Đề thi thử Trung học phổ thông quốc gia môn Toán học Lớp 12 - Đề số 25 (Kèm đáp án)

Nội dung text: Đề thi thử Trung học phổ thông quốc gia môn Toán học Lớp 12 - Đề số 25 (Kèm đáp án)

1. ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2017 – Đề 25 Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề Câu 1. Trong ba hàm số: x 1 x3 x2 x 1 I. y II. y III. y x2 1 x 1 x 1 Đồ thị hàm số nào có đường tiệm cận ngang? A. Chỉ I và IIB. Chỉ I và IIIC. Chỉ II và IIID. Cả ba I, II, III Câu 2. Số phát biểu đúng về hàm số y x3 4x2 5x 2 là: (1) Hàm số đã cho xác định với mọi x ¡ (2) Hàm số đã cho là hàm chẵn (3) Hàm số đã cho có đạo hàm cấp 2 và f '' 1 0 (4) Đồ thị hàm số đã cho là một parabol (5) Giới hạn lim y x , lim y x x x A. 0B. 2C. 3D. 5 cos x Câu 3. Hàm số y có đạo hàm bằng: 2sin2 x 1 sin2 x 1 cos2 x 1 sin2 x 1 cos2 x A. B. C. D. 2sin3 x 2sin3 x 2sin3 x 2sin3 x Câu 4. Hình nào dưới đây là đồ thị hàm số y x3 3x2 4 ? A. B. C. D. Câu 5. Một viên đạn được bắn ra với vận tốc ban đầu v0 0 từ một nòng súng đặt ở gốc tọa độ O nghiêng một góc với mặt đất (nòng súng nằm trong mặt phẳng thẳng đứng Oxy và tạo với trục hoành Ox góc ). Biết quỹ đạo Trang 1
2. g 2 2 chuyển động của viên đạn là parabol  : y 2 1 tan x x tan (với g là gia tốc trọng trường) 2v0 2 g 2 v0 và giả sử rằng quỹ đạo lấy luôn tiếp xúc với parabol an toàn  : y 2 x . Tọa độ tiếp điểm khi 2v0 2g 0; là: 2 2 2 2 2 v0 v0 2 v0 v0 1 A. B.M ; 1 cot M ; 1 2 g tan 2g g tan 2g tan 2 2 2 2 v0 v0 g 1 v0 1 v0 g C. D.M ; 2 M ; tan 2 tan g tan 2 g tan Câu 6. Cho hàm số y f x là hàm số đơn điệu trên khoảng a,b . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? A. B.f ' x 0,x a,b f ' x 0,x a,b C. D.f ' x 0 ,khôngx ađổi,b dấu trên f ' x a,b 2 Câu 7. Giá trị cực đại yC Ð của hàm số y x 3x 2 . A. B.yC ÐC. D.4 yC Ð 1 yC Ð 0 yC Ð 1 Câu 8. Chọn phát biểu đúng: A. Giá trị cực đại của hàm số luôn lớn hơn giá trị cực tiểu của hàm số B. Nếu f ' x0 0 thì hàm số f x đạt cực trị tại x x0 C. Hàm số đa thức bậc 3 có hai điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình f ' x 0 có hai nghiệm phân biệt D. Nếu f '' x0 0 thì hàm số f x đạt cực đại tại x x0 . Câu 9. Sau những ngày mưa lớn, Thành phố Hồ Chí Minh thường xuyên bị ngập. Mực nước ngập trung bình tại một vị trí bất kì (nếu có) được tính theo hàm số y 3x4 2 5x3 6x2 6 5x ,7 với xlà khoảng cách tính từ cổng trường Đại học Y Dược Tp. Hồ Chí Minh đến điểm đó (tính theo đơn vị km). Nhà bạn Trân ở nơi có mực nước ngập cao nhất thành phố, mỗi ngày bạn Trân đến trường bằng cách đi bộ với vận tốc 60 mét/phút. Hỏi bạn Trân bắt đầu đi học muộn nhất từ mấy giờ để đến trường trước 7 giờ? A. 6 giờ 50 phútB. 6 giờ 45 phútC. 7 giờ kém 20 phútD. 7 giờ kém 14 phút 9 Câu 10. Hàm số y 5ln x 3 ln 2x 5 đồng biến trên từng khoảng: 2 5 5 5 A. 3; và B. ;2 và 3; 2; 2 2 2 5 C. ; 3 và D. ;2 và ; 3 2; 2 Trang 2
3. x 4m Câu 11. Điểm cố định của đồ thị hàm số C : y là: m 2 mx 1 1 2 A. M ;2 và B.N 3;1 N 3;1 2 1 2 C. D.M và;2 P 2;1 Q 2; 1 2 Câu 12. Hàm số nào sau đây nghịch biến trên 0;3 ? 2x2 5x 3 A. B.y x x2 1 y x2 4x 3 ln x 5 C. D.y y 15 x2 3x 2x 6 x2 5x ln 3 x3 x2 4 Câu 13. