Đề thi thử Trung học phổ thông quốc gia môn Toán - Đề số 6 (Kèm đáp án)

Nội dung text: Đề thi thử Trung học phổ thông quốc gia môn Toán - Đề số 6 (Kèm đáp án)

1. ĐỀ THI THỬ THPT CHUYÊN ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI MÔN TOÁN ( thời gian: 90 phút ) log x Câu 1: Tập xác định của hàm số f x là x2 2x 63 A. ; 7 B. C. 9;10 D. 0; 9; 1 Câu 2: Gọi x , x là điểm cực trị của hàm số y x3 x2 x 5 . Giá trị biểu thức 1 2 3 x2 1 x2 1 S 1 2 bằng x1 x2 A. 3B. 2C. 4D. 1 Câu 3: Tập hợp tất cả các điểm M trên mặt phẳng biểu diễn số phức z thoả mãn 1 i z 1 i z là: A. y 0 B. C. x y 0 D. x y 0 x 0 Câu 4: Để làm một hộp hình trụ có nắp, bằng tôn và có thể tích V 2 m3 , cần có ít nhất bao nhiêu mét vuông tôn? A. 2 m2 B. C. D. 4 m2 6 m2 8 m2 1 5i 2 Câu 5: Cho z 2 i . Môđun của z bằng 1 i A. 1B. C. 2D. 5 5 2 Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 với A 0; 3;0 , B 4;0;0 ,C 0;3;0 , B1 4;0;4 . Gọi M là trung điểm của A1B1 . Mặt phẳng (P) đi qua A, M và song song với BC1 cắt A1C1 tại N. Độ dài đoạn thẳng MN là 17 A. B. 3C. 4D. 2 3 2 2x 1 Câu 7: Tìm tất cả các điểm thuộc đồ thị hàm số y có khoảng cách đến trục hoành x 1 bằng 1 A. M 0; 1 , N 2;1 B. M 2;1 C. M 0; 1 , N 1; 1 D. M 0; 1 Trang 1
2. Câu 8: Khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị hàm số y x3 2x2 x 1 đến trục hoành là 23 1 1 A. B. C. D. 1 27 9 3 1 log x Câu 9: Tập hợp các nghiệm của bất phương trình 0,5 0 là 2 6 x 1 1 1 1 1 1 1 A. ; B. C. ; D. ; ;0 2 3 2 3 2 3 2 Câu 10: Thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi phép quay xung quanh trục Ox cuả hình phẳng giới hạn bởi các trục tọa độ và các đường y x 1, y 2 là: A. 9 B. C. D.1 6 15 12 Câu 11: Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a và AB' vuông góc với BC'. Thể tích của lăng trụ đã cho là a3 6 a3 6 a3 6 a3 6 A. B. C. D. 4 12 24 8 a Câu 12: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số a để phương trình 3x 3 x có 3x 3 x nghiệm duy nhất. A. a 0 B. C. 0 a D. 1 a 0 a ¡ Câu 13: Cho hàm số có bảng biến thiên dưới đây. Phát biểu nào là đúng? x -2 0 y ' + 0 - 0 + y 3 -1 A. Hàm số đạt cực tiểu tại x 1 và đạt cực đại tại x 3 . B. Giá trị cực đại của hàm số là -2. C. Giá trị cực tiểu của hàm số là 0. D. Hàm số đạt cực đại tại x 2 và đạt cực tiểu tại x 0 Trang 2
