Đề thi minh họa thi Trung học phổ thông quốc gia môn Toán - Đề số 121

Nội dung text: Đề thi minh họa thi Trung học phổ thông quốc gia môn Toán - Đề số 121

1. ĐỀ THI MINH HỌA KỲ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2017 Đề số 121 Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 90 phút 2x 1 Câu 1: Tập xác định của hàm số f (x) 2x 1 x2 là: 1 x A. B.( 1C.;1) D. [ 1;1] ( 1;1] ( ; 1) [1; ) Câu 2: Hàm số y 2x ln x x2 đồng biến trên: 1 3 A. Hàm số đồng biến trên khoảng 0; . 2 1 3 B. Hàm số đồng biến trên nửa khoảng 0; . 2 1 3 1 3 C. Hàm số đồng biến trên mỗi nửa khoảng ;0 ; ; 2 2 1 3 1 3 D. Hàm số đồng biến trên mỗi nửa khoảng ; ; 0; ; 2 2 4x m 1 Câu 3: Tìm m>0 để đồ thị của các hàm số y x3 3x 1 và y không cắt nhau. x 1 A. Không tồn tạiB. m C. 3 D. m 1,045 m 3 2x Câu 4: Tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y ? x2 3x A. x 0;x 3 B. C.y 3 D. y 0 x 3 3 2 1 1 Câu 5: Tìm m để hàm số y x x mx 1 có cực đại tại x0 ; ? 2 2 7 1 7 1 1 1 A. B. C. mD. m 0 m 1 m 4 4 4 4 3 5 Câu 6*: Cho đồ thị hàm số y x3 3x . Khẳng định nào sau đây đúng? 1.Tồn tại hình chữ nhật có bốn đỉnh thuộc đồ thị hàm số trên. 2. Không tìm được độ dài lớn nhất của đoạn OA với O là gốc tọa độ còn A là điểm di động trên đồ thị. 3.Đường thẳng y 2 tiếp xúc với đồ thị hàm số. A. Khẳng định 2,3B. Khẳng định 1,2,3C. Khẳng định 3D. Khẳng định 2 1
2. Câu 7: (Nhà toán học leo núi) Một nhà toán học đang dự định chinh phục đỉnh núi Everest (có độ cao là 8848m). Do có vấn đề về tim mạch, nên ông rất quan tâm tới vấn đề áp lực khí O2 trong khi thở. Qua tìm hiểu ông phát hiện ra hai công thức có ảnh hưởng tới quá trình leo núi của mình: P C .(P 47)(mmHg) (trong đó, P là áp lực khí O trong khi thở, O2 O2 /kk kq O2 2 C 0,21 là nồng độ O trong không khí bình thường, P mmHg là áp lực khí quyển O2 /kk 2 kk 2 1 e 3(h/5000) và Pkk f (h) .760(mmHg) (trong đó, h(m) là độ cao nơi người đó đứng so 3(h / 5000)2 với mặt đất). Khi dưới 100mmHg bệnh ông sẽ tái phát và chết. Tìm khẳng định đúng? 1.Muốn bảo toàn tính mạng, nhà toán học không thể lên đỉnh núi. 2.Còn thiếu chưa đầy 100m nữa là nhà toán học có thể lên đỉnh núi. 3.Nhà toán học sẽ lên được đỉnh nếu sức chịu đựng của ông ta là trên 110mmHg. A. Không cóB. Khẳng định 1,2,3C. Khẳng định 1,3D. Khẳng định 1,2 Câu 8: Cho hàm số y x4 2mx2 3m 1 (1) (m là tham số thực). Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích bằng 1? 2/5 1 A. m B. C.m 0 D. Không tồn tạim m. 1 2 Câu 9: Giả sử đồ thị của hàm số sau là một trong bống hàm của đáp án. Hỏi đáp án đúng là: x 1 A. y x3 3x2 1 B. y 2x3 x C.1 y x4 2 D.x2 2 y 2x 1 Câu 10: Cho hàm số y x4 2mx2 2 (1). Tìm tất cả giá trị thực của m để đồ thị hàm số 3 9 (1) có 3 cực trị tạo thành một tam giác có đường tròn ngoại tiếp đi qua điểm D ; ? 5 5 2
