Giáo án môn Toán Lớp 12 - Chuyên đề: Nguyên hàm-Tích Phân-Ứng dụng

Nội dung text: Giáo án môn Toán Lớp 12 - Chuyên đề: Nguyên hàm-Tích Phân-Ứng dụng

1. CHUYÊN ĐỀ 3 NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG CHỦ ĐỀ 1: NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN A. KIẾN THỨC CƠ BẢN: 1. Nguyên hàm + Định nghĩa : f (x)dx F(x) C F '(x) f (x) + Tính chất : 1/ f '(x)dx f (x) C 2/ kf (x)dx k f (x)dx 3/ [f (x) g(x)]dx f (x)dx g(x)dx + Bảng nguyên hàm dx x C a x a xdx C(a 0,a 1) ln a x 1 1 x dx C dx t anx C 1 cos2 x dx 1 ln x C dx cot x C x sin2 x exdx ex C 0dx C cosxdx sinx C sinxdx cosx C 2. Tích phân: b + Định nghĩa : f (x)dx F(x) b F(b) F(a) a a + Tính chất : a b b b 1/ f (x)dx 0 ; 4/ [ f (x) g(x)]dx f (x)dx g(x)dx a a a a b a b c b 2/ kf (x)dx f (x)dx 5/ f (x)dx f (x)dx f (x)dx ( a < c < b ) a b a a c b b 3/ kf (x)dx k f (x)dx a a 3. Các phương pháp tìm nguyên hàm, tính tích phân. Dạng 1 : Tìm nguyên hàm, tính tích phân bằng định nghĩa. Dạng 2 : Xác định nguyên hàm, tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số. Dạng 3 : Xác định nguyên hàm, tính tích phân bằng phương pháp nguyên hàm từng phần. B. KỸ NĂNG CƠ BẢN + Áp dụng ĐN, tính chất, bảng nguyên hàm để tìm nguyên hàm, tính tích phân .
2. + Áp dụng phương pháp đổi biến số, phương pháp từng phần để tính tích phân + Sử dụng máy tính cầm tay để giải bài tập về nguyên hàm, tích phân C. BÀI TẬP Dạng 1: Áp dụng ĐN, tính chất, bảng nguyên hàm để tìm nguyên hàm, tính tích phân Bài 1.Tìm nguyên hàm của các hàm số. (x 2 1) 2 1 x 3 1 a. f(x) = => f(x) = x2 2 ĐS. F(x) = 2x C x 2 x2 3 x 3 4 5 1 1 1 2x 2 3x 3 4x 4 b. f(x) =x 3 x 4 x => f(x) = x 2 x3 x 4 ĐS. F(x) = C 3 4 5 1 1 1 2 c. f(x) = => f(x) = x 2 2x 3 ĐS. F(x) = 2 x 33 x 2 C x 3 x 2 1 ( x 1) 1 d. f(x) = => f(x) = 1 2x 2 ĐS. F(x) = x 4 x ln x C x x 1 x 1 5 2 e. f(x) = => f(x) = x 1 .x 3 ĐS. F(x) = x 3 x 3 C 3 x x g. f(x) = 2sin 2 => f(x) = 1 - cosx ĐS. F(x) = x – sinx + C 2 1 h. f(x) = tan2x => f(x) = 1 ĐS. F(x) = tanx – x + C cos2 x 1 i. f(x) = e2x 1 ĐS. F(x) = e2x x C 2 Bài 2. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau : x5 a) x4 3x2 2x 1 dx x4dx 3 x2dx 2 xdx dx x3 x2 x C 5 3 2 2 x x b) x 1 (x 2)dx = x x 2 dx = 2x C 3 2 1 1 1 x 2 c)dx ( )dx ln x 2 ln x 1 C = ln C x2 3x 2 x 2 x 1 x 1 1 x 2 x d) 2 2x e dx = tanx x e C cos x 1 e) cos3x 5sinx dx cos3xdx 5 sinxdx = sin3x + 5cosx + C 3 2 x 1 cosx 1 1 x sinx g)sin dx = .dx = cosx dx = C 2 2 2 2 2 2 Bài 3. Tìm hàm số f(x) biết: a) f’(x) = 2x + 1 và f(1) = 5 Ta có f (x) 2x 1 dx x2 x C ; Vì f(1) = 5 nên C = 3; Vậy : f(x) = x2 + x + 3
3. x3 b) f’(x) = 2 – x2 và f(2) = 7/3; Ta có: f(x) = 2 x2 dx 2x C 3 x 3 Vì f(2) = 7/3 nên C = 1; Vậy: f(x) = 2x 1 3 Bài 4. Tính các tích phân sau 1 1 1 1 4 3 x 3 a)(x 1)dx = (x3 1)dx x3dx dx ( x) 1 0 0 0 0 0 4 4 2 2 2 2 x 4x x 2 1 11 b) dx x 4 dx 4x = 2 8 4 1 x 1 2 1 2 2 1 1 c) (ex 2)dx = ex 2x e 2 1 e 1 0 0 Bài 5. Tính các tích phân sau: 2 2 (cosx 3sinx)dx (cosx 3sinx)dx sinx + 3cosx 2 2 a) = 0 0 0 2 1 3 b) (3 cos2x).dx = 3x sin x 2 2 2 0 0 2 2 2 1 c) 2cos x sin 2x dx 2 cos xdx sin2xdx = 2sin x 2 cos2x 2 = 1 2 0 0 0 0 0 2 1 2 1 2 2 d) sin3x cos xdx sin4x sin2xdx sin4xdx sin2xdx 0 2 0 2 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 cos4x cos2x = cos2 cos cos0 cos0 2 4 2 2 4 2 4 2 1 1 1 1 1 1 = 2 4 2 4 2 2 Bài 6. Tính các tích phân sau: 2 1 2 3 3 2 2 2 x 1 x 2 1 8 1 a) x 1dx x 1 dx x 1 dx x x = 1 2 1 2 0 0 1 3 0 3 1 3 3 3 0 3 0 3 1 3 b) sin xdx sin xdx sin xdx cos x cos x 3 = 1 1 2 2 0 0 2 2 2 2 2 4 2 2 c) cos x sin x dx cos x sin xdx = cos x sin x dx sin x cos x dx 0 0 0 4
4. 2 = sin x cos x 4 cos x sin x 2 2 2 0 4 D. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN Câu 1. Tìm nguyên hàm 4x2dx . 3 3 4 4 A. x2 C B. x3 C C. x2 C D. x3 C . 4 4 3 3 Câu 2. Nguyên hàm 5(x2 2x 3)dx bằng A. 5x3 10x2 15x. B. 5x3 10x2 15x C. 5 5 C. x3 5x2 15x C D. x3 10x2 15x C . 3 3 Câu 3. Nguyên hàm 5(3x2 1)2 dx bằng A. 9x5 10x3 5x C B. 9x5 10x3 5x C C. 15x5 10x3 5x C D. 15x5 10x3 5x C . Câu 4. Nguyên hàm (cos x sin x)dx bằng A. sinx + cosx + CB. sinx – cosx + C C. –sinx + cosx + C D. –sinx – cosx + C. 4 Câu 5. Nguyên hàm (x2 2x )dx bằng x x3 x3 A. x2 4 ln | x | C B. x2 4 ln x C 3 3 x3 x3 C. x2 4 ln | x | C D. x2 4 ln x C . 3 3 x2 2x3 x2 1 Câu 5. Nguyên hàm bằng dx x2 x3 1 x3 3 A. x2 x C B. x2 2x C 3 x 3 x 2x3 2 x3 1 C. x2 x C D. 3x2 x C . 3 x 3 x Câu 6. Nguyên hàm x 3 x 5 x4 dx bằng 3 3 4 4 9 9 3 3 3 3 9 9 A. x 2 x 3 x 5 C B. x 2 x 4 x 5 C 2 3 5 2 4 5 2 3 3 4 5 9 2 2 3 3 5 5 C. x 2 x 3 x 5 C D. x 3 x 4 x 9 C . 3 4 9 3 4 9 (x2 1)2 Câu 7. Nguyên hàm dx bằng x2 2x3 2 x3 3 A. 3x C B. 3x C 3 x 3 x
5. 2x3 3 x3 1 C. 2x C D. 2x C . 3 x 3 x Câu 8. Nguyên hàm Abằng 2x.32x dx 12x 14x 16x 18x A. C B. C C. C D. C . ln12 ln14 ln16 ln18 Câu 9. Nguyên hàm cot2 x dx bằng A. tanx + x + C B. –tanx + x + C C. –cotx – x + C D. cotx + x + C. Câu 10. Nguyên hàm tan2 x dx bằng A. cotx – x + C B. cotx + x + C C. tanx – x + C D. tanx + x + C x Câu 11. Nguyên hàm bằng3sin2 dx 2 3 3 3 x A. (x sin x) C B. x sin x C C. x sin x C D. sin3 C 2 2 2 2 5 dx Câu 12. Giả sử lnc . Giá trị của c là 1 2x 1 A. 3B. 4C. 9D. 16. 2 Câu 13. Tích phân (x2 2x 3)dx bằng 1 4 5 7 8 A. B. C. D. . 3 3 3 3 6 Câu 14. Tích phân x 2 dx bằng 2 14 16 17 18 A. B. C. D. . 3 3 3 3 1 dx Câu 15. Tích phân bằng 0 (1 x)3 3 5 7 9 A. B. C. D. . 8 8 8 8 1 x Câu 16. Tích phân dx bằng 0 x 1 A. ln2 B. ln3 C. 1 – ln2 D. 1 – ln3. 1 2x 9 Câu 17. Tích phân dx bằng 0 x 3 A. ln2 – ln3B. ln3 – ln2C. 6ln3 – 3ln2D. 3 + 6ln2 – 3ln3. 1 x Câu 18. Tích phân dx bằng 0 4 x2 4 3 3 3 A. ln B. ln C. ln D. ln . 3 5 4 5 Câu 19. Tích phân 2 cosx dx bằng 0 A. 0B. 1C. D. 2 Câu 20. Tích phân cos x dx bằng 0
6. A. 0B. 1C. D. 2 2 Câu 21: Giả sử I sin 3xsin 2xdx (a b) , Khi đó giá trị a+b là: 0 2 3 2 1 A. B. C. D. 5 10 5 5 Câu 22. Tính cos2xdx . 1 sin 2x 1 A. x C. B. 2x sin 2x C. 4 2 4 1 1 1 C. x sin 2x C. D. (x sin 2x) C. 2 2 2 ln x Câu 23. Tínhdx . x x2 1 x2 A. ln ln x C. B. ln x 1 C. C. ln2 x C. D. ln C. 2 2 2 Câu 24. Giá trị m để hàm số F(x) =mx3 +(3m+2)x2-4x+3 là một nguyên hàm của hàm số f (x) 3x2 10x 4 là: A. m = 3. B. m = 0. C. m = 1. D. m = 2. dx a Câu 25. Nếu C thì b a bằng: x4 bx3 A. 2. B. -2. C. 1 . D. -1.
7. BUỔI 2 DẠNG 2. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ A. KIẾN THỨC CƠ BẢN: 1. Nguyên hàm Tính I = f [u(x)].u'(x)dx bằng cách đặt t = u(x) Đặt t = u(x) dt u'(x)dx I = f [u(x)].u'(x)dx f (t)dt b 2. Tính tích phân f[ (x)] '(x)dx bằng phương pháp đổi biến. a Bước 1: Đặt t = (x) dt = '(x). dx Bước 2: Đổi cận: x = a t = (a) ; x = b t = (b) Bước 3: Viết tích phân đã cho theo biến mới, cận mới rồi tính tích phân tìm được . B. KỸ NĂNG CƠ BẢN + Biết cách đặt ẩn phụ + Biết biểu diễn nguyên hàm theo ẩn phụ, đổi cận đối với tích phân. + Biết sử dụng tính chất, công thức vào giải toán. C. BÀI TẬP 1. NGUYÊN HÀM Bài 1. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: 1 a) x 2 1.xdx Đặt u x2 1 du 2xdx xdx du 2 3 1 1 3 2 1 1 1 2 u 1 3 => x 2 1.xdx = u 2 . du u 2 du u 2 . C = x2 1 C 2 2 2 3 3 3 3 4 2 1 b) x 5 x dx Đặt u x3 5 du 3x2dx x2dx du 3 5 4 5 5 3 3 2 1 4 1 4 1 u u x 5 => x 5 x dx = u du u du . C C = C 3 3 3 5 15 15 x 1 c)dx Đặt u x2 5 du 2xdx xdx du x 2 5 2 x 1 1 1 1 2 =>2 dx = . du ln u C ln x 5 C x 5 2 u 2 2 dx d) Đặt u = 2x-1=>du = 2dx 2x 1 1 1 1 1 1 =>dx = u 2 du .2u 2 C u 2 C u C 2x 1 C 2x 1 2 2 x2 2x 3 du e) x 1 e dx ; Đặt u x2 2x 3 du 2(x 1)dx x 1 dx 2
8. x2 2x 3 1 u 1 u 1 x2 2x 3 => x 1 e dx = .e du e C e C 2 2 2 Bài 4. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: sin x a)dx Đặt u cos x du sin xdx cos5 x sin x du u 4 1 1 =>dx = u 5du C C C cos5 x u5 4 4u4 4cos4 x cos x b)cot xdx dx Đặt u = sinx => du = cosxdx sin x cos x 1 =>cot xdx dx = du ln u C ln sin x C sin x u 2 sin x sin x c)dx dx sin x.cos 3 xdx Đặt u cos x du sin xdx 3 2 2 cos x cos 3 x 2 1 sin x => dx u 3 du 3u 3 C 33 cos x C 3 2 cos x 2 d) 1 cot2 2x ecot 2xdx Đặt u cot 2x du dx du 2(1 cot2 2x)dx sin2 2x 1 1 =>1 cot2 2x ecot 2xdx = eu du ecot 2x C 2 2 2. TÍCH PHÂN Bài 1. Tính các tích phân sau : 1 a) A x 1 x2 dx 0 Đặt t 1 x2 dt 2xdx ; Đổi cận: Khi x = 0=> t = 1; Khi x = 1=> t = 2 2 1 1 2 1 1 2 3 2 1 2 1 => A t dt t 2 dt . t 2 t t 2 2 1 1 2 2 1 2 3 1 3 1 3 1 5 b) B x3 x4 1 dx 0 Đặt t x4 1 dt 4x3dx ; Đổi cận: Khi x = 0 => t = -1; x = 1 => t = 0 0 1 1 t 6 0 1 0 1 => B t 5dt . t 6 1 4 4 6 1 24 1 24 2 exdx c)C ; x 1 e 1 Đặt t ex 1 dt exdx Đổi cận: Khi x = 1=> t = e – 1;Khi x = 2=> t = e2 1 2 e 1 dt e2 1 e2 1 =>C ln t ln e2 1 ln e 1 = ln ln e 1 e 1 t e 1 e 1
9. 2 dt d) D = 4 x2 xdx Đặt t 4 x2 dt 2xdx xdx 0 2 Khi x = 0=> t = 4 ; x = 2 => t = 0 0 1 1 4 1 1 2 3 4 1 4 1 8 => D tdt t 2 dt t 2 t t 4.2 0 4 2 2 0 2 3 0 3 0 3 3 4 e x 1 dx e) E dx Đặt t x dt dx 2dt 1 x 2 x x 2 2 Khi x = 1=> t = 1 ; x = 4 => t = 2 ; => E 2.et dt 2et 2 e2 e 1 1 2 sin2x f)F dx Đặt t sin2 x dt 2sin x cos xdx sin2xdx 2 0 1 sin x Khi x 0 sin2 0 0 t 0; x sin2 1 t 1 2 2 1 dt 1 => F ln 1 t ln 2 ln1 ln 2 0 1 t 0 ln 2 x 2 x g) G = e 1 .e dx ( Đề thi TN năm 2011-2012) 0 x x Đặt t e 1 dt e dx ; Đổi cận : Khi x = 0 => t = 0 ; x ln 2 t 1 1 t 3 1 => G = t 2 dt 1 0 0 3 3 D. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN Câu 1. Nguyên hàm (5x 3)5 dx bằng x6 x5 x4 x3 A. C B. C C. C D. C . 30 25 24 20 Câu 2. Nguyên hàm sin4 x.cosx dx bằng cos5 x sin5 x A. C B. C C. cos5 x C D. sin 5x + C. 5 5 ex Câu 3. Nguyên hàm dx bằng ex 1 ln x A. lnex + C B. + C C. ln(ex – 1) D. ln(ex + 1). ln ex x3 Câu 4. Nguyên hàm dx bằng (6x4 5)5
