›
›
›

Đề thi minh học kì thi Trung học phổ thông quốc gia môn Toán Lớp 12 - Đề số 142 (Kèm đáp án)

doc 28 trang nhatle22 2360
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Đề thi minh học kì thi Trung học phổ thông quốc gia môn Toán Lớp 12 - Đề số 142 (Kèm đáp án)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docde_thi_minh_hoc_ki_thi_trung_hoc_pho_thong_quoc_gia_mon_toan.doc

Nội dung text: Đề thi minh học kì thi Trung học phổ thông quốc gia môn Toán Lớp 12 - Đề số 142 (Kèm đáp án)

  1. ĐỀ THI MINH HỌA KỲ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2017 Đề số 142 Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 90 phút Câu 1: Hàm số y ax4 bx2 c có đồ thị như hình bên. Trong các phát biểu sau nói về dấu của a, b, c phát biểu nào chính xác. A. B.a 0,b 0,c 0 a 0,b 0,c 0 C. a 0,b 0,c 0 D. a 0,b 0,c 0 Câu 2: Cho hàm số y f x có lim f x và lim f x . Khẳng định nào sau x 1 x 0 đây là khẳng định đúng? A. Đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận đứng. B. Đồ thị hàm số đã cho chỉ có đúng hai tiệm cận đứng. C. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận đứng là y 1 và y 0 D. Đường thẳng x 1 và x 0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho. Câu 3: Cho hàm số y f x xác định, liên tục trên ¡ \ 2 có bảng biến thiên như hình bên. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? x 3 2 1 y' 0 0 + y 0 2 A. Hàm số có giá trị cực đại bằng -3 B. Hàm số có điểm cực tiểu là 2. C. Hàm số nghịch biến trên 3; 2  2; 1 D. Hàm số đồng biến trên ; 3 và 1; Câu 4: Đạo hàm của hàm số y log2 x là 1 ln 2 1 1 A. B.y ' C. D. y ' y ' y ' x x x2 x ln 2 Câu 5: Trong các biểu thức sau, biểu thức nào không có nghĩa ? 1 3 2 A. B.3 C.2 D. 2 3 44 1,5 3 Trang 1
  2. Câu 6: Gọi S là diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x , trục hoành Ox và hai đường thẳng x a, x b a b . Khi đó S được tính theo công thức nào sau đây? b b b b A. B.S C. D.f x dx S f 2 x dx S f 2 x dx S f x dx a a a a Câu 7: Cho số phức z 2 5i . Khi đó phần ảo của số phức z là A. 2B. 5iC. 5D. -5 Câu 8: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật, AB 2a, BC a, SA a 3 và SA vuông góc với đáy (ABCD). Thể tích V của khối chóp S.ABCD bằng 2a3 3 a3 3 A. B.V C.2 aD.3 3 V V a3 3 V 3 3 Câu 9: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , mặt cầu (S) có phương trình x2 y2 z2 2x 4y 6z 2 0 . Khi đó (S) có A. tâm I 2;4; 6 và bán kính B.R tâm5 8 và bánI 2 ;kính 4;6 R 58 C. tâm I 1;2; 3 và bán kính D.R tâm4 và bánI 1 ;kính 2;3 R 4 x 1 y z 3 Câu 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng : . 1 2 4 Vectơ nào sau đây là một vectơ chỉ phương của ?     A. B.u1 C. 1D.;0 ;3 u2 1;2; 4 u3 1; 2;4 u4 1;0;3 Câu 11: Phương trình tiếp tuyến tại điểm M 1;4 cảu đồ thị hàm số y x3 2x 3 là: A. B.y C.x D. 3 y 5x 1 y x 5 y x 3 Câu 12: Hàm số y x4 2x2 8 có điểm cực tiểu là A. B.x C.0 và D. x và 1 x 1 x 1 x 2 x 2 x2 x 2 4 Câu 13: Giá trị lớn nhất của hàm số y trên đoạn  2;0 là x 1 3 A. -1B. 1C. 3D. Câu 14: Trong các phát biểu sau đây, phát biểu nào sai? A. Hàm số y f x đạt cực tiểu tại điểm x x0 khi và chỉ khi f ' x0 0 và f " x0 0 B. Đồ thị của một hàm đa thức y f x luôn cắt trục tung. C. Đồ thị hàm số bậc ba luôn cắt trục hoành tại ít nhất 1 điểm. 2x 2 2 D. Đồ thị hàm số y đi qua điểm M 2; x 1 3 Trang 2
  3. 2x 1 Câu 15: Đường thẳng y x 3 cắt đồ thị hàm số y tại bao nhiêu điểm phân biệt? x 1 A. 0B. 1C. 2D. 3 x Câu 16: Nghiệm của phương trình log3 2 7 2 là: A. B.x C.4 D. x 3 x log2 15 x 5 x 1 Câu 17: Tập nghiệm S của bất phương trình log 0 là: 6 x 1 A. B.S C. 1 D.; S ;1 S ; 1 S 1; Câu 18: Cho a, b, c là các số thực dương và a, b khác 1. Khẳng định nào sau đây sai? 1 A. B.log a b.logb a 1 loga c logc a logb c C. D.log a c loga c loga b.logb c logb a 3 x Câu 19: Hàm số y có tập xác định là D. Khi đó ln x 1 A. B.D C. 1D.;3  D 1;3 D 1;3 D 1;3 \ 2 Câu 20: Biết (C 1), (C2) ở hình bên là hai trong bốn đồ thị x x x 1 x 1 của các hàm số y 3 , y , y 5 , y . 2 3 Hỏi (C2) là đồ thị của hàm số nào sau đây ? x x 1 A. B.y 3 y 2 x x 1 C. D.y 5 y 3 Câu 21: Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số f x 3x2 2x 1 và F 1 2 . Trong các khẳng định sau, đâu là khẳng định đúng? A. B.F x 6x 4 F x x3 x2 x 1 C. D.F x x3 x2 x 1 F x x3 x2 x 2 1 2 Câu 22: Cho tích phân I 2x.ex dx . Giá trị cảu I là 0 A. B.I C.e D.1 I 1 e I e 1 I e 2 Trang 3