3. 5 1  5 1  A. 1;  B. 1; C.  D. Không tồn 1 tại. 2  2  Câu 11: Tìm tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số f (x) 2x4 4x2 10 trên đoạn [0;2] ? A. 12; 6 B. C. D. 12 6 6 1 Câu 12: Tìm tập xác định của hàm số f (x) log3(x 1) A. ( 1; ) B. C.( ; 1) D. ( 1; ) \ 0 ( 1; )  0 Câu 13: Phương trinnhf 2log (3x 1) 1 log (2x 1) có bao nhiêu nghiệm thực? 5 3 5 A. 2 B. C. D. Vô nghiệm1 3 2 Câu 14: Giải phương trình: log3(x 3x) log1 (2x 2) 0,(x ¡ ) 3 1 3 A. x 2 B. C. x D. x 1 x 1;3 2 1 Câu 15: Tính tổng các nghiệm của phương trình log (x2 1) log (x 1)2 log (x 2)2 2 2 2 2 A. 2 B. C. D. 2 1 2 0 2 Câu 16: Phương trìnhlog3(x 2) log4 (x 4x 3) có nghiệm là: A. 2 3 B. C. 2 3 D. Vô nghiệm 2 3 1 2 1 Câu 17: Giải bất phương trình: log2 (x 4x 5) log1 2 x 7 2 27 27 27 A. ; B. 7 C.; D. ; 5 (1; ) 5 5 5 Câu 18: (Chiến tranh và dân số thế giới) Cục điều tra dân số thế giới cho biết: Trong chiến tranh thế giới thứ hai (kéo dài 6 năm); dân số mỗi năm giảm đi 2% so với dân số năm liền trước đó. Vào thời hòa bình sau chiến tranh thế giới thứ hai thì dân số tăng 4% so với dân số năm liền trước đó. Giả sử rằng, năm thứ 2 diễn ra chiến tranh dân số thế giới là 4 tỉ người. Kể từ thời điểm đó thì 10 năm sau thì dân số thế giới là bao nhiêu tỉ người? (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai). A. 4,88 B. C. D.4 ,95 4,5 4,35 a.2b b.2a Câu 19: Tìm 2017a 2017b biết a b ? 2a 2b 3
4. A. 0 B. C. D. 2017 1 1 x 1 2x 2 .log y 2 2 Câu 20: Tính 3 x 3 y biết x; y thỏa mãn: 9 . x 2 9.2 .log27 y 9 log3 y A. 2 B. C. D. 1 3 3 4 28 Câu 21: Một nguyên hàm của hàm số y ln(ln x) là: 1 x x 1 x A. B. C. ln(ln x)dx D. ln (ln t)dt ln(ln t)dt x 1 1 2 1 Câu 22: Tính tích phân: (x 1)3 2x x2 dx 0 2 2 7 2 A. B. C. D. 5 15 50 30 1 Câu 23: Tính tích phân I ln(3x4 x2 ) 2ln x dx 1 3 4ln 2 ln 3 4 3 4ln 2 ln 3 4 3 A. B. 3 3 9 3 3 9 4ln 2 ln 3 4 3 4ln 2 ln 3 4 3 C. D. 3 3 9 3 3 9 1 dx Câu 24: Tính tích phân: 0 1 1 x2 A. 1 B. C. D. 1 90o 2 2 3 x 3 Câu 25: Tính tích phân: dx 0 3. x 1 x 3 3 3 3 A. 3 ln B. C.3 6ln D. 3 6ln 3 6ln 3 2 2 2 3 Câu 26*: Tính tích phân: I min(3x ;2x2 1)dx 1 80 46 20 68 46 20 A. B. C. D. 3ln 3 3 3ln 3 3 3 3ln 3 x Câu 27: Giải phương trình: (3t2 2t 3)dt x3 2 0 A. S 1;2 B. S C. 1;2;3 D. S  S ¡ 4
5. 2 y x 4x Câu 28: Tính diện tích của miền phẳng bị giới hạn bởi các đường thẳng: y 2x 50 51 52 53 A. S B. C. S D. S S 3 3 3 3 y x.sin 2x Câu 29: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng y 2x x 2 2 2 2 A. B. C. D. 4 4 4 4 4 4 Câu 30: Tìm số phức z thỏa mãn z 13 và z 2 i 2 z 1 i A. z 3 2i B. C.z 3 2i D. 2 3i z 3 2i 9 7i Câu 31: Tìm phần thực của số phức z, biết rằng (1 2i)z 5 2i 3 i A. 1 B. C. D. 10 1 3 5iz Câu 32: Tính z biết: z (1 i)(3 2i) (2 i) 17 1 1 A. B. C. D.17 2i 2i 2 2 2 z 2 i Câu 33: Cho số phức z thỏa mãn 2 . Tìm trung bình cộng giá trị nhỏ nhất và z 1 i lớn nhất của z . A. 3 B. C. D.1 0 3 2 10 10 Câu 34: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn hệ thức: 2 z 1 z z 2 A. Tập hợp các điểm cần tìm là hai đường thẳng x 0;x 2 B. Tập hợp các điểm cần tìm là đường tròn x2 y2 2 y2 C. Tập hợp các điểm cần tìm là đường elip: x2 1 2 y2 x2 D. Tập hợp các điểm cần tìm là hai đường elip: x2 1; y2 1 2 2 Câu 35: Tính phần ảo của số phức z, biết z3 12i z và z có phần thực dương. 5