10. 6 2 A. C B. C 85(6x4 5)4 55(6x4 5)4 1 1 C. C D. C . 96(6x4 5)4 75(6x4 5)4 Câu 5. Nguyên hàm 2 cos x 1.sin xdx bằng 1 1 A. (2 cos x 1)3 C B. (3cos x 2)3 C 3 3 1 1 C. (2 cos x 1)3 C D. (3cos x 2)3 C . 3 3 cos x Câu 6. Nguyên hàm dx bằng sin2 x 1 1 1 1 A. C B. C C. C D. C . cos x sin x sin x cos x sinx Câu 7. Nguyên hàm dx bằng cos2 x 1 1 1 1 A. C B. C C. C D. C . cos x sin x sin x cos x Câu 8. Nguyên hàm (tan x tan3 x)dx bằng 1 1 A. tan2 x C B. tan2 x C C. tan3 x C D. tan3 x C . 2 3 Câu 9. Nguyên hàm [x(3 x4 )]3dx bằng 3 x4 x4 3 (3 x4 )4 (3 x4 )4 A. C B. C C. C D. C . 16 16 16 16 1 Câu 10. Nguyên hàm e x dx bằng x A. e x C B. e x C C. 2e x C D. 3e x C . 1 Câu 11. Nguyên hàm ln xdx bằng x 1 1 1 A. ln2 x C B. ln x2 C C. ln2 x2 C D. ln x2 C . 2 2 2 2 Câu 12 . Tích phân x2 x3 1.dx bằng 0 43 47 52 57 A. B. C. D. . 7 8 9 10 0 Câu13. Tính tích phân x 3 x 1.dx. 1
11. 9 7 5 9 A. B. C. D. . 28 15 12 17 1 Câu 14. Tính tích phân (x 1)(x2 2x 2) x2 2x 2 dx. 0 5 5 4 3 25 5 3 2 25 5 4 2 5 5 3 2 A. B. C. D. . 5 5 5 5 1 Câu 15. Tính tích phân x3 x2 4 dx. 0 5 5 64 5 5 64 5 5 64 A. B. C. D. . 3 15 3 15 3 15 3 2 x3 2x Câu 16. Tính tích phân dx. 2 0 1 x 21 21 19 19 A. B. C. D. . 25 23 24 22 2 2 4 x Câu 17. Tính tích phân dx. 1 x A. 3 2 ln 2 3 B. 3 2 ln 2 3 C. 3 2 ln 2 3 D. 3 2 ln 2 3 2 3 dx Câu 18. Tính tích phân . 2 5 x x 4 1 5 1 3 3 5 A. ln B. ln C. 4 ln D. 4 ln 4 3 4 5 5 3 2 Câu 19. Tính tích phân x2 4 x2 dx. 2 15 21 A. 0 B. C. D. 2 19 28 1 ex Câu 20. Tích phân dx bằng x x 0 e e e e2 1 e e2 1 e e 1 e e 1 A. ln B.ln C. ln D. ln 1 2 1 2 1 2 1 2 2 Câu 21. Cho 2x x2 1dx và u x2 1 . Chọn khẳng định sai? 1 3 2 3 2 2 3 A. I udu B. I udu C. I 27 D. I u 2 3 3 1 0 0
12. a 1 Câu 22: Biết sin x cos xdx . Tìm giá trị của a. o 4 2 A. B. C. D. 2 3 4 3 3 1 Câu 23. Biết dx a ln 2 bln 3 .Tìm giá trị S a b . 2 2 x x A. S 2. B. S 0. C. S 2. D. S 1. 2017 2017 2017 Câu 24. Cho ò f (x)dx = 2, ò g(x)dx = - 5. Tìm J = ò [2 f (x) + g(x)]dx . 1 1 1 A. J = - 1. B. J = 1. C. J = 0. D. J = 2. 2 x 1 Câu 25. Giả sử dx a ln 5 bln 3 , với a, b Q . Khi đó a – b bằng: 0 x2 4x 3 A. 5. B. - 1. C. - 5. D. 1.
13. BUỔI 3 DẠNG 3. PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN A. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Nguyên hàm Nếu u(x), v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên I u(x).v'(x)dx u(x).v(x) v(x).u'(x)dx Hay udv uv vdu ( với du = u’(x)dx, dv = v’(x)dx) b b b 2. Tính tích phân từng phần : u(x)v'(x)dx u(x)v(x) v(x)u '(x)dx a a a B. KỸ NĂNG CƠ BẢN + Phân dạng u f (x) du f '(x)dx  sin ax sin ax sin ax Dạng 1: f (x) cosax dx Đặt dv cos ax dx v cosax dx ax e ax ax e e  dx u ln(ax) du Dạng 2: f (x)ln(ax)dx Đặt x dv f (x)dx v f (x)dx  x ax sin ax u e Dạng 3: e . dx đặt: cosax dv sin axdx C. BÀI TẬP 1.NGUYÊN HÀM Bài 1: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: u x du dx a)x.sin xdx Đặt dv sin xdx v cos x => x.sin xdx = -xcosx + cosxdx = x cos x sin x C u x 1 du dx b) x 1 exdx Đặt x x dv e dx v e x => x 1 exdx = (x-1).e - exdx x 1 ex ex C ex (x 2) C 1 du dx u ln x x c)x ln xdx Đặt dv xdx x2 v 2
14. x2 x2 1 x2 1 x2 x2 =>x ln xdx = ln x . dx ln x xdx ln x C 2 2 x 2 2 2 4 u 1 x du dx d) 1 x cos xdx Đặt dv cos xdx v sin x => 1 x cos xdx = 1 x sin x sinxdx 1 x sin x cos x C Bài 2. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: u 1 2x du 2dx a) 1 2x exdx Đặt x x dv e dx v e => 1 2x exdx = 1 2x ex 2exdx 1 2x ex 2ex C ex 3 2x C 1 du dx u ln x x b)x ln xdx Đặt dv xdx 2 3 v x 2 3 2 3 2 3 dx 2 3 2 1 => x ln xdx = x 2 ln x x 2 . x 2 ln x x 2 dx = = 3 3 x 3 3 2 3 2 2 3 2 3 4 3 x 2 ln x . x 2 C x 2 ln x x 2 C 3 3 3 3 9 u x xdx du dx c)2 dx Đặt 1 sin x dv dx v cotx sin2 x xdx cos x =>dx = -xcotx + dx x cot x ln sin x C sin2 x sin x x u 2x 3 du 2dx d)2x 3 e dx Đặt x x dv e dx v e => 2x 3 e xdx = e x 2x 3 e x .2dx e x 2x 3 2e xdx = e x 2x 3 2e x C e x 2x 1 C 2. TÍCH PHÂN Bài 1. Tính các tích phân sau: 2 u x du dx a/ I= x.cos x.dx Đặt : 0 dv cos x.dx v sin x 2 Vậy : I = x sinx2 - sin x.dx = + cosx2 = -1 0 2 0 2 0
15. 1 e du .dx b/ J= Đặt : u ln x x x.lnx.dx dv x.dx x2 1 v 2 2 e e 2 2 e 2 2 x x 1 e 1 e 1 e e 1 Vậy : J = lnx. - . dx xdx x 2 2 1 1 1 2 x 2 2 1 2 4 4 1 u x du dx x.exdx c) Đặt x x 0 dv e dx v e 1 1 x.exdx x.ex 1 exdx e ex 1 e (e 1) 1 Vậy : 0 0 0 0 Bài 2. Tính các tích phân sau: u x 4 xdx du dx a ) A = 2 Đặt dx cos x dv v tan x 0 cos2 x 4 xdx 4 4 sin x x tan x 4 tan xdx dx 2 = 0 0 cos x 0 4 0 cos x 2 2 = (ln cos x ) 4 ln ln1 ln 0 4 4 2 4 2 1 du dx 2x u x x.e dx b) B = Đặt 2x 1 2x 0 dv e dx v e 2 1 2x 1 1 1 1 1 1 1 1 1 e2 x.e dx x.e2x 1 e2xdx x.e2x 1 e2x 1 e2 e2 = 0 0 0 0 2 2 0 2 4 2 4 4 4 2 2 2 u x du 2xdx c) C = x cos xdx Đặt 0 dv cos xdx v sin x 2 2 2 2 x2 cos xdx x2 sin x 2 2 xsin xdx 2 xsin xdx = 0 0 0 4 0 2 u x du dx * Tính : I = xsinxdx Đặt 0 dv sin xdx v cos x
16. 2 2 xsinxdx x cos x 2 cos xdx x.cos x 2 sin x 2 1 I = = 0 0 0 0 0 2 2 2 Thế I = 1 vào C ta được : x cos xdx = 2 0 4 D. CÂU HỎI TRÁC NGHIỆM KHÁCH QUAN Câu 1. Tìm nguyên hàm x ln xdx . 1 1 1 A. x2 ln x x2 C B. x2 ln x x2 C 2 4 4 1 1 1 C. x2 ln x x2 C D. x2 ln x x2 C . 3 2 2 Câu 2. Nguyên hàm x.2x dx bằng 2x 1 x.2x 1 A. .2x C B. .2x C ln 2 ln2 2 ln 2 ln2 2 2x 1 x.2x 1 C. .2x C D. .2x C . ln 2 ln2 2 ln 2 ln2 2 Câu 3. Nguyên hàm x.ln x dx bằng 2 4 2 4 A. x ln x x x C B. x ln x x x C 3 9 3 9 2 4 2 4 C. x x ln x x x C D. x x ln x x x C . 3 9 3 9 Câu 4. Nguyên hàm x ln(x 2)dx bằng 2 2 2 2 x x 1 x A. x ln(x 2) 2x 4 ln(x 2) C B. ln(x 2) 4 ln(x 2) C 2 2 2 2 x2 1 x2 1 x2 C. ln(x 2) 2x 4 ln(x 2) C D. ln(x 2) 2x ln(x 2) C 2 2 2 2 2 2 Câu 5. Nguyên hàm x.ex 1dx bằng: 1 2 2 2 2 A. ex 1 C B. C.ex D. 1 C 2ex 1 C x2.ex 1 C 2 ln x Câu 6. Nguyên hàm dx bằng: x 3 3 3 2 3 3 A. ln x C B. C.2 ln x C ln x C D. 3 ln x C 2 3 1 Câu 7. Nguyên hàm bằng: dx x.ln5 x
17. ln4 x 4 1 1 A. C B. C. C D. C C 4 ln4 x 4ln4 x 4ln4 x Câu 8. Nguyên hàm x cos xdx bằng: x2 A. B. sin x C xsin x cosx C 2 x2 C. xsin x sinx C D. . cosx C 2 x Câu 9: Nguyên hàm xe 3 dx bằng: x x A. 3 x 3 e 3 C B. x 3 e 3 C 1 x 1 x C. D. x 3 e 3 C x 3 e 3 C 3 3 2 Câu 10. Tìm nguyên hàm x 1 ex 2x 3dx. 2 1 x3 x2 3x x x2 2x 3 A. B. x e C x 1 e3 C 2 1 2 1 2 C. D.e x 2x C ex 2x 3 C 2 2 1 Câu 11. Tích phân xexdx bằng: 0 1 A. e B. e 1 C. 1 D. e 1 . 2 4 Câu 12. Tích phân xcos2xdx bằng: 0 2 1 A. B. C. D.3 . 2 8 4 2 2 3 Câu 13. Tích phân x 1 ln x 1 dx bằng: 0 3 16 7 15 A. 6ln 2 B. 10ln 2 C. D.8ln 2 16ln 2 . 2 5 2 4 1 Câu 14. Tích phân x ln x2 1 dx bằng: 0 1 1 1 A. ln 2 1 B. ln 2 1 C. ln 2 D. ln 2 1 . 2 2 2 e Câu 15. Tính tích phân x2 ln xdx. 1 e2 1 2e3 1 3e3 2 2e2 3 A. B. C. D. . 4 9 8 3 2 Câu 16. Tìm tích phân (2x 1)cos xdx. 0 A. 3 B. 3 C. 2 3 D. 2 3 .
