Đề kiểm tra khảo sát học sinh môn Toán Lớp 12 - Trường THPT Chu Văn An

Nội dung text: Đề kiểm tra khảo sát học sinh môn Toán Lớp 12 - Trường THPT Chu Văn An

1. Cập nhật đề thi mới nhất tại SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI ĐỀ KIỂM TRA KHẢO SÁT HỌC SINH LỚP 12 TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN LẦN THỨ 2 – NĂM 2017 Môn: TOÁN Mã đề 001 Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian phát đề) Câu 1: Trong không gian Oxyz, tìm phương trình tham số của trục Oz ? x t x t x 0 x 0 A. . y t B. . y 0C. . D. y. t y 0 z t z 0 z 0 z t Câu 2: Hàm số y x3 3x2 nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. . 1;1 B. . ;1C. . D. 0; .2 2; 1 Câu 3: Tính giá trị của biểu thức A log , với a 0 và a 1 . a a2 1 1 A. .A 2 B. . A C. . D.A . 2 A 2 2 3x 2 Câu 4: Tìm phương trình đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y . x 1 A. .x 1 B. . x 1 C. . y D. 3 . y 2 Câu 5: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng P : x y 3 0 . Véctơ nào sau đây không phải là véctơ pháp tuyến của mặt phẳng P ? A. .a 3; 3B.;0 . C. . a 1D.; 1 .;3 a 1;1;0 a 1; 1;0 Câu 6: Cho hai hàm số y f x và 1 y y f1 x y f2 x liên tục trên đoạn a;b và có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi S là S hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị trên và các đường thẳng x a , x b . Thể y f2 x tích V của vật thể tròn xoay tạo thành khi quay S quanh trục Ox được tính O a b x bởi công thức nào sau đây? b b A. .V f 2 x fB.2 . x dx V f x f x dx 1 2 1 2 a a b b 2 C. .V f 2 x f 2 D.x .dx V f x f x dx 1 2 1 2 a a Câu 7: Cho hàm số y f x liên tục trên đoạn x 3  2;3 , có bảng biến thiên như hình vẽ bên. 2 1 1 y 0 || Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ? 1 5 A. Giá trị cực tiểu của hàm số là 0 . B. Hàm số đạt cực đại tại điểm x 1 . y 0 C. Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x 1 . 2 D. Giá trị cực đại của hàm số là 5 . TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập Trang 1/24 – Mã đề 001
2. Cập nhật đề thi mới nhất tại Câu 8: Hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào sau y f x y đây? 2x 1 A. .y x 1 2x 1 B. .y x 1 2 2x 1 C. .y x 1 2x 1 1 O x D. .y x 1 Câu 9: Cho số phức z 3i . Tìm phần thực của z . A. .3 B. . 0 C. . 3 D. không có. Câu 10: Tìm nguyên hàm của hàm số f x cos3x . 1 A. . cos3x dx sin 3xB. C . cos3x dx sin 3x C 3 1 C. . cos3x dx 3sin 3x D.C . cos3x dx sin 3x C 3 Câu 11: Gọi C là đồ thị của hàm số y log x . Tìm khẳng định đúng ? A. Đồ thị C có tiệm cận đứng. B. Đồ thị C có tiệm cận ngang. C. Đồ thị C cắt trục tung. D. Đồ thị C không cắt trục hoành. Câu 12: Trong không gian Oxyz , điểm nào sau đây thuộc trục Oy ? A. .M 0;0;3 B. . C. M. 0; 2;D.0 . M 1;0;2 M 1;0;0 Câu 13: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1;4;2) , B( 1;2;4) và đường thẳng x 1 y 2 z : . Tìm toