13 Bài toán thực tế môn Toán Lớp 12 - Nguyễn Thanh Tùng

Nội dung text: 13 Bài toán thực tế môn Toán Lớp 12 - Nguyễn Thanh Tùng

1. Câu 1(GV Nguyễn Thanh Tùng 2018)Thầy Tùng có một mảnh vườn hình Elip có độ dài trục lớn là 10m và độ dài trục nhỏ là 8m. Giữa vườn là một cái giếng hình tròn có bán kính 0,5m và nhận trục lớn và trục bé của Elip làm trục đối xứng (như hình vẽ). Thầy muốn trồng hoa hồng đỏ trên phần đất còn lại (xung quanh giếng) để dự kiến có thể thu hoạch vào ngày 14/02 và ngày 08/03. Biết kinh phí trồng hoa là 120.000 đồng/1 m2. Hỏi Thầy Tùng cần bao nhiêu tiền để trồng hoa trên dải đất đó? (Số tiền được làm tròn đền hàng nghìn). A. 7.325.000 đồng.B. 7.446.000 đồng.C. 7.125.000 đồng.D. 7.545.000 đồng. Đáp án B. x2 y2 + Lập công thức tổng quát tính diện tích elip có phương trình 1 a 2 b2 Do elip có tính đối xứng nên ta chỉ cần tính diện tích phần S1 nằm trong góc phần tư thứ nhất. x2 y2 b a b 1 y a 2 x2 S a 2 x2 dx 2 2 1 a b a 0 a 0 2 x 0 t b 2 2 2 2 x a cost 2 S1 a a cos t. a sin t dt ab sin tdt a x a t 0 0 2 2 1 1 t sin 2t 2 S 4S 4ab cos 2t dt 4ab ab. 1 0 2 2 2 4 0 + Áp dụng: Diện tích trồng hoa là: 10 8 2 2 S Selip Stron . . . 0,5 19,75 m 2 2 Số tiền cần để trồng hoa là: 19,75 .120000 7446000 đồng.
2. Câu 2 (GV Nguyễn Thanh Tùng 2018)Hộp kẹo Coffe Cappuchino có hình dạng là một vật thể tròn xoay như hình vẽ bên. Biết bán kính cổ hộp và đáy hộp bằng nhau và bằng 4cm, bán kính thân hộp bằng 5,5cm và AB 1.8cm , BC 2.2cm , CD 13cm ,DE 1,2cm . Hỏi hộp chứa được tối đa bao nhiêu cái kẹo với thể tích của mỗi cái kẹo là 1,6 cm3 . (Giả thiết rằng độ dày vỏ hộp không đáng kể). A. 310.B. 311.C. 312.D. 313. Đáp án C. + Công thức tính thể tích hình nón cụt: 1 2 2 V r1 r2 r1r2 h 3 Vhộp = Vtrụ 1 + Vnón cụt 1 + Vtrụ 2 + Vnón cụt 2 1 1 2497 .42.1,8 42 5,52 4.5,5 .2,2 .5,52.13 42 5,52 4.5,5 .1,2 cm3 3 3 5 2497 Số chiếc kẹo chứa được tối đa trong hộp là: 5 312 (chiếc) 1,6 Câu 3 (GV Nguyễn Thanh Tùng 2018). Quan sát một đám bèo trên mặt hồ thì thấy cứ sau một ngày, diện tích của đám bèo lớn gấp 10 lần diện tích đám bèo trước đó và sau 10 ngày đám bèo ấy phủ kín mặt hồ. Sau khoảng thời gian x (ngày) thì đám bèo ấy phủ kín một phần ba mặt hồ. Khi đó x bằng bao nhiêu? 10 10 1010 A. x . B. C. D. x . x . x 10 log3. 3 log3 3 Đáp án D n 1 Giả sử diện tích bèo ban đầu là u1 . Diện tích bèo tháng thứ n là un u1.10 9 Sau 10 ngày bèo phủ khắp mặt hồ. Diện tích bèo khi đó là u10 u1.10 .