  4. 2 Câu 23: Biết ln xdx a ln 2 b với a,b ¤ . Khi đó tổng a b bằng 1 A. 1B. -1C. 2D. -2 Câu 24: Cho số phức z có phần ảo âm thỏa mãn điều kiện z2 2z 10 0 . Khi đó môđun của số phức w z 4 7i bằng bao nhiêu ? A. B.w C. 5 D. w 109 w 41 w 13 Câu 25: Biết M 1; 2 , N 2;5 lần lượt là hai điểm biểu diễn số phức z1, z2 trên mặt phẳng tọa độ phức Oxy. Khi đó môđun của số phức 2z1 z2 bằng: A. B.1 C.3 D. 17 3 2 89 10 Câu 26: Cho số phức z 1 3i . Khi đó số phức w iz có tổng phần ảo và phần thực là z A. 4B. -2C. 0D. 2 Câu 27: Cho hình chóp S.ABC có ABC tam giác đều cạnh a và SA vuông góc với đáy. Góc tạo bởi SB và mặt phẳng ( ABC) bằng 60 0 . Khi đó thể tích của khối chóp S.ABC được tính theo a là: a3 a3 3a3 a3 A. B. C. D. 12 8 4 4 Câu 28: Trong không gian, cho tam giác ABC vuông tại A, AB a và diện tích tam giác 2 ABC bằng 2a . Khi đó diện tích xung quanh Sxq của hình nón nhận được khi quay tam giác ABC xung quay trục AB là 2 2 2 2 A. B.Sx qC. D.2 5a Sxq 4 5a Sxq 2a Sxq 4 17a Câu 29: Một hình trụ có bán kính đáy bằng r và có thiết diện qua trục là một hình vuông. Khi đó diện tích toàn phần Stp của hình trụ đó là: 2 2 2 2 A. B.Stp C. 2D. r Stp 4 r Stp 6 r Stp 8 r Câu 30: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M 1;2; 3 và mặt phẳng P : x 2y 2z 3 0 . Khoảng cách từ điểm M tới mặt phẳng (P) có giá trị là: A. 1B. 2C. 3D. 4 x 1 y z 1 Câu 31: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , hai đường thẳng d : và 1 2 3 1 x 1 y 2 z 7 d : có vị trí tương đối là: 2 1 2 3 A. song songB. trùng nhauC. cắt nhauD. chéo nhau Trang 4
  5. Câu 32: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz . Gọi M là tọa độ giao điểm của đường thẳng x 2 y z 1 : và mặt phẳng P : x 2y 3z 2 0 . Khi đó tọa độ điểm M là 3 1 2 A. B.M C. 5; D. 1 ; 3 M 1;0;1 M 2;0; 1 M 1;1;1 4 2 Câu 33: Cho hàm số y 9x m 4 x m 1 có đồ thị (C). Biết m m0 là giá trị để đồ thị (C) có ba điểm cực trị tạo thành tam giác đều. Khi đó giá trị m0 gần với giá trị nào nhất trong các giá trị A. -4B. -1C. 2D. 5 Câu 34: Tìm tất cả các giá trị thực của m để phương trình x3 3x2 m 0 có ba ngiệm thực phân biệt ? A. B.m C.4 D. 0 m 4 m 2 m 0 3 2 Câu 35: Cho m loga ab với a,b 1 và P loga b 16logb a . Hỏi P đạt giá trị nhỏ nhất thì giá trị của m bằng bao nhiêu? A. B.m C.1 D. m 2 m 3 m 4 Câu 36: Vào đầu năm 2016 nhóm nghiên cứu thuộc Đại Học Central Missouri – Mỹ đã công bố số nguyên tố lớn nhất từ trước tới nay. Cụ thể số này là kết quả của phép tính 274207281 1 . Hỏi rằng, nếu viết trong hệ thập phân (hệ gồm mười chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ) thì số nguyên tố đó có bao nhiêu chữ số (làm tròn triệu) ? A. 20 triệu.B. 21 triệu .C. 22 triệu .D. 23 triệu. x 2 Câu 37: Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y và hai trục tọa độ là x 1 A. B.S C.2 D. 3 ln 3 S 2 ln 3 S 2 2ln 3 S 2 3ln 3 2 Câu 38: Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y , x y 0, x 1, x 4 quanh trục Ox là A. B.2 C.3 3D. 6 ln 2 Câu 39: Một vật đang chuyển động với vận tốc 5m/s thì tăng tốc với gia tốc a t t 2 t m / s2 . Khi đó quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 10s kể từ lúc bắt đầu tăng tốc là bao nhiêu mét? A. 1005 m.B. 1050 m.C. 1500 m.D. 500 m. Câu 40: Cho số phức z a bi với a,b ¡ . Trong các khẳng định sau, đâu là khẳng định sai? 1 z A. B.z z a2 vớib2 a2 b2 0 z a2 b2 Trang 5
