Đề thi thử Trung học phổ thông quốc gia môn Toán - Trường THPT Nguyễn Trãi

Nội dung text: Đề thi thử Trung học phổ thông quốc gia môn Toán - Trường THPT Nguyễn Trãi

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG KÌ THI THỬ LẦN 2 THPT QUỐC GIA NĂM 2017 TRƯỜNG THPT NGUYỄN TRÃI Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 90 phút 1 2 Câu 1: Hàm số y x3 m 1 x2 2m 5 x nghịch biến trên ¡ thì điều kiện của 3 3 m là A. m 2 B. C.2 m 2 D. m 2 2 m 2 Câu 2: Cho A 2;0;0 , B 0;2;0 , C 0;0;2 . Tập hợp các điểm M trên mặt phẳng Oxy sao    2 cho MA.MB MC 3 là A. Tập rỗng. B. Một mặt cầu. C. Một điểm. D. Một đường tròn. 3 2 Câu 3: Phương trình 223x .2x 1024x 23x3 10x2 x có tổng các nghiệm gần nhất với số nào dưới đây A. 0 ,35. B. 0,40. C. 0,5D.0. 0,45. 3 2 Câu 4: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y 2x 3x 12x 2 trên đoạn  1,2 đạt tại x x0 . Giá trị x0 bằng A. 2 . B. 2. C. 1 D. . 1 Câu 5: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy là tam giác vuông tại A , AB 2a 3 . Đường chéo BC tạo với mặt phẳng AA C C một góc bằng 60 . Gọi S là mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đã cho. Bán kính của mặt cầu S bằng a A. . B. a. C. 3a. D. 2a. 2 Câu 6: Cho điểm A 3;5;0 và mặt phẳng P : 2x 3y z 7 0 . Tìm tọa độ điểm M là điểm đối xứng với điểm A qua P . A. .M 1;B. 1 .; 2 C. . M 0;D. 1 .; 2 M 2; 1;1 M 7;1; 2 Câu 7: Người ta xây một bể chứa nước với dạng khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích 500 bằng m3 . Đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Giá thuê nhân công 3 để xây bể là 600.000đồng/m 2. Hãy xác định kích thước của bể sao cho chi phí thuê nhân công thấp nhất. Chi phí đó là A. 85 triệu đồng. B. 90 triệu đồng. C. 75 triệu đồng. D. 86 triệu đồng. Trang 1
2. 2 3 Câu 8: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị C1 : y x 2x và C2 : y x . 83 15 37 9 A. .S B. . S C. . D.S . S 12 4 12 4 1 Câu 9: Cho I xe2xdx ae2 b (a,b là các số hữu tỉ). Khi đó tổng a b là 0 1 1 A. .0 B. . C. . 1 D. . 4 2 1 1 Câu 10: Cho I f x dx 2. Tính I f 4x dx. 0 0 1 A. .I 8 B. . I C. . I D.4 . I 2 2 Câu 11: Cho một khối trụ có độ dài đường sinh là l và bán kính đường tròn đáy là r . Diện tích toàn phần của khối trụ là A. Stp r l r . B. S tpC. 2 r l 2r . Stp D. r 2l r . Stp 2 r l r . Câu 12: Một chủ hộ kinh doanh có 32 phòng trọ cho thuê. Biết giá cho thuê mỗi tháng là 2.000.000đ /1 phòng trọ, thì không có phòng trống. Nếu cứ tăng giá mỗi phòng trọ lên 200.000đ / 1 tháng, thì sẽ có 2 phòng bị bỏ trống. Hỏi chủ hộ kinh doanh sẽ cho thuê với giá là bao nhiêu để có thu nhập mỗi tháng cao nhất? A. .2 .600.0B.00 . đ C. . 