18. 2 Câu 17. Tính tích phân (x 1)sin 2xdx. 0 A. 1 B. 1 C. 2 D. 2 . 4 4 4 4 2 Câu 18. Tính tích phân I (2x 1)sin 3xdx. 3 0 9 9 5 5 A. B. C. D. . 5 5 9 9 4 Câu 19. Tính tích phân x(1 sin 2x)dx. 0 2 1 2 1 2 1 2 1 A. B. C. D. . 32 4 32 4 32 2 32 2 2 Câu 20. Tích phân x2 sinxdx. 0 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 1 Câu 21. Tính tích phân I xexdx. 0 A. I 1. B. C.I D.2. I 3. I 4. 2 x 1 Câu 22. Giả sử dx a ln 5 bln 3 , với a, b Q . Khi đó a – b bằng: 0 x2 4x 3 A. 5. B. - 1. C. - 5. D. 1. 1 Câu 23. Tính tích phân I x.e x dx. 0 2 2 A. 1. B. 1 . C. . D. 2e 1 . e e 2 Câu 24. Tính tích phân I x2 1 ln xdx. 1 2ln 2 6 6ln 2 2 2ln 2 6 6ln 2 2 A. I =. B. I = . C. I = . D. I = . 9 9 9 9 x Câu 25. Tích phân e cos xdx a.e b . Khi đó tổng S = a + b bằng: 0 1 1 A. S . B. S 1. C. S . D. S 1. 2 2
19. BUỔI 4 CHỦ ĐỀ 2. ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN A. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Diện tích hình phẳng + Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số f(x) liên tục, trục hoành, và hai đường b thẳng x = a, x = b được tính theo công thức S f (x) dx (1) a + Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y=f1(x), y = f2(x) liên tục trên [a;b] và các b đường thẳng x = a; x = b là: S = f (x) f (x)dx (2) 1 2 a c c + Chú ý: f (x) f (x) dx [f (x) f (x)]dx 1 2 1 2 a a 2. Thể tích vật thể Cho vật thể (T) giới hạn bởi 2 mp song song ( ), (). Xét hệ tọa độ Oxy sao cho Ox vuông góc với ( ), (). Gọi giao điểm của ( ), () với Ox là a, b (a<b). Một mp( ) vuông góc với Ox tại x và cắt (T) theo một thiết diện có diện tích S(x). b Giả sử S(x) là hàm liên tục trên [a; b]. Khi đó thể tích của (T) là : V = S(x)dx (3) a 3. Thể tích khối tròn xoay quay quanh trục Ox b 2 V f x dx (4) a B. KỸ NĂNG CƠ BẢN +Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi một đường cong, hai đường cong, ba đường cong; +Tính thể tích vật thể tròn xoay; + Giải một số bài toán thực tế. C. BÀI TẬP Bài 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi : a) Đồ thị hàm số y = x3 , trục hoành và hai đường thẳng x = -2, x = 2 Ta có trên [-2;0], x3 0 . Trên [0; 2], x3 0 2 0 2 x4 x4 1 1 S x3 dx x3 dx x3dx 0 2 2 0 = . 16 .16 8 ( ĐVDT) 2 2 0 4 4 4 4 b) Đồ thị hàm số y = x + x -1 , trục hoành , đường thẳng x = 1 và x = 2 2 1 x2 1 3 Ta có: S x dx ln x 2 2 ln 2 ln1 ln 2 1 1 x 2 2 2 c) Đồ thị hàm số y = ex +1 , trục hoành , đường thẳng x = 0 và đường thẳng x = 1
20. 1 S ex 1 dx ex x 1 e 1 1 e Ta có: 0 0 d) Đồ thị hàm số y = x3 - 4x , trục hoành , đường thẳng x = 2 và đường thẳng x = 4 4 x4 S x3 4x dx 2x2 4 36 Ta có: 2 (ĐVDT) 2 4 Bài 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi. 3 2 3 2 a) Đồ thị hàm số y = x - x; y = x - x .Đặt f1(x) = x - x, f2(x) = x - x 3 2 Ta có f1(x) - f2(x) = 0 x + x - 2x = 0 có 3 nghiệm x = -2; x = 0 ; x = 1 Vậy : Diện tích hình phẳng đã cho là : 1 0 1 37 S x 3 x 2 2xdx x 3 x 2 2x dx x 2 x 2 2x dx 2 2 0 12 3 b) Đồ thị hàm số y = cosx, y = sinx , đường thẳng x ; x . Đặt f1(x) = cosx, f2(x) =sinx ; 2 2 5 3 Ta có f1(x) - f2(x) = 0 cosx - sinx = 0 x ; 4 2 2 Diện tích hình phẳng đã cho là: 3 5 3 2 4 2 S cosx-sinx dx sinx-cosx dx cosx-sinx dx 5 2 2 4 5 3 4 3 5 3 sinx-cosx dx cosx-sinx dx 4 2 cos x sin x sin x cos x 5 5 2 4 2 4 2 2 2 2 1 + 2 1 1 2 2 2 1 2 2 2 2 y x 3 3x 2 3x 1 c) Đồ thị hàm số (H) : y 1 x x 0, x 2 2 2 3 2 S(H)= (x 3x 3x 1) (1 x) dx = x 3 3x 2 4x 2 dx 0 0 1 2 = ( x3 3x2 4x 2)dx (x3 3x2 4x 2)dx 0 1 4 1 4 2 x 3 2 x 3 2 = x 2x 2x x 2x 2x 4 4 0 1
21. 1 1 3 3 3 = 1 2 2 4 8 8 4 1 2 2 = 4 4 4 4 2 Bài 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi : 2x 1 a)Trục tung, trục hoành và đồ thị hàm số : y (Đề thi TN năm 2004-2005) x 1 1 Đồ thị giao với trục hoành tại điểm ;0 trục tung : x = 0. 2 0 2x 1 0 2x 2 2 1 0 1 Diện tích hình cần tìm là S = dx dx 2 dx 1 x 1 1 x 1 1 x 1 2 2 2 0 1 2x ln x 1 1 1 ln 1 ln1 ln 2 1 ln 2 (ĐVDT) 2 2 x b) Đồ thị các hàm số :y e ; y 2 và đường thẳng x=1 (Đề thi TN năm 2005-2006) Giải PT : ex 2 x ln 2 ; Diện tích hình phẳng cần tìm là : 1 1 ex 2 dx ex 2 dx ex 2x 1 e 2 eln 2 2ln 2 S = = ln 2 ln 2 ln 2 = e 2 2 2ln 2 e 2ln 2 4 (ĐVDT) Bài 4. Tính thể tích khối tròn xoay khi quay quanh Ox a) Đồ thị hàm số y = sinx, trục hoành, đường thẳng x = , x = 2 1 2 2 x sin2x Ta có: V sin xdx 1 cos2x dx (ĐVTT) 2 2 2 2 2 2 4 2 2 b) Đồ thị hàm số y = cosx, y = 0, x = 0 , x = 4 4 4 4 2 1 1 Ta có: V = cos xdx (1 cos 2x)dx = x sin 2x (ĐVTT) 0 2 0 2 2 0 2 4 2 x c) Đồ thị hàm số y =x.e , y = 0, x = 0, x = 1 1 2 du 2xdx 2 2x u x Ta có : V = x e dx Đặt : 1 dv e 2x dx v e 2x 0 2 1 1 1 2 2x x 2 2x V = x e xe dx = .e x.e dx 0 2 0 2 0 du dx 1 u x x.e2xdx Tính I = Đặt 2x 1 2x 0 dv e dx v e 2