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y trên đoạn  1;1 là: x2 1 A. 4B. 3C. 2D. 1 Câu 14. Tìm giá trị gần đúng tổng các nghiệm của bất phương trình sau: 2 22 22 2 4 6 5 4 3 2 2log x 2log x 5 13 2 4 24x 2x 27x 2x 1997x 2016 0 3 3 log x log x 22 22 3 3 A. 12B. 12,1C. 12,2D. 12,3 Câu 15. Cho a,b,c 0 và a,b,c 1 thỏa mãn log c x2 1 và log b3 log a x . Tính giá trị b a2 3 c gần đúng của biểu thức Q 24x2 2x 1997 . A. B.Q C. A19 và82 B đúngD. A vàQ B sai 1979 8x2 12 1995 Câu 16. Tập xác định của bất phương trình log là: x 1 ln sin x cos x x 3 3 3 3 3 A. B. 0 ;C.1 D. ; ;0  1; ¡ \ ;  2 2 2 2 2 Câu 17. Phương trình 5x 1 50,2x 2 26 có tích các nghiệm là: A. 3B. 4C. 625D. A, B và C đều sai Câu 18. Đạo hàm của hàm số f x xx là: A. B.f ' x xx 1 x ln x f ' x xx ln x 1 C. D.f ' Khôngx x xtínhln x được Câu 19. Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn abc 1 và n m 3 3 3 2 2 2 2 2 2 a b c a b c 6abc 3 ab bc ca 3 a b b c c a . Khi đó A. B.m n m n Trang 3
4. C. D.m Khôngn đủ dữ kiện so sánh Câu 20. Cho log a log b . Khi đó 10 e 5 10 e 5 3 ln11 log 5 72 9 3 26 log11 3 ln11 log 5 72 9 3 26 log11 2  2  A. B.a b a b C. D.a Khôngb đủ dữ kiện so sánh Câu 21. Cho hàm số f x log sin cos x . Đạo hàm f ' có giá trị gần đúng là: 5 A. 0 B. 4 C. D. Không thể tính được giá trị f ' 2 5 Câu 22. Cho hàm số y 24log2 x . Số nghiệm của phương trình y '' 0 là: A. Vô nghiệmB. Hai nghiệm phân biệtC. Nghiệm képD. Vô số nghiệm Câu 23. Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường x 0, x 2, y ex và y e x 2 quanh trục Ox gần nhất với giá trị nào sau đây: A. 128,23B. 128,24C. 128,25D. 128,26 2 dx 5 Câu 24. Cho tích phân I a ln b . Khi đó a 2b bằng 1 x5 x3 8 5 5 5 5 A. B. C. D. 2 4 8 16 3x2 8x 1 Câu 25. Hàm số nào dưới đây không là nguyên hàm của hàm số q x 2 ? x2 x 1 3x2 1 3x 4 x2 2x 3 4x2 x A. B. C. D. x2 x 1 x2 x 1 x2 x 1 x2 x 1 Câu 26. Tính ex .ex 1dx ta được kết quả nào sau đây? 1 A. B.ex .C.ex 1D. CKết quả khác e2x 1 C 2e2x 1 C 2 cos x sin x Câu 27. Gọi là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường y ; x 0; x và trục 3 sin 2x 2 Ox. Tìm giá trị của cos . 1 3 2 A. B. C. 0D. 2 2 2 1 Câu 28. Tìm nguyên hàm của I dx x2 4 1 1 1 x 1 x A. B.t C. C D. x C tan C arctan C 2 2 2 2 2 2 1 x Câu 29. Tìm nguyên hàm của I ln x e dx x Trang 4
5. A. B.ex lC.n x D. C ex 1 ln x C ex ln x x C ex C 2 1 Câu 30. Cho số phức z 3 i . Môđun của số phức w z là: z 202 303 303 202 101 10201 A. B. C. D. i i 25 50 25 50 10 100 Câu 31. Biết rằng z i 1 1 và z 2i là một số thực khác 0, số phức liên hợp của số phức z là: A. B.1 C.2i Không tồn tại zD. Không1 2i tồn tại z 2 Câu 32. Gọi z1, z2 là các nghiệm phức của phương trình z 4z 5 0 . Giá trị của biểu thức 2011 2011 P z1 1 z2 1 là: A. 1B. -1 C. 21 D.006 21006 Câu 33. Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện 2 3i z z i . 3 6 6 3 9 9 A. B. C. iD. i 5 5 5 5 5 5 n 2 2 3i Câu 34. Tìm phần ảo của số phức z , với n là số nguyên dương thỏa mãn 3 i log4 n 3 log2 n 9 3 A. B. 6 644 C.3 64iD. Không tồn tại phần ảo Câu 35. Cho tứ diện ABCD có AC AD BC BD AB a , biết các tam giác ACD và BCD vuông tại A và B. Thể tích hình chóp ABCD là: a3 3 a3 2 a3 a3 2 A. B. C. D. 6 12 3 6 Câu 36. Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a và tổng diện tích các mặt bên gấp đôi diện tích mặt đáy. Khi đó, thể tích của hình chóp là: a3 3 a3 3 a3 3 a3 3 A. B. C. D. 2a3 6 3 2 12 Câu 37. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A' B 'C ' D ' có AB a, BC 2a, AA' a . Lấy điểm M trên cạnh AD sao cho AM 3MD . Thể tích khối chóp MABC ' là: a3 2a3 a3 a3 A. B. C. D. 2 3 3 4 Câu 38. Một khối trụ có bán kính đáy bằng r và có thiết diện qua trục là một hình vuông. Gọi V ,V 'lần V ' lượt là thể tích khối trụ và thể tích của hình lăng trụ đều nội tiếp bên trong hình trụ đã cho. Tỉ số là: V 1 2 A. B. C. D. 2 Trang 5
