›
›
›

Đề thi Trung học phổ thông quốc gia môn Toán Khối 12 (Chuẩn kiến thức)

doc 34 trang nhatle22 1750
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Đề thi Trung học phổ thông quốc gia môn Toán Khối 12 (Chuẩn kiến thức)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docde_thi_trung_hoc_pho_thong_quoc_gia_mon_toan_khoi_12_chuan_k.doc

Nội dung text: Đề thi Trung học phổ thông quốc gia môn Toán Khối 12 (Chuẩn kiến thức)

  1. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA NĂM 2018 ĐỀ THI THAM KHẢO Bài thi: TOÁN (Đề thi có 06 trang) Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề Họ, tên thí sinh: Số báo danh: Mã đề thi 001 Câu 1. Điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn số phức A. z 2 i. B. z 1 2i. C. z 2 i. D. z 1 2i. Câu 2. lim x 2 bằng x x 3 2 A.  B. 1. C. 2. D. 3. 3 Câu 3. Cho tập hợp M có 10 phần tử. Số tập con gồm 2 phần tử của M là 8 2 2 2 A. A10 . B. A1 0. C. C10. D. 10 . Câu 4. Thể tích của khối chóp có chiều cao bằng h và diện tích đáy bằng B là 1 1 1 A. V Bh. B. V Bh. C. V Bh. D. V Bh. 3 6 2 Câu 5. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau Hàm số y f x nghịch biến trên khoảng nào dưới đây ? A. 2; 0 . B. ; 2 . C. 0; 2 . D. 0; . Câu 6. Cho hàm số y f x liên tục trên đoạn a;b. Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y f x , trục hoành và hai đường thẳng x a, x b a b . Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành được tính theo công thức b b b b A. V f 2 (x)dx. B. V 2 f 2 (x)dx. C. V 2 f 2 (x)dx. D. V 2 f (x)dx. a a a a Câu 7. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau Hàm số đạt cực đại tại điểm A. x 1. B. x 0. C. x 5. D. x 2. Trang 1/6 – Mã đề thi 001
  2. Câu 8. Với a là số thực dương bất kì, mệnh đề nào dưới đây đúng ? 3 1 A. log 3a 3log a. B. log a log a. 3 1 C. log a3 3log a. D. log 3a log a. 3 Câu 9. Họ nguyên hàm của hàm số f x 3x2 1 là x3 A. x3 C. B. x C. C. 6x C. D. x3 x C. 3 Câu 10. Trong không gian Oxyz, cho điểm A 3; 1;1 . Hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng Oyz là điểm A. M 3; 0; 0 . B. N 0; 1;1 . C. P 0; 1; 0 . D. Q 0; 0;1 . Câu 11. Đường cong trong hình bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây ? A. y x4 2x2 2. B. y x4 2x2 2. C. y x3 3x2 2. D. y x3 3x2 2. x 2 y 1 z Câu 12. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d : . Đường thẳng d có một vectơ 1 2 1 chỉ phương là A. u1 1; 2;1 . B. u2 2;1; 0 . C. u3 2;1;1 . D. u4 1; 2; 0 . Câu 13. Tập nghiệm của bất phương trình 22 x 2x 6 là A. 0; 6 . B. ; 6 . C. 0; 64 . D. 6; . Câu 14. Cho hình nón có diện tích xung quanh bằng 3 a2 và bán kính đáy bằng a. Độ dài đường sinh của hình nón đã cho bằng 3a A. 2 2a. B. 3a. C. 2a. D. . 2 Câu 15. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm M 2; 0; 0 , N 0; 1; 0 và P 0; 0; 2 . Mặt phẳng MNP có phương trình là x y z x y z x y z x y z A. 0. B. 1. C. 1. D. 1. 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 Câu 16. Đồ thị của hàm số nào dưới đây có tiệm cận đứng ? 2 x 3x 2 x2 x A. y . B. y . C. y x2 1. D. y . x 1 x2 1 x 1 Câu 17. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau Số nghiệm của phương trình f x 2 0 là A. 0. B. 3. C. 1. D. 2. Trang 2/6 – Mã đề thi 001
  3. Câu 18. Giá trị lớn nhất của hàm số f x x4 4x2 5 trên đoạn  2;3 bằng A. 50. B. 5. C. 1. D. 122. 2 dx Câu 19. Tích phân bằng 0 x 3 16 5 5 2 . A. B. log . C. ln . D. . 225 3 3 15 2 Câu 20. Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của phương trình 4z 4z 3 0. Giá trị của biểu thức z1 z2 bằng A. 3 2. B. 2 3. C. 3. D. 3. Câu 21. Cho hình lập phương ABCD.A' B 'C ' D ' có cạnh bằng a (tham khảo hình vẽ bên). Khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và A'C ' bằng A. 3a. B. a. 3a C. . D. 2a. 2 Câu 22. Một người gửi 100 triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất 0,4% /tháng. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi tháng, số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn ban đầu để tính lãi cho tháng tiếp theo. Hỏi sau đúng 6 tháng, người đó được lĩnh số tiền (cả vốn ban đầu và lãi) gần nhất với số tiền nào dưới đây, nếu trong khoảng thời gian này người đó không rút tiền ra và lãi suất không thay đổi ? A. 102.424.000 đồng. B. 102.423.000 đồng. C. 102.016.000 đồng. D. 102.017.000 đồng. Câu 23. Một hộp chứa 11 quả cầu gồm 5 quả cầu màu xanh và 6 quả cầu màu đỏ. Chọn ngẫu nhiên đồng thời 2 quả cầu từ hộp đó. Xác suất để 2 quả cầu chọn ra cùng màu bằng 5 6 5 8 A. . B. . C. . D. . 22 11 11 11 Câu 24. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A( 1; 2;1) và B(2;1;0). Mặt phẳng qua A và vuông góc với AB có phương trình là A. 3x y z 6 0. B. 3x y z 6 0. C. x 3y z 5 0. D. x 3y z 6 0. Câu 25. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm của SD (tham khảo hình vẽ bên). Tang của góc giữa đường thẳng BM và mặt phẳng ABCD bằng 2 3 A. . B. . 2 3 2 1 C. . D. . 3 3 1 2 Câu 26. Với n là số nguyên dương thỏa mãn Cn Cn 55, số hạng không chứa x trong khai triển của n 3 2 biểu thức x bằng 2 x A. 322560. B. 3360. C. 80640. D. 13440. 2 Câu 27. Tổng giá trị tất cả các nghiệm của phương trình log x.log x.log x.log x bằng 9 82 80 A. . B. . Trang 3/6 – Mã đề thi 001