3. Câu 14: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có A 0;0;0 , B 1;0;0 , D 0;1;0 và A' 0;0;1 . Xét mặt phẳng (P) chứa CD’, gọi là góc giữa (P) và mặt phẳng BB 'C 'C . Giá trị nhỏ nhất của là A. 300 B. C. D. 450 600 900 Câu 15: Giá trị nhỏ nhất của hàm số f x x2 1 x ln x x2 1 trên đoạn  1;1 là A. 2 B. C. 2 1 D. 2 ln 1 2 2 ln 2 1 Câu 16: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 2x 1 m x 1 có nghiệm thuộc đoạn  1;0 3 3 A. m 1 B. C. m D. 1 m 2 1 m 2 2 3 Câu 17: Xét f z z 1 với z £ . Tính S f z0 f z0 , trong đó z0 1 i A. S 2 B. C. S D. 4 S 1 S 3 Câu 18: Cho số phức z thỏa mãn z3 4z 0 . Khi đó A. z 1;2 B. C. D. z 0 z 0;2 z 0;1 ax b Câu 19: Giá trị a, b để hàm số y có đồ thị như x 1 hình bên là A. a 1,b 2 B. a 1, b 2 C. a 1,b 2 D. a 1 ,b 2 x 2 1 x Câu 20: Tập nghiệm của bất phương trình 3 là 3 A. 0;2 B. C. 2; D. 2; 1 0; Câu 21: Cho hình trụ có hai đường tròn đáy là O; R và O '; R , chiều cao h 3R . Đoạn thẳng AB có hai đầu mút nằm trên hai đường tròn đáy của hình trụ sao cho góc hợp bởi AB và trục của hình trụ là 300 . Thể tích khối tứ diện ABOO’ là Trang 3
4. 3R3 3R3 R3 R3 A. B. C. D. 2 4 2 4 Câu 22: Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình sau có nghiệm x 4 x 2 12 m.3x 0 A. m 0 B. 0 m C.1 D. m 1 m 1 Câu 23: Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác vuông cân, AB AC a , góc giữa A’B và mặt đáy bằng 450 . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện BCC’A’ là: a a 2 a 3 A. B. C. D. a 2 2 2 Câu 24: Tập tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y x3 m 1 x2 3x 1 đồng biến trên khoảng ; là A. ; 24; B.  2;4 C. ; 2  4; D. 2;4 x 1 Câu 25: Tập nghiệm của bất phương trình t.etdt là 0 4 1 1 1 1 A. ; B. C. ; D. ; ; 2 2 2 2 ln2 x Câu 26: Cho hàm số f x . Tập nghiệm của phương trình f ' x 0 là x A. e2 ; 1 B. C. e2 D. e2 ;1 e;e2 x y 2 Câu 27: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hệ phương trình có 3 3 x y m nghiệm A. m 2 B. C.2 m 6D.4 m 0 m 64 Câu 28: Cho hàm số y f x xác định và liên tục trên ¡ , thỏa mãn 6 f x f x cos 2x,x ¡ . Khi đó f x dx bằng 6 Trang 4
5. 1 3 A. 2B. -2C. D. 2 4 Câu 29: Tìm tất cả các số phức z thỏa mãn z 2, z z z 0 A. z 1 3i B. z C.2 2i D.z 1 3i z 2 2i 1 1 Câu 30: Gọi x , x là các điểm cực trị của hàm số y x3 mx2 4x 10 . Giá trị lớn nhất 1 2 3 2 2 2 của biểu thức S x1 1 x2 9 là: A. 49B. 1C. 4D. Câu 31: Gọi S là diện tích mặt phẳng giới hạn bởi parabol y x2 2x 3 và đường thẳng y kx 1 