3. 1 Giải sử sau x ngày thì bèo phủ kín mặt hồ. Ta có 3 1 1 1 1 u .10x 1 u .109 10x 10 x 10 log x 10 log 10 log3 1 3 1 3 3 3 Câu 4 (GV Nguyễn Thanh Tùng 2018)Người ta cần xây một hồ nước với dạng khối hình 500 hộp chữ nhật không nắp có thể tích bằng m 3. Đáy hồ là hình chữ nhật có chiều dài gấp 3 đôi chiều rộng. Giá thuê nhân công để xây hồ là 500.000 đồng/m2. Người ta đã thiết kế hồ với kích thước hợp lí để chi phí bỏ ra thuê nhân công là ít nhất. Chi phí đó là? A. 74 triệu đồng.B. 75 triệu đồng.C. 76 triệu đồng.D. 77 triệu đồng. Đáp án B Giả sử đáy hồ có chiều rộng là x m thì chiều dài đáy hồ là 2x m . Khi đó chiều cao của V 250 hồ là m . 2x2 3x2 Tổng diện tích cần xây dựng là diện tích xung quanh hồ và diện tích đáy hồ. Diện tích đó là 2 250 250 2 500 2 S x 2x 2x. 2 2.2x. 2 2x m . 3x 3x x Để tiền thuê nhân công là ít nhất thì diện tích cần xây dựng phải nhỏ nhất. 250 250 250 250 Ta có S x 2x2 33 2x2. . 150 x x x x Do đó chi phí nhỏ nhất là 150.500000 75000000 . Câu 5 (GV Nguyễn Thanh Tùng 2018)Khi sản xuất vỏ lon sữa bò hình trụ, các nhà thiết kết luôn đặt mục tiêu sao cho chi phí nguyên liệu làm vỏ lon là ít tốn kém nhất (tức là diện tích toàn phần của hình trụ là nhỏ nhất). Muốn thể tích của vỏ lon đó bằng 2 và diện tích toàn phần của vỏ lon nhỏ nhất thì bán kính đáy gần số nào nhất? A. 0,5 . B. .C. .D. 0,6 . 0,7 0,8 Đáp án B V 2 Gọi bán kính đáy là r h . r 2 r 2 2 2 4 Diện tích toàn phần của vỏ lon là Stp 2 r r h 2 r r 2 2 r . r r
4. 4 2 2 2 2 Ta có 2 r 2 2 r 2 33 2 r 2. . 6 3 . r r r r r 2 1 1 Dấu " " xảy ra 2 r 2 r3 r 3 0.68 . r Câu 6. (GV Nguyễn Thanh Tùng 2018) Một cái trống trường có bán kính hai đáy đều bằng 25cm , thiết diện vuông góc với trục và cách đều hai đáy có chu vi là 70 (cm) . Chiều cao của trống bằng 80cm . Biết rằng mặt phẳng chứa trục cắt mặt xung quanh của trống là các parabol (như hình vẽ). Hỏi thể tích của trống? A. 254259,6cm3 . B. 127129,8cm3 . C. 80933,3cm3 . D. 253333,3cm3 . Đáp án A Ta có C 2 r 70 r 35 . Đặt hệ trục tọa độ có gốc O là tâm của trống, trục Ox là trục dọc cái trống và trục Oy là trục ngang cái trống I AB -40 O 40 X Ta có A 40;25 , B 40;25 và I 0;35 .