6. Câu 39. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD, các mặt (SAD) và (SAB) vuông góc với đáy. Góc giữa mặt (SBC) và đáy bằng 450 , AB 2a, BC a . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC là: 5 5 A. B.2 C.5a 2aD. a 2a 5 5 Câu 40. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng b. Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là: 3b2 3b2 3a2 3a2 A. B. C. D. 2 3b2 a2 2 b2 3a2 2 3a2 b2 2 a2 3b2 Câu 41. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA HB . Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng 600 Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC là: 3a 3 a 13 3a 13 3a 13 A. B. C. D. 13 13 13 26 Câu 42. Cho hình lăng trụ đứng có đáy là hình tam giác đều cạnh a, biết diện tích xung quanh của lăng trụ là 6a2 . Thể tích hình lăng trụ đó là: 3 1 3 A. B.V C. D.a 3 V 3 3a2 V a3 V a3 2 2 6 Câu 43. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x 6y 3z 2 0và đường thẳng x 1 y 1 z 2 d : . Tọa độ giao điểm D của đường thẳng d và mặt phẳng (P) là: 3 1 2 A. B.D C. 5 D.;3; 6 D 1;3;7 D 4;0;0 D 2;2;4 Câu 44. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M 1; 1;2 và phương trình mặt phẳng : 2x y 2z 12 0 . Tọa độ điểm M ' đối xứng với M qua mặt phẳng là: 67 29 58 63 23 19 26 47 23 17 A. B.M C.' D. ; ; M ; ; M ; ;5 M 4; ; 9 9 9 7 7 7 5 5 7 7 Câu 45. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng P1 :3x y z 4 0 và P2 :3x y z 2 0 . Phương trình mặt phẳng (P) song song và cách đều hai mặt phẳng P1 và P2 là: A. P :3x y z 1 0 B. P :3x y z 0 C. D. P :3x y z 1 0 P :3x y z 2 0 Câu 46. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A 1; 1;2 . Phương trình mặt phẳng (Q) đi qua các hình chiếu của điểm A trên các trục tọa độ là: A. B. Q : x y 2z 2 0 Q : 2x 2y z 2 0 x y z C. Q : 1 D. Q : x y 2z 6 0 1 1 2 Trang 6
7. x 1 y 2 z Câu 47. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d : và 1 2 3 x 1 t ' d ': y 3 2t '. Phương trình đường vuông góc chung a của d và d ' là: z 1 2 2 x 2 t x 2t 3 3 8 x 6 y 1 z 8 x 1 y 2 z A. B.a : C. y D. 1 t a : a : y t a : 3 1 2 1 3 6 z 1 z 1 z 1 Câu 48. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A 1;1;1 và B 2; 3;2 . Có bao nhiêu mặt phẳng mà khoảng cách từ A và B đến mặt phẳng đó bằng nhau? A. Một mặt phẳngB. Hai mặt phẳng C. Không có mặt phẳng nàoD. Vô số mặt phẳng Câu 49. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A a;0;0 ; B 0;b;0 ;C 0;0;c với a,b,c là những số dương thay đổi sao cho a2 b2 c2 3 . Khoảng cách d từ O đến mặt phẳng (ABC) lớn nhất là: 1 1 A. 1B. C. D. 3 3 3 Câu 50. Mặt cầu được tạo ra khi: A. Xoay một hình tròn quanh một đường kính bất kì của hình tròn đó một góc 1800 B. Xoay nửa đường tròn quanh đường kính của nửa đường tròn đó một góc 1800 C. Xoay nửa hình tròn quanh đường kính của nửa đường tròn đó một góc 1800 D. Xoay một đường tròn quanh một đường kính bất kì của đường tròn đó một góc 1800 ĐÁP ÁN 1C 2B 3D 4C 5B 6D 7A 8C 9C 10B 11D 12D 13C 14B 15C 16D 17A 18B 19B 20A 21A 22A 23B 24B 25D 26B 27A 28D 29A 30C 31B 32D 33A 34B 35B 36A 37D 38D 39D 40A 41C 42A 43D 44A 45C 46B 47C 48D 49C 50D HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Đáp án C. D ¡ \ 0 . 3x2 3x2 3x Ta có y . x2 x x x 1 x 1 Trang 7
