Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 10 - Năm học 2017-2018 - Sở giáo dục và đào tạo Hải Dương

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 10 - Năm học 2017-2018 - Sở giáo dục và đào tạo Hải Dương

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH HẢI DƯƠNG LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2017 - 2018 ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút Ngày thi: 04/04/2018 (Đề thi gồm 01 trang) Câu I (2,0 điểm) 6x2 4x 2018 1) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y có tập xác (m 1) x2 2( m 1) x 4 định là . 2) Cho hai hàm số y x2 2 m 1 x 2 m và yx 23. Tìm m để đồ thị các hàm số đó cắt nhau tại hai điểm Avà B phân biệt sao cho OA22 OB nhỏ nhất (trong đó O là gốc tọa độ). Câu II (3,0 điểm) 1) Giải phương trình 3 5 x 3 5 x 4 2 x 7 2) Giải bất phương trình 11x22 19 x 19 x x 6 2 2 x 1 2 xy 4 xy y 4 y 2 y 5 1 3) Giải hệ phương trình 2xy x 2 y x 14 y 0 Câu III (3,0 điểm) 1) Cho tam giác ABC có AB 6; BC 7; CA 5.Gọi M là điểm thuộc cạnh AB sao cho AM 2 MB và N là điểm thuộc AC sao cho AN k AC ( k ).Tìm k sao cho đường thẳngCM vuông góc với đường thẳng BN . 2) Cho tam giác ABC có BC a,, CA b AB c và p là nửa chu vi của tam giác. Gọi I là tâm c( p a ) a ( p b ) b ( p c ) 9 đường tròn nội tiếp tam giác. Biết . Chứng minh rằng tam giác ABC IA222 IB IC 2 đều. 3) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có phương trình đường thẳng AB là xy 2 1 0 . Biết phương trình đường thẳng BD là xy 7 14 0 và đường thẳng AC đi qua điểm M(2,1).Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật. Câu IV (1,0 điểm) Một xưởng sản xuất có hai máy, sản xuất ra hai loại sản phẩm I và II. Một tấn sản phẩm loại I lãi 2 triệu đồng, một tấn sản phẩm loại II lãi 1,6 triệu đồng. Để sản xuất 1 tấn sản phẩm loại I cần máy thứ nhất làm việc trong 3 giờ và máy thứ hai làm việc trong 1 giờ. Để sản xuất 1 tấn sản phẩm loại II cần máy thứ nhất làm việc trong 1 giờ và máy thứ hai làm việc trong 1 giờ. Mỗi máy không đồng thời làm hai loại sản phẩm cùng lúc. Một ngày máy thứ nhất làm việc không quá 6 giờ, máy thứ hai làm việc không quá 4 giờ. Hỏi một ngày nên sản xuất bao nhiêu tấn mỗi loại sản phẩm để tiền lãi lớn nhất? Câu V (1,0 điểm) Chứng minh rằng với mọi số thực abc,, dương thỏa mãn abc2 2 2 27 thì: 1 1 1 12 12 12 . a b b c c a abc2 63 2 63 2 63 Hết Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Giám thị coi thi số 1: Giám thị coi thi số 2:
2. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO DỰ THẢO HƯỚNG DẪN CHẤM HẢI DƯƠNG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 10 THPT – NĂM HỌC 2017 - 2018 MÔN: TOÁN (Dự thảo hướng dẫn chấm gồm 6 trang) Câu Nội dung Điể m Câu Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số sau có tập xác định là 2 I.1 6x 4x 2018 1,0 đ y (m 1) x2 2( m 1) x 4 Hàm số có tập xác định khi và chỉ khi f()( x m 1) x2 2( m 1) x 40,  x . 0,25 Với m 1, ta có f( x ) 4 0,  x . Do đó m 1 thỏa mãn. 0,25 m 1 Với m 1, f( x ) 0,  x (mm 1)2 4( 1) 0 0,25 m 1 (mm 1)( 5) 0 1 m 5. Vậy1 m 5. 0,25 Câu Cho hàm số y x2 2 m 1 x 2 m và hàm số yx 23. Tìm m để đồ thị các hàm số đó I.2 cắt nhau tại hai điểm A và B sao cho OA22 OB nhỏ nhất (trong đó O là gốc tọa độ) 1,0 đ Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị x2 2 m 1 x 2 m 2 x 3 hay x2 2 mx 2 m 3 0(*) 0,25 Ta có: ' mm2 2 3 0 với mọi m nên (*) luôn có hai nghiệm phân biệt hay hai đồ 0,25 thị luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt A,B. Gọi xxAB, là hai nghiệm của phương trình (*). Khi đó A xAABB;2 x 3 , B x ;2 x 3 Ta có OA xAABB;2 x 3 , OB x ;2 x 3 . 2 2 222 2 OA OB xAABB 2 x 3 x 2 x 3 0,25 22 5 xABAB x 12 x x 18 2 5 xABABAB x 12 x x 18 10 x x 1 Theo định lí Vi-et ta có xABAB x 2 m , x x 2 m 3 11 119 Khi đó (1) trở thành OA2 OB 2 20 m 2 44 m 48 20(m )2 10 5 0,25 119 11 11 Tìm được OA22 OB nhỏ nhất bằng khi m . Vậy m là giá trị của m cần 5 10 10 tìm.
