Đề thi thử Trung học phổ thông quốc gia môn Toán - Năm học 2016-2017 - Trường THPT Xuân Trường

Nội dung text: Đề thi thử Trung học phổ thông quốc gia môn Toán - Năm học 2016-2017 - Trường THPT Xuân Trường

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐẠO TẠO NAM ĐỊNH ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA LẦN 1 TRƯỜNG THPT XUÂN TRƯỜNG NĂM HỌC 2016 – 2017 Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 90 phút 1 Câu 1: Giá trị lớn nhất của hàm số y 1 4x x2 trên đoạn ;3 là: 2 7 A. 1 3 B. C. 3D.1 1 2 3 2 Câu 2: Nguyên hàm của hàm số f x sin x cos x là: A. sin x cos x C B. sin x co sC.x sin D.x cos x sin x cos x C Câu 3: Xét các mệnh đề 2 x x (I) F x x cos x là một nguyên hàm của f x sin cos 2 2 x4 3 (II) F x 6 x là một nguyên hàm của f x x3 4 x (III) F x tan x là một nguyên hàm của f x ln cos x Trong các mệnh đề trên thì số mệnh đề sai là A. 1B. 2C. 3D. 0 2x 1 Câu 4: Kết luận nào sau đây về tính đơn điệu của hàm số y là đúng? x 1 A. Hàm số nghịch biến trên các khoảng ; 1 và 1; B. Hàm số đồng biến trên các khoảng ; 1 và 1; C. Hàm số luôn luôn đồng biến trên ¡ \ 1 D. Hàm số luôn luôn nghịch biến trên ¡ \ 1 x x Câu 5: Phương trình 3 5 3 5 3.2x có nghiệm là x 2 x 0 x 1 x 0 A. B. C. D. x 3 x 1 x 1 x 1 Câu 6: Hàm số F x x3 3x2 5 là một nguyên hàm của hàm số x4 A. x3 5x C B. 3x2 6x C.5 D.3x 2 6x x4 3x3 5x 4 Trang 1
2. Câu 7: Tập nghiệm của bất phương trình log2 x log2 2x 1 là: 1 A. S ; 1 B. S C. ;0 D. S 1;3 S  2 3 1 a 3 1 Câu 8: Rút gọn biểu thức : P a 0 . Kết quả là a 5 3.a3 5 1 A. a6 B. C. 1D. a 4 a 4 Câu 9: Tìm m để hàm số y x3 3mx2 3 2m 1 x 1 nghịch biến trên ¡ A. m 1 B. Không có giá trị của m C. m 1 D. Luôn thỏa mãn với mọi giá trị của m Câu 10: Cho hàm số f x x3 3x2 x 1 . Giá trị f " 1 bằng: A. 2B. 0C. 3D. 1 ex Câu 11: Cho f x . Đạo hàm f ' 1 bằng: x2 A. 4eB. 6eC. -eD. e2 Câu 12: Với giá trị nào của tham số m thì phương trình x 4 x2 m có nghiệm A. 2 m 2 B. 2 m C. 2 2 D. 2 m 2 2 m 2 2 Câu 13: Cho hàm số f x có đạo hàm trên khoảng a;b chứa x0 và f ' x0 0 . Khẳng định nào sau đây sai? A. Nếu f ' x đổi dấu từ âm sang dương khi x qua x0 theo chiều tăng của biến x thì hàm số f đạt cực tiểu tại x0 B. Nếu f ' x đổi dấu từ dương sang âm khi x qua x0 theo chiều tăng của biến x thì hàm số f đạt cực đại tại x0 C. Nếu hàm số f x đạt cực trị tại x0 thì f " x0 0 D. Nếu f " x0 0 thì hàm số f đạt cực trị tại x0 . a.5 a3 .3 a 2 Câu 14: Giá trị của biểu thức log bằng 1 4 a a. a 60 91 91 60 A. B. C. D. 91 60 60 91 Trang 2
3. Câu 15: Cho hàm số y f x x3 ax2 bx c . Khẳng định nào sau đây sai? A. Đồ thị của hàm số luôn có tâm đối xứngB. Đồ thị của hàm số luôn cắt trục hoành C. lim f x D. Hàm số luôn có cực trị x 3 Câu 16: Tập xác định của hàm số y x 3 2 4 5 x là A. D 3; \ 5 B. D 3; C. D D. 3;5 D 3;5 Câu 17: Cho hàm số f có đạo hàm là f ' x x x 4 2 x 1 4 , số điểm cực tiểu của hàm số f là : A. 1B. 3C. 0D. 2 x Câu 18: Cho hàm số y có đồ thị (C). Tìm m để đường thẳng d : y x m cắt đồ thị x 1 (C) tại hai điểm phân biệt? A. 1 m 4 B. hoặcm 1 C. m 4 hoặc m 0 D. m 2hoặc m 0 m 4 Câu 19: Cho a 0,a 1 . Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau: A. Tập giá trị của hàm số y loga x là tập ¡ B. Tập giá trị của hàm số y a x là tập ¡ C. Tập xác định của hàm số y a x là khoảng 0; D. Tập xác định của hàm số y loga x là tập ¡ x2 1 Câu 20: Cho hàm số y . Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số là: x x2 2x 3 A. 2B. 1C. 3D. 4 x3 2 Câu 21: Cho hàm số y 2x2 3x . Tọa độ điểm cực dại của đồ thị hàm số là: 3 3 2 A. B. 1;2 C. D. 1;2 3; 1;2 3 Câu 22: Tập nghiệm của bất phương trình 32x 1 10.3x 3 0 là: A.  1;1 B. C.  1 D.;0 0;1 1;1 Câu 23: Đồ thị trong hình bên dưới là đồ thị của hàm số y x4 4x . Dựa vào đồ thị bên dưới hãy tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình x4 4x2 m 2 0 có hai nghiệm. Trang 3
