Đề kiểm tra môn Toán Lớp 11 - Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác - Đề số 11 - Năm học 2017-2018

Nội dung text: Đề kiểm tra môn Toán Lớp 11 - Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác - Đề số 11 - Năm học 2017-2018

1. Câu 1: (SGD Bà Rịa Vũng Tàu-đề 1 năm 2017-2018) Cho x0 là nghiệm của phương trình sin x cos x 2 sin x cos x 2 thì giá trị của P sin x0 là 4 2 1 2 A. P .B. .C. .D. . P 1 P P 2 2 2 Lời giải Chọn A Đặt t sin x cos x 2 sin x , t 2; 2 . 4 t 2 1 Ta cĩ t 2 sin2 x cos2 x 2sin x.cos x 1 2sin x.cos x , suy ra sin x.cos x . 2 Phương trình đã cho trở thành t 2 1 t 1 2t 2 t 2 4t 5 0 . 2 t 5 2; 2 2 Từ đĩ ta cĩ 2 sin x 1 sin x . 4 4 2 2 Như vậy P sin x0 . 4 2 Câu 2: (SGD Bà Rịa Vũng Tàu-đề 2 năm 2017-2018) Số giá trị nguyên của tham số đểm phương trình 4 3 cos x sin x 2m 1 0 cĩ nghiệm là A. 8 .B. . C.6 . D. .9 7 Lời giải Chọn A Ta cĩ: 4 3 cos x sin x 2m 1 0 sin x 4 3 cos x 1 2m . 2 Phương trình cĩ nghiệm khi a2 b2 c2 1 4 3 1 2m 2 4m2 4m 48 0 3 m 4 m 3; 2; 1;0;1;2;3;4 . Vậy cĩ 8 giá trị nguyên của m để phương trình đã cho cĩ nghiệm. Câu 3: (THPT Hà Huy Tập-Hà Tĩnh-lần 2 năm 2017-2018) Để phương trình a2 sin2 x a2 2 cĩ nghiệm, tham số a phải thỏa mãn điều kiện: 1 tan2 x cos 2x a 1 A. .aB . 3 . C. . a 4 D. . a 1 a 3 Lời giải Chọn B sin2 x 1 cosx 0 * ĐKXĐ: 2 1 cos2x 0 sin x 2 * Ta cĩ:
2. a2 sin2 x a2 2 a2 cos2 x sin2 x a2 2 a2 sin2 x sin2 x 2 1 tan2 x cos 2x 2 sin2 x 1 a2 Để phương trình đã cho cĩ nghiệm điều kiện là 2 0;1 1 a2 2 0;1 2 2 1 a2 1 a 2 a 1 1 . 1 a2 2 1 1 a2 4 a 3 2 1 1 a2 2 2 1 a 2 Câu 4: (THPT Lý Thái Tổ-Bắc Ninh-lần 1 năm 2017-2018) Tính tổng tất cả các giá trị nguyên của hàm 3sin x cos x 4 số y . 2sin x cos x 3 A. .8B. .C. 5 6 . D. .9 Lời giải Chọn C 3sin x cos x 4 y 2sin x cos x 3 y 3sin x cos x 4 2sin x cos x 3 2y 3 sin x y 1 cos x 3y 4 0 Điều kiện phương trình cĩ nghiệm: 2y 3 2 y 1 2 4 3y 2 1 4y2 12y 9 y2 2y 1 16 24y 9y2 4y2 14y 6 0 y 3 . 2 Vậy tổng tất cả các giá trị nguyên của hàm số bằng 6 . Câu 5: (THPT Kinh Mơn-Hải Dương lần 1 năm 2017-2018) Cho phương trình sin2018 x cos2018 x 2 sin2020 x cos2020 x . Tính tổng các nghiệm của phương trình trong khoảng 0;2018 2 2 1285 2 2 1285 A. . B. .C. .D . 643 642 . 4 2 Lời giải Chọn D sin2018 x cos2018 x 2 sin2020 x cos2020 x sin2018 x 1 2sin2 x cos2018 x 1 2cos2 x 0 2018 2018 cos 2x 0 sin x.cos 2x cos x cos 2x 0 2018 2018 . sin x cos x k cos 2x 0 2x k x k ¢ 1 2 4 2 sin2018 x cos2018 x tan2018 x 1 (x k khơng là nghiệm) tan x 1 2 k x k k ¢ 2 . Từ 1 và 2 ta cĩ x k ¢ là nghiệm của pt. 4 4 2 k Do x 0;2018 0 2018 0 k 1284,k ¢ . 4 2
