19 Bài toán thực tế Lớp 12 (Chuẩn kiến thức)

Nội dung text: 19 Bài toán thực tế Lớp 12 (Chuẩn kiến thức)

1. Câu 1: ( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Một vật chuyển động theo quy luật 1 S t3 9t 2 5 với t (giây) là khoảng thời gian tính từ khi vật bắt đầu chuyển động và S 2 (mét) là quãng đường vật di chuyển được trong khoảng thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian 8 giây, kể từ khi vật bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng bao nhiêu? A. 84 (m / s)B. 48 (m / s)C. 54 (m / s)D. 104 (m / s) Đáp án là C 3 3 3 2 v S ' t 2 18t t 12t 36 54 t 6 54 54 2 2 2 vmax 54m / s Câu 2: ( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Một vật chuyển động trong một giờ với vận tốc v (km/h) phụ thuộc thời gian t(h) có đồ thị là một phần của đường parabol với 1 đỉnh I ;4 và trục đối xứng song song với trục tung như hình bên. Tính quãng đường s mà 2 vật di chuyển được trong khoảng thời gian 30 phút, kể từ khi bắt đầu chuyển động. A. s 1,33(km) .B. s 1,43 .C.(k m) s .D. 1 ,53(km) . s 1,73(km) Đáp án A Phương trình chuyển động có dạng v at2 bt vì đồ thị đi qua gốc tọa độ. Mặt khác 1 1 1 a b 4 a 16 2 Parabol đi qua : 4 , 1;0 4 2 v 16t 16t 2 b 16 a b 0 Vậy quãng đường cần tính 1 2 t2 t3 1 4 S 16t2 16t dt 16 |2 1,33 0 0 2 3 3 Câu 3: ( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Công ty X thiết kế bảng điều khiển điện tử để mở cửa một ngôi nhà. Bảng gồm 5 nút, mỗi nút được ghi một số từ 1 đến 5 và không có hai nút nào được ghi cùng một số. Để mở được cửa cần nhấn liên tiếp ít nhất 3 nút 1
2. khác nhau sao cho tổng của các số trên các nút đó bằng 10. Một người không biết quy tắc mở cửa trên, đã nhấn ngẫu nhiên liên tiếp ít nhất 3 nút khác nhau trên bảng điều khiển. Tính xác suất P để người đó mở được cửa ngôi nhà. A. P 0,17.B. P = 0,7.C. P = 0,12.D. P = 0,21. Đáp án C 3 4 5 Không gian mẫu có số phần tử là n  A5 A5 A5 300 . Gọi A là biến cố mở được cửa phòng học. Bộ 3 số có tổng bằng 10 là 1;4;5 , 2;3;5 ,(1,2,3,4),( n A 3! 3! 4! 36 36 Vậy P A 0,12 . 300 Câu 4 ( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Một họ gồm 3 đường thẳng song song cắt một họ gồm 4 đường thẳng khác song song. Hỏi có tất cả bao nhiêu hình bình hành được tạo thành. A. 16B. 21C. 27D. 18 Đáp án D Một hình bình hành được tảo bởi 1 cặp đường thẳng song song cắt 1 cặp đường thẳng song 2 2 song khác. Do đó, số hình bình hành được tạo thành là C3 .C4 18. Câu 5: ( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Sự tăng trưởng của một loại vi khuẩn tuân theo công thức S A.ert , trong đó A là số lượng vi khuẩn ban đầu, r là tỷ lệ tăng trưởng r 0 , t là thời gian tăng trưởng. Biết rằng số lượng vi khuẩn ban đầu là 100 con và sau 5 giờ có 300 con. Hỏi sau 10 giờ có bao nhiêu con vi khuẩn? A. 900 con.B. 800 con.C. 700 con.D. 600 con. Đáp án A 100e5r 300 Theo đề bài ta có: e5r 3 e10r 9 Vậy sau 10h ta có số vi khuẩn là 900 con Câu 6.( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Tìm số hạng đứng chính giữa trong n 1 5 n 1 n khai triển P 3 x , biết.Cn 4 Cn 3 7 n 3 x 2
