Giáo án môn Toán Lớp 12 - Chủ đề 2: Tích phân

70 trang nhatle22 2240

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo án môn Toán Lớp 12 - Chủ đề 2: Tích phân", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

giao_an_mon_toan_lop_12_chu_de_2_tich_phan.doc

Nội dung text: Giáo án môn Toán Lớp 12 - Chủ đề 2: Tích phân

CHỦ ĐỀ 2. TÍCH PHÂN A. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Định nghĩa Cho f là hàm số liên tục trên đoạn [a;b]. Giả sử F là một nguyên hàm của f trên [a;b]. Hiệu số F(b) - F(a) b được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn [a;b] của hàm số f (x), kí hiệu là ò f (x)dx. a b b b Ta dùng kí hiệu F(x) = F(b) - F(a) để chỉ hiệu số F(b) - F(a) . Vậy f (x)dx = F(x) = F(b) - F(a) . a ò a a b b Nhận xét: Tích phân của hàm số f từ a đến b có thể kí hiệu bởi ò f (x)dx hay ò f (t)dt. Tích phân đó chỉ phụ a a thuộc vào f và các cận a, b mà không phụ thuộc vào cách ghi biến số. b Ý nghĩa hình học của tích phân: Nếu hàm số f liên tục và không âm trên đoạn [a;b] thì tích phân ò f (x)dx là a diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f (x) , trục Ox và hai đường thẳng x = a,x = b. b Vậy S = ò f (x)dx. a 2. Tính chất của tích phân a b a 1. ò f (x)dx = 0 2. ò f (x)dx = - ò f (x)dx a a b b c c b b 3. ò f (x)dx + ò f (x)dx = ò f (x)dx (a < b < c ) 4. òk.f (x)dx = k.ò f (x)dx (k Î ¡ ) a b a a a b b b 5. ò[f (x) ± g(x)]dx = ò f (x)dx ± ò g(x)dx . a a a B.KỸ NĂNG CƠ BẢN 1. Một số phương pháp tính tích phân I. Dạng 1: Tính tích phân theo công thức Ví dụ 1: Tính các tính phân sau: 1 dx 1 x 1 2x + 9 1 x a)I = . b) I = dx . c) I = dx . d) I = dx . ò 3 ò x + 1 ò x + 3 ò 2 0 (1+ x) 0 0 0 4 - x Hướng dẫn giải 1 1 dx 1 d(1+ x) 1 3 a)I = = = - = . ò 3 ò 3 2 8 0 (1+ x) 0 (1+ x) 2(1+ x) 0 1 x 1 æ 1 ö b)I = dx = ç1- ÷dx = (x - ln(x + 1)) 1 = 1- ln 2 . ò x + 1 òç x + 1÷ 0 0 0 è ø 1 1 æ ö 1 2x + 9 ç 3 ÷ c) I = dx = ç2 + ÷dx = (2x + 3ln(x + 3)) = 3 + 6ln 2- 3ln 3. ò x + 3 òç x + 3÷ 0 0 0 è ø 1 1 2 x 1 d (4 - x ) 1 3 d)I = dx = - = ln | 4 - x 2 | = ln . ò 2 2 ò 2 0 4 0 4 - x 0 4 - x Bài tập áp dụng 1 1 1) I = ò x 3(x 4 - 1)5dx . 2) I = ò( 2x + 3 x + 1)dx . 0 0 1
1 16 dx 3) I = ò x 1- xdx . 4) I = ò . 0 0 x + 9 - x II. Dạng 2: Dùng tính chất cận trung gian để tính tích phân b b b Sử dụng tính chất ò[f (x) + g(x)]dx = ò f (x)dx + ò g(x)dx để bỏ dấu giá trị tuyệt đối. a a a 2 Ví dụ 2: Tính tích phân I = ò| x + 1| dx . - 2 Hướng dẫn giải ì ï x + 1, - 1 £ x £ 2 Nhận xét: x + 1 = í . Do đó ï - x - 1, - 2 £ x < - 1 îï - 1 2 2 - 1 2 - 1 2 æ 2 ö æ 2 ö çx ÷ çx ÷ I = | x + 1| dx = | x + 1| dx + | x + 1| dx = - (x + 1)dx + (x + 1)dx = - ç + x÷ + ç + x÷ = 5. ò ò ò ò ò ç 2 ÷ ç 2 ÷ - 2 - 2 - 1 - 2 - 1 è ø- 2 è ø- 1 Bài tập áp dụng 3 2 1) I = ò| x 2 - 4 | dx . 2) I = ò| x 3 - 2x 2 - x + 2 | dx . - 4 - 1 p 3 2 p 3) I = ò| 2x - 4 | dx . 4) I = ò 2 | sin x | dx . 5) I = ò 1+ cos2xdx . 0 p 0 - 2 III. Dạng 3: Phương pháp đổi biến số 1) Đổi biến số dạng 1 Cho hàm số f liên tục trên đoạn [a;b].Giả sử hàm số u = u(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [a;b] và a £ u(x) £ b. Giả sử có thể viết f (x) = g(u(x))u '(x),x Î [a;b], với g liên tục trên đoạn [a;b] .Khi đó, ta có b u(b) I = ò f (x)dx = ò g(u)du. a u(a) p 2 Ví dụ 3: Tính tích phân I = ò sin2 x cosxdx . 0 Hướng dẫn giải æ ö p çp ÷ Đặt u = sin x. Ta có du = cosxdx. Đổi cận: x = 0 Þ u(0) = 0;x = Þ u ç ÷= 1. 2 èç2ø÷ p 2 1 1 1 1 Khi đó I = sin2 x cosxdx = u2du = u3 = . ò ò 3 0 3 0 0 Bài tập áp dụng 1 1 1) I = ò x x 2 + 1dx . 2) I = ò x 3 x + 1dx . 0 0 2 e 1+ ln x e dx 3) I = dx . 4) I = . ò x ò 1 e 2x 2 + ln x Dấu hiệu nhận biết và cách tính tính phân Dấu hiệu Có thể đặt Ví dụ 2
3 x 3dx 1 Có f (x) t = f (x) I = ò . Đặt t = x + 1 0 x + 1 1 2 Có (ax + b)n t = ax + b I = x(x + 1)2016dx . Đặt t = x - 1 ò0 p etan x+ 3 3 Có af (x) t = f (x) I = 4 dx . Đặt t = tan x + 3 ò0 cos2 x dx t = ln x hoặc biểu thức e ln xdx 4 Có và ln x I = . Đặt t = ln x + 1 x chứa ln x ò1 x(ln x + 1) x ln 2 t = e hoặc biểu thức 2x x x 5 x I = e 3e + 1dx . Đặt t = 3e + 1 Có e dx x ò chứa e 0 p 6 Có sin xdx t = cosx I = 2 sin3 x cosxdx . Đặt t = sin x ò0 p sin3 x 7 Có cosxdx t = sin xdx I = dx Đặt t = 2cosx + 1 ò0 2cosx + 1 p 1 p 1 dx I = 4 dx = 4 (1+ tan2 x) dx 8 Có t = tan x ò0 4 ò0 2 cos2 x cos x cos x Đặt t = tan x p ecot x ecot x dx I = 4 dx = dx . Đặt 9 Có t = cot x òp 1- cos2x ò 2sin2 x sin2 x 6 t = cot x 2) Đổi biến số dạng 2 Cho hàm số f liên tục và có đạo hàm trên đoạn [a;b]. Giả sử hàm số x = j (t) có đạo hàm và liên tục trên đoạn [a;b](*) sao cho j (a) = a,j (b) = b và a £ j (t) £ b với mọi t Î [a;b]. Khi đó: b b ò f (x)dx = ò f (j (t))j '(t)dt. a a Một số phương pháp đổi biến: Nếu biểu thức dưới dấu tích phân có dạng é p p ù 1.a2 - x 2 : đặt x =| a | sint; t Î ê- ; ú ê ú ë 2 2û | a | é p p ù 2.x 2 - a2 : đặt x = ; t Î ê- ; ú\ { 0} ê ú sint ë 2 2û æ ö 2 2 ç p p ÷ 3.x + a : x =| a | tant; t Î ç- ; ÷ èç 2 2÷ø a + x a - x 4. hoặc : đặt x = a.cos2t a - x a + x Lưu ý: Chỉ nên sử dụng phép đặt này khi các dấu hiệu 1, 2, 3 đi với x mũ chẵn. Ví dụ, để tính tích 3 x 2dx 3 x 3dx phân I = thì phải đổi biến dạng 2 còn với tích phân I = thì nên đổi biến ò 2 ò0 2 0 x + 1 x + 1 dạng 1. Ví dụ 4: Tính các tích phân sau: 1 1 dx a) I = 1- x 2dx . b) I = . ò ò 2 0 0 1+ x Hướng dẫn giải p a) Đặt x = sint ta có dx = costdt. Đổi cận: x = 0 Þ t = 0;x = 1 Þ t = . 2 3
p p 1 2 2 p Vậy I = 1- x 2dx = | cost |dt = costdt = sint |2 = 1. ò ò ò 0 0 0 0 ì ï x = 0 ® t = 0 2 ï b) Đặt x = tant, ta có dx = (1+ tan t )dt . Đổi cận: í p . ï x = 1 ® t = îï 4 p 1 dx 4 p p Vậy I = = dt = t |4 = . ò 2 ò 0 4 0 1+ x 0 IV. Dạng 4: Phương pháp tính tích phân từng phần. Định lí : Nếu u = u(x) và v = v(x) là hai hàm số có đạo hàm và liên tục trên đoạn [a;b] thì b b b u(x)v '(x)dx = (u(x)v(x)) - u '(x)v(x)dx , ò a ò a a b b b hay viết gọn là udv = uv |b - vdu . Các dạng cơ bản: Giả sử cần tính I = P(x).Q(x)dx ò a ò ò a a a P(x): Đa thức Dạng P(x): Đa thức Q(x): sin kx hay P(x): Đa thức P(x): Đa thức hàm ( ) 1 1 Q(x):ekx Q(x):ln (ax + b) Q(x): hay cos(kx) sin2 x cos2 x * u = P(x) * u = P(x) * * u = P(x) Cách * dv là Phần còn lại * dv là Phần còn lại u = ln(ax + b) * dv là Phần còn lại của đặt của biểu thức dưới dấu của biểu thức dưới biểu thức dưới dấu tích tích phân dấu tích phân * dv = P (x)dx phân Thông thường nên chú ý: “Nhất log, nhì đa, tam lượng, tứ mũ”. p 2 e- 1 Ví dụ 5: Tính các tích phân sau : a) I = ò x sin xdx. b) I = ò x ln(x + 1)dx . 0 0 Hướng dẫn giải ì ì ï u = x ï du = dx a) Đặt í ta có í . ï dv = sin xdx ï v = - cosx îï îï p p 2 p 2 p Do đó I = x sin xdx = - x cosx |2 + cosxdx = 0 + sin x |2 = 1. ò ( ) 0 ò 0 0 0 ïì 1 ì ï du = dx ï u = ln(x + 1) ï b) Đặt í ta có íï x + 1 ï dv = xdx ï x 2 - 1 îï ï v = îï 2 e- 1 e- 1 é 2 ù e- 1 2 æ 2 ö x - 1 1 e - 2e + 2 1çx ÷ e- 1 I = x ln(x + 1)dx = êln(x + 1) ú - (x - 1)dx = - ç - x÷ ò ê 2 ú 2 ò 2 2ç 2 ÷ 0 0 ë û0 0 è ø e2 - 2e + 2 1 e2 - 4e + 3 e2 + 1 = - = . 2 2 2 4 Bài tập áp dụng p 1 2 2p x 1 1) I = (2x + 2)exdx . 2) I = 2x.cosxdx . 3) I = x 2.sin dx . 4) I = (x + 1)2e2xdx . ò ò ò 2 ò 0 0 0 0 4
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM NHẬN BIẾT – THÔNG HIỂU Câu 1. Cho hai hàm số f , g liên tục trên đoạn [a;b] và số thực k tùy ý. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? b b b b a é ù A. ò ëf (x) + g(x)ûdx = ò f (x)dx + ò g(x)dx .B. ò f (x)dx = - ò f (x . )dx a a a a b b b b b C. òkf (x)dx = kò f (x)dx . D. .ò xf (x)dx = xò f (x)dx a a a a Câu 2. Cho hàm số f liên tục trên ¡ và số thực dương a . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào luôn đúng? a A. ò f (x)dx = 0 . B. a 2p 4p 4p 3 3 3 æ ö æ ö 2p 1 1 1ç 4p p ÷ 1ç 3 3÷ 3 cos(3x - )dx = cosudu = sinu = çsin - sin ÷= ç- - ÷= - . ò 3 3 ò 3 p 3èç 3 3ø÷ 3ç 2 2 ÷ 3 p p 3 è ø 3 3 a a C. ò f (x)dx = - 1 .D. ò f (x)dx = .f (a) a a 1 Câu 3. Tích phân òdx có giá trị bằng 0 A. - 1 .B. . 1 C. .D. . 0 2 a Câu 4. Cho số thực a thỏa mãn òex+ 1dx = e2 - 1 , khi đó a có giá trị bằng - 1 A. 1 . B. .C. .D. . - 1 0 2 Câu 5. Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào có tích phân trên đoạn [0;p] đạt giá trị bằng 0 ? A. f (x) = cos3x . B. .f (x) = sin 3x æx p ö æx p ö C. f (x) = cosç + ÷ .D. . f (x) = sinç + ÷ èç4 2ø÷ èç4 2ø÷ Câu 6. Trong các tích phân sau, tích phân nào có giá trị khác 2 ? e2 1 p 2 A. ò ln xdx .B. . ò 2dx C. .D. . ò sin xdx ò xdx 1 0 0 0 1 2 Câu 7. Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào thỏa mãn ò f (x)dx = ò f (x)dx ? - 1 - 2 A. f (x) = ex .B. .fC.(x ) = cosx .D. f (x) = si .n x f (x) = x + 1 5 dx Câu 8. Tích phân I = có giá trị bằng ò x 2 1 5 2 A. 3ln 3 .B. .C. .D. ln 3 . ln ln 3 2 5 p 2 dx Câu 9. Tích phân I = có giá trị bằng ò sin x p 3 1 1 1 1 A. ln .B. . 2ln 3C. .D. . ln 3 2ln 2 3 2 3 0 Câu 10. Nếu ò(4 - e- x/ 2)dx = K - 2e thì giá trị của K là - 2 A. 12,5 .B. .C. .D. . 9 11 10 5
1 1 Câu 11. Tích phân I = dx có giá trị bằng ò 2 0 x - x - 2 2ln 2 2ln 2 A. . B. - . C. .D. - 2ln . 2 2ln 2 3 3 5 5 Câu 12. Cho hàm số f và g liên tục trên đoạn [1;5] sao cho ò f (x)dx = 2 và ò g(x)dx = - 4 . Giá trị của 1 1 5 é ù ò ëg(x) - f (x)ûdx là 1 A. - 6 . B. . 6 C. .D. . 2 - 2 3 3 é ù Câu 13. Cho hàm số f liên tục trên đoạn [0;3] . Nếu ò f (x)dx = 2 thì tích phân ò ëx - 2f (x)ûdx có giá trị 0 0 bằng 5 1 A. 7 .B. . C. . D.5 . 2 2 5 3 5 Câu 14. Cho hàm số f liên tục trên đoạn [0;6] . Nếu ò f (x)dx = 2 và ò f (x)dx = 7 thì ò f (x)dx có giá trị 1 1 3 bằng A. 5 . B. - 5. C. .D. . 9 - 9 Câu 15. Trong các phép tính sau đây, phép tính nào sai? 3 - 2 3 1 - 2 A. exdx = (ex ) .B. . dx = (ln x) ò 1 ò x - 3 1 - 3 2 2p 2 2p æx 2 ö ( ) ç ÷ C. cosxdx = sin x p .D. . (x + 1)dx = ç + x÷ ò ò èç 2 ø÷ p 1 1 Câu 16. Cho hàm số f liên tục trên đoạn [a;b] có một nguyên hàm là hàm F trên đoạn [a;b] . Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sai ? b A. ò f (x)dx = F(b) - F(a) . a B. F '(x) = f (x) với mọi x Î (a;b) . b C. ò f (x)dx = f (b) - f (a) . a b D. Hàm số G cho bởi G(x) = F(x) + 5 cũng thỏa mãn ò f (x)dx = G(b) - G(a) . a Câu 17. Xét hàm số f liên tục trên ¡ và các số thực a , b , c tùy ý. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? b b a b c b A. ò f (x)dx = ò f (x)dx - ò f (x)dx .B. ò f (x)dx = ò f (x)dx . + ò f (x)dx a c c a a c b c b b c c C. ò f (x)dx = ò f (x)dx - ò f (x)dx .D. ò f (x)dx = ò f (x)dx . - ò f (x)dx a a c a a b é ù Câu 18. Xét hai hàm số f và g liên tục trên đoạn ëa;bû . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? b A. Nếu m £ f (x) £ M " x Î [a;b] thì m(b - a) £ ò f (x)dx £ M (a - b) . a 6