3. CâuII. Giải phương trình: 3 5 x 3 5 x 4 2 x 7 1 1,0 đ 4 Điều kiện: x 5 (*) 5 3 5 x 3 5 x 4 2 x 7 0,25 3 5 x (7 x ) 3 5 x 4 x 0 2 45 xx 2 3 4 5xx 0 3 5 x (7 x ) 5 x 4 x 13 0,25 4 5xx 2 0 ( ) 3 5 x (7 x ) 5 x 4 x 13 4 do 0  x [ ,5] nên 3 5 x (7 x ) 5 x 4 x 5 ( ) 4 5xx 2 0 0,25 x 1 x 4 Đối chiếu điều kiện thấy thỏa mãn. Vậy tập nghiệm của phương trình là S {1;4} 0,25 CâuII. Giải bất phương trình 11x22 19 x 19 x x 6 2 2 x 1 2 1,0 đ xx2 60 Điều kiện: 2xx 1 0  3 0,25 2 11xx 19 19 0 Bất phương trình đã cho tương đương với 2 11x2 19 x 19 ( x 2)( x 3 2 2 x 1 10x2 26x 17 4 (2 x 1)( x 3)2 x 0,25 5(2x22 5 x 3)42 x 5 x 3 x 2( x 2)0 2x22 5 x 3 2 x 5 x 3 5. 4 1 0 xx 2 2 0,25 2xx2 5 3  1 x 2 2x22 5 x 3 x 2  2 x 6 x 5 0 3 19 3 19 Ta được x 22 3 19 Kết hợp điều kiện x 3 được 3 x 0,25 2 3 19 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: S [3; ) 2
4. CâuII. 2 xy 4 xy y 4 y 2 y 5 1 3 Giải hệ phương trình: 2xy x 2 y x 14 y 0 1,0 đ 2 22 2xy 1 y x 2 y 5 y 1 Hệ phương trình x 2 y 2 xy 1 12 y 2 0,25 Xét y= 0 không là nghiệm hpt Xét y 0 chia 2 vế phương trình (1) cho y2 , chia 2 vế phương trình (2) cho y ta được: 2 1 2x x 2 y 5 y 0,25 1 x 2 y 2 x 12 y 1 ax 2 ab2 5 a 3 Đặt y có HPT ab 12 b 4 b x2 y 0,25 1 23x hay y xy 24 71 0,25 Giải hệ ta được nghiệm (-2;1) và ; 24 Câu Cho tam giác ABC có AB = 6 ; BC = 7 ;CA = 5 . M là điểm thuộc cạnh AB sao cho AM III.1 = 2MB ; N thuộc AC sao cho AN k AC .Tìm k để CM vuông góc với BN 1,0 đ 2 CM AM AC AB AC và BN AN AB k AC AB 3 0,25 2 2k 2 22 Suy ra CM BN ( AB AC )( k AC AB ) ABAC AB k AC ABAC 3 3 3 0,25 2 2 2 2 2 AB AC BC AB AC CB AB.6 AC 2 0,25 22k 22 BN CM BN. CM 0 AB . AC AB k AC AB . AC 0 33 2k 2 6 0,25 .6 .36 25k 6 0 21 k 18 0 k 3 3 7 Câu Cho tam giác ABC có BC a,, CA b AB c và p là nửa chu vi của tam giác. Gọi I là III.2 c( p a ) a ( p b ) b ( p c ) 9 tâm đường tròn nội tiếp tam giác. Biết 222 . Chứng minh 1,0 đ IA IB IC 2 rằng tam giác ABC đều.
5. 0,25 Gọi M là tiếp điểm của AC với đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Khi đó ta có AM p a, IM r . Áp dụng định lí Pitago trong tam giác AIM ta có IA2 AM 2 MI 2 () p a 2 r 2 S 2 2S 2 Gọi S là diện tích tam giác ABC thì r nên IA ()() p a p p 0,25 (p a )( p b )( p c ) ( p a ) bc Mà S2 p( p a )( p b )( p c ) nên IA22 () p a pp c() p a p Suy ra . 2 b IA 0,25 a() p b p b() p c p Tương tự và . IB2 c IC 2 a Từ đó c()()() p a a p b b p c ppp1 1 1 1 9 (abc )( ) . IA222 IB IC a b c 22abc 0,25 Dấu bằng đạt được khi abc c( p a ) a ( p b ) b ( p c ) 9 Vậy chỉ khi tam giác ABC đều. IA222 IB IC 2 Câu Trong mặt phẳng toạ độ C , cho hình chữ nhật ABCD có phương trình đường thẳng AB: III.3 xy 2 1 0 , phương trình đường thẳng BD: xy 7 14 0 , đường thẳng AC đi qua M(2; 1). Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật. 1,0 đ Do B là giao của AB và BD nên toạ độ B là nghiệm của hệ: 21 x xy 2 1 0 5 21 13 B(;) xy 7 14 0 13 55 y 5 0,25 Do ABCD là hình chữ nhật nên góc giữa hai đường thẳng AC và AB bằng góc giữa hai 22 đường thẳng AB và BD. Giả sử nAC ( a ; b ),( a b 0) là VTPT của AC. Khi đó cos( nAB , n BD ) c os( n AC , n AB ) 3 22 a 2 b a b 2 0,25 ab 7a22 8 ab b 0 b a 7 + Với ab . Chọn a = 1, b = -1.