  6. z 2b b ai z 1 a C. 1 với D.a2 b2 0 với i b 0 z a2 b2 z z 2 2b Câu 41: Cho số phức z thỏa mãn z 1 i 1. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn số phức w z 1 2i là một đường tròn có tâm I. Khi đó tọa độ điểm I trong mặt phẳng phức Oxy là A. B.I C.1; D. 2 I 1;2 I 2; 1 I 2;1 Câu 42: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA 2a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các đường thẳng SB và DC. Thể tích V của khối chóp A.BCNM bằng 3a3 3 9a3 3 8a3 3 8a3 3 A. B.V C. D. V V V 50 50 75 25 Câu 43: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy ABCD và SA a . Gọi E là trung điểm của CD. Mặt cầu đi qua bốn điểm S, A, B, E có điện tích Smc bằng 41 a2 25 a2 41 a2 25 a2 A. B.S C. D. S S S mc 8 mc 16 mc 16 mc 8 x 1 y 2 z 1 Câu 44: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , đường thẳng : song 2 1 1 song với mặt phẳng P : x y z m 0 . Khi đó điều kiện của m là A. B.m C.0 D. không tồn tại mm ¡ m 0 x 1 y z Câu 45: Trong không gian tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d : và hai điểm 2 1 2 A 2;1;0 , B 2;3;2 . Phương trình mặt cầu đi qua A, B và có tâm thuộc đường thẳng d là A. B. x 1 2 y 1 2 z 2 2 17 x 1 2 y 1 2 z 2 2 9 C. D. x 1 2 y 1 2 z 2 2 5 x 1 2 y 1 2 z 2 2 16 Câu 46: Một sợi dây kim loại dài 100 cm được cắt thành hai đoạn. Đoạn thứ nhất được uốn thành tam giác đều, đoạn thứ hai được uốn thành hình vuông (hình bên). Biết x 0là độ dài cạnh của tam giác đều (tính theo đơn vị cm) thỏa mãn tổng diện tích của tam giác và hình vuông là nhỏ nhất. Khi đó giá trị x0 gần giá trị nào nhất trong các giá trị sau? A. 18 .B. 19 .C. 20 .D. 21. Trang 6
  7. 3 2 Câu 47: Cho hàm số y x 3x 3mx 1 có đồ thị (C). Khi m m0 thì trên (C) tồn tại hai điểm phân biệt A, B mà tiếp tuyến với (C) tại A, B có cùng hệ số góc bằng 3 và các điểm O, A, B thẳng hàng (O là gốc tọa độ). Hỏi giá trị A. B. 4 ;C.6 D. 2;1 1;2 2;4 Câu 48: Cho hình chóp S.ABC , có tất cả các mặt bên tạo với đáy góc , hình chiếu của đỉnh thuộc miền trong tam giác ABC. Biết AB 3a, BC 4a và AC 5a . Khi đó thể tích V của khối chóp BC bằng bao nhiêu ? A. B.V C.2 aD.3 tan V 2a3 cos V 6a3 tan V 6a3 cot Câu 49: Người ta định làm một cái hộp kim loại hình trụ có thể tích V cho trước (như hình vẽ). Hỏi bán kính đáy r bằng bao nhiêu để chiếc hộp làm xong ít tốn kim loại nhất? V V A. B.r 3 r 3 2 3V V C. r 3 D. r 3 4 3 x 1 y z 2 Câu 50: Trong không gian Oxyz, cho điểm A 2; 2;0 và đường thẳng : . 1 3 1 Biết mặt phẳng (P) có phương trình ax by cz d 0 đi qua A , song song với và khoảng cách từ tới mặt phẳng (P) lớn nhất. Biết a, b là các số nguyên dương có ước chung lớn nhất bằng 1. Hỏi tổng a b c d bằng bao nhiêu? A. 3B. 0C. 1D. -1 Trang 7
  8. Đáp án 1-B 6-A 11-C 16-A 21-B 26-D 31-C 36-C 41-C 46-B 2-D 7-C 12-C 17-C 22-C 27-D 32-D 37-D 42-A 47-B 3-D 8-B 13-A 18-B 23-A 28-D 33-B 38-B 43-C 48-A 4-D 9-D 14-A 19-D 24-A 29-C 34-B 39-B 44-A 49-A 5-B 10-C 15-C 20-A 25-B 30-B 35-A 40-D 45-A 50-B CÂU HỎI THUỘC CẤP ĐỘ NHẬN BIẾT Câu 1: Phân tích : cách giải tổng quát các bài tìm dạng đồ thị Với bài toàn nhìn đồ thị tìm dạng của phương trình có các bước cơ bản sau: quan sát( dạng đồ thì,có mấy cực trị,cắt trục tung hoành như thế nào) Thứ nhất là dạng đồ thị: đồ thì có dạng đối xứng không ?? Nếu đối xứng thì qua tâm(hàm lẻ) hay qua trục tung( hàm chẵn) Thứ 2 : có mấy cực trị (biết có mấy cực trị để làm gì????) Nếu có n trực trị thì hàm số đã cho có bậc (n+1). Ngược lại nếu hàm số có bậc (n+1) thì y’ có số nghiệm tối đa là n thứ 3 nhìn xem khi x=- thì y=+/- ( để làm gì ) Để đánh giá xem a.x4 >0 hay 0 →a>0 x 3 2 +hàm số có 3 cực trị →y’=0 có 3 nghiệm ( sô nghiệm tối đa) →4ax +2bx=2x.(ax +b)=0 → có 3 nghiệm khi a,b trái dấu. mà a>0 →b<0 +trong bài toán này dấu của c không quan trọng Vậy đáp án là B Nhận xét : bài toán này khá đơn giản chỉ cần nhìn qua đồ thị ta có thể biết ngày dấu của a. Dấu của b ta cần xét đến đạo hàm( từ việc nhìn đồ thị để đánh giá số cực trị) Câu 2: Nhận xét : Đây là dạng bài toán dựa vao những dữ kiện có sẵn để đưa ra đáp án (→ những gì đề bài không cho ta không thể khẳng định nó đúng hay sai) Lời giải : Trang 8
