Đề luyện thi Trung học phổ thông quốc gia môn Toán Lớp 12 - Đề số 5 (Kèm đáp án)

Nội dung text: Đề luyện thi Trung học phổ thông quốc gia môn Toán Lớp 12 - Đề số 5 (Kèm đáp án)

1. ®Ò sè 19 Câu 1. Cho số phức z a a2 1 i với a ¡ . Khi đó điểm biểu diễn của số phức liên hợp của z nằm trên: A. Đồ thị hàm số y x 1 . B. Đồ thị hàm số y x 1 . C. Parabol y x2 1 . D. Parabol y x2 1. Lời giải Chọn.D. Số phức liên hợp của z a a2 1 i là z a a2 1 i . Điểm biểu diễn z có tọa độ M a; a2 1 , điểm M có tọa độ thỏa mãn Parabol y x2 1 nên đáp án là.D. Câu 2. Cắt miếng bìa hình tam giác đều cạnh bằng 1 như hình và gấp theo các đường kẻ, sau đó dán các mép lại để được hình tứ diện đều. Tính thể tích V của tứ diện tạo thành. 2 3 3 2 A. V . B. .V C. . V D. . V 96 16 32 12 Lời giải Chọn.A. A B C O M D Gọi khối tứ diện đều tạo thành là ABCD , điểm O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD . 2 1 3 1 2 3 Ta có các cạnh của tứ diện bằng nhau và bằng nên S . 2 BCD 4 16 1 3 3 1 1 6 BO 2 AO AB2 BO2 3 6 4 12 6 1
2. 1 3 6 2 Vậy V . . . 3 16 6 96 a3 2 Chú ý: Nếu nhớ được thể tích khối tứ diện đều cạnh bằng a là V thì suy được ra đáp 12 số luôn. Câu 3. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương cạnh bằng 2 . A. .S 8 3 B. . SC. .4 8 D. S 2 3 S 12 . Lời giải Chọn.D. Đường chéo lớn của hình lập phương cạnh bằng 2 là 2 3 . Mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương có tâm là trung điểm của đường chéo hình lập phương đó nên bán kính mặt cầu R 3 . Vậy diện tích mặt cầu S 4 R2 12 . Câu 4. Tìm các số phức z thỏa mãn z2 2 1 i z 1 2i 0 . A. z1 1; z2 1 2i . B. z1 1; z2 1 2i . C. z1 1; z2 1 2i . D. z1 1; z2 1 2i . Lời giải Chọn.B. 2 Phương trình z 2 1 i z 1 2i 0 có tổng các hệ số bằng 0 nên có hai nghiệm là z1 1 ; 1 2i z 1 2i . 2 1 Câu 5. Đồ thị được cho trong hình bên là đồ thị của hàm số nào trong các hàm số sau? y O 1 x A. .y x3 3B.x2 . C. y x3 3x 1 y x3 3x2 1. D. .y x3 3x Lời giải Chọn.C. Đồ thị hàm số có một điểm cực trị có hoành x 0 và giá trị cực trị tại x 0 là y 1 nên chỉ có hàm số ở C thỏa mãn. Câu 6. Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số C : y x x2 2x 3 . A. y 1. B. .y 1 C. .y x D. Không có tiệm cận ngang. 2