3. Vậy tổng các nghiệm của phương trình trong khoảng 0;2018 bằng 2 1284.1285 1285 .1285 1 2 1284 .1285 . 4 2 4 4 2 Câu 6: (THPT Lê Quý Đơn-Hải Phịng lần 1 năm 2017-2018) Biểu diễn tập nghiệm của phương trình cos x cos 2x cos3x 0 trên đường trịn lượng giác ta được số điểm cuối là A. 6 .B. .C. .D. . 5 4 2 Lời giải Chọn A Ta cĩ cos x cos 2x cos3x 0 cos3x cos x cos 2x 0 2cos 2x.cos x cos 2x 0 cos 2x 2cos x 1 0 2x k x k 2 4 2 cos 2x 0 2 2 1 x k2 x k2 , k ¢ cos x 3 3 2 2 2 x k2 x k2 3 3 Vậy biểu diễn tập nghiệm của phương trình cos x cos 2x cos3x 0 trên đường trịn lượng giác ta được số điểm cuối là 6 . Câu 7: (THPT Đức THọ-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Số nghiệm của phương trình 2 2 cos x sin 2x 2 cos x trên khoảng 0;3 là 2 A. .2B. 3 .C. D. . 4. 1 Lời giải Chọn B 2 2 2 2 cos x sin 2x 2 cos x cos x sin 2x 2 sin x cos 2x sin 2x 2 2 2 cos 2x 2 cos 2x 1 2x k2 x k k ¢ 4 4 4 8 7 15 23 Trên 0;3 x , x , x . 8 8 8 Câu 8: (SGD Hà Nội-lần 11 năm 2017-2018) Số nghiệm chung của hai phương trình 4cos2 x 3 0 và 3 2sin x 1 0 trên khoảng ; bằng 2 2 A. 2 .B. .C. .D. . 4 3 1 Lời giải Chọn A 3 1 Trên khoảng ; phương trình 2sin x 1 0 sin x cĩ hai nghiệm là và 2 2 2 6 7 . 6 Cả hai nghiệm này đều thỏa phương trình 4cos2 x 3 0 . Vậy hai phương trình cĩ 2 nghiệm chung.
4. Câu 9: (THTT số 6-489 tháng 3 năm 2018) Số giờ cĩ ánh sáng của một thành phố X ở vĩ độ 40 bắc trong ngày thứ t của một năm khơng nhuận được cho bởi hàm số: d t 3sin t 80 12 , t ¢ và 0 t 365 . Vào ngày nào trong năm thì thành phố X 182 cĩ nhiều giờ ánh sáng nhất? A. .2B.62 .C. .D. 353 80 171. Lời giải Chọn D Ta cĩ: d t 3sin t 80 12 3 12 15 182 Dấu bằng xảy ra khi sin t 80 1 t 80 k2 k ¢ 182 182 2 t   k . 171 194 Mặt khác t 0;365 nên    k 365 k . 364 364 Mà k ¢ nên k 0 . Vậy t 171 . Câu 10: (THPT Nguyễn Trãi-Đà Nẵng-lần 1 năm 2017-2018) Cho phương trình 2 4sin x cos x a 3 sin 2x cos 2x 1 . Gọi n là số giá trị nguyên của tham số 3 6 a để phương trình 1 cĩ nghiệm. Tính n . A. n 5.B. . C.n . 3 D. . n 2 n 1 Lời giải Chọn A 2 Ta cĩ 1 2 sin 2x 1 a 3 sin 2x cos 2x 6 a2 a2 sin 2x 1 sin 2x cos 2x 1. 6 2 6 2 a2 Phương trình 1 cĩ nghiệm 1 1 2 a 2 , Do a ¢ nên a 0;a 1;a 2 2 Vậy n 5 . Câu 11: (THPT Chuyên Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Tổng tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho đồ thị hàm số y x3 3mx2 4m3 cĩ điểm cực đại và cực tiểu đối xứng với nhau qua đường phân giác của gĩc phần tư thứ nhất là 2 1 1 A. .B. .C. 0 .D. . 2 2 4 Lời giải Chọn C 2 x 0 Ta cĩ: y 3x 6mx , y 0 . x 2m Để hàm số cĩ cực đại cực tiểu thì m 0 . Khi đĩ các điểm cực trị của đồ thị hàm số là A 0;4m3 , B 2m;0 .