  9. Chú ý : lim / x a  +ta cần nhớ rằng chỉ cần 1 trong 2 điều kiện là lim / thì x=a là tiệm cận đứng x a Tương tự tiệm cận ngang Như vậy với dữ kiện đã cho thì Đường thẳng x 1 và x 0 là tiệm cận đứng của đồ thị Ta không thể khẳng định hàm số chỉ có 2 tiệm cận đơn giản vì có thẻ đây chỉ là 2 trong số tiệm cân đứng Đáp án D Bình luận : cần nhớ “chú ý” trong lời giải Chỉ có thể kết luận những gì đề bài cho hoặc → từ đề bài Câu 3: + Phân tích: Nếu vội vàng rất dễ chọn nhầm đáp án vì đọc qua đáp án nào cũng đúng Tuy nhiên cần lắm rõ rằng cực đại hay cực tiểu chỉ xét trên 1 khoảng xác định liên tục Ví dụ như câu A : Hàm số có giá trị cực đại bằng -3 trên (-∞;-2) sai vì giá trị =0 Lời giải: Câu B sai hàm số có giá trị cưc tiểu=2 chứ không phải điểm Câu C sai dấu  Đáp án đúng câu D Bình luận : đọc kĩ phân tích đáp án. Nếu cảm thấy có 2 đáp án đúng trở nên cần xem nó có thiếu gì không. Câu 4: Nhận xét : với bài toán tính đạo hàm của 1 biểu thức lớn không có trong sgk Ta cần biến chúng thành những biểu thức nhỏ có thể tính được trong sgk không có công thức tính đạo hàm của hàm số dạng loga b do đó ta cần biến đổi bài giải : ln(x) ln(x) 1 1 1 y y ' ( )' . ( vì ta chỉ tính được (lnx)’) ln(2) ln(2) ln 2 x ln 2.(x) Đáp án D Phân tích : Trang 9
  10. Hãy đưa cái không biết thành nhiều cái đã biết Câu 5: Lời giải : bài toán đơn giản chi cần nhớ điều kiện khi số mũ là phân số thì cơ sô dương Đáp án B Câu 6: Nhận xét luôn nhớ rằng S luôn dương. Đây là công thức sgk. Có thể f(x) âm nằm dưới trục hoành do đó cần thêm dấu trị tuyệt đối để biến thành dương Đáp án D Câu 7: Lời giải :z 2 5i z 2 5i phần ảo là 5 Đáp án C Nhận xét: các bài số phức tương đối đơn giản chỉ cần nhớ 1 số khái niệm là có thể giả đa số dạng này. Tránh nhầm sang đáp án B Câu 8: a3 3 Lời giải : V=1/3.chiều cao.Sđáy=1/3.a3 .SABCD=1/3.a3 .2a.a=2. 3 Đáp án B Ghi nhớ: công thức hình chóp Câu 9 Lời giải : (S) x2 y2 z2 2x 4y 6z 2 0 (x 1)2 (y 2)2 (z 3)2 16 Chọn D Nhận xét với dạng toán thi trắc nghiệm ta có thể loại trừ luôn xi=1 Chọn luôn D Không cần các giá trị còn lại Câu 10: Nhận xét : nhớ rằng đường thẳng sẽ xác định được bởi 1 chỉ phương và 1 điểm đi qua Mặt phẳng sẽ được xác định bởi 1 pháp tuyến và 1 điểm đi qua ( dĩ nhiên có vô sô pháp tuyến thỏa mãn) Trang 10
  11. Bài giải n (1;-2;4) Véc tơ chỉ phương thỏa mãn điều kiện =k n Đáp án C thỏa mãn CÂU HỎI THUỘC CẤP ĐỘ THÔNG HIỂU Câu 11: Nhận xét : ở bài tập dạng tiếp tuyến này khá đa dạng tuy nhiên tất cả quy về tìm phương trinh đường thẳng trong các trường hợp sau: + đi qua 2 điểm +đi qua 1 điểm biết 1 chỉ phương +đi qua 1 điểm biết 1 pháp tuyến +đi qua 1 điểm và tạo với 1 đường thẳng 1 góc cho trước Ta cần khai thác đề bài để lựa chon trường hợp chính xác Bài giải gọi phương trình tiếp tuyến đi qua điểm M là: y-4=k(x+1) f (x) g(x) 2 đồ thị tiếp xúc với nhau khi (f(x)’=hệ số góc=k) f (x)' g(x)' 2 k=y’(-1)=3x -2=1 Vậy phương trình la:y-4=1.(x+1) Đáp án C Bình luận : ở bài toán này đã cho luôn tiếp xúc tại điêm M nên ta tính được ngay hệ số góc Câu 12: Lời giải : y x4 2x2 8 y ' 4x3 4x 4x(x 1)(x 1) Đến đây ta có 1 số hướng giải sau Cách 1: lập bảng biến thiên( khá dài trong giải toán trắc nghiệm) Cách 2 có 3 cực trị , lần lượt thay các giá trị x=-1;0;1 vào sẽ có 3 giá trị nếu lần lượt giá trị biến thiên theo 2 kiểu có thể là +đi lên rồi đi xuống tức là có 2 cực tiêu( đầu và cuối) ,1 cực đại +Đi xuống rồi đi lên có 2 cực đại (đầu và cuối) Cách 3 ta thấy ngay lim → ban đầu đồ thị đi xuống thì giá trị đầu tiên ( ở đây là x=-1 x là cực tiểu) →x=0 là cực đại tiếp theo →x=1 là cực tiểu tiếp theo Trang 11