3. Lời giải Chọn.A. Tập xác định: D R lim x x2 2x 3 1 x Ta có: Tiệm cận ngang của đồ thị là y 1 . lim x x2 2x 3 x Câu 7. Hàm số nào sau đây đồng biến trên ¡ ? A. .y x taB.n x. y x4 2x2 3 C. .y x D.cos 2x y x3 x 5. Lời giải Chọn.D. Xét y x3 x 5 Tập xác định: D ¡ y 3x2 1 0x ¡ Hàm số y x3 x 5 đông biến trên ¡ . Câu 8. Tìm nguyên hàm I 2 ex dx . A. I 4 ex C . B. .I 2 C.ex . C D. . I 3 ex C I 4e x C Lời giải Chọn.A. x I 2 ex dx 2 e 2 dx 4 ex C . 2 Câu 9. Số nghiệm của phương trình 22x 7 x 5 1 là: A. 2 nghiệm. B. 3nghiệm. C. nghiệm.1 D. Vô nghiệm. Lời giải Chọn.A. 5 2 x 22x 7 x 5 1 2x2 7x 5 0 2 . x 1 x t Câu 10. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d : y 1 . Điểm N đối xứng z 1 2t với điểm N 0;2;4 qua đường thẳng d có tọa độ là: A. .N 0; 4B.;2 N 4;0;2 . C. .N 0;2;D. 4. N 2;0; 4 Lời giải Chọn.B. Phương trình mặt phẳng P qua N 0;2;4 vuông góc đường thẳng d có VTPT  n ud 1;0; 2 : x 2 z 4 0 x 2z 8 0 Gọi I d  P 3
4. t 2 1 2t 8 0 t 2 I 2;1;3 N đối xứng với N qua d I là trung điểm NN x x x N N I 2 xN 4 yN yN yI yN 0 2 zN 2 zN zN zI 2 N 4;0;2 . Câu 11. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , mặt phẳng P : mx ny 2z 1 0 có vector pháp tuyến là n 3;2;1 khi: m 0 m 3 m 2 m 6 A. . B. . C. . D. . n 2 n 2 n 1 n 4 Lời giải Chọn.D. m 6 Vector pháp tuyến của mặt phẳng P là n m;n;2 . n 4 Câu 12. Đặt log2 20 . Khi đó log20 5 bằng : 3 1 2 4 A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn C log2 5 log2 20 log2 4 2 log20 5 . log2 20 log2 20 Câu 13. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Khi quay các cạnh của hình chóp S.ABC xung quanh trục AB . Hỏi có bao nhiêu hình nón được tạo thành? A. Hai hình nón. B. Một hình nón. C. Ba hình nón. D. Không có hình nón nào. Lời giải Chọn.A. Hình nón tạo thành khi quay tam giác SAB và tam giác ABC . 1 1 Câu 14. Cho m 0 . Tìm điều kiện của tham số m để dx 1 0 2x m 1 1 1 A. .m B. . m 0 C. 0 m . D. .m 4 4 4 Lời giải Chọn.C. 4
5. 1 1 1 dx 1 2x m 1 2 m m 1 0 0 2x m m 0 1 2 m 1 m 0 m . 2 m 1 4 Câu 15. Cho số phức z thỏa z 1 . Khẳng định nào sau đây đúng A. Tập hợp điểm biểu diễn của số phức z là một đường thẳng. B. Tập hợp điểm biểu diển của số phức z là đường tròn có bán kính bằng 2. C. Tập hợp điểm biểu diển của số phức z là đường tròn có bán kính bằng 1. D. Tập hợp điểm biểu diển của số phức z là đường tròn có tâm I 1;1 . Lời giải Chọn.C. Gọi z x yi với x, y R Ta có: z 1 x2 y2 1 nên tập hợp điểm biểu diển của số phức zlà đường tròn tâm O bán kính R 1 . x sin 8x Câu 16. Hàm số y là nguyên hàm của hàm số nào sau đây? 2 16 sin8x cos8x A. .y B. . C. y. sin2 4D.x y y cos2 4x . 8 8 Lời giải Chọn.D. x sin8x 1 1 2 Ta có: y F ' x ' cos8x cos 4x . 2 16 2 2 Câu 17. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M 2;3;5 và đường thẳng x 1 y 2 z 2 d : . Phương trình mặt phẳng P đi qua điểm M và vuông góc với 1 3 2 đường thẳng d là? A. . P : x 3y 2z 21B. .0 P : 2 x 3y 5z 21 0 C. P : x 3y 2z 21 0 . D. . P : 2 x 3y 5z 21 0 Lời giải Chọn.C. d có VTCP u 1;3;2 . Vì P  d nên P có PVT n u 1;3;2 . P đi qua M 2;3;5 và có PVT n 1;3;2 nên có phương trình là: x 2 3 y 3 2 z 5 0 x 3y 2z 21 0 . 2 Câu 18. Tìm khoảng đồng biến của hàm số y ex 1 trên tập số thực. A. 0; . B. . 1;1 C. . D.; . ; 1 Lời giải Chọn.A. 5
6. TXĐ: D ¡ . 2 y ' 2xex 1 . y ' 0 x 0 . BBT: x 0 y 0 y 1 Dựa vào BBT, ta chọn đáp án.A. x2 3x 3 Câu 19. Hàm số y có bao nhiêu điểm cực trị. x 2 A. Có 1 điểm cực trị. B. Có 2 điểm cực trị. C. Không có cực trị. D. Có 3 điểm cực trị. Lời giải Chọn.B. TXĐ: D ¡ \ 2 x2 4x 3 y ' . x 2 2 y ' 0 x 1 x 3. x 1 y 1 và x 3 y 3 . Hàm số có hai điểm cực trị 1;1 ; 3; 3 . cot x Câu 20. Tìm tập xác định của hàm số y là. cos2 3x.cos 2x cos2 x   A. .¡ \ k ,k ¢  B. ¡ \ k ,k ¢ . 8 4  2    C. .¡ \ k ,k ¢  D. . ¡ \ k ,k ¢  4 2  4  Lời giải Chọn.B. cos x 0 x k ,k ¢ 2 Điều kiện 2 2 . cos 3x.cos 2x cos x 0 2 2 cos 3x.cos 2x cos x 0 * 1 cos6x 1 cos 2x * .cos 2 x 0 cos 2x cos6x.cos 2 x 1 cos 2x 0 2 2 cos 4x 1 1 cos8x cos 4x 1 0 2cos2 4x cos 4x 3 0 3 2 cos 4x ,x ¡ . 2 x k k ¢ . 2  Vậy TXĐ: ¡ \ k ,k ¢  . 2  6
7. Câu 21. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y cosx 2 cos2 x . 1 A. .m ax y 1 B. . C.ma .x y D. . max y 2 max y 2 3 Lời giải Chọn.C. Đặt t cosx t  1;1 và y t 2 t 2 . t 2 t 2 t t 0 y ' 0 2 t 2 t t 1 y ' 1 ; 2 2 . 2 t 2 2 t 2 2 t t y 1 0 ; y 1 2 . Vậy max y 2 . f x Câu 22. Biết lim f x 4 và I lim . Khi đó: x 1 x 1 x 1 4 A. .I B. I . C. .I 0 D. . I 4 Lời giải Chọn.B. 4 f x lim f x 4 0 và lim x 1 0 I lim . x 1 x 1 x 1 x 1 4 Câu 23. Cho hình hộp ABCD.A' B 'C ' D ' có thể tích bằng 2 2a3 , đáy ABCD là hình thoi cạnh a và B· AD 450 . Khoảng cách giữa hai đáy ABCD và A' B 'C ' D ' của hình hộp bằng: A. 4a . B. .2 a C. . 2 2a D. . 4 2a Lời giải Chọn.A. a2 2 Diện tích đáy ABCD là: S AB.AD.sin B· AD . ABCD 2 V 2 2a3 Vậy khoảng cách giữa hai đáy là: h S.ABCD 4a . 2 SABCD a 2 2 7