2.400D 00 .0 đ 2.000.000 đ 2.200.000 đ Câu 13: Tính đạo hàm của hàm số: y 32017 x 32017 A. y 2017ln 3.32017 x . B. .y C. . yD. .32017 y ln 3.32017 x ln 3 Câu 14: Cho hàm số f x mx4 m 1 x2 m 1 . Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để tất cả các điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho nằm trên các trục tọa độ là 1 1 1 1 A. . 0; B. . 1 C. . 1; D. . 0; 1;   1;0  3 3 3 3 Câu 15: Cho hình chóp S.ABC có SA  ABC ; SA a đáy ABC là tam giác vuông tại B , a B· AC 60 và AB . Gọi S là mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC . Tìm mệnh đề sai. 2 2 a2 A. Diện tích của S là . B. Tâm của S là trung điểm SC . 3 Trang 2
3. a 2 2 a3 C. S có bán kính . D. Thể tích khối cầu là . 2 3 Câu 16: Cho hình nón tròn xoay có đường cao h 40cm , bán kính đáy r 50cm . Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện là 24cm . Tính diện tích của thiết diện. A. S 8B.00 cm2 . S 12 C.00 cm2 . S 1 D.60 0 cm2 . S 2000 cm2 . Câu 17: Tìm m để đồ thị hàm số y 2x3 1 2m x2 3mx m có điểm cực đại, cực tiểu nằm về 2 phía với trục hoành. m 4 m 4 m 0 m 0 m 4 A. 0 m 4. B. . C. . D. . 1 1 m 0 m m 2 2 Câu 18: Tìm nguyên hàm của hàm số f x sin 2x . 1 1 A. 2cos 2x C. B. 2cos 2x C. C. cos 2x C. D. cos 2x C. 2 2 Câu 19: Tìm nghiệm của phương trình 42x 5 22 x . 8 12 8 A. . B. . C. 3. D. . 5 5 5 2x 4 Câu 20: Gọi M , N là giao điểm của đường thẳng y x 1 và đường cong y . Khi x 1 đó, tìm tọa độ trung điểm I của MN . A. I 1;2 . B. I 2; 3 . C. I 1;3 . D. I 2;3 . Câu 21: Cho hàm số y xe 3 trong các kết luận sau kết luận nào sai? A. Đồ thị hàm số nhận Ox,Oy làm hai tiệm cận. B. Đồ thị hàm số luôn đi qua M 1,1 . C. Hàm số luôn đồng biến trên 0, . D. Tập xác định của hàm số là D 0, . Câu 22: Mặt cầu S có tâm I 1,2, 5 cắt P : 2x 2y z 10 0 theo thiết diện là hình tròn có diện tích 3 có phương trình S là : A. x2 y2 z2 2x 4y 10z 18 0. B. x 1 2 y 2 2 z 5 2 25. Trang 3
4. C. x2 y2 z2 2x 4y 10z 12 0. D. x 1 2 y 2 2 z 5 2 16. y Câu 23: Hình bên là đồ thị của hàm số nào? x 2 A. y . B. y x3 3x2 1. x 1 x 1 C. y x4 2x2 1. D. y . O x x 1 Câu 24: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A B C có thể tích bằng V . M , N lần lượt là hai A C MB NC điểm trên BB ,CC sao cho 2 thể tích của khối ABCMN bằng: MB NC 2V 2V B A. . B. . 9 5 N V V C. . D. . 5 3 A M C Câu 25: Khối đa diện đều loại 5,3 có số mặt là B A. 1 2. B. 8. C. 10. D. 14. 2 Câu 26: Gọi z1, z2 là hai nghiệm phức của phương trình: z z 2 0 . Phần thực của số 2017 phức i z1 i z2 là A. . 22016 B. . 21008 C. . 2100D.8 . 22016 Câu 27: Biết rằng năm 2001 , dân số Việt Nam là 78.685.800 người và tỉ lệ tăng dân số năm đó là 1,7% . Cho biết sự tăng dân số được ước tính theo công thức S A.eNr (trong đó A : là dân số của năm lấy làm mốc tính, S là dân số sau N năm, r là tỉ lệ tăng dân số hàng năm). Cứ tăng dân số với tỉ lệ như vậy thì đến năm nào dân số nước ta ở mức 150 triệu người? A. .2 035 B. . 