4. A. m 0,m 4 B. m 2, m 6 C. m 2 D. m 0 2 Câu 24: Phương trình log2 x 5log2 x 4 0 có 2 nghiệm x1, x2 . Tính tích x1x2 A. 32B. 22C. 16D. 36 x 1 Câu 25: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y tại điểm A 1;0 có hệ số góc bằng: x 5 1 6 1 6 A. B. C. D. 6 25 6 25 Câu 26: Cho a 0 và a 1 . Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau: A. loga 1 a và loga a 0 B. có nghĩa với loga x x n C. loga x n loga x x 0 ,n 0 D. loga xy lo ga x.loga y Câu 27: Bảng biến thiên sau đây là của hàm số nào ? x 0 2 y' - 0 + 0 - y 3 -1 A. y x3 3x2 1 B. y x3 3x2 C.1 y x3 3x D.2 1 y x3 3x2 1 Câu 28: Cho y x3 3x2 1 . Một nguyên hàm F x của hàm số f x thỏa mãn F 1 2 là x4 9 x4 1 A. x3 x B. x3 x2 4 4 4 4 C. x4 3x3 2x2 2 D. x4 x3 x2 3 Câu 29: Đồ thị hình bên là của hàm số nào? A. y x4 2x2 2 B. y x4 4x2 2 C. y x4 2x2 2 D. y x4 2x2 3 Câu 30: Cho log xx ; log x . Khi đó log x2 là: a b ab2 Trang 4
5. 2 2  2   A. B. C. D. 2  2  2  mcos x 4 Câu 31: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y đồng biến cos x m trên khoảng ; 3 2 1 A. 1 m 2 B. hoặc 2 m 0 m 2 2 C. m 2 D. 2 m 0 Câu 32: Một đường dây điện được nối từ một nhà máy điện ở A đến một hòn đảo ở C. Khoảng cách ngắn nhất từ C đến B là 1 km. Khoảng cách từ B đến A là 4 km. Mỗi km dây điện đặt dưới nước là mất 5000 USD, còn đặt dưới mặt đất là 3000 USD. Hỏi điểm S trên bờ cách A bao nhiêu để khi mắc dây điện từ A qua S rồi đến C là ít tốn kém nhất. A. 2,5 kmB. 4,75 kmC. 3,25 kmD. 3,75 km x 2 Câu 33: Cho hàm số y C . Gọi d là khoảng cách từ giao điểm hai tiệm cận của đồ thị x 1 (C) đến một tiếp tuyến của (C). Giá trị lớn nhất d có thể đạt được là: A. 2 B. C. D.2 2 3 3 3 Câu 34: Năm 2000 xã A có 10.000 người. Với mức tăng dân số bình quân 2% hằng năm thì vào năm nào dân số của xác sẽ vượt 15.000 người? A. Năm 2022B. Năm 2020C. Năm 2019D. Năm 2021 Câu 35: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh b. Đoạn thẳng AC’ quay xung quanh AA’ tạo ra hình nón tròn xoay. Diện tích xung quanh S của hình nón là: A. b2 6 B. C. b2 3 D. b2 2 b2 Câu 36: Cho hình lập phương có cạnh bằng a. Mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương có diện tích bằng: 4 A. a 2 B. C. D. a 2 3 a 2 12 3 a 2 3 Câu 37: Một hình nón có góc ở đỉnh bằng 60, đường sinh bằng 2a, diện tích xung quanh của hình nón là: Trang 5
6. 2 2 2 2 A. Sxq 4 a B. Sx qC. 3 a D. Sxq 2 a Sxq a Câu 38: Cho khối chóp S.ABC có SA  ABC , tam giác ABC vuông tại B, AB a,AC a 3 . Tính thể tích khối chóp S.ABC biết rằng SB a 5 a3 6 a3 6 a3 2 a3 15 A. B. C. D. 6 4 3 6 Câu 39: Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hai mặt bên (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp biết SC a 3 a3 3 a3 6 2a3 6 a3 3 A. B. C. D. 2 12 9 4 Câu 40: Cho khối tứ diện ABCD có AB 6cm,CD 7cm , khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD là 8cm, góc giữa hai đường thẳng AB và CD là 300 . Thể tích của khối tứ diện ABCD là: A. 28cm3 B. C. 84cm D.3 56cm3 28 3cm3 Câu 41: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy hợp với cạnh bên một góc 450 . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD bằng 2 . Thể tích khối chóp là: 4 2 2 4 2 A. B. C. D. 4 2 3 3 3 Câu 42: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc nhau và OA a,OB 2a,OC 3a . Diện tích của mặt cầu (S) ngoại tiếp hình chóp O.ABC bằng: A. S 14 a 2 B. C.S 8 a 2 D. S 12 a 2 S 10 a 2 Câu 43: Thiết diện qua trục của hình nón tròn xoay là một tam giác đều có cạnh bằng a. Thể tích của khối nón bằng: 3 3 2 3 A. a3 B. C. a 3D. a3 3 a3 8 24 9 Câu 44: Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông cân cạnh huyền bằng 8cm. Một thiết diện qua đỉnh tại với đáy một góc 600 . Khi đó diện tích thiết diện này là: 45 2 44 2 41 2 32 2 A. S cm2 B. S C.cm 2 S D. cm2 S cm2 3 3 3 3 Câu 45: Cắt một khối trụ bởi một mặt phẳng qua trục của nó, ta được thiết diện là một hình vuông có cạnh bằng 3a. Diện tích toàn phần của khối trụ là: Trang 6
7. 13a 2 27 a 2 a 2 3 A. S a 2 3 B. S C. D.S S tp tp 6 tp 2 tp 2 Câu 46: Một hình lập phương có cạnh bằng 1. Một hình trụ có hai đường tròn đáy nội tiếp hai mặt đối diện của hình lập phương. Hiệu số thể tích khối lập phương và khối trụ là: 3 2 A. B. C. D.1 1 1 4 2 4 4 Câu 47: Một khối trụ có bán kính đáy r 7cm . Khoảng cách hai đáy bằng 10cm. Khi cắt khối trụ bởi một mặt phẳng song song với trục cách trục 5cm thì diện tích của thiết diện là: A. S 34cm2 B. S 4 C.0 6cm2 D.S 21 31cm2 S 38cm2 Câu 48: Một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn nội tiếp hai mặt của một hình lập phương cạnh a. Thể tích của khối trụ đó là: 1 1 1 A. a3 B. C. D.a 3 a3 a3 3 2 4 Câu 49: Một cốc nước có dạng hình trụ đựng nước chiều cao 12 cm, đường kính đáy 4cm, lượng nước trong cốc cao 10cm. Thả vào cốc nước 4 viên bi có cùng đường kính 2cm. Hỏi nước dâng cao cách mép cốc bao nhiêu cen-ti-mét? (Làm tròn sau dấu phẩy 2 chữ số thập phân). A. 0,25 cmB. 0,67 cmC. 0,75 cmD. 0,33 cm Câu 50: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của A’ xuống (ABC) là trung điểm của AB. Mặt bên (ACC’A’) tạo với đáy góc 450 . Tính thể tích khối lăng trụ này a3 3 2a3 3 a3 3a3 A. B. C. D. 3 3 16 16 Trang 7
8. Đáp án 1-C 2-D 3-B 4-B 5-C 6-C 7-D 8-D 9-A 10-B 11-C 12-D 13-C 14-C 15-D 16-D 17-A 18-D 19-A 20-C 21-B 22-A 23-B 24-A 25-A 26-C 27-B 28-A 29-A 30-B 31-B 32-C 33-A 34-D 35-A 36-C 37-C 38-C 39-B 40-A 41-D 42-A 43-B 44-D 45-C 46-D 47-B 48-D 49-B 50-D LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Đáp án C Phương pháp: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y f x trên a,b . Ta làm theo các bước sau: - Tìm tập xác định của hàm số - Tìm y’ - Tìm các điểm x1, x2 , , xn thuộc khoảng a,b mà tại đó y' 0 hoặc y không' xác định - Tìm các giá trị f a ,f b ,f x1 ,f x2 , ,f xn - Kết luận: max f x max f a ,f b ,f x1 ,f x2 , ,f xn  a;b min f x min f a ,f b ,f x1 ,f x2 , ,f xn  a;b Cách giải: y 1 4x x2 2 x Tập xác định: D 0;4 . y' 0 x 2 4x x2 1 7 y 1 , y 2 3, y 3 3 1 2 2 3 11 1 max 3 x 2;min x ; 1 1 ;3 ;3 3 3 2 2 Câu 2: Đáp án D Phương pháp: Công thức tính nguyên hàm: sin xdx cos x C ; cos xdx sin x C Cách giải: f x sin x cos x ; f x dx sin x cos x dx cos x sin x C Câu 3: Đáp án B Trang 8