8. Câu 24. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với a3 mặt đáy. Gọi E là trung điểm CD . Biết thể tích khối chóp S.ABCD bằng . Khoảng cách từ 3 điểm A đến mặt phẳng SBE bằng: 2a a 2 a a 3 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3 Lời giải Chọn.A. 2 3VS.ABCD SABCD a SA a . SABCD Kẻ AK  BE K BE . BE  AK Ta có: BE  SAK SBE  SAK . BE  SA Kẻ AH  SK H SK AH  SBE d A; SBE AH . a 5 a2 2S 2a BE BC 2 CE 2 ; S S S S AK ABE . 2 ABE ABCD BCE ADE 2 BE 5 1 1 1 5 1 9 2a 2a AH . Vậy d A; SBE . AH 2 AK 2 SA2 4a2 a2 4a2 3 3 Câu 25. Gọi C là đồ thị của hàm số y x4 x . Tiếp tuyến của đồ thị C vuông góc với đường thẳng d : x 5y 0 có phương trình là: A. y 5x 3. B. .y 3x 5C. . D.y . 2x 3 y x 4 Lời giải Chọn.A. Gọi M x0 ; y0 là tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm Tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng d : x 5y 0 nên tiếp tuyến có hệ số góc k 5 . 3 3 y ' 4x 1 y ' x0 k 4x0 1 5 x0 1;y0 2 và M 1;2 . Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y 5 x 1 2 hay y 5x 3 . 8
9. Câu 26. Một viên đạn được bắn lên theo phương thẳng đứng với vận tốc ban đầu là 25 m / .s Gia tốc trọng trường là 9,8 m / s . Quảng đường viên đạn đi được từ lúc bắn lên cho đến khi chạm đất là: 3125 3125 125 6250 A. .s B.m s m . C. .s mD. . s m 8 49 49 49 Lời giải Chọn B Vận tốc của viên đạn được tính theo công thức: v t 25 9,8t m / s 125 Khi viên đạn chạm đất thì v t 0 t . 49 Quảng đường một vật di chuyển được 125 125 125 49 49 49 9,8 2 3125 S v t dt 25 9,8t dt 25t t . 0 0 2 0 49 x cos x khi x 0 x2 Câu 27. Cho hàm số f x khi 0 x 1 1 x 3 x khi x 1 Khẳng định nào sau đây đúng? A. Hàm số liên tục tại mọi điểm x ¡ . B. Hàm số liên tục tại mọi điểm trừ điểm.x 0 C. Hàm số liên tục tại mọi điểm trừ điểm x 1. D. Hàm số kiên tục tại mọi điểm trừ điểm x 0 và x 1 . Lời giải Chọn C TXĐ : D ¡ \ 0 . + Với x 0 , f x là tích của hàm số bậc nhất y x và y cos x . Cả hai hàm số này đều liên tục trên ¡ nên liên tục trên ;0 . Suy ra f x liên tục trên ;0 . + Với 0 x 1 , f x là hàm số phân thức hữu tỉ nên liên tục. + Với x 1 , f x là hàm số đa thức nên liên tục. + Tại x 1 , ta có x2 1 lim f x lim . x 1 x 1 1 x 2 lim f x lim x3 1. x 1 x 1 Vì lim f x lim f x nên hàm số không liên tục tại điểm x 1 . x 1 x 1 Câu 28. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M , N lần lượt là trung điểm SP 3 của AB , SC và P là điểm trên cạnh SD sao cho . Mặt phẳng MNP cắt cạnh SB SD 4 SQ tại điểm Q . Tỉ số bằng SB 9
