17 Bài toán thực tế môn Toán Lớp 12 - Đặng Việt Động

Nội dung text: 17 Bài toán thực tế môn Toán Lớp 12 - Đặng Việt Động

1. Câu 1:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Đường cao tốc mới làm nối hai thành phố A và B, hai thành phố này muốn xây một trạm xăng và trạm dừng nghỉ như hình vẽ. Hỏi phải đặt trạm xăng và trạm dừng nghỉ ở vị trí nào để khoảng cách từ hai trung tâm thành phố đến trạm là ngắn nhất, biết rằng khoảng cách từ trung tâm thành phố A, B đến đường cao tốc lần lượt là 60 km và 40 km và khoảng cách giữa hai trung tâm thành phố là 120 km (được tính theo khoảng cách của hình chiếu vuông góc của hai trung tâm thành phố lên đường cao tốc, tức là PQ kí hiệu như hình vẽ). Tìm vị trí của trạm xăng và trạm nghỉ? A. 72 km kể từ P B. 42 km kể từ Q C. 48 km kể từ P D. tại P Đáp án A. Gọi x PC,0 x 120 AC 602 x2 , BC x2 240x 16000 f x AC BC x2 3600 x2 240x 16000 với x 0;120 x x 120 f ' x x2 3600 x2 240x 16000 f ' x 0 x 72 Hướng dẫn sử dụng MTCT Casio 570VNPlus + Nhập biểu thức f x + Ấn SHIFT SOLVE và chọn một số trong khoảng 0;120 ta được nghiệm x 72 + Sử dụng chức năng TABLE ta nhận thấy phương trình có duy nhất 1 nghiệm. Do đó ta có bảng biến thiên:
2. Vậy CP 72 km. Câu 2:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Một tỉnh A đưa ra nghị quyết về giảm biên chế cán bộ công chức trong 6 năm từ 2017 đến 2023 là 10,6% với số lượng hiện có năm 2017 theo phương thức “ra 2 vào 1” (tức là khi giảm đối tượng hưởng lương từ ngân sách Nhà nước 2 người thì được tuyển mới 1 người). Giả sử tỉ lệ giảm và tuyển mới hàng năm so với năm trước đó là như nhau. Tính tỉ lệ tuyển dụng mới hàng năm (làm tròn đến 0,01%) là A. 1,13%B. 1,72%C. 2,02%D. 1,85% Đáp án D. Gọi x là số cán bộ công chức tỉnh A năm 2017. Gọi r là tỉ lệ giảm hàng năm. Số người mất việc năm thứ nhất là x.r Số người còn lại sau năm thứ nhất là x x.r x 1 r Tương tự số người mất việc sau năm thứ hai là x. 1 r .r Số người còn lại sau năm thứ hai là x 1 r 2 Số người mất việc sau năm thứ 6 là x 1 r 5 .r Tổng số người mất việc là: x.r x 1 r .r x 1 r 2 .r x 1 r 5 .r 10,6%.x r 1 1 r 6 0,106 r 0,0185 1 1 r Vậy tỉ lệ tuyển dụng mới hàng năm là 1,85%. Câu 3:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Một vật chuyển động nhanh dần đều với vận tốc v1 t 5t (m/s) đi được 10 (s) thì vật đó lại chuyển động chậm dần đều với gia tốc a 50
3. (m/s2). Tính quãng đường S (m) đi được của vật đó từ lúc bắt đầu chuyển động cho đến khi dừng hẳn. A. S 285 (m)B. (m)S C. 2 75 (m)D. S 250 S 225 (m) Đáp án B. Quãng đường vật đó từ lúc chuyển động đến khi bắt đầu chuyển động chậm dần đều là: 10 10 10 5t 2 S v t dt 5tdt 250 m. 1 1 0 0 2 0 Quãng đường v2 t của vật di chuyển từ lúc chuyển động chậm dần đều đến khi dừng hẳn thỏa mãn: v t 50 dt 50t C 2 v2 10 v1 10 50 500 C 50 C 550 Vậy v2 t 50t 550 Quãng đường từ lúc chuyển động chậm dần đều đến khi dừng hẳn là: 11 S 50t 550 dt 25 m. 2 10 Quãng đường cần tính: S S1 S2 275 m. Câu 4:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Người ta xây dựng một cái tháp gồm 11 tầng. Diện tích bề mặt của mỗi tầng bằng nửa diện tích bề mặt của tầng ngay bên dưới và diện tích bề 3 mặt của tầng một bằng diện tích đế tháp. Biết đế tháp có diện tích bằng 12288m . 2Diện 4 tích bề mặt của tầng trên cùng là A. B.4, 5C.m 2D 18m2. 9m2. 16m2. Đáp án C 2 Đặt s0 12288m . Gọi si là diện tích bề mặt tầng thứ i,1 i 11,i ¥ . 1 3 Theo giả thiết ta có s s ,1 i 10 vàs s 9216 . i 1 2 i 1 4 0 1 Ta có s là cấp số nhân gồm 11 số hạng với số hạng đầu s 9216 và công bội q . Suy n 1 2 9216 ra s s .q10 9. 11 1 210 Phân tích phương án nhiễu.
