Đề kiểm tra môn Toán Lớp 11 - Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác - Đề số 12 - Năm học 2017-2018

Nội dung text: Đề kiểm tra môn Toán Lớp 11 - Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác - Đề số 12 - Năm học 2017-2018

1. Câu 1: (Tạp chí THTT – Tháng 4 năm 2017 – 2018) Phương trình 1 sin x 1 cos x m có nghiệm khi và chỉ khi A. 2 m 2 .B. 1 m 4 2 2 .C. 1 m 2 .D. . 0 m 1 Lời giải Chọn B TXĐ: D ¡ . Đặt P 1 sin x 1 cos x , P 0 . Suy ra P2 2 sin x cos x 2 1 sin x cos x sin x cos x . Đặt t sin x cos x 2 sin x t 2 ; 2 . 4 t 2 1 Khi đó t 2 1 2sin x cos x sin x cos x . 2 t 2 1 Do đó P2 2 t 2 1 t 2 t 2 t 1 . 2 TH1: 2 t 1 thì P2 1 2 t 2 2 . Khi đó 1 P2 4 2 2 . TH2: 1 t 2 thì P2 1 2 t 2 2 . Khi đó 1 P2 4 2 2 . Do đó 1 P2 4 2 2 mà P 0 nên 1 P 4 2 2 . Phương trình có nghiệm khi 1 m 4 2 2 . Câu 2: (THPT Chu Văn An – Hà Nội - năm 2017-2018) Phương trình cos 2x.sin 5x 1 0 có bao π nhiêu nghiệm thuộc đoạn ;2π ? 2 A. 2 .B. . 1 C. .D. . 4 3 Lời giải Chọn B π 2π x k sin 7x 1 14 7 cos 2x.sin 5x 1 0 sin 7x sin 3x 2 h,k ¢ sin 3x 1 π 2π x h 6 3 π Do x ;2π h 0;1;2;3 . 2 π 2π π 2π 28h 4 Ta có k h k , do k ¢ nên chỉ có h 1 thỏa mãn. 14 7 6 3 12 Vậy phương trình đã cho có một nghiệm thỏa yêu cầu bài toán. Câu 3: (SGD Bắc Ninh – Lần 2 - năm 2017-2018) Gọi S là tổng tất cả các nghiệm thuộc 0;20 của phương trình2cos2 x sin x 1 0 . Khi đó, giá trị của S bằng : 200 A. .SB. 570 S 295 . C. .SD. . 590 S 3 Lời giải Chọn B
2. x k 2 2 1 sin x 1 2 2 2cos x sin x 1 0 2sin x sin x 1 0 1 x k2 2 sin x 6 2 5 x k3 2 6 k1,k2 ,k3 ¢ Do x 0;20  nên: 1 41 0 k 2 20 k 2 1 4 1 4 k1 1;2;3; ;10 1 119 0 k2 2 20 k2 k2 0;1;2; ;9 6 12 12 5 5 115 k3 0;1;2; ;9 0 k3 2 20 k3 6 12 12 Vậy tổng các nghiệm của phương trình trong đoạn 0;20  là: 10 9 9 5 S  k1 2  k2 2  k3 2 295 . k1 1 2 k2 0 6 k2 0 6 Câu 4: (THPT Đặng Thúc Hứa – Nghệ An - năm 2017-2018) Gọi S là tập hợp các nghiệm thuộc khoảng 2 x x 0;100 của phương trình sin cos 3 cos x 3 . Tổng các phần tử của S là 2 2 7400 7525 7375 7550 A. .B C. . D 3 3 3 3 Lời giải Chọn C 2 x x Ta có sin cos 3 cos x 3 1 sin x 3 cos x 3 sin x 3 cos x 2 2 2 1 3 sin x cos x 1 sin x 1 x k2 ,k ¢ . 2 2 3 6 1 599 Theo đề bài cho ta có 0 x 100 0 k2 100 k 6 12 12 Mà k ¢ k 0;1;2;3;4, ;48;49 50 Vậy S 2 2 2 49 2 2 1 2 3 4 49 6 6 6 6 6 50 49 49 1 7375 2 . 6 2 3 Câu 5: Gọi S là tập hợp tất cả các nghiệm thuộc khoảng 0;2018 của phương trình sau: 3 1 cos 2x sin 2x 4cos x 8 4 3 1 sin x Tính tổng tất cả các phần tử của S .