2030 C. . 203D.8 . 2042 Câu 28: Cho H là hình phẳng giới hạn bởi đường cong C : y x2 4x và đường thẳng d : y x . Tính thể tích V của vật thể tròn xoay do hình phẳng H quay xung quanh trục hoành. 81 81 108 108 A. .V B. . V C. . D. . V V 10 5 5 10 Trang 4
5. x 3 2t x 5 t Câu 29: Giao điểm của hai đường thẳng d : y 2 3t và d : y 1 4t có tọa độ là z 6 4t z 20 t A. . 5; 1;20 B. . C.3;7 .; 18 D. . 3; 2;6 3; 2;1 Câu 30: Hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằnga . Tính theoa thể tích khối chóp S.ABCD . 2a3 2a3 2a3 2a3 A. . B. . C. . D. . 2 3 4 6 2x 1 Câu 31: Cho M là giao điểm của đồ thị C : y với trục hoành. Khi đó tích các 2x 3 khoảng cách từ điểm M đến hai đường tiệm cận là A. .4 B. . 6 C. 8. D. . 2 Câu 32: Cho số phức z thỏa mãn: z 2 2i 1 . Số phức z i có môđun nhỏ nhất là: A. . 5 1 B. . 5 1 C. . D.5 . 2 5 2 Câu 33: Có một cái cốc làm bằng giấy, được úp ngược như hình vẽ. Chiều cao của chiếc cốc là 20cm , bán kính đáy cốc là 4cm , bán kính miệng cốc là 5cm . Một con kiến đang đứng ở điểm A của miệng cốc dự định sẽ bò hai vòng quanh than cốc để lên đến đáy cốc ở điểm B . Quãng đường ngắn nhất để con kiến có thể thực hiện được dự định của mình gần đúng nhất với kết quả nào dước đây? A. .5 9,98cm B. . 5C.9,9 .3 cm D. . 58,67cm 58,80cm Câu 34: Cho hàm số có bảng biến thiên như hình vẽ sau. Phát biểu nào đúng? x 0 2 y 0 0 5 y 1 A. Hàm số đạt cực đại tại x 0 và đạt cực tiểu tại x 2 . B. Giá trị cực đại của hàm số là 0 . C. Giá trị cực tiểu của hàm số bằng 2 . D. Hàm số đạt cực tiểu tại x 1 và đạt cực đại tại x 5 . Câu 35: Cho số phức z thỏa mãn: (3 2i)z 4(1 i) (2 i)z . Mô đun của z là Trang 5
6. 3 A. 10 B. . C. . 5 D. . 3 4 x 1 t x 2 y 2 z 3 Câu 36: Cho hai đường thẳng d1 : ;d2 : y 1 2t và điểm A 1;2;3 . 2 1 1 z 1 t Đường thẳng đi qua A, vuông góc với d1 và cắt d2 có phương trình là x 1 y 2 z 3 x 1 y 2 z 3 A. . B. . 1 3 5 1 3 5 x 1 y 2 z 3 x 1 y 2 z 3 C. . D. . 1 3 5 1 3 5 2 Câu 37: Giả sử m là số thực sao cho phương trình log3 x m 2 log3 x 3m 2 0 có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1.x2 9. Khi đó m thỏa mãn tính chất nào sau đây? A. m 4;6 B m 1;1 C D.m 3;4 . m 1;3 . x 1 y 1 z 2 Câu 38: Cho đường thẳng d : và mặt phẳng : x y z 4 0. Trong 1 2 3 các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? A. d  . B. d // . C. d  . D. cắt d . Câu 39: Tìm điểm M biểu diễn số phức z i 2. A. M 1;B. 2 . M 2; C.1 . D. M 2; 1 . M 2;1 x2 2x 1 1 Câu 40: Tìm số nghiệm nguyên dương của bất phương trình . 5 125 A. 3 . B. 4. C. 5. D. 6. Câu 41: Cho hàm số y f x như hình vẽ bên.Tìm m để phương trình f (x) m có 3 y nghiệm phân biệt. 2 m 2 A. . B. . 0 m 2 m 2 C. . 2 m D.2 . 2 m 0 1 O 1 2 x 2 Câu 42: Cho số phức z thỏa mãn 1 z 2 là số thực. Tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là A. Đường tròn. B. Parabol. C. Hai đường thẳng. D. Đường thẳng. Trang 6