4. n 2 Phương án A: Sai do HS xác định sai số hạng tổng quát sn s1q nên tính được s11 4,5m . n 2 Phương án B: Sai do HS xác định sai số hạng tổng quát sn s1q nên tính được 2 s11 18m . 3 Phương án D: Sai do HS xác định sai s 12288: 16384 nên s 16m2 . 1 4 11 Câu 5:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Đầu mỗi tháng bác An gửi tiết kiệm vào ngân hàng HD Bank một số tiền như nhau với lãi suất 0,45%/tháng. Giả sử rằng lãi suất hàng tháng không thay đổi trong 3 năm liền kể từ khi bác An gửi tiết kiệm. Hỏi bác An cần gửi một lượng tiền tối thiểu T (đồng) bằng bao nhiêu vào ngân hàng HD Bank để sau 3 năm gửi tiết kiệm số tiền lãi đủ để mua được chiếc xe máy có trị giá 30 triệu đồng? A. B.T C.1 0D.05 0000. T 25523000. T 9493000. T 9492000. Đáp án C. Giả sử bác An gửi số tiền tối thiểu hàng tháng là T (đồng). Đặt r = 0,45%. Hết tháng thứ nhất bác An nhận được số tiền cả gốc và lãi là T1 T T.r T. 1 r . Hết tháng thứ hai bác An nhận được số tiền cả gốc và lãi là 2 T T. 2 r T. 2 r .r T. r 1 r 1 . 2 Bằng phương pháp quy nạp toán học, ta chứng minh được rằng sau n tháng gửi tiết kiệm thì bác An nhận được số tiền cả gốc và lãi là n n 1 T T 1 r 1 r 1 r . n T n Dễ dàng tính được T . 1 r . 1 r 1 . n r Suy ra số tiền lãi sau n tháng gửi tiết kiệm là T n L T T . 1 r . 1 r 1 T . n n n r n Theo giả thiết, ta có n 36, L36 30 000 000. Suy ra T 9 493 000. Phân tích phương án nhiễu. Phương án A: Sai do HS tính chỉ gửi 35 tháng. Phương án B: Sai do HS sử dụng công thức của bài toán tính lãi kép và hiểu đề bài yêu cầu số tiền thu được sau 3 năm đủ để mua xe máy có trị giá 30 triệu đồng nên tìm được T = 25 523 000. Phương án C: Sai do HS giải đúng như trên nhưng lại làm tròn T = 9 492 000.