5. 1 Do đó phương trình của Parabol là y x2 35 . 160 40 2 1 2 3 Vậy thể tích của cái trống là V x 35 dx 254259,6 cm . 40 160 Câu 7 (GV Nguyễn Thanh Tùng 2018). Trên một hình tròn là đáy chung, ta dựng hai hình nón (hình nón này chứa hình nón kia – như hình vẽ), sao cho hai đỉnh cách nhau bằng a . Góc ở đỉnh hình nón lớn là 2 và của hình nón nhỏ là 2 . Khi đó thể tích phần ở ngoài hình nón nhỏ và ở trong hình nón to là bao nhiêu? a3 a3 A. .B. .C. cot cot  2 3 tan tan  2 a3 a3 .D. . tan tan  2 3 cot cot  2 Đáp án D r Gọi bán kính đáy là r . Chiều cao của hình nón nhỏ là h . 1 tan  r Chiều cao của hình nón lớn là h . 2 tan r r a.tan tan  Theo giả thiết a h h r 2 1 tan tan  tan  tan 3 2 2 3 1 2 1 a tan tan  a Thể tích cần tính là V r h2 h1 3 3 tan  tan 2 3 cot cot  2 Câu 8 (GV Nguyễn Thanh Tùng 2018). Một vật chuyển động trong 5 giờ với vận tốc v (km/h) phụ thuộc vào thời gian t(h) có đồ thị của vận tốc như hình bên. Trong khoảng thời gian 3 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị đó là một phần của parabol có đỉnh I(2;8) và trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian còn lại đồ thị là những đoạn thẳng (như hình vẽ). Tính quãng đường s mà vật di chuyển được trong 5 giờ đó. A. 25kmB. 41kmC. 33kmD. 26km Đáp án C
6. Kiến thức: 1 vật chuyển động với vận tốc phụ thuộc vào thời gian v(t)=f(t) thì quãng đường t2 mà vật đi được trong khoảng thời gian từ t1 đến t2 là S f (t)dt t1 Ý tưởng: Viết 3 phương trình của 3 đường cong là xong Ta có: 3 3 Đoạn 1: Đi từ 0h đến 3h => S v (t)dt ( 2t 2 8t)dt 1 1 0 0 4 4 Đoạn 2: Đi từ 3h đến 4h => S v (t)dt 2tdt 2 2 3 3 Đoạn 3: Đi từ 4h đến 5h => S3 8(chuyển động thẳng đều) => S S1 S2 S3 33 Câu 9 (GV Nguyễn Thanh Tùng 2018)Hãng pha lê nổi tiếng Swarovski của Áo dự định thiết kế một viên pha lê hình cầu và đặt vào bên trong nó 7 viên ruby hình cầu nhỏ hơn, trong đó viên ruby ở chính giữa có tâm trùng với tâm của viên pha lê và tiếp xúc với 6 viên ruby còn lại, 6 viên ruby còn lại có kích thước bằng nhau và nằm ở các vị trí đối xứng nhau (qua tâm của viên pha lê) và tiếp xúc với viên pha lê (như hình vẽ). Biết viên pha lê có đường kính 10 cm và hãng này muốn thiết kế sao cho tổng thể tích các viên ruby bên trong là nhỏ nhất để tiết kiệm được lượng ruby. Khi đó bán kính của viên ruby ở giữa mà hãng pha lê cần thiết kế gần giá trị nào nhất sau đây? A. 2,2 cm.B. 2,3 cm.C. 2,4 cm.D. 2,5 cm. Đáp án B Gọi bán kính viên ruby ở giữa là R Bán kinh viên ruby ở bên cạnh là r =>2R+4r=10 10 4r R 5 2r 2
7. 4 4 4 4 V (5 2r)3 6. r3 ( 2r3 60r 2 150r 125) f (r) 7ruby 3 3 3 3 5 f (r) 2r3 60r 2 150r 125(0 r ) 2 f '(r) 6r 2 120r 150 0 r 10 5 3(L) 1 r2 10 5 3(TM ) R 5 2(10 5 3) 2,32 Câu 10 (GV Nguyễn Thanh Tùng 2018). Người ta thiết kế mô hình viên đạn bằng cách cho hình phẳng H có kích thước như hình vẽ quay xung quanh trục AB, sau đó tiến hành mạ vàng xung quanh và đáy để được mô hình viên đạn. Biết giá của 1cm2 mạ vàng là 50.000 VNĐ. Khi đó số tiền cần mạ vàng mô hình viên đạn gần số nào nhất sau đây? A. 800.000 VNĐ.B. 900.000 VNĐ. C. 1000.000 VNĐ.D. 1100.000 VNĐ. Đáp án C Khi quay cạnh AC quanh trục AB ta được hình nón có bán kính đáy r 0.8cm và chiều cao h 4.5 2.5 2(cm) l r 2 h2 4.64 cm Diện tích xung quanh hình nón 2 đó là S1 rl .0,8. 4,64 5,41 cm . Khi quay CD quanh trục AB ta được hình trụ có bán kính đáy r 0.8cm và chiều cao h l 2.5 cm Diện tích xung quanh hình trụ đó là 2 S2 2 rl 2 .0,8.2,5 12,56 cm . 2 Do đó diện tích xung quanh viên đạn là S S1 S2 5,41 12,56 17,97 cm . Diện tích cần mạ vàng là 17,97 2 r 23 cm2 Vậy số tiền cần dùng để mạ vàng viên đạn là 23.50000 898500 1150000 VNĐ. Câu 11 (GV Nguyễn Thanh Tùng 2018)Một người gửi tiết kiệm với lãi suất 8,4%/năm và lãi hàng năm được nhập vào vốn. Hỏi sau bao nhiêu năm người đó thu được gấp đôi số tiền ban đầu?