3. 310408 312341 A. 103255 . B. . C. . D. . 102827 3 3 Câu 6: Gọi S là tập hợp tất cả các nghiệm thuộc khoảng 0;2018 của phương trình sau: 3 1 cos 2x sin 2x 4cos x 8 4 3 1 sin x Tính tổng tất cả các phần tử của S . 310408 312341 A. 103255 . B. . C. . D. . 102827 3 3 Lời giải Chọn B Ta có 3 1 cos 2x sin 2x 4cos x 8 4 3 1 sin x 2 3 sin2 x 2sin x cos x 4cos x 4 3 sin x 4sin x 8 0 2sin x 3 sin x cos x 2 4 3 sin x cos x 2 0 2 sin x 2 3 sin x cos x 2 0 π 3 sin x cos x 2 0 sin x 1 x k2 , k Z . 6 3 1 1009 1 Vì x 0;2018 nên 0 k2 2018 k k 0;1;2; ;321 . 3 6 π 6  Suy ra S ; 2 ; 2.2 ; ; 321.2  3 3 3 3  310408 Vậy tổng tất cả các phần tử của S là T 322. 2 1 2 3 321 . 3 3 Câu 7: Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m để phương trình 2 π 3π 2 m 1 sin x 4m 1 cos x 0 có nghiệm thuộc khoảng ; . 2 2 1 1 1 A. ; .B. .C. ;0 .D. . ;0 0; 2 2 2 Câu 8: Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m để phương trình 2 π 3π 2 m 1 sin x 4m 1 cos x 0 có nghiệm thuộc khoảng ; . 2 2 1 1 1 A. . B . ; ;0 .C. .D. . ;0 0; 2 2 2 Lời giải Chọn B Đặt t cos x , t  1;0 thì phương trình đã cho trở thành 2 m t 2 4m 1 t 0 1 2t 2 t m 4t 2 t 2t 1 2m 2t 1 t 2m (do t ) 2 1 Phương trình có nghiệm khi 2m  1;0 m ;0 . 2
4. msin x 1 Câu 9: Cho hàm số y . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn  5;5 để giá cos x 2 trị nhỏ nhất của y nhỏ hơn 1 . A. .6B. .C. .D. . 3 4 5 msin x 1 Câu 10: Cho hàm số y . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn  5;5 để cos x 2 giá trị nhỏ nhất của y nhỏ hơn 1 . A. 6 .B. .C. .D. . 3 4 5 Lời giải Chọn A Do cos x 2 0,x ¡ nên hàm số xác định trên ¡ . msin x 1 Ta có y msin x y cos x 2y 1 . cos x 2 Do phương trình có nghiệm nên 2 2 2 2 3m 1 2 3m 1 m2 y2 2y 1 3y2 4y 1 m2 0 y . 3 3 2 3m2 1 Vậy GTNN của y bằng . 3 2 3m2 1 m 2 2 Do đó yêu cầu bài toán 1 3m2 1 25 m2 8 . 3 m 2 2 Do m thuộc đoạn  5;5 nên m 5; 4; 3;3;4;5 . Câu 11: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để phương trình sin 2x 2sin x cos x cos2 x msin2 x có nhiều hơn một nghiệm trong khoảng 0;2π ? A. 3 .B. 2 .C. .D. . 4 5 Câu 12: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để phương trình sin 2x 2sin x cos x cos2 x msin2 x có nhiều hơn một nghiệm trong khoảng 0;2π ? A. 3 .B. 2 .C. .D. . 4 5 Lời giải Chọn B sin 2x 2sin x cos x cos2 x msin2 x 2sin x cos x 2sin x cos x cos2 x m 1 cos2 x 0 cos x 1 2sin x m 1 cos x m 0 cos x 1 0 1 2sin x m 1 cos x m 0 2 Giải 1 : cos x 1 0 cos x 1 x π k2π , k ¢ . Trong khoảng 0;2π thì 1 có một nghiệm là: x π . Giải 2 :2sin x m 1 cos x m 0 . Để phương trình đã cho có nhiều hơn một nghiệm trong khoảng 0;2π thì 2 5 2sin x m 1 cos x m 0 có nghiệm 22 m 1 m2 m 2 Vậy có hai giá trị nguyên dương m 1 ,m 2 thỏa mãn điều kiện bài toán.