6. A. 2 B. C. D. 5 1 i Câu 36: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi; hai đường chéo AC 2 3a;BD 2a và cắt nhau tại O; hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với a 3 mặt phẳng (ABCD). Biết khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SAB) bằng . Tính thể 4 tích khối chóp S.ABCD a3 a3 3 a3 2 A. a3 3 B. C. D. 3 3 2 Câu 37: Cho hình lăng trụ ABC.A 'B'C' có A 'ABC là hình chóp tam giác đều cạnh đáy a 3 AB a . Biết độ dài đoạn vuông góc chung của AA 'và BC là . Tính thể tích khối 4 chóp A '.BB'.C'C a3 5 a3 3 a3 a3 15 A. B. . C. D. 18 18 18 18 Câu 38: Cho lăng trụ đứng ABC.A 'B'C' có đáy ABC là tam giác cân đỉnh C; đường thẳng BC’ tạo với mặt phẳng (ABB'A ') góc 60o và AB AA ' a . Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A 'B'C' a3. 15 a3. 5 a3. 15 a3. 19 A. B. C. D. 12 4 4 4 Câu 39: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D. SA vuông góc với mặt đáy (ABCD);AB 2a,AD CD a. Góc giữa mặt phẳng (SBC) và mặt đáy (ABCD) là 60o . Mặt phẳng (P) đi qua CD và trọng tâm G của tam giác SAB cắt các cạnh SA, SB lần lượt tại M, N. Tính thể tích khối chóp S.CDMN theo thể tích khối chóp S.ABCD. 14 4 A. V V B. V V S.CDMN 27 S.ABCD S.CDMN 27 S.ABCD 10V V C. V S.ABCD D. V S.ABCD S.CDMN 27 S.CDMN 2 Câu 40: Cho lăng trụ tam giác đều ABCD.A 'B'C 'có tất cả các cạnh bằng a. M là trung điểm cạnh AB. Mặt phẳng (P) đi qua M và vuông góc với CB’, cắt các cạnh BC, CC’, AA’ lần lượt tại N, E, F. Xác định N, E, F và tính thể tích khối chóp C.MNEF. 7a3 7 3a3 21 3a3 7a3 A. B. C. D. 128 128 128 128 3 Câu 41: Công thức tính thể tích khối cầu đường kính R là: 6
7. 4 3 4 1 A. R3 B. C. R D.3 R3 R3 3 4 5 6 Câu 42: Một hình hộp chữ nhật có đường chéo chính bằng 3 thì thể tích lớn nhất bằng: A. 3 3 B. C. D. 3 9 6 Câu 43: Hình nón cụt có mặt đáy trên là đa giác lồi có 12 đỉnh. Số mặt của hình nón cụt là: A. 24 B. C. D. 12 14 26 Câu 44: Trong không gian Oxyz tập hợp các điểm cách A(0;1;2) một đoạn 4 là: A. x2 (y 1)2 (z 2)2 42 B. x2 (y 1)2 (z 2)2 42 C. x2 y2 z2 y 2z 16 D. x2 y2 z2 2y 4z 11 Câu 45: Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(2;0;0),B(0; 2;0),C(0;0;1) và đường x 2 y z 1 thẳng d : . Viết phương trình chính tắc của đường thẳng nằm trong mặt 1 1 1 phẳng (ABC) cắt và vuông góc với đường thẳng d. x 1 y 1 z x 1 y 1 z A. : B. : 1 3 2 1 3 2 x 1 y 1 z x 1 y 1 z C. : D. : 1 3 2 1 3 2 Câu 46: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (Q) : x y z 0 và hai điểm A(4; 3;1),B(2;1;1) . Số điểm M thuộc mặt phẳng (Q) sao cho tam giác ABM vuông cân tại M là: A. 1 B. C. D. 4 3 2 Câu 47: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;2; 1) và B( 2;1;3) . Tìm tọa độ điểm C trên trục Ox sao cho tam giác ABC vuông tại C. A. C( 1 3;0;0) B. C( 1 3;0;0);C( 1 3;0;0) C. C(1 3;0;0) D. C(1 3;0;0);C(1 3;0;0) Câu 48: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng x 4 y 5 z 7 x 2 y z 1 d : và d : . Số đường thẳng đi qua 1 1 1 1 2 1 1 2 o M( 1;2;0), d1 và tạo với d2 góc 60 là: A. 1 B. C. D. 0 3 2 Câu 49: Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng đi qua M(2;3; 1) , vuông góc với hai mặt phẳng lần lượt có phương trình 5x 4y 3z 20 0 và 3x 4y z 8 0 . A. 2x y 2z 9 0 B. 2x y 2z 9 0 7
8. C. 2x y 2z 9 0 D. 2x y 2z 9 0 Câu 50: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) : x2 y2 z2 2x 4y 2z 8 0 và mặt phẳng (P) : 2x 3y z 11 0. Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (P) và cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn có bán kính bằng một nửa bán kính mặt cầu (S). A. (Q1) : 2x 3y z 3 7 3 0;(Q2 ) : 2x 3y z 3 7 3 0 B. (Q1) : 2x 3y z 3 7 3 0;(Q2 ) : 2x 3y z 3 7 3 0 C. (Q1) : 2x 3y z 3 7 3 0;(Q2 ) : 2x 3y z 3 7 3 0 D. (Q1) : 2x 3y z 3 7 3 0;(Q2 ) : 2x 3y z 3 7 3 0 8
9. Đáp án 1-C 6-B 11-D 16-A 21-D 26-B 31-C 36-C 41-D 46-D 2-B 7-C 12-C 17-B 22-B 27-A 32-A 37-B 42-A 47-B 3-A 8-C 13-B 18-B 23-C 28-C 33-D 38-C 43-C 48-D 4-D 9-A 14-C 19-A 24-A 29-A 34-A 39-A 44-D 49-A 5-A 10-A 15-C 20-C 25-C 30-D 35-C 40-B 45-A 50-B HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Lý thuyết cần nhớ: Điều kiện xác định bao gồm biểu thức trong căn bậc hai phải không âm và mẫu số phải khác 0. 1 x2 0 Khi đó, với bài toán ta có: 1 x 1 x 1 0 Vậy đáp án đúng là C. Sai lầm thường gặp: Nhiều học sinh quên điều kiện mẫu số khác 0 và đưa tới kết quả B. Một số khác giải sai bất phương trình 1 x2 0 và đưa ra kết quả khác. Câu 2: Phân tích: Ta xét: 1 2x 1 2x2 y' 2 2x x x 1 3 y' 0 2x2 2x 1 0 x 2 Đến đây ta phải xét dấu của y’.Lưu ý rằng điều kiện xác định của hàm số là x 0 (để ln x tồn 1 3 tại). Và ta thu được hàm số đồng biến trên nửa khoảng 0; . 2 Vậy đáp án đúng là B. Sai lầm thường gặp: Sai lầm cơ bản nhất: + Mặc định là hàm số đồng biến khi và chỉ khi y' 0 và đưa tới đáp án A. + Khi khắc phục được y' 0 nhưng do quên mất điều kiện x 0 nên lại thu được đáp án D. + Giải sai bất phương trình có thể thu được đáp án C Câu 3: Điều kiện cần và đủ hai đồ thị không cắt nhau là hệ phương trình không có nghiệm: 9
10. y x3 3x 1 4x m 1 y x 1 Điều này tương đương với phương trình (*) sau không có nghiệm: 4x m 1 x3 3x 1 (*) x 1 (x3 3x 1)(x 1) 4x m 1 x4 x3 3x2 m x 1 x 1 Xét f (x) x4 x3 3x2 dễ thấy f(x) là một hàm liên tục và nhận mọi giá trị dương. Nên điều kiện cần để (*) vô nghiệm là:m f (1) . Nhưng f (1) 3 0 do đó, trường hợp này cũng không xảy ra. Vậy đáp án bài toán là không tồn tại giá trị của m và đáp án đúng là A. Lưu ý: Nhiều học sinh cảm thấy lúng túng khi giải quyết phương trình (*) và thường sẽ lập luận theo kiểu tính: f '(x) 4x3 3x2 6x x(4x3 3x2 6x) 3 105 f '(x) 0 x 0;x 8 Và rõ ràng là đang làm phức tạp bài toán lên. Hãy đọc kĩ đề bài vì đề bài chỉ yêu cầu tìm m 0 thôi nhé. Câu 4: Ta có: x x 1 y ;x 0;x 3 x2 3x x(x 3) x 3 Rõ ràng, hàm số này chỉ có duy nhất một tiệm cận đứng là x 3 . Vậy đáp án đúng là D. Sai lầm thường gặp: Do không rút gọn nên nhiều học sinh ra đáp án A. Câu 5: Ta có: y' 3x2 2x m Điều kiện cần tìm là: ' 0 1 3m 0 1 3 7 1 y' 0 1 m 0 m 2 4 4 4 3 1 1 m 0 y' 0 2 4 Vậy đáp án đúng là A. Câu 6: Phân tích: Khẳng định 2 và 3 đúng chúng ta dễ dàng kiểm tra được tính đúng đắn! Còn khẳng định 1 là một câu hỏi khá lạ đối với học sinh. Tuy nhiên, ta chỉ cần chú ý tính chất điểm uốn là 10
11. tâm đối xứng và ta chỉ cần chú ý nếu tồn tại 2 điểm cùng một bên điểm uốn mà cách đều điểm uốn thì bài toán được giải quyết. (Công việc này khác đơn giản). Đáp án đúng là B. Cây 7: Công việc của bài toán này thì không có gì khó. Bài toán này có thể dùng đạo hàm và rút ra nhận xét, hoặc đơn giản hơn ta chỉ cần xét tại các điểm mà đề bài đã cho. Đáp án đúng là C. x 0 Câu 8: Ta có y' 4x(x2 m) 0 2 x m Để hàm số có CĐ, CT thì m 0 Khi đó, đồ thị hàm số có các điểm CĐ, CT là A(0;3m 1);B( m; m2 3m 1); C( m; m2 3m 1) Vì A