  4. 3 9 9 27 81 3 C. 9. D. 0. Trang 4/6 – Mã đề thi 001
  5. Câu 28. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OA OB OC. Gọi M là trung điểm của BC (tham khảo hình vẽ bên). Góc giữa hai đường thẳng OM và AB bằng A. 90o. B. 30o. C. 60o. D. 45o. x 3 y 3 z 2 x 5 y 1 z 2 Câu 29. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d : ; d : 1 1 2 1 2 3 2 1 và mặt phẳng (P) : x 2y 3z 5 0. Đường thẳng vuông góc với (P), cắt d1 và d2 có phương trình là x 1 y 1 z x 2 y 3 z 1 A. . B. . 1 2 3 1 2 3 x 3 y 3 z 2 x 1 y 1 z C. . D. . 1 2 3 3 2 1 1 Câu 30. Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m để hàm số y x3 mx đồng biến trên 5x5 khoảng 0; ? A. 5. B. 3. C. 0. D. 4. Câu 31. Cho (H ) là hình phẳng giới hạn bởi parabol y 3x 2 , cung tròn có phương trình y 4 x2 (với 0 x 2 ) và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ). Diện tích của (H ) bằng 4 3 4 3 A. . B. . 12 6 4 2 3 3 5 3 2 C. . D. . 6 3 2 dx Câu 32. Biết a b c với a, b, c là các số nguyên dương. Tính P a b c. 1 x 1 x x x 1 A. P 24. B. P 12. C. P 18. D. P 46. Câu 33. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 4. Tính diện tích xung quanh Sxq của hình trụ có một đường tròn đáy là đường tròn nội tiếp tam giác BCD và chiều cao bằng chiều cao của tứ diện ABCD. 16 2 16 3 A. S . B. S 8 2 . C. S . D. S 8 3 . xq 3 xq xq 3 xq Câu 34. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để phương trình 16x 2.12x m 2 9x 0 có nghiệm dương ? A. 1. B. 2. C. 4. D. 3. Câu 35. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 3 m 33 m 3sin x sin x có nghiệm thực ? A. 5. B. 7. C. 3. D. 2. Câu 36. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số y x3 3x m trên đoạn 0; 2 bằng 3. Số phần tử của S là A. 1. B. 2. C. 0. D. 6. Trang 5/6 – Mã đề thi 001
  6. 1  2 Câu 37. Cho hàm số f x xác định trên \  thỏa mãn f x , f 0 1 và f 1 2. Giá 2 2x 1 trị của biểu thức f 1 f 3 bằng A. 4 ln15. B. 2 ln15. C. 3 ln15. D. ln15. Câu 38. Cho số phức z a bi a,b thỏa mãn z 2 i z 1 i 0 và z 1. Tính P a b. A. P 1. B. P 5. C. P 3. D. P 7. Câu 39. Cho hàm số y f (x). Hàm số y f x có đồ thị như hình bên. Hàm số y f 2 x đồng biến trên khoảng A. 1;3 . B. 2; . C. 2;1 . D. ; 2 . x 2 Câu 40. Cho hàm số y có đồ thị C và điểm A a;1 . Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực x 1 của a để có đúng một tiếp tuyến của C đi qua A. Tổng giá trị tất cả các phần tử của S bằng 3 5 1 A. 1. B. . C. . D. . 2 2 2 Câu 41. Trong không gian Oxyz, cho điểm M (1;1; 2). Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng (P) đi qua M và cắt các trục x Ox, y Oy, z Oz lần lượt tại các điểm A, B,C sao cho OA OB OC 0 ? A. 3. B. 1. C. 4. D. 8. Câu 42. Cho dãy số un thỏa mãn log u1 2 log u1 2log u10 2log u10 và un 1 2un với mọi n 1. 100 Giá trị nhỏ nhất của n để u n 5 bằng A. 247. B. 248. C. 229. D. 290. Câu 43. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y 3x4 4x3 12x2 m có 7 điểm cực trị ? A. 3. B. 5. C. 6. D. 4. 8 4 8 Câu 44. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A 2; 2;1 , B ; ; . Đường thẳng đi qua tâm đường 3 3 3 tròn nội tiếp của tam giác OAB và vuông góc với mặt phẳng OAB có phương trình là x 1 y 3 z 1 x 1 y 8 z 4 A. . B. . 1 2 2 1 2 2 1 5 11 2 2 5 x y z x y z C. 3 3 6 .D. 9 9 9 . 1 2 2 1 2 2 Câu 45. Cho hai hình vuông ABCD và ABEF có cạnh bằng 1, lần lượt nằm trên hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Gọi S là điểm đối xứng với B qua đường thẳng DE. Thể tích của khối đa diện ABCDSEF bằng 7 11 2 5 A. . B. . C. . D. . 6 12 3 6 Câu 46. Xét các số phức z a bi a,b thỏa mãn z 4 3i 5. Tính P a b khi z 1 3i z 1 i đạt giá trị lớn nhất. A. P 10. B. P 4. C. P 6. D. P 8. Trang 6/6 – Mã đề thi 001
  7. Câu 47. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A' B 'C ' có AB 2 3 và AA' 2. Gọi M , N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh A' B ', A'C ' và BC (tham khảo hình vẽ bên). Côsin của góc tạo bởi hai mặt phẳng AB 'C ' và MNP bằng 6 13 13 A. . B. . 65 65 17 13 18 13 C. . D. . 65 65 Câu 48. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A 1; 2;1 , B 3; 1;1 và C 1; 1;1 . Gọi S1 là mặt cầu có tâm A, bán kính bằng 2; S2 và S3 là hai mặt cầu có tâm lần lượt là B, C và bán kính đều bằng 1. Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng tiếp xúc với cả ba mặt cầu S1 , S2 , S3 ? A. 5. B. 7. C. 6. D. 8. Câu 49. Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh gồm 2 học sinh lớp 12A, 3 học sinh lớp 12B và 5 học sinh lớp 12C thành một hàng ngang. Xác suất để trong 10 học sinh trên không có 2 học sinh cùng lớp đứng cạnh nhau bằng 11 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 630 126 105 42 1 Câu 50. Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn f (1) 0, [ f (x)]2 dx 7 và 0 1 1. 1 . Tích x2 f (x)dx f (x)dx bằng 0 phân 0 3 7 7 A . . B. 1. C. . D. 4. 5 4 HẾT Trang 7/6 – Mã đề thi 001