7. 1 Câu 43: Tính nguyên hàm dx 2x 3 1 1 A. . lnB.2x . 3C. C . D. . ln 2x 3 C 2ln 2x 3 C ln 2x 3 C 2 2 Câu 44: Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A B C D có cạnh đáy bằng a , khoảng cách từ a A đến mặt phẳng A BC bằng . Tính thể tích lăng trụ 3 3a3 2a3 3a3 A. .3 3a3 B. . C. . D. . 4 4 2 Câu 45: Cho một khối trụ có chiều cao bằng 8cm , bán kính đường tròn đáy bằng 6cm . Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trục 4cm . Diện tích của thiết diện được tạo thành là A. .3 2 3 cB.m 2. C. . 16 3 cD.m 2. 32 5 cm2 16 3 cm2 1 Câu 46: Cho hàm số y x4 2x2 1 . Tìm khẳng định đúng. 4 A. Hàm số có một cực đại và hai cực tiểu. B. Hàm số có một cực trị. C. Hàm số có một cực tiểu và hai cực đại. D. Hàm số có một cực tiểu và không có cực đại. Câu 47: Cho log2 3 a ; log2 7 b . Tính log2 2016 theo a và b . A. .5 2a bB. . C.5 . 3a 2b D. . 2 2a 3b 2 3a 2b x 3 Câu 48: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y có 3 tiệm x2 m cận. m 0 m 0 A. . B. . m 0C. . D.m . 0 m 9 m 9 Câu 49: Cho V là thể tích khối nón tròn xoay có bán kính đáy r và chiều cao h . V được cho bởi công thức nào sau đây: 4 4 1 A. .V B.2r .2 h C. . V r 2D.h . V r 2h V r 2h 3 3 3 Câu 50: Một cốc nước có dạng hình trụ đựng nước chiều cao 12cm , đường kính đáy 4cm , lượng nước trong cốc cao 8cm . Thả vào cốc nước 4 viên bi có cùng đường kính2cm . Hỏi nước dâng cao cách mép cốc bao nhiêu xăng-ti-mét? (làm tròn sau dấu phẩy 2 chữ số thập phân, bỏ qua độ dày của cốc) A. .2 ,67cm B. . 2,75C.cm . D. . 2,25cm 2,33cm Trang 7
8. Đáp án 1-B 2-D 3-D 4-C 5-D 6-A 7-C 8-C 9-D 10-B 11-D 12-A 13-A 14-C 15-A 16-D 17-C 18-D 19-A 20-A 21-C 22-A 23-D 24-A 25-A 26-B 27-C 28-C 29-B 30-D 31-D 32-A 33-D 34-A 35-A 36-B 37-B 38-A 39-D 40-A 41-C 42-C 43-A 44-C 45-C 46-A 47-A 48-D 49-D 50-A LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Đáp án B Ta có y x2 2 m 1 x 2m 5 . Hàm số đã cho nghịch biến trên ¡ khi chỉ khi 1 0 a 0 2 2 m 4 0 2 m 2 0 m 1 2m 5 0 Câu 2: Đáp án D Điểm M Oxy nên M x; y;0 .    Ta có: MA 2 x; y;0 ; MB x;2 y;0 ; MC x; y;2    2 MA.MB MC x2 2x y2 2y x2 y2 4    2 1 Do đó MA.MB MC 3 2x2 2y2 2x 2y 1 0 x2 y2 x y 0 . 2 Câu 3: Đáp án D 3 2 3 2 Ta có 223x .2x 1024x 23x3 10x2 x 223x x 23x3 x 210x 10x2 Hàm số f t 2t t đồng biến trên ¡ nên 3 2 5 2 223x x 23x3 x 210x 10x2 23x3 x 10x2 x 0 hoặc x 23 10 Tổng các nghiệm bằng 0,4347 23  Mẹo: Khi làm trắc nghiệm có thể dùng “Định lí Vi-ét cho phương trình bậc ba” 3 2 Nếu phương trình ax bx cx d 0 (a 0) có ba nghiệm x1 , x2 , x3 thì: b c d x x x ; x x x x x x ; x x x 1 2 3 a 1 2 2 3 3 1 a 1 x 3 a Trang 8