với k là tham số thực. Tìm k để S nhỏ nhất. A. k 1 B. C. k D.2 k 1 k 2 Câu 32: Cho hàm số f x 4sin2 3x 1 . Tập giá trị của hàm số f ' x là: A.  12;12 B. C. 2;2 D.  4;4 0;4 Câu 33: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB 2a, AD a 3 , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng đáy bằng 30 .0 Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là: 8 a2 4 a2 A. B. C. 8 D.a2 4 a2 3 3 Câu 34: Một hộp bóng bàn hình trụ chứa được 5 quả bóng sao cho các quả bóng tiếp xúc với thành hộp và tiếp xúc với nhau, quả trên cùng tiếp xúc với nắp hộp. Tỉ lệ thể tích mà 5 quả bóng chiếm so với thể tích của hộp là: 2 1 3 4 A. B. C. D. 3 2 4 5 Câu 35: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y x4 m2 1 x2 1 có ba cực trị A. m 1 B. m ; 1  1; Trang 5
6. C. m 1;1 D. m 1 Câu 36: Cho hình nón tròn xoay N có đỉnh S và đáy là hình tròn tâm O bán kính r , đường cao SO h . Hãy tính chiều cao x của hình trụ có thể tích lớn nhất nội tiếp hình nón đã cho. 1 1 A. x h B. x h 2 3 2 3 C. x h D. x h 3 4 Câu 37: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho hình chóp S.ABC có S 2;2;6 , A 4;0;0 , B 4;4;0 ,C 0;4;0 . Thể tích khối chóp S.ABC là: A. 48B. 16C. 8D. 24 Câu 38: Một chiếc ly hình nón chứa đầy rượu. Người ta uống đi một phần rượu sao cho chiều cao phần rượu còn lại bằng một nửa chiều cao ban đầu. Số phần rượu được uống là: 7 1 3 2 A. B. C. D. 8 2 4 3 Câu 39: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A 4;4;0 , B 2;0;4 ,C 1;2; 1 . Khoảng cách từ C đến đường thẳng AB là: A. 3B. C. D. 2 2 3 2 13 Câu 40: Tháp Eiffel ở Pháp cao 300 m, được làm hoàn toàn bằng sắt và nặng khoảng 8000000 kg. Người ta làm một mô hình thu nhỏ của tháp với cùng chất liệu và cân nặng khoảng 1 kg. Hỏi chiều cao của mô hình là bao nhiêu? A. 1,5 mB. 2 mC. 0,5 mD. 3 m mx2 6 x 2 Câu 41: Tập hợp giá trị m để đồ thị hàm số y có tiệm cận đứng là x 2 7  7  A. ¡ \  B. C. ¡ D. ¡ \ 0  2  2  Câu 42: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng P : x y z 0 cắt mặt cầu S : x 1 2 y 2 2 z 2 2 4 theo một đường tròn có tọa độ tâm là: Trang 6