b B. Nếu f (x) ³ m " x Î [a;b] thì ò f (x)dx ³ m(b - a) . a b C. Nếu f (x) £ M " x Î [a;b] thì ò f (x)dx £ M (b - a) . a b D. Nếu f (x) ³ m " x Î [a;b] thì ò f (x)dx ³ m(a - b) . a Câu 19. Cho hai hàm số f và g liên tục trên đoạn [a;b] sao cho g(x) ¹ 0 với mọi x Î [a;b .] Xét các khẳng định sau: b b b é ù I. ò ëf (x) + g(x)ûdx = ò f (x)dx + ò g(x)dx . a a a b b b é ù II. ò ëf (x) - g(x)ûdx = ò f (x)dx - ò g(x)dx . a a a b b b é ù III. ò ëf (x).g(x)ûdx = ò f (x)dx.ò g(x)dx . a a a b f (x)dx b f (x) ò IV. dx = a . ò g(x) b a ò g(x)dx a Trong các khẳng định trên, có bao nhiêu khẳng định sai? A. 1 . B. 2. C. .D. . 3 4 3 Câu 20. Tích phân ò x(x - 1)dx có giá trị bằng với giá trị của tích phân nào trong các tích phân dưới đây? 0 2 3p ln 10 p A. ò(x 2 + x - 3)dx .B. 3ò sin .xC.dx .D. ò e2xdx . ò cos(3x + p)dx 0 0 0 0 Câu 21. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? b é ù A. Nếu hàm số f liên tục trên đoạn ëa;bû , sao cho ò f (x)dx ³ 0 thì f (x) ³ 0 " x Î [a;b] . a 3 B. Với mọi hàm số f liên tục trên đoạn [- 3;3] , luôn có ò f (x)dx = 0 . - 3 b a C. Với mọi hàm số f liên tục trên ¡ , ta có ò f (x)dx = ò f (x)d(- x) . a b 5 5 é ù3 é ù é ù2 ëf (x)û D. Với mọi hàm số f liên tục trên đoạn ë1;5û thì f (x) dx = . ò ë û 3 1 1 Câu 22. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? 1 0 A. Nếu f là hàm số chẵn trên ¡ thìò f (x)dx = ò f (x)dx . 0 - 1 0 1 B. Nếu ò f (x)dx = ò f (x)dx thì f là hàm số chẵn trên đoạn [- 1;1] . - 1 0 1 C. Nếu ò f (x)dx = 0 thì f là hàm số lẻ trên đoạn [- 1;1] . - 1 1 D. Nếu ò f (x)dx = 0 thì f là hàm số chẵn trên đoạn [- 1;1] . - 1 7
2 Câu 23. Giả sử F là một nguyên hàm của hàm số y = x 6 sin5 x trên khoảng (0;+ ¥ ) . Khi đó ò x 6 sin5 xdx có 1 giá trị bằng A. F(2) - F(1) . B. .C. - F(1) .D. . F(2) F(1) - F(2) b b 2 Câu 24. Cho hàm số f liên tục trên ¡ và hai số thực a ò f (x)dx .B. .ò f (x)dx ³ ò f (x) dx a a a a b b b b C. ò f (x) dx ³ ò f (x)dx .D. .ò f (x)dx > ò f (x) dx a a a a Câu 30. Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào sai? 8
1 1 1 A. ò sin(1- x)dx = ò sin xdx .B. . ò(1+ x)xdx = 0 0 0 0 p 2 p x 1 2 C. sin dx = 2 sin xdx .D. .x 2017(1+ x)dx = ò 2 ò ò 2019 0 0 - 1 Câu 31. Cho hàm số y = f (x) lẻ và liên tục trên đoạn [- 2;2] . Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào luôn đúng? 2 2 2 A. ò f (x)dx = 2ò f (x)dx .B. . ò f (x)dx = 0 - 2 0 - 2 2 0 2 2 C. ò f (x)dx = 2ò f (x)dx .D. ò . f (x)dx = - 2ò f (x)dx - 2 - 2 - 2 0 1 Câu 32. Bài toán tính tích phân I = ò(x + 1)2dx được một học sinh giải theo ba bước sau: - 2 I. Đặt ẩn phụ t = (x + 1)2 , suy ra dt = 2(x + 1)dx , dt dt II. Từ đây suy ra = dx Þ = dx . Đổi cận 2(x + 1) 2 t x - 2 1 t 1 4 4 1 4 t 1 7 III. Vậy I = (x + 1)2dx = dt = t 3 = . ò ò 3 3 - 2 1 2 t 1 Học sinh này giải đúng hay sai? Nếu sai thì sai từ bước nào? A. Sai từ Bước I.B. Sai ở Bước III.C. Sai từ Bước II.D. Bài giải đúng. Câu 33. Một học sinh được chỉ định lên bảng làm 4 bài toán tích phân. Mỗi bài giải đúng được 2,5 điểm, mỗi bài giải sai (sai kết quả hoặc sai bước tính nguyên hàm) được 0 điểm. Học sinh đã giải 4 bài toán đó như sau: Bài Đề bài Bài giải của học sinh 1 1 1 1 x2 x2 2 1 2 e e - 1 1 e xdx ex xdx = ex d (x 2) = = ò ò 2 ò 2 2 0 0 0 0 1 1 1 1 1 2 dx dx = éln x 2 - x - 2ù = ln 2- ln 2 = 0 ò 2 ò 2 ë û0 0 x - x - 2 0 x - x - 2 Đặt t = cosx , suy ra dt = - sin xdx . Khi x = 0 thì t = 1 ; khi p x = p thì t = - 1 . Vậy 1 3 sin 2x cosxdx p p - 1 3 ò 2 2 2t 4 0 sin 2x cosxdx = 2 sin x cos xdx = - 2 t dt = = ò ò ò 3 3 0 0 1 - 1 e 1+ (4 - 2e) ln x e e dx = é1+ (4 - 2e) ln xùd (ln x) 1+ (4 - 2e) ln x ò x ò ëê ûú 4 dx 1 1 ò x e 1 = éx + (4 - 2e) ln2 xù = 3- e ë û1 Số điểm mà học sinh này đạt được là bao nhiêu? A. 5,0 điểm.B. 2,5 điểm.C. 7,5 điểm.D. 10,0 điểm. Câu 34. Cho hai hàm số liên tục f và g liên tục trên đoạn [a;b] . Gọi F và G lần lượt là một nguyên hàm của f và g trên đoạn [a;b] . Đẳng thức nào sau đây luôn đúng? b b b A. f (x)G(x)dx = éF(x)g(x)ù - F(x)G(x)dx . ò ëê ûúa ò a a b b b B. f (x)G(x)dx = éF(x)G(x)ù - F(x)g(x)dx . ò ëê ûúa ò a a 9
b b b C. f (x)G(x)dx = éf (x)g(x)ù - F(x)g(x)dx . ò ëê ûúa ò a a b b b D. f (x)G(x)dx = éF(x)G(x)ù - f (x)g(x)dx . ò ëê ûúa ò a a 0 Câu 35. Tích phân I = ò xe- xdx có giá trị bằng - 2 A. - e2 + 1 .B. .C. 3e2 - . D.1 . - e2 - 1 - 2e2 + 1 Câu 36. Cho hai hàm số f và g liên tục trên đoạn [a;b] và số thực k bất kỳ trong ¡ . Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sai? b b b b a é ù A ò ëf (x) + g(x)ûdx = ò f (x)dx + ò g(x)dx .B. ò f (x)dx = - ò f ( .x)dx a a a a b b b b b C. òkf (x)dx = kò f (x)dx .D. ò . xf (x)dx = xò f (x)dx a a a a Câu 37. Cho hàm số f liên tục trên ¡ và số thực dương a . Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào luôn đúng? 2p 4p 4p 3 3 3 æ ö æ ö 2p 1 1 1ç 4p p ÷ 1ç 3 3÷ 3 A. cos(3x - )dx = cosudu = sinu = çsin - sin ÷= ç- - ÷= - . ò 3 3 ò 3 p 3èç 3 3÷ø 3ç 2 2 ÷ 3 p p 3 è ø 3 3 a a a B. ò f (x)dx = 0 . C. ò f (x)dx .=D. - 1 ò f (x .)dx = f (a) a a a 1 Câu 38. Tích phân òdx có giá trị bằng 0 A. 2 .B. .C. .D. . - 1 0 1 a Câu 39. Cho số thực a thỏa mãn òex+ 1dx = e2 - 1 , khi đó a có giá trị bằng - 1 A. 0 .B. .D. . D. . - 1 1 2 Câu 40. Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào có tích phân trên đoạn [0;p] đạt giá trị bằng 0 ? A. f (x) = cos3x .B. . f (x) = sin 3x æx p ö æx p ö C. f (x) = cosç + ÷ .D. . f (x) = sinç + ÷ èç4 2ø÷ èç4 2ø÷ Câu 41. Tích phân nào trong các tích phân sau có giá trị khác 2 ? p 1 e2 2 A. ò sin xdx .B. .B. ò 2dx .D. . ò ln xdx ò xdx 0 0 1 0 1 2 Câu 42. Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào thỏa mãn ò f (x)dx = ò f (x)dx ? - 1 - 2 A. f (x) = cosx .B. f (x .)C.= sin x .D. f (x) = e .x f (x) = x + 1 5 dx Câu 43. Tích phân I = có giá trị bằng ò x 2 1 5 2 A. ln 3 .B. .C. .D.l n . 3ln 3 ln 3 2 5 p 2 dx Câu 44. Tích phân I = có giá trị bằng ò sin x p 3 10
1 1 1 1 A. 2ln .B. .C. .D.2l n 3 . ln 3 ln 3 2 2 3 0 Câu 45. Nếu ò(4 - e- x/ 2)dx = K - 2e thì giá trị của K là - 2 A. 9 .B. . C. .D. . 10 11 12,5 1 1 Câu 46. Tích phân I = dx có giá trị bằng ò 2 0 x - x - 2 2ln 2 2ln 2 A. - 2ln 2 .B. .C. . D. Không xác định. - 3 3 5 5 Câu 47. Cho hàm số f và g liên tục trên đoạn [1;5] sao cho ò f (x)dx = 2 và ò g(x)dx = - 4 . Giá trị của 1 1 5 é ù ò ëg(x) - f (x)ûdx là 1 A. - 2 .B. .C. .D. . 6 2 - 6 3 3 é ù Câu 48. Cho hàm số f liên tục trên đoạn [0;3] . Nếu ò f (x)dx = 2 thì tích phân ò ëx - 2f (x)ûdx có giá trị 0 0 bằng 5 1 A. 7 .B. .C. .D. . 5 2 2 5 3 5 Câu 49. Cho hàm số f liên tục trên đoạn [0;6] . Nếu ò f (x)dx = 2 và ò f (x)dx = 7 thì ò f (x)dx có giá trị 1 1 3 bằng A. - 9 .B. .C. .D. . 5 9 - 5 Câu 50. Trong các phép tính sau đây, phép tính nào sai? 2 2 3 æx 2 ö 3 ç ÷ x ( x ) A. (x + 1)dx = ç + x÷ .B. . e dx = e 1 ò èç 2 ø÷ ò 1 1 1 2p - 2 2p 1 - 2 C. cosxdx = (sin x) .D. . dx = (ln x) ò p ò x - 3 p - 3 Câu 51. Cho hàm số f liên tục trên đoạn [a;b] có một nguyên hàm là hàm F trên đoạn [a;b] . Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sai ? A. F '(x) = f (x) với mọi x Î (a;b) . b B. ò f (x)dx = f (b) - f (a) . a b C. ò f (x)dx = F(b) - F(a) . a b D. Hàm số G cho bởi G(x) = F(x) + 5 cũng thỏa mãn ò f (x)dx = G(b) - G(a) . a Câu 52. Xét hàm số f liên tục trên ¡ và các số thực a , b , c tùy ý. Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sai? b c b b c b A. ò f (x)dx = ò f (x)dx - ò f (x)dx .B. ò f (x)dx = ò f (x)dx . + ò f (x)dx a a c a a c b b a b c c C. ò f (x)dx = ò f (x)dx - ò f (x)dx .D. ò f (x)dx = ò f (x)dx . - ò f (x)dx a c c a a b é ù Câu 53. Xét hai hàm số f và g liên tục trên đoạn ëa;bû .Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? 11
b A. Nếu f (x) ³ m " x Î [a;b] thì ò f (x)dx ³ m(a - b) . a b B. Nếu f (x) ³ m " x Î [a;b] thì ò f (x)dx ³ m(b - a) . a b C. Nếu f (x) £ M " x Î [a;b] thì ò f (x)dx £ M (b - a) . a b D. Nếu m £ f (x) £ M " x Î [a;b] thì m(b - a) £ ò f (x)dx £ M (a - b) . a Câu 54. Cho hai hàm số f và g liên tục trên đoạn [a;b] sao cho g(x) ¹ 0 với mọi x Î [a;b] . Một học sinh lên bảng và phát biểu các tính chất sau: b b b b b b é ù é ù I. ò ëf (x) + g(x)ûdx = ò f (x)dx + ò g(x)dx . II. ò ëf (x) - g(x)ûdx = ò f (x)dx - ò g(x)dx . a a a a a a b f (x)dx b b b b f (x) ò III. éf (x).g(x)ùdx = f (x)dx. g(x)dx . IV. dx = a . ò ë û ò ò ò g(x) b a a a a ò g(x)dx a Trong số các phát biểu trên, có bao nhiêu phát biểu sai? A. 3 .B. .C. . D. . 1 2 4 3 Câu 55. Tích phân ò x(x - 1)dx có giá trị bằng với tích phân nào trong các tích phân dưới đây ? 0 p 3p 2 ln 10 A. ò cos(3x + p)dx .B. 3ò sin .C.xd x ò( .xD.2 + x - 3)dx . ò e2xdx 0 0 0 0 Câu 56. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? 3 A. Với mọi hàm số f liên tục trên đoạn [- 3;3] , luôn có ò f (x)dx = 0 . - 3 b a B. Với mọi hàm số f liên tục trên ¡ , ta cóò f (x)dx = ò f (x)d(- x) . a b b é ù C. Nếu hàm số f liên tục trên đoạn ëa;bû , sao cho ò f (x)dx ³ 0 thì f (x) ³ 0 " x Î [a;b] . a 5 5 é ù3 é ù é ù2 ëf (x)û D. Với mọi hàm số f liên tục trên đoạn ë1;5û thì f (x) dx = . ò ë û 3 1 1 Câu 57. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? 1 0 A. Nếu f là hàm số chẵn trên ¡ thìò f (x)dx = ò f (x)dx . 0 - 1 0 1 B. Nếu ò f (x)dx = ò f (x)dx thì f là hàm số chẵn trên đoạn [- 1;1] . - 1 0 1 C. Nếu ò f (x)dx = 0 thì f là hàm số lẻ trên đoạn [- 1;1] . - 1 1 D. Nếu ò f (x)dx = 0 thì f là hàm số chẵn trên đoạn [- 1;1] . - 1 12
sin x 2 sin x Câu 58. Giả sử F là một nguyên hàm của hàm số y = trên khoảng (0;+ ¥ ) . Khi đó dx có giá x ò x 1 trị bằng A. F(2) - F(1) . B. .C. - F(1) .D. . F(2) F(2) + F(1) b b 2 Câu 59. Cho hàm số f liên tục trên ¡ và hai số thực a ò f (x)dx .D. .ò f (x)dx > ò f (x) dx a a a a Câu 65. Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào sai? 1 1 1 A. ò(1+ x)xdx = 0 .B. . ò sin(1- x)dx = ò sin xdx 0 0 0 13
p 2 p x 1 2 C. sin dx = 2 sin xdx .D. .x 2017(1+ x)dx = ò 2 ò ò 2019 0 0 - 1 Câu 66. Cho hàm số y = f (x) lẻ và liên tục trên đoạn [- 2;2] . Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào luôn đúng? 2 2 2 2 A. ò f (x)dx = - 2ò f (x)dx .B. ò . f (x)dx = 2ò f (x)dx - 2 0 - 2 0 2 0 2 C. ò f (x)dx = 2ò f (x)dx .D. . ò f (x)dx = 0 - 2 - 2 - 2 1 Câu 67. Bài toán tính tích phân I = ò(x + 1)2dx được một học sinh giải theo ba bước sau: - 2 I. Đặt ẩn phụ t = (x + 1)2 , suy ra dt = 2(x + 1)dx , dt dt II. Từ đây suy ra = dx Þ = dx . Bảng giá trị 2(x + 1) 2 t x - 2 1 t 1 4 4 1 4 t 1 7 III. Vậy I = (x + 1)2dx = dt = t 3 = . ò ò 3 3 - 2 1 2 t 1 Vây học sinh này giải đúng hay sai? Nếu sai thì sai từ bước nào? A. Sai ở Bước III.B. Sai từ Bước II.C. Sai từ Bước I.D. Bài giải đúng. Câu 68. Một học sinh được chỉ định lên bảng làm 4 bài toán tích phân. Mỗi bài giải đúng được 2,5 điểm, mỗi bài giải sai (sai kết quả hoặc sai bước tính nguyên hàm) được 0 điểm. Học sinh đã giải 4 bài toán đó như sau: Bài Đề bài Bài giải của học sinh 1 1 1 1 x2 x2 2 1 2 e e - 1 1 e xdx ex xdx = ex d (x 2) = = ò ò 2 ò 2 2 0 0 0 0 1 1 1 1 1 2 dx dx = éln x 2 - x - 2ù = ln 2- ln 2 = 0 ò 2 ò 2 ë û0 0 x - x - 2 0 x - x - 2 Đặt t = cosx , suy ra dt = - sin xdx . Khi x = 0 thì t = 1 ; khi p x = p thì t = - 1 . Vậy 1 3 sin 2x cosxdx p p - 1 3 ò 2 2 2t 4 0 sin 2x cosxdx = 2 sin x cos xdx = - 2 t dt = = ò ò ò 3 3 0 0 1 - 1 e 1+ (4 - 2e) ln x e e dx = é1+ (4 - 2e) ln xùd (ln x) 1+ (4 - 2e) ln x ò x ò ëê ûú 4 dx 1 1 ò x e 1 = éx + (4 - 2e) ln2 xù = 3- e ë û1 Số điểm mà học sinh này đạt được là bao nhiêu? A. 7,5 điểm.B. 2,5 điểm.C. 5,0 điểm.D. 10,0 điểm. Câu 69. Cho hai hàm số liên tục f và g có nguyên hàm lần lượt là F và G trên đoạn [a;b] . Đẳng thức nào sau đây luôn đúng? b b b A. f (x)G(x)dx = éF(x)g(x)ù - F(x)G(x)dx . ò ëê ûúa ò a a b b b B. f (x)G(x)dx = éF(x)G(x)ù - F(x)g(x)dx . ò ëê ûúa ò a a 14
