiền gửi ban đầu? A. 8 nămB. nămC. 1năm0 D. năm 9 11 Đáp án C n Phương pháp:Sử dụng cơng thức lãi kép An A 1 r , trong đĩ: An : tiền gốc lẫn lãi sau n năm A: tiền vốn ban đầu. r: lãi suất n: năm. Cách giải: Giả sử sau n năm người đĩ nhận được số tiền lớn hơn 150% số tiền gửi ban đầu. Gọi số tiền gửi ban đầu là A ta cĩ: A A 1 0,05 n 150%A n n 1 0,05 1,5 n log1,05 1,5 8,31 Vậy sau ít nhất 9 năm người đĩ nhận được số tiền lớn hơn 150% số tiền gửi ban đầu. Câu 22: (Chuyên Sư Phạm Hà Nội Lần 2) Một vật rơi tự do với phương trình chuyển 1 động là S gt2 , tính bằng mét và g 9,8m / s2 . Vận tốc của vật tại thời điểm t 4s là 2 A. B.v C.7 D.8,4 m / s v 39,2m / s v 9,8m / s v 19,6m / s Đáp án B Phương pháp giải: Quãng đường đạo hàm ra vận tốc (ứng dụng tích phân trong vật lý) 1 2 Lời giải: Ta cĩ v t S' t gt gt v 4 4g 39,2m / s 2 Câu 23: (Chuyên Lê Khiết – Quảng Ngãi – Lần 1)Theo thống kê dân số thế giới đến tháng 01/2017, dân số Việt Nam cĩ 94,970,597 người và cĩ tỉ lệ tăng dân số là 1,03%. Nếu tỉ lệ tăng dân số khơng đổi thì đến năm 2020 dân số nước ta cĩ bao nhiêu triệu người, chọn đáp án gần nhất A. 104 triệu người.B. 100 triệu người.C. 102 triệu người.D. 98 triệu người Đáp án n Phương pháp: Cơng thức An M 1 r% Với: An là số người sau năm thứ n, M là số người ban đầu,
10. n là thời gian gửi tiền (năm), r là tỉ lệ tăng dân số (%) Cách giải: Từ 1/2017 đến năm 2020 cĩ số năm là: 3 năm Dân số Việt Nam đến năm 2020: 3 3 A3 M 1 r% 94,970,597. 1 +1,03% 97,935,519 98 riệu (người) Câu 24 ( Chuyên Tiền Giang-2018) Một xe ơtơ sau khi chờ đến hết đèn đỏ đã bắt đầu phĩng nhanh với vận tĩc tăng liên tục được biểu thị bằng đồ thị là đường cong parabol cĩ hình bên. Biết rằng sau 10 s thì xe đạt đến vận tốc cao nhất 50 m/s và bắt đầu giảm tốc. Hỏi từ lúc bắt đầu đến lúc đạt vận tốc cao nhất thì xe đã đi được quãng đường bao nhiêu mét ? 100 1100 1400 A. m. B. C. m. D. 300m. m. 3 3 3 Đáp án A. Gọi (P): y ax2 bx c là phương trình parabol. b 1 c 0; 10 a Vì (P) đi qua gốc O và đỉnh I 10;50 2a 2 . 100a 10b c 50 b 10;c 0 10 1 2 1 2 1000 Suy ra phương trình (P) là y x 10x. Vậy S x 10x dx m. 2 0 2 3 Câu 25 (Chuyên Chu Văn An-2018): Đầu mỗi tháng anh A gửi vào ngân hàng 3 triệu đồng với lãi suất 0,7% mỗi tháng. Biết khơng rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mơi tháng số tiền lãi sẽ được nhập vào gốc để tính lãi cho tháng tiếp theo. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu tháng (khi ngân hàng đã tính lãi) thì anh A cĩ được số tiền cả gốc lẫn lãi nhiều hơn 100 triệu đồng? Giả định trong suốt thời gian gửi, lãi suất khơng đổi và anh A khơng rút tiền ra. A. 30 tháng B. 33 tháng C. 29 tháng D. 28 tháng Đáp án A. Phương pháp: Sử dụng cơng thức lãi kép. Cách giải: Số tiền anh A nhận được sau n tháng là:
11. A 1 r A 1 r 2 A 1 r n A 1 r 1 1 r 1 r n 1 n 1 1 r n 1 r 1 A 1 r A 1 r . 100 1 1 r r 3 1 0,7% n . 1 0,7% 1 100 n 29,88 0,7% Vậy phải cần ít nhất 30 tháng để anh A cĩ được nhiều hơn 100 triệu. Câu 26: (Chuyên Phan Bội Châu- Nghệ An) Một người gửi tiết kiệm với lãi suất 8,4% /năm và lãi hàng năm được nhập vào vốn. Hỏi sau bao nhiêu năm người đĩ thu được gấp đơi số tiền ban đầu? A. B.9 C. D. 6 8 7 Đáp án A n Gọi số tiền ban đầu là a thì ta cĩ a 1 8,4% 2a n log1 8,4% 2 8,6 Suy ra sau 9 năm thì người đĩ sẽ cĩ số tiền gấp đơi số tiền ban đầu. Câu 27: (Chuyên Phan Bội Châu- Nghệ An) Một chiếc máy bay chuyển động trên đường băng với vận tốc v t t2 10 m / s với t là thời gian được tính bằng đơn vị giây kể từ khi máy bay bắt đầu chuyển động. Biết khi máy bay đạt vận tốc 200 m / s thì nĩ rời đường bang. Quãng đường máy bay đã di chuyển trên đường băng là 2500 4000 A. m B. C. D. 2000 m 500 m m 3 3 A. B.1 C. D. vơ số 2 3 Đáp án A Ta cĩ: v 200 t2 10t 200 t 10s Máy bay di chuyển trên đường bang từ thời điểm t 0 đến thời điểm t 10 , do đĩ 10 2500 quãng đường đi trên đường băng là: S t2 10t dx m 0 3 Câu 28 ( Chuyên Sơn La- Lần 1) Một người gửi 200 triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất 0,45%/tháng. Biết rằng nếu khơng rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau một tháng, số tiền lãi sẽ nhập vào vốn ban đầu để tính lãi cho tháng tiếp theo. Hỏi sau đúng 10 tháng, người đĩ được lĩnh số tiền (cả vốn ban đầu và lãi) gần nhất với số tiền nào dưới đây, nếu trong khoảng thời gian này người đĩ khơng rút ra và lãi suất khơng thay đổi. A. 210.593.000 đồngB. 209.183.000đồngC. 209.184.0đồng00 D. 211.594.000 đồng Đáp án C n Phương pháp: Cơng thức lãi kép, khơng kỳ hạn: An M 1 r% Với: An là số tiền nhận được sau tháng thứ n, M là số tiền gửi ban đầu, n là thời gian gửi tiền (tháng), r là lãi suất định kì (%). Cách giải: Sau đúng 10 tháng, người đĩ được lĩnh số tiền:
12. 10 A10 200. 1 0,45% 209,184 (triệu đồng) Câu 29: (Chuyên Lê Quý Đơn- Quảng Trị -Lần 1) Một người vay ngân hàng 500 triệu đồng với lãi suất 0,5% trên 1 tháng. Theo thỏa thuận cứ mỗi tháng người đĩ sẽ trả cho ngân hàng 10 triệu đồng và cứ trả hàng tháng như thế cho đến khi hết nợ (tháng cuối cùng cĩ thể trả dưới 10 triệu). Hỏi sau bao nhiêu tháng thì người đĩ trả được hết nợ ngân hàng. A. 57 B. C. D. 56 58 69 Đáp án C Phương pháp giải: Áp dụng cơng thức bài tốn vay vốn trả gĩp, hoặc tìm từng tháng, dùng phương pháp quy nạp và đưa về tổng của cấp số nhân Lời giải: Sau tháng thứ nhất số tiền gốc cịn lại trong ngân hàng là 500 1 0,5% 10 triệu đồng. Sau tháng thứ hai số tiền gốc cịn lại trong ngân hàng là 2 500 1 0,5% 10 . 1 0,5% 10 500. 1 0,5% 10 1 0,5% 1 triệu đồng Sau tháng thứ ba số tiền gốc cịn lại trong ngân hàng là 500. 1 0,5% 3 10 1 0,5% 2 1 0,5% 1 triệu đồng Số tiền gốc cịn lại sau tháng thứ n là 500. 1 0,5% n 10. 1 0,5% n 1 1 0,5% n 2 1 triệu Đặt y 1 0,5% 1,005 thì ta cĩ số tiền gốc cịn lại trong ngân hàng sau tháng thứ n là 10 yn 1 T 500yn 10 yn 1 yn 2 y 1 500yn 500.1,005n 2000. 