7. A. 1;1; 2 B. C. 1 ; 2;1 D. 2;1;1 1; 23 2x3 x Câu 43: Tìm hàm số F x thỏa mãn các điều kiện F ' x và F 0 1 x4 x2 1 A. F x x4 x2 1 x B. F x x4 x2 1 x 1 C. D.F x x4 x2 1 F x x4 x2 1 Câu 44: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng: x 4 y 1 z 5 x 2 y 3 z d : ,d : 1 3 1 2 2 1 3 1 Mặt cầu có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với cả hai đường thẳng d1 và d2 có phương trình là: A. x2 y2 z2 2x y z 0 B. x2 y2 z2 4 x 2y 2z 0 C. D.x2 y2 z2 4x 2y 2z 0 x2 y2 z2 x y z 0 Câu 45: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng P : 2x y 2z 5 0 và các điểm A 0;0;4 , B 2;0;0 . Mặt cầu S có bán kính nhỏ nhẩt, đi qua O, A, B và tiếp xúc với mặt phẳng (P) có tâm là: 19 19 A. I 1;2;2 B. I 1 C.; ;2 D. I 1; 2;2 I 1; ;2 4 4 x 1 y 2 z 1 Câu 46: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d : 1 3 1 2 x 3 3t và d2 : y 5 t . Mặt phẳng tọa độ Oxz cắt các đường thẳng d1,d2 lần lượt tại các điểm z 2t A, B. Diện tích tam giác OAB là A. 5B. 10C. 15D. 55 Câu 47: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có A 0;0;0 , B 2;0;0 ,C 0;2;0 , A1 0;0;m m 0 và A1C vuông góc với BC1 . Thể tích khối tứ diện A1CBC1 là: 4 8 A. B. C. 4D. 8 3 3 Trang 7
8. Câu 48: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình sin 2x mcos 2x 2msin x 2cos x có nghiệm thuộc đoạn 0; 4 2 2 2 2 A. 1;2 B. C. D.;2 0;1 0; 2 2 Câu 49: Mô đun của số phức z i2016 3i2017 là A. 2 5 B. 2C. 3D. 10 Câu 50: Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong y 1 x2 , y x2 1 là 8 10 A. S B. C. S 4D. S S 2 3 3 Đáp án 1-D 2-C 3-B 4-C 5-D 6-A 7-A 8-A 9-C 10-D 11-D 12-D 13-D 14-B 15-C 16-D 17-A 18-C 19-C 20-B 21-D 22-C 23-D 24-B 25-B 26-C 27-B 28-D 29-C 30-B 31-B 32-A 33-B 34-A 35-C 36-B 37-B 38-A 39-D 40-A 41-A 42-C 43-C 44-C 45-A 46-A 47-A 48-B 49-D 50-A LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Đáp án D x 0 x 0 Hàm số xác định 2 x 9 x 9 D 9; x 2x 63 0 x 7 Câu 2: Đáp án C ' 1 3 2 2 x1 x2 2 Ta có y ' x x x 5 x 2x 1 3 x1.x2 1 2 2 x1 1 x2 1 1 1 x1 x2 2 Suy ra S x1 x2 x1 x2 2 4 x1 x2 x1 x2 x1.x2 1 Trang 8
9. Câu 3: Đáp án B Đặt z x yi; x, y ¡ 1 i x yi 1 i x yi x y i 0 x y 0 Suy ra tập hợp điểm biểu diễn điểm M là đường thẳng x y 0 Câu 4: Đáp án C 2 Gọi r và h lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của hình trụ. Ta có V r 2h 2 h r 2 2 4 2 2 2 2 Diện tích tôn là S 2 r 2 2 r. 2 r 2 2 r 2 3 3 2 r 2 . . 6 r 2 r r r r r Câu 5: Đáp án D 1 5i 2 Ta có z 2 i 1 7i z 5 2 1 i Câu 6: Đáp án A xA 0   1 Ta có A B AB 4;3;0 4 x ;0 y ;4 z 4;3;0 y 3 A 0; 3;4 1 1 A1 A1 A1 A1 1 z A1 4 3   M 2; ;4 . Ta có B1C1 BC xC 4; yC 0; zC 4 4;3;0 2 1 1 1 xC 0 1 y 3 C 0;3;4 C1 1 z 4 C1 vtpt của (P) là n 1;4; 2 Khi đó: P :1 x 0 4 y 3 2 z 0 0 hay P : x 4 y 2z 12 0 x 0  Ta có: A1C1 0;6;0 6 0;1;0 A1C1 : y 3 t z 4 17 Ta có: P  A C N 0; 1;4 MN 1 1 2 Câu 7: Đáp án A Trang 9