b b b C. f (x)G(x)dx = éf (x)g(x)ù - F(x)g(x)dx . ò ëê ûúa ò a a b b b D. f (x)G(x)dx = éF(x)G(x)ù - f (x)g(x)dx . ò ëê ûúa ò a a 0 Câu 70. Tích phân I = ò xe- xdx có giá trị bằng - 2 A. - 2e2 + 1 .B. .C. 3e2 - 1 .D. . - e2 + 1 - e2 - 1 b b b Câu 71. Ta đã biết công thức tích phân từng phần F(x)g(x)dx = éF(x)G(x)ù - f (x)G(x)dx , trong đó F ò ëê ûúa ò a a và G là các nguyên hàm của f và g . Trong các biến đổi sau đây, sử dụng tích phân từng phần ở trên, biến đổi nào là sai? e e æ 2 ö e çx ÷ 1 A. (ln x)xdx = ç ln x÷ - xdx , trong đó F(x) = ln x , g(x) = x . ò èç 2 ø÷ 2 ò 1 1 1 1 1 1 x ( x ) x x B. ò xe dx = xe 0 - òe dx , trong đó F(x) = x , g(x) = e . 0 0 p p ( )p C. ò x sin xdx = x cosx 0 - ò cosxdx , trong đó F(x) = x , g(x) = sin x . 0 0 1 1 æ x+ 1 ö 1 x+ 1 x+ 1 ç 2 ÷ 2 x+ 1 D. x2 dx = çx ÷ - dx , trong đó F(x) = x , g(x) = 2 . ò èç ln 2ø÷ ò ln 2 0 0 0 p æ p ö Câu 72. Tích phân x cosçx + ÷dx có giá trị bằng ò èç 4ø÷ 0 (p - 2) 2 (p - 2) 2 (p + 2) 2 (p + 2) 2 A. . B. - .C. .D. . - 2 2 2 2 Câu 73. Cho hai hàm số liên tục f và g có nguyên hàm lần lượt là F và G trên đoạn [0;2] . Biết rằng 2 2 F(0) = 0 , F(2) = 1 , G(0) = - 2 , G(2) = 1 và ò F(x)g(x)dx = 3 . Tích phân ò f (x)G(x)dx có giá 0 0 trị bằng A. 3 .B. .C. . D. . 0 - 2 - 4 Câu 74. Cho hai hàm số liên tục f và g có nguyên hàm lần lượt là F và G trên đoạn [1;2] . Biết rằng 3 2 67 2 F(1) = 1, F(2) = 4 , G(1) = , G(2) = 2 và f (x)G(x)dx = . Tích phân F(x)g(x)dx có giá 2 ò 12 ò 1 1 trị bằng 11 145 11 145 A. . B. .C. .D. - . - 12 12 12 12 b Câu 75. Cho hai số thực a và b thỏa mãn a < b và ò x sin xdx = p , đồng thời a cosa = 0 và bcosb = - p . a b Tích phân ò cosxdx có giá trị bằng a 145 A. .B. .C. .D. . p - p 0 12 e 1- ln x Câu 76. Cho tích phân: I = dx .Đặt u = 1- ln x .Khi đó I bằng ò 2x 1 15
0 0 0 u2 1 A. I = u2du .B. I = .C.- u2du . D. I = du . I = - u2du ò ò ò 2 ò 1 1 1 0 2 x 2 Câu 77. Tích phân I = dx có giá trị bằng ò 2 1 x - 7x + 12 A. 5ln 2- 6ln 3 .B. 1+ 2ln 2 .- 6 lCn. 3 3 + 5ln 2 . -D.7 ln 3 1+ 25ln .2- 16ln 3 2 Câu 78. Tích phân I = ò x 5dx có giá trị là: 1 19 32 16 21 A. .B. .C. .D. . 3 3 3 2 1 xdx Câu 79. Tích phân I = bằng ò 3 0 (x + 1) 1 1 1 A. - . B. . C. . D. . 12 7 6 8 p 2 Câu 80. Cho tích phân I = ò(2- x) sin xdx . Đặt u = 2- x, dv = sin xdx thì I bằng 0 p p p 2 p 2 A. - (2- x) cosx 2 - cosxdx .B - (2- x) cosx 2 + cosxdx 0 ò 0 ò 0 0 p p p 2 p 2 C. (2- x) cosx 2 + cosxdx . D. (2 . - x) 2 + cosxdx 0 ò 0 ò 0 0 1 x 7 Câu 81. Tích phân dx bằng ò 2 5 0 (1+ x ) 1 2 (t - 1)3 3 (t - 1)3 1 2 (t - 1)3 3 4 (t - 1)3 A. .B. dt . C. dt .D. . dt dt 2 ò 5 ò 5 2 ò 4 2 ò 4 1 t 1 t 1 t 1 t 4 3 1 Câu 82. Tích phân I = dx bằng ò 4 1 x(x + 1) 3 1 3 1 3 1 3 A. ln .B. .C. .D. ln . ln ln 2 3 2 5 2 4 2 2 2 Câu 83. Cho hai tích phân I = ò x 3dx , J = ò xdx .Tìm mối quan hệ giữa I và J 0 0 32 128 64 A.I .J = 8 . B. .C. I .J = .D. I - .J = I + J = 5 7 9 a Câu 84. Cho số thực a thỏa mãn òex+ 1dx = e4 - e2 , khi đó a có giá trị bằng 1 A. - 1 .B. 3. C. .D. 2. 0 2 Câu 85. Tích phân òkexdx (với k là hằng số )có giá trị bằng 0 A. k(e2 - 1) . B. e2 - 1 .C. .D. k(e2 - . e) e2 - e Câu 86. Với hằng số ,k tích phân nào sau đây có giá trị khác với các tích phân còn lại ? 16
2 2 1 2 3 3 A. òk(e2- 1)dx . B. òkexdx .C. .Dò. 3ke3xdx . òke2xdx 0 0 0 0 Câu 87. Với số thực k , xét các phát biểu sau: 1 1 1 1 (I)òdx = 2 ; (II) òkdx = 2k ; (III)ò xdx = 2x ; (IV) ò 3kx 2dx = 2k . - 1 - 1 - 1 0 Số phát biểu đúng là A. 4.B. 3.C. 1.D. 2. 5 5 Câu 88. Cho hàm số f và g liên tục trên đoạn [1;5] sao cho ò f (x)dx = - 7 và ò g(x)dx = 5 và 1 1 5 é ù ò ëg(x) - kf (x)ûdx = 19 Giá trị của k là: 1 A. 2 .B. .C. 2. D. . 6 - 2 5 3 5 Câu 89. Cho hàm số f liên tục trên ¡ . Nếu ò 2f (x)dx = 2 và ò f (x)dx = 7 thì ò f (x)dx có giá trị bằng: 1 1 3 A. 5 .B. . C. .D. . - 6 9 - 9 2 2 é ù Câu 90. Cho hàm số f liên tục trên đoạn [0;3] . Nếu ò f (x)dx = 4 và tích phân ò ëkx - f (x)ûdx = - 1 giá trị 1 1 k bằng 5 A. 7 .B. .C. .D. 2. 5 2 e Câu 91. Tích phân ò(2x - 5) ln xdx bằng 1 e e e e A. - (x 2 - 5x) ln x - (x - 5)dx . B (x 2 - 5x) ln x + (x - 5)dx 1 ò 1 ò 1 1 e e e e C. (x 2 - 5x) ln x - (x - 5)dx . D. . (x - 5) ln x - (x 2 - 5x)dx 1 ò 1 ò 1 1 p 2 Câu 92. Tích phân I = ò cos2 x cos2xdx có giá trị bằng 0 - 5p p 3p p A. .B. .C. .D. . 8 2 8 8 p 4sin3 x Câu 93. Tích phân I = 2 dx có giá trị bằng ò0 1+ cosx A. 4.B. 3.C. 2.D. 1. 2p Câu 94. Tích phân I = ò 1+ sin xdx có giá trị bằng 0 A. 4 2 .B. .C. .D. 3 2 . 2 - 2 p 3 Câu 95. Tích phân I = ò sin2 x tan xdx có giá trị bằng 0 3 3 3 A ln 3- .B. .C. ln 2- .D2. . ln 2- ln 2- 5 4 8 17
Câu 96. Cho hàm số f(x) liên tục trên ¡ và f (x) + f (- x) = cos4 x với mọi x Î ¡ . Giá trị của tích phân p 2 I = ò f (x)dx là - p 2 3p 3 3 A. - 2 .B. .C. .D. . ln 2- ln 3- 16 4 5 0 Câu 97. Nếu ò(5- e- x )dx = K - e2 thì giá trị của K là: - 2 A. 11. B. .C. 7.D. . 9 12,5 p 2 Câu 98. Cho tích phân I.Đặt= ò 1+ 3cosx.sin .Khixdx đó bằngu = 3cosx + 1 I 0 2 2 3 2 2 2 3 A. u2du .B. .C. u2 .dDu. . u3 u2du 3 ò 3 ò 9 ò 1 0 1 1 e 8ln x + 1 Câu 99. Tích phân I = dx bằng ò x 1 13 3 3 A. - 2 .B. .C. .D. . ln 2- ln 3- 6 4 5 5 Câu 100. Tích phân ò x 2 - 2x - 3dx có giá trị bằng - 1 64 A. 0.B. . C. 7.D. . 12,5 3 2 Câu 101. Tìm a để ò(3- ax)dx = - 3 ? 1 A. 2.B. .C. 7.D. 4. 9 5 Câu 102. Nếu òk2 (5- x 3)dx = - 549 thì giá trị của k là: 2 A. ±B.2 2.C. .D. 5. - 2 3 x 2 - x + 4 Câu 103. Tích phân dx bằng ò x + 1 2 1 4 1 4 1 4 1 4 A. + 6ln .B. . C. + 6ln .D. . - ln + ln 3 3 2 3 2 3 2 3 Câu 104. Cho hàm số f liên tục trên ¡ thỏa f (x) + f (- x) = 2 + 2cos2x , với mọi x Î ¡ . Giá trị của tích p 2 phân I = ò f (x)dx là - p 2 A. 2. B. .C. 7.D. . - 7 - 2 2 122 Câu 105. Tìm m để (3- 2x)4dx = ? ò 5 m A. 0. B. .C. 7.D.2. 9 4.2 TÍCH PHÂN I. VẬN DỤNG THẤP 1 2 1 Câu 106. Giá trị của tích phân I = dx là ò 2 0 1- x 18
p p p p A. .B. .C. .D. . 6 4 3 2 1 dx Câu 107. Giá trị của tích phân I = là ò 2 0 1+ x p 3p p 5p A.IB = C. .D. I = . I = I = 2 4 4 4 3- 1 dx Câu 108. Giá trị của tích phân I = là ò 2 0 x + 2x + 2 5p p 3p p A. I = .B C I = D. . I = I = 12 6 12 12 1 Câu 109. Tích phân I = ò x 2 x 3 + 5dx có giá trị là 0 4 10 4 10 4 10 2 10 A. 6 - 3 .B. 7 - .C. 5 .D. 6 - 5 . 6 - 5 3 9 3 9 3 9 3 9 2 Câu 110. Tích phân ò 4 - x 2dx có giá trị là 0 p p p A. .B. .C D. . p 4 2 3 1 Câu 111. Tích phân I = ò x x 2 + 1dx có giá trị là 0 3 2 - 1 2 2 - 1 2 2 - 1 3 2 - 1 A. .B. .C. .D. . 3 3 2 2 0 Câu 112. Tích phân I = ò x 3 x + 1dx có giá trị là - 1 9 3 3 9 A. - .B. .C. .D. - . 28 28 28 28 1 x 2dx Câu 113. Giá trị của tích phân I = 2ò là 0 (x + 1) x + 1 16- 10 2 16- 11 2 16- 10 2 16- 11 2 A. .B. .C. .D. . 3 4 4 3 1 6 Câu 114. Giá trị của tích phân I = ò x 5 (1- x 3)dx là 0 1 1 1 1 A. .B. .C. .D. . 167 168 166 165 3 2x 2 + x - 1 Câu 115. Giá trị của tích phân I = ò dx là 0 x + 1 53 54 52 51 A. . B. .C. . D. . 5 5 5 5 1 3- x Câu 116. Giá trị của tích phân I = dx là ò 1+ x 0 p p p p A. - 2 + 2 .B. .-C. 2 + 2 .D. - 3 + . 2 - 3 + 2 2 3 3 2 1 5 Câu 117. Giá trị của tích phân ò(2x + 1) dx là 0 19
1 1 2 2 A. 30 .B. .C. .D. 60 . 60 30 3 3 3 3 1 4x + 2 Câu 118. Giá trị của tích phân dx là ò 2 0 x + x + 1 A. ln 2 .B. .C. .D. ln 3 . 2ln 2 2ln 3 2 dx Câu 119. Giá trị của tích phân là ò 2 1 (2x - 1) 1 1 1 2 A .B. .C. .D. . 2 3 4 3 3 x - 3 Câu 120. Giá trị của tích phân ò dx là 0 3. x + 1 + x + 3 3 3 3 3 A. 3 + 3ln .B. .B.3 + 6ln .D. - 3 + . 6ln - 3 + 3ln 2 2 2 2 Câu 121. Giá trị của tích phân: 2 3 2 3 A. a 4, b 2; I 2ln . B. a 4, b 2; .I 2ln 3 2 3 2 1 3 1 3 C. .aD. 2, b 4; I 4ln . a 2, b 4; I 4ln 3 2 3 2 Câu 122. Giá trị trung bình của hàm số y f x trên a;b , kí hiệu là m f được tính theo công thức 1 b m f f x dx . Giá trị trung bình của hàm số f x sin x trên 0;  là b a a 4 3 1 2 A. . B. .C. . D. . 1 dx 4 2 Câu 123. Cho ba tích phân I , J sin4 x cos4 x dx và K x2 3x 1 dx . Tích phân nào có 0 3x 1 0 1 21 giá trị bằng ? 2 A. K.B. I.C. J.D. J và K. a dx Câu 124. Với 0 a 1 , giá trị của tích phân sau dx là: 2 0 x 3x 2 a 2 a 2 a 2 a 2 A lB.n .C D. . ln ln ln 2a 1 a 1 2 a 1 2a 1 1 4x3 Câu 125. Cho 2 3m dx 0 . Khi đó giá trị của 144m2 1 bằng 4 2 0 (x 2) 2 2 3 2 3 A. . B. . 4 3 1 C. . D. . 3 3 3 Câu 126. Cho hàm số f liên tục trên đoạn [a;b] và có đạo hàm liên tục trên a;b , đồng thời thỏa mãn f (a) f (b) . Lựa chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau b b A. f '(x).e f (x)dx 2 .B. . f '(x).e f (x)dx 1 a a b b C. f '(x).e f (x)dx 1 .D. . f '(x).e f (x)dx 0 a a 20
5 dx Câu 127. Kết quả phép tính tích phân I có dạng I a ln 3 b ln 5 (a,b ¢ ) . Khi đó 1 x 3x 1 a2 ab 3b2 có giá trị là A. 1.B. 5.C. 0.D. 4. 2 n Câu 128. Với n ¥ , n 1 , tích phân I 1 cos x sin xdx có giá trị bằng 0 1 1 1 1 A. .B. .C. . D. . 2n n 1 n 1 n 2 n sin x Câu 129. Với n ¥ , n 1 , giá trị của tích phân dx là n n 0 cos x sin x 3 3 A. . B. .C. .D. . 4 4 4 4 2017 Câu 130. Giá trị của tích phân 1 cos 2xdx là 0 A. 3034 2 . B. .C. 4043 2 . D.3 043 2 . 4034 2 2 (1 sin x)1 cos x Câu 131. Giá trị của tích phân ln dx là 0 1 cos x A 2B.ln.C.3. D.1 . 2ln 2 1 2ln 2 1 2ln 3 1 b Câu 132. Có mấy giá trị của b thỏa mãn (3x2 12x 11)dx 6 0 A. 4.B. 2.C. 1.D. 3. b a Câu 133. Biết rằng 6dx 6 và xexdx a . Khi đó biểu thức b2 a3 3a2 2a có giá trị bằng 0 0 A. 5.B. 4.C. 7.D. 3. a dx b B Câu 134. Biết rằng A ,2dx B (với a,b 0 ). Khi đó giá trị của biểu thức 4aA bằng 2 2 0 x a 0 2b A. 2 .B. . C. . D.3 . 4 21
C. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM I – ĐÁP ÁN 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 D A B A A A C D C D B A D B B C C D B C 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 C A A A B D D D C B B C A B C D B D C A 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 C B B C B C D D D D B A A C D B A A C A 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 A D A B A D B C B D C D C A D B D A C B 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 A D A B A D B C B D C D C A D B D D C A 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 A D A B A D B C B D C D C A D B A C B B 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 D A B A A A C D C D B A D B B C C D B C 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 C A A A B D D D C B B C A B C D B D C A 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 C B B C B C D D C D B A A C D B A A C A 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 A D A B A D B C B D C D C A II –HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1. Cho hai hàm số f , g liên tục trên đoạn [a;b] và số thực k tùy ý. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? b b b b a A.  f (x) g(x)dx f (x)dx g(x)dx .B. f (x)dx f ( .x)dx a a a a b b b b b C. kf (x)dx k f (x)dx . D. . xf (x)dx x f (x)dx a a a a Câu 2. Cho hàm số f liên tục trên ¡ và số thực dương a . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào luôn đúng? a a a a A. f (x)dx 0 . B. f (x .C.)d x 1 .D. f (x)dx 1 . f (x)dx f (a) a a a a 1 Câu 3. Tích phân dx có giá trị bằng 0 A. 1 .B. . 1 C. .D. . 0 2 a Câu 4. Cho số thực a thỏa mãn ex 1dx e2 1 , khi đó a có giá trị bằng 1 A. 1. B. .C. .D. . 1 0 2 Hướng dẫn giải a x 1 x 1 a a 1 Ta có e dx e 1 e e . Vậy yêu cầu bài toán tương đương 1 22