  8. BẢNG ĐÁP ÁN Câu 1 – A Câu 11 – A Câu 21 - B Câu 31 – B Câu 41 - A Câu 2 – B Câu 12 – A Câu 22 - A Câu 32 - D Câu 42 - B Câu 3 – C Câu 13 – B Câu 23 - C Câu 33 - A Câu 43 - D Câu 4 – A Câu 14 – B Câu 24 - B Câu 34 - B Câu 44 - A Câu 5 – A Câu 15 – D Câu 25 - D Câu 35 - A Câu 45 - D Câu 6 – A Câu 16 - D Câu 26 - D Câu 36 - B Câu 46 - A Câu 7 – D Câu 17 - B Câu 27 - A Câu 37 - C Câu 47 - B Câu 8 – C Câu 18 - A Câu 28 - C Câu 38 - D Câu 48 - C Câu 9 – D Câu 19 - C Câu 29 - A Câu 39 - A Câu 49 - A Câu 10 – B Câu 20 - D Câu 30 - D Câu 40 - B Câu 50 - A
  9. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2018 ĐỀ THI THAM KHẢO Bài thi: Toán Thời gian làm bài: 90 phút Câu 1. Điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn số phức A. z 2 i .B. z 1 2i . C. z 2 i . D. z 1 2i . Lời giải Chọn. A. Điểm M 2;1 là điểm biểu diễn số phức z 2 i . Câu 2. lim x 2 bằng x x 3 2 A. .B. 1. C. 2 . D. 3 . 3 Lời giải Chọn. B. 2 x 2 1 lim lim x 1 . x x 3 x 3 1 x Câu 3. Cho tập hợp M có 10 phần tử. Số tập con gồm 2 phần tử của M là 8 2 2 2 A. A10.B. A10 . C. C 10. D. 10 . Lời giải Chọn. C. 2 Số tập con gồm 2 phần tử của M là một tổ hợp chập 2 của 10 phần tử: C . 10 Câu 4. Thể tích của khối chóp có chiều cao bằng h và diện tích đáy bằng B là 1 1 1 A. V Bh . B. V Bh . C. V Bh . D. V Bh . 3 6 2 Lời giải Chọn. A. Câu 5. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau
  10. x – ∞ -2 0 2 + ∞ y' + 0 – 0 + 0 – 3 3 y – ∞ -1 – ∞ Hàm số y f x nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. 2; 0 . B. ; 2 . C. 0; 2 . D. 0; . Lời giải Chọn. A. Dựa vào bảng biến thiên ta có: Hàm số nghịch biến trên khoảng: 2; 0 và 2; . Câu 6. Cho hàm số y f x liên tục trên đoạn a;b . Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x , trục hoành và hai đường thẳng x a, x b a b . Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành được tính theo công thức b b b b A. V f 2 x dx . B. V 2 f 2 x dx . C. V 2 f 2 x dx . D. V 2 f x dx . a aaa Lời giải Chọn. A. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành được tính theo công thức b V f 2 x dx . a Câu 7. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau Hàm số đạt cực đại tại điểm A. x 1 .B. x 0 . C. x 5 .D. x 2 . Lời giải Chọn. D. Dựa vào bảng biến thiên ta thấy: Hàm số đạt cực đại tại x 2 . Câu 8. Với a là số thực dương bất kì, mệnh đề nào sau đây đúng? 3 1 1 A. log 3a 3log a . B. log a log a . C. log a3 3log a . D. log 3a log a . 3 3 Lời giải Chọn. C. Ta có:
  11. + log a3 3log a . + log 3a log 3 log a . Câu 9. Họ nguyên hàm của hàm số f x 3x2 1 là x3 A. x3 C .B. x C . C. 6 x C. D. x3 x C . 3 Lời giải Chọn. D. Ta có: f x dx 3x2 1 dx x3 x C . Câu 10. Trong không gian Oxyz , cho điểm A 3; 1;1 . Hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng Oyz là điểm A. M 3; 0; 0 .B. N 0; 1;1 . C. P 0; 1; 0 . D. Q 0; 0;1 . Lời giải Chọn. B. Hình chiếu của A 3; 1;1 lên mặt phẳng Oyz là điểm N 0; 1;1 . Câu 11. Đường cong trong hình bên dưới là đồ thị của hàm số nào dưới đây? A. y x4 2x2 2 . B. y x4 2x2 2 . C. y x3 3x2 2 .D. y x3 3x2 2 . Lời giải Chọn. A. Dựa vào dạng đồ thị ta loại B, C vì đây là dạng đồ thị hàm trùng phương. Nhánh sau cùng đi xuống nên ta có hệ số a 0 . x 2 y 1 z Câu 12. Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d : . Đường thẳng d có một vectơ 1 2 1 chỉ phương là    A. u1 1; 2;1 . B. u2 2;1; 0 . C. u3 2;1;1 . D. u 4 1; 2; 0 . Chọn. A. Lời giải. x x0 y y z z Đường thẳng d : 0 0 có vectơ chỉ phương là u a;b; c . a b c x 2 y 1 z  Suy ra đường thẳng d : có vectơ chỉ phương là u 1; 2;1 . 1 2 1 1 Câu 13. Tập nghiệm của bất phương trình 22 x 2x 6 là
  12. A. 0; 6 . B. ;6 . C. 0; 64 . D. 6; . Lời giải. Chọn. B. Ta có: 22 x 2x 6 22 x 64.2x 2x 2x 64 0 2x 64 26 x 6 S ; 6 . Câu 14. Cho hình nón có diện tích xung quanh bằng 3 a2 và bán kính đáy bằng a . Độ dài đường sinh của hình nón đã cho bằng 3a A. 2 2a .B. 3a . C. 2a . D. . 2 Lời giải. Chọn. B. 2 2 Ta có: S xq rl 3 a .a.l 3 a l 3a . Câu 15. Trong không gian Oxyz ,cho ba điểm M 2; 0; 0 , N 0; 1; 0 và P 0; 0; 2 . Mặt phẳng MNP có phương trình là x y z x y z x y z x y z A. 0 . B. 1. C. 1 . 1 .  D. 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 Lời giải. Chọn. D. Áp dụng công thức phương trình đoạn chắn ta suy mặt phẳng MNP có phương trình x y z là 1 . 2 1 2 Câu 16. Đồ thị hàm số nào dưới đây có tiệm cận đứng? 2 2 x 3x 2 x 2 x A. y . B. y 2 . C. y x 1 . D. y . x 1 x 1 x 1 Lời giải Chọn. D. x 2 -3x + 2 * lim = -1 nên đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng. x 1 x -1 x2 * y và y x2 1 mẫu vô nghiệm và không có mẫu nên đồ thị hàm số không có tiệm x2 1 cận đứng. x x * Ta có: lim và lim nên đồ thị hàm số có 1 tiệm cận đứng là x 1 . x 1 x 1 x 1 x 1 Câu 17. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau
  13. Số nghiệm của phương trình f x 2 0 là A. 0 . B. 3 . C. 1. D. 2 . Lời giải Chọn. D. Ta có : f x 2 0 f x 2 1 Khi đó số nghiệm của phương trình 1 là số giao điểm của đồ thị hàm số y f x và đường thẳng y 2 . Dựa vào bảng biến thiên ta có : số giao điểm của hai đồ thị là 2 . Vậy phương trình f x 2 0 có 2 nghiệm. Câu 18. Giá trị lớn nhất của hàm số f x x4 4x2 5 trên đoạn  2;3 bằng A. 50 . B. 5 . C. 1. D. 122 . Lời giải Chọn. A. Xét hàm số f x x4 4x2 5 trên đoạn  2;3 . x 0  2;3 3 f x 4x 8x f x 0 x 2 2;3 . Ta có:   x 2  2;3 f 0 5 , f 2 f 2 1 , f 2 5 , f 3 50 . Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng 50 khi x 3 . 2 dx Câu 19. Tích phân bằng x0 3 16 5 5 2 A. . B. log . C. ln . D. . 225 3 3 15 Lời giải Chọn. C. 2 dx 2 5 Ta có: ln x 3 ln 5 ln 3 ln . 3 0 x 3 0 2 Câu 20. Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của phương trình 4z 4z 3 0 . Giá trị của biểu thức z1 z2 bằng A. 3 2 . B. 2 3 . C. 3 . D. 3 . Lời giải Chọn. D. 1 2 2 i , z 1 2 Ta có 4 12 8 8i . Các nghiệm của phương trình là z i . = + = - 1 2 2 2 2 2 2 æ ö2 æ 1ö 2 2 2 ÷ + ÷ æ 1ö æ 2 ö ç ÷ ç +ç- ÷ 3 Do đó z1 + z2 = è2ø èç 2 ø÷ + ç = . è2ø èç 2 ÷ø
  14. Câu 21. Cho hình lập phương ABCD.A' B 'C ' D ' có cạnh bằng a (tham khảo hình vẽ bên). Khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và A'C ' bằng a 3 3 . D. a 2 . 2 A. a . B. a . C. Lời giải Chọn. B. Ta có BD  AC (do ABCD là hình vuông) BD  AA' (do ABCD là hình lập phương) BD  ACC ' A' Gọi O,O ' lần lượt là tâm của hai hình vuông ABCD, A' B 'C ' D ' . Khi đó OO '  A'C ' và OO  BD nên OO ' là đoạn vuông góc chung của BD và A'C ' d BD, A'C ' OO ' a. . Câu 22. Một người gửi 100 triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất 0, 4% / tháng. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi tháng, số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn ban đầu để tính lãi cho tháng tiếp theo. Hỏi sau đúng 6 tháng, người đó được lĩnh số tiền (cả vốn ban đầu và lãi) gần nhất với số tiền nào dưới đây, nếu trong khoảng thời gian này người đó không rút tiền ra và lãi suất không thay đổi? A. 102.120.000 đồng. B. 102.423.000 đồng. C. 102.016.000 đồng. D. 102.017.000 đồng. Lời giải Chọn. B. Với cách tính như trên thì đây là bài toán lãi kép với công thức tính: C A 1 r N Với A 100.106 đồng, r 0, 4% 0, 004 , N 6 C 100.106. 1, 004 6 102.424.128 đồng.
  15. Câu 23. Một hộp chứa 11 quả cầu gồm 5 quả cầu màu xanh và 6 quả cầu màu đỏ. Chọn ngẫu nhiên đồng thời 2 quả cầu từ hộp đó. Xác suất để 2 quả cầu chọn ra cùng màu bằng 5 6 8 A. . B. . Lời giải D. . 22 11 11 5 C. . 11 Chọn C 2 Số phần tử của không gian mẫu là: n  11C 55 . 2 2 Số cách chọn 2 quả cầu cùng màu: C 5 C 6 25 . 25 5 Xác suất để 2 quả cầu chọn ra cùng màu là: P . 55 11 Câu 24. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 1; 2;1 và B 2;1; 0 . Mặt phẳng qua A và vuông góc với AB có phương trình là A. 3x y z 6 0 . B. 3x y z 6 0 . C.x 3 y z 5 0 .D. x 3 y z 6 0 . Lời giải Chọn B A 1; 2;1 và vuông góc với AB nên có một vectơ pháp tuyến là Mặt phẳng P qua  AB 3; 1; 1 . Do đó mặt phẳng P có phương trình là: 3 x 1 1 y 2 1 z 1 0 3x y z 6 0 . Câu 25. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a . Gọi M là trung điểm của SD (tham khảo hình vẽ dưới đây). S M A D B C Tang của góc giữa BM và ( ABCD) bằng. 2 3 2 1 A. . B. . C. . D. . 2 3 3 3 Lời giải Chọn D
  16. S M I A D N O B C Gọi O là tâm đáy, I là giao của BM và SO , vì hình chóp S.ABCD đều nên SO  ABCD , gọi N là hình chiếu của M lên BD , dễ thấy MN // SO nên N là hình chiếu của M lên ( ABCD) . Vậy BAM , ABCD MABN IBAO . a 2 Ta có tam giác SBD vuông cân tại S (vì SB SD a , BD a 2 ) nên SO 2 1 a 2 Vì I là trọng tâm tam giác SBD nên IO SO . 3 6 a 2 A IO 1 Vậy tan IBO 6 . BO a 2 3 2 1 2 Câu 26. Với n là số nguyên dương thỏa mãn C n C n 55 . Số hạng không chứa x trong khai triển của n 3 2 biểu thức x bằng 2 x A. 322560 . B. 3360 . C. 80640 . D. 13440 . Lời giải Chọn D Điều kiện n A* . n! n! n n 1 Phương trình C1 C 2 55 55 n 55 n n 1! n 1 ! 2! n 2 ! 2 n2 n 110 0 n 10 . 10 Khai triển trở thành x3 2 2 . x k k 3 10 k 2 k k 30 5k Ta có số hạng tổng quát của khai triển: T C x . C .2 .x . Để số hạng không k 1 10 x2k 10 6 6 chứa x thì k 6 . Vậy số hạng cần tìm là C 10.2 13440 . 2 Câu 27. Tổng giá trị tất cả các nghiệm của phương trình log x.log x.log x.log x bằng 3 9 27 81 3
  17. 82 80 A. . B. . C. 9 . D. 0 . 9 9 Lời giải Chọn A Điều kiện x 0 . Ta có phương trình đã cho trương đương với 2 1 4 2 x log x 4 log3 x.log 2 x.log 3 x.log 4 log3 x 16 3 3 3 3 24 3 3 x 9 log x 2 1 . 3 x 9 82 Cả hai nghiệm đều thỏa điều kiện x 0 nên tổng các nghiệm của phương trình đã cho là . 9 Câu 28. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OA OB OC. Gọi M là trung điểm của BC (tham khảo hình vẽ bên). Góc giữa hai đường thẳng OM và AB bằng A. 90o . B. 30o . C.60o . D. 45o . Lời giải Chọn C Giả sử OA OB OC a. Gọi N là trung điểm AC . 1 a 2 Ta có MN là đường trung bình của tam giác ABC nên MN || AB và MN AB . 2 2 Do đó OMA , AB OMA , MN .