1,005n 1 y 1 Vì lúc này số tiền cả gốc lẫn lãi đã trả hết 4 T 0 1500.1,005n 2000 n log 57,68 1,005 3 Vậy sau 58 tháng thì người đĩ trả hết nợ ngân hàng. Câu 30: ( Chuyên Trần Phú – Lần 2)Trong năm đầu tiên đi làm, anh A được nhận lương là 10 triệu đồng mỗi tháng. Cứ hết một năm, anh A lại được tăng lương, mỗi tháng sau tăng 12% so với mỗi tháng trước. Mỗi khi lĩnh lương anh A đều cất đi phần lương tăng so với năm ngay trước để tiết kiệm mua ơ tơ. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm đi làm thì anh A mua được ơ tơ giá 500 triệu biết rằng anh được gia đình hỗ trợ 32% giá trị chiếc xe. A. 11 B. C. D. 10 12 13 Đáp án A IA d A; P Phương pháp: Sử dụng tính chất: IB d B; P Cách giải: 2 2 2 2 8 3 1 0 2 4 Ta cĩ: d A; P ;d B; P 1 1 1 3 1 1 1 3
13. 8 IA d A; P 3 2 IB d B; P 4 3 Câu 31: (Chuyên Hùng Vương-Gia Lai) Một người gửi 100 triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất 6%/năm. Biết rằng nếu khơng rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ được nhập vào gốc để tính lãi cho năm tiếp theo. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm người đĩ nhận được số tiền nhiều hơn 300 triệu đồng bao gồm cả gốc và lãi? Giả định trong suốt thời gian gửi, lãi suất khơng đổi và người đĩ khơng rút tiền ra. A. 21 nămB. 20 nămC. 19 nămD. 18 năm Đáp án C Ta cĩ 100 1 6% 300 n log 1 6% 3 18,85 Suy ra sau 19 năm thì số tiền sẽ lớn hơn 300 triệu . Câu 32: (Chuyên Hồng Văn Thụ- Lần 2) Một ngọn hải đăng đặt tại vị trí A cĩ khoảng cách đến bờ biển AB 5km. Trên bờ biển cĩ một cái kho ở vị trí C cách B một khoảng 7km. Người canh hải đăng cĩ thể chèo đị từ A đến M trên bờ biển với vận tốc 4/ km h rồi đi bộ đến C với vận tốc 6/ km h .Vị trí của điểm M cách B một khoảng bao nhiêu để người đĩ đi đến kho nhanh nhất? 14 5 5 A. 2 5 km B. C. D. km 0km 7 km 12 Đáp án Phương pháp: Sử dụng phương pháp hàm số. Cách giải: Gọi độ dài đoạn MB là x, 0 x 7 km MC 7 x Tam giác ABM vuơng tại B AM MN2 AB2 x2 52 x2 25
14. x2 25 7 x Thời gian người đĩ đi từ A tới C: 4 6 x2 25 7 x Xét hàm số f x , x 0;7 4 6 x 1 y' 4 x2 25 6 x 1 x 1 y' 0 0 3x 2 x2 25 4 x2 25 6 4 x2 25 6 9x2 4x2 100 x2 20 x 2 5 Bảng biến thiên: x 0 2 5 7 y' y 14 5 5 12 Vậy, để người đĩ đến C nhanh nhất thì khoảng cách từ B đến M là 2 5 Câu 33: (Chuyên Hồng Văn Thụ- Lần 2) Ơng A vay ngân hàng 200 triệu đồng với lãi suất 1% mỗi tháng. Mỗi tháng ơng trả ngân hàng m triệu đồng. Sau đúng 10 tháng thì trả hết. Hỏi m gần với giá trị nào nhất dưới đây? A. 23triệu đồngB. 2triệu0,42 5đồngC. triệu21,1 đồng16 D. triệu15 ,464 đồng Đáp án C N 1 r n r Phương pháp: Bài tốn lãi suất trả gĩp:A 1 r n 1 Trong đĩ: N: số tiền vay r: lãi suất A: số tiền phải trả hàng tháng để sau n tháng là hết nợ. N 1 r n r 200. 1 1% 10 .1% Cách giải: Ta cĩ: A m 21,116 ( triệu đồng) 1 r n 1 1 1% 10 1 Câu 34: (Chuyên Thoại Ngọc Hầu-An Giang ) Hùng đang tiết kiệm để mua một cây guitar. Trong tuần đầu tiên, anh ta để dành 42 đơ la, và trong mỗi tuần tiết theo, anh ta đã thêm 8 đơ la vào tài khoản tiết kiệm của mình. Cây guitar Hùng cần mua cĩ giá 400 đơ la. Hỏi vào tuần thứ bao nhiêu thì anh ấy cĩ đủ tiền để mua cây guitar đĩ? A. 47B. 45C. 44D. 46 Đáp án D Ta cĩ 4 2 8 n 4 0 0 0 n 4 4 , 7 5 Suy ra đến tuần thứ 46 thì anh Hùng đủ tiền mua đàn