5. Câu 6:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cắt một miếng giấy hình vuông và xếp thành một hình chóp tứ giác đều (hình vẽ). Biết cạnh hình vuông bằng 20 (cm), OM x (cm). Tìm x để hình chóp đều ấy có thể tích lớn nhất. A. x 9 (cm).B. (cm).xC. 8 (cm).D. x (cm). 6 x 7 Đáp án B. Sau khi cắt miếng giấy hình vuông như hình vẽ, ta xếp lại được thành hình chóp tứ giác đều S.MNPQ (hình bên). Ta có OM x MP NQ 2OM 2x MN 2 MN 2x (cm). MN 2x 2x Gọi H là trung điểm PQ OH (cm) và SH 10 2 (cm). 2 2 2 2 2 2 2 2x 2x Suy ra SO SH OH 10 2 20 10 x . 2 2 Thể tích khối chóp S.MNPQ là: 1 1 2 20 V .SO.S 20 10 x . 2x 40 4x .x4 S.MNPQ 3 MNPQ 3 3 5 20 20 40 4x x x x x 256 10 VS.MNPQ 40 4x .x.x.x.x 3 3 5 3 Dấu “=” xảy ra 40 4x x x 8 (cm) Câu 7:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cô Huyền gửi tổng cộng 320 triệu đồng ở hai ngân hàng X và Y theo phương thức lãi kép. Số tiền thứ nhất gửi ở ngân hàng X với lãi suất 2,1%
6. một quý trong thời gian 15 tháng. Số tiền còn lại gửi ở ngân hàng Y với lãi suất 0,37% một tháng trong thời gian 9 tháng. Tổng tiền lãi đạt được ở hai ngân hàng là 27.507.768,13 đồng (chưa làm tròn). Hỏi số tiền cô Huyền gửi lần lượt ở ngân hàng X và Y là bao nhiêu? A. 140 triệu và 180 triệu.B. 120 triệu và 200 triệu. C. 200 triệu và 120 triệu.D. 180 triệu và 140 triệu. Đáp án A. Gọi số tiền cô Huyền gửi ở hai ngân hàng X và Y lần lượt là x đồng và y đồng. Theo giả thiết ta có x y 320.106 (1). Tổng số tiền cả vốn lẫn lãi mà cô Huyền nhận được ở ngân hàng X sau 15 tháng (5 quý) là A x 1 2,1% 5 x 1,021 5 (đồng). Suy ra số tiền lãi nhận được sau 15 tháng là r A x x 1,021 5 x x 1,021 5 1 (đồng). A Tổng số tiền cả vốn lẫn lãi mà cô Huyền nhận được ở ngân hàng Y sau 9 tháng là B y 1 0,37% 9 y 1,0073 9 (đồng). Suy ra số tiền lãi nhận được ở ngân hàng Y sau 9 tháng là r B y y 1,0073 9 y y 1,0073 9 1 (đồng). B Từ giả thiết, ta có: r r 27507768,13 1,021 5 1 x 1.0073 9 1 y 27507768,13 (2) A B Từ (1) và (2) có hệ: 6 6 x y 320.10 x 140.10 5 9 . 1,021 1 x 1,0073 1 y 27507768,13 y 180.106 Vậy cô Huyền gửi ở ngân hàng X 140 triệu đồng và gửi ở ngân hàng Y 180 triệu đồng. Câu 8:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Một khuôn viên dạng nửa hình tròn có đường kính bằng 4 5 (m). Trên đó người thiết kế hai phần để trồng hoa có dạng của một cánh hoa hình parabol có đỉnh trùng với tâm nửa hình tròn và hai đầu mút của cánh hoa nằm trên nửa đường tròn (phần tô màu), cách nhau một khoảng bằng 4 (m), phần còn lại của khuôn viên (phần không tô màu) dành để trồng cỏ Nhật Bản. Biết các kích thước cho như hình vẽ và kinh phí để trồng cỏ Nhật Bản. Biết các kích thước cho như hình vẽ và kinh phí để trồng cỏ Nhật Bản là 100.000 đồng/ m2. Hỏi cần bao nhiêu tiền để trồng cỏ Nhật Bản trên phần đất đó? (Số tiền được làm tròn đến hàng nghìn) A. 3.895.000 đồng.B. 1.948.000 đồng.C. 2.388.000 đồng.D. 1.194.000 đồng. Đáp án B.
7. Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ. Khi đó phương trình nửa đường tròn là 2 y R2 x2 2 5 x2 20 x2 . Phương trình parabol (P) có đỉnh là gốc O sẽ có dạng y ax2 . Mặt khác (P) qua điểm M 2;4 do đó 4 a. 2 2 a 1 . Phần diện tích của hình phẳng giới hạn bởi (P) và nửa đường tròn (phần tô màu) là 2 S 20 x2 x2 dx 11,94 m2 . 1 2 Phần diện tích trồng cỏ là: 1 2 Strong co Shinh tron S1 19,47592654 m . 2 Vậy số tiền cần có là Strong co 100000 1948000 (đồng). Câu 9:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Học sinh A sử dụng 1 xô đựng nước có hình dạng và kích thước giống như hình vẽ, trong đó đáy xô là hình tròn có bán kính 20 cm, miệng xô là đường tròn bán kính 30 cm, chiều cao xô là 80 cm. Mỗi tháng A dùng hết 10 xô nước. Hỏi A phải trả bao nhiêu tiền nước mỗi tháng, biết giá nước là 20000 đồng/1m3 (số tiền được làm tròn đến đơn vị đồng)? A. 35279 đồngB. 38905 đồng C. 42116 đồngD. 31835 đồng Đáp án D. Xét hình nón đỉnh A , đường caoh h 80cm và có đáy là đường tròn tâm O, bán kính R 30cm . Mặt phẳng cách mặt đáy 80 cm và cắt hình nón theo giao tuyến là đường tròn tâm O ' có bán kính r 20cm
8. . Mặt phẳng chia hình nón thành 2 phần. Phần I là phần chứa đỉnh A, phần II là phần không chứa đỉnh A (hình vẽ). O ' B AO ' AO ' 2 AO ' 2 Ta có AO ' 160 cm OC AO AO ' O 'O 3 AO ' 80 3 1 1 Thể tích hình nón là V AO. R2 160 80 . .302 72000 cm3 3 3 1 2 1 2 64000 3 Thể tích phần I là V I AO '. r 160. .20 cm . 3 3 3 Thể tích cái xô cũng là thể tích phần II , ta có : 64000 152000 3 19 3 V II V V I 72000 cm m . 3 3 375 Vậy số tiền phải trả mỗi tháng là 19 20000.V .10 20000. .10 31835 (đồng). II 375 Câu 10:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Trong thời gian liên tục 25 năm, một người lao động luôn gửi đúng 4.000.000 đồng vào một ngày cố định của tháng ở ngân hàng M với lãi suất không thay đổi trong suốt thời gian gửi tiền là 0,6% tháng. Gọi A là số tiền người đó có được sau 25 năm. Hỏi mệnh đề nào dưới đây là đúng? A. 3.500.000.000 A 3.550.000.000 B. 3.400.000.000 A 3.450.0 00.000 C.3.350.000.000 A 3.400.000.000 D. 3.450.000.000 A 3.500.000.000 Đáp án C. Sau tháng thứ 1 người lao động đó có 4 1 0,6% (triệu đồng). Sau tháng thứ 2 người lao động có: 4 1 0,6% 4 1 0,6% 4 1 0,6% 2 1 0,6% (triệu đồng). Sau tháng thứ 3 người lao động đó có: 4 1 0,6% 2 1 0,6% 4 1 0,6%  4 1 0,6% 3 1 0,6% 2 1 0,6% (triệu đồng). Sau tháng thứ 300 người lao động đó có: 300 300 299 1 0,6% 1 4 1 0,6% 1 0,6% 1 0,6% 4 1 0,6% 1 0,6% 1 3364,866 (triệu đồng). (đồng).3.364.866.000
9. Câu 11:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Một chất điểm chuyển động với phương trình 1 quãng đường theo thời gian là s t3 2t 2 6t 1 trong đó t tính bằng giây, s tính bằng 3 mét. Gia tốc của chuyển động tại thời điểm giấy thứ 3 là: A. 1B.m /4sC.2. 3 m / s2D 2 m / s2. m / s2 . Đáp án D. Gia tốc của chuyển động khi t = 3 là s '' (3) Có s '(t) t 2 4t 6 s"(t) 2 t 4 s"(3) 2 Gia tốc cần tìm là a = 2m / s2 Câu 12:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Mặt tiền của một ngôi nhà có hai mái chạm đến nền nhà (hình vẽ) là một tam giác, biết chiều dài mỗi mái là 5 m, bề ngang nền là 6 m. Người ta muốn lắp cửa vào một ô hình chữ nhật thì diện tích lớn nhất mà hình chữ nhật đó tạo thành là: A. 3 m2 .B. 6 .C. 9 . m2 D. 8 . m2 m2 Đáp án B. + Gọi phần lắp cửa là hình chữ nhật ABCD (hình vẽ) và mặt là MNP Đặt DC 2x ND 3 x (Điều kiện: 0 < x < 3) DA ND HM.ND 4 + NDA∽ NHM DA DA 3 x HM NH NH 3 4 8 Diện tích ABCD là S DC.DA 2X. 3 x x2 8x 3 3 Bảng biến thiên: 2 Smax 6 m