  18. Xét các tam giác OAC và OBC vuông cân tại O có ON , OM lần lượt là các trung tuyến nên 1 a 2 ON OM AC . 2 2 Như vậy tam giác OMN có ba cạnh bằng nhau nên là tam giác đều, từ đó OAM , MN 60o . x 3 y 3 z 2 Câu 29. Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng d : , 1 1 2 1 x 5 y 1 z 2 d2 : và mặt phẳng P : x 2 y 3z 5 0 . Đường thẳng vuông góc với 3 2 1 P , cắt d1 và d2 có phương trình là x 1 y 1 z x 2 y 3 z 1 A. . B. . 1 2 3 1 2 3 x 3 y 3 z 2 x 1 y 1 z C. . D. . 1 2 3 3 2 1 Lời giải Chọn A Viết lại phương trình x 3 t x 5 3t A d : y 3 2t , d : y 1 2t , t, t A . 1 2 d 1 z 2 t z 2 t B d2 Giả sử đường thẳng cần tìm là cắt hai đường thẳng d1 và d2 lần lượt tại A 3 t;3 2t; 2 t và B 5 3t ; 1 2t ; 2 t . Một vectơ chỉ phương của là   u AB 2 3t t; 4 2t 2t; 4 t t . P  Một vectơ pháp tuyến của P là nP 1; 2;3   hay Vì  P nên u cùng phương với nP 2 3t t k 3t t k 2 t 1 4 2t 2t 2k 2t 2t 2k 4 2 . t 3k 4 t t 3k t t 4 k 1 Suy ra  x 1 y 1 z A 1; 1; 0 , B 2;1;3 , u 1; 2;3 , do đó : , đáp án. A. 1 2 3 1 Câu 30. Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m để hàm số y x3 mx đồng biến trên 5x5 khoảng 0; ? A. 5 . B. 3 . C. 0 . D. 4 . Lời giải Chọn D
  19. 1 Ta có y 3x2 m , x 0; . x6 Hàm số đồng biến trên khoảng 0; 1 2 1 y 0, x 0; m 3x2 , x 0; m min 3x (*). 6 6 x 0; x 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 Mà 3x x x x 44 x .x .x . 4 . x6 x6 x6 Do đó từ (*) suy ra m 4 m 4 . Vậy có 4 giá trị nguyên âm của m là 1; 2; 3; 4 thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 31. Cho H là hình phẳng giới hạn bởi parabol y 3x2 , cung tròn có phương trình y 4 x2 (với 0 x 2 ) và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ). Diện tích hình H bằng 4 3 4 3 A. . B. . 12 6 4 2 3 3 5 3 2 C. . D. . 6 3 Lời giải Chọn. B. Phương trình hoành độ giao điểm: 3x2 4 x2 3x4 x2 4 0 x 1 (do 0 x 2 ). 1 2 2 Khi đó S 3x2 dx 4 x dx I J . 0 1 1 1 3 Tính I 3x2 dx 3x . 3 3 0 3 0 x 1 t 2 6 Tính J 2 dx : Đặt x 2 sin t dx 2 cos t dt . Khi đó 4 x và 1 x 2 t 2   2 2 2 2 1 2 2 2 3 J 4 4 sin t .2 cos t dt 4 cos t dt 2 1 cos 2t dt 2 t sin 2t . 2 3 2 6 6 6 6 3 2 3 4 3 Vậy S (đvdt). 3 3 2 6 2 dx Câu 32. Biết a b c với a, b, c là các số nguyên dương. Tính 1 x 1 x x x 1 P a b c . A. P 24 . B. P 12 . C. P 18 .D. P 46 . Lời giải
  20. Chọn. D. 1 1 x 1 x 1 1 Ta có  . x 1 x x x 1 x x 1 . x 1 x x x 1 x x 1 2 2 dx 2 1 1 2 1 1 2 Do đó dx x x 1 2 dx 2 x x 1 1 1 x 1 x x x 1 1 x x 1 1 a 32 4 2 2 3 2 32 12 2 . Suy ra b 12 nên P a b c 32 12 2 46 . c 2 Câu 33. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 4. Tính diện tích xung quanh Sxq của hình trụ có một đường tròn đáy là đường tròn nội tiếp tam giác BCD và chiều cao bằng chiều cao của tứ diện ABCD . 16 2 16 2 16 2 16 2 A. S . B. S . C. S . D. S . xq 3 xq 3 xq 3 xq 3 Lời giải Chọn. A. Gọi E , F là trung điểm cạnh DC , BC . Do ABCD là tam giác đều, nên BE , DF cũng là đường cao, đường phân giác của ABCD . Các mặt bên cũng là tam giác đều. Gọi BE  CF H thìAH là đường cao của tứ diện. 2 2 4 3 4 6 AH AB2 BH 2 42 . . 3 2 3 1 4 3 2 3 Đường tròn nội tiếp ABCD có bán kính r HE AE . 3 2.3 3 2 3 4 6 16 2 Diện tích xung quanh của hình trụ là: S 2 rh 2. . . . xq 3 3 3 Câu 34. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để phương trình 16x 2.12x m 2 .9x 0 có nghiệm dương? A. 1. B. 2 .