8. Bộ đề tinh túy ôn thi THPT quốc gia môn ToánĐỀ 30 3x Khi đó lim y lim ; lim y x 1 x 1 x 1 x 1 TCD :x 1. lim y lim y 3 TCN : y 3 x x Câu 2. Dễ thấy (1) đúng, (2) sai vì hàm số đã cho là hàm không chẵn không lẻ, (3) đúng (qua tính toán trực tiếp), (4) sai vì đồ thị có dạng chuẩn của hàm đa thức bậc 3, (5) sai vì lim y x . x Ta chọn phương án B. Câu 3: Đáp án D. Vì cos x '2sin2 x cos x. 2sin2 x ' y ' 2 2sin2 x sin x.2sin2 x cos x. 2.2sin x.cos x 4.sin4 x 2sin3 x 4sin x cos2 x sin2 x 2cos2 x 4sin4 x 2sin3 x 2 2 2 sin x cos x cos x 1 cos2 x 2sin3 x 2sin3 x Câu 4. Dựa vào tính đồng biến – nghịch biến (tính biến thiên) ta loại hai phương án A và D. Với x 0 , suy ra y 4 , hay đồ thị hàm số đi qua điểm có tọa độ 0;4 ta loại phương án B. Vậy ta chọn phương án C. Câu 5. 2 g 2 2 g 2 v0 Xét  : f x 2 1 tan x x tan và  : g x 2 x . 2v0 2v0 2g f x g x 1 Nhận thấy  tiếp xúc với  khi và chỉ khi f ' x g ' x 2 Ta có g 2 g 2 2 1 tan x tan 2 x v0 v0 g v2 tan2 x tan 0 x 0 2 v0 g tan 2 2 v0 2 v0 1 Ta chọn phương án B. (Ta cũng có thể tính được y 1 cot 1 2 ). 2g 2g tan Câu 6: Đáp án D. Do hàm f x đơn điệu trên a,b tức là luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến trên a,b . Do vậy f ' x không đổi dấu trên a,b . Trang 8
9. Bộ đề tinh túy ôn thi THPT quốc gia môn ToánĐỀ 30 Câu 7: Đáp án A. 2 x 1 y 4 Ta có y ' 3x 3 0 x 1 y 1 Do giá trị cực đại của hàm số là yC Ð 4 . Câu 8. Phương án A sai, giá trị cực đại của hàm số có thể nhỏ hơn giá trị cực tiểu của hàm số. Phương án B sai, vì đây chỉ là điều kiện cần, tham khảo SGK Giải Tích 12 – Nâng Cao – trang 11. Phương án D sai, vì điều này chỉ đúng khi kèm thêm điều kiện f ' x0 0 . Ta chọn phương án C. Câu 9. Xét hàm số y 3x4 2 5x3 6x2 6 5x 7 , ta tính được y ' 12x3 6 5x2 12x 6 5 . Khi đó y ' 0 12x3 6 5x2 12x 6 5 0 5 6 2x 5 x2 1 0 x 2 5 Vận dụng bảng biến thiên ta suy ra hàm số đạt giá trị lớn nhất tại x . 2 5 Do đó khoảng cách từ cổng trường Đại học Y Dược TP. Hồ Chí Minh đến nhà bạn Trân là km . 2 5 1000 Suy ra thời gian Trân đi từ nhà đến trường là t 2 18,63 (phút) 60 Ta chọn phương án C. Câu 10. 5 Tập xác định D ¡ \ 3;  . 2 1 1 Ta tính được y ' x 5. 9. x 3 2x 5 Khi đó y ' x 0 x 2 . 5 Vận dụng bảng biến thiên ta suy ra hàm số đồng biến trên từng khoảng 3; và 2; . 2 Ta chọn phương án B. Câu 11. Gọi M x0 ; y0 là điểm cố định. Vì M là điểm cố định nên với mọi giá trị của m thì M vẫn thuộc Cm . x 8 x0 8 Chọn m 2 , suy ra C2 : y , hay y0 . 2 2x 1 2 2x0 1 x 12 x0 12 Chọn m 3 , suy ra C3 : y , hay y0 2 3x 1 2 3x0 1 Trang 9
10. Bộ đề tinh túy ôn thi THPT quốc gia môn ToánĐỀ 30 Do đó x 2 y 1 x0 8 x0 12 0 0 2 2x0 1 2 3x0 1 x0 2 y0 1 Ta chọn phương án D. Câu 12. Như ta đã biết “f x nghịch biến trên a;b f ' x 0,x a;b (dấu “=” chỉ xảy ra ở hữu hạn điểm)” Do đó, dùng chức năng tính đạo hàm tại một điểm của hàm số trong máy tính Casio – Vinacal ta thu được kết quả như sau: với phương án A: y ' 1 0 , với phương án B: y ' 2 0 và phương án C: y ' 1 0 . Ta loại cả ba phương án A, B, C. Ta chọn phương án D. Lưu ý rằng bài toán này vẫn có thể giải được theo phương pháp thông thường nhưng mất rất nhiều thời gian. Với một tí tinh ý cùng chiếc máy tính trong tay học sinh có thể xử lí câu này chỉ trong vài “nốt nhạc” Câu 13. Ta tính được 3x2 2x x2 1 x3 x2 4 .2x y ' x 2 x2 1 Khi đó x 0 y ' x 0 4 2 x 3x 6x 0 3 x 3x 6 0 x 0 x  1;1 x  1;1 x  1;1 Mặt khác y 0 4, y 1 3, y 1 2 . Vậy min y x y 1 2 . Ta chọn phương án C.  1;1 Câu 14*. Điều kiện xác định x 0, x 1 . Ta có 24x6 2x5 27x4 2x3 1997x2 2016 x4 24x2 2x 1 x2 26x2 2x 1 1996x2 2016 0,x ¡ 22 22 1 Mặt khác, đặt y log x và kết hợp với log x , ta được 3 3 log 22 x 3 Trang 10