9. Câu 4: Đáp án C x 1  1,2 Ta có y 6x2 6x 12 , y 0 . x 2  1,2 Mà y 1 15, y 1 5, y 2 6 . Vậy hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại x0 1 . Câu 5: Đáp án D Gọi M là trung điểm BC , I là trung điểm BC . Khi đó, IM là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Mặt khác, IB IC IB IC IA . Do đó, I là tâm mặt cầu ngoại tiếp 1 1 AB 4a lăng trụ ABC.A B C . Bán kính R  BC  2a . 2 2 sin 60 2 Câu 6: Đáp án A Gọi là đường thẳng qua A 3;5;0 và vuông góc với mặt phẳng P . x 3 2t Phương trình tham số : y 5 3t . z t Gọi H là giao điểm của P và , suy ra tọa độ H là nghiệm hệ: x 3 2t x 1 y 5 3t y 2 2 3 2t 3 5 3t t 7 0 . z t z 1 2x 3y z 7 0 t 1 Ta có H là trung điểm của MA nên M 1; 1;2 . Trang 9
10. Câu 7: Đáp án C Gọi x m là chiều rộng của đáy bể, khi đó chiều dài của đáy bể là 2x m và h m là chiều 500 500 250 cao bể. Bể có thể tích bằng m3 2x2h h . 3 3 3x2 250 500 Diện tích cần xây là: S 2 xh 2xh 2x2 6x 2x2 2x2. 3x2 x 500 500 Xét hàm S x 2x2 , x 0 S x 4x 0 x 5 x x2 Lập bảng biến thiên suy ra Smin S 5 150. Chi phí thuê nhân công thấp nhất khi diện tích xây dựng là nhỏ nhất và bằng Smin 150. Vậy giá thuê nhân công thấp nhất là: 150.500000 75000000 đồng. Câu 8: Đáp án C x 0 x 0 Phương trình hoành độ giao điểm: x2 2x x3 . 2 x x 2 0 x 1; x 2 0 2 5 8 37 Diện tích hình phẳng là: S x3 x2 2xdx x3 x2 2xdx . 1 0 12 3 12 Câu 9: Đáp án D du dx u x Đặt ta có . 2x 1 2x dv e dx v e 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Vậy I xe2xdx xe2x e2xdx e2 e2x e2 e2 e2 . 0 2 0 2 0 2 4 0 2 4 4 4 4 1 a 4 1 Suy ra a b . 1 2 b 4 Câu 10: Đáp án B 1 1 1 1 1 I f 4x dx f 4x d 4x .2 . 0 4 0 4 2 Câu 11: Đáp án D 2 Stp 2SĐáy + SXq 1.2 r 2 .r 2 r 1 r Câu 12: Đáp án A Trang 10
11. Gọi n, n ¥ là số lần tăng giá. Hàm thu nhập của tháng: f n 2000000 n.200000 32 n.2 400000n2 2400000n 64000000 là hàm bậc 2 theo n , có hệ số a 0 2400000 Vậy f n đạt giá trị lớn nhất khi n 3 . 2. 400000 * f 3 67.600.000   f 3 f 0 * f 0 64.000.000  Vậy chủ hộ sẽ cho thuê với giá 2.000.000 3x200.000 2.600.000đ Câu 13: Đáp án A x x y 32017 x 32017 y 32017 ln 32017 2017.32017 x.ln 3. Câu 14: Đáp án C f x mx4 m 1 x2 m 1 f x 4mx3 2 m 1 x m 1 f x 0 4mx3 2 m 1 x 0 x 0 hoặc x2 ; m  0 2m Để tất cả các điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho nằm trên các trục tọa độ thì m 1 0 m 1 2m 2 m 0 m 1 m 1 m m 1 m 1 0 1 2m 2m m 3 Câu 15: Đáp án A S M N C A a 2 B Gọi N, M lần lượt là trung điểm của AC;SC . Trang 11