22. x 1 1 1 1 1 1 1 e2x 1 e2xdx e2 e2x 1 e2 e2 => I = 0 0 2 2 0 2 4 2 4 4 1 2 2 2 2 2x e e e 1 2 Thay I vào V ta có : V = .e x.e dx = e 1 (ĐVTT) 2 0 2 2 4 4 4 1 d) Đồ thị hàm số : y x3 x2 và các đường y = 0, x = 0, x = 3. 3 2 3 1 3 1 2 x7 x6 x5 81 V = x3 x2 dx x6 x5 x4 dx = 3 ( ĐVTT) 0 0 3 0 9 3 63 9 5 35 D. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN Câu 1. Cho hình (H) giới hạn bởi y = sin x; x = 0; x = π và y = 0. Tính thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình (H) quanh trục Ox. A. V = π/2 B. V = π²/2 C. V = 2π D. V = π²/4 Câu 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x²; x = 1; x = 2 và y = 0. 4 8 7 A. B. C. D. 1 3 3 3 Câu 3. Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y f1 x , y f2 x liên tục và hai đường thẳng x a, x b(a b) được tính theo công thức: b b A. S f x f x dx .B S f x f x dx 1 2 1 2 a a b b b C S f x f x dx D S f x dx f x dx 1 2 1 2 a a a Câu 4. Cho hình (H) giới hạn bởi các đường y = x và y = x. Tính thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình (H) quanh trục Ox. A. π/6 B. π/3 C. π/2 D. π Câu 5. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x4 4x2 1 và đồ thị hàm số y x2 3. A. 6 B. 4 C. 2 D. 8 Câu 6. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = –x³ + 3x + 1 và đường thẳng y = 3. A. 57/4. B. 27/4. C. 45/4 D. 21/4. Câu 7. Kí hiệu (H) là hình phẳng giới hạn bởi ba đồ thị hàm số y x ln x, x e , trục hoành. Tính thể tích V khối tròn xoay thu được khi quay hình (H) xung quanh trục Ox. 5e3 2 5e3 2 A. V B. V 27 27 5e3 2 5e3 2 C. V D. V 2 27 27 Câu 8. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi C : y x2 2x; y x 2 0 . 5 7 9 11 A. B. C. D. 2 2 2 2
23. Câu 9: Cho hình thang cong (H ) giới hạn bới các đường y ex , y 0, x 0 và x ln 4 . Đường thẳng x k (0 k ln 4) chia (H ) thành hai phần có diện tích là S1 S2 và như hình vẽ bên. Tìm x k để S1 2S2 . 2 A. k ln 4 B. k ln 2 3 8 C. k ln D. k ln 3 3 4 Câu 10. Với giá trị nào của m 0 thì diện tích hình phẳng giới hạn bởi y x2 và y mx bằng 3 đvdt ? A. m 2 B. m 1 C. m 3 D. m 4 Câu 11. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y x.ln2 x ,trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = e. 1 1 1 A.S (e2 1). B. S (e2 1). C.S (1 e2 ). D. S (1 e2 ). 4 4 4 Câu 12. Tìm diện tích S của hình phẳng (H) giới hạn bởi y x3 3x2 2 , hai trục tọa độ và đường thẳng x 2 . 19 5 1 9 A. S = (đvdt) B. S = (đvdt) C. S = (đvdt) D. S = (đvdt) 2 2 3 2 Câu 13. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x3 3x2 4 và đường thẳng x y 1 0 . A. 8 (đvdt).B. 4 (đvdt). C. 6 (đvdt). D. 0 (đvdt). Câu 14. Thể tích hình phẳng giới hạn bởi y (x 2)2 , y 0 ,x=0, x=2 khi xoay quanh trục hoành là. 32 32 A.V B. V 32 C. V . D. 32 5 5 Câu 15. Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng H giới hạn bởi y x2 ;y x 2 quanh trục Ox là 72 81 81 72 A. (đvtt). B. (đvtt). C. (đvtt). D. (đvtt). 5 10 5 10 Câu 16. Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi y 2x x2 , y 0 . Tính thể tích của khối tròn xoay thu a được khi quay (H) xung quanh trục Ox ta được V 1 . Khi đó b A. ab=15B. ab=20C. ab=28 D. ab =54 3x2 5x 1 2 Câu 17. Diện tích hình giới hạn bởi y , y 0, x 0, x 1 bằng a ln b . Khi đó, x 2 3 a 2b là: 61 A. 2 B. 40C. D. -2 2 4 Câu 18. Nếu f 1 12 , f ' x liên tục và f ' x dx 17 . Giá trị của f 4 bằng 1 A. 29 B. 5 C. 15D. 19 Câu 19. Cho đồ thị hàm số y f x . Diện tích hình phẳng (phần gạch trong hình) la
24. 0 0 1 4 A. f x dx f x dx B. f x dx f x dx 3 4 3 1 3 4 4 C. f x dx f x dx D. f x dx 0 0 3 Câu 20. Cho hình phẳng giới hạn bởi đường cong y 2x x2 , y x . Thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình này quanh trục trục Ox: 6 A. B. C. D. 25 6 5 5 Câu 21. Cho hình phẳng giới hạn bởi đường cong y x2 , x y2 . Thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình này quanh trục trục Ox: 8 2 3 A. B. C. D. 3 5 2 10 Câu 22. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y e 1 x và y 1 ex x là: e e 3 A.2 B. 2 C. 1 D. 1 2 2 e Câu 23. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y 2x2 x 3 và trục hoành là: 125 125 125 125 A. B. C. D. 24 34 14 44 Câu 24. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y 2 x2 ,y 1 x2 và trục hoành là: 8 2 A.3 2 2 B. 2 2 C. D. 4 2 2 3 2 Câu 25. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y mx cos x ; Ox ; x 0; x bằng 3 . Khi đó: A. m 3 B. m 3 C. m 4 D. m 3