Oy;B,C đối xứng với nhau qua Oy nên: 1 S y y . x x m2. m 1 m 1(tm) ABC 2 A B B C Đáp án đúng là C. Sai lầm thường gặp: Trong công thức diện tích thiếu 1/ 2 nên có thể dẫn tới đáp án A. Bài toán này sẽ phức tạp nếu không để ý tới tính đối xứng của B và C. Câu 9: Rõ ràng từ hình vẽ ta có thể tháy ngay đó là đồ thị hàm số bậc ba. Tuy nhiên dễ nhìn thấy khi x càng lớn thì đồ thị càng đi xuống tức là y càng ngày càng âm. Do đó, hệ số của x3 phải âm nên chỉ có thể là đáp án A. Câu 10: Ta có: y' 4x3 4mx 4x(x2 m) , điều kiện có 3 cực trị là m 0 . Khi đó cực trị là A(0;2),B( m; m2 2);C( m; m2 2) , tam giác ABC cân tại A. Tâm I của đường tròn (ABC) nằm trên trục tung I(0; y) 1 2 1 Ta có IA IB I 0;2 m 2 2m 3 9 Đường tròn (ABC) qua D ; 5 5 2 2 2 3 1 1 2 1 1 2 1 ID IA m m 5 5 2 2m 2 2m 1 1 5 1 m2 1 0 m 1 hoặc m 2 2m 2 (do m 0 ). Vậy đáp án đúng là A. Sai lầm thường gặp: Quên điều kiện m 0 nên có thể ra đáp án B. Câu 11: Đáp án đúng là D vì: 11
12. f(x) xác định liên tục trên đoạn [0;2] ; ta có : f '(x) 8x3 8x x 0 Với x [0;2] thì f '(x) 0 x 1 Ta có: f (0) 10;f (1) 12;f (2) 6 max f (x) f (1) 12,min f (x) f (2) 6 [0;2] [0;2] max f (x) min f (x) 6 [0;2] [0;2] Câu 12: Ta có tập xác định: log3(x 1) 0 x 1 0 x 1 . Vậy đáp án đúng là C. x 1 1 x 0 Câu 13: 1 Điều kiện: x (*) 3 Với điều kiện trên, phương trình đã cho: 2 2 3 log5(3x 1) 1 3log5(2x 1) log5 5(3x 1) log5(2x 1) 5(3x 1)2 (2x 1)3 8x3 33x2 36x 4 0 x 2 2 (x 2) .(8x 1) 0 1 x 8 Đối chiếu điều kiện (*) thì x 2 là nghiệm duy nhất của phương trình nên đáp án đúng là B. Sai lầm thường gặp: Quên đối chiếu với điều kiện nên sẽ khoanh đáp án A. Đặc biệt sai lầm này thường xảy ra khi các học sinh chỉ chú tâm vào phương trình bậc ba và bấm máy tính. Câu 14: Đáp án đúng là C. Điều kện: x 0(*) Với điều kiện (*) ta có: 2 2 x 1(chon) log3(x 3x) log3(2x 2) x x 2 0 x 2(loai) Vậy nghiệm của phương trình là x 1 Câu 15: Phân tích: x2 1 0 2 x 1 Điều kiện: x 1 0;x 2 0 x 1 Khi đó phương trình: 12
13. log (x2 1) log x 1 2 log x 2 log (x2 1) log (x 1)2 x 2 2 2 2 2 2 x 2 x 1 (x 1)(x 2) x2 1 (x 1)2 x 2 x 1 (x 1) x 2 1 x 2x 1 x 1 (x 1)( x 2) x 2 2 x 2x 1 0 x 1 2 1 x 2x 1 x 3 2 x 3 x1 x2 x3 1 2 Đáp án đúng là C. Sai lầm thường gặp: Không để ý tới điều kiện có thể gây ra bốn nghiệm và tổng bằng 2 và ra đáp án A. Câu 16: 2 Phân tích: log3(x 2) log4 (x 4x 3) x 2 Điều kiện xác định: x 3 2 x 4x 3 0 2 2 Phương trình đã cho: log3(x 4x 4) log2 (x 4x 3) Đặt t x2 4x 3 ta có phương trình: a a a t 1 3 2 1 log (t 1) log t a 2a 1 3a 1 (1) 3 2 a t 2 3 3 a a 2 1 Do hàm số f (a) nghịch biến trên R nên phương trình (1) có tối đa một nghiệm. 3 3 Mặt khác f (1) 1 a 1 là nghiệm duy nhất của phương trình (1) x 2 3 a 1 t 2 x2 4x 3 2 x2 4x 1 0 x 2 3 Đối chếu điều kiện ta có nghiệm phương trình: x 2 3 . Vậy đáp án đứng là A. Sai lầm thường gặp: Do không kiểm tra điều kiện nên dễ dàng nhầm sang đáp án B. Lưu ý: Đối với bài toán này, vì hình thức phức tạp nên ta có thể giải bằng cách thử đáp án bằng máy tính là hợp lý nhất. Câu 17: Điều kiện: 13