  12. Đáp Án C Cách 4 tính đạo hàm bậc 2 Câu 13: Lời giải : x2 x 2 (2x 1)(x 1) (x2 x 2) x2 2x 3 Cách giải thông thường y y ' 0 x 1 (x 1)2 (x 1)2 Suy ra y’=0 ↔ x=3/x=-1 Xét trên đoạn  2;0 chỉ lấy -1 Đến đây ta lập bảng x 2 1 0 y ' 0 vậy max=-1 y 4 / 3 1 2 Đáp án A Ngoài ra có cách 2 Vì đây là giải trắc nghiệm đã biết 4 đáp án ta thử lần lượt các giá trị y=-1;1;3;4/3 vào và giải x Và x thỏa mãn điều kiên sau x∈ nếu 2; 0x thỏa mãn sẽ tương ứng với y Nhận xét tùy thuộc vào khả năng bấm may hoàn toàn có thể giải theo cách 2 Câu 14: Lời giải câu A sai vì đây không phải phát biểu 2 chiều vì x=x o đại cực tiểu tuy nhiên f’ hay f” có thể không xác định Câu B đúng ( chú ý đa thức) Câu C đúng ví dụ xét dạng tổng quát y= ax3+bx2+cx+d Nếu a>0 thì lim và lim mà hàm bậc 3 liên tục trên R x x Do đó sẽ luôn cắt trục tung Nếu a<0 tương tự +Đơn giản hơn là cắt trục tung tại điểm (0,d) Câu D thay điểm vao thỏa mãn. Câu 15: Lời giải : Đơn giản là ta chỉ viêc cho 2 phương trình băng nhau giải nghiệm thỏa mãn điều kiên 2x 1 Trong bài nay x+3= điều kiện là x≠1 x 1 Trang 12
  13. Nghiệm là x=+-2 Vây 2điểm Đáp án C x Câu 16: Nghiệm của phương trình log3 2 7 2 là: A. x 4 B. x 3 C. x log2 15 D. x 5 Lời giải : x x Cách 1 log3 2 7 2 2 7 9 x log2 16 Cách 2 giải trắc nghiệm Thay vào và bấm máy Đáp án A x 1 Câu 17: Tập nghiệm S của bất phương trình log 0 là: 6 x 1 A. S 1; B. S ;1 C. S ; 1 D. S 1; x 1 x 1 2 log 0 1 0 Lời giải 6 x 1 x 1 x 1 Đáp án C Câu 18: Cho a, b, c là các số thực dương và a, b khác 1. Khẳng định nào sau đây sai? 1 A. loga b.logb a 1 B. loga c logc a logb c C. loga c D. loga c loga b.logb c logb a Nhận xét : bạn nhìn qua đáp án nào cũng đúng phải không tuy nhiên hãy chú ý điều kiện là mẫu số khác không A,b≠1 thì log x a 0;log x b 0 Tuy nhiên c không có điều kiện ≠1 do đó c=1 thì →lo gBa csai 0 Phân tích: hãy luôn để ý răng mẫu phải khác 0 Tránh bị lừa như trong trường hợp này 3 x Câu 19: Hàm số y có tập xác định là D. Khi đó ln x 1 Trang 13
  14. A. D 1;3 B. D 1;3 C. D 1;3 D. D 1;3 \ 2 3 x 0 x 3 Giải điều kiện x 1 0 x 1 ln(x 1) 0 x 1 1 x 2 đáp án D Câu 20: Biết (C 1), (C2) ở hình bên là hai trong bốn đồ thị x x x 1 x 1 của các hàm số y 3 , y , y 5 , y . 2 3 Hỏi (C2) là đồ thị của hàm số nào sau đây ? x x 1 A. y 3 B. y 2 x x 1 C. y 5 D. y 3 Lời giải nhìn trên 2 đồ thị ta thấy ngay với mỗi điểm x ta có giá tri y lớn hơn x x →ax thì a>1 ở đây có y 3 , y 5x x Mà tại x=1 thì yc1>yc2 →C2 là y 3 Đáp án A Câu 21: Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số f x 3x2 2x 1 và F 1 2 . Trong các khẳng định sau, đâu là khẳng định đúng? A. F x 6x 4 B. F x x3 x2 x 1 C. F x x3 x2 x 1 D. F x x3 x2 x 2 Lời giải F x x3 x2 x C Mà F(1)=2 suy ra B thỏa mãn 1 2 Câu 22: Cho tích phân I 2x.ex dx . Giá trị của I là 0 A. I e 1 B. I 1 e C. I e 1 D. I e 2 Lời giải : Trang 14
  15. 1 1 2 1 I 2x.ex dx et dt (t=x2) et e 1 0 0 0 Đáp án C 2 Câu 23: Biết ln xdx a ln 2 b với a,b R . Khi đó tổng a b bằng 1 A. 1 B. -1 C. 2 D. -2 Giải : Ta chỉ cần tính tích phân của biểu thức và thay a,b vào 2 2 2 2 2 x ln xdx ln(x).x xd ln x ln(x).x dx 2ln 2 1 1 1 1 1 1 x →a+b=1 Đáp án A Câu 24: Cho số phức z có phần ảo âm thỏa mãn điều kiện z2 2z 10 0 . Khi đó môđun của số phức w z 4 7i bằng bao nhiêu ? A. w 5 B. w 109 C. w 41 D. w 13 Lời giải ở bài toán này : giải phương trình z2 2z 10 0 có z2 2z 10 0 z2 2z 1 9 (3i)2 (z 1)2 z 1 3i z 1 3i vì phần ảo âm w=-3+4i w 9 16 5 z 1 3i đáp án A nhận xét : bài toán không khó. Câu 25: Biết M 1; 2 , N 2;5 lần lượt là hai điểm biểu diễn số phức z1, z2 trên mặt phẳng tọa độ phức Oxy. Khi đó môđun của số phức 2z1 z2 bằng: A. 13 B. 17 C. 3 2 D. 89 Lời giải Tổng quát A(x;y) biểu diễn số phức z thì z=x+yi Trang 15
  16. z1 1 2i z 2z1 z2 4 i → z2 2 5i z 17 Đáp án B Bình luân : ghi nhớ cách biểu diễn sô phức 10 Câu 26: Cho số phức z 1 3i . Khi đó số phức w iz có tổng phần ảo và phần thực là z A. 4 B. -2 C. 0 D. 2 Lời giải : 10 10 10(1 3i) w iz i(1 3i) i 3 i 3 1 3i 4i 2 z 1 3i (1 3i)(1 3i) Tổng phần thực và ảo là 2 Đáp án D Nhận xét ở bài này không có cách giải nào ngoài tính củ thể giá trị của w Câu 27: Cho hình chóp S.ABC có ABC tam giác đều cạnh a và SA vuông góc với đáy. Góc tạo bởi SB và mặt phẳng ( ABC) bằng 60 0 . Khi đó thể tích của khối chóp S.ABC được tính theo a là: a3 a3 3a3 a3 A. B. C. D. 12 8 4 4 Lời giải VsABC=1/3.chieucao.Sday=1/3. SA.Sabc Goc SB với ABC là góc SBA vì SA ∟ (ABC) →SBA=60 SA=AB.tagSBA=a.tag60=a 3 Vậy V=1/3.a3 Sabc=(1/3).a3 .a2(3 /4)=a3/4 Đáp án D Câu 28: Trong không gian, cho tam giác ABC vuông tại A, AB a và diện tích tam giác 2 ABC bằng 2a . Khi đó diện tích xung quanh Sxq của hình nón nhận được khi quay tam giác ABC xung quay trục AB là 2 2 2 2 A. Sxq 2 5a B. Sxq 4 5a C. Sxq 2a D. Sxq 4 17a Bài giải : 2 Công thức Sxq=π.BC.AC= 4 17a Trang 16