11. Bộ đề tinh túy ôn thi THPT quốc gia môn ToánĐỀ 30 2y2 2y 5 2y2 4y 4 2 1 1 9 2y 2 2y. 2 2 2 2 2y 2. 2y. 2 2 2 2 2 1 3 2 2 2y 2y 2 2 2 2 1 3 Đặt a 2y ; ;b 2 2y; 2 2 2 Suy ra 1 3 a b 2 ; 2 2 2 2 2 1 3 a b 2 2 2 2 Ta có bất đẳng thức (bổ đề) sau a b a b . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a,b cùng hướng. Do đó 2 2 1 3 2 2 2y 2 2y 2 2 2 2 2 1 3 2y 2 2y 2 13 2 2 Suy ra 2y2 2y 5 13 2y2 4y 4 0 Đẳng thức xảy ra a,b cùng hướng 1 3 2y 2 2 1 0 2 2y 2 2y 2 2 3 2 2y 2 2y 2 3 2 3 2y 5 2y 4 2 4 y (nhận) 5 Từ đó ta được 2y2 2y 5 13 2y2 4y 4 24x6 2x5 27x4 2x3 1997x2 2016 0 Kết hợp đề suy ra Trang 11
12. Bộ đề tinh túy ôn thi THPT quốc gia môn ToánĐỀ 30 2y2 2y 5 13 2y2 4y 4 24x6 2x5 27x4 2x3 1997x2 2016 0 4 Nhận thấy y là nghiệm duy nhất. 5 Từ đó suy ra 22 4 4 22 4 22 log x 5 ln x 5 ln x 3 5 3 3 22 ln 5 22 4 22 ln ln x ln ln x 3 x e 4 3 5 3 4 5 Vậy giá trị tổng các nghiệm cần tìm là 5 22 ln e 4 3 12,1. Ta chọn phương án B. Câu 15. 2 Với logb c x 1 , ta suy ra 1 log c x2 1 log c 2x2 2 2 b b Với log b3 x , ta suy ra a2 1 3 4 . log b x log b x . 2 2 a a 3 x Với log a x , ta suy ra 3log a x log a . 3 c c c 3 Mặt khác ta có đẳng thức loga b.logb c.logc a 1 , do đó: 4 x 9 x. 2x2 2 . 1 x4 x2 0 3 3 8 2 2 22 x 4 2 22 x 2 22 4 x2 0 4 Vậy Q 1982 hoặc Q 1979 . Ta chọn phương án C. Câu 16. Trang 12
13. Bộ đề tinh túy ôn thi THPT quốc gia môn ToánĐỀ 30 x 0 x 1 x 0 8x2 12 0 3 1 x ln 2 x 2 3 Điều kiện 8x 12 0 x 1 2 ln 0 x 1 x x 0 x k ,k ¢ 4 sin x cos x 0 (vô lí). Vậy tập xác định của bất phương trình đã cho là D  . Ta chọn phương án D. Câu 17. Ta có 1 2 5x 1 50,2x 2 26  5x 26 5x 125 0 5 5x 5 x 1 1 x 5 125 x2 3 Do đó x1x2 3 . Ta chọn phương án A. x1 x2 Sai lầm thường gặp: Không tính đại lượng x1x2 mà tính 5 5 , ta sẽ chọn nhầm phương án C. Nhầm tổng và tích ta sẽ chọn nhầm B. Câu 18. Ta có f x xx , suy ra ln f x ln xx x ln x . f ' x Lấy đạo hàm hai vế ta được ln x 1 , hay f ' x f x ln x 1 xx ln x 1 f x Ta chọn phương án B. Sai lầm thường gặp: Dùng công thức a x ' a x ln a , suy ra xx ' xx ln x , ta sẽ chọn nhầm C. Không biết cách dùng công thức logarit nepe hai vế sẽ khó tìm được đáp án, ta sẽ chọn nhầm A hoặc ưu tiên chọn D! Câu 19. Vì a,b,c 0 và abc 1 nên áp dụng bất đẳng thức AM GM ta được a b c 33 abc 3 . Do đó a b c a b c 3 . Mặt khác ta có a b c 3 a3 b3 c3 6abc 3 ab2 bc2 ca2 3 a2b b2c c2a Trang 13
14. Bộ đề tinh túy ôn thi THPT quốc gia môn ToánĐỀ 30 (dễ dàng chứng minh bằng khai triển hằng đẳng thức). a b c a b c 3 Suy ra a3 b3 c3 6abc 3 ab2 bc2 ca2 3 a2b b2c c2a hay n a3 b3 c3 6abc a b cn Kết hợp với giả thiết đã cho ta được 2 2 2 2 2 2 3 ab bc ca 3 a b b c c a a b cm a b cn , với a b c 3 1 . Vậy m n . Ta chọn phương án B. Câu 20. Nhận thấy 10 e 5 1 3 ln11 . log 5 72 9 3 26 log11 2  nên a b . Ta chọn phương án A. Câu 21. Cách 1. Tính f ' x bằng công thức, sau đó tính giá trị f ' . 5 Cách 2. Dùng chức năng tính đạo hàm của máy tính Casio – Vinacal. Dễ dàng tính được f '' 0,2435 . Ta chọn phương án A. 5 Câu 22. 24 24 Điều kiện x 0 . Ta có y 24log x , suy ra y ' , do đó y '' 0 với mọi x 0 . Ta chọn 2 x ln 2 x2 ln 2 phương án A. Câu 23. Ta có công thức quen thuộc từ sách giáo khoa: b V f 2 x g 2 x dx . a Chỉ cần áp dụng công thức và dùng máy tính cầm tay, ta có thể nhanh chóng giải ra câu này. Ta có 2 2 2 2 V ex e x 2 dx e2x e4.e 2x dx 0 0 e4x e4 Vì f x e2x e4.e 2x , f x 0 với x 1 và f x 0 với x 1 nên e2x Trang 14