15. Câu 35: (Chuyên Thoại Ngọc Hầu-An Giang ) Một vật chuyển động theo quy luật 1 s t3 6t2 với t (giây) là khoảng thời gian tính từ khi vật bắt đầu chuyển động và s (mét) 3 là quãng đường vật di chuyển được trong khoảng thời gian đĩ. Hỏi trong khoảng thời gian 7 giây, kể từ khi bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng bao nhiêu? A. 180 (m/s)B. 36 (m/s)C. 144 (m/s)D. 24 (m/s) Đáp án B 1 3 2 2 2 Ta cĩ v t s' t t 6t ' t 12t 36 t 6 36 3 Suy ra Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi t 6 vmax 36m / s. Câu 36: (Chuyên Đại Học Vinh-2018) Sau 1 tháng thi cơng thì cơng trình xây dựng Nhà học thể dục của trường X đã thực hiện được một khối lượng cơng việc. Nếu tiếp tục với tiến độ như vậy thì dự kiến sau đúng 23 tháng nữa cơng trình sẽ hồn thành. Để sớm hồn thành cơng trình và kịp đưa vào sử dụng, cơng ty xây dựng quyết định từ tháng thứ 2, mỗi tháng tăng 4% khối lượng cơng việc so với tháng kề trước. Hỏi cơng trình sẽ hồn thành ở tháng thứ mấy sau khi khởi cơng? A. 19 B. C. D. 18 17 20 Đáp án B Phương pháp: Giả sử khối lượng cơng việc đã làm được trong 1 tháng đầu là x thì tổng khối lượng cơng việc là 24x. Giả sử sau n tháng thì xong cơng trình, tính khối lượng cơng việc sẽ hồn thành sau n tháng. Cách giải: Giả sử khối lượng cơng việc đã làm được trong 1 tháng đầu là x thì tổng khối lượng cơng việc là 24x. Giả sử sau n tháng thì xong cơng trình, ta cĩ phương trình 1,04n 1 x 1,04x 1,042 x 1,04n 1 x 24x 24 n 17,16 1,04 1 Vậy cơng trình sẽ hồn thành ở tháng thứ 18. Câu 37: (Chuyên Lê Quý Đơn-Lần 3) Lãi suất gửi tiền tiết kiệm của các ngân hàng trong thời gian qua liên tục thay đổi. Bác Mạnh gửi vào một ngân hàng số tiền 5 triệu đồng với lãi suất 0,7% / tháng. Sau 6 tháng gửi tiền, lãi suất tăng lên 0,9% / tháng. Đến tháng thứ 10 sau khi gửi tiền, lãi suất giảm xuống 0,6% / tháng và giữ ổn định. Biết rằng nếu bác Mạnh khơng rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi tháng, số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn ban đầu (ta gọi đĩ là lãi kép). Sau một năm gửi tiền, bác Mạnh rút được số tiền là bao nhiêu ? (biết trong khoảng thời gian này bác Mạnh khơng rút tiền ra). A. 5436566,169 đồngB. 5436521,164 đồng C. 5452733,453 đồngD. 5452771,729 đồng. Đáp án C