12. a ABC là tam giác vuông tại B , B· AC 60o và AB nên :NA NB NC ; 2 a 2 AC a SC a 2 MC . 2 NM là đương trung bình của tam giác SAC nên NM / /SA NM  ABC MS=MC=MA=MB a 2 M là tâm của S có bán kính MC . 2 3 4 a 2 2 a3 V . S 3 2 3 2 2 a 2 2 Diện tích của S :S 4 r 4 2 a . 2 Câu 16: Đáp án D Gọi J là trung điểm của AB . AB  IJ Có : AB  SJI AB  SI SAB  SIJ Nên : SAB  SIJ SJ d I, SAB IH 24 IH  SJ 1 1 1 1 1 1 JI 30 IH 2 SI 2 IJ2 IJ2 402 242 Nên : BJ 502 302 40 Và SJ 402 302 50 1 1 2 Vậy : S SAB SJ.AB 50.80 2000 cm . 2 2 Câu 17: Đáp án C Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng hàm số và trục hoành : 2x3 1 2m x2 3mx m 0 1 x2 2x 1 m 2x2 3x 1 0 1 x 2x 1 x2 mx m 0 2 2 g x x mx m 0 2 Trang 12
13. Đồ thị hàm số có điểm cực đại, cực tiểu nằm về 2 phía với trục hoành. 1 1 có 3 nghiệm phân biệt phương trình 2 có 2 nghiệm phân biệt khác . 2 m 4 1 1 m g 0 m 0 m 0 2 4 2 . 2 1 m 4m 0 m 0;m 4 m 2 Câu 18: Đáp án D 1 sin 2xdx cos 2x C 2 Câu 19: Đáp án A 8 42x 5 22 x 24x 10 22 x 4x 10 2 x x . 5 Câu 20: Đáp án A 2x 4 Phương trình hoành độ giao điểm : x 1 (x 1 ) x 1 x2 1 2x 4 x2 2x 5 0 . Theo định lí Vi-et, ta có : x1 x2 1 xM xN yM yN Khi đó tọa độ trung điểm I của MN : I ; hay I 1;2 . 2 2 Câu 21: Đáp án C Vì hàm số y xe 3 y e 3 xe 4 0 x 0 Hàm số luôn nghịch biến trên 0, . nên C Sai Câu 22: Đáp án A Gọi r, R là bán kính thiết diện của S với P và bán kính mặt cầu. Ta có B r 2 3 r 2 3 r 3 Mặt khác khoảng cách từ tâm I 1,2,5 đến P : 2x 2y z 10 0 là 2.1 2.2 5 10 h I, P 3 R r 2 h2 9 3 12. 22 2 2 1 2 Vậy phương trình mặt cầu S là x 1 2 y 2 2 z 5 2 12 x2 y2 z2 2x 4y 10z 18 0. Câu 23: Đáp án D Trang 13
14. ax b Thấy đồ thị hàm số có hai tiệm cận x ; y  nên hàm số có dạng y mà đồ thị cx d hàm số cắt Ox tại điểm có hoành độ dương nên chọn D. Câu 24: Đáp án A A C B K N A M C B KA Gọi K là điểm trên AA sao cho 2 , ta có KA 1 1 KMN // ABC V V V KMN.ABC 3 A B C .ABC 3 1 1 2 V V V V V V V A.MNK 3 KMN.ABC 9 A.BCNM KMN.ABC A.MNK 9 Câu 25: Đáp án A Khối đa diện đều loại 5,3 là khối đa diện mười hai mặt đều nên có số mặt là 12. Câu 26: Đáp án B 2 z1 z2 1 Ta có z1, z2 là hai nghiệm của phương trình: z z 2 0 nên . z1z2 2 2017 2017 2 2017 2017 Ta có i z1 i z2 z1z2 i z1 z2 i 2 i 1 1 i 1008 1 i 2016 1 i 1 i 2 1 i 2i 1008 1 i 21008 1 i 21008 21008 i 2017 1008 Vậy phần thực của i z1 i z2 là 2 . Câu 27: Đáp án C Theo giả thiết ta có phương trình 150.000.000 78.685.800.e0.017 N N 37.95 (năm) Tức là đến năm 2038 dân số nước ta ở mức 150 triệu người. Câu 28: Đáp án C 2 2 x 0 Xét phương trình hoành độ giao điểm x 4x x x 3x 0 x 3 Trang 14