6. Phương trình AC: x – y – 1 = 0 0,25 x y 1 0 x 3 A  AB AC nên toạ độ A là nghiệm của hệ: A(3;2) x 2 y 1 0 y 2 Gọi I là giao của AC và BD thì toạ độ I là nghiệm của hệ: 7 x xy 10 2 75 I(;) xy 7 14 0 5 22 y 2 14 12 Do I trung điểm AC và BD nên tính được CD(4;3); ( ; ) 55 + Với ba 7 ( Loại vì khi đó AC không cắt BD) 0,25 Câu Một xưởng sản xuất có hai máy sản xuất ra hai loại sản phẩm I và II. Một tấn sản phẩm I IV 1,0 lãi 2 triệu đồng, một tấn sản phẩm II lãi 1,6 triệu đồng. Để sản xuất 1 tấn sản phẩm loại I thì đ máy thứ nhất làm việc trong 3 giờ và máy thứ hai làm việc trong 1 giờ. Để sản xuất 1 tấn sản phẩm loại II thì máy thứ nhất làm việc trong 1 giờ và máy thứ hai làm việc trong 1 giờ . Mỗi máy không đồng thời làm hai loại sản phẩm cùng lúc. Một ngày máy thứ nhất làm việc không quá 6 giờ , máy thứ hai làm việc không quá 4 giờ. Hỏi một ngày sản xuất bao nhiêu tấn mỗi loại sản phẩm để tiền lãi lớn nhất? Gọi x, y là số tấn sản phẩm loại I, II cần sản xuất trong một ngày ( xy;0 ). Tiền lãi một ngày là L 2 x 1,6 y (triệu đồng). Một ngày máy thứ nhất làm việc 3xy giờ, máy thứ hai làm việc xy giờ. 0,25 xy;0 Theo gt có: 36xy xy 4 Khi đó bài toán trở thành tìm x; y thỏa mãn hệ trên sao cho L 2 x 1,6 y đạt giá trị lớn 0,25 nhất Vẽ các đường thẳng 3x y 6, x y 4. Ta có các điểm M(;) x y với(;)xy là nghiệm của f(x)=6-3x hệ bất phương trình trên thuộc miền trong tứ giác OABC, kể cả các điểm f(x)=4-xtrên cạnh tứ giác. y 8 7 6 5 C 4 B 3 2 1 A x -6 -5 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -1 0,25 -2 -3 -4 -5 -6 -7 L đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh của tứ giác.Thay tọa độ các điểm OABC(0;0), (2;0), (1;3), (0;4) vào biểu thức L ta được L đạt giá trị lớn nhất tại B(1;3) . Khi 0,25 đó L 2 x 1,6 y 2.1 1,6.3 6,8. Vậy để thu được tiền lãi cao nhất thì mỗi ngày sản xuất 1 tấn sản phẩm loại I và 3 tấn sản phẩm loại II
7. Câu V . Chứng minh rằng với mọi số thực abc,, dương thỏa mãn abc2 2 2 27 thì: 1,0 đ 1 1 1 12 12 12 . a b b c c a abc2 63 2 63 2 63 1 1 1 1 1 4 22 abbc abbc (a b )( b c ) abc 2 Chứng minh tương tự ta có 1 1 4 b c a c a 2 c b 0,25 1 1 4 a b a c b 2 a c 1 1 1 1 1 1 Suy ra 2 abcbac bacabcbca 2 2 2 16 Ta chứng minh . Thật vậy: b 2 a c a2 63 16 2 b 2 a c a 63 0,25 a2636126 b a c 2 a 2 b 2 c 2 3661260 b a c 2(abc 3)2 ( 3) 2 ( 3) 2 0 Điều này luôn đúng. Dấu bằng đạt được khi và chỉ khi abc 3 1 1 1 6 6 6 Vậy b 2 a c a 2 b c b 2 c a abc2 63 2 63 2 63 1 1 1 12 12 12 Suy ra 0,25 a b b c c a abc2 63 2 63 2 63 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 3. 0,25 Lưu ý: Học sinh làm theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.