10. 3 2 1 4 A. . B. . C. . D. . 4 3 2 5 Lời giải Chọn A S M P Q C D E B F N A K Trong SCD , gọi E MP CD . Trong ABCD , NF cắt AD, BC lần lượt tại F, K . Trong SBC , KM  SB Q . Trong SCD , gọi I là trung điểm SD . Kẻ DH // SC H ME , IJ // SC J ME . 1 1 ED DH 1 1 Khi đó DH IJ SM CM ED CD . 3 3 EC CM 3 2 Trong ABCD có DE NA nên F là trung điểm AD . Xét hai mặt phẳng ABCD và MPFNQ có ABCD  MPFNQ PQ BD  ABCD ; NF  MPFNQ PQ // BD . BD // NF SQ SP 3 Suy ra . SB SD 4 x2 khi x 1 Câu 29. Hàm số f x có đạo hàm tại điểm x 1 . Khi đó a 2b nhận giá trị nào ax b khi x 1 sau đây? A. .a 2b 1 B. a 2b 0 . C. .a 2b D.1 . a 2b 2 Lời giải Chọn B x2 khi x 1 Hàm số f x có đạo hàm tại điểm x 1 ax b khi x 1 f 1 f 1 a 2 . Ta lại có lim f x lim f x lim ax b lim x2 a b 1 b 1 . x 1 x 1 x 1 x 1 10
11. Vậy a 2b 0 . Câu 30. Vi phân của hàm số y tan2 x là. 2 tan x A. dy 2 tan x tan x 1 dx . B. .dy 2 dx cos x 2cot x 2sin x C. .d y D. . dx dy dx cos2 x sin2 x Lời giải Chọn A Ta có dy tan2 x dx 2 tan x tan2 x 1 dx . dx Câu 31. Tính nguyên hàm I . 2x x x x 2 2 A. .I B. C I C . x x x 1 2 1 C. .I D. . C I C x x 1 2 x x Lời giải Chọn.B. dx dx 2d x 1 2 Ta có: I C . 2 2x x x x x 2 x x 1 x 1 x 1 Câu 32. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang AB// CD . Gọi M, N lần lượt là trung điểm AD và BC . G là trọng tâm tam giác SAB . Thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (MNG) là hình bình hành thì A. AB 3CD . B. .AB 2CD C. .C D 3ABD. . CD 2AB Lời giải Chọn A S Q G P A B H N M D C Ta có MN // AB// CD . Dựng đường thẳng qua G và song song với ABcắt SA,SBlần lượt tại Q,P . Thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (MNG) là hình thang MNPQ 11
12. PQ SQ SG 2 CD SA SH 3 Thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (MNG) là hình bình hành AB CD 2 MP PQ AB AB 3CD . 2 3 Câu 33. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a . Mặt bên SAB là tam giác cân tại S và 0 nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết góc giữa SDC và (ABCD )bằng 60 . Tính thể tích V của khối chópS.ABCD a3 15 a3 3 a3 3 a3 15 A. .V B. . C.V V . D. .V 6 6 3 3 Lời giải Chọn.C. S A D K H B C Gọi H, K lần lượt là trung điểm AB,CD SH  AB, SH  (ABCD), SH  CD,CD  HK Vậy góc giữa SDC và (ABCD) bằng S· KH 600 SH HK tan 60 a 3 . 1 1 a3 3 Vậy V SH.S .a 3.a 2 và (ABCD) bằng 600 . 3 ABCD 3 3 Câu 34. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , mặt phẳng(P) lần lượt cắt O tạix, Oy,Oz . A,B,C G(1;2;3) là trọng tâm tam giácABC . Phương trình mặt phẳng (P) là x y z x y z A. (P) : 1. B. .(P) : 0 3 6 9 3 6 9 x y z x y z C. .( PD.) : . 1 (P) : 1 0 1 2 3 3 6 9 Lời giải Chọn.A. 12