10. 2a 1 Gọi M thuộc đồ thị hàm số, suy ra M a; ,a 1 a 1 2a 1 1 2a 1 a 1 a 2 M 2;1 Ta có d M ,Ox 1 1 a 1 2a 1 a 0 M 0; 1 1 a 1 Câu 8: Đáp án A x 1 Ta có y ' x3 2x2 x 1 ' 3x2 4x 1 y ' 0 3x2 4x 1 0 1 x 3 y" 1 2 0 1 23 Mặt khác y" 6 x 4 1 M ; là điểm cực đại của đồ thị hàm số y" 2 0 3 27 3 23 Suy ra d M ,Ox 27 Câu 9: Đáp án C x 0 1 1 x 0 x x 1 3 3 1 1 BPT 2 6 x 0 x S ; 3 1 1 2 3 x x 1 log0,5 x 0 log0,5 x 1 2 2 Câu 10: Đáp án D Phương trình hoành độ giao điểm x 1 2 x 5 . Vật thể tròn xoay được tạo thành bởi hình được tô đậm khi quay quanh trục hoành. 1 5 Ta có: V 22 02 dx 22 x 1 dx 12 0 1 Câu 11: Đáp án D Dựng hình hộp A’B’C’D’.ABCD khi đó AB’//DC’ và đáy ABCD là hình thoi cạnh a có BD a 3 . Do đó BC '  DC ' suy ra tam giác BC’D vuông cân tại C’ (vì BC ' DC ' h2 a2 ) Trang 10
11. BD a 3 a Do đó BC ' h BC '2 a2 2 2 2 a2 3 a a3 6 Thể tích của lăng trụ là: V S .h . ABC 4 2 8 (còn nhiều cách khác như gắn hệ trục .) Câu 12: Đáp án D x 1 PT a 3x 3 x 3x 3 x a 9 x 9 x t 9  a t t 2 at 1 0 * t PT ban đầu có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi PT (*) có 1 nghiệm dương. Lại thấy t1.t2 1 0 * luôn có hai nghiệm trái dấu, suy ra (*) luôn có 1 nghiệm dương Suy ra PT ban đầu luôn có nghiệm duy nhất với a ¡ . Câu 13: Đáp án D Câu 14: Đáp án B Góc nhỏ nhất bằng góc giữa CD’ và (BB’C’C) và bằng D· 'CC ' 450 Câu 15: Đáp án C Ta có f ' x x2 1 x ln x x2 1 ' ln x x2 1 f ' x 0 x 0 f 1 2 ln 2 1 Suy ra f 0 1 min f x f 1 f 1 2 ln 1 2  1;1 f 1 2 ln 2 1 Câu 16: Đáp án D 2x 1 Với x  1;0 PT m f x x 1 1 Ta có f ' x 0,x  1;0 f x nghịch biến trên đoạn  1;0 x 1 2 3 Suy ra min f x f 0 1,max f x f 1  1;0  1;0 2 3 PT ban đầu có nghiệm thuộc đoạn  1;0 min f x m max f x 1 m  1;0  1;0 2 Trang 11
12. Câu 17: Đáp án A 3 3 3 3 Ta có S z 1 z0 1 1 i 1 1 i 1 2 0 Câu 18: Đáp án C z 0 2 z 0 z 0 PT z z 4 0 z 2i z 0;2 2  z 4 z 2 z 2i Câu 19: Đáp án C Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy Đồ thị hàm số có TCĐ và TCN lần lượt là x 1, y 1 a 1 Đồ thị hàm số đi qua các điểm có tọa độ 2;0 , 0; 2 b 2 Câu 20: Đáp án B x 2 0 x 2 x 0 x 2 x 2 x BPT 1 1 x 0 x 2 x 2 S 2; x 2 x 2 3 3 x 2 x x 1 Câu 21: Đáp án D 1 R2 3 Ta có S R.R 3 AOO' 2 2 Gọi H là hình chiếu của A lên (O’), K là hình chiếu của B lên O’H 1 Ta có BH AH tan H· AB AH tan 300 3R. R O ' BH đều 3 2 2 R R 3 BK R 2 2 1 1 R 3 R2 3 R3 Thể tích khối tứ diện ABOO’ là: V BK.S . . 3 OAO' 3 2 2 4 Câu 22: Đáp án C x x x 4 t 4 3 3 m PT 2 m. 0  t 2 0 3 4 t Trang 12
