Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 12 - Năm học 2018-2019

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 12 - Năm học 2018-2019

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM 2018-2019 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Mụn thi: TOÁN VềNG 2 (Đề thi cú 02 trang) Thời gian làm bài: 180 phỳt, khụng kể thời gian phỏt đề Họ, tờn thớ sinh: Số bỏo danh: STRONG TEAM TOÁN VD-VDC-ĐỀ THI-CHUYấN ĐỀ Cõu 1. Giải phương trỡnh nghiệm nguyờn: x3 y3 x2 y xy2 4Ăx2 xy y2 1. + + + = + + + Lời giải Nhận xột: x y 6= 2Ăx2 y2 4xy 1 ⇒ + > | + | x3 y3 x2 y xy2 4Ăx2 xy y2 1 Ăx2 y2Â(x y 4) 4xy 1 + + + = + + + ⇔ + + − = + ¯ Ă 2 2 ¯ 2 4xy 1 ¯2 x y (x y 4)¯ 4xy 1 x y 4 ⇒ | + | = + + − > | + || + − | 2 x y 4 ⇒ > | + − | x y 3;4;5 ⇒ + = x y 3 khụng thỏa + = x y 4 khụng thỏa + = x y 5 tỡm được x 1; y 4hoặc x 4; y 1 + = = = = = ọ STRONG TEAM TOÁN VD-VDC-ĐỀ THI-CHUYấN ĐỀ ³ π´ Cõu 2. Cho x, y 0; . Chứng minh rằng: ∈ 2 1 1 1 9 sin2 xsin2 y 1 + sin2 xcos2 y 1 + cos2 x 1 ≤ 2Ăsin2 xsin2y sin2xsin y sin2xcos y + + + + + Lời giải Đặt a sin xsin y, b sin xcos y, c cos x thỡ a, b, c 0 và a2 b2 c2 1 = = 1 1 = 1 > 9 + + = Ta cần chứng minh a2 1 + b2 1 + c2 1 ≤ 4(ab ac bc) 1 1 + 1 + 1+ + 1 + 1 2(a b c) Thật vậy, + + a2 1+ b2 1+c2 1 ≤ (a b)(a c)+(b c)(b a)+(c a)(c b) = (a b)(a c)(b c) Mà + + + + + + + + + + + + (a b)(a c)(b c) (a b c)(ab ac bc) abc + + + = + + +1 + − (a b c)(ab ac bc) (a b c)(ab ac bc) ≥ + + + + − 9 + + + + 8 (a b c)(ab ac bc) = 9 + + + + 1 1 1 9 Nờn a2 1 + b2 1 + c2 1 ≤ 4(ab ac bc) + + + + + 1 1 1 π Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c a b c x arccos , y = = = p3 ⇔ = = = p3 ⇔ = p3 = 4 ọ Trang 1/2
2. STRONG TEAM TOÁN VD-VDC-ĐỀ THI-CHUYấN ĐỀ Cõu 3. Cho tam giỏc ABC cú AB AC và nội tiếp đường trũn (O) .Phõn giỏc trong gúc < BACƒ cắt (O) tại điểm D khỏc A, lấy E đối xứng B qua AD, đường thẳng BE cắt (O) tại F khỏc B. Lấy điểm G di chuyển trờn cạnh AC (G khỏc A,C), đường thẳng BG cắt (O) tại H khỏc B. Đường thẳng qua C song song AH cắt FD tại I. Đường trũn ngoại tiếp tam giỏc BCG cắt EI tại hai điểm phõn biệt K,L. Chứng minh rằng đường trung trực đoạn thẳng KL luụn đi qua một điểm cố định. Lời giải Gọi giao điểm của đường thẳng EI và BC là J. DF là trục đối xứng của EC CEJ ECI Hƒ AC HBCƒ nờn tứ giỏc BGEJ nội tiếp = = =k CE.CG CJ.CB Phộp nghịch đảo NC= = biến đường trũn (BCG) thành đường thẳng EJ nờn biến K,L thành chớnh nú. Do đú CK2 CL2 k hay đường trung trực đoạn thẳng KL luụn đi qua điểm C cố định. = = ọ STRONG TEAM TOÁN VD-VDC-ĐỀ THI-CHUYấN ĐỀ Cõu 4. Cho 2018 tập hợp mà mỗi tập chứa đỳng 45 phần tử. Biết rằng hai tập tựy ý trong cỏc tập này đều cú đỳng một phần tử chung. Chứng minh rằng tồn tại phần tử thuộc tất cả 2018 tập hợp đó cho. Lời giải Lấy tập A tựy ý, trong A sẽ cú phần tử a thuộc ớt nhất 45 tập hợp khỏc. Nếu khụng, số tập hợp khụng quỏ 45x44 + 1 = 1981. Suy ra a thuộc 46 tập A, A1, , A45. Với tập B bất kỡ, nếu a khụng thuộc B thỡ với mỗi tập Ai (1 i 45) đều cú phần tử ai chung ≤ ≤ với B mà ai a . 6= Thành ra B khụng cú phần tử chung với A, nếu cú thỡ phần tử chung đú phải thuộc tập Ai (1 i 45) nào đú nờn A và Ai (1 i 45) cú 2 phần tử chung. (Vụ lớ) ≤ ≤ ≤ ≤ Nờn a thuộc B, do đú a thuộc 2018 tập đó cho. ọ Trang 2/2