14. x2 4x 5 0 x ( ; 5)  (1; ) x 7 0 x 7 x ( 7; 5)  (1; ) Từ phương trình suy ra: 1 27 log (x2 4x 5) 2log log (x2 4x 5) log (x 7)2 x 2 2 x 7 2 2 5 27 Đối chiếu điều kiện, ta có nghiệm x 7; 5 Đáp án đúng là B. Sai lầm thường gặp: Do đối chiếu sai điều kiện hoặc không biết cách kết hợp nghiệm nên sẽ thu ra kết quả sai. Câu 18: Phân tích: 10 năm đó bao gồm 3 năm chiến tranh và 7 năm hòa bình. Do đó, dân số sẽ được tính là: 4.(0,98)3.(1,04)7 4,95 tỷ người Vậy đáp án đúng là B Sai lầm thường gặp: Không hiểu bản chất! Lại tính theo kiểu tăng giảm phần trăm: 7.4% 3.2% 22% do đó, dân số: 4.1,22 4,88 tỷ người và ra đáp án A Câu 19: Ta có: a.2b b.2a a b (a b)(2a 2b ) a.2b b.2a 2a 2b a.2a b.2b 0 a.2a b.2b a b(a;b 0) Do đó, 2017a 2017b 0 . Vậy đáp án đúng là A Câu 20: Điều kiện: y 0 x 2x 2 .log y 2 2 (1) Hệ phương trình 3 x 2 3.2 .log3 y 9 log3 y(2) 2 22x 2 22x 2 22x 2 Từ (1) log y . Thế vào (2) ta được: 3.2x. 9 3 x x x 2 2 2 22x 4 x 1 y 27(t / m) 1 22x (vn) 2 3 x 3 y 4 Vậy đáp án đúng là C 14
15. Nhận xét: Các câu 22, 23, 24, 25 ta hoàn toàn có thể sử dụng máy tính để bấm ra nhanh kết quả. Câu 21: Bài toán này đòi hỏi hiểu sâu sắc lý thuyế nguyên hàm! Dễ thấy nói vắn tắt thì ta có: F(x) là nguyên hàm của f(x) khi và chỉ khi F'(x) f (x) Do đó, đáp án đúng ở đây là đáp án D Câu 22: 1 1 I (x 1)3 2x x2 dx (x2 2x 1) 2x x2 (x 1)dx 0 0 Đặt t 2x x2 t2 2x x2 tdt (1 x)dx.t(0) 0;t(1) 1 1 1 t5 t3 1 1 1 2 I (1 t2 )t( t)dt (t4 t2 )dt 5 3 0 5 3 15 0 0 Vậy đáp án đúng là B. Câu 23: Ta có: 1 1 1 I ln(3x4 x2 ) 2ln x dx ln(3x2 1) ln x2 ln x2 dx ln(3x2 1) dx 1 1 1 3 3 3 6xdx u ln(3x2 1) du Đặt 3x2 1 dv dx v x 1 1 2 2 6x dx 4ln 2 ln 3 I x ln(3x 1) 1 2 J 3x2 1 3 3 1 3 Với: 1 1 2 4 dx 4 J 2 dx 2 (đặt 3x tan t với t ; ) 2 2 1 3x 1 3 1 3x 1 3 3 3 2 2 3 3 1 1 dx (1 tan2 t)dt đổi cận: x t ;x 1 t . Từ đó tính được: 3 3 6 3 4 4ln 2 ln 3 4 3 J I 3 3 3 3 3 9 Vậy đáp án đúng là C Câu 24: Đặt x sin t, t ; . Ta có: dx cos tdt và ta có: 2 2 1 x2 1 sin2 t cos2 t cos t cos t 15
16. x 0 t 0 Đổi cận với từ đó: x 1 t 2 2 t 2cos 1 1 dx cos tdt 2 2 2 dt 0 2 0 1 cos t 0 2 t 1 1 x 2cos 2 t 2 d 2 t 2 dt 2 t tan 1 0 0 2 t 2 2 cos 2 0 Vậy đáp án đúng là A Câu 25: Đặt u x 1 u2 1 x 2udu dx x 0 u 1 Đổi cận: x 3 u 2 3 x 3 2 2u2 8u 2 2 1 Ta có: dx du (2u 6)du 6 du 0 3. x 1 x 3 1 u2 3u 2 1 1 u 1 2 3 (u2 6u) 6ln u 1 2 3 6ln 1 1 2 Vậy đáp án đúng là C Câu 26: Giải phương trình: 3x 2x2 1 ta được: x 0;x 1;x 2 Do đó, ta có: 3 3 1 2 3 I min(3x ;2x2 1)dx 3x dx (2x2 1)dx 3x dx (2x2 1)dx 1 1 0 1 2 x 0 1 x 2 3 3 2 3 3 2 3 2 5 6 41 46 20 x x x x ln 3 3 ln 3 3 3ln 3 3 ln 3 3 3 3ln 3 1 0 1 2 Vậy đáp án đúng là B Nhận xét: Bài toán khó nhất ở bước giải phương trình để tìm giá trị nhỏ hơn trong mỗi khoảng giá trị. Câu 27: Ta có: x (3t2 2t 3)dt x3 2 x3 x2 3x x3 2 0 2 x 1 x 3x 2 0 x 2 Vậy đáp án đúng là A 16
17. Câu 28: Phương trình hoành độ giao điểm: x 0 x 0 x 0 2 2 2 x 4x 2x x 4x 2x x 6x 0 x 2 2 2 x 6 x 4x 2x x 2x 0 Suy ra diện tích cần tính: 2 6 S x2 4x 2x dx x2 4x 2x dx 0 2 2 Tính I x2 4x 2x dx . Ta có: 0 x 0;2;x2 4x 0 x2 4x x2 4x 2 4 I ( x2 4x 2x)dx 0 3 6 Tính K x2 4x 2x dx 2 Ta có: 2 x 2;4, x 4x 0 2 x 4;6, x 4x 0 4 6 K (4x x2 2x)dx (x2 4x 2x)dx 16 2 4 4 52 Vậy S 16 3 3 Đáp án đúng là C Câu 29: Ta có: x.sin 2x 2x x.sin 2x 2x 0 x(sin 2x 2) 0 x 0 Diện tích hình phẳng là: S 2 (x.sin 2x 2x)dx 2 x(sin 2x 2x)dx 0 0 Đặt: du dx u x 2 2 2 cos 2x S dv (sin 2x 2)dx v 2x 4 2 4 4 4 2 Đáp án đúng là B. Câu 30: Gọi z a bi,(a,b R) z a bi Theo giả thiết: 17