3. 924 942 A. B. C. D. 924x3 942x3 x3 x3 Đáp án A 1 1 C n 1 C n 7 n 3 n 4 n 3 n 2 n 3 n 2 n 1 7 n 3 Ta có: n 4 n 3 6 6 n 3 n 2 14 n 3 n 2 14 n 12. 5 12 5 11 12 (12 k ) 12 30 k 3 2 k 3k 2 k 2 Khi đó: P x x C12 x x C12 x . k 0 k 0 11 30 .6 924 Số hạng chính giữa trong khai triển (ứng với k 6 ) là: C 6 x 2 . 12 x3 Câu 7 ( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Người ta trồng một khóm sen có 1 lá vào một hồ nước. Qua theo dõi thì thấy, cứ mỗi tháng lượng lá sen gấp 10 lần lượng lá sen trước đó và tốc độ tăng không đổi, đúng 9 tháng sau sen đã sinh sôi kín khắp cả mặt hồ. Hỏi 1 sau mấy tháng thì số lá sen phủ kín mặt hồ. 3 109 9 A. 3.B. C. D. . 9 log3. . 3 log3 Đáp án C n 1 Giả sử lượng lá sen ban đầu là u1 . Lượng lá sen tháng thứ n là un u1.10 8 Sau 9 tháng sen sinh sôi khắp mặt hồ. Lượng lá sen khi đó là u9 u1.10 . 1 Giải sử sau k tháng thì sen phủ kín mặt hồ. Ta có 3 1 1 1 1 u .10k 1 u .108 10k 9 k 9 log k 9 log 9 log3 1 3 1 3 3 3 cao của chiếc hộp bằng 3 lần đường kính của quả bóng bàn. Gọi S 1là diện tích xung quanh S1 của 3 quả bóng bàn và S2 là diện tích xung quanh của chiếc hộp. Tính tỉ số . S2 S S S 3 S 5 A. B.1 1. C.1 2. D.1 . 1 . S2 S2 S2 2 S2 2 Đáp án A Giả sử quả bóng bàn có bán kính R Diện tích xung quanh của 1 quả bóng bàn là 4 R2 . 3
4. 2 S1 12 R , Hình trụ có chiều cao h l 6R và bán kính đáy R . Do đó diện tích xung quanh chiếc hộp 2 là S2 2 Rl 12 R . S Vậy 1 1 . S2 Câu 8: ( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Cho hàm số y f x . Đồ thị hàm số y f x như hình vẽ bên. Đặt g x 2 f x x 1 2 . Mệnh đề nào dưới đây đúng ? A. max g x g 3  3;3 B. max g x g 2  3;3 C. min g x g 1  3;3 Câu 9: ( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Tìm giá trị lớn nhất PMax của biểu thức 2x 2 x 2 2x 1 p 9. 9. 1 với x  1;1. 2x 2 x 2 2x 1 1 A. P 1. B. C.P 5. D. P 3. P . Max Max Max Max 3 Đáp án B Từ đề bài ta có 2 22x 2.2x 1 2x 1 2x 1 2x 1 p 9. 2x x 9. x 1 9 x 9. x 1 2 2.2 1 2 1 2 1 2 1 2x 1 1 1 Đặt t,t ; ta có 2x 1 3 3 p 9t 2 9t 1 p ' 18t 9 p ' 0 t 2 Xét các giá trị của p, ta có 4
5. 1 p 1 3 1 p 5 3 Vậy giá trị lớn nhất của p là 5 Câu 10: ( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) . Một con cá bơi ngược dòng sông để vượt một quãng đường là 300 km. Vận tốc chảy của dòng nước là 6 km/h. Gọi vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên là v (km/h) và khi đó năng lượng tiêu hao của cá trong t giờ được tính theo công thức  v k.v2.t, trong đó k là hằng số. Vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên để năng lượng tiêu hao ít nhất là. A. 6 km/h. B. 9 km/h. C. 12 km/h.D. 15 km/h. Đáp án C Vận tốc con cá khi bơi ngược dòng sông là: v 6 300 Thời gian con cá bơi ngược sông là: v 6 300 v2 Năng lượng tiêu hao của con cá là: E(v) kv2 300k v 6 v 6 2v(v 6) v2 v2 12v E '(v) 300k. 300k (v 6)2 (v 6)2 v 0 E '(v) 0 v 12 v 0 12 E’(v) + 0 _ 0 + E(v) Câu 11: ( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Ông Bình có một mảnh đất hình dạng là một phần tư elíp (hình vẽ), OA 8m, OB 5m. Ông đã bán với giá 100 triệu đồng trên 1 mét vuông. Hỏi ông Bình bán mảnh đất đó được bao nhiêu tiền ? A. 3140 triệu đồng.B. 3410 triệu đồng. C. 4130 triệu đồng.D. 4310 triệu đồng Đáp án A 5 M