  21. C. 4 . D. 3 . Lời giải Chọn. B. Ta có: 16x 2.12x m 2 .9x 0 (1) 2 x x 4 4 2. m 2 0 . 3 3 x 4 2 Đặt t , phương trình trở thành: t 2t m 2 0 (2) 3 Để phương trình (1) có nghiệm dương thì phương trình (2) có nghiệm t 1. t 2 2t m 2 0 t 1 2 3 m Do t 1 nên 3 m 0 m 3 0 m 3 m 1; 2 Vậy có 2 giá trị của m thỏa mãn. Câu 35. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 3 m 33 m 3sin x sin x có nghiệm thực? A. 5 . B. 7 . C. 3 . D. 2 . Lời giải Chọn. A. 3 m 33 m 3sin x sin x m 33 m 3sin x sin3 x m 3sin x 33 m 3sin x sin3 x 3sin x 1 . Xét hàm số f t t3 3t . Ta có f t 3t 2 3 0t A . Do đó hàm số f t đồng biến trên A . 1 f 3 m 3sin x f sin x 3 m 3sin x sin x sin3 x 3sin x m . Đặt sin x t t  1;1 . Ta được phương trình t3 3t m . Đặt g t t3 3t t  1;1 . Ta có g t 3t 2 3; g t 0 t 1 . BBT Vậy để phương trình có nghiệm thì m  2; 2 . Vậy chọn A. Câu 36. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số y x3 3x m trên đoạn 0; 2 bằng 3 . Số phần tử của S là A. 1. B. 2 . C. 0 . D. 6 . Lời giải Chọn. B. Xét hàm số f x x3 3x m x 0; 2 . Ta có f x 3x2 3; f x 0 x 1.
  22. BBT Suy ra GTLN của hàm số y x3 3x m trên đoạn 0; 2 bằng M Max m 2 , m 2  . m 5 m 1 m 2 3 Do đó . m 2 3 m 1 m 5 Với m 1 thì M Max 1 2 , 1 2  3 . (TM) Với m 1 thì M Max 1 2 , 1 2  3 . (TM) Với m 5 thì M Max 5 2 , 5 2  7 . (KTM) Với m 5 thì M Max 5 2 , 5 2 7 . (KTM) Vậy S 1;1. Chọn B 1  2 Câu 37. Cho hàm số f (x) xác định trên A \  thỏa mãn f (x) , f (0) 1 và f (1) 2 . 2  2x 1 Giá trị của biểu thức f ( 1) f (3) bằng A. 4 ln 5. . B. 2 ln15. . C. 3 ln15. . D. ln15. Lời giải Chọn. C. 1 2 • Trên khoảng ; : f (x) dx ln(2x 1) C . 2x 1 1 2 Lại có f (1) 2 C 2. 11 2 • Trên khoảng ; : f (x) dx ln(1 2x) C . 2 2 2x 1 Lại có f (0) 1 C2 1. 1 ln(2x 1) 2 khi x 2 f (x) . Vậy 1 ln(1 2x) 1 khi x 2 Suy ra f ( 1) f (3) 3 ln15 Câu 38. Cho số phức z a bi (a,b A) thỏa mãn z 2 i z (1 i) 0 và z 1. Tính P a b. A. P 1 B. P 5 C. P 3. .D. P 7. Lời giải Chọn. D.
  23. Đặt m z a 2 b2 , ta có m A và m 1. a 2 m 0 b a 1 z 2 i z (1 i) 0 a 2 m (b 1 m)i 0 . b 1 m 0 m a 2 Kết hợp các điều trên ta có phương trình: a 1 a 2 a2 (a 1)2 . a 3 Với a 1: b 0, m 1 (loại vì m 1) Với a 3: b 4, m 5. (nhận) Vậy P a b 3 4 7. . Câu 39. Cho hàm số y f x . Hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ Hàm số y f 2 x đồng biến trên khoảng A. 1;3 . B. 2; . C. 2; 1 . D. ; 2 . Lời giải Chọn C x 1 f x 0 . Dựa vào đồ thị của hàm số y f x ta có 1 x 4 Ta có f 2 x 2 x . f 2 x f 2 x . Để hàm số y f 2 x đồng biến thì f 2 x 0 f 2 x 0 2 x 1 x 3 . 1 2 x 4 2 x 1 x 2 Câu 40. Cho hàm số y có đồ thị C và điểm A a;1 . Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực x 1 của a để có đúng một tiếp tuyến của C đi qua A. Tổng các giá trị của tất cả các phần tử của S bằng 3 5 1 A. 1. B. . C. . D. . 2 2 2 Lời giải Chọn C
  24. Gọi đường thẳng đi qua A a;1 có hệ số góc k là y k x a 1. Đường thẳng này là tiếp x 2 k x a 1 x 1 tuyến của hệ khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm 1 . Thay k ở k 2 x 1 phương trình hai vào phương trình một của hệ ta có: x 2 a x 2 1 x 2 x 1 a x x 1 2x 2 6x 3 a 0 (*). x 1 x 1 2 Để chỉ có một tiếp tuyến qua A thì phương trình (*)phải có nghiệm kép hay 3 9 6 2a 0 a . 2 hoặc có hai nghiệm phân biệt trong có có một nghiệm bằng 1 khi đó 3 0 9 6 2a 0 a 2 6 3 a 0 a 1 2 a 1 a 1 3 5 Vậy tổng các phần tử của S là 1 . 2 2 Câu 41. Trong không gian Oxyz , cho điểm M (1;1; 2) . Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng (P) đi qua M và cắt các trục x 'Ox , y 'Oy , z 'Oz lần lượt tại các điểm A, B, C sao cho OA = OB = OC ¹ 0 ? A. 3 . B. 1. C. 4 . D. 8 . Lời giải Chọn. A. x y z Gọi phương trình mặt phẳng cần tìm là + + = 1. Do M (1;1; 2) thuộc mặt phẳng nên a b c 1 1 2 + + =1 (*). Mặt khác, ta có A(a; 0; 0) , B(0;b; 0) , C(0; 0; c) nên từ OA = OB = OC ¹ 0 a b c Suy ra a = b = c = a > 0 từ đây (a; b; c) có thể nhận các bộ số sau (a; a; a) ; (-a; a;a) ; (a;-a;a) ; (a;a;-a) ; (-a;-a;a) ; (-a; a;-a) ; (a;-a;-a) ; (-a;-a;-a) có 8 bộ sô ứng với mỗi bộ kết hợp với (*) ta chỉ có 3 bộ thỏa mãn. (a; a; a) , (-a; a;a) , (a;-a;a) ứng với mỗi bộ cho ta một mặt phẳng. Câu 42. Cho dãy số un thỏa mãn log u1 2 log u1 2 log u10 2 log u10 và un 1 2un với mọi 100 n 1. Giá trị nhỏ nhất của n để u n 5 bằng A. 247 . B. 248 . C. 229 . D. 290 . Lời giải Chọn. B. Từ điều kiện un 1 2un , n 1 ta có un là cấp số nhân với công bội q 2. Do đó u 2 9 u . 10 1 Ta có log u1 2 log u1 2 log u10 2 log u10 9 9 log u1 2 log u1 2 log 2 u 1 2 log 2 u 1