ea 1 1 e2 1 a 1. Câu 5. Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào có tích phân trên đoạn [0; ] đạt giá trị bằng 0 ? A. . f (x) cos3x B. . f (x) sin 3x x x C. f (x) cos .D. . f (x) sin 4 2 4 2 Hướng dẫn giải Tính tích phân cho từng hàm số trong các đáp án: 1 , cos3xdx sin 3x 0 0 3 0 1 , sin 3xdx cos3x 2 0 3 0 x x , cos dx 4sin 2 2 2 0 4 2 4 2 0 x x . sin dx 4cos 2 2 0 4 2 4 2 0 Vậy chọn f (x) cos3x . Câu 6. Trong các tích phân sau, tích phân nào có giá trị khác 2 ? e2 1 2 A. . B.l n xdx . C. 2.D.dx . sin xdx xdx 1 0 0 0 Hướng dẫn giải Dù giải bằng máy tính hay làm tay, ta không nên thử tính lần lượt từng đáp án từ A đến D, mà nên chọn các tích phân đơn giản để thử trướC. Ví dụ 1 1 , 2dx 2x 0 2 0 2 2 x2 xdx 2 0 2 0 , sin xdx cos x 0 2 0 e2 nên nhận ln xdx . 1 1 2 Câu 7. Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào thỏa mãn f (x)dx f (x)dx ? 1 2 A. f (x) ex .B. f .C.(x ).D. cos x . f (x) sin x f (x) x 1 Hướng dẫn giải Cách 1: Phương pháp tự luận Tính lần lượt từng tích phân (cho đến khi nhận được kết quả đúng), ta được: 1 2 1 nhận,sin xdx cos x 1 0 sin xdx 1 2 1 2 1 2 cos xdx sin x 1 2sin1, và cos xdx sin x 2 2sin 2 loại, 1 2 1 2 x x 1 1 x x 2 2 2 e dx e 1 e e , và e dx e 2 e e loại, 1 2 1 2 1 (x 1)2 2 (x 1)2 (x 1)dx 2 , và (x 1)dx 4 loại. 1 2 1 2 2 2 23
Vậy ta nhận đáp án f (x) sin x . Cách 2: Phương pháp tự luận a Ta đã biết nếu f là hàm số lẻ và liên tục trên ¡ thì f (x)dx 0 với mọi số thực a . Trong các lựa a chọn ở đây, chỉ có hàm số y = f (x) = sin x là lẻ, nên đó là đáp án của bài toán. Cách 3: Phương pháp trắc nghiệm Thực hiện các phép tính sau trên máy tính (đến khi thu được kết quả bằng 0 thì ngưng) Phép tính Kết quả 1 2 sin xdx sin xdx 0 1 2 1 2 cos xdx cos xdx 0 1 2 1 2 exdx exdx 0 1 2 1 2 (x 1)dx (x 1)dx 0 1 2 Vậy ta nhận đáp án f (x) sin x . 5 dx Câu 8. Tích phân I có giá trị bằng 2 x 1 5 2 A. 3ln 3 .B. .C. .D. ln 3 . ln ln 3 2 5 Hướng dẫn giải Cách 1: Phương pháp tự luận 5 dx 5 5 I ln x ln 5 ln 2 ln . 2 2 x 2 Cách 2: Phương pháp trắc nghiệm Bước 1: Dùng máy tính như hình bên, thu được giá trị 0,91629 5 5 Bước 2: Lấy e0,91629 cho kết quả chọn ln . 2 2 Cách 3: Phương pháp trắc nghiệm Thực hiện các phép tính sau trên máy tính (đến khi thu được kết quả bằng 0 thì ngưng) Phép tính Kết quả Phép tính Kết quả 5 dx 5 5 dx ln 0 3ln 3 0 2 x 2 2 x 5 dx 1 5 dx 2 ln 3 0 ln 0 2 x 3 2 x 5 5 chọn ln . 2 2 dx Câu 9. Tích phân I có giá trị bằng sin x 3 1 1 1 1 A. ln .B. . 2ln 3C. .D. . ln 3 2ln 2 3 2 3 24
Hướng dẫn giải Cách 1: Phương pháp tự luận 2 x 2 x 2 2 cos sin 2 dx 2 2 1 x x I dx cot tan dx sin x x x 2 2 2 2sin cos 3 3 2 2 3 x x 2 ln sin ln cos 2 2 3 2 2 1 3 ln ln ln ln 2 2 2 2 ln 3. Cách 2: Phương pháp trắc nghiệm Bước 1: Dùng máy tính như hình bên, thu được giá trị 0,549306 Bước 2: Lấy e0,549306 cho kết quả 1,732050808 3 1 chọn ln 3 . 2 Cách 3: Phương pháp trắc nghiệm Thực hiện các phép tính sau trên máy tính (đến khi thu được kết quả bằng 0 thì ngưng) Phép tính Kết quả Phép tính Kết quả 2 dx 1 2 dx 1 ln 3 0 2ln 0 sin x 2 sin x 3 3 3 2 dx 2 dx 1 1 2ln 3 0 ln 0 sin x sin x 2 3 3 3 1 chọn ln 3 . 2 Nhận xét: Ở bài này cách làm bằng máy tính có vẻ nhanh hơn. 0 Câu 10. Nếu 4 e x/2 dx K 2e thì giá trị của K là 2 A. 12,5 .B. .C. .D. . 9 11 10 Hướng dẫn giải Phương pháp tự luận 0 0 K 4 e x/2 dx 2e 4x 2e x/2 2e 2 8 2e 2e 10 . 2 2 Phương pháp trắc nghiệm 0 Dùng máy tính tính 4 e x/2 dx 2e như hình bên, 2 thu được giá trị K 10 . 1 1 Câu 11. Tích phân I dx có giá trị bằng 2 0 x x 2 25
2ln 2 2ln 2 A. . B. . C. .D. 2ln . 2 2ln 2 3 3 Hướng dẫn giải Phương pháp tự luận 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2ln 2 dx dx dx ln x 2 ln x 1 . 2 0 0 x x 2 0 (x 2)(x 1) 3 0 x 2 x 1 3 3 1 1 x a Học sinh có thể áp dụng công thức dx ln C để giảm một bước tính: (x a)(x b) a b x b 1 1 1 1 1 1 x 2 2ln 2 I dx dx ln . 2 0 x x 2 0 (x 2)(x 1) 3 x 1 0 3 Phương pháp trắc nghiệm Bước 1: Dùng máy tính như hình bên, thu được giá trị 0.4620981 2ln 2 Bước 2: Loại đáp án dương và loại đáp án nhiễu “Không 3 xác định”. 2 Bước 3: Chia giá trị 0.4620981 cho ln 2 , nhận được 3 2ln 2 chọn . 3 5 5 Câu 12. Cho hàm số f và g liên tục trên đoạn [1;5] sao cho f (x)dx 2 và g(x)dx 4 . Giá trị của 1 1 5 g(x) f (x)dx là 1 A. 6 . B. . 6 C. .D. . 2 2 Hướng dẫn giải 5 5 5 g(x) f (x)dx g(x)dx f (x)dx 4 2 6 . 1 1 1 3 3 Câu 13. Cho hàm số f liên tục trên đoạn [0;3] . Nếu f (x)dx 2 thì tích phân x 2 f (x)dx có giá trị 0 0 bằng 5 1 A. 7 .B. . C. . D.5 . 2 2 Hướng dẫn giải 3 3 3 9 1 x 2 f (x)dx xdx 2 f (x)dx 2 2 . 0 0 0 2 2 5 3 5 Câu 14. Cho hàm số f liên tục trên đoạn [0;6] . Nếu f (x)dx 2 và f (x)dx 7 thì f (x)dx có giá trị 1 1 3 bằng A. 5 . B. 5 . C. .D. . 9 9 Hướng dẫn giải 5 1 5 3 5 f (x)dx f (x)dx f (x)dx f (x)dx f (x)dx 7 2 5. 3 3 1 1 1 Câu 15. Trong các phép tính sau đây, phép tính nào sai? 3 2 3 1 2 A. exdx ex .B. . dx ln x 1 3 1 3 x 26
2 2 2 2 2 x C. cos xdx sin x .D. . x 1 dx x 1 2 1 Hướng dẫn giải 2 2 1 2 1 2 Phép tính dx ln x là sai. Phép tính đúng là dx ln x . 3 3 3 x 3 x Câu 16. Cho hàm số f liên tục trên đoạn [a;b] có một nguyên hàm là hàm F trên đoạn [a;b] . Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sai ? b A. f (x)dx F(b) F(a) . a B. F '(x) f (x) với mọi x (a;b) . b C. f (x)dx f (b) f (a) . a b D. Hàm số G cho bởi G(x) F(x) 5 cũng thỏa mãn f (x)dx G(b) G(a) . a Câu 17. Xét hàm số f liên tục trên ¡ và các số thực a , b , c tùy ý. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? b b a b c b A. f (x)dx f (x)dx f (x)dx .B. f (x)dx f (x)d . x f (x)dx a c c a a c b c b b c c C. f (x)dx f (x)dx f (x)dx .D. f (x)dx f (x)d . x f (x)dx a a c a a b Câu 18. Xét hai hàm số f và g liên tục trên đoạn a;b . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? b A. Nếu m f (x) M x [a;b] thì m(b a) f (x)dx M (a b) . a b B. Nếu f (x) m x [a;b] thì f (x)dx m(b a) . a b C. Nếu f (x) M x [a;b] thì f (x)dx M (b a) . a b D. Nếu f (x) m x [a;b] thì f (x)dx m(a b) . a Hướng dẫn giải b Mệnh đề “Nếu f (x) m x [a;b] thì f (x)dx m(a b) ” sai, mệnh đề đúng phải là a b “Nếu f (x) m x [a;b] thì f (x)dx m(b a) ”. a Câu 19. Cho hai hàm số f và g liên tục trên đoạn [a;b] sao cho g(x) 0 với mọi x [a;b] . Xét các khẳng định sau: b b b I.  f (x) g(x)dx f (x)dx g(x)dx . a a a b b b II.  f (x) g(x)dx f (x)dx g(x)dx . a a a 27
b b b III.  f (x).g(x)dx f (x)dx. g(x)dx . a a a b f (x)dx b f (x) IV. dx a . g(x) b a g(x)dx a Trong các khẳng định trên, có bao nhiêu khẳng định sai? A. 1 . B. 2 . C. .D. . 3 4 Hướng dẫn giải b f (x)dx b f (x) b b b Các công thức dx a và  f (x).g(x)dx f (x)dx. g(x)dx là sai. g(x) b a g(x)dx a a a a 3 Câu 20. Tích phân x(x 1)dx có giá trị bằng với giá trị của tích phân nào trong các tích phân dưới đây? 0 2 3 ln 10 A. x2 x 3 dx .B. 3 sin .C.x d.D.x .e2xdx cos(3x )dx 0 0 0 0 Hướng dẫn giải Phương pháp tự luận Tính rõ từng phép tính tích phân để tìm ra kết quả đúng (chỉ tính đến khi nhận được kết quả đúng thì dừng lại): ln 10 ln 10 e2x e2ln 10 1 9 e2xdx , 0 2 0 2 2 3 3 , 3 sin xdx 3cos x 0 6 0 2 2 3 2 2 x x 8 4 , x x 3 dx 3x 2 6 0 3 2 0 3 3 1 1 . cos(3x )dx sin(3x ) sin 4 sin 0 0 0 3 3 ln 10 Vậy chọn e2xdx . 0 Phương pháp trắc nghiệm Nhập các phép tính sau vào máy tính để thu kết quả: Phép tính Kết quả 3 ln 10 x(x 1)dx e2xdx 0 0 0 3 3 3 x(x 1)dx sin xdx 0 0 2 3 2 35 x(x 1)dx x2 x 3 dx 0 0 6 3 9 x(x 1)dx cos(3x )dx 0 0 2 28
ln 10 Vậy chọn. e2xdx 0 Câu 21. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? b A. Nếu hàm số f liên tục trên đoạn a;b , sao cho f (x)dx 0 thì f (x) 0 x [a;b] . a 3 B. Với mọi hàm số f liên tục trên đoạn [ 3;3] , luôn có f (x)dx 0 . 3 b a C. Với mọi hàm số f liên tục trên ¡ , ta có f (x)dx f (x)d( x) . a b 5 5 3 2  f (x) D. Với mọi hàm số f liên tục trên đoạn 1;5 thì  f (x) dx . 1 3 1 Hướng dẫn giải b a a a Vì d( x) ( 1)dx nên f (x)dx f (x)dx f (x)( 1)dx f (x)d( x) . a b b b Câu 22. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? 1 0 A. Nếu f là hàm số chẵn trên ¡ thì f (x)dx f (x)dx . 0 1 0 1 B. Nếu f (x)dx f (x)dx thì f là hàm số chẵn trên đoạn [ 1;1] . 1 0 1 C. Nếu f (x)dx 0 thì f là hàm số lẻ trên đoạn [ 1;1] . 1 1 D. Nếu f (x)dx 0 thì f là hàm số chẵn trên đoạn [ 1;1] . 1 Hướng dẫn giải x 0 1 1 Hàm số y x3 thỏa f (x)dx f (x)dx và f (x)dx 0 , nhưng nó là hàm lẻ trên 2 1 0 1 [ 1;1]. 1 1 Hàm số y x2 thỏa f (x)dx 0 , nhưng nó làm hàm chẵn trên [ 1;1] . 3 1 Còn khi f là hàm chẵn trên ¡ thì f (x) f ( x) với mọi x ¡ . Đặt t x dt dx và suy ra 1 1 1 1 1 0 f (x)dx f (x)( 1)dx f (x)d( x) f ( x)d( x) f (t)dt f (t)dt. 0 0 0 0 0 1 2 Câu 23. Giả sử F là một nguyên hàm của hàm số y x6 sin5 x trên khoảng (0; ) . Khi đó x6 sin5 xdx có 1 giá trị bằng A. F(2) F(1) . B. .C. F(1) .D. . F(2) F(1) F(2) Hướng dẫn giải b Áp dụng công thức f (x)dx F(b) F(a) , trong đó F là một nguyên hàm của f trên đoạn [a;b] , a 2 ta có x6 sin5 xdx F(2) F(1) . 1 29
b b 2 Câu 24. Cho hàm số f liên tục trên ¡ và hai số thực a b . Nếu f (x)dx thì tích phân f (2x)dx có a a 2 giá trị bằng A. . B. .C. .D. . 2 4 2 Hướng dẫn giải Phương pháp tự luận Đặt t 2x dt 2dx và x a 2 b 2 t a b b 2 1 b 2 1 b Vậy f (2x)dx f (2x)2dx f (t)dt . a 2 2 a 2 2 a 2 Phương pháp trắc nghiệm Phương pháp tự luận tốt hơn cả, nhưng nếu học sinh không nắm rõ, có thể thay f bởi một hàm số đơn giản, xác định trên [0;1] và tính toán. Ví dụ vớif (x ) x . xKhi [ đó0;1 ] 1 1 1 f (x)dx xdx , 0 0 2 suy ra 1/2 1/2 1 f (2x)dx 2xdx . 0 0 4 2 Câu 25. Giả sử F là một nguyên hàm của hàm số y x3 sin5 x trên khoảng (0; ) . Khi đó tích phân 2 81x3 sin5 3xdx có giá trị bằng 1 A. 3F(6) F(3) .B. F(6) . F (3) C. .D. 3F(2) .F(1) F(2) F(1) Hướng dẫn giải Đăt t 3x dt 3dx và đổi cận x 1 2 t 3 6 2 2 6 Vậy 81x3 sin5 3xdx (3x)3 (sin5 3x)3dx t3 sin5 tdt F(6) F(3) . 1 1 3 2 Câu 26. Giả sử hàm số f liên tục trên đoạn [0;2] thỏa mãn f (x)dx 6 . Giá trị của tích phân 0 2 f (2sin x)cos xdx là 0 A. 6 .B. .C. .D. . 6 3 3 Hướng dẫn giải Đặt t 2sin x dt 2cos xdx và x 0 2 t 0 2 2 2 f (t) 1 2 Vậy f (2sin x)cos xdx dt f (t)dt 3 . 0 0 2 2 0 e ln x 1ln x Câu 27. Bài toán tính tích phân I dx được một học sinh giải theo ba bước sau: 1 x 1 I. Đặt ẩn phụ t ln x 1 , suy ra dt dx và x 30
x 1 e t 1 2 e ln x 1ln x 2 II. I dx t t 1 dt 1 x 1 2 2 5 2 III. I t t 1 dt t 1 3 2 . 1 t 1 Học sinh này giải đúng hay sai? Nếu sai thì sai từ bước nào? A. Bài giải đúng.B. Sai từ Bước II.C. Sai từ Bước I.D. Sai ở Bước III. Hướng dẫn giải 2 2 2 5 2 3 4 2 1 Bước III sai. Phép tính đúng là I t t 1 dt t t . 1 5 3 1 15 3 sin 2x Câu 28. Xét tích phân I dx . Thực hiện phép đổi biến t cos x , ta có thể đưa I về dạng nào sau 0 1 cos x đây 4 2t 4 2t 1 2t 1 2t A. I dt .B. I .C. dt I .D. dt . I dt 0 1 t 0 1 t 1 1 t 1 1 t 2 2 Hướng dẫn giải 1 Ta có t cos x dt sin xdx . Khi x 0 thì t 1 , khi x thì t . Vậy 3 2 3 sin 2x 3 2sin x cos x 1 2 2t 1 2t I dx dx dt dt . 0 1 cos x 0 1 cos x 1 1 t 1 2 1 t Câu 29. Cho hàm số y f (x) liên tục trên đoạn [a;b] . Trong các bất đẳng thức sau, bất đẳng thức nào luôn đúng? b b b b A. f (x) dx f (x)dx .B. . f x dx f (x) dx a a a a b b b b C. f (x) dx f (x)dx .D. . f x dx f (x) dx a a a a Câu 30. Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào sai? 1 1 1 A. sin(1 x)dx sin xdx .B. . (1 x)x dx 0 0 0 0 x 2 1 2 C. sin dx 2 sin xdx .D. . x2017 (1 x)dx 0 2 0 1 2019 Hướng dẫn giải Cách 1: Tính trực tiếp các tích phân 1 0 1 Đặt t 1 x dt dx sin(1 x)dx sin tdt sin tdt 0 1 0 x 1 x 2 Đặt t dt dx sin dx 2sin tdt 2 2 0 2 0 1 1 2018 2019 2018 2019 2018 2019 2017 x x 1 1 ( 1) ( 1) 2 x (1 x)dx 1 2018 2019 1 2018 2019 2018 2019 2019 1 Vậy (1 x)x dx 0 sai. 0 Cách 2: Nhận xét tích phân 31