5. Ta cĩ I m;2m3 là trung điểm của đoạn thẳng AB . Đường phân giác của gĩc phần tư thứ nhất là d : x y 0 . Do đĩ để điểm cực đại và cực tiểu đối xứng với nhau qua d thì: 2m 4m3 0 2 1 2m2 0 m . 3 m 2m 0 2 Vậy tổng tất cả các giá trị của tham số thực m là 0 . Câu 12: (PTNK-ĐHQG TP HCM-lần 1 năm 2017-2018) Giả sử M là giá trị lớn nhất và m là giá trị sin x 2cos x 1 nhỏ nhất của hàm số y trên ¡ . Tìm M m . sin x cos x 2 A. .1B. .C.2 .D. 0 1 1. Lời giải Chọn D Tập xác định: D ¡ . sin x 2cos x 1 Ta cĩ y y 1 sin x y 2 cos x 1 2y (*). sin x cos x 2 Hàm số đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất khi (*) cĩ nghiệm 1 2y 2 y 1 2 y 2 2 2y2 2y 4 0 2 y 1. Do đĩ m 2 , M 1 . Câu 13: (PTNK-ĐHQG TP HCM-lần 1 năm 2017-2018) Tìm m để phương trình 1 1 sin x sin x m cĩ nghiệm. 2 1 6 6 A. .B. m . C. .D. 0 m 1 0 m 3 m 3 . 2 2 2 Lời giải Chọn D 1 1 Đặt t sin x t 1 , phương trình trở thành 1 t t m 2 2 Nhận xét phương trình ban đầu cĩ nghiệm x khi và chỉ khi phương trình * cĩ nghiệm 1 1 1 t ; . Xét hàm f t 1 t t , với t ;1 . 2 2 2 1 1 1 t t 2t 1 1 Ta cĩ: f t 2 2 2 1 t 1 1 1 1 2 t 2 1 t t 2 1 t t 1 t t 2 2 2 2 1 f t 0 t . 4 Ta cĩ bảng biến thiên:
6. 1 1 t 1 2 4 f t || 0 || 3 f t 6 6 2 2 6 Dựa vào bảng biến thiên, phương trình đã cho cĩ nghiệm m 3 . 2 Câu 14: (THPT Hồng Bàng – Hải Phịng – năm 2017 – 2018) Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y x 2 cos x trên đoạn 0; . Tính M m . 2 A. 1 2 .B. .C. .D. . 2 1 1 2 4 2 4 4 Lời giải Chọn A Xét hàm y x 2 cos x trên đoạn 0; . 2 y 1 2 sin x . x k2 1 4 y 0 sin x . 2 3 x k2 4 Do x 0; x . 2 4 Ta cĩ y 0 2 ; y 1 ; y . 4 4 2 2 Vậy M max y y 1 ; m min y y 0 2 . 0; 4 4 0; 2 2 Nên M m 1 2 . 4 Câu 15: (THPT Quảng Xương I – Thanh Hĩa – năm 2017 – 2018) Tìm tổng tất cả các nghiệm thuộc đoạn 0;10  của phương trình sin2 2x 3sin 2x 2 0 . 105 297 299 A. .B. . C. . S.ABCD D. . 2 4 4 Lời giải Chọn A 2 sin 2x 1 Ta cĩ: sin 2x 3sin 2x 2 0 sin 2x 1 x k , k ¢ . sin 2x 2 (loại) 4 1 41 Theo đề bài: 0 k 10 k k 1,2, ,10 . 4 4 4