16. Phương pháp giải: Áp dụng cơng thức lãi kép T A 1 m% n cho từng giai đoạn Lời giải: 6 Số tiền bác Mạnh cĩ được sau 6 tháng gửi ngân hàng là T1 5 1+ 0,7% triệu đồng. 3 Số tiền bác Mạnh cĩ được sau 3 tháng tiếp theo là T2 T1 1+0,9% triệu đồng. 3 Số tiền bác Mạnh cĩ được sau 3 tháng tiếp theo là T3 T2 1+0,6% triệu đồng. Vậy sau một năm gửi tiền, bác Mạnh rút được số tiền là T3 5452733,453 đồng Câu 38: ( Chuyên Ngoại Ngữ - Lần 1) Ơng V gửi tiết kiệm 200 triệu đồng vào ngân hàng với hình thức lãi kép và lãi suất 7,2% một năm. Hỏi sau 5 năm ơng V thu về số tiền (cả vốn lẫn lãi) gần nhất với số nào sau đây? A. 283.145.000 đồng.B. 283.155.000 đồng. C. 283.142.000 đồng.D. 283.151.000 đồng. Đáp án C. Phương pháp giải: Áp dụng cơng thức lãi kép trong bài tốn lãi suất: T P 1 r n . Lời giải: Số tiền mà ơng V thu được sau 5 năm là 200. 1 7,2% 5 283,142 triệu đồng. Câu 39: (Chuyên Hạ Long – Lần 3) Hai người A, B chạy xe ngược chiều nhau thì xảy ra va chạm, hai xe tiếp tục di chuyển theo chiều của mình thêm một quãng đường nữa thì dừng hẳn. Biết rằng sau khi va chạm, một người di chuyển tiếp với vận tốc v1 t 6 3t mét trên giây, người cịn lại di chuyển với vận tốc v2 t 12 4t mét trên giây. Tính khoảng cách hai xe khi đã dừng hẳn. A. 25 mét.B. mét.C.2 2 mét.D. mét. 20 24 Đáp án D v1 6 3t . Xe A dừng hẳn v1 0 6 3t 0 t 2 2 S 6 3t dt 6 . 1 0 v2 12 4t . Xe B dừng hẳn v2 0 12 4t 0 t 3 3 S 12 4t dt 18 . 2 0 Khoảng cách giữa 2 xe là: 6 18 24 . Câu 40: (Chuyên Lương Thế Vinh- Đồng Nai) Một vật đang chuyển động với vận tốc 10 m/s thì tăng tốc với gia tốc a(t) 6t 12t2 (m / s2 ). Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc là 4300 98 A. m. B. 4300 m.C. D. 11100 m. m. 3 3 Đáp án D
17. Câu 4 1: (Chuyên Thoại Ngọc Hầu-An Giang ) Cĩ một cốc thủy tinh hình trụ, bán kính trong lịng đáy cốc là 6cm , chiều cao trong lịng cốc là 10cm đang đựng một lượng nước. Tính thể tích lượng nước trong cốc, biết khi nghiêng cốc nước vừa lúc khi nước chạm miệng cốc thì ở đáy mực nước trùng với đường kính đáy A. 240cm3 B. 240 cC.m 3 1D.20 cm3 1Câu20 c1:m Đáp3 án A R 3 2 3 1 2 2 h 1 h 3 2R 2R h 2R tan V R x . dx 2R 2 R R 2 R 3 3 3 h 2.62.10 (Với h MN;tan ). Do đĩ V 240cm3 R 3 Câu 42: (Chuyên Thoại Ngọc Hầu-An Giang ) Hùng đang tiết kiệm để mua một cây guitar. Trong tuần đầu tiên, anh ta để dành 42 đơ la, và trong mỗi tuần tiết theo, anh ta đã thêm 8 đơ la vào tài khoản tiết kiệm của mình. Cây guitar Hùng cần mua cĩ giá 400 đơ la. Hỏi vào tuần thứ bao nhiêu thì anh ấy cĩ đủ tiền để mua cây guitar đĩ? A. 47B. 45C. 44D. 46 Đáp án D Ta cĩ 42 8n 4000 n 44,75 Suy ra đến tuần thứ 46 thì anh Hùng đủ tiền mua đàn Câu 43: (Chuyên Thoại Ngọc Hầu-An Giang ) Một vật chuyển động theo quy luật 1 s t3 6t2 với t (giây) là khoảng thời gian tính từ khi vật bắt đầu chuyển động và s 3 (mét) là quãng đường vật di chuyển được trong khoảng thời gian đĩ. Hỏi trong khoảng thời gian 7 giây, kể từ khi bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng bao nhiêu? A. 180 (m/s)B. 36 (m/s)C. 144 (m/s)D. 24 (m/s) Đáp án B 1 3 2 2 2 Ta cĩ v t s' t t 6t ' t 12t 36 t 6 36 3 Suy ra vmax 36m / s. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi t 6