8. A. 8B. 9C. 10D. 11 D. 2 Đáp án B n n Gọi số tiền ban đầu là T. Sau n năm, số tiền thu được là: .Tn T 1 0,084 T. 1,084 n n Khi đó, Tn 2T T. 1,084 2T 1,084 2 n log1,084 2 8,59 . Vì n ¥ nên ta chọn n =9. Câu 12 . (GV Nguyễn Thanh Tùng 2018) Trên cánh đồng cỏ có 2 con bò được cột vào hai cây cộc khác nhau. Biết khoảng cách giữa 2 cọc là 5m , còn hai sợi dây buộc hai con bò lần lượt có chiều dài là 4m và 3m ( không tính phần chiều dài dây buộc bò ). Tính diện tích mặt cỏ lớn nhất mà 2 con bò có thể ăn chung (làm tròn đến hàng phần nghìn). A. B.6, 6C.42 D.m2 6,246m2 4,624m2 4,262m2 Đáp án A Ta giải bằng phương pháp gắn hệ tọa độ Oxy, với gốc tọa độ O chính là chỗ cây cộc buộc con bò có sợi dây dài 3m, trục Ox là đường nối 2 cây cộc buộc dây của 2 con bò, ta được như hình vẽ. Khi đó con bò có sợi dây 3m có thể ăn cỏ trong hình tròn giới hạn bởi đường tròn có bán kính 3m và có phương trình đường tròn tâm O là x2 y2 9 , suy ra y 9 x2 là đường phía trên trục hoành. Ta cũng có phần cỏ của con bò có sợi dây 4m bị hạn chế trong đường tròn có phương trình tâm A, bán kính 4 là (x 5)2 y2 16 , suy ra y 16 (x 5)2 là đường nằm phía trên trục hoành. Giao điểm của 2 đường tròn này là nghiệm của hệ 2 pt đường tròn đó x2 y2 9 x2 y2 9 x 1,8 2 2 (x 5) y 16 10x 18 y 2,4 , suy ra hoành độ điểm B là x 1,8 . Ta chỉ cần tính phần diện tích phía trên trục hoành,
9. phần dưới trục hoành có độ lớn cũng bằng như vậy. Từ B ta vẽ đường nét đứt vuông góc với Ox để chia đôi phần cần tính diện tích phía trên trục hoành, ta có S 2(S1 S2 ,) trong đó 1,8 3 S 16 (x 5)2 dx và S 9 x2 dx . 1 1 1 1,8 2 Bấm máy tính ta được S 2(S1 S2 ) 6,642m . Câu 13 (GV Nguyễn Thanh Tùng 2018)Một tấm bìa hình chữ nhật có chiều dài 40cm và chiều rộng 10cm được cắt thành hai phần. Một phần được uốn thành hình hộp chữ nhật có hai đáy là hình vuông cạnh a, phần còn lại được uốn thành hình trụ có hai đáy là hình tròn bán kính r (không tính hai đáy của hình hộp chữ nhật và hình trụ) như hình vẽ sao cho tổng thể tích của hình hộp chữ nhật và hình trụ là nhỏ nhất. Khi đó tổng a r gần giá trị nào nhất trong các giá trị sau? A. 8,3cm. B. 8,4cm. C. D.8,5 cm. 8,6cm. Đáp án B. 20 2a 4a 2 r 40 r 0 a 10 2 2 2 2 20 2a 4 2 80 400 V Vhop Vtru 10a 10 r 10a 10 10 1 a a 10f a 8 80 40 BBT 40 60 f ' a 2 a 0 a  f a a a r 8,4. 4 min 4 4