1 1 1 Ta thấy (1 x)x 1 với mọi x [0;1] nên (1 x)x dx 1dx 1 , vậy “ (1 x)x dx 0 ” là khẳng 0 0 0 định sai. Cách 3: Phương pháp trắc nghiệm Nhập các phép tính sau vào máy tính để thu kết quả: Phép tính Kết quả 1 (1 x)x dx 0 0 1 1 sin(1 x)dx sin xdx 0 0 0 x 2 sin dx 2 sin xdx 0 0 2 0 1 2 x2017 (1 x)dx 0 1 2019 1 suy ra (1 x)x dx 0 là khẳng định sai. 0 Câu 31. Cho hàm số y f (x) lẻ và liên tục trên đoạn [ 2;2] . Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào luôn đúng? 2 2 2 A. f (x)dx 2 f (x)dx .B. . f (x)dx 0 2 0 2 2 0 2 2 C. f (x)dx 2 f (x)dx .D. . f (x)dx 2 f (x)dx 2 2 2 0 Hướng dẫn giải Phương pháp tự luận Với hàm số f bất kỳ và số thực dương a , ta luôn nằm lòng 2 tính chất sau đây: a Nếu f là hàm số lẻ trên đoạn [-a;a] thì f (x)dx 0 , a a a Nếu f là hàm số chẵn trên đoạn [-a;a] thì f (x)dx 2 f (x)dx . a 0 2 Vậy trong bài này ta chọn . f (x)dx 0 2 Phương pháp trắc nghiệm Nếu học sinh không nắm rõ hai tính chất kể trên, có thể thay f bởi một hàm số đơn giản, xác định trên [ 2;2] và tính toán. Ví dụ vớif (x ) x x . Khi[ 2đó;2 ] 2 2 2  f (x)dx 0 , , f (x)dx 2 f (x)dx 2 2 0 2 0 2 2 ,. f (x)dx 2 f (x)dx f (x)dx 2 f (x)dx 2 2 2 0 2 Vậy chọn f (x)dx 0 . 2 1 Câu 32. Bài toán tính tích phân I (x 1)2 dx được một học sinh giải theo ba bước sau: 2 I. Đặt ẩn phụ t (x 1)2 , suy ra dt 2(x 1)dx , 32
dt dt II. Từ đây suy ra dx dx . Đổi cận 2(x 1) 2 t x 2 1 t 1 4 1 4 t 1 4 7 III. Vậy I (x 1)2 dx dt t3 . 2 1 2 t 3 1 3 Học sinh này giải đúng hay sai? Nếu sai thì sai từ bước nào? A. Sai từ Bước I.B. Sai ở Bước III.C. Sai từ Bước II.D. Bài giải đúng. Hướng dẫn giải Khi đặt t (x 1)2 với 2 x 1 thì không suy ra t x 1 được, vì x 1 có thể bị âm khi 2 x 1. Câu 33. Một học sinh được chỉ định lên bảng làm 4 bài toán tích phân. Mỗi bài giải đúng được 2,5 điểm, mỗi bài giải sai (sai kết quả hoặc sai bước tính nguyên hàm) được 0 điểm. Học sinh đã giải 4 bài toán đó như sau: Bài Đề bài Bài giải của học sinh 1 1 1 1 x2 x2 2 1 2 e e 1 1 e xdx ex xdx ex d x2 0 0 2 0 2 0 2 1 1 1 1 1 dx dx ln x2 x 2  ln 2 ln 2 0 2 2 2 0 0 x x 2 0 x x 2 Đặt t cos x , suy ra dt sin xdx . Khi x 0 thì t 1 ; khi x thì t 1 . Vậy 3 sin 2x cos xdx 1 1 2t3 4 0 sin 2x cos xdx 2 sin x cos2 xdx 2 t 2dt 0 0 1 3 1 3 e 1 (4 2e)ln x e e dx 1 (4 2e)ln xd ln x 1 (4 2e)ln x x 4 dx 1 1 1 x e x (4 2e)ln2 x 3 e 1 Số điểm mà học sinh này đạt được là bao nhiêu? A. 5,0 điểm.B. 2,5 điểm.C. 7,5 điểm.D. 10,0 điểm. Hướng dẫn giải Bài toán 2 giải sai. Cách giải đúng là 1 1 1 1 1 1 x 2 2 dx dx ln ln 2 2 0 x x 2 0 (x 1)(x 2) 3 x 1 0 3 Bài toán 4 ra kết quả đúng, nhưng cách tính nguyên hàm sai hoàn toàn. Lời giải đúng là: e e 1 (4 2e)ln x e dx 1 (4 2e)ln x d ln x ln x (2 e)ln2 x 3 e   1 1 x 1 Kinh nghiệm Kết quả đúng thì chưa chắc bài giải đúng. Câu 34. Cho hai hàm số liên tục f và g liên tục trên đoạn [a;b] . Gọi F và G lần lượt là một nguyên hàm của f và g trên đoạn [a;b] . Đẳng thức nào sau đây luôn đúng? b b b A. f (x)G(x)dx F(x)g(x) F(x)G(x)dx .   a a a b b b B. f (x)G(x)dx F(x)G(x) F(x)g(x)dx .   a a a b b b C. f (x)G(x)dx f (x)g(x) F(x)g(x)dx .   a a a 33
b b b D. f (x)G(x)dx F(x)G(x) f (x)g(x)dx .   a a a 0 Câu 35. Tích phân I xe xdx có giá trị bằng 2 A. e2 1 .B. .C. 3e2 . D.1 . e2 1 2e2 1 Hướng dẫn giải Phương pháp tự luận Sử dụng tích phân từng phần, ta được 0 I xe xdx 2 0 0 0 0 0 0 0 xd e x xe x e xdx xe x e xdx xe x e x e2 1. 2 2 2 2 2 2 2 Phương pháp trắc nghiệm 0 Dùng máy tính tính xe xdx như hình bên, thu được kết quả như 2 hình bên. Loại được đáp án 3e2 1 . Sau đó thử từng đáp án còn lại để tìm ra kết quả. Câu 36. Cho hai hàm số f và g liên tục trên đoạn [a;b] và số thực k bất kỳ trong ¡ . Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sai? b b b b a A  f (x) g(x)dx f (x)dx g(x)dx .B. f (x)dx f ( . x)dx a a a a b b b b b C. kf (x)dx k f (x)dx .D. . xf (x)dx x f (x)dx a a a a Câu 37. Cho hàm số f liên tục trên ¡ và số thực dương a . Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào luôn đúng? a a a a A. f (x)dx 1 .B. f (.x C.)d x 0 .D. f (x)dx 1 . f (x)dx f (a) a a a a 1 Câu 38. Tích phân dx có giá trị bằng 0 A. 2 .B. .C. .D. . 1 0 1 a Câu 39. Cho số thực a thỏa mãn ex 1dx e2 1 , khi đó a có giá trị bằng 1 A. 0 .B. .D. . D. . 1 1 2 Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] a x 1 x 1 a a 1 Ta có e dx e 1 e e . Vậy yêu cầu bài toán tương đương 1 ea 1 1 e2 1 a 1. Câu 40. Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào có tích phân trên đoạn [0; ] đạt giá trị bằng 0 ? A. .B.f ( x) cos3x . f (x) sin 3x x x C. f (x) cos .D. . f (x) sin 4 2 4 2 Hướng dẫn giải Tính tích phân cho từng hàm số trong các đáp án: 1 cos3xdx sin 3x 0 0 3 0 34
1 sin 3xdx cos3x 2 0 3 0 x x cos dx 4sin 2 2 2 0 4 2 4 2 0 x x . sin dx 4cos 2 2 0 4 2 4 2 0 Vậy chọn .f (x) cos3x Câu 41. Tích phân nào trong các tích phân sau có giá trị khác 2 ? 1 e2 2 A. sin xdx .B. .B. .D. 2dx . ln xdx xdx 0 0 1 0 1 2 Câu 42. Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào thỏa mãn f (x)dx f (x)dx ? 1 2 A. f (x) cos x .B. .C. f (x) .D. sin x . f (x) ex f (x) x 1 Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] Tính lần lượt từng tích phân (cho đến khi nhận được kết quả đúng), ta được: 1 2 1 nhận,sin xdx cos x 1 0 sin xdx 1 2 1 2 1 2 cos xdx sin x 1 2sin1, và cos xdx sin x 2 2sin 2 loại, 1 2 1 2 x x 1 1 x x 2 2 2 e dx e 1 e e , và e dx e 2 e e loại, 1 2 1 2 1 (x 1)2 2 (x 1)2 (x 1)dx 2 , và (x 1)dx 4 loại. 1 2 1 2 2 2 Vậy ta nhận đáp án f (x) sin x . [Phương pháp trắc nghiệm] Thực hiện các phép tính sau trên máy tính (đến khi thu được kết quả bằng 0 thì ngưng) Phép tính Kết quả 1 2 sin xdx sin xdx 0 1 2 1 2 cos xdx cos xdx 0 1 2 1 2 exdx exdx 0 1 2 1 2 (x 1)dx (x 1)dx 0 1 2 Vậy ta nhận đáp án f (x) sin x . 5 dx Câu 43. Tích phân I có giá trị bằng 2 x 1 5 2 A. ln 3 .B. .C. .D.l n . 3ln 3 ln 3 2 5 Hướng dẫn giải [Cách 1: Phương pháp tự luận] 35
5 dx 5 5 I ln x ln 5 ln 2 ln . 2 2 x 2 [Cách 2: Phương pháp trắc nghiệm] Bước 1: Dùng máy tính như hình bên, thu được giá trị 0,91629 5 5 Bước 2: Lấy e0,91629 cho kết quả chọn ln . 2 2 [Cách 3: Phương pháp trắc nghiệm] Thực hiện các phép tính sau trên máy tính (đến khi thu được kết quả bằng 0 thì ngưng) Phép tính Kết quả Phép tính Kết quả 5 dx 5 5 dx ln 0 3ln 3 0 2 x 2 2 x 5 dx 1 5 dx 2 ln 3 0 ln 0 2 x 3 2 x 5 5 chọn ln . 2 2 dx Câu 44. Tích phân I có giá trị bằng sin x 3 1 1 1 1 A. 2ln .B. .C. .D.2l n 3 . ln 3 ln 3 2 2 3 Hướng dẫn giải [Cách 1: Phương pháp tự luận] 2 x 2 x 2 2 cos sin 2 dx 2 2 1 x x I dx cot tan dx sin x x x 2 2 2 2sin cos 3 3 2 2 3 . x x 2 2 2 1 3 ln sin ln cos ln ln ln ln ln 3. 2 2 2 2 2 2 3 [Cách 2: Phương pháp trắc nghiệm] Bước 1: Dùng máy tính như hình bên, thu được giá trị 0,549306 Bước 2: Lấy e0,549306 cho kết quả 1,732050808 3 1 chọn ln 3 . 2 [Cách 3: Phương pháp trắc nghiệm] Thực hiện các phép tính sau trên máy tính (đến khi thu được kết quả bằng 0 thì ngưng) Phép tính Kết quả Phép tính Kết quả 2 dx 1 2 dx 1 ln 3 0 2ln 0 sin x 2 sin x 3 3 3 36
2 dx 2 dx 1 1 2ln 3 0 ln 0 sin x sin x 2 3 3 3 1 chọn ln 3 . 2 Nhận xét: Ở bài này cách làm bằng máy tính có vẻ nhanh hơn. 0 Câu 45. Nếu 4 e x/2 dx K 2e thì giá trị của K là 2 A. 9 .B. . C. .D. . 10 11 12,5 Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] 0 0 K 4 e x/2 dx 2e 4x 2e x/2 2e 2 8 2e 2e 10 . 2 2 [Phương pháp trắc nghiệm] 0 Dùng máy tính tính 4 e x/2 dx 2e như hình bên, thu được 2 giá trị K 10 . 1 1 Câu 46. Tích phân I dx có giá trị bằng 2 0 x x 2 2ln 2 2ln 2 A. 2ln 2 .B. .C. . D. Không xác định. 3 3 Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2ln 2 dx dx dx ln x 2 ln x 1 . 2 0 0 x x 2 0 (x 2)(x 1) 3 0 x 2 x 1 3 3 1 1 x a Học sinh có thể áp dụng công thức dx ln C để giảm một bước tính: (x a)(x b) a b x b 1 1 1 1 1 1 x 2 2ln 2 I dx dx ln 2 0 x x 2 0 (x 2)(x 1) 3 x 1 0 3 [Phương pháp trắc nghiệm] Bước 1: Dùng máy tính như hình bên, thu được giá trị 0.4620981 2ln 2 Bước 2: Loại đáp án dương và loại đáp án nhiễu “Không 3 xác định”. 2 Bước 3: Chia giá trị 0.4620981 cho ln 2 , nhận được 3 2ln 2 chọn . 3 5 5 Câu 47. Cho hàm số f và g liên tục trên đoạn [1;5] sao cho f (x)dx 2 và g(x)dx 4 . Giá trị của 1 1 5 g(x) f (x)dx là 1 A. 2 .B. .C. .D. . 6 2 6 Hướng dẫn giải 37
5 5 5 g(x) f (x)dx g(x)dx f (x)dx 4 2 6 . 1 1 1 3 3 Câu 48. Cho hàm số f liên tục trên đoạn [0;3] . Nếu f (x)dx 2 thì tích phân x 2 f (x)dx có giá trị 0 0 bằng 5 1 A. 7 .B. .C. .D. . 5 2 2 Hướng dẫn giải 3 3 3 9 1 x 2 f (x)dx xdx 2 f (x)dx 2 2 . 0 0 0 2 2 5 3 5 Câu 49. Cho hàm số f liên tục trên đoạn [0;6] . Nếu f (x)dx 2 và f (x)dx 7 thì f (x)dx có giá trị 1 1 3 bằng A. 9 .B. .C. .D. . 5 9 5 Hướng dẫn giải 5 1 5 3 5 f (x)dx f (x)dx f (x)dx f (x)dx f (x)dx 7 2 5. 3 3 1 1 1 Câu 50. Trong các phép tính sau đây, phép tính nào sai? 2 2 3 x2 3 A. x 1 dx x .B. . exdx ex 1 1 2 1 1 2 2 2 1 2 C. cos xdx sin x .D. . dx ln x 3 3 x Hướng dẫn giải 2 2 1 2 1 2 Phép tính dx ln x là sai. Phép tính đúng là dx ln x . 3 3 3 x 3 x Câu 51. Cho hàm số f liên tục trên đoạn [a;b] có một nguyên hàm là hàm F trên đoạn [a;b] . Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sai ? A. F '(x) f (x) với mọi x (a;b) . b B. f (x)dx f (b) f (a) . a b C. f (x)dx F(b) F(a) . a b D. Hàm số G cho bởi G(x) F(x) 5 cũng thỏa mãn f (x)dx G(b) G(a) . a Câu 52. Xét hàm số f liên tục trên ¡ và các số thực a , b , c tùy ý. Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sai? b c b b c b A. f (x)dx f (x)dx f (x)dx .B. f (x)dx f (x)d . x f (x)dx a a c a a c b b a b c c C. f (x)dx f (x)dx f (x)dx .D. f (x)dx f (x)d . x f (x)dx a c c a a b Câu 53. Xét hai hàm số f và g liên tục trên đoạn a;b .Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? b A. Nếu f (x) m x [a;b] thì f (x)dx m(a b) . a 38
b B. Nếu f (x) m x [a;b] thì f (x)dx m(b a) . a b C. Nếu f (x) M x [a;b] thì f (x)dx M (b a) . a b D. Nếu m f (x) M x [a;b] thì m(b a) f (x)dx M (a b) . a Hướng dẫn giải b Mệnh đề “Nếu f (x) M x [a;b] thì f (x)dx M (a b) ” sai, mệnh đề đúng phải là a b “Nếu f (x) M x [a;b] thì f (x)dx M (b a) ”. a Câu 54. Cho hai hàm số f và g liên tục trên đoạn [a;b] sao cho g(x) 0 với mọi x [a;b] . Một học sinh lên bảng và phát biểu các tính chất sau: b b b b b b I.  f (x) g(x)dx f (x)dx g(x)dx . II.  f (x) g(x)dx f (x)dx g(x)dx . a a a a a a b f (x)dx b b b b f (x) III.  f (x).g(x)dx f (x)dx. g(x)dx . IV. dx a . g(x) b a a a a g(x)dx a Trong số các phát biểu trên, có bao nhiêu phát biểu sai? A. 3 .B. .C. . D. . 1 2 4 Hướng dẫn giải b f (x)dx b f (x) b b b Các phát biểu dx a và  f (x).g(x)dx f (x)dx. g(x)dx là sai. g(x) b a g(x)dx a a a a 3 Câu 55. Tích phân x(x 1)dx có giá trị bằng với tích phân nào trong các tích phân dưới đây ? 0 3 2 ln 10 A. cos(3x )dx .B. 3 sin .C.x dx .D. x 2. x 3 dx e2xdx 0 0 0 0 Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] Tính rõ từng phép tính tích phân để tìm ra kết quả đúng (Chỉ tính đến khi nhận được kết quả đúng thì dừng lại): ln 10 ln 10 e2x e2ln 10 1 9 e2xdx , 0 2 0 2 2 3 3 , 3 sin xdx 3cos x 0 6 0 2 2 3 2 2 x x 8 4 , x x 3 dx 3x 2 6 0 3 2 0 3 3 1 1 . cos(3x )dx sin(3x ) sin 4 sin 0 0 0 3 3 39