7. 3 3 3 105 Vậy tổng các nghiệm là S 9 . 4 4 4 2 Câu 16: (THPT Chuyên Thoại Ngọc Hầu – An Giang - Lần 3 năm 2017 – 2018) Cĩ bao nhiêu giá trị m nguyên của tham số m để phương trình sin6 x cos6 x 3sin x cos x 2 0 cĩ nghiệm 4 thực? A. 13.B. .C. .D. . 15 7 9 Lời giải Chọn A m m Ta cĩ sin6 x cos6 x 3sin x cos x 2 0 1 3sin2 x cos2 x 3sin x cos x 2 0 4 4 Đặt t sin 2x , 1 t 1 . PT trở thành 3t 2 6t 12 m . Xét hàm số f t 3t 2 6t 12 , 1 t 1 t 1 1 f t 15 f t 3 m Phương trình sin6 x cos6 x 3sin x cos x 2 0 cĩ nghiệm thực khi 3 m 15 . 4 Vậy cĩ 13 giá trị nguyên của tham số m . Câu 17: (THPT Chuyên ĐHSP – Hà Nội - Lần 1 năm 2017 – 2018) Cho hai điểm ,A Bthuộc đồ thị hàm số y sin x trên đoạn 0; . Các điểm C , D thuộc trục Ox thỏa mãn ABCD là hình 2 chữ nhật và CD . Độ dài cạnh BC bằng 3 y A B O D C x 3 1 2 A. .B. .C. 1 .D. . 2 2 2 Lời giải Chọn C 2 2 xB xA xB xA 1 Gọi A xA; yA , B xB ; yB . Ta cĩ: 3 3 yB yA sin xB sin xA 2 Thay 1 vào 2 , ta được: 2 2 sin xA sin xA xA xA k2 xA k k ¢ 3 3 6
8. 1 Do x 0;  nên x BC AD sin . A 6 6 2 Câu 18: (THPT Kim Liên – Hà Nội - Lần 2 năm 2017 – 2018)Một vật nặng treo bởi một chiếc lị xo, chuyển động lên xuống qua vị trí cân bằng (hình vẽ). Khoảng cách h từ vật đến vị trí cân bằng ở thời điểm t giây được tính theo cơng thức h d trong đĩ d 5sin 6t 4cos6t với d được tính bằng centimet. h Vị trí cân bằng Ta quy ước rằng d 0 khi vật ở trên vị trí cân bằng, d 0 khi vật ở dưới vị trí cân bằng. Hỏi trong giây đầu tiên, cĩ bao nhiêu thời điểm vật ở xa vị trí cân bằng nhất? A. .0B. .C. .D. 4 1 2 . Lời giải Chọn D 5 cos 41 Ta cĩ h d 5sin 6t 4cos6t 41 sin 6t 41 , với . 4 sin 41 Do đĩ vật ở xa vị trí cân bằng nhất hmax 41 khi sin 6t 1 cos 6t 0 6t k t k . 2 6 12 6 1 6 1 Trong giây đầu tiên, 0 t 1 0 k 1 k k 0;1 . 6 12 6 2 2 Vậy cĩ 2 lần vật ở xa vị trí cân bằng nhất. Câu 19: (THPT Trần Phú – Đà Nẵng - Lần 2 – năm 2017 – 2018) Cho phương trình 3 tan x 1 sin x 2cos x m sin x 3cos x . Cĩ tất cả bao nhiêu giá trị nguyên tham số m thuộc đoạn  2018;2018 để phương trình trên cĩ nghiệm duy nhất x 0; ? 2 A. 2018 .B. .C. .2D.0 15 . 4036 2016 Lời giải Chọn A Với x 0; thì cos x 0 , chia hai vế cho cos x , ta được: 2 3 tan x 1 sin x 2cos x m sin x 3cos x 3 tan x 1 tan x 2 m tan x 3 3 tan x 1 tan x 2 m . 1 tan x 3
9. 2 3t t 1 Đặt t tan x 1 , x 0; t 0; . Khi đĩ: 1 g t 2 m . 2 2 t 2 2 3t t 1 3t 4 15t 2 6 Xét hàm g t 2 trên 0; .g t 2 0,t 0 . t 2 t 2 2 m ¢ Suy ra để thỏa yêu cầu bài tốn m g 0 0 . Mà . m  2018;2018 Suy ra m 1;2;3; ;2018 .