13. t 2 2t m 0 t 2 2t m * PT ban đầu có nghiệm khi và chỉ khi PT (*) có ít nhất một nghiệm dương PT (*) là PT có hoành độ giao điểm đồ thị hàm số f t t 2 2t và đường thẳng y m như hình bên PT (*) có ít nhất 1 nghiệm dương khi và chỉ khi m 1 Câu 23: Đáp án D Ta có: BC a2 a2 a 2, BB ' B ' A a, A' B a2 a2 a 2 BC ' 2a2 a2 a 3 . Ta có BC '2 A' B2 A'C 2 A' BC ' vuông tại A’. Gọi I là trung điểm của BC’. Khi đó I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện BCC’A’ BC ' a 3 Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện BCC ' A' là: R 2 2 Cách 2: Trong bài toán này mặt cầu ngoại tiếp tứ diện BCC’A’ cũng chính là mặt cầu ngoại tiếp khối lăng trụ đứng. 2 2 2 2 h BC BB ' a 3 Tính nhanh: R Rd 2 2 2 2 Câu 24: Đáp án B 3 2 2 Ta có y ' x m 1 x 3x 1 ' 3x 2 m 1 x 3 Hàm số đồng biến trên ; khi và chỉ khi y ' 0 với x ; Suy ra ' y ' 0 m 1 2 9 0 2 m 4 m  2;4 Câu 25: Đáp án B du dt x x u t 2t t 2t x 1 2t t 2t x 1 2t x Đặt 1 t.e dt e e dt e e dv e2t dt 2t 0 0 0 v e 0 2 2 0 2 4 2 e2 x 1 1 e2 x 1 1 Suy ra BPT 2x 1 2x 1 0 2x 1 0 x S ; 4 4 4 4 2 2 Câu 26: Đáp án C Trang 13
14. x 0 x 0 2 2ln x ln x x 0 x 1 2 PT 2 2 ln x 0 x 1 2 S e ;1 2ln x ln x 0 x e x 2 ln x 2 x e d ln2 x Cách 2: dùng máy tính thử 2 dx x x e Câu 27: Đáp án B Ta có x y 2 x y 2 xy 4 x y 4 2 xy 4 Mặt khác 2 x y 2 xy x 1 x y 2 2 2 t 3 3 3 3 t Đặt x y t xy 2 ,t 2;4 x y x y 3y x y t 3t 2 2 2 2 3 3 3 3 t t 2 Suy ra x y m t 3t 2 m f t 6t 12t m 2 4 3 Ta có f ' t t 2 12t 12 0,t 2;4 f t đồng biến trên đoạn 4 2;4 f 2 f t f 4 Suy ra hệ PT đã cho có nghiệm khi và chỉ khi f 2 m f 4 2 m 64 Câu 28: Đáp án D 6 6 6 1 6 1 6 3 Ta có f x dx f x dx cos 2xdx cos 2xd 2x sin 2x 2 2 2 6 6 6 6 6 x ,t 6 6 6 6 Đặt t x dt dx f x dx f t dt x ,t 6 6 6 6 6 6 f t dt f x dx 6 6 Trang 14