18. z 13 z 13 z 2 i 2 z 1 i (a 2) (b 1)i 2 (a 1) (b 1)i 2 2 a b 13 a2 9 a 3 2 2 2 2 b 2 b 2 (a 2) (b 1) 2. (a 2) (b 1) Vậy z 3 2i hoặc z 3 2i Đáp án đúng là C. Câu 31: Ta có: 9 7i 7 i (1 2i)z 5 2i (1 2i)z 7 i z 1 3i R (z) 1 3 i 1 2i e Vậy đáp án đúng là C. 5iz Câu 32: Đặt z a bi;a,b R . Ta có: z (1 i)(3 2i) (2 i) a bi 5 i i(2 i)(a bi) a bi 5 i (1 2i)(a bi) a bi 5 i a 2b (b 2a)i 0 5 2a 2b (1 2a)i 0 1 5 2a 2b 0 a 2 1 2a 0 b 2 17 Vậy z a2 b2 2 Vậy đáp án đúng là A. Sai lầm thường gặp: Không đọc kĩ đề tưởng là tìm z và thu được đáp án C. Câu 33: Phân tích: Giả sử z x yi(x, y ¡ ) . Từ giả thiết suy ra: z 2 i 2 x 2 (y 1)i 2 x 1 (y 1)i z 1 i (x 2)2 (y 1)2 2(x 1)2 (y 1)2 x2 (y 3)2 10 Tập hợp biểu diễn của z là đường tròn tâm I(0; 3) , bán kính R 10 Gọi M là điểm biểu diễn của z. Ta có: IM IO OM IM OI 10 3 OM 10 3 18
19. z OM 10 3 min min z OM 10 3 max max z z ( 10 3) 10 3) min max 10 2 2 Vậy đáp án đúng là D. Sai lầm thường gặp: Không hiểu thế nào là trung bình cộng và nhầm tưởng sang tổng của hai số có thể gây ra đáp án C. Câu 34: Đặt z x yi(x, y ¡ ) . Ta có: 2 z 1 z z 2 2 x yi 1 x yi x yi 2 2 x 1 yi 2 2yi 2 2 2 2 x 0 2 (x 1) y 4 4y x 2x 0 x 2 Vậy tập hợp các điểm cần tìm là 2 đường thẳng x 0;x 2 Đáp án đúng là A. Câu 35: Ta có: z x yi;(x, y ¡ ) z3 12i z (x yi)3 12i x yi 3 2 x 3x y x(1) x3 3xy2 (3x2y y3 12)i x yi 2 3 3x y y 12 y(2) Do x 0 x2 3y2 1 . Thế vào (2) ta được 3(3y2 1)y y3 12 y 2y3 y 3 0(3) Giải (3) ta được: y 1 x2 4 . Do x 0 nên x 2 Vậy z 2 i Im(z) 1 Đáp án đúng là C. Câu 36: Đáp án đúng là C. Giải thích: Do tam giác ABD đều nên với H là trung điểm của AB, K là trung điểm của HB ta có: 1 a 3 DH  AB;DH a 3;OK PDH;OK DH 2 2 OK  AB AB  (SOK) Gọi I là hình chiếu của O lên SK ta có: OI  SK;AB  OI OI  (SAB) , hay OI là khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SAB). Tam giác SOK vuông tại O, OI là đường cao 19
20. 1 1 1 a SO OI2 OK2 SO2 2 2 Diện tích đáy SABCD 4SABO 2.OA.OB 2 3a a Đường cao của hình chóp ASO 2 1 a a3 3 Thể tích khối chóp S.ABCD: V . .2a2 3 3 2 3 Câu 37: Đáp án đúng là B. Giải thích: Gọi O là tâm của đáy ABC và M là trung điểm cạnh BC. Hạ MN  A 'A . Do BC  (A 'AM) nên MN là đoạn vuông góc a 3 chung của A’A và BC MN 4 Ta có: a 3 2 a 3 AM ;AO AM ; 2 3 3 3a AN AM2 MN2 4 Hai tam giác A’OA và MNA đồng dạng nên A 'O AO MN.AO a A 'O MN AN AN 3 2 2 a a2 3 a3 3 V V V A 'O.S A 'O.S . . A'.BB'.C'C A'B'C'.ABC A'.ABC ABC 3 ABC 3 3 4 18 Câu 38: Đáp án đúng là C. Giải thích: C'I  A 'B' Gọi I là trung điểm A’B’ thì:  C'I  (ABA 'B') C'I  AA '  20
21. Suy ra góc giữa BC’ và mp (ABB’A’) chính là góc C’BI. Suy ra C'BI 60o a 15 C'I BI.tan C'BI 2 1 a3 15 V AA '.S AA '. .CI.A 'B' ABC.A'B'C' A'B'C' 2 4 Câu 39: Đáp án đúng là A. Giải thích: Đặt V VS.ABCD , ta có: 1 1 V V ;V V S.CDA 3 S.ABCD S.ABC 3 S.ABCD Mặt phẳng (P) đi qua CD và trọng tâm G của tam giác SAB cắt các cạnh SA, SB lần lượt tại M, N. Khi đó MN PAB và SM SN 2 SA SB 3 Ta có: VS.CDM SC SD SM 2 2 2 . . VS.CDM VS.CDA V VS.CDA SC SD SA 3 3 9 2 VS.MNC SM SN SC 2 . . VS.ABC SA SB SC 3 4 8 V V V S.MNC 9 S.ABC 27 Bởi vậy: 2 8 14 V V V V V V S.CDMN S.CDM S.MNC 9 27 27 Câu 40: Đáp án đúng là B. Giải thích Xác định N, E, D. Gọi I, J lần lượt là trung điểm BC, CC’. Khi đó mp (AIJ)  B'C . Suy ra mp (P) qua M và song song mặt phẳng mp(AIJ). Do đó MN PAI, NE PIJ;EF PAJ Tính thể tích khối chóp C.MNEF. Thấy ngay ENC là góc giữa mặt phẳng (P) và mp(ABC). Tứ giác MNCA là hình chiếu vuông góc của tứ giác MNEF trên mp(ABC). dt(MNCA) Suy ra dt(MNEF) cos ENC a2 3 Ta có ENC ;dt(ABC) 4 4 21