15. Bộ đề tinh túy ôn thi THPT quốc gia môn ToánĐỀ 30 1 2 V e 2x 4 e2x dx e2x e 2x 4 dx 0 1 1 2 e 2x 4 e2x e2x e 2x 4 2 2 0 1 e2 e2 e4 1 e4 1 e2 e2 2 2 2 e2 1 Ta chọn phương án B. Câu 24. Ta có 2 dx 2 dx 2 x I dx 1 5 3 1 3 2 1 4 2 x x x . x 1 x . x 1 1 Đặt t x2 1 , suy ra dt 2xdx dt xdx . 2 Đổi cận x 1 t 2, x 2 t 5 . 5 1 1 Suy ra I . dt . 2 2 2 t 1 .t 1 mt n k Ta cần tách tiếp về dạng để có thể lấy nguyên hàm được. Dễ dàng tìm được m,n,k t 1 2 .t t 1 2 t bằng phương pháp đồng nhất hệ số. Ta tìm được m 1,n 2,k 1 . 1 5 1 2 t I dt 2 2 2 t t 1 1 5 1 1 5 1 5 Suy ra ln x . ln t 1 2 2 2 t 1 2 2 2 1 5 1 1 1 1 5 3 ln . 1 ln 4 ln 2 2 2 4 2 2 8 8 1 3 5 Suy ra a ,b a 2b . 2 8 4 Ta chọn phương án B. Câu 25 Cách 1. Ta tính đạo hàm của từng hàm số trong các phương án A, B, C, D. Cách 2. Ta tính đạo hàm của hàm số trong phương án A. Nếu kết quả vừa tính được không trùng với q x , ta chọn ngay phương án A. Nếu kết quả vừa tính được trùng với q x , ta sẽ thực hiện quy trình sau: Trang 15
16. Bộ đề tinh túy ôn thi THPT quốc gia môn ToánĐỀ 30  Chẳng hạn với phương án B: Xác định xem tồn tại hay không hệ số m nguyên duy nhất sao cho 3x 4 3x2 1 2 2 3x 1 m x x 1 3x 4 với mọi x, hay m 2 . Ta dễ dàng thực hiện quy trình x x 1 này với sự hỗ trợ của Casio – Vinacal.  Thực hiện tương tự với phương án C và D cho đến khi “không tồn tại hệ số m nguyên duy nhất” thỏa mãn quy trình, và đó chính là đáp án của bài toán. 4x2 x Ta chọn phương án D, chính xác phải là . x2 x 1 Câu 26: Đáp án B. Ta có 1 1 ex .ex 1dx e2x 1dx e2x 1d 2x 1 e2x 1 C 2 2 Câu 27. Theo công thức tính diện tích hình phẳng, ta có cos x sin x cos x sin x 2 dx 2 dx 0 3 sin 2x 0 3 sin 2x cos x sin x 2 dx 0 2 4 sin x cos x Đặt sin x cos x 2sin t cos x sin x dx 2costdt Đổi cận x 0 t ; x t 6 2 6 Suy ra 6 2costdt 6 2cost 6 6 1 dt dt t Vậy cos cos . Ta chọn phương án A. 2 2 6 4 4sin t 6 2 cos t 6 6 3 3 2 Đây là một dạng toán khá mới lạ, là sự kết hợp của ứng dụng tích phân và lượng giác. Ngoài ra quý đọc giả có thể bấm máy tính cũng đi đến kết quả như tôi đã phân tích ở trên. Câu 28. 2 Đặt x 2 tan t dx 2 1 tan t dt,t ; 2 2 2 2 1 tan t 1 1 Suy ra I dt dt t C . 4 tan2 t 4 2 2 1 x Trả biến ta được I arctan C . 2 2 Ta chọn phương án D. Câu 29. 1 Ta có I exdx ex ln xdx I I x 1 2 Trang 16
17. Bộ đề tinh túy ôn thi THPT quốc gia môn ToánĐỀ 30 1 u ln x du dx Xét I ex ln xdx . Đặt x 2 x dv e dx x v e x 1 x x I2 e ln x e dx e ln x I1 x Suy ra I ex ln x C . Ta chọn phương án A. Câu 30. Ta có z 3 i 2 8 6i , suy ra 1 1 202 303 w z 8 6i i . z 8 6i 25 50 2 2 202 303 101 Do đó w . 25 50 10 Ta chọn phương án C. Câu 31. Gọi z a bi a,b ¡ , suy ra z 2i a b 2 i là số thực khi và chỉ khi a 0 a 0 z a 2i,a 0 b 2 0 b 2 Mặt khác, z i 1 1 a 1 i 1 a 1 2 1 1 a 1 2 0 a 1 (nhận) Vậy z 1 2i z 1 2i . Ta chọn phương án B. Câu 32. z1 2 i Cách 1: Bấm máy tính ta được . z2 2 i Cách 2: Xét phương trình z2 4z 5 0 . 2 Ta có ' 1 i , suy ra z1 2 i, z2 2 i . Suy ra 2011 2011 2011 2011 P z1 1 z2 1 1 i 1 i 1005 1005 1 i 1 i 2 1 i 1 i 2 1 i 2i 1005 1 i 2i 1005 21005 1 i i 21005 1 i i 21005 i 1 i 1 21006 Trang 17