  17. Đáp án D Bình luận nhớ công thứ sgk về diện tích xung quanh của hình nón Câu 29: Một hình trụ có bán kính đáy bằng r và có thiết diện qua trục là một hình vuông. Khi đó diện tích toàn phần Stp của hình trụ đó là: 2 2 2 2 A. Stp 2 r B. Stp 4 r C. Stp 6 r D. Stp 8 r Bài giải : diện tích toàn phần bằng diện tích xung quanh + diện tích 2 đáy Như bài trên ta đã biết công thức tính diện tích xung quanh 2 r 2 Diện tích 1 đáy chính là điện tích hình tròn bán kính r=πr2 2 Vậy diện tích toàn phần là : Sxq+S2 đáy=4 πr Nhận xét : chú ý hình trụ 2 đáy Tránh bỏ sót chỉ tính 1 đáy Câu 30: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M 1;2; 3 và mặt phẳng P : x 2y 2z 3 0 . Khoảng cách từ điểm M tới mặt phẳng (P) có giá trị là: A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Bài giải: Công thức tính khoảng cách từ điểm M đến (P) là 1.1 2.2 3.2 3 2 12 22 22 Đáp án B x 1 y z 1 Câu 31: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , hai đường thẳng d : và 1 2 3 1 x 1 y 2 z 7 d : có vị trí tương đối là: 2 1 2 3 A. song song B. trùng nhau C. cắt nhau D. chéo nhau Phân tích : 2 đường thẳng trong không gian có 3 trường hợp xảy ra: +cắt nhau tại 1 điểm +trùng nhau ( vô số điểm) chéo nhau +không cắt nhau ( 0điểm )có 2 khả năng song song Trang 17
  18. Do đó để giải dang toán này ta có cách giải nghiệm của phương trình d1=d2 x 2t 1 x 1 y z 1 t y 3t Bài giải : 2 3 1 z t 1 Thay vào d2 ta có x 1 y 2 z 7 2t 1 1 3t 2 t 1 7 3t 2 t 8 2t 2 1 2 3 1 2 3 2 3 T=2→có 1 nghiệm 2 3 1 Mà → cắt tại 1 điểm 1 2 3 Đáp án C Bình luận thực chất giải bài toán dạng này là tìm nghiệm( chính là giao điểm của 2 phương trình) Câu 32: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz . Gọi M là tọa độ giao điểm của đường thẳng x 2 y z 1 : và mặt phẳng P : x 2y 3z 2 0 . Khi đó tọa độ điểm M là 3 1 2 A. M 5; 1; 3 B. M 1;0;1 C. M 2;0; 1 D. M 1;1;1 x 2 y z 1 : t 3 1 2 x 3t 2 1 Giải x 3t 2 thay vao (P): -7t+7=1 suy ra t=1 y t 1 y t z 2t 1 1 z 2t 1 Đáp án D CÂU HỎI THUỘC CẤP ĐỘ VẬN DỤNG 4 2 Câu 33: Cho hàm số y 9x m 4 x m 1 có đồ thị (C). Biết m m0 là giá trị để đồ thị (C) có ba điểm cực trị tạo thành tam giác đều. Khi đó giá trị m0 gần với giá trị nào nhất trong các giá trị A. -4 B. -1 C. 2 D. 5 y 9x4 m 4 x2 m 1 y ' 36x4 2(m 4)x x 0 Giải : y ' 0 4 m x / 18 Trang 18
  19. Điều kiện m m.(4-m)>0 0<m<4 Đáp án B Trang 19
  20. Lời bình : nếu như phương trình bậc 2, hay bậc 4 trùng phương ta có thể dễ dàng dùng denta để tìm điều nghiệm phân biệt 3 2 Câu 35: Cho m loga ab với a,b 1 và P loga b 16logb a . Hỏi P đạt giá trị nhỏ nhất thì giá trị của m bằng bao nhiêu? A. m 1 B. m 2 C. m 3 D. m 4 2 2 Phân tích thấy ngay P loga b 16logb a t 16 / t f (t) với loga b t 16 2(t 2)(t 2 2t 4) Quy về bài toán tìm min hàm so f(t) cóf (x)' 2t 0 t 2 t 2 T=2. Lập bảng biến thiên Min f(x)=f(2) 2 3 3 2 Lời giải : ta có loga b 2 a b thay vào m ta được m loga ab loga a.a 1 Đáp án A Bình luận: trước hết ta phải xác định P min khi nào từ đó tính m Câu 36: Vào đầu năm 2016 nhóm nghiên cứu thuộc Đại Học Central Missouri – Mỹ đã công bố số nguyên tố lớn nhất từ trước tới nay. Cụ thể số này là kết quả của phép tính 274207281 . Hỏi rằng, nếu viết trong hệ thập phân (hệ gồm mười chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ) thì số nguyên tố đó có bao nhiêu chữ số (làm tròn triệu) ? A. 20 triệu. B. 21 triệu . C. 22 triệu . D. 23 triệu. Phân tích: nhìn qua bài toán nhiều bạn sẽ thấy khó, không có phương hướng Tuy nhiên nếu phân tích kỹ cùng với kiến thức liên quan đến số mu ta hoàn toán có thể tìm ra lời giải Nguyên tắc để tìm xem số này có bao nhiêu chữ sô ta cần đưa về dạng= 10x ( có x chữ số) Tuy nhiên ở đây là 2x Vì vây buộc ta phải kệp giữa các sô mũ của 10 Lời giải: ta có như sau 1022300000 (103 )7420728 10247420728 (210 )7420728 274207280 274207281 1 274207281 (29.24 )5708254 (54.24 )5708254 1022900000 Vậy có 22 triệu sô Đáp án C x 2 Câu 37: Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y và hai trục tọa độ là x 1 A. S 2 3ln 3 B. S 2 ln 3 C. S 2 2ln 3 D. S 2 3ln 3 Trang 20