9. Phương pháp: Công thức tính nguyên hàm: sin xdc cos x C ; cos xdx sin x C 1 Các phép biến đổi lượng giác: sin2 x cos2 x 1 ; sin a.cos b sin a b sin a b 2 2 x x 2 x x x 2 x Cách giải: I : f x sin cos sin 2sin cos cos 1 sin x 2 2 2 2 2 2 f x 1 sin x dx x cos x C I sai 2 x x II: f x sin cos 2 2 3 3 1 4 f x dx x dx x 6 x C II đúng x 4 sin x 1 III: F x tan x ; tan x ' ' 2 III sai. cos x cos x Câu 4: Đáp án B ax b Phương pháp: Hàm số nhất biến: y a 0;ad bc 0 cx d d  1. Miền xác định D R \  c  ad bc P 2.y' cx d 2 cx d 2 Nếu P 0 hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định Nếu P 0 hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định 2x 1 Cách giải: y ; TXĐ : D R \ 1 x 1 1 y' 0 x D x 1 2 Hàm số đồng biến trên ; 1  1; Câu 5: Đáp án C Phương pháp: Sử dụng các phép biến đổi đưa phương trình về dạng x2 ax b 0 Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ giải pt. x x Cách giải: 3 5 3 5 3.2x 1 Trang 9
10. x 4x 2x Chia cả 2 vế của (1) cho 3 5 0 ta có: 1 3. 2x x 3 5 3 5 2x 3 5 x 2 3 5 x 1 2x 3 5 x 1 x 3 5 2 Câu 6: Đáp án C Phương pháp: Quy tắc đạo hàm: xn ' n.xn 1 ; u v ' u ' v' Cách giải: F x x3 3x2 5 F' x 3x2 6x Câu 7: Đáp án D Phương pháp: Giải bpt logarit: loga f x loga g x ; a 1,PT f x g x 0 1 Cách giải: log x log 2x 1 x 2x 1 0 x 1 2 2 2 Vô lý bpt vô nghiệm. Câu 8: Đáp án D m m n m.n m n m n a m n Phương pháp: Phép biến đổi lũy thừa: a a ; a .a a ; n a a 3 1 3 1 3 1 3 1 2 a a a 1 Cách giải: P 5 3 3 5 3 5 5 3 6 4 a .a a a a Câu 9: Đáp án A Phương pháp: y ax3 bx2 cx d Hàm số y' 3ax2 2bx c ; a 0 Hàm số nghịch biến trên R y' 0 0 Cách giải: y x3 3mx2 3 2m 1 x 1 . Tập xác định D R y' 3x2 6mx 3 2m 1 ; m 1 2 a 0 Hàm số nghịch biến trên R y' 0 x m 1 0 Trang 10
11. Câu 10: Đáp án B Phương pháp: Quy tắc đạo hàm: xn ' n.xn 1 ; u v ' u ' v' Cách giải: f x x3 3x2 x 1;f ' x 3x2 6x 1 f " x 6x 6;f " 1 0 Câu 11: Đáp án C Phương pháp: Quy tắc đạo hàm: xn ' n.xn 1 ; u v ' u ' v' ; ex ' ex ; u u 'v uv' ' 2 v v ex x2ex 2xex x 2 ex Cách giải: f x ; f ' x ; f ' 1 e x2 x4 x3 Câu 12: Đáp án D Phương pháp: Cho hai hàm số y f x có đồ thị C1 và y g x có đồ thị C2 Phương trình hoành độ giao điểm của C1 và C2 là: f x g x 1 Số giao điểm của C1 và C2 là số nghiệm của pt (1) Các trường hợp xảy ra: + (1) vô nghiệm C1 và C2 không có điểm chung + (1) có n nghiệm C1 và C2 có n điểm chung + (1) có nghiệm đơn x0 C1 và C2 cắt nhau tại M x0 ;f x0 + (1) có nghiệm kép x0 C1 và C2 tiếp xúc nhau tại M x0 ;f x0 Cách giải: x 4 x2 m . Tập xác định: D  2;2 Nghiệm của pt là giao điểm đường thẳng d : y m và đồ thị hàm số C : y x 4 x2 x Xét C: y x 4 x2 ; y' 1 0 x 2 4 x2 Bảng biến biên: Trang 11
12. x -22 2 y' || + 0 - || y 2 2 2 -2 2 m 2 2 Câu 13: Đáp án C Phương pháp: Dấu hiệu 1: Cho hàm số y f x có đạo hàm trong lân cận V của x0 *Nếu f ' x đổi dấu từ (+) sang (-) khi x đi qua x0 thì f đạt cực đại tại x0 *Nếu f ' x đổi dấu từ (-) sang (+) khi x đi qua x0 thì f đạt cực tiểu tại x0 *Nếu f ' x đổi dấu khi x đi qua x0 thì f đạt cực trị tại x0 Lưu ý: Dấu hiệu trên vẫn đúng nếu f không có đạo hàm tại x0 mà chỉ cần f liên tục tại x0 Vậy : cho hàm số y f x có đạo hàm trên V x0 và liên tục trên V x0 (có thể không có đạo hàm tại x0 ) f đạt cực trị f’(x) đổi dấu khi x đi qua x0 Nhận xét: - Điểm cực trị là điểm tới hạn của hàm số - Điểm tới hạn của hàm số có thể không là điểm cực trị của hàm số Dấu hiệu 2: Cho hàm số y f x có đạo hàm cấp 2, liên tục trên V x0 và f ' x0 0 *Nếu f ' x 0 thì x0 là điểm cực đại *Nếu f ' x 0 thì x0 là điểm cực tiểu Câu 14: Đáp án C m m n m.n m n m n a m n Phương pháp: Phép biến đổi lũy thừa: a a ; a .a a ; n a . a 34 5 3 2 15 91 a. 3. a a 60 91 Cách giải: log log 1 log a 1 4 a 3 a a a. a a 4 60 Câu 15: Đáp án D Phương pháp: Hàm số bậc ba: y ax3 bx2 cx d a 0 Trang 12