18. Bộ đề tinh túy ôn thi THPT quốc gia môn ToánĐỀ 30 Ta chọn phương án D. Câu 33. Gọi z a bi a,b ¡ Ta có 2 3i z z i a 2 b 3 i a b 1 i Ta cần tìm z sao cho a2 b2 đạt giá trị nhỏ nhất. a 2 2 b 3 2 a2 b 1 2 a 2b 3 Ta có 2 2 2 2 2 6 9 9 a b 2b 3 b 5 b 5 5 5 Do đó 9 6 3 3 6 3 6 min a b b  a z i Vậy z i . Ta chọn phương án A. 5 5 5 5 5 5 5 Câu 34. Ta có log4 n 3 log2 n 9 3 n 3 2.log4 n 3 2log2 n 9 6 1 2. log n 3 log n 9 6 2 2 2 log2 n 3 n 9 6 n 3 n 9 64 n2 6n 27 64 0 n 7 n 13 Suy ra n 7 . Ta có 7 7 2 2 3i 7 7 7 z 3 i 2 cos isin 128 cos isin 64 3 64i 3 i 6 6 6 6 Ta chọn phương án B. Câu 35. Trang 18
19. Bộ đề tinh túy ôn thi THPT quốc gia môn ToánĐỀ 30 Vì AC AD BC BD AB a nên hai tam giác ACD và BCD lần lượt vuông cân tại A và B. Đây là một yếu tố mà đề bài muốn che giấu. a 2 Gọi I là trung điểm cạnh CD. Ta có AI BI , AB a nên tam giác ABI vuông cân tại I. Suy ra 2 AI  BI mà AI  CD nên AI  BCD . 1 1 a 2 1 a3 2 Vậy V AI.S . . a2 ABCD 3 BCD 3 2 2 12 Ta chọn phương án B. Sai lầm thường gặp. Không nhận ra hai tam giác ACD và BCD lần lượt vuông cân tại A và B nên việc xác định đường cao gặp khó khăn dẫn đến không tìm được thể tích hình chóp. Câu 36. Giả sử xét hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD và các mặt bên là các tam giác cân tại S, hình chiếu S lên mặt đáy trùng với giao điểm F của AC và BD. Vì tổng diện tích các mặt bên gấp đôi diện tích mặt đáy nên 4SSAB 2SABCD . 1 Hay 4. l.a 2a2 , suy ra l a (với l là độ dài đường cao AL của tam giác SAB) 2 Ta tính được độ dài đường cao a 3 SF SL2 LF 2 . 2 1 1 a 3 a3 3 Vậy S SF.S . .a2 . S.ABCD 3 ABCD 3 2 6 Ta chọn phương án A. Sai lầm thường gặp: Nhầm lẫn hình chóp tứ giác đều và hình chóp đều nên tính nhầm độ dài đường cao của hình chóp hoặc biến đổi nhầm hệ thức 4SSAB 2SABCD dẫn đến việc chọn đáp án B hay D. Câu 37. Ta có VMAB'C VB' AMC 3 3 1 3a2 (với S S . .2a2 ) AMC 4 ADC 4 2 4 1 3a2 a3 Do đó V . .a . MAB'C 3 4 4 Ta chọn phương án D. Sai lầm thường gặp. Không nhận ra VMAB'C VB' AMC để chọn đường cao ứng với đáy cho dễ dàng trong việc tính toán. Câu 38. Trang 19
20. Bộ đề tinh túy ôn thi THPT quốc gia môn ToánĐỀ 30 Vì thiết diện qua trục của hình trụ là một hình vuông nên đường cao h và bằng 2r (với r là bán kính) Do đó V r 2.2r 2 r3 . Lăng trụ đều nội tiếp trong hình trụ đã cho có đáy là hình vuông nội tiếp trong đường tròn đáy nên độ dài cạnh hình vuông bằng r 2 . Ta tính được thể tích của hình trụ nội tiếp trong hình trụ đã cho là: 2 V ' r 2 .2r 4r3 V ' 4r3 2 Vậy . Ta chọn phương án D. V 2 r3 V ' V Sai lầm thường gặp: Tính ngược tỉ số thành dẫn đến việc khoanh nhầm câu B. Tính nhầm độ dài V V ' cạnh hình vuông nối tiếp đường tròn đáy dẫn đến việc khoanh đáp án A hoặc C. Nguồn: Bài tập HÌNH HỌC – Nguyễn Mộng Hy (Chủ biên). Câu 39. Vì các mặt (SAD) và (SAB) vuông góc với đáy nên SA  ABCD . BC  SA Ta có BC  SAB BC  SB BC  AB · SBC ; ABCD S· BA 450 . Ta tính được SA 2a.tan 450 2a . Vì CD / / AB nên d AB;SC d AB; SCD d A; SCD . Để ý thấy CD  SAD hay CD  SD , kết hợp dựng AH  SD , suy ra CD  AH . Do đó AH  SCD . Do đó d AB;SC AH . 5 Ta có AH.SD SA.AD AH 2a 5 Ta chọn phương án D. Câu 40. Trang 20