15. 3 3 2 108 Ta có V x2 4x x2 dx x4 8x3 15x2 dx 0 0 5 Câu 29: Đáp án B 3 2t 5 t 2t t 8 t 3 Xét hệ phương trình 2 3t 1 4t 3t 4t 1 . t 2 6 4t 20 t 4t t 12 Khi đó tọa độ giao điểm là M 3;7;18 Câu 30: Đáp án D Theo giả thiết S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên S ABCD là hình vuông và hình chiếu vuông góc của đỉnh S trùng với tâm của đáy. Gọi O là tâm của hình vuông ABCD SO  ABCD Ta có diện tích hình vuông ABCD là S a2 ABCD A D Tam giác SAO vuông tại O 2 O B 2 2 2 a 2 a 2 C SO SA AO a 2 2 1 1 a 2 a3 2 Vậy V S .SO a2 S.ABCD 3 ABCD 3 2 6 Câu 31: Đáp án D 3 Ta có: Tiệm cận đứng x và tiệm cận ngang y 1 2 2x 1 1 1 Tọa độ giao điểm của (C) và trục Ox : Với y 0 0 x M ;0 2x 3 2 2 Ta có: khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng là d1 1 và khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang là d1 2 . Vậy tích hai khoảng cách là d1.d2 1.2 2 Câu 32: Đáp án A Trang 15
16. y I 1 M O 1 x Gọi z x yi , x, y ¡ . Ta có: z 2 2i 1 (x 2) (y 2)i 1 (x 2)2 (y 2)2 1 Tập hợp các điểm trong mặt phẳng Oxy biểu diễn của số phức z là đường tròn (C) tâm I(2;2) và bán kính R 1 . z i x2 y 1 2 IM , với I 2;2 là tâm đường tròn, M là điểm chạy trên đường tròn. Khoảng cách này ngắn nhất khi M là giao điểm của đường thẳng nối hai điểm N 0;1 Oy, I 2;2 với đường tròn (C). IM min IN R 5 1 Câu 33: Đáp án D Đặt b,a,h lần lượt là bán kính đáy cốc, miệng cốc và chiều cao của cốc, là góc kí hiệu như trên hình vẽ. Ta “trải” hai lần mặt xung quanh cốc lên mặt phẳng sẽ được một hình quạt của một khuyên với cung nhỏ BB" 4 b và cung lớn AA" 4 a . Độ dài ngắn nhất của đường đi của con kiến là độ dài đoạn thẳng BA”. Áp dụng định lí hàm số cosin ta được: l BO2 OA 2 2BO.OA .cos 2 (1). Trang 16
17. B A AB (a b)2 h2 . a 4 a l(B¼B ) OA OB AB AB AB. 1 1 b 4 b l(A¼A ) OB OB 2 b 2 b 2 (a b) 2 (a b) (a). AB (a b)2 h2 AB a a b b (a b)2 h2 1 OB (b) . OB b b a b b (a b)2 h2 OA OB BA (a b)2 h2 (c). a b Thay (a), (b), (c) vào (1) ta tìm được l. l 58,79609cm 58,80 Ghi chú. Để tồn tại lời giải trên thì đoạn BA” phải không cắt cung B¼B tại điểm nào khác B, ¼ 1 b tức là BA” nằm dưới tiếp tuyến của BB tại B. Điều này tương đương với 2 cos . a Tuy nhiên, trong lời giải của thí sinh không yêu cầu phải trình bày điều kiện này (và đề bài cũng đã cho thỏa mãn yêu cầu đó). Câu 34: Đáp án A Dựa vào bảng biến thiên Câu 35: Đáp án A Gọi z x yi , x, y ¡ . Ta có: (3 2i)z 4(1 i) (2 i)z (3 2i)(2 i)z 4(1 i)(2 i) 5z (4 7i)(x yi) 5(x yi) 4 12i ( x 7y) (7x 9y)i 4 12i . x 7y 4 x 3 Ta có hệ 7x 9y 12 y 1 Vậy z 3 i nên z 32 ( 1)2 10 Câu 36: Đáp án B Ta có ud1 2; 1;1 Đáp án B có u 1; 3; 5 Nhận thấy ud1 .u 2.1 1.3 1.5 0 d1  Trang 17