13. Mặt phẳng(P) lần lượt cắt tạiOx ,Oy,Oz A(a;0;0),B(0;B;.0 ),C(0;0;c) là trọngG(1;2 ;tâm3) tam x y z giácABC nên (P) : 1,a 3,b 6,c 9 . a b c Câu 35. Từ một hình tròn tâm S và bán kính R người ta tạo ra các hình nón theo2 cách sau đây: 1 Cách 1 : Cắt bỏ hình tròn rồi ghép mép lại thành hình nón  4 1 1 Cách 2 : Cắt bỏ hình tròn rồi ghép mép lại thành hình nón  2 2 V1 Gọi lần1 , lượt2 là khối nón và 1 . Tính 2 V2 V 9 3 V 3 3 A. . 1 B. . 1 V2 4 2 V2 2 2 V 7 V 9 7 C. . 1 D. 1 . V2 2 3 V2 8 3 Lời giải Chọn.D. 3 1 7 3 Ta có: r R,r R l l R,h l 2 r 2 R,h l 2 r 2 R 1 4 2 2 1 2 1 1 1 4 2 2 2 2 2 V1 r1 h1 9 7 Do đó 2 . V2 r2 h2 8 3 Câu 36. Cho tứ diện ABCD , xét điểm M thay đổi trên cạnh AB (M A, M B) . Gọi (P) là mặt phẳng đi qua M , song song với AC và BD . Thiết diện của tứ diện với mặt phẳng (P) có diện AM tích lớn nhất thì tỉ số bằng: AB 1 3 1 2 A. . B. . C. . D. . 2 4 3 3 Lời giải Chọn.A. 13
14. · A Ta có SMNPQ MN.MQ.sin NMQ . AM Đặt t MQ tBD , MN (1 t)AC M Q AB · SMNPQ t(1 t)BD.AC.sin NMQ . B D 1 S lớn nhất t 1 t t . . MNPQ 2 N P C Câu 37. Tìm các số phức z thỏa mãn z2 3 4i . A. .z 1 2 i; z2 2 i B. . z1 2 i; z2 2 i C. z1 2 i ; .z 2 2 i D. . z1 2 i; z2 2 i Lời giải Chọn.A. 2 2 2 a b 3 a 2;b 1 z 3 4i . 2ab 4 a 2;b 1 2x 1 y Câu 38. Hình bên là đồ thị của hàm số y . Tìm x 1 tất cả các giá trị thực của tham số m để 2x 1 2 phương trình 3m 1 có hai nghiệm x 1 phân biệt. x 0 1 1 1 A. . m B. Không có . m 3 3 C. .m 1. D. . 2 m 0 Lời giải Chọn.A. 2x 1 Từ đồ thị đã cho, ta suy ra đồ thị của hàm số y . Từ đó ta có kết quả thảo mãn yêu cầu x 1 1 1 bài toán 2 3m 1 0 m . 3 3 14
15. y 2 x 0 1 . Câu 39. Cho tứ diện ABCD có AB a , AC a 2 , AD a 3 , các tam giác ABC, ACD, ABD là các tam giác vuông tại đỉnh A. Tính khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng (BCD) . a 6 a 30 a 3 a 66 A. .d B. . dC. . D. . d d 3 5 2 11 Lời giải Chọn.A. Gọi H là trực tâm tam giác BCD . Khi đó AH  (BCD) d(A,(BCD)) AH . Ngoài phương pháp tính thể tích khối tứ diện, ta có thể sử dụng công thức: 1 1 1 1 a 66 AH . AH 2 AB2 AC 2 AD2 11 Câu 40. Tìm đường thẳng d cố định luôn tiếp xúc với đồ thị hàm số (C) : y x2 (2m 3)x m2 2m (m là tham số thực). A. .y x 1 B. . yC. . x 1 D. . y x 1 y x 1 Lời giải Chọn.A. x2 (2m 3)x m2 2m a.x b Kiểm tra hệ phương trình có nghiệm với mọi x , trong đó 2x 2m 3 a y ax b là phương trình các đường thẳng có trong các phương án chọn. 1 π π π 2 Câu 41. Rút gọn biểu thức P a b 4 π ab với a 0,b 0 . A. .P aπ B. 2 .b π C. . P D.aπ bπ . P aπ bπ . P aπ bπ . Lời giải Chọn.D. 2 P = a2p + b2p + 2apbp - 4apbp = (ap - bp ) = ap - bp . . Câu 42. Tập nghiệm bất phương trình 32 x 2 2.6 x 7.4 x 0 là: A. .S 1; B. C. S 1;0 . S 0; D. S ; 1 . Lời giải 15