25. KIỂM TRA 45 PHÚT I. MA TRẬN ĐỀ Mức độ nhận thức Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng Chủ đề hoặc mạch Tổng thấp cao kiến thức kĩ năng 1 2 3 4 Câu 1,2,3,4 Câu 9,10,11, Câu19,20,21 Câu 22 14 12, 13, 14 Tích phân 1,6 2,4 1,2 0,4 5,6 Ứng dụng hình học Câu5,6,7,8 Câu15,16,17,18 Câu 23 Câu24,25 11 của tích phân 1,2 1,2 0,4 0,8 4,4 8 10 4 3 25 Tổng 3,2 4,0 1,6 10 1,2 II. ĐỀ KIỂM TRA Câu 1. Cho hàm số f(x) liên tục trên [a; b]. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên [a; b]. Khi b đó tích phân f (x)dx là: a A. F(a)- F(b). B. F(a)+ F(b). C. F(b)- F(a). D. - F(a)- F(b). d b b Câu 2. Nếu f (x)dx 5, f (x)dx 2 với a < d < b thì f (x)dx bằng: a d a A. -3 B. 7 C. 3 D. -7 6 6 6 Câu 3. Cho f (x)dx 4, g(x)dx 2 . Tính ( f (x) g(x))dx ? 2 2 2 A. 1 B. 7 C. 6 D. 2 3 3 2 Câu 4. Nếu f (x)dx 5, f (x)dx 3 thì f (x)dx bằng: 1 2 1 A. -2 B. 2 C. 1 D. 5 Câu 5. Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y= - x2, trục Ox, hai đường thẳng x= 0, x= 3. 3 2 3 2 2 3 4 A. S x dx. B. S x dx. C. S x dx. D. S x dx. 0 0 0
26. Câu 6. Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y=f1(x), y = f2(x) liên tục trên [a;b] và các đường thẳng x = a; x = b là: b b a b A. f (x) f (x) dx. B.f (x) f (x) dx. Cf (x) f (x)dx. D. f (x) f (x)dx.  1 2   1 2  1 2 1 2 a a b a Câu 7. Cho đồ thị hàm số y f x . Diện tích hình phẳng (phần gạch trong hình) 0 0 1 4 A. f x dx f x dx. B. f x dx f x dx. 3 4 3 1 3 4 4 C. f x dx f x dx. D. f x dx. 0 0 3 Câu 8. Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y= sinx, y= 0, x= 0, x quay quanh trục 0x là: A. sin x dx. B. sinx dx. C. sin2 x dx. D. sin2 x dx. 0 0 0 0 Câu 9. Đẳng thức nào đúng? 3 1 3 3 A. x 2dx x 1dx. B. x 2dx x 2 dx. 0 2 0 0 3 3 2 3 3 2 C. x 2dx x 2 dx x 2 dx. D. x 2dx x 2 dx x 2 dx. 0 2 0 0 2 0 4 2 Câu 10. Tìm tích phân I = tan xdx. 0 A. 2 B. 1 C. ln2 D. 4 3 2 Câu 11. Cho I= 2x x2 1dx và u = x2- 1. Chọn khẳng định sai ? 1 3 3 2 2 3 2 A. I= u2 . B. I 27. C. I= u du. D. I= u du. 3 3 0 1 0 1 3 4 3 4 Câu 12. Cho I x 1 x dx . Đặt t= 1 x thì I bằng: 0 1 3 1 3 1 1 A. t3dt. B. t3dt. C. t3dt. D. t3dt. 0 4 0 4 0 0 2 x Câu 13. Tìm tích phân I 2x 1 e dx. 1 A. e2 e. B. e2 e. C. 2e – 3. D. 2 e2 3e.
27. 2 4 Câu 14. Đổi biến u = sinx thì sin xcos x dx thành: 0 1 2 1 2 A. u4 1 u2 du. B. u4 du. C. u4 du. D. u3 1 u2 du. 0 0 0 0 Câu 15. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y= x2 + 1, x= -1, x= 2 và trục Ox là: A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 1 2 Câu 16. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y= x3 x2 , y = 0, x = 0, x = 2 là 3 3 5 1 2 5 A. B. C. D. . 6 12 3 6 Câu 17. Gọi S là miền giới hạn bởi (C): y= x2, trục Ox và hai đường thẳng x= 1, x= 2. Thể tích vật thể tròn xoay khi quay S quanh trục Ox là: 31 31 1 31 31 1 A. +1. B. . C. . D. . 5 5 3 5 5 3 Câu 18. Thể tích của vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y= x2 - 2x, y = 0, x = 0, x = 1 quanh trục Ox có giá trị bằng: 8 7 15 8 A. B. C. D. 15 8 8 7 m Câu 19. Tìm m biết 2x 5 dx 6. 0 A. m= -1, m= -6. B. m= 1, m= -6. C. m= 1, m= 6. D. m= -1, m= 6. 1 dx Câu 20. Đổi biến x= 2sint thì I dx trở thành: 2 0 4 x 2 6 6 1 3 A. dt. B. tdt. C. dt. D. dt. 0 0 0 t 0 1 Câu 21. Biết 2x 1 exdx a be . Tính tích ab. 0 A. -1 B. 1 C. -15 D. 5 2 n Câu 22. Tích phân I 1 cos x sin xdx bằng: 0 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. 1 n n 1 2n n Câu 23. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x2 và y = 2x là: 4 3 5 23 A. B. C. D. 3 2 3 15 x2 Câu 24. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y 4 x và Parabol y là: 2
28. 22 26 25 28 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3 Câu 25. Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y= x2 - 4, y = 2x - 4 quay quanh trục Ox. 16 16 A. B. 6 C. 6 D. . 5 15 NHÓM TRƯỜNG: TÂN TRÀO, THÁI HÒA, LÂM BÌNH