13. 1. Tập xác định: D R 2. Đạo hàm: y' 3ax2 2bx c; ' b2 3ac ' 0 : Hàm số có 2 cực trị ' 0 : Hàm số luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên R. b 3. Đạo hàm cấp hai y" 6ax 2b; y" 0 x 3a b Đồ thị luôn có 1 điểm uốn có hoành độ x là tâm đối xứng. 3a 4. Giới hạn: Nếu a 0 thì lim ; lim ; x x Nếu a 0 thì lim ; lim ; x x đồ thị hàm số luôn cắt trục hoành. Cách giải: y f x x3 ax2 bx c . Từ lý thuyết A, B, C đúng. D sai do chưa biết số nghiệm của pt y' 0 . Câu 16: Đáp án D Phương pháp: Hàm số mũ y a x , điều kiện a 0 Hàm số lũy thừa n a, n chẵn, điều kiện: a 0 x 3 0 Cách giải: 3 x 5 5 x 0 Câu 17: Đáp án A Phương pháp: Để tìm cực trị của một hàm số y f x + Tìm f’(x) + Tìm tất cả các điểm xi tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm + Xét dấu f’(x). Nếu f’(x) đổi dấu khi đi qua x0 thì hàm số có cực trị tại x0 . Cách giải: f ' x x x 4 2 x 1 4 ;f ' x x x 4 2 x 1 4 0 x 0 f ' x 0 x 0 f ' x đổi dấu khi đi qua điểm có hoành độ x 0 hàm số có cực trị tại điểm x 0 Câu 18: Đáp án D Phương pháp: Đường cong C: y f x , đường thẳng: d : y ax b + Xét phương trình hoành độ giao điểm C và d Trang 13
14. + Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của C và d x Cách giải: C y ,d : y x m,đk x 1 x 1 Xét pt hoành độ giao điểm (C) và d: x2 m x m 0 x 1 ; m2 4m (C) cắt d tại 2 điểm phân biệt pt (1) có 2 nghiệm phân biệt khác 1. 0 m 4;m 0 1 m 2 m 0 Câu 19: Đáp án A Phương pháp: +Hàm số : y loga x ĐK: 0 a 1 ; Tập xác định D 0; , y loga x nhận mọi giá trị trong R. Hàm số đồng biến trên R khi a 1 và nghịch biến trên R khi 0 a 1 + Hàm sốy a x a 0;a 1 ;Tập xác định D R, y a x 0,xeÒ Hàm số đồng biến trên R khi a.0 , nghịch biến trên R khi 0 a 1 . Cách giải: từ lý thuyết đáp án A. Câu 20: Đáp án C Phương pháp: Đồ thị C: y f x + x a là tiệm cận đứng của C. limf x x a + y b là tiệm cận ngang của C. lim f x b . x x2 1 Cách giải: y ; tập xác định: D R \ 1;0;3 x x2 2x 3 Có x 1 vừa là nghiệm của tử, vừa là nghiệm của mẫu. lim y , lim y ,lim y đồ thị có 2 tiệm cận đứng là x 0, x 3 x 0 x 1 x 3 lim y 0 đồ thị có tiệm cận ngang y 0 x Đồ thị hàm số có 3 tiệm cận. Câu 21: Đáp án B Phương pháp: Hàm số bậc ba: y ax3 bx2 cx d a 0 1. Tập xác định: D R 2. Đạo hàm: y' 3ax2 2bx c; ' b2 3ac ' 0 : Hàm số có 2 cực trị Trang 14
15. ' 0 :Hàm số luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên R. 3 x 2 2 2 x 1 Cách giải: y 2x 3x ; y' x 4x 3 0 3 3 x 3 2 y 1 2; y 3 tọa độ điểm cực đại của đồ thị hàm số là 1;2 3 Câu 22: Đáp án A Phương pháp: Giải bpt mũ Biến dổi bpt về dạng ax2 bx c 1 Cách giải: 32x 1 10.3x 3 0 3.32x 10.3x 3 0 3x 3 1 x 1 3 Câu 23: Đáp án B Phương pháp: Cho hai hàm số y f x có đồ thị C1 và y g x có đồ thị C2 Phương trình hoành độ giao điểm của C1 và C2 là: f x g x 1 Số giao điểm của C1 và C2 là số nghiệm của pt (1) Các trường hợp xảy ra: + (1) vô nghiệm C1 và C2 không có điểm chung + (1) có n nghiệm C1 và C2 có n điểm chung + (1) có nghiệm đơn x0 C1 và C2 cắt nhau tại M x0 ;f x0 + (1) có nghiệm kép x0 C1 và C2 tiếp xúc nhau tại M x0 ;f x0 Cách giải: y x4 4x2 , x4 4x2 m 2 0 1 Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt đồ thị hàm số y x4 4x2 cắt đường thẳng d : y m 2 tại 2 điểm phân biệt. m 2 4 m 6 Từ hình vẽ m 2 0 m 2 Câu 24: Đáp án A Phương pháp: Sử dụng các phép biến đổi đưa phương trình về dạng x2 ax b 0 Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ giải pt 2 log2 x 1 x 2 Cách giải: log2 x 5log2 x 4 0 x1x2 32 log2 x 4 x 16 Câu 25: Đáp án A Trang 15