16. Chọn.C. 32x+ 2 - 2.6x - 7.4x > 0 Û 9.9x - 2.6x - 7.4x > 0 æ3ö2x æ3öx æ3öx Û 9×ç ÷ - 2×ç ÷ - 7> 0 Û ç ÷ > 1 Û x > 0. . èç2ø÷ èç2÷ø èç2ø÷ 2(x 2 + 6xy) Câu 43. Xét x,y là các số thực thỏa mãn điều kiện x 2 + y2 = 1 . Đặt S = . Khẳng định x 2 + 2xy + 3y2 nào sau đây là đúng? A. Biểu thức S không có giá trị nhỏ nhất. B. minS = - 6. C. Biểu thức S không có giá trị lớn nhất. D. .max S = 2 Lời giải Chọn.B. 2(x 2 + 6xy) S = x 2 + 2xy + 3y2 Với y = 0Þ S = 2. Với y ¹ 0 chia tử và mẫu của S cho y2 ta được: é 2 ù êæx ö x ú 2 ç ÷ + 6 êèçy ø÷ y ú ëê ûú S = 2 æx ö x ç ÷ + 2 + 3 èçy ø÷ y x Đặt t = ta có y 2(t 2 + 6t ) S = Û (S- 2)t 2 + 2(S- 6)t + 3S = 0 (*) t 2 + 2t + 3 3 Với S = 2 phương trình có nghiệm t = . 4 2 Với S ¹ 0 ta có: D¢= (S- 6) - 3S(S- 2)= - 2S2 - 6S + 36 Phương trình (*) luôn có nghiệm t do đó D¢³ 0 Û - 6£ S £ 3 . Vậy giá trị nhỏ nhất của S là - 6. . Câu 44. Giả sử log2 là 0,3010 khi viết 22008 trong hệ thập phân ta được một số có bao nhiêu chữ số. A. 605 B. .5 50. C. . 600. D. 575. Lời giải Chọn.A. x = 22008 Û logx = 2008.log2. Ta biết logx = n , với x ³ 1 , khi viết x trong hệ thập phân thì các chữ số đứng trước dấu phẩy của x là n + 1 số trong đó n = [logx] là phần nguyên của logx. Vậy số chữ số cần tìm là: [logx]+ 1= [2008.log2]+ 1= 605. . 16
17. x - 1 y + 2 z Câu 45. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d : = = và mặt phẳng 1 1 1 (P): 2x + y - 2z + 2= 0. Gọi (S) là mặt cầu có tâm nằm trên d , tiếp xúc với mặt phẳng (P) và đi qua điểm A(2;- 1;0) . Biết tâm của mặt cầu có cao độ không âm, phương trình mặt cầu (S) là: 2 2 2 2 2 2 A. .( x - 2) + (y -B.1 ). + (z- 1) = 1 (x + 2) + (y + 1) + (z- 1) = 1 2 2 2 2 2 2 C. .( x - 2) + (y -D.1 ) + (z + 1) = 1 (x - 2) + (y + 1) + (z- 1) = 1. Lời giải Chọn.D. Gọi tâm mặt cầu là I . ïì x = 1+ t ï I Î d :íï y = - 2+ t Þ I (1+ t;- 2+ t;t ) ï îï z = t 2(1+ t)+ (- 2+ t)- 2t + 2 t + 2 d(I ,(P))= = 3 3 IA = (t - 1)2 + (t - 1)2 + t 2 ét = 1 2 2 2 ê Khi đó d(I ,(P))= IA Û (t + 2) = 9(3t - 4t + 2) Û 26t - 40t + 14 = 0 Û ê 7 êt = ëê 13 2 2 2 * Với t = 1 Þ I (2;- 1;1) và R = 1. Phương trình (S): (x - 2) + (y + 1) + (z- 1) = 1 . 7 æ20 19 7 ö 11 * Với t = Þ I ç ;- ; ÷ và R = . Không có đáp án. 13 èç13 13 13ø÷ 13 Câu 46. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A( 4; 2;4) và đường thẳng x 3 2t d : y 1 t . Phương trình đường thẳng đi qua A, cắt và vuông góc với d là: z 1 4t x 4 y 2 z 4 x 4 y 2 z 4 A. : B. : . . 3 2 1 1 4 9 x 4 y 2 z 4 x 4 y 2 z 4 C. . : D. . : . 3 2 1 3 2 1 Lời giải Chọn.A. Δ A H d Gọi H là hình chiếu của A lên đường thẳng d H ( 1;0;3). 17