ln 10 Vậy chọn . e2xdx 0 [Phương pháp trắc nghiệm] Nhập các phép tính sau vào máy tính để thu kết quả: Phép tính Kết quả 3 ln 10 x(x 1)dx e2xdx 0 0 0 3 3 3 x(x 1)dx sin xdx 0 0 2 3 2 35 x(x 1)dx x2 x 3 dx 0 0 6 3 9 x(x 1)dx cos(3x )dx 0 0 2 ln 10 Vậy chọn. e2xdx 0 Câu 56. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? 3 A. Với mọi hàm số f liên tục trên đoạn [ 3;3] , luôn có f (x)dx 0 . 3 b a B. Với mọi hàm số f liên tục trên ¡ , ta có. f (x)dx f (x)d( x) a b b C. Nếu hàm số f liên tục trên đoạn a;b , sao cho f (x)dx 0 thì f (x) 0 x [a;b] . a 5 5 3 2  f (x) D. Với mọi hàm số f liên tục trên đoạn 1;5 thì  f (x) dx . 1 3 1 Hướng dẫn giải b a a a Vì d( x) ( 1)dx nên f (x)dx f (x)dx f (x)( 1)dx f (x)d( x) . a b b b Câu 57. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? 1 0 A. Nếu f là hàm số chẵn trên ¡ thì. f (x)dx f (x)dx 0 1 0 1 B. Nếu f (x)dx f (x)dx thì f là hàm số chẵn trên đoạn [ 1;1] . 1 0 1 C. Nếu f (x)dx 0 thì f là hàm số lẻ trên đoạn [ 1;1] . 1 1 D. Nếu f (x)dx 0 thì f là hàm số chẵn trên đoạn [ 1;1] . 1 Hướng dẫn giải x 0 1 1 Hàm số y x3 thỏa f (x)dx f (x)dx và f (x)dx 0 , nhưng nó là hàm lẻ trên 2 1 0 1 [ 1;1]. 1 1 Hàm số y x2 thỏa f (x)dx 0 , nhưng nó làm hàm chẵn trên [ 1;1] . 3 1 40
Còn khi f là hàm chẵn trên ¡ thì f (x) f ( x) với mọi x ¡ . Đặt t x dt dx và suy ra 1 1 1 f (x)dx f (x)( 1)dx f (x)d( x) 0 0 0 1 1 0 f ( x)d( x) f (t)dt f (t)dt. 0 0 1 sin x 2 sin x Câu 58. Giả sử F là một nguyên hàm của hàm số y trên khoảng (0; ) . Khi đó dx có giá trị x 1 x bằng A. F(2) F(1) . B. .C. F(1) .D. . F(2) F(2) F(1) Hướng dẫn giải b Áp dụng công thức f (x)dx F(b) F(a) , trong đó F là một nguyên hàm của f trên đoạn [a;b] , a 2 sin x ta có dx F(2) F(1) . 1 x b b 2 Câu 59. Cho hàm số f liên tục trên ¡ và hai số thực a b . Nếu f (x)dx thì tích phân f (2x)dx có a a 2 giá trị bằng A. .B. .C. . D. . 2 4 2 Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] Đăt t 2x dt 2dx và x a 2 b 2 t a b b 2 1 b 2 1 b Vậy f (2x)dx f (2x)2dx f (t)dt . a 2 2 a 2 2 a 2 [Phương pháp trắc nghiệm] Phương pháp tự luận tốt hơn cả, nhưng nếu học sinh không nắm rõ, có thể thay f bởi một hàm số đơn giản, xác định trên [0;1] và tính toán. 1 1 1 Ví dụ vớif (x ) x . xKhi [ đó0;1 ] f (x)dx xdx 0 0 2 1/2 1/2 1 suy ra f (2x)dx 2xdx . 0 0 4 2 sin x 2 sin 3x Câu 60. Giả sử F là một nguyên hàm của hàm số y trên khoảng (0; ) . Khi đó dx có giá x 1 x trị bằng A. F(6) F(3) . B. 3F(6) .C. F (3) 3 .D.F( 2) F(1) . F(2) F(1) Hướng dẫn giải Đăt t 3x dt 3dx và x 1 2 t 3 6 2 sin 3x 2 sin 3x 6 sin t Vậy dx 3dx dt F(6) F(3) . 1 x 1 3x 3 t 41
2 2 Câu 61. Giả sử hàm số f liên tục trên đoạn [0;2] thỏa mãn f (x)dx 6 . Giá trị của f (2sin x)cos xdx là 0 0 A. 3 . B. .C. .D. . 6 3 6 Hướng dẫn giải Đăt t 2sin x dt 2cos xdx và x 0 2 t 0 2 2 2 f (t) 1 2 Vậy f (2sin x)cos xdx dt f (t)dt 3 . 0 0 2 2 0 e ln x 1ln x Câu 62. Bài toán tính tích phân I dx được một học sinh giải theo ba bước sau: 1 x 1 I. Đặt ẩn phụ t ln x 1 , suy ra dt dx và x x 1 e t 1 2 e ln x 1ln x 2 II. I dx t t 1 dt 1 x 1 2 2 5 2 III. I t t 1 dt t 1 3 2 . 1 t 1 Vây học sinh này giải đúng hay sai? Nếu sai thì sai từ bước nào? A. Bài giải đúng.B. Sai từ Bước II.C. Sai từ Bước I.D. Sai ở Bước III. Hướng dẫn giải 2 2 2 5 2 3 4 2 1 Bước III sai. Phép tính đúng là I t t 1 dt t t . 1 5 3 1 15 3 sin 2x Câu 63. Xét tích phân I dx . Thực hiện phép đổi biến t cos x , ta có thể đưa I về dạng nào sau 0 1 cos x đây 1 2t 4 2t 1 2t 4 2t A. I dt .B. I . C. dt .D.I dt . I dt 1 1 t 0 1 t 1 1 t 0 1 t 2 2 Hướng dẫn giải 1 Ta có t cos x dt sin xdx . Khi x 0 thì t 1 , khi x thì t . Vậy 3 2 3 sin 2x 3 2sin x cos x 1 2 2t 1 2t I dx dx dt dt . 0 1 cos x 0 1 cos x 1 1 t 1 2 1 t Câu 64. Cho hàm số y f (x) bất kỳ liên tục trên đoạn [a;b] . Trong các bất đẳng thức sau, bất đẳng thức nào luôn đúng? b b b b A. f x dx f (x) dx .B. . f (x) dx f (x)dx a a a a b b b b C. f (x) dx f (x)dx .D. . f x dx f (x) dx a a a a Câu 65. Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào sai? 1 1 1 A. (1 x)x dx 0 .B. . sin(1 x)dx sin xdx 0 0 0 42
x 2 1 2 C. sin dx 2 sin xdx .D. . x2017 (1 x)dx 0 2 0 1 2019 Hướng dẫn giải [Cách 1: Tính trực tiếp các tích phân] 1 0 1 Đặt t 1 x dt dx sin(1 x)dx sin tdt sin tdt 0 1 0 x 1 x 2 Đặt t dt dx sin dx 2sin tdt 2 2 0 2 0 1 1 2018 2019 2018 2019 2018 2019 2017 x x 1 1 ( 1) ( 1) 2 x (1 x)dx 1 2018 2019 1 2018 2019 2018 2019 2019 1 Vậy (1 x)x dx 0 sai. 0 [Cách 2: Nhận xét tích phân] 1 1 1 Ta thấy (1 x)x 1 với mọi x [0;1] nên (1 x)x dx 1dx 1 , vậy “ (1 x)x dx 0 ” là khẳng 0 0 0 định sai. [Cách 3: Phương pháp trắc nghiệm] Nhập các phép tính sau vào máy tính để thu kết quả: Phép tính Kết quả 1 (1 x)x dx 0 0 1 1 sin(1 x)dx sin xdx 0 0 0 x 2 sin dx 2 sin xdx 0 0 2 0 1 2 x2017 (1 x)dx 0 1 2019 1 suy ra (1 x)x dx 0 là khẳng định sai. 0 Câu 66. Cho hàm số y f (x) lẻ và liên tục trên đoạn [ 2;2] . Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào luôn đúng? 2 2 2 2 A. f (x)dx 2 f (x)dx .B. . f (x)dx 2 f (x)dx 2 0 2 0 2 0 2 C. f (x)dx 2 f (x)dx .D. . f (x)dx 0 2 2 2 Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] Với hàm số f bất kỳ và số thực dương a , ta luôn nằm lòng 2 tính chất sau đây: a Nếu f là hàm số lẻ trên đoạn [-a;a] thì f (x)dx 0 , a a a Nếu f là hàm số chẵn trên đoạn [-a;a] thì f (x)dx 2 f (x)dx . a 0 2 Vậy trong bài này ta chọn . f (x)dx 0 2 43
[Phương pháp trắc nghiệm] Nếu học sinh không nắm rõ hai tính chất kể trên, có thể thay f bởi một hàm số đơn giản, xác định trên [ 2;2] và tính toán. Ví dụ vớif (x ) x x . Khi[ 2đó;2 ] 2 2 2  f (x)dx 0 , , f (x)dx 2 f (x)dx 2 2 0 2 0 2 2 ,. f (x)dx 2 f (x)dx f (x)dx 2 f (x)dx 2 2 2 0 2 Vậy chọn f (x)dx 0 . 2 1 Câu 67. Bài toán tính tích phân I (x 1)2 dx được một học sinh giải theo ba bước sau: 2 I. Đặt ẩn phụ t (x 1)2 , suy ra dt 2(x 1)dx , dt dt II. Từ đây suy ra dx dx . Bảng giá trị 2(x 1) 2 t x 2 1 t 1 4 1 4 t 1 4 7 III. Vậy I (x 1)2 dx dt t3 . 2 1 2 t 3 1 3 Vây học sinh này giải đúng hay sai? Nếu sai thì sai từ bước nào? A. Sai ở Bước III.B. Sai từ Bước II.C. Sai từ Bước I.D. Bài giải đúng. Hướng dẫn giải Khi đặt t (x 1)2 với 2 x 1 thì không suy ra t x 1 được, vì x 1 có thể bị âm khi 2 x 1. Câu 68. Một học sinh được chỉ định lên bảng làm 4 bài toán tích phân. Mỗi bài giải đúng được 2,5 điểm, mỗi bài giải sai (sai kết quả hoặc sai bước tính nguyên hàm) được 0 điểm. Học sinh đã giải 4 bài toán đó như sau: Bài Đề bài Bài giải của học sinh 1 1 1 1 x2 x2 2 1 2 e e 1 1 e xdx ex xdx ex d x2 0 0 2 0 2 0 2 1 1 1 1 1 dx dx ln x2 x 2  ln 2 ln 2 0 2 2 2 0 0 x x 2 0 x x 2 Đặt t cos x , suy ra dt sin xdx . Khi x 0 thì t 1 ; khi x thì t 1 . Vậy 3 sin 2x cos xdx 1 1 2t3 4 0 sin 2x cos xdx 2 sin x cos2 xdx 2 t 2dt 0 0 1 3 1 3 e 1 (4 2e)ln x e e dx 1 (4 2e)ln xd ln x 1 (4 2e)ln x x 4 dx 1 1 1 x e x (4 2e)ln2 x 3 e 1 Số điểm mà học sinh này đạt được là bao nhiêu? A. 7,5 điểm.B. 2,5 điểm.C. 5,0 điểm.D. 10,0 điểm. Hướng dẫn giải Bài toán 2 giải sai. Cách giải đúng là 1 1 1 1 1 1 x 2 2 dx dx ln ln 2 2 0 x x 2 0 (x 1)(x 2) 3 x 1 0 3 44
Bài toán 4 ra kết quả đúng, nhưng cách tính nguyên hàm sai hoàn toàn. Cách tính đúng là: e e 1 (4 2e)ln x e dx 1 (4 2e)ln x d ln x ln x (2 e)ln2 x 3 e   1 1 x 1 [Kinh nghiệm] Kết quả đúng thì chưa chắc bài giải đúng. Câu 69. Cho hai hàm số liên tục f và g có nguyên hàm lần lượt là F và G trên đoạn [a;b] . Đẳng thức nào sau đây luôn đúng? b b b A. f (x)G(x)dx F(x)g(x) F(x)G(x)dx .   a a a b b b B. f (x)G(x)dx F(x)G(x) F(x)g(x)dx .   a a a b b b C. f (x)G(x)dx f (x)g(x) F(x)g(x)dx .   a a a b b b D. f (x)G(x)dx F(x)G(x) f (x)g(x)dx .   a a a 0 Câu 70. Tích phân I xe xdx có giá trị bằng 2 A. 2e2 1 .B. .C. 3e2 .D.1 . e2 1 e2 1 Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] Sử dụng tích phân từng phần, ta được 0 I xe xdx 2 0 0 0 0 0 0 0 xd e x xe x e xdx xe x e xdx xe x e x e2 1. 2 2 2 2 2 2 2 [Phương pháp trắc nghiệm] 0 Dùng máy tính tính xe xdx như hình bên, thu được kết quả 2 như hình bên. Loại được đáp án 3e2 1 . Sau đó thử từng đáp án còn lại để tìm ra kết quả. b b b Câu 71. Ta đã biết công thức tích phân từng phần F(x)g(x)dx F(x)G(x) f (x)G(x)dx , trong đó F   a a a và G là các nguyên hàm của f và g . Trong các biến đổi sau đây, sử dụng tích phân từng phần ở trên, biến đổi nào là sai? e e x2 1 e A. ln x xdx ln x xdx , trong đó F(x) ln x , g(x) x . 1 2 1 2 1 1 1 1 B. xexdx xex exdx , trong đó F(x) x , g(x) ex . 0 0 0 C. xsin xdx x cos x cos xdx , trong đó F(x) x , g(x) sin x . 0 0 0 1 1 2x 1 1 2x 1 D. x2x 1 dx x dx , trong đó F(x) x , g(x) 2x 1 . 0 ln 2 0 0 ln 2 Câu 72. Tích phân x cos x dx có giá trị bằng 0 4 45
2 2 2 2 2 2 2 2 A. . B. .C. .D. . 2 2 2 2 Hướng dẫn giải Áp dụng công thức tích phân từng phần, ta có 5 x cos x dx xsin x sin x dx sin cos x 0 4 4 0 0 4 4 4 0 2 5 2 2 cos cos . 2 4 4 2 [Phương pháp trắc nghiệm] Dùng máy tính tính x cos x dx như hình bên, thu được 0 4 2 2 kết quả như hình bên. Loại được các đáp án dương 2 2 2 và . Sau đó thử từng đáp án còn lại để tìm ra kết quả. 2 Câu 73. Cho hai hàm số liên tục f và g có nguyên hàm lần lượt là F và G trên đoạn [0;2] . Biết rằng 2 2 F(0) 0 , F(2) 1 , G(0) 2 , G(2) 1 và F(x)g(x)dx 3 . Tích phân f (x)G(x)dx có giá 0 0 trị bằng A. 3 .B. .C. . D. . 0 2 4 Hướng dẫn giải Áp dụng công thức tích phân từng phần, ta có 2 2 2 2 f (x)G(x)dx F(x)G(x) F(x)g(x)dx F(2)G(2) F(0)G(0) F(x)g(x)dx   0 0 0 0 1 1 0 ( 2) 3 2. Câu 74. Cho hai hàm số liên tục f và g có nguyên hàm lần lượt là F và G trên đoạn [1;2] . Biết rằng 3 2 67 2 F(1) 1, F(2) 4 , G(1) , G(2) 2 và f (x)G(x)dx . Tích phân F(x)g(x)dx có giá 2 1 12 1 trị bằng 11 145 11 145 A. . B. .C. .D. . 12 12 12 12 Hướng dẫn giải Áp dụng công thức tích phân từng phần, ta có 2 2 2 2 F(x)g(x)dx F(x)G(x) f (x)G(x)dx F(2)G(2) F(1)G(1) f (x)G(x)dx   1 1 1 1 3 67 11 4 2 1 . 2 12 12 b Câu 75. Cho hai số thực a và b thỏa mãn a b và xsin xdx , đồng thời a cos a 0 và bcosb . a b Tích phân cos xdx có giá trị bằng a 145 A. .B. .C. .D. . 0 12 Hướng dẫn giải Áp dụng công thức tích phân từng phần, ta có 46
b b b b b b xsin xdx x cos x cos xdx cos xdx x cos x xsin xdx   a   a a a a a bcosb a cos a 0 0. e 1 ln x Câu 76. Cho tích phân: I dx .Đặt u 1 ln x .Khi đó I bằng 1 2x 0 0 0 u2 1 A. I u2du .B. I .C. u2du . D. I d . u I u2du 1 1 1 2 0 Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] dx Đặt u 1 ln x u2 1 ln x 2udu . Với x 1 u 1 ,x e u 0 . x 0 Khi đó I u2du . 1 [Phương pháp trắc nghiệm] e 1 ln x Bước 1: Bấm máy tính để tính dx 1 2x Bước 2: Bấm SHIFT STO A để lưu vào biến A. 0 2 Bước 3: Bấm A u du 0 . Vậy đáp án là A. 1 2 x2 Câu 77. Tích phân I dx có giá trị bằng 2 1 x 7x 12 A. 5ln 2 6ln 3 .B. 1 2ln .2 6 lCn.3 3 5ln .2 D. 7ln 3 1 25l .n 2 16ln 3 Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] 2 16 9 2 Ta có I 1 dx x 16ln x 4 9ln x 3 1 25ln 2 16ln 3 . 1 1 x 4 x 3 [Phương pháp trắc nghiệm] 2 x2 Bấm máy tính dx (1 25ln 2 16ln 3) được đáp số là 0. x2 7x 12 1 2 Câu 78. Tích phân I x5dx có giá trị là: 1 19 32 16 21 A. .B. .C. .D. . 3 3 3 2 Hướng dẫn giải 2 2 x6 21 Ta có: I x5dx . 1 6 1 2 1 xdx Câu 79. Tích phân I bằng 3 0 (x 1) 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 12 7 6 8 Hướng dẫn giải x x 1 1 1 1 Ta có (x 1) 2 (x 1) 3 I (x 1) 2 (x 1) 3 dx . 3 3 (x 1) (x 1) 0 8 47