10. Câu 13:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích 961m 2, người ta muốn mở rộng thêm 4 phần đất sao cho tạo thành hình tròn ngoại tiếp mảnh vườn. Biết tâm hình tròn trùng với tâm hình chữ nhật. Tính diện tích nhỏ nhất của 4 phần đất được mở rộng. A. 961 961 m2 B. 1922 961 m2 C. 1892 961 m2 D. 480,5 961 m2 Đáp án D. Gọi x, y (m) lần lượt là hai kích thước của mảnh vườn x 0, y 0 x2 y2 R m là bán kính đường tròn ngoại tiếp mảnh vườn R2 OB2 4 4 Theo đề bài xy 961m2 Diện tích 4 phần đất mở rộng là: 2 2 2 x y 2xy S Stron SABCD R xy . xy . xy 480,5 961 4 4 Câu 14:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Anh Đông bắt đầu đi làm vào ngày 1/1/2018 ở một công ty với mức lương khởi điểm là m đồng/tháng, sau 2 năm lại được tăng thêm 10% và chi tiêu hàng tháng của anh Đông là 40% lương. Anh Đông dự định mua một căn nhà có giá trị tại thời điểm 1/1/2018 là 1 tỷ đồng, sau 2 năm giá trị căn nhà tăng thêm 5%. Với m bằng bao nhiêu thì sau đúng 10 năm anh Đông mua được ngôi nhà đó, biết rằng mức lương và mức tăng giá trị ngôi nhà là không đổi (kết quả quy tròn đến hàng đơn vị). A. 21.776.219 đồngB. 55.032.669 đồngC. 14.517.479 đồngD. 11.487.188 đồng Đáp án C. Số tiền anh Đông tiết kiệm được sau 10 năm là: 4 4 i i S1 A 1 0,1 0,6.24.m 1,1 i 0 i 0 9 5 Giá ngôi nhà đó sau 10 năm là: S2 10 1 0,05 4 Theo bài ra: 0,6.24.m1,1i 109. 1,05 5 m 14.517.479 đồng i 0 Câu 15:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Người ta thay nước mới cho một bể bơi có dạng hình hộp chữ nhật có độ sâu là 280cm. Giả sử h t là chiều cao tính bằng cm của mực nước bơm tại thời điểm t giây, biết rằng tốc độ tăng chiều cao mực nước tại giây thứ t là
11. 1 3 h' t 3 t 3 và lúc đầu hồ bơi không có nước. Hỏi sau bao lâu thì nước bơm được 500 4 độ sâu của hồ bơi? A. 3 giờ 34 giâyB. 2 giờ 34 giâyC. 3 giờ 38 giâyD. 2 giờ 38 giây Đáp án B. 3 4 Ta có h t h' t dt t 3 3 C 2000 Lúc ban đầu t 0 hồ bơi không có nước tức là: 7 3 4 33 h t 0 0 3 3 C 0 C 2000 2000 7 3 4 33 Mực nước bơm tại thời điểm t là: h t t 3 3 2000 2000 7 3 3 4 33 Theo giả thiết h t .280 t 3 3 210 4 2000 2000 4 t 3 3 140004,33 t 7234 s t 2 giờ 34 giây. Câu 16:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Một nhóm bạn đi du lịch dựng lều bằng cách gập đôi chiếc bạt hình vuông cạnh là 6 m (hình vẽ), sau đó dùng hai chiếc gậy có chiều dài bằng nhau chống theo phương thẳng đứng vào hai mép gấp để không gian trong lều là lớn nhất thì chiều dài của chiếc gậy là: 3 3 A. m 2 3 2 B. m 2 3 C. m 2 D. 1 m Đáp án B. Không gian lều là một khối lăng trụ đứng có chiều cao là 6 m, đáy là tam giác cân có cạnh bên là 3 m và góc ở đỉnh là 0;180 . 1 1 Khi đó thể tích của khối lăng trụ là: V . .3.3.sin .6 9sin m3 3 2
12. Vmax sin max 90 3 2 Gọi chiều cao gậy là h h (m) 2 Câu 17:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Một cửa hàng kinh doanh, ban đầu bán mặt hàng A với giá 100 (nghìn đồng). Sau đó cửa hàng tăng giá mặt hàng A lên 10%. Nhưng sau một thời gian cửa hàng đó lại tăng tiếp 10% nữa. Hỏi mặt hàng A sau hai lần tăng giá có giá là bao nhiêu? A. 120 (nghìn đồng).B. 121 (nghìn đồng).C. 122 (nghìn đồng).D. 200 (nghìn đồng). Đáp án B.