18. x 4 y 2 z 4 Đường thẳng đi qua A và H nên có phương trình : . . 3 2 1 x2 2mx 2 Câu 47. Cho hàm số y có đồ thị C ,với m là tham số. Biết rằng hàm số đã cho có x m m một điểm cực trị x0 2. Tung độ điểm cực tiểu của đồ thị Cm . A. . 2. B. . 2 2. C. . 2.D. 2 2. Lời giải Chọn D x2 2mx 2m2 2 y x m 2 Gọi là biệt thức thu gọn của đa thức x2 2mx 2m2 2 Điều kiện để hàm số có cực trị là 0 m2 2 0 2 m 2. 2 x0 2 là điểm cực trị suy ra f ( 2) 0 m 2 m 0 m 0(N)  m 2(L). x2 2 Với m 0 thì y x2 y 0 x2 2 0 x 2. Dựa vào BBT ta thấy x 2 là hoành độ điểm cực tiểu của hàm số. Suy ra tung độ điểm cực tiểu của đồ thị Cm là f 2 2 2. . Câu 48. Cho tứ diện đều ABCD.Gọi M , N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, AD và G là trọng tâm của tam giác BCD. Gọi là số đo của góc giữa hai đường thẳng MG và NP .Khi đó cos bằng 2 2 3 3 A. B. . . C. . . D. . 6 4 4 6 Lời giải Chọn.A. A M P Q B D G N C Giả sử tứ diện có cạnh là 1. Kẻ GQ song song NP và cắt AD tại Q. Lúc đó cos MG, NP cos MG,GQ cos M· GQ AB 3 3 1 1 2 2 Ta có MG , ND NB ND2 PD2 GQ NP 2 2 4 4 2 3 3 18
19. 2 2 2 1 2 1 2 0 1 4 1 13 13 MQ 2. . .cos60 MQ . 2 3 2 3 4 9 3 36 6 1 2 13 2 2 2 MG GQ MQ 1 2 cos 4 9 36 2.MG.GQ 1 2 3 2 6 2. . 2 3 Câu 49. Tong không gian, cho hai điểm A,B cố định và độ dài đoạn thẳng AB bằng 4. Biết rằng tập hợp các điểm M sao cho MA 3MB là một mặt cầu. Tìm bán kính R của mặt cầu đó. 9 3 A. .R 3. B. . R .C. . D.R 1. R . 2 2 Lời giải Chọn.D. M A E B I F Gọi E,F lần lượt là các điểm chia trong và chia ngoài đoạn thẳng AB theo tỉ số đã cho. Tức E,F     thoả EA 3EB, FA 3FB. Ta thấy E,F là hai điểm thuộc mặt cầu. Giả sử M là một điểm thuộc mặt cầu (thoả mãn MA 3MB ). MA EA MA FA Lúc đó ta có , điều này chứng tỏ ME, MF lần lượt là phân giác trong và MB EB MB FB ngoài của góc M trong tam giác MAB, Suy ra ME  MF . Do E,F cố định suy ra M thuộc mặt cầu có đường kính là EF. 3 Dễ dàng tính được EF 3 R . . 2 Câu 50. Gọi a và b là hai số thực thoả mãn đồng thời a b 1 và 4 2a 4 2b 0,5. Khi đó tích ab bằng 1 1 1 1 A. . . B. . . C. D. . 4 2 2 4 Lời giải Chọn A a b 1 b 1 a và Thế vào ta được 4 2a 42a 2 0,5 đặt t 42a 1 t Phương trình tương đương 0,5 16 t 2 8t t 4 42a 4 t 16 1 1 1 a b a.b . 2 2 4 HẾT 19