2 Câu 80. Cho tích phân I (2 x)sin xdx . Đặt u 2 x, dv sin xdx thì I bằng 0 2 2 A. (2 x)cos x 2 cos xdx .B (2 x)cos x 2 cos xdx 0 0 0 0 2 2 C. (2 x)cos x 2 cos xdx . D. .(2 x) 2 cos xdx 0 0 0 0 Hướng dẫn giải u 2 x du dx 2 Đặt . Vậy.I (2 x)cos x 2 cos xdx 0 dv sin xdx v cos x 0 1 x7 Câu 81. Tích phân dx bằng 2 5 0 (1 x ) 1 2 (t 1)3 3 (t 1)3 1 2 (t 1)3 3 4 (t 1)3 A. .B. dt . C. dt .D. . dt dt 5 5 4 4 2 1 t 1 t 2 1 t 2 1 t Hướng dẫn giải 1 2 (t 1)3 1 1 1 Đặt t 1 x2 dt 2xdx . Vậy I dt . . 5 5 2 1 t 4 2 128 4 3 1 Câu 82. Tích phân I dx bằng 4 1 x(x 1) 3 1 3 1 3 1 3 A. ln .B. .C. .D.l n . ln ln 2 3 2 5 2 4 2 Hướng dẫn giải 1 3 1 t 1 3 Đặt t x2 dt 2xdx . Vậy I dt ln . 2 2 1 t t 1 4 2 2 2 Câu 83. Cho hai tích phân I x3dx , J xdx .Tìm mối quan hệ giữa I và J 0 0 32 128 64 A I.J 8 B. .C. I.J .D. . I J I J 5 7 9 Hướng dẫn giải 2 2 I x3dx 4 và J xdx 2 , suy ra I.J 8 . 0 0 a Câu 84. Cho số thực a thỏa mãn ex 1dx e4 e2 , khi đó a có giá trị bằng 1 A. 1 .B. 3. C. .D. 2. 0 Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] a a Ta có ex 1dx ex 1 ea 1 e2 e4 e2 a 3 . 1 1 [Phương pháp trắc nghiệm] Thế từng đáp án vào và bấm máy 3 1 ex 1dx e4 e2 0 ex 1dx e4 e2 53,5981 1 1 48
0 2 ex 1dx e4 e2 51,8798 ex 1dx e4 e2 34,5126 . 1 1 2 Câu 85. Tích phân kexdx (với k là hằng số )có giá trị bằng 0 A. .k(e2 1) B. .C. e2 .D1 . . k(e2 e) e2 e Hướng dẫn giải 2 x x 2 Ta có ke dx ke 0 k(e 1) . 0 Câu 86. Với hằng số ,k tích phân nào sau đây có giá trị khác với các tích phân còn lại ? 2 2 1 2 3 3 A. k(e2 1)dx . B. kexdx .C. .D. 3ke3xdx . ke2xdx 0 0 0 0 Hướng dẫn giải 2 2 3 4 2 3 2x k 2x k 3 x x 2 Ta có ke dx e (e 1)  ke dx ke 0 k(e 1) 0 2 0 2 0 2 3 2 1 1 3ke3xdx ke3x 3 k(e2 1) . k(e2 1)dx kx(e2 1) k(e2 1) 0 0 0 0 Câu 87. Với số thực k , xét các phát biểu sau: 1 1 1 1 (I) dx 2 ; (II) kdx 2k ; (III) xdx 2x ; (IV) 3kx2dx 2k . 1 1 1 0 Số phát biểu đúng là A. 4.B. 3.C. 1.D. 2. Hướng dẫn giải (III): sai 5 5 Câu 88. Cho hàm số f và g liên tục trên đoạn [1;5] sao cho f (x)dx 7 và g(x)dx 5 và 1 1 5 g(x) kf (x)dx 19 Giá trị của k là: 1 A. 2 .B. .C. 2. D. . 6 2 Hướng dẫn giải 5 5 5 Ta có g(x) kf (x)dx 19 g(x)dx k f (x)dx 19 5 k 7 19 k 2 . 1 1 1 5 3 5 Câu 89. Cho hàm số f liên tục trên ¡ . Nếu 2 f (x)dx 2 và f (x)dx 7 thì f (x)dx có giá trị bằng: 1 1 3 A. 5 .B. . C. .D. . 6 9 9 Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] 5 1 5 3 5 2 Ta có f (x)dx f (x)dx f (x)dx f (x)dx f (x)dx 7 6 . 3 3 1 1 1 2 2 2 Câu 90. Cho hàm số f liên tục trên đoạn [0;3] . Nếu f (x)dx 4 và tích phân kx f (x)dx 1 giá trị 1 1 k bằng 5 A. 7 .B. .C. .D. 2. 5 2 Hướng dẫn giải 49
2 2 2 3 Ta có kx f (x)dx 1 k xdx f (x)dx k 4 1 k 2 . 1 1 1 2 e Câu 91. Tích phân (2x 5)ln xdx bằng 1 e e e e A. (x2 5x)ln x (x 5)dx . B (x2 5x)ln x (x 5)dx 1 1 1 1 e e e e C. (x2 5x)ln x (x 5)dx . D. . (x 5)ln x (x2 5x)dx 1 1 1 1 Hướng dẫn giải 1 e e u ln x du dx 2 e Đặt x . Vậy (2x 5)ln xdx (x 5x)ln x (x 5)dx . dv (2x 5)dx 1 2 1 1 v x 5x 2 Câu 92. Tích phân I cos2 x cos 2xdx có giá trị bằng 0 5 3 A. .B. .C. .D. . 8 2 8 8 Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] 2 1 2 1 2 I cos2 x cos 2xdx (1 cos 2x)cos 2xdx (1 2cos 2x cos 4x)dx 0 2 0 4 0 1 1 2 (x sin 2x sin 4x) . 4 4 0 8 [Phương pháp trắc nghiệm] Chuyển chế độ radian: SHIFT MODE 4. 2 Bấm máy I cos2 x cos 2xdx 0 . Vậy đáp án là . 0 8 8 4sin3 x Câu 93. Tích phân I 2 dx có giá trị bằng 0 1 cos x A. 4.B. 3.C. 2.D. 1. Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] 4sin3 x 4sin3 x(1 cos x) 4sin x 4sin x cos x 4sin x 2sin 2x 1 cos x sin2 x I 2 (4sin x 2sin 2x)dx 2. 0 [Phương pháp trắc nghiệm] Chuyển chế độ radian: SHIFT MODE 4 4sin3 x Bấm máy tính2 dx 2 0 . Vậy đáp án là 2. 0 1 cos x 2 Câu 94. Tích phân I 1 sin xdx có giá trị bằng 0 A. 4 2 .B. .C. .D. 3 2 . 2 2 Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] 50
2 2 x x 2 x x 2 x I sin cos dx sin cos dx 2 sin dx 0 2 2 0 2 2 0 2 4 3 2 2 x x 2 sin dx sin dx 4 2 2 4 2 4 0 3 2 [Phương pháp trắc nghiệm] 2 Bấm máy tính I 1 sin xdx 4 2 được đáp số là 0. Vậy đáp án là 4 2 . 0 3 Câu 95. Tích phân I sin2 x tan xdx có giá trị bằng 0 3 3 3 A ln 3 .B. .C. ln 2 .D2. . ln 2 ln 2 5 4 8 Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] 1 3 sin x 3 (1 cos2 x)sin x 2 1 u2 3 Ta có I sin2 x. dx dx . Đặt t cos x I du ln 2 . 0 cos x 0 cos x 1 u 8 [Phương pháp trắc nghiệm] 3 2 3 3 Bấm máy tính I sin x tan xdx ln 2 được đáp số là 0. Vậy đáp án làln 2 . 0 8 8 Câu 96. Cho hàm số f(x) liên tục trên ¡ và f (x) f ( x) cos4 x với mọi x ¡ . Giá trị của tích phân 2 I f (x)dx là 2 3 3 3 A. 2 .B. .C. .D. . ln 2 ln 3 16 4 5 Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] 2 2 2 2 Đặt x t f (x)dx f ( t)( dt) f ( t)dt f ( x)dx 2 2 2 2 2 2 2 3 2 f (x)dx  f (x) f ( x)dx cos4 xdx I . 16 2 2 2 [Phương pháp trắc nghiệm] 2 3 3 Bấm máy tính cos4 xdx được đáp số là 0. Vậy đáp án là . 16 16 2 0 Câu 97. Nếu 5 e x dx K e2 thì giá trị của K là: 2 A. 11. B. .C. 7.D. . 9 12,5 Hướng dẫn giải 0 0 K 5 e x dx e2 5x e x e2 11. 2 2 51
2 Câu 98. Cho tích phân I.Đặt 1 3cos x.sin .Khixdx đó u bằng 3cos x 1 I 0 2 3 2 2 2 2 3 A. u2du .B. .C. u2 .dDu. . u3 u2du 3 1 3 0 9 1 1 Hướng dẫn giải Đặt u 3cos x 1 2udu 3sin xdx . Khi .x 0 u 2; x u 1 2 2 2 2 2 Khi đó I u2du u3 . 3 1 9 1 e 8ln x 1 Câu 99. Tích phân I dx bằng 1 x 13 3 3 A. 2 .B. .C. .D. . ln 2 ln 3 6 4 5 Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] 3 4 1 3 t3 13 Đặt t 8ln x 1 tdt dx . Với x 1 t 1, x e t 3 . Vậy I t 2dt . x 4 1 12 1 6 [Phương pháp trắc nghiệm] e 8ln x 1 13 13 Bấm máy tínhI dx được đáp số là . Vậy đáp án là . 1 x 6 6 5 Câu 100. Tích phân x2 2x 3dx có giá trị bằng 1 64 A. 0.B. . C. 7.D. . 12,5 3 Hướng dẫn giải 5 5 3 5 x2 2x 3 dx (x 3)(x 1) dx x2 2x 3 dx x2 2x 3 dx 1 1 1 3 3 5 3 3 x 2 x 2 64 x 3x x 3x . 3 1 3 3 3 2 Câu 101. Tìm a để (3 ax)dx 3 ? 1 A. 2.B. .C. 7.D. 4. 9 Hướng dẫn giải 2 2 a 2 (3 ax)dx 3 3x x 3 a 4 . 1 2 1 5 Câu 102. Nếu k 2 5 x3 dx 549 thì giá trị của k là: 2 A. B.2 2.C. .D. 5. 2 Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] 5 5 x4 549 k 2 5 x3 dx 549 k 2 5x 549 k 2 4 k 2. 549 2 4 2 4 52
3 x2 x 4 Câu 103. Tích phân dx bằng 2 x 1 1 4 1 4 1 4 1 4 A. 6ln .B. . C. 6ln .D. . ln ln 3 3 2 3 2 3 2 3 Hướng dẫn giải 3 3 x2 x 4 3 6 x2 1 4 dx x 2 dx 2x 6ln x 1 6ln . x 1 x 1 2 2 3 2 2 2 [Phương pháp trắc nghiệm] 3 x2 x 4 Bước 1: Bấm máy tính để tính dx 2 x 1 Bước 2: Bấm SHIFT STO A để lưu vào biến A. 1 4 1 4 Bước 3: Bấm A 6ln 0 . Vậy đáp án là 6ln . 2 3 2 3 Câu 104. Cho hàm số f liên tục trên ¡ thỏa f (x) f ( x) 2 2cos 2x , với mọi x ¡ . Giá trị của tích 2 phân I f (x)dx là 2 A. 2. B. .C. 7.D. . 7 2 Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] 2 0 2 Ta có I f (x)dx f (x)dx f (x)dx (1) 0 2 2 0 2 2 Tính I f (x)dx . Đặt x t dx dt I f ( . t)dt f ( x)dx 1 1 0 0 2 2 2 2 2 Thay vào (1), ta được I  f ( x) f (x)dx 2 1 cos 2x 2 cos x dx 2 cos xdx 2 . 0 0 0 0 2 122 Câu 105. Tìm m để (3 2x)4 dx ? m 5 A. 0. B. .C. 7.D.2. 9 Hướng dẫn giải 2 1 2 1 122 A (3 2x)4 dx (3 2x)5 (3 4)5 (3 2m)5 m 0 . m m 10 10 5 4.3 TÍCH PHÂN I. VẬN DỤNG THẤP 1 2 1 Câu 106. Giá trị của tích phân I dx là 2 0 1 x A. .B. .C. .D. . 6 4 3 2 Hướng dẫn giải 1 Đặt x sin t, t ; dx costdt . Đổi cận :x 0 t 0, x t . 2 2 2 6 53
6 cost 6 cost 6 Vậy I dt dt dt t 6 0 . 2 0 0 1 sin t 0 cost 0 6 6 1 dx Câu 107. Giá trị của tích phân I là 2 0 1 x 3 5 A.IB C. .D. I . I I 2 4 4 4 Hướng dẫn giải 2 Đặt x tan t, t ; dx (tan x 1)dt . 2 2 4 tan2 t 1 4 Đổi cận x 0 t 0, x 1 t , suy ra I dt dt . 2 4 0 1 tan t 0 4 3 1 dx Câu 108. Giá trị của tích phân I là 2 0 x 2x 2 5 3 A. I .B C I D. . I I 12 6 12 12 Hướng dẫn giải 3 1 dx 3 1 dx I . Đặt x 1 tan t 2 2 0 x 2x 2 0 1 (x 1) 1 Câu 109. Tích phân I x2 x3 5dx có giá trị là 0 4 10 4 10 4 10 2 10 A. 6 3 .B. 7 .C. 5 .D. 6 5 . 6 5 3 9 3 9 3 9 3 9 Hướng dẫn giải Ta có t x3 5 dt 3x2dx . Khi x 0 thì t 5 ; khi x 1 thì t 6 . 1 1 1 6 6 1 2 2 3 dt 1 1 (t) 6 2 6 4 10 Vậy I x x 5dx t t 2 dt t t 6 5 . 3 3 3 1 5 9 5 3 9 0 5 5 1 2 2 Câu 110. Tích phân 4 x2 dx có giá trị là 0 A. .B. .C D. . 4 2 3 Hướng dẫn giải Đặt x 2sin t, t ; . Khi x = 0 thì t = 0. Khi x 2 thì t . 2 2 2 Từ x 2sin t dx 2costdt 2 2 2 Vậy 4 x2 dx 4 4sin2 t.2costdt 4 cos2 tdt . 0 0 0 1 Câu 111. Tích phân I x x2 1dx có giá trị là 0 3 2 1 2 2 1 2 2 1 3 2 1 A. .B. .C. .D. . 3 3 2 2 Hướng dẫn giải 54
tdt Đặt t x2 1 t 2 x2 1 x2 t 2 1 dx . x 2 t3 2 2 2 1 Vậy I t 2dt . 1 3 1 3 0 Câu 112. Tích phân I x 3 x 1dx có giá trị là 1 9 3 3 9 A. .B. .C. .D. . 28 28 28 28 Hướng dẫn giải Đặt t 3 x 1 t3 x 1 dx 3t 2dt . 1 7 4 3 3 t t 1 9 Vậy I 3t t 1 dt 3 . 0 7 4 0 28 1 x2dx Câu 113. Giá trị của tích phân I 2 là 0 (x 1) x 1 16 10 2 16 11 2 16 10 2 16 11 2 A. .B. .C. .D. . 3 4 4 3 Hướng dẫn giải Đặt t x 1 t 2 x 1 2tdt dx . 2 2 2 2 t 1 2 1 t3 1 2 16 11 2 Ta có I .2tdt 2 t dt 2 2t 3 1 t 1 t 3 t 1 3 1 6 Câu 114. Giá trị của tích phân I x5 1 x3 dx là 0 1 1 1 1 A. .B. .C. .D. . 167 168 166 165 Hướng dẫn giải dt Đặt t 1 x3 dt 3x2dx dx , ta có 3x2 1 1 7 8 1 6 1 6 7 1 t t 1 I t 1 t dt t t dt . 3 0 3 0 3 7 8 168 3 2x2 x 1 Câu 115. Giá trị của tích phân I dx là 0 x 1 53 54 52 51 A. .B. .C. . D. . 5 5 5 5 Hướng dẫn giải Đặt x 1 t x t 2 1 dx 2tdt . Khi x = 0 Þ t = 1, x = 3 Þ t = 2. 2 2 2 2 2 t 1 t 1 1 2 4t5 128 4 54 Vậy I 2tdt 2 2t 4 3t 2 dt 2t3 2 16 2 . 1 1 t 1 5 5 5 5 1 3 x Câu 116. Giá trị của tích phân I dx là 0 1 x A. 2 2 .B. .C . 2 2 .D. 3 . 2 3 2 2 3 3 2 Hướng dẫn giải 55
3 x 3 t 2dt Đặt t I 8 ; đặt t tan u ĐS: I 3 2 . 2 2 1 x 1 (t 1) 3 1 3 x Chú ý: Phân tích I dx , rồi đặt t 1 x sẽ tính nhanh hơn. 0 1 x 1 5 Câu 117. Giá trị của tích phân 2x 1 dx là 0 1 1 2 2 A. 30 .B. .C. .D. 60 . 60 30 3 3 3 3 Hướng dẫn giải Đặt u 2x 1 khi x 0 thìu 1 . Khi x 1 thì u 3 du Ta có: du 2dx dx . 2 1 3 6 5 1 u 3 1 2 Do đó: 2x 1 dx u5du (36 1) 60 . 0 2 1 12 1 12 3 1 4x 2 Câu 118. Giá trị của tích phân dx là 2 0 x x 1 A. ln 2 .B. .C. .D. ln 3 . 2ln 2 2ln 3 Hướng dẫn giải Đặt u x2 x 1 . Khi x 0 thìu 1 . Khi x 1 thìu 3 . Ta có: du (2x 1)dx . 1 4x 2 3 2du 3 Do đó: dx 2 ln | u | 2(ln 3 ln1) 2 ln 3 . 2 0 x x 1 1 u 1 2 dx Câu 119. Giá trị của tích phân là 2 1 (2x 1) 1 1 1 2 A .B. .C. .D. . 2 3 4 3 Hướng dẫn giải Đặt u 2x 1 . Khi x 1 thì u 1 . Khi x 2 thì u 3 . du Ta có du 2dx dx . 2 2 dx 1 3 du 1 3 1 1 1 Do đó ( 1) . 2 2 1 (2x 1) 2 1 u 2u 1 2 3 3 3 x 3 Câu 120. Giá trị của tích phân dx là 0 3. x 1 x 3 3 3 3 3 A. 3 3ln .B. .B. 3 6ln .D. 3 . 6ln 3 3ln 2 2 2 2 Hướng dẫn giải 2 x 0 u 1 Đặt u x 1 u 1 x 2udu dx ; đổi cận: x 3 u 2 Ta có 3 x 3 2 2u3 8u 2 2 1 dx du (2u 6)du 6 du 2 0 3 x 1 x 3 1 u 3u 2 1 1 u 1 2 2 3 u2 6u 6ln u 1 3 6ln . 1 1 2 56