  25. log u1 2 log u1 18 log 2 2 log u1 18 log 2 2 log u1 2 m log u1 m log u1 m 18 log 2 log u1 m 2 m log u log2 u 2m.log u m2 111 log u m 2 1 log u 2m 1 .log u m2 m 2 0 1 1 log u1 m 10 5 log u m 2 log u m 1 1 18 log 2 log u . 1 1 1 218 217 log u1 m 1 5 Ta có u 2n 1u 2n 1. 2n 18.5 . n 1 217 100 n 18 100 n 18 99 Nên u n 5 2 .5 5 2 5 n 18 99 log 5 247.8712 Vậy giá trị nhỏ nhất của n thỏa mãn là: n 248 Câu 43. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y 3x4 4x3 12x2 m có 7 điểm cực trị? A. 3 . B. 5 . C. 6 . D. 4 . Lời giải Chọn. D. Xét hàm số y 3x4 4x3 12x 2 m có y 12x3 12x2 24x x 2 y 32 m 1 1 Ta có y 0 x 1 y 5 m 2 2 x3 0 y3 m Bảng biến thiên: Dựa vào BBT để đồ thị hàm số y 3x4 4x3 12x2 m có 7 điểm cực trị khi và chỉ khi m 0 0 m 5 . Với m nguyên nên ta có m 1; 2;3; 4 5 m 0 Vậy có 4 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán. 8 4 8 Câu 44. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 2; 2;1 , B ; ; đường thẳng đi qua tâm của 3 3 3 đường tròn nội tiếp của tam giác OAB và vuông góc với mặt phẳng OAB có phương trình là:
  26. x 1 y 3 z 1 x 1 y 8 z 4 A. . B. . 1 2 2 1 2 2 1 5 9 2 5 x y 11 x y z z 2 9 9 C. 3 3 6 .D. . 1 2 2 1 2 2 Lời giải Chọn. A. 8 4 8   Ta có OA 2; 2;1 , OB ; ; OA 3, OB 4 .   3 3 3 n OA,OB 4 1; 2; 2 . Gọi D x; y; z là chân đường phân giác hạ từ O đến AB . DA AO 3  3  Ta có AD BD O DB BO4 4 3 8 . x 2 x 4 3 x 0 3 4 12 y 2 y y 12 12 I 4 3 7 D 0; ; 7 7 3 8 z 1 z 12 z B D A 4 3 7  8 8 20 20 ; ; BD . BD  3 21 27 7 Gọi I x; y; z là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác ABC 7 x x x 0 IO OB 7  7  57 12 Ta có OI DI y y y 1 I 0;1;1 ID BD5 5  5 7 z 1 7 12 z z 5 7 đường thẳng cần tìm đi qua I 0;1;1 và có véc tơ chỉ phương u 1; 2; 2 . x 1 y 3 z 1 Thay tọa độ I 0;1;1 vào thỏa mãn phương trình . 1 2 2 Câu 45. Cho hai hình vuông ABCD và ABEF có cạnh bằng 1, lần lượt nằm trên hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Gọi S là điểm đối xứng với B qua đường thẳng DE . Thể tích của khối đa diện ABCDSEF bằng 7 11 2 5 A. . B. . C. . D. . 6 12 3 6 Lời giải Chọn. D.
  27. S F E A B D C Gọi H là khối đa diện ABCDSEF ta có V H VADF .BCE VS .CDFE . * Vì ADF.BCE là hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông cân nên ta có: 1 V AB.S . ADF .BCE BCE 2 * Vì tứ giác CDFE là hình chữ nhật và S là điểm đối xứng với B qua đường thẳng DE nên ta có: 1 V 2V 2.V 2.V 1 1 1 . 2. CD.S 2. .1. S .CDFE S .CDE B.CDE D.BCE 3 BCE 3 2 3 1 1 5 * V V V . H ADF .BCE S .CDFE 2 3 6 Câu 46. Xét các số phức z a bi a, b A thỏa mãn z 4 3i 5 . Tính P a b khi z 1 3i z 1 i đạt giá trị lớn nhất. A. P 10 . B. P 4 . C. P 6 . D. P 8 . Lời giải Chọn. A. Cách 1 Ta có z 4 3i 5 a 4 2 b 3 2 5 a2 b2 8a 6b 20 0 a2 b2 8a 6b 20 . Mặt khác M z 1 3i z 1 i a 1 2 b 3 2 a 1 2 b 1 2 . Suy ra M 2 2 a 1 2 b 3 2 a 1 2 b 1 2 2 2 2 2 a b 4b 12 2 16a 12b 40 4b 12 2 16a 8b 28 8 4a b 7 . M 2 M 2 Khi đó: 4a b 7 7 4a b . 8 8 Ta có 4a 2b 4 a 4 2 b 3 22 2 2 Nên 4a 2b 22 4 a 4 2 b 3 4 2 2 2 a 4 b 3 4a 2b 22 10
  28. M 2 4a 2b 32 25 M 2 200 M 10 2 . 8 Vậy M 10 4a 2b 32 a 6 max 2 khi 2a 4b 4 4 . b Khi đó P a b 10 . Cách 2 Ta có z 4 3i 5 a 4 2 b 3 2 5 a 5 sin 4 Đặt . b 5 cos 3 2 2 2 2 Khi đó M z 1 3i z 1 i a 1 b 3 a 1 b 1 10 5 sin 30 6 5 sin 8 5 cos 30 . Áp dụng BĐT Bunhiacopski 2 8 5 2 sin cos 60 M 2 16 5 sin 8 5 cos 60 102 . 2 sin 5 a 5 sin 4 6 Nên M 10 2 khi . max 1 cos b 5 cos 3 4 5 Vậy P a b 10 . Câu 47. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A ' B 'C ' có AB 2 3 và AA ' 2 . Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của các cạnh A ' B ', A 'C ' và BC ( tham khảo hình vẽ bên). Côsin của góc tạo bởi hai mặt phẳng AB 'C ' và MNP bằng 6 13 13 17 13 18 13 A. . B. . C. . D. . 65 65 65 65 Lời giải Chọn. B.