18. Các đáp án khác không thỏa mãn điều kiện vuông góc. Câu 37: Đáp án B 2 Ta có log3 x m 2 log3 x 3m 2 0 * 2 Đặt log3 x t * t m 2 t 3m 2 0 1 Vì * có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1.x2 9 1 có 2 nghiệm t1,t2 thỏa mãn t1 t2 3 .3 9 t1 t2 2 Theo vi-ét ta có t1 t2 m 2 m 0 1;1 Câu 38: Đáp án A x t 1 x 1 y 1 z 2 Ta có d : d : y 2t 1 1 2 3 z 3t 1 x t 1 y 2t 1 Số giao điểm của d và bằng số nghiệm của hệ z 3t 1 x y z 4 0 Thay vào thấy đúng với mọi t . Vậy d  . Câu 39: Đáp án D Ta có z i 2 2 i M 2;1 là điểm biểu diễn số phức z i 2. Câu 40: Đáp án A x2 2x 1 1 2 Ta có x 2x 3 x 1 x 3 0 1 x 3 5 125 Vì phương trình tìm nghiệm nguyên dương nên các nghiệm là x 1;2;3 Câu 41: Đáp án C Phương trình f (x) m là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị y f (x) như hình vẽ trên y m là đường thẳng song song hay trùng với trục Ox Để phương trình f (x) m có 3 nghiệm phân biệt thì hai đồ thị y f (x) ,y m phải cắt nhau tại 3 điểm phân biệt 2 m 2 Câu 42: Đáp án C Gọi M x; y là điểm biểu diễn số phức z x yi x; y ¡ Trang 18
19. Ta có : 1 z 2 1 x yi 2 x 1 2 y2 2 x 1 yi Để 1 z 2 là số thực thì 2 x 1 y 0 x 1; y 0 Câu 43: Đáp án A 1 1 1 1 Ta có : dx d 2x 3 ln 2x 3 C 2x 3 2 2x 3 2 A' D' Câu 44: Đáp án C Ta có : BC  AA , BC  AB BC  ABA A BC  ABA B' a C' Kẻ AH  A B AH  A BC AH d A, A BC 3 A a H D Xét A AB vuông tại A 1 1 1 1 1 1 8 a : AH 2 AB2 A A2 A A2 AH 2 AB2 a2 B C a 2 a3 2 A A V 4 ABCD.A B C D 4 Câu 45: Đáp án C Ta có mặt phẳng A AB € O O Kẻ A B € AB thiết diện tạo thành là hình chữ nhật ABB A Kẻ OH  AB,OH  A A OH  A AB d O O, A AB d O, A ABB OH 4 2 2 Mà :AH OA OH 2 5 AB 4 5 SABB A 32 5 Câu 46: Đáp án A Ta có: y x3 4x . Cho y 0 x 2  x 0  x 2 Bảng biến thiên: x 2 0 2 y 0 0 0 y 1 3 3 Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số có 1 cực đại và hai cực tiểu. Trang 19
20. Câu 47: Đáp án A 5 2 5 2 Ta có: log2 2016 log2 2 3 7 log2 2 log2 3 log2 7 5 2a b Câu 48: Đáp án D 3 3 1 1 x 3 x 3 Ta có: lim lim x 1 và lim lim x 1 x 2 x m x 2 x m x m 1 x m 1 x2 x2 Do đó, đồ thị hàm số luôn có 2 tiệm cận ngang là y 1 ; y 1 . Để đồ thị hàm số có 3 tiệm cận thì chỉ cần có thêm 1 tiệm cận đứng. Trường hợp 1: x2 m 0 có nghiệm kép khác 3 , nên m 0 . Trường hợp 2: x2 m 0 có 2 nghiệm mà 1 nghiệm bị triệt tiêu bởi lượng x 3 0 trên tử. Cụ thể ta có m 9 . x 3 x 3 x 3 Thật vậy, ta có: lim lim 0 và lim nên đồ thị hàm số có 1 x 3 x2 9 x 3 x 3 x 3 x2 9 tiệm cận đứng là x 3 Vậy đáp số là m 0; 9 Câu 49: Đáp án D 1 1 Theo định nghĩa ta có công thức tính thể tích khối nón tròn xoay là: V S.h r 2h . 3 3 Câu 50: Đáp án A Lượng nước dâng lên chính là tổng thể tích của 4 viên bi thả vào bằng 4 16 V 4. r 3 cm3 . b 3 b 3 16 Dễ thấy phần nước dâng lên là hình trụ có đáy bằng với đáy cốc nước và thể tích là cm3 . 3 16 4 Chiều cao của phần nước dâng lên là h thỏa mãn: r 2h nên h cm . d 3 d d 3 4 8 Vậy nước dâng cao cách mép cốc là 12 8 2,67 cm. 3 3 Trang 20