4 x 1 Câu 121. Giá trị của tích phân: I dx là 2 0 1 1 2x 1 1 1 1 A. 2ln 2 .B. .C.2 ln 2 .D. . 2ln 2 ln 2 2 3 4 2 Hướng dẫn giải dx t 2 2t Đặt t 1 1 2x dt dx (t 1)dt và x 1 2x 2 Đổi cận: x 0 4 t 2 4 Ta có 1 4 (t 2 2t 2)(t 1) 1 4 t3 3t 2 4t 2 1 4 4 2 I dt dt t 3 dt 2 2 2 2 2 t 2 2 t 2 2 t t 1 t 2 2 1 3t 4ln t 2ln 2 2 2 t 4 1 7x 1 99 Câu 122. Giá trị của tích phân:I dx là 101 0 2x 1 1 1 1 1 A. 2100 1 .B 2C10.1 1 .D. 299 1 . 298 1 900 900 900 900 Hướng dẫn giải 99 99 100 1 7x 1 dx 1 1 7x 1 7x 1 1 1 7x 1 1 1 I d  2100 1 2 0 2x 1 2x 1 9 0 2x 1 2x 1 9 100 2x 1 0 900 2 x2001 Câu 123. Tích phân I dx có giá trị là 2 1002 1 (1 x ) 1 1 1 1 A. .B. .C. .D. . 2002.21001 2001.21001 2001.21002 2002.21002 Hướng dẫn giải 2 x2004 2 1 1 2 I .dx .dx . Đặt t 1 dt dx . 3 2 1002 1002 2 3 1 x (1 x ) 1 3 1 x x x 2 1 x 2 3 2 Câu 124. Giá trị của tích phân cos(3x )dx là 3 3 3 2 2 3 2 2 A. .B. .C. .D. . 3 3 3 3 Hướng dẫn giải 2 2 4 Đặt u 3x . Khi x thì u , khi x thì u . 3 3 3 3 3 du Ta có du 3dx dx . 3 Do đó: 2 4 4 3 2 1 3 1 3 1 4 1 3 3 3 cos(3x )dx cosudu sin u sin sin . 3 3 3 3 3 3 3 2 2 3 3 3 3 57
2 Câu 125. Giá trị của tích phân I cos2 x cos 2xdx là 0 A. .B. . C. .D. . 6 8 4 2 Hướng dẫn giải 2 1 2 1 2 I cos2 x cos 2xdx (1 cos 2x)cos 2xdx (1 2cos 2x cos 4x)dx 0 2 0 4 0 1 1 (x sin 2x sin 4x) | /2 4 4 0 8 x sin x Câu 126. Giá trị của tích phân: I dx là 2 0 1 cos x 2 2 2 2 A. . B. .C. .D. . 2 6 8 4 Hướng dẫn giải t sin t sin t x t dx dt I dt dt I 2 2 0 1 cos t 0 1 cos t sin t d(cost) 2 2I dt I 2 2 0 1 cos t 0 1 cos t 4 4 4 2 Câu 127. Giá trị tích phân J sin4 x 1 cos xdx là 0 2 3 4 6 A. .B. .C D. . 5 5 5 5 Hướng dẫn giải 2 2 4 1 5 6 J sin x 1 cos xdx sin x sin x 0 5 0 5 2 sin x cos x Câu 128. Giá trị tích phân I dx là 1 sin 2x 4 3 1 1 A. ln 2 .B. .C. .D. ln 3 . ln 2 ln 2 2 2 2 Hướng dẫn giải Đặt t 1 sin 2x t 2 1 sin 2x 2tdt 2cos 2xdx tdt 2 1 2 1 dx I dt ln t ln( 2) ln 2 t cos x sinx 1 t 1 2 2 sin x Câu 129. Giá trị tích phân I dx là 0 1 3cos x 2 2 1 1 A. ln 2 .B. .C. .Dl.n 4 . ln 4 ln 2 3 3 3 3 Hướng dẫn giải dt 1 4 1 ln t 1 Đặt t 1 3cos x dt 3sin xdx dx I dt ln 4 3sin x 3 1 t 3 3 58
2 Câu 130. Giá trị của tích phân I 2 6 1 cos3 x.sin x.cos5 xdx là 1 21 12 21 12 A. .B. .C. .D. . 91 91 19 19 Hướng dẫn giải Đặt t 6 1 cos3 x t 6 1 cos3 x 6t5dt 3cos2 xsin xdx 2t5dt 1 t 7 t13 1 12 dx I 2 t 6 1 t 6 dt 2 2 cos xsin x 0 7 13 0 91 4 cos x Câu 131. Giá trị của tích phân I dx là 3 0 (sin x cos x) 1 3 5 7 A. .B. .C. .D. . 8 8 8 8 Hướng dẫn giải 4 cos x 4 1 I dx dx . Đặt t tan x 1 3 3 2 0 (sin x cos x) 0 (tan x 1) cos x 2 sin xdx Câu 132. Giá trị của tích phân I = là 3 0 (sin x + cos x) 1 1 1 1 A .B. .C. .D. . 4 3 2 6 Hướng dẫn giải Đặt: x u dx du . Đổi cận: x = 0 u = ; x = u = 0. 2 2 2 sin u du 2 2 cos xdx Vậy I 2 3 3 0 0 sin x cos x sin u cos u 2 2 2 2 2 tan x sin x + cos x dx dx 4 Vậy: 2I = dx = 2 1 2 2 0 sin x + cos x 0 (sin x + cos x) 0 2 2 2cos x 0 4 2 Câu 133. Giá trị của tích phân I cos4 xsin2 xdx là 0 A. I .B. .C. I .D. . I I 32 16 8 4 Hướng dẫn giải 2 1 2 1 2 1 2 I cos4 xsin2 xdx cos2 xsin2 2xdx (1 cos 4x)dx cos 2xsin2 2xdx 0 4 0 16 0 4 0 x 1 sin3 2x 2 sin 4x . 16 64 24 32 0 2 Câu 134. Giá trị của tích phân I (sin4 x cos4 x)(sin6 x cos6 x)dx là 0 59
32 33 31 30 A. I .B. . I C. .I D. . I 128 128 128 128 Hướng dẫn giải 33 7 3 33 Ta có: (si n4 x cos4 .x)(sin6 x cos6 x) cos 4x cos8x I 64 16 64 128 4 sin 4x Câu 135. Giá trị của tích phân I dx là 6 6 0 sin x cos x 4 1 2 5 A. .B. .C. .D. . 3 3 3 3 Hướng dẫn giải 1 1 4 sin 4x 3 4 2 1 4 2 I dx . Đặt t 1 sin2 2x I = dt = t . 1 0 3 2 4 1 3 t 3 3 1 sin 2x 4 4 xdx Câu 136. Giá trị của tích phân I là 0 sin x 1 A. I .B C. I .D . . I I 4 2 3 Hướng dẫn giải Đặt: x t dx dt Đổi cận: x 0 t , x t 0 0 ( t)dt t dt dt I dt I I sin( t) 1 0 sin t 1 sin t 1 0 sin t 1 2 0 sin t 1 t d dt dt 2 4 t tan . 2 2 0 t t 4 0 2 t 2 0 2 t 2 2 4 0 sin cos cos cos 2 2 2 4 2 4 Tổng quát: . xf (sin x)dx f (sin x)dx 0 2 0 2 sin2007 x Câu 137. Giá trị của tích phân I dx là 2007 2007 0 sin x cos x 3 5 A. I .B. .C. I .D. . I I 2 4 4 4 Hướng dẫn giải Đặt x t dx dt . Đổi cận x 0 t , x t 0 . Vậy 2 2 2 2007 0 sin t 2 2007 2 cos t I dx dx J (1). 2007 2007 2007 2007 sin t cos t sin t cos t 0 2 2 2 2 Mặt khác I J dx (2). Từ (1) và (2) suy ra I . 0 2 4 2 sinn x 2 cosn x Tổng quát: . dx dx ,n Z n n n n 0 sin x cos x 0 sin x cos x 4 60
2 Câu 138. Giá trị của tích phân cos11 xdx là 0 250 254 252 256 A. .B. .C. .D. . 693 693 693 693 Hướng dẫn giải 2 10!! 2.4.6.8.10 256 cos11 xdx . 0 11!! 1.3.5.7.9.11 693 2 Câu 139. Giá trị của tích phân sin10 xdx là 0 67 61 63 65 A. .B. .C. .D. . 512 512 512 512 Hướng dẫn giải 2 9!! 1.3.5.7.9 63 sin10 xdx . . 0 10!! 2 2.4.6.8.10 2 512 Công thức Walliss (dùng cho trắc nghiệm): (n 1)!! 2 2 , neáu n leû n n n!! cos xdx sin xdx . (n 1)!! 0 0 . , neáu n chaün n!! 2 Trong đó: n!! đọc là n walliss và được định nghĩa dựa vào n lẻ hay chẵn. Chẳng hạn: 0!! 1; 1!! 1; 2!! 2; 3!! 1.3; 4!! 2.4; 5!! 1.3.5; 6!! 2.4.6; 7!! 1.3.5.7; 8!! 2.4.6.8; 9!! 1.3.5.7.9; 10!! 2.4.6.8.10 . 1 dx Câu 140. Giá trị của tích phân I là x 0 1 e 2e e e 2e A. ln .B. .Cl.n .D. 2ln . 2ln e 1 e 1 e 1 e 1 Hướng dẫn giải x 1 ex 1 1 d 1 e 1 2e Vì 1 I dx 1 ln 1 ex 1 ln(1 e) ln 2 ln x x x 1 e 1 e 0 0 1 e 0 e 1 ln5 e2xdx Câu 141. Giá trị của tích phân I là x ln 2 e 1 5 10 20 2 A. .B. .C. .D. . 3 3 3 3 Hướng dẫn giải 2tdt 2 t3 2 20 Đặt t ex 1 t 2 ex 1 dx I 2 t 2 1 dt 2 t x e 1 3 1 3 ln 2 Câu 142. Giá trị của tích phân I ex 1dx là 0 4 4 5 5 A. .B. .C. .D. . 3 2 3 2 Hướng dẫn giải 2tdt 2tdt Đặt t ex 1 t 2 ex 1 2tdt exdx dx ex t 2 1 61
1 2t 2 1 1 4 I dt 2 1 dt 2 2 0 t 1 0 t 1 2 ln3 ex Câu 143. Giá trị của tích phân I dx là x 3 0 e 1 A. 2 2 1 .B. .C. 2 .D1. . 2 2 2 2 2 Hướng dẫn giải 2tdt 2 tdt 1 2 Đặt t ex 1 t 2 ex 1 2tdt exdx dx I 2 2. 2 1 x 3 e 2 t t 2 2 e dx Câu 144. Giá trị của tích phân I là e x ln x A. 2ln 3 .B. .C. . D. ln 3 . ln 2 2ln 2 Hướng dẫn giải 2 dt 2 Đặt t ln x ; x e t 1, x e2 t 2 I ln t ln 2 . 1 1 t ln3 e2xdx Câu 145. Giá trị của tích phân: I là x x ln 2 e 1 e 2 A 2ln 2 1 B. 2ln3 – 1.C D. . ln 3 1 ln 2 1 Hướng dẫn giải Đặt t ex 2 , Khi x ln2 t 0; x ln3 t 1; ex t 2 2 exdx 2tdt 1 (t 2 2)tdt 1 2t 1 1 1 d(t 2 t 1) I = 2 = 2(t 1 )dt = 2(t 1)dt + 2 2 2 2 0 t t 1 0 t t 1 0 0 t t 1 =(t 2 2t) 1 + 2ln(t2 + t + 1)1 = 2ln3 – 1. 0 0 ln 2 2e3x e2x 1 Câu 146. Cho M dx . Giá trị của eM là 3x 2x x 0 e e e 1 7 9 11 5 A. .B. .C. .D. . 4 4 4 4 Hướng dẫn giải ln 2 2e3x e2x 1 ln 2 3e3x 2e2x ex (e3x e2x ex 1) M dx dx 3x 2x x 3x 2x x 0 e e e 1 0 e e e 1 ln 2 3x 2x x 3e 2e e ln 2 ln 2 11 11 1 dx ln e3x e2x ex 1 x ln eM 3x 2x x 0 0 0 e e e 1 4 4 e ln x 3 2 ln2 x Câu 147 I dx 1 x 3 3 3 3 A 3 35 3 25 . B. 3 35 .C3 .2 4 3 .D3.4 3 25 . 3 34 3 24 8 8 8 8 Hướng dẫn giải e ln x 3 2 ln2 x e 1 e 1 I dx ln x 3 2 ln2 xd ln x 2 ln2 x 3 d 2 ln2 x 1 x 1 2 1 e 3 4 3 . 3 2 ln2 x 3 34 3 24 8 1 8 1 ln(1 x) Câu 148. Giá trị của tích phân I dx là 2 0 1 x 62
A. I ln 3 .B. .CI. ln 2 .D. I . ln 3 I ln 2 8 4 8 8 Hướng dẫn giải Đặt x tan t dx (1 tan2 t)dt . Đổi biến: x 0 t 0, x 1 t 4 4 ln(1 tan t) 4 I 1 tan2 t dt ln(1 tan t)dt . 2 0 1 tan t 0 Đặt t u dt du ; Đổi cận: t 0 u , t u 0 4 4 4 4 0 I ln(1 tan t)dt ln 1 tan u du 0 4 4 4 1 tan u 4 2 4 4 ln 1 du ln du ln 2du ln 1 tan u du ln 2 I . 0 1 tan u 0 1 tan u 0 0 4 Vậy I ln 2 . 8 2 Câu 149. Cho hàm số f(x) liên tục trên ¡ và thỏa f ( x) 2 f (x) cos x . Giá trị của tích phân I f (x)dx 2 là 1 4 2 A. I .B. .C. .DI . . I I 1 3 3 3 Hướng dẫn giải 2 Xét tích phân J f ( x)dx . Đặt x t dx dt . 2 Đổi cận: x t , x t . 2 2 2 2 2 2 2 Suy ra: J f ( x)dx f (t)dt f (t)dt I . 2 2 2 2 2 2 Do đó: 3I J 2I  f ( x) 2 f (x)dx cos xdx 2 cos xdx 2 . 0 2 2 2 Vậy I . 3 II. VẬN DỤNG CAO 2 Câu 150. Tìm hai số thực A, B sao cho f (x) Asin x B , biết rằng f '(1) 2 và f (x)dx 4 . 0 A 2 A 2 A 2 2 A A. 2 . B. . C. 2 . D. . 2 B B B B 2 Hướng dẫn giải 63
f (x) Asin x B f '(x) Acos x 2 f '(1) 2 A cos 2 A 2 2 A A f (x)dx 4 (Asin x B)dx 4 cos 2 2B cos0 4 B 2 0 0 2 4 2 3 Câu 151. Giá trị của a để đẳng thức a (4 4a)x 4x dx 2xdx là đẳng thức đúng 1 2 A. 4.B. 3.C. 5.D. 6. Hướng dẫn giải 2 2 12 a2 (4 4a)x 4x3 dx a2 x (2 2a)x2 x4 a 3. 1 1 a dx Câu 152. Giá trị của tích phân I (a 0) là 2 2 0 x a 2 2 A B C D 4a 4a 4a 4a Hướng dẫn giải x 0 t 0 2 Đặt x a tan t; t ; dx a(1 tan t)dt . Đổi cận . 2 2 x a t 4 4 a(1 tan2 t) 1 4 Vậy I dt dt . 2 2 2 0 a tan t a a 0 4a 3 cos x Câu 153. Giá trị của tích phân I dx là 0 2 cos 2x 4 A B C D 4 2 2 2 2 2 Hướng dẫn giải x 0 t 0 Đặt t sin x dt cos xdx . Đổi cận : 3 . x t 3 2 3 3 3 cos x 2 dt 1 2 dt Vậy I dx . 2 cos 2x 2 2 3 0 0 3 2t 0 t 2 2 t 0 u 3 3 2 Đặt t cosu dt sin udu . Đổi cận : , suy ra 2 2 3 t u 2 4 3 3 2 2 2 sin udu 4 1 dt 1 1 1 I 2 du u 2 0 3 2 2 3 2 2 2 4 2 t 4 1 cos u 4 2 2 4 1 dt Câu 154. Cho I . Tích phân nào sau đây có giá trị bằng với giá trị của tích phân đã cho. 2 x 1 t 64
1 1 x dt x dt x dt x dt A B C D 2 2 2 2 1 1 t 1 1 t 1 1 t 1 1 t Hướng dẫn giải 1 1 1 1 Đặt u t dt du . Đổi cận t x u ;t 1 u 1 t u u2 x 1 1 1 1 1 du 1 x 1 x dt 2 du du dt dt u 1 t 2 1 u2 1 u2 1 1 t 2 1 t 2 x 1 1 1 1 x 1 x u2 x 2 1 Câu 155. Giá trị của tích phân I ln(sin x)dx là 2 sin x 6 A. B 3 ln 2 3 3 ln 2 3 3 3 C D. 3 ln 2 3 . 3 ln 2 3 3 3 Hướng dẫn giải u ln(sin x) du cot2 xdx 1 dv 2 dx v cot x sin x 2 1 2 I ln(sinx)dx cot x ln(sin x) 2 cot2 xdx 2 sin x 6 6 6 2 1 2 3 ln cot x x 3 ln 2 3 2 6 3 6 2 Câu 156. Giá trị của tích phânI min 1, x2dx là 0 3 4 3 A 4B. . C D 4 3 4 Hướng dẫn giải Xét hiệu số 1 x2 trên đoạn [0;2] để tìm min 1, x2  . 2 1 2 3 2 x 2 4 Vậy I min 1, x2 dx x2dx dx x .  1 0 0 1 3 0 3 3 dx Câu 157. Giá trị của tích phân I dx là 8 x 1 x 2 A lB.n .C D 2 ln 2 2ln 2 3 Hướng dẫn giải 2 x 8 t 3 Đặt t 1 x x 1 t dx 2tdt . Đổi cận . x 3 t 2 3 3 dx 2 2tdt 3 tdt 3 dt t 1 2 Vậy I dx 2 2 ln ln . 2 2 2 8 x 1 x 3 1 t t 2 1 t t 2 1 t t 1 2 3 65
a x3 2ln x 1 Câu 158. Biết I dx ln 2 . Giá trị của a là 2 1 x 2 A. 2. B. .l n 2 C. .D. 3. Hướng dẫn giải a x3 2ln x 1 a a ln x 1 I dx ln 2 xdx 2 dx ln 2 2 2 1 x 2 1 1 x 2 a2 1 1 1 1 2 ln a 1 ln 2 a 2 2 2 a a 2 2 x3 2 ln x 1 HD casio: Nhập dx ln 2 0 nên a 2 . 2 1 x 2 2 2 sin 2x Câu 159. Cho I cos x 3sin x 1dx ,I dx . Khẳng định nào sau đây là sai ? 1 2 2 0 0 (sin x 2) 14 3 3 3 2 A IB B D I I I 2ln I 2ln 1 9 1 2 2 2 2 2 2 3 Hướng dẫn giải 2 4 t 14 I cos x 3sin x 1dx dt 1 0 1 3 9 2 sin 2x 3 1 2 3 2 I dx 2 dt 2ln 2 2 2 0 (sin x 2) 2 t t 2 3 m Câu 160. Tất cả các giá trị của tham số m thỏa mãn 2x 5 dx 6 là 0 A. m 1,m 6 .B. m 1, .C.m 6 m .D. 1,m 6 . m 1,m 6 Hướng dẫn giải m m 2x 5 dx 6 (x2 5x) 6 m2 5m 6 0 m 1, m 6. 0 0 Hướng dẫn casio: Thay m 1 và m 6 vào thấy thỏa mãn. sin 2x a cos x bcos x 2 Câu 161. Cho hàm số h(x) . Tìm để h(x) và tính I h(x)dx 2 2 (2 sin x) (2 sin x) 2 sin x 0 2 3 2 3 A. a 4, b 2; I 2ln . B. a 4, b 2; .I 2ln 3 2 3 2 1 3 1 3 C. .aD. 2, b 4; I 4ln . a 2, b 4; I 4ln 3 2 3 2 Hướng dẫn giải Sử dụng đồng nhất thức, ta thấy b a cos x bcos x a cos x bcos x(2 sin x) sin 2x 1 a 4 h(x) 2 2 2 2 . (2 sin x) 2 sin x (2 sin x) (2 sin x) b 2 a 2b 0 2 2 4cos x 2cos x 4 2 Vậy h(x)dx dx 2ln 2 sin x 2 0 0 (2 sin x) 2 sin x 2 sin x 0 4 2 3 2ln 3 2 2ln 2 2ln . 3 3 2 66