21. Bộ đề tinh túy ôn thi THPT quốc gia môn ToánĐỀ 30 Vì S.ABC là hình chóp tam giác đều nên tâm O của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đó nằm trên đường cao SH, trong đó H là trọng tâm của tam giác đều ABC. Gọi I là trung điểm của cạnh SA. Ta có OI  SA . Khi đó hai tam giác vuông SIO và SHA đồng dạng. Từ SO SI SA đó ta suy ra . SA SH 2SH SA2 Do đó SO r (với r là bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp). 2SH 2 2 2 2 2 2 a 3 Để ý rằng SH SA AH b . 3 2 3b2 a2 1 Ta tính được SH 3b2 a2 . 3 3 SA2 b2 3b2 Vậy r 2 2 2 2SH 3b2 a2 2 3b a 3 Ta chọn phương án A. Câu 41. Trong mặt phẳng (ABC), qua A kẻ đường thẳng d song song với BC. Kẻ HI  d . Ta thấy AI  SHI . Trong tam giác vuông SHI kẻ HK  SI . Dễ thấy HK  SIA . Ta có d SA, BC d B, SIA 2d H, SIA 2HK . a 3 Ta tính được HI HA.sin 600 4 3 Dễ thấy SH HC.tan 600 a . 2 1 1 1 3a 13 Từ ta tính được HK . HK 2 SH 2 HI 2 26 3 13 Suy ra d SA, BC 2HK a . 13 Ta chọn phương án C. Trang 21
22. Bộ đề tinh túy ôn thi THPT quốc gia môn ToánĐỀ 30 Sai lầm thường gặp. Công đoạn khó khăn nhất bài này là tìm được đoạn HK từ đó dễ dàng tính được d SA, BC . Nhiều bạn thường tính được HK và vội vàng khoanh đáp án D. Câu 42. 2 Diện tích xung quanh của hình lăng trụ đã cho là Sxq 3ha 6a Suy ra h 2a . Thể tích khối lăng trụ là 1 3 3 V h.S 2a. a. a a3 . ABC 2 2 2 Ta chọn phương án A. Sai lầm thường gặp. 1 Nhầm lẫn S ha hay V h.S dẫn đến chọn nhầm đáp án là B hay D. xq 3 ABC Câu 43. Phương trình tham số của đường thẳng x 1 3t d : y 1 t t ¡ . z 2 2t Gọi D 1 3t;1 t;2 2t thuộc đường thẳng d và mặt phẳng (P). Do đó 1 3t 6 1 t 3 2 2t 2 0 suy ra t 1 nên D 2;2;4 . Ta chọn phương án D. Ta cũng có thể dùng máy tính bỏ túi dò các đáp án. Thế tọa độ điểm D vào phương trình đường thẳng d và phương trình mặt phẳng (P) và kiểm tra xem tọa độ nào thỏa cả hai phương trình. Câu 44. x 1 2t Phương trình tham số đường thẳng d đi qua điểm M và vuông góc với mặt phẳng là d : y 1 t z 2 2t Ta sẽ tìm hình chiếu H của điểm M trên mặt phẳng , khi đó H là trung điểm của MM ' , từ đó ta có thể dễ dàng tìm được tọa độ điểm M ' thông qua điểm H và M. Gọi điểm H 1 2t; 1 t;2 2t thuộc đường thẳng d và mặt phẳng . 19 29 10 20 Do đó 2 1 2t 1 t 2 2 2t 12 0 suy ra t nên H ; ; . 9 9 9 9 Vì H là trung điểm MM ' suy ra 67 29 58 M ' ; ; . Ta chọn phương án A. 9 9 9 Câu 45. Ta có M x; y; z P suy ra Trang 22
23. Bộ đề tinh túy ôn thi THPT quốc gia môn ToánĐỀ 30 3x y z 4 3x y z 2 3x y z 1 0 Ta chọn phương án C. 4 2 Dễ dàng nhận ra rằng 1 nên ta có thể chọn ngay được đáp án C. 2 Câu 46. Hình chiếu của điểm A 1; 1;2 lên các trục tọa độ Ox, Oy, Oz lần lượt là A1 1;0;0 , A2 0; 1;0 và A3 0;0;2 . Mặt phẳng Q đi qua ba điểm A1, A2 , A3 nên (Q) có phương trình theo đoạn chắn là: x y z Q : 1 hay Q : 2x 2y z 2 0 1 1 2 Ta chọn phương án B. Sai lầm thường gặp. Không nhớ hay nhầm lẫn phương trình đoạn chắn của mặt phẳng cắt các trục tọa độ. Câu 47. Gọi MM ' là đường vuông góc chung của hai đường thẳng đã cho với M d và M ' d ' .   MM '  m  Khi đó ta có  với m,n lần lượt là VTCP của hai đường thẳng d và d ' . MM '  n 2 x 2t 3 2 8 16 43 8 Ta tính được M ; ;1 và M ' ; ;1 . Phương trình đường thẳng a qua M, M ' là: a : y t 3 3 15 15 3 z 1 Ta chọn phương án C. Câu 48. Ta chọn phương án D. Vì có vô số mặt phẳng song song với đường thẳng AB. Câu 49. x y z 1 Phương trình mặt phẳng (ABC) là: 1 suy ra d d O, ABC . a b c 1 1 1 a2 b2 c2 1 1 1 9 Ta có 3 . a2 b2 c2 a2 b2 c2 1 1 1 Suy ra 3 . a2 b2 c2 1 Do đó d O, ABC . 3 Trang 23
24. Bộ đề tinh túy ôn thi THPT quốc gia môn ToánĐỀ 30 1 Vậy d lớn nhất bằng . Ta chọn phương án C. 3 Câu 50. Ta chọn phương án D. Sai lầm thường gặp. Ta cần phân biệt mặt cầu và khối cầu, phân biệt nửa đường tròn và đường tròn. Trang 24