15. 6 6 6 3 6 3 Suy ra f x dx f x dx 2 f x d f x dx 2 4 6 6 6 6 cos 2x 6 cos 2x 3 Cách 2: vì cos 2x cos 2x ta chọn f x dx 2 2 4 6 Câu 29: Đáp án C a2 b2 2 a2 b2 4 Đặt z a bi;a,b ¡ 2 2 2a 2 0 a bi a bi a b 0 a 1 z 1 3i b 3 Câu 30: Đáp án B Ta có y ' x2 mx 4 . Lại có ac 4 0 PT y ' 0 luôn có 2 nghiệm phân biệt. x1 x2 m Khi đó x1, x2 thỏa mãn x1.x2 4 2 2 2 2 2 2 2 Suy ra S x1 1 x2 9 x1.x2 9x1 x2 9 25 9x1 x2 2 2 2 2 2 2 2 Ta có 9x1 x2 2 9x1 .x2 2 9 4 24 25 9x1 x2 1 S 1 max S 1 Câu 31: Đáp án B PT hoành độ giao điểm là x2 2x 3 kx 1 x2 k 2 x 4 0 x1 x2 k 2 Ta có ac 4 0 PT trên luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn x1.x2 4 x2 3 2 x k 2 2 x2 Giả sử x1 x2 S x k 2 x 4 dx x 4x 3 2 x x1 1 1 3 3 k 2 2 2 1 2 2 k 2 x2 x1 x2 x1 4 x2 x1 x2 x1 x1 x2 x1.x2 x1 x2 4 3 2 3 2 2 2 1 2 k 2 2 k 2 8 x x 4x .x x x x .x x x 4 k 2 16 2 1 1 2 3 2 1 1 2 2 1 2 6 3 Trang 15
16. k 2 2 16 4 2 32 32 2 2 Ta có k 2 0 k 2 8 8 S min S k 2 0 k 2 3 3 6 3 3 Cách 2: thử từng đáp án và chọn đáp án cho diện tích nhỏ nhất. Câu 32: Đáp án A 2 Ta có f ' x 4sin 3x 1 ' 12sin 6 x 2 Ta có sin 6 x 2  1;1 12sin 6 x 2  12;12 f ' x  12;12 Câu 33: Đáp án B Gọi O là trung điểm của SC. Khi đó O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. 2 Ta có: AC 2a 2 a 3 a 7; 3 SA AD tan 300 a 3. a , 3 2 SC SA2 AC 2 a2 a 7 2a 2 SC Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là: R a 2 2 2 Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là: S 4 R2 4 a 2 8 a2 2 2 SA Cách 2: tính nhanh RC Rd a 2 2 Câu 34: Đáp án A Gọi r là bán kính của 1 quả bóng. Chiều cao của hình trụ là h 5.2r 10r 4 5. r 3 2 Tỉ lệ thể tích mà 5 quả bóng chiếm so với thể tích của hộp là: 3 r 2 .10r 3 Câu 35: Đáp án C 4 2 2 3 2 2 2 Ta có y ' x m 1 x 1 ' 4x 2 m 1 x 2x 2x m 1 Trang 16
17. Hàm số có ba cực trị khi và chỉ khi PT y ' 2x 2x2 m2 1 0 có ba nghiệm phân biệt Khi đó PT 2x2 m2 1 0 có hai nghiệm phân biệt x 0 1 m2 0 1 m 1 m 1;1 2 Chú ý: Hàm số y ax4 bx2 cx có 3 cực trị ab 0 m2 1 0 m 1;1 Câu 36: Đáp án B SO ' h x r ' Theo định lý Talet ta có 0 x h SO ' x h r 2 h x r Thể tích hình trụ là V r '2 x .x f x h2 Vì thể tích khối nón không đổi nên để phần thể tích phần không gian nằm phía trong (N) nhưng phía ngoài của (T) đạt giá trị nhỏ nhất thì thể tích hình trụ là lớn nhất. 2 r 2 Ta có f x x. h x h2 Cách 1: xét M x x h x 2 3 h x h x x 3 h x h x 2 2 4h Cách 2: ta có M x 4. . x 4 2 2 3 27 h x h Dấu bằng xảy ra x x 2 3 Câu 37: Đáp án B    1    Ta có SA 2; 2; 6 , SB 2;2; 6 , SC 2;2; 6 V SA;SB SC 16 S.ABC 6 Câu 38: Đáp án A Gọi h là chiều cao ban đầu; r và r’ là bán kính đường tròn mặt đáy rượu lức đầu và lức sau h 1 h r 2 1 r 2 . r ' r 1 1 Ta có 2 r ' . Tỉ lệ thể tích rượu lúc sau và lúc đầu là: 3 2 4 2 1 2 r h 2 r 2h r 8 3 Trang 17