5. Câu 13: Tìm số tất cả các giá trị nguyên của tham số thực m để phương trình 3 2 2sin 2x msin 2x 2m 4 4cos 2x có nghiệm thuộc 0; . 6 A. 4 . B. 3 .C. . 1 D. 6 . Câu 14: Tìm số tất cả các giá trị nguyên của tham số thực m để phương trình 3 2 2sin 2x msin 2x 2m 4 4cos 2x có nghiệm thuộc 0; . 6 A. 4 . B. 3 .C. 1. D. 6 . Lời giải Chọn C 2sin3 2x msin 2x 2m 4 4cos2 2x 2sin3 2x 4sin2 2x msin 2x 2m 0 . 3 Đặt sin 2x t , với x 0; t 0; . 6 2 Khi đó, bài toán trở thành: 3 2 3 Tìm m để 2t 4t mt 2m 0 có nghiệm trên khoảng t 0; . 2 3 2 2 3 2t 4t mt 2m 0 m 2t , t 0; . 2 2 3 Lập bảng biến thiên của hàm số y t 2t trên khoảng t 0; 2 . 3 Dựa vào bảng biến thiên ta thấy m ;0 . 2 Vậy có 1 giá trị nguyên. Câu 15: Phương trình sin x cos x sin x 2cos x 3 0 có tất cả bao nhiêu nghiệm thực thuộc 3 khoảng ; ? 4 A. 3 .B C. .D 0 1 2
6. Câu 16: Phương trình sin x cos x sin x 2cos x 3 0 có tất cả bao nhiêu nghiệm thực thuộc 3 khoảng ; ? 4 A. 3 .B C. 0 1.D 2 Lời giải Chọn C sin x cos x 0 1 Ta có: sin x cos x sin x 2cos x 3 0 sin x 2cos x 3 2 Giải 1 : sin x- cos x = 0 Û tan x = 1 x k , k Î ¢ 4 3 Do x ; nên x 4 4 Giải (2) :sin x + 2cos x = 3 vô nghiệm vì 12 + 22 < 32 3 Vậy phương trình đã cho có đúng một nghiệm thuộc khoảng ; . 4 Câu 17: Cho phương trình 3 sin x m 2 3 sin2 x m2 2 3 sin x m 2 . Gọi S a;b là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình trên có nghiệm thực. Tính giá trị của P a2 b2 . 162 49 A. .PB. .C. .D. . P P 4 P 2 49 162 Câu 18: Cho phương trình 3 sin x m 2 3 sin2 x m2 2 3 sin x m 2 . Gọi S a;b là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình trên có nghiệm thực. Tính giá trị của P a2 b2 . 162 49 A. P .B. . C.P . D. P. 4 P 2 49 162 Lời giải Chọn A 2 TH1: sin x m thì ta có 3 2m 0 m 0 . Khi đó phương trình có nghiệm x k , k ¢ . TH2: sin x m thì phương trình đã cho tương đương 2 sin x m sin x m 3 3 2 0 . sin x m sin x m sin x m sin x m 3 1 1 m 0 sin x m sin x m Giải ra ta được . sin x m sin x m 9sin x 7m 3 8 2 sin x m sin x m 7m m m 0 9 Do đó để phương trình có nghiệm thực thì 9 9 9 9 m m 7 7 7 7
7. KL: Hợp hai trường hợp suy ra tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m cần tìm là 2 2 7 7 2 2 9 9 162 S ; P a b . 9 9 7 7 49 Câu 19: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 3 m 33 m 3cos x cos x có nghiệm thực? A. .2B. .C. .D. . 7 5 3 Câu 20: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 3 m 33 m 3cos x cos x có nghiệm thực? A. .2B. .C. 7 5 .D. . 3 Lời giải Chọn C Ta có 3 m 33 m 3cos x cos x 33 m 3cos x cos3 x m 1 Đặt cos x u . Điều kiện 1 u 1 và 3 m 3cos x v v3 m 3u 2 1 trở thành u3 m 3v 3 Từ 3 và 2 suy ra u3 3v v3 3u (u v)(u2 uv v2 3) 0 u v 2 2 2 2 1 3v Do u uv v 3 u v 3 0 ,u,v ¡ 2 4 Suy ra: 3 m 3u u m u3 3u với u  1;1 . Xét hàm số f u u3 3u với u  1;1 . Ta có f u 3u2 3 ; f u 0 u 1 do u  1;1 . Suy ra max f u 2 ; min f u 2 -1;1  1;1 Do đó phương trình có nghiệm khi và chỉ khi 2 m 2 , mà m ¢ nên m 0; 1; 2 .