  21. x 2 Ta có y 0 x 2 x 1 2 x 2 Lời giải S= dx =-2+3ln3 0 x 1 Đáp án D 2 Câu 38: Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y , x y 0, x 1, x 4 quanh trục Ox là A. 2 B. 3 C. 3 D. 6 ln 2 4 4 4 4 Lời giải V(khối tròn xoay)= . ( )dx . . ( 1 4) 3 2 1 1 x x Đáp án B Câu 39: Một vật đang chuyển động với vận tốc 5m/s thì tăng tốc với gia tốc a t t 2 t m / s2 . Khi đó quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 10s kể từ lúc bắt đầu tăng tốc là bao nhiêu mét? A. 1005 m. B. 1050 m. C. 1500 m. D. 500 m. a t t 2 t m / s2 2 Lời giải v(t) a(t)dx t tdt F(t) C v(t) t3 / 3 t 2 / 2 C Tại t=0 thì v=5 suy ra C=5 t 2 10 s(t) v(t) (t3 / 3 t 2 / 2 5) 1050m t1 0 Đáp Án B Câu 40: Cho số phức z a bi với a,b R . Trong các khẳng định sau, đâu là khẳng định sai? 1 z A. z z a2 b2 B. với a2 b2 0 z a2 b2 z 2b b ai z 1 a C. 1 với a2 b2 0 D. i với b 0 z a2 b2 z z 2 2b Lời giải : A đúng (công thức tính modun) B đúng vì z.z (a bi)(a bi) a2 b2 Trang 21
  22. z (a bi)2 a2 2abi b2 2b b ai C đúng vì 1 z a2 b2 a2 b2 a2 b2 z a bi (a bi)2bi 1 a D sai vì i z z 2bi 4b2 2 2b Câu 41: Cho số phức z thỏa mãn z 1 i 1. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn số phức w z 1 2i là một đường tròn có tâm I. Khi đó tọa độ điểm I trong mặt phẳng phức Oxy là A. I 1; 2 B. I 1;2 C. I 2; 1 D. I 2;1 Lời giải đặt z=a+bi z 1 i 1 a bi 1 i 1 (a 1)2 (b 1)2 1(*) Đến đây thay z vao w ta được w z 1 2i a bi 1 2i (a 1) ( b 2)i =x+yi Với a-1=x ; -b-2=y Do đó đường biểu diễn w là hình biểu diễn mối liên quan giữa x,y Thay a=x+1 ;b=-2-y vào(*) 2 2 2 2 Ta có (x+2) +(-1-y) =1 hay (x+2) +(1+y) =1 Vay tọa độ là I(-2;-1) Đáp án C Câu 42: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA 2a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các đường thẳng SB và SC. Thể tích V của khối chóp A.BCNM bằng 3a3 3 9a3 3 8a3 3 8a3 3 A. V B. V C. V D. V 50 50 75 25 Phân tích : ở bài toán này ta thấy việc tính trực tiếp V A.BCMN qua đường cao kẻ từ A xuồng mp( BCMN) là khá khó Do đó ta sẽ tính gián tiếp qua chóp S.ABC Lời giải: Xét tam giác SAC vuông tai A SA=2a; AC=a, AN vuông góc SC →SC=5 a. NC=a/5 tỉ số NC/SC=1/5 Tương tự MB/SB=1/5 Ta nhận 2 chóp SABC và A.MNBC có chung đường cao kẻ từ A do đó Tỉ lệ thể tích bằng tỉ lệ S (đáy) Trang 22
  23. S(SBC) SB SC S(SBC) Ta có . 16 / 25 9 / 25 S(SMN) MS NS S(BCMN) 2 3 Mà V(S.ABC)=1/3.SA.SABC=1/3.2a.a .3 /4=3 /6.a Vậy V(A.MNBC)=33 /50a3 Đáp án A Câu 43: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy ABCD và SA a . Gọi E là trung điểm của CD. Mặt cầu đi qua bốn điểm S, A, B, E có điện tích Smc bằng 41 a2 25 a2 41 a2 25 a2 A. S B. S C. S D. S mc 8 mc 16 mc 16 mc 8 Phân tích : để tính được Smc ta phải xác định bán kính Muốn xác định bán kính trước hết tìm tâm của mặt cầu Bài giải: tâm của mặt cầu đi qua 4 diểm A,B,E,S là giao điểm của đường trung trực của SA và đườg thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABE Gọi I là trung điểm của AB M là trung điểm của AE Từ đó sẽ xác định được tâm ngoại tiếp ABE điểm K IK=3/8a Qua K kẻ Kx//SA Trung trực của SA cắt Kx tại N thì N chính là tâm hình cầu NAlàbánkinh R= NA NK 2 KA2 SA2 KA2 SA2 AI 2 KI 2 (a)2 (a / 2)2 (1a / 2)2 41 a 64 2 Vậy Smc=4πR =C Đáp án C x 1 y 2 z 1 Câu 44: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , đường thẳng : song 2 1 1 song với mặt phẳng P : x y z m 0 . Khi đó điều kiện của m là A. m 0 B. ∆ m C. m 0 D. không tồn tại m Lời giải : ta có : n(2;1; 2) ( chỉ phương) (P) có pháp tuyến v (1;1;-1) . mà v .n=0. →∆//P hoặc trùng P Trang 23