16. Phương pháp: cho hàm số y f x Điểm M x0 ; y0 được gọi là tiếp điểm (điểm tiếp xúc) của tiếp tuyến và đồ thị. Vì điểm M x0 ; y0 thuộc đồ thị hàm số y f x nên y0 f x0 Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm chính bằng đạo hàm của hàm số y f x tại điểm. Vì vậy ta có được phương trình tiếp tuyến y y0 f ' x0 x x0 x 1 Cách giải: y ,A 1;0 x 5 A đồ thị hàm số A là tiếp điểm x 1 6 1 y , y' , y' 1 x 5 x 5 2 6 1 Hệ số góc của tiếp tuyến là 6 Câu 26: Đáp án C Phương pháp: Hàm số y a x a 0;a 1 Tập xác định D R, y a x 0,x R Hàm số đồng biến trên R khi a 1 , nghịch biến trên R khi 0 a 1 Cách giải: Đáp án A: loga 1 0 sai Đáp án B: Từ lý thuyết sai n Đáp án C: loga x n loga x x 0,n 0 đúng Đáp án D: loga xy loga x.loga y sai Câu 27: Đáp án B Phương pháp: Hàm số bậc ba: y ax3 bx2 cx d a 0 1. Tập xác định: D R 2. Đạo hàm y' 3ax2 2bx c; ' b2 3ac ' 0 : Hàm số có 2 cực trị ' 0 : Hàm số luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên R. Cách giải: x 0 2 y' - 0 0 - Trang 16
17. y 3 -1 Ta thấy y' 0 0; y' 2 0 , các điểm 0; 1 ; 2;3 thuộc đồ thị hàm số d 1 a 1 8a 4b 2c d 3 b 3 3 2 Ta có hệ : y x 3x 1 c 0 c 0 12a 4b c 0 d 1 Câu 28: Đáp án A 1 Phương pháp: Công thức nguyên hàm một số hàm số: xndx xn 1 C n 1 Cách giải: y x3 3x2 1 1 F x ydy x3 3x2 1 dx x4 x3 x C 4 9 1 9 F 1 2 C F x x4 x3 x 4 4 4 Câu 29: Đáp án A Phương pháp: Hàm số bậc ba: y ax3 bx2 cx d a 0 1. Tập xác định: D R 2. Đạo hàm y' 3ax2 2bx c; ' b2 3ac ' 0: Hàm số có 2 cực trị ' 0 : Hàm số luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên R. Cách giải: Ta thấy đồ thi hàm số có cực tiểu là các điểm 1;1 ; 1;1 ; điểm 0;2 thuộc đồ thị hàm số. d 2 a 1 a b c d 1 b 2 4 2 Ta có hệ : ; y x 2x 2 . a b c d 1 c 0 3a 2b c 0 d 2 Câu 30: Đáp án B n n 1 1 Phương pháp: loga b n loga b;loga b loga b ; loga b ;logx ab logx a logx b n logb a Trang 17
18. 1 1 Cách giải: log x2 ab2 log a log b2 1 x2 x2 log a log b 2 x x 1 1 2  1 1 1 1 1 1 2  2 loga x logb x 2  Câu 31: Đáp án B ax b Phương pháp: Hàm số nhất biến: y a 0;ad bc 0 cx d d  ad bc P Miền xác định D R \  ; y' c  cx d 2 cx d 2 Nếu P 0 hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định Nếu P 0 hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định. mcos x 4 1 Cách giải: y . Đặt cos x t;t 0; cos x m 2 mt 4 y , tập xác định: D R \ m t m 1 4 m2 Để hàm số đồng biến trên 0; thì y' 2 0 2 m 2 ; 2 t m 2 m 0 1 m 0; 1 2 m 2 2 Câu 32: Đáp án C Phương pháp – cách giải: đặt SC a,SA b Ta có SC2 a 2 BC2 BS2 1 4 b 2 a 2 1 4 b 2 . Chi phí là: 5a 3b để chi phí ít nhất thì 5a 3b min và điều kiện là S thuộc AB vì nếu S nằm ngoài AB thì chi phí sẽ cao hơn. 2 2 5.2 b 4 5 b 4 3 1 4 b Đặt y 5a 3b 5 1 4 b 3b y' 3 2 1 4 b 2 1 4 b 2 y' 0 5 b 4 3 1 4 b 2 0 3 1 4 b 2 5 4 b Trang 18