18. 1 7 Số phần rượu đã được uống là 1 8 8 Câu 39: Đáp án D     AB; AC Ta có AB 6; 4;4 , AC 5; 2; 1 . Khi đó: d C; AB  13 AB Câu 40: Đáp án A m V S h h 3 h h S Ta có: 1 1 1 1 1 8000000 1 200 . Chú ý 1 k; 1 k 2 (tỷ số đồng m2 V2 S2h2 h2 h2 h2 S2 dạng) h Khi đó h 1 1,5m 2 200 Câu 41: Đáp án A Đồ thị hàm số có TCĐ khi và chỉ khi PT mx2 6 x 2 0 không có nghiệm x 2 2 7 7  Khi đó m 2 6 2 2 0 m m ¡ \  2 2  Câu 42: Đáp án C Mặt cầu (S) có tâm I 1;2;2 . VTPT của (P) là n 1;1;1 . Đường thẳng d đi qua I và vuông x 1 t góc với (P) là: d : y 2 t . Gọi J là tâm cần tìm. Khi đó I P  d J 2;1;1 z 2 t Câu 43: Đáp án C Đặt t x4 x2 1 t 2 x4 x2 1 2tdt 4x3 2x dx 2x3 x F x dx dt t C F x x4 x2 1 C 4 2 x x 1 Mặt khác F 0 1 1 C 1 C 0 F x x4 x2 1 Câu 44: Đáp án C Giả sử M 3t 4; t 1; 2t 5 , N s 2;3s 3;s và MN là đoạn vuông góc chung của d1,d2 . Trang 18
19.  Ta có: MN s 3t 2;3s t 4;s 2t 5 Các vtcp của d1,d2 lần lượt là: u1 3; 1; 2 ,u2 1;3;1  MN.u1 0 s 3t 2 .3 3s t 4 . 1 s 2t 5 . 2 0 s 1 Ta có:  s 3t 2 .1 3s t 4 .3 s 2t 5 .1 0 t 1 MN.u2 0 M 1;2; 3 , N 3;0;1 . Tâm I của mặt cầu cần tìm là trung điểm của MN I 2;1; 1 và MN 2 6 bán kính mặt cầu là R 6 2 2 Câu 45: Đáp án A Giả sử, phương trình mặt cầu là S : x a 2 y b 2 z c 2 R2 2 a2 b2 4 c R2 a 1 2 2 2 2 2 Vì A, B, O S nên 2 a b c R c 2 1; R 5;2 2 2 2 2 a b c R 2 b R 5 2 21 11 R 5 R Khi đó d I; P R R 4 . Vì R nhỏ nhất nên 3 R 3 R 3 I 1;2;2 Cách 2: thử 4 đáp án đề bài cho với IA IB IO d I, P R nhỏ nhất Câu 46: Đáp án A Ta có Oxz : y 0 . Khi đó d1  Oxz A 5;0; 5 ,d2  Oxz B 12;0;10   1   10 Khi đó OA 5;0; 5 ,OB 12;0;10 S . OA;OB 5 OAB 2 2 Câu 47: Đáp án A   Ta có: C1 0;2;m , A1C 0; 2;m , BC1 2;2;m   Vì A1C vuông góc với BC1 nên A1CBC1 0 0. 2 2 .2 m.m 0 m 2 (vì m 0 ) 1 Ta có: AC 2; AB 2; AA 2 V .2.2.2 4 1 ABC.A1B1C1 2 Trang 19
20. 1 4 Thể tích khối tứ diện A CBC là: V V 1 1 3 ABC.A1B1C1 3 Câu 48: Đáp án B PT m 2sin x cos 2x sin 2x 2cos x, x 0; 2sin x cos 2x 0 4 sin 2x 2cos x m 2sin x cos 2x sin 2x 2cos x Xét hàm số f x f ' x 2sin 3x 2 0,x 0; 2sin x cos 2x 4 Suy ra f(x) là hàm nghịch biến trên đoạn 2 2 0; f f x f 0 f x 2 4 4 2 2 2 2 2 Pt có nghiệm khi và chỉ khi m 2 m ;2 2 2 Câu 49: Đáp án D Ta có z i2016 3i2017 1 3i z 10 Câu 50: Đáp án A PT hoành độ giao điểm hai đồ thị là 1 x2 x2 1 x 1 1 8 Suy ra diện tích cần tính bằng S 1 x2 x2 1 dx 1 3 Trang 20