6. Theo công thúc tính diện tích hình elip ta có 1 S ab 10 4 Kiểm tra vị trí tương dối của A,B với mặt (P) dễ thấy A,B nằm về 2 phía của (P) Gọi A’, B’ lần lượt là hình chiếu của A, B trên (P) Đường thẳng song song với (P) và có khoảng cách tới B ngắn nhất  u / / A' B ' Từ đề bài ta có phương trình đường thẳng d qua A vuông góc với (P) là x 3 t y 2t z 1 2t 2 7 4 7 Đường thẳng d giao với (P) tại t  A' ; ; 3 3 3 3 Phương trình đường thẳng d’ qua B vuông góc với (P) là x 1 t y 1 2t z 3 2t 4 5 1 19 Đường thẳng d’ giao với (P) tại t  B ' ; ; 9 9 9 9 26 11 2 Vậy A' B ' ; ; 9 9 9 Câu 12: ( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Người ta xếp các hình vuông kề với nhau như hình vẽ dưới đây, mỗi hình vuông có độ dài cạnh bằng nửa độ dài cạnh của hình vuông trước nó. Nếu biết hình vuông đầu tiên có cạnh dài 10 cm thì trên tia Ax cần có một đoạn thẳng dài bao nhiêu cm để có thể xếp được tất cả các hình vuông đó. 6
7. A. 30 cm. B. 20 cm. C. 80 cm.D. 90 cm. Đáp án B 1 Hình vuông đầu tiên có cạnh là 10 nên hình vuông thứ hai có cạnh là .10 2 1 1 1 Tiếp tục như vậy ta có độ dài các cạnh hình vuông là dãy số sau: 10; .10; 10; ; .10 2 4 2n 1 10 10 10 10 1 1 1 10 10(1 ) 2 4 8 2n 1 2 4 2n 1 1 1 ( )n 10. 2 20 1 1 2 Câu 13: ( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Trong một cái phích đựng nước, áp k suất P của hơi nước được tính theo công thức P a.10t 273 , trong đó t là nhiệt độ của nước, a và k là những hằng số. Tính áp suất của hơi nước khi nhiệt độ của nước là 40 0C , cho biết k 2258,624 và khi nhiệt độ của nước là 100 0C thì áp suất P của hơi nước là 760mmHg (áp suất của hơi nước được tính bằng milimét thủy ngân, kí hiệu là mmHg). A. 52,5 mmHg B. 55,2 mmHg C. 58,6 mmHg D. 56,8 mmHg Đáp án A 2258,624 Khi t 1000 C thì P 760mmHg nên 760 a.10 100 273 a 863188841,4. 2258,624 Vậy, khi t 400 C thì P 863188841,4.10 40 273 52,5mmHg Câu 14 ( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Một đoàn tàu đang chạy với vận tốc 20 / km giờ thì người lái tàu kéo phanh để giảm tốc độ. Sau khi kéo phanh, tàu chuyển động chậm dần đều với vận tốc V t 40t 20 (km/giờ), trong đó t là khoảng thời gian tính 7