19. 9 1 4 b 2 25 4 b 2 b 3.25 hoặc b 4.75 Lập bảng biến thiên ta có: x 3.25 4 4.7 y' - 0 + 0 - y Từ đồ thị ta thấy y min khi b 3.25 Câu 33: Đáp án A Phương pháp: Cho hàm số y f x Điểm M x0 ; y0 được gọi là tiếp điểm (điểm tiếp xúc) của tiếp tuyến và đồ thị. Vì điểm M x0 ; y0 thuộc đồ thị hàm số y f x nên y0 f x0 Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm chính bằng đạo hàm của hàm số y f x tại điểm. Vì vậy ta có được phương trình tiếp tuyến y y0 f ' x0 x x0 a 2 Cách giải: gọi A a; là tiếp điểm a 1 a 2 1 Pt tiếp tuyến tại A là: y x a a 1 a 1 2 I 1;1 là giao điểm hai tiệm cận 2 a 1 2 a 1 Khoảng cách từ I đến tiếp tuyến là: 2 1 a 1 4 2 a 1 2 Giá trị khoảng cách lớn nhất từ I tới tiếp tuyến là 2 Câu 34: Đáp án D Phương pháp: Gọi số dân của xã đó là M thì mức tăng bình quân 2% của xã đó tương đương 2N với người 100 2N 102N Cách giải: Số dân của xá đó sau 1 năm là: N 100 100 2 102N 2 102N 102 Sau 2 năm là: N 100 100 100 100 Trang 19
20. n n 102 102 Như vậy sau n năm số dân là: N .1000 100 100 Áp dụng công thức để số dân bắt đầu > 125000 thì n 20.48 năm n 21 năm Câu 35: Đáp án A Phương pháp: Diện tích xung quanh của hình nón: Sxq rl (r là bán kính đáy, 1 là đường sinh) Cách giải: Ta có AA '  A 'B'C'D' AA '  A 'C' khi AC’ quay xung quanh AA’ thì A’C’ quay xung quanh A’ tạo thành đáy hình nón có đỉnh là A A’C’ là bán kính, còn AC’ là đường sinh Ta có: A 'B' B'C' b A 'C' b 2 ; AC' AA '2 A 'C'2 b 3 2 Sxq rl b 2b 3 b 6 . Câu 36: Đáp án C Phương pháp: Công thức tính diện tích mặt cầu: S 4 r2 (r là bán kính mặt cầu) Cách giải: Vì là hình lập phương nên tâm mặt cầu ngoại tiếp là giao điểm của các đường chéo 1 a 3 Gọi O là tâm mặt cầu nên r OC' AC' 2 2 a 2 3 S 4 r2 4 3 a 2 4 Câu 37: Đáp án C Phương pháp: Diện tích xung quanh của hình nón: Sxq rl (r là bán kính đáy, l là đường sinh) Cách giải: Gọi các điểm như hình vẽ, O là trung điểm AB nên SO là đường cao của hình nón · 0 · 0 2 Ta có: ASB 60 ASO 30 AO sin 30.SA a Sxq rl .a.2a 2 a Câu 38: Đáp án C Trang 20
21. Phương pháp: Định lý Py-ta-go vuông tại B thì AC2 AB2 BC2 1 S S . chiều cao hinh chop 3 đay Cách giải: Xét tam giác SAB vuông tại A (vì SA  ABC ) Ta có: SA SB2 AB2 2a Xét tam giác ABC vuông tại B có BC AC2 AB2 a 2 1 1 1 a3 2 Ta có: S S .SA . AB.BC.SA . SABC 3 ABC 3 2 3 Câu 39: Đáp án B Phương pháp: Hai mặt phẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng khác thì giao tuyến của 2 mặt phẳng đó vuông góc với mặt phẳng kia Cách giải: ta có: SAB và (SAC) ABC nên SA  ABC Xét tam giác SAC vuông tại A nên SA SC2 AC2 a 2 a Kẻ BH  AC H là trung điểm AC HC 2 a 3 1 a 2 3 1 a 2 3 a3 6 Ta có: BH BC2 HC2 ; S BH.AC ; S a 2 . 2 ABC 2 4 SABC 3 4 12 Câu 40: Đáp án A Phương pháp: tứ giác có các đỉnh là các đỉnh của hình lăng 1 trụ thì V V tudien 3 langtru Khoảng cách giữa 2 đường chéo nhau a, b bằng khoảng cách giữa đường thẳng a tới mặt phẳng (C) với b C và a || C Cách giải: từ B kẻ BE || CD và BE CD Trang 21
22. Từ C kẻ CF || AB và CF AB từ đó ta được hình lăng trụ ABE.FCD Ta có d ABE , FCD d CD, ABE d AB,CD 8 Vì CD || BE ·AB,CD ·AB,BE A· BE 300 1 1 21 S sin ABE.AB.BE sin.ABE.AB.CD ABE 2 2 2 SABE.FCD SABE .d ABE , FCD 84 1 S S 28 . ABCD 3 ABE.FCD Câu 41: Đáp án D Phương pháp: Cách xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp: vì là hình chóp tứ giác đều nên đường cao của hình chóp đi qua tâm O của đáy, lấy M là trung điểm của SA kẻ MI  SA với IeìO I là tâm mặt cầu ngoại tiếp SM.SA Bán kính SI SO Cách giải: vì cạnh bên hợp với đáy 1 góc 450 nên SA S· AO 4 50 SO 2 SM.SA Thay vào SI ta có: SO 2 SO Ta có SO AO 2 AD AO 2 2 1 4 2 V SO.S SABCD 3 ABCD 3 Câu 42: Đáp án A Phương pháp: tam giác vuông có tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm cạnh huyền Công thức tính diện tích mặt cầu: S 4 R 2 Cách giải: lấy M là trung điểm của BC, từ M kẻ đường thẳng vuông góc BC tại M, kẻ đường trung trực của AO cắt tại I I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện. BC a 13 Ta có BC OB2 OC2 a 13 BM 2 2 Trang 22