22. Suy ra: a2 3 a2 3 dt(ABC) dt(BMN) 7 6a2 dt(MNEF) 4 32 1 cos 32 4 2 3 a 3 2a Mặt khác d(C,mp(MNFEF)) . 4 2 8 Gọi V là thể tích khối chóp C.MNEF, ta có: 1 7 6a2 3 2a 7 3a3 V . . 3 32 8 128 Câu 41: Đáp án đúng là D. Lưu ý đề bài cho là đường kính R nên công thức thể tích phải là: 3 4 R 1 3 V R 3 2 6 Câu 42: Gọi ba cạnh hình hộp chữ nhật là a;b;c. Khi đó: a2 b2 c2 9 và V abc . Do đó, 3 a2 b2 c2 áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có ngay: V abc a2.b2.c2 3 3 3 Vậy thể tích lớn nhất bằng 3 3 khi hình hộp là hình lập phương. Đáp án đúng là A. Câu 43: Đáp án đúng là C. Câu 44: Đáp án đúng là D. Câu 45: Đáp án đúng là A. Giải thích: x y z Phương trình mặt phẳng (ABC) : 1 x y 2z 0 2 2 1 Gọi I là giao điểm của đường thẳng d với mp(ABC) thì I(1; 1;0) và đường thẳng đi qua I.   u1  n mp(ABC) có vtpt n (1; 1;2) , d có vtcp u (1;1; 1) . Gọi u1 là vtcp của . Ta có:  u1  u '  x 1 y 1 z Chọn u n;u ( 1;3;2) . Vậy phương trình đường thẳng: : 1 1 3 2 Câu 46: Đáp án đúng là D. Giải thích: Gọi M(a;b;c) , khi đó: M (Q) a b c 0 (1) Tam giác ABM cân tại M khi và chỉ khi: AM2 BM2 (a 4)2 (b 3)2 (c 1)2 (a 2)2 (b 1)2 (c 1)2 a 2b 5 0(2) Từ (1) và (2) ta có: 22
23. Trung điểm AB là I(3; 1;1) AB Tam giác ABM cân tại M, suy ra: MI (a 3)2 (b 1)2 (c 1)2 5(3) 2 Thay (*) vào (3) ta được: 9 (2b 2)2 (b 1)2 ( 6 3b)2 5 7b2 23b 18 0 b 2;b 7 Với b 2 a 1;c 1 M(1; 2;1) 9 17 8 17 9 8 Với b a ;c M ; ; 7 7 7 7 7 7 17 9 8 Vậy điểm M cần tìm là M(1; 2;1) và M ; ; 7 7 7 Câu 47: Đáp án đúng là B. Giải thích: Vì điểm C trên trục Ox nên C(t;0;0)   Ta có: CA (1 t;2; 1),CB ( 2 t;1;3)   Tam giác ABC vuông tại C điều kiện là: CA.CB 0 (1 t)( 2 t) 2.1 ( 1).3 0 t 1 3 t2 t 3 0 t 1 3 Như vậy C( 1 3;0;0) hoặc C( 1 3;0;0) Câu 48: Đáp án đúng là D. Giải thích:  2 2 2 Giả sử có vtcp u (a;b;c),a b c 0    d1 u .u1 0 a b c 0 (1) o o a b 2c 2 2 2 2 ,d2 60 cos60 2(a b 2c) 3(a b c )(2) 1 1 4. a2 b2 c2 Từ (1) b a c thay vào (2) ta được: 18c2 3 a2 (a c)2 c2 a2 ac 2c2 0 (a c)(a 2c) 0 a c  a 2c  a c b 2c chọn c 1 u (1;2;1) x 1 y 2 z Ta có: : 1 2 1  a 2c b c chọn c 1 u (2;1; 1) x 1 y 2 z Ta có: : 2 1 1 Câu 49: Đáp án đúng là A. Giải thích: 23
24. Gọi (P) là mặt phẳng vuông góc với hai mặt phẳng 5x 4y 3z 20 0 và 3x 4y z 8 0 . Hai mp này lần lượt có các vtpt là u, v thì u;v là một vtpt của (P). u (5; 4;3);v (3; 4;1) u;v (8;4; 8) Suy ra phương trình của (p): 8(x 2) 4(y 3) 8(z 1) 0 2x y 2z 9 0 Câu 50: Đáp án đúng là B. Giải thích: Mặt cầu (S) có tâm I(1; 2; 1) , bán kính R 14 Vì (Q) P(P) nên (Q) có phương trình dạng: (Q) : 2x 3y z d 0,d 11 R 14 Theo giả thiết (Q) cắt (S) theo một đường tròn có bán kính r nên ta có: 2 2 21 d 3 21 d(I;(Q)) R2 r2 d 3 7 3 2 14 2 Vậy có hai mặt phẳng cần tìm là: (Q ) : 2x 3y z 3 7 3 0 1 (Q2 ) : 2x 3y z 3 7 3 0 24