8. bằng phút kể từ lúc bắt đầu kéo phanh. Hỏi từ lúc kéo phanh đến khi dừng hẳn, tàu còn chuyển động được bao nhiêu km ? A. 3 kmB. 5,5 kmC. 3,5 kmD. 5 km Đáp án D 1 Ta có: v 20km / h;a 40km / h2 v(t) 20 40t;s(t) 20t 40t 2 20t 20t 2. 0 2 1 Thời gian tàu đi được từ lúc kéo phanh đến lúc dừng hẳn là: ( 20 40t 0 t giờ. 2 Do đó, quãng đường tàu đi được từ lúc kéo phanh đến lúc dừng hẳn là: 2 1 1 1 s 20. 20 5km. 2 2 2 Câu 15( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Cho 2 điểm x 1 y 2 z 2 A 1;2; 1 , B 7; 2;3 và cho đường thẳng d : . Tìm M d sao cho 3 2 2 MA MB nhỏ nhất? A. B.M C. 2 ;D.0; 4 M 2;0; 4 M 2;0;4 M 0;2;4 Đáp án A   Ta có AB 6; 4;4 / /ud 3; 2;2 AB / /d. Xét điểm M bất kỳ thuộc (d) S MAB const. Do đó: MA MB max C MAB AB MA MB max MAB cân tại M . Nên M  d với là trung trực của AB.  Vì qua trung điểm I(4;0;1) của AB và nhận AB làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình: :3x 2y 2z 14 0 M 2;0;4 . Câu 16 ( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Một người nuôi cá thử nghiệm trong một cái hồ. Qua theo dõi, người đó thấy rằng. Nếu trên mỗi 1m2 diện tích của mặt hồ có n con cá thì trung bình mỗi con cá sau một vụ có cân nặng P n 480 20n gam . Hỏi để sau một vụ người đó thu hoạch được nhiều cá nhất thì phải thả bao nhiêu con cá trên 1m2 diện tích mặt hồ. A. B.n C.12 D. n 15 n 21 n 51 Đáp án A Ta có, cân nặng của n con cá là f (n) nP(n) 480n 20n2 0 với n 0 8
9. Ta có: Đểf '( nthu) hoạch480 4được0n. nhiều nhất thì f (n)max f '(n) 0 n 12. Câu17. ( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Một quả bóng cao su được thả từ độ cao 81m . Mỗi lần chạm đất, quả bóng lại nảy lên hai phần ba độ cao của lần rơi trước. Tính tổng các khoảng cách rơi và nảy của quả bóng từ lúc thả bóng cho đến lúc bóng không nảy nữa. A. 504mB. 524mC. 405mD. 425m Đáp án C Khi quả bóng rơi ở độ cao 81m thì: 2 + Lần nảy thứ nhất, quả bóng đạt độ cao: x 81. m. 1 3 2 2 + Lần nảy thứ hai, quả bóng đạt độ cao: x2 81. m. 3 . n 2 + Lần nảy thứ n , quả bóng đạt độ cao: xn 81. m. 3 Vậy, tổng khoảng cách rơi và nảy từ lúc thả bóng đến lúc bóng không nảy nữa là: 2 n 2 2 2 P 81 2. 81. 81. 81. 3 3 3 2 n 2 2 2 P 81 lim 2 81. 81. 81. n 3 3 3 n 2 1 2 3 2 P 81 lim 2. .81. 81 2. .81.3 405m. n 3 2 3 1 3 Câu 18. ( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Với mọi m thì đường thẳng d : y mx 2 luôn cắt parabol P : y x2 1tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1, x2 . Tìm m để diện tích của hình phẳng giới hạn bởi d và P là nhỏ nhất. 9
10. 4 A. B.m 0 m 3 3 C. D.m m 4 4 Đáp án A Khi m=0 thì diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đồ thị nhỏ nhất bằng 0. Câu 19. ( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Một người thợ cơ khí cần gò một chiếc thùng bằng tôn cứng, thùng có dạng hình hộp chữ nhật không có nắp và kích cỡ các x 1 chiều là x, y, z dm đồng thời tỉ , thể tích của thùng là 18 lít. Hỏi số tiền ít nhất mà y 3 người thợ phải bỏ ra để mua tôn là bao nhiêu, biết rằng mỗi đềximét vuông tôn có giá 20 nghìn đồng A. 720 nghìnB. 820 nghìnC. 620 nghìnD. 920 nghìn Đáp án A 18 6 Ta có y 3x; z . xy x2 48 Khi đó, diện tích tôn cần dung là: ) S 2(x y)z xy 3x2 f (x) (dm2). x Số tiền phải bỏ ra mua tôn là: T 20S nghìn đồng. 48 Do đó T min f (x)min f '(x) 0 6x 0 x 2. x2 48 2 Vậy T min 20. 3.2 720 nghìn đồng. 2 10