23. AO a 14 Ta có: IM HO do || AO BI IM2 BM2 a 2 2 2 S 4 R 2 S 14 a 2 . Câu 43: Đáp án B Phương pháp: thiết diện qua trục của hình nón là tam giác đều đường sinh bằng đường kính 1 V r2h hinhnon 3 Cách giải: xét hình nón như hình vẽ, O là tâm của đáy a 3 Vì AB BC a nên BO AO AB2 BO2 a 2 2 1 3 V r2h a3 hinhnon 3 24 Câu 44: Đáp án D Phương pháp: thiết diện của hình nón là 1 tam giác Góc giữa 2 mặt phẳng bằng góc của 2 đường thẳng thuộc lần lượt 2 mặt phẳng trên vuông góc với giao tuyến vủa 2 mặt phẳng đó. Cách giải: xét hình nón như hình vẽ. Vẽ thiết diện tạo với đáy một góc 600 cắt BC tại H và giao tuyến vuông góc với BC. BC Ta có BC 8 AO 4 2 AO 8 3 Ta có AH  ,BC  nên A· HO 600 AH sin 60 3 BC 4 6 1 16 2 Ta có AI AB 4 2 HI AI2 AH2 S AH.HI 2 3 AHI 2 3 32 2 S . thiet dien 3 Câu 45: Đáp án C Phương pháp: Công thức tính diện tích toàn phần hình trụ: bằng diện tích xung quanh cộng với diện tích của 2 đáy: S 2 r2 2 rh Trang 23
24. Cách giải: vì thiết diện qua trục là hình vuông có cạnh là 3a nên chiều cao bằng đường kính bằng 3a 2 3 3 Stp 2 a 2 a.3a 2 2 27 a 2 S tp 2 Câu 46: Đáp án D Phương pháp: Thể tích hình trụ: V r2h (r là bán kính đáy, h là chiều cao) Thể tích hình lập phương V a3 (a là cạnh hình lập phương) Cách giải: Vì đáy của hình trụ nối tiếp 2 mặt đối diện hình lập phương cạnh hình lập phương = đường kính đáy hình trụ = đường cao hình trụ V r2h ;V 1 V V 1 . hinh tru 4 hinh lap phuong hinh lap phuong hinh tru 4 Câu 47: Đáp án B Phương trình: 1 mặt phẳng cắt hình trụ và song song trục thì được thiết diện hình chữ nhật Cách giải: xét hình trụ như hình vẽ có AB  OH Vì thiết diện song song với trục nên HI chiều cao hình trụ = 10 Ta có: HO 5,AO 7 AH AO2 HO2 2 6 AB 4 6 Sthiet dien AB.HI 40 6 Câu 48: Đáp án D Phương pháp: thể tích hình trụ: V r2h (r là bán kính đáy, h là chiều cao) Cách giải: Vì đáy của hình trụ nội tiếp 2 mặt đối diện hình lập phương cạnh hình lập phương = đường kính đáy hình trụ = đường cao hình trụ a 2 a3 V a hinh tru 4 4 Câu 49: Đáp án B Phương pháp: thể tích hình trụ: V r2h (r là bán kính đáy, h là chiều cao) 4 Thể tích hình cầu: V r3 (r là bán kính hình câu) 3 Trang 24
25. Cách giải: vì lượng nước trong cốc cao 10 cm nên thể tích của nước đựng trong cốc là: 4 16 136 V r2h 40 ;V 4. r3 V nuoc 4 bi 3 3 nuoc bi 3 Vì khi nước đang lên thì bi trong lòng nước và nước vẫn có hình trụ nên chiều cao của khối V 34 nước có cả bi là : h nuoc bi r2 3 34 2 nước cách cốc 12 0,67 3 3 Câu 50: Đáp án D Phương pháp: thể tích khối lăng trụ là: V S.h (S là diện tích đáy, h là chiều cao của lăng trụ) Góc giữa 2 mặt phẳng bằng góc giữa 2 đường thẳng lần lượt thuộc 2 mặt pahwrng đó vuông góc với giao tuyến tại cùng 1 điểm a 2 3 S (a là cạnh tam giác đều) đeu 4 Cách giải: Xét hình lăng trụ như hình vẽ có H là hình chiếu của A’ xuống (ABC) a Ta có H là trung điểm của AB nên HA 2 Từ H kẻ HI  AC tại I; vì A 'H  AC và HI  AC AC  A 'HI A 'I  AC A· 'IH ·ABC , ACC'A ' 450 a 3 a 3 Ta có HI AH.sin 60 A 'H HI do A· 'IH 450 4 4 a 2 3 a 3 3a3 V S .A 'H . ABC.A'B'C' ABC 4 4 16 Trang 25