  29. 3 Ta có: Lăng trụ tam giác đều ABC.A ' B 'C ' nên tam giác ABC đều khi đó AP 2 3. 3 . 2 Mặt khác: AA '  ABC . Gắn hệ trục tọa độ Oxyz với O  P ; tia PA trùng với tia Ox , tia PC trùng với tia Oy , tia Pz vuông góc với 3 ABC Khi đó: , M ; 3 3 3    P 0; 0; 0 2 2 ; 2 , N ; ; 2 , A 3; 0; 0 , B ' 0; 3; 2 , C' 0; 3; 2 . 2 2  3  3 3 Ta có: 3 PM ; ; 2 ; PN ; ; 2 . Do đó vecto pháp tuyến của MNP là 2 2 2 2 3 3 n 2 3; 0; 1  2  Ta lại có: AB ' 3; 3; 2 ; AC ' 3; 3; 2 . Do đó vecto pháp tuyến của AB 'C ' là n2 4 3; 0; 6 3 . n .n 13 Gọi góc tạo bởi hai mặt phẳng AB 'C ' và MNP . Khi đó: cos 1 2 . n1 . n2 65 Cách khác: Mặt phẳng MNP chính là mặt phẳng (MNBC) . Dễ dàng xác định được giao tuyến của (MNBC) và AB 'C ' là IK ( như hình vẽ ). AJ  IK Ta có (MNBC),( AB 'C ') ( AJ , PH ) . PH  IK A 13 Xét hình chữ nhật AA ' JP , dùng tính chất trong hình phẳng ta tính cosPEA . 65 Câu 48. Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A 1; 2;1 , B 3; 1;1 và C 1; 1;1 . Gọi S1 là mặt cầu có tâm A , bán kính bằng 2 ; S2 và S3 là hai mặt cầu có tâm lần lượt là B, C và bán
  30. kính đều bằng 1. Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng tiếp xúc với cả ba mặt cầu S1 , S2 , S3 ?
  31. A. 5 . B. 7 . C. 6 . D. 8 . Lời giải Chọn. B. Cách 1: Gọi n a;b; c với a2 b2 c2 0 là VTPT của mặt phẳng P tiếp xúc với cả ba mặt cầu  S1 , S2 , S3 ; M là trung điểm BC M 1; 1;1 ; BC 4; 0; 0 . TH1: P đi qua trung điểm M của BC P : a x 1 b y 1 c z 1 0 hay P : ax by cz a b c 0 . 4a b 3 2 1 11a 2 c2 d A; P 2 3b 2 a2 b2 c2 3b 2a Ta có: 2 2 2 2 9 d B; P 1 4a a b c 4a a2 b2 c2 2a b 3 2 11a2 c2 9 Hệ 1 có 2 nghiệm, hệ 2 có 2 nghiệm và các nghiệm đó không trùng nhau. Vậy trường hợp này có 4 mặt phẳng P .  TH2: P song song với BC n.BC 0 a 0 P : by cz d 0 . 2 2 2b c d Ta có: d A; P 2 2b c d 2 b c 2 b c d 2 2 2 b2 c2 d B; P 1 b c d b c b c d d 4b c d 4b c 2 2 3 2 c 8b b c d 2 2 b c d c . d c c 0 4 2 2 2 b c d b c b 0 Hệ 3 có 2 nghiệm, hệ 4 có 1 nghiệm và các nghiệm này không trùng nhau. Vậy trường hợp này có 3 mặt phẳng P . Vậy có tất cả 7 mặt phẳng P . Cách 2:
  32. Ta có AB AC 13, BC 4, d A; BC 3 . Do R1 2R2 2R3 nên các khoảng cách từ các điểm A đến P sẽ gấp đôi các khoảng cách từ các điểm B, C đến P . Gọi M , N lần lượt là điểm đối xứng của A qua B, C và P, Q là điểm trên cạnh AB, AC sao cho AP 2BP, AQ 2QC . Bài toán quy về tìm các mặt phẳng P chính là các mặt phẳng đi qua MN , MQ, NP, PQ sao cho d A; P 2 là xong. TH1: Ta có d A; PQ 2 nên chỉ có duy nhất một mặt phẳng P qua PQ sao cho d A; P 2 . TH2: d A; MN , d A; MQ ; d A; NP đều lớn hơn 2 nên mỗi trường hợp sẽ có đúng hai mặt phẳng qua các cạnh MN , MQ, NP sao cho khoảng cách từ A đến nó bằng 2 . Vậy có tất cả 7 mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu. Câu 49. Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh gồm 2 học sinh lớp 12 A , 3 học sinh lớp 12B , 5 học sinh lớp 12C thành một hàng ngang. Xác suất để trong 10 học sinh trên không có 2 học sinh cùng lớp đứng cạnh nhau bằng 11 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 630 126 105 42 Lời giải Chọn A Không gian mẫu: Xếp 10 học sinh thành hàng ngang  10! cách xếp. Gọi A là biến cố: “để trong 10 học sinh trên không có 2 học sinh cùng lớp đứng cạnh nhau”. Ta có cách xếp như sau: - Đầu tiên xếp 5 học sinh của lớp 12C , có 5! cách xếp. - Khi đó, giữa 5 học sinh của lớp 12C có tất cả 6 chỗ trống (gồm 4 chỗ trống ở giữa và 2 chỗ trống trước, sau). Do 2 học sinh của lớp 12C không thể đứng gần nhau nên buộc phải có 4 người (của lớp 12 A và 12B ) - Ta xét hai trường hợp sau :
  33. + TH1 : Có 1 học sinh A hoặc B ở phía ngoài (trước hàng hoặc sau hàng), 4 học sinh còn lại xếp vào 4 chỗ trống ở giữa các bạn C , có 2.5! cách xếp. A C B C A C B C B C + TH2 : có một cặp học sinh A và B vào một chỗ trống, 3 học sinh còn lại xếp vào 3 vị trí còn lại, có 2.3.2.4.3! cách xếp. C AB C A C B C B C - Vậy A 5! 2.5! 2.3.2.4.3! A 5! 2.5! 2.3.2.4.3! 11 P A .  10! 630 1 Câu 50. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn 2   f 1 0 , f x dx 7 và 0 1 1 1 x2 f x dx . Tính f x dx . 0 3 0 7 7 A. . B. 1. C. . D. 4 . 5 4 Lời giải Chọn A 1 1 Xét x2 f x dx 0 3 du f x dx u f x Đặt 3 2 x dv x dx v 3 1 1 1 1 1 1 1 x2 f x dx x 3 f x x3 f x dx x3 f x dx ( vì f 1 0 ) 0 3 0 3 0 3 0 1 1 x3 f x dx 3 x2 f x dx 1 0 0 1 2 f x dx 7 0 1 Ta lại có 14x3 f x dx 14 0 1 1 49x6dx 7 x7 7 0 0 1 1 1 2 3 6 f x dx 14x f x dx 49x dx 0 0 0 0 1 2 3 f x 7x dx 0 0
  34. 1 2 3 Mà f x 7x dx 0 0 Nên đẳng thức xãy ra khi chỉ khi f x 7x3 0 f x 7x 3 4 f x 7x C 4 7 7 Ta có f 1 0 C f x 1 x4 4 4 1 5 1 1 7 x 7 1 7 7 4 f x dx 1 x dx x 1 4 5 4 5 5 0 4 0 0 HẾT