  24. x 2t 1 Để ∆//P khi không có điểm chung ↔ y t 2 vô nghiệm ↔m≠0 z t 1 x y z m 0 Đáp Án A x 1 y z Câu 45: Trong không gian tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d : và hai điểm 2 1 2 A 2;1;0 , B 2;3;2 . Phương trình mặt cầu đi qua A, B và có tâm thuộc đường thẳng d là A. x 1 2 y 1 2 z 2 2 17 B. x 1 2 y 1 2 z 2 2 9 C. x 1 2 y 1 2 z 2 2 5 D. x 1 2 y 1 2 z 2 2 16 Lời giải: tâm của mặt cầu I là giao điểm của mặt phẳng trung trực của AB và d  BA (4; 2; 2) Ta có mặt phăng trung trực của AB là có chỉ phương và đi qua trung điểm M(0;2;1) của AB là 2(x-0)-(y-2)-(z-1)=0 hay 2x-y-z+3=0 x 1 y z t cắt tại điểm thảo mãn hệ 2 1 2 giai t=-1 thì (x;y;z)=(-1;-1;2) 2x y z 3 0 vậy đáp an A CÂU HỎI THUỘC CẤP ĐỘ VẬN DỤNG CAO Câu 46: Một sợi dây kim loại dài 100 cm được cắt thành hai đoạn. Đoạn thứ nhất được uốn thành tam giác đều, đoạn thứ hai được uốn thành hình vuông (hình bên). Biết x 0là độ dài cạnh của tam giác đều (tính theo đơn vị cm) thỏa mãn tổng diện tích của tam giác và hình vuông là nhỏ nhất. Khi đó giá trị x0 gần giá trị nào nhất trong các giá trị sau? A. 18 . B. 19 . C. 20 . D. 21. Trang 24
  25. Phân tích : đọc qua cảm thấy khá phức tạp tuy nhiên nếu phân tích kĩ thì đây chỉ là 1 bài bất dẳng thức ở dạng cơ bản Lời giải : độ dài cạnh hình vuông sẽ là (100-3a)/4 3 2 Stamgiac= a 4 (100 3a)2 Svuông = 16 3 (100 3a)2 3 10000 Nhỏ nhất khi a2+ =( +9/16)a2-600/16.a+ 4 16 4 16 300 /16 Min taị a= ~19 3 / 4 9 /16 Đáp án B 3 2 Câu 47: Cho hàm số y x 3x 3mx 1 có đồ thị (C). Khi m m0 thì trên (C) tồn tại hai điểm phân biệt A, B mà tiếp tuyến với (C) tại A, B có cùng hệ số góc bằng 3 và các điểm O, A, B thẳng hàng (O là gốc tọa độ). Hỏi giá trị m thuộc khoảng nào trong các khoảng sau ? A. 4;6 B. 2;1 C. 1;2 D. 2;4 Lời giải Gọi A(x1,y1) B(x2,y2). Theo đề bài x1;x2 là nghiệm của phương trình y’=0 hay 3x2 6x 3m 3 x2 2x m 1 0 Chia y cho y’ ta được y=y’(x-1)+(2m-1)x+m=(2m-1)x+m(thay y’=0) (đây là mấu chốt bài toán) Thay tọa độ x1;x2 Thì phương trình qua A,B chính là y=(2m-1)x+m Vì AB đi qua O suy ra thay O(0,0) vao m=0 Đáp án B Câu 48: Cho hình chóp S.ABC , có tất cả các mặt bên tạo với đáy góc , hình chiếu của đỉnh thuộc miền trong tam giác ABC. Biết AB 3a, BC 4a và AC 5a . Khi đó thể tích V của khối chóp BC bằng bao nhiêu ? A. V 2a3 tan B. V 2a3 cos C. V 6a3 tan D. V 6a3 cot Trang 25
  26. Phân tích : đầu tiên cần xác định đường cao. Việc tưởng trừng như đơn gian nhưng nếu không tinh ý nó lại trở nên khó khăn. Mấu chốt của bài toán chính la tất cả các mặt phẳng bên tạo với đáy 1 góc Ta có bài toán phụ sau: Nếu tất cả các mặt bên tạo với đáy 1 góc bằng nhau thì chân đường cao chính là tâm nội tiếp mặt đáy p.( p a)( p b)( p c) p.r Công thức cần dùng S= =6a2 Hay 6a2=6a.r hay r=a( r :bán kính nội tiếp tam giác) Chiều cao=r.tag =a.tag Vậy V=1/3.atag . 6a 2=2a3tag a Đáp án A Câu 49: Người ta định làm một cái hộp kim loại hình trụ có thể tích V cho trước (như hình vẽ). Hỏi bán kính đáy r bằng bao nhiêu để chiếc hộp làm xong ít tốn kim loại nhất? V V A. r 3 B. r 3 2 3V V C. r 3 D. r 3 4 3 V Lời giải : ta có V=Sđáy.h(chiều cao) h r 2 2 2 V 2 Để tốn ít kim loại nhất khi S(mặt hộp)=MIN=Sđáy+Sxq=2πr +2π.r.h=2πr +2πr. = 2πr +2 r 2 V V V V V 2 r 2 2 2 r 2 3 2 r 2. . 3 2 V 2. r r r r r V Dấu “=” khi 2πr2= r Đáp án A x 1 y z 2 Câu 50: Trong không gian Oxyz, cho điểm A 2; 2;0 và đường thẳng : . 1 3 1 Biết mặt phẳng (P) có phương trình ax by cz d 0 đi qua A , song song với ∆ và khoảng cách từ ∆ tới mặt phẳng (P) lớn nhất. Biết a, b là các số nguyên dương có ước chung lớn nhất bằng 1. Hỏi tổng a b c d bằng bao nhiêu? A. 3 B. 0 C. 1 D. -1 Trang 26
  27. Phân tích : khoảng cách từ ∆ đến (P) MAX khi hình chiếu của ∆ lên (P) đi qua A Gọi mặt phẳng đi qua A và đường thăng ∆ là (Q) thì Q vuông góc với (P) bài giải: (Q) : + đi qua A + vuông góc với ∆ Là –(x-2)+3(y+2)+z=0 : (Q):-x+3y+z+8=0 (Q) cắt ∆ tại B có tọa độ (0;-3;1) Véc tơ :AB chính là pháp tuyến của (P) Véc tơ AB(-2;-1;1). Vậy mặt phẳng (P): có pháp tuyến AB đi qua A là : -2(x-2)-(y+2)+z=0 Hay (P):2x+y-z-2=0. (a,b nguyên dương có ước chung lớn nhất =1) Tổng a+b+c+d=0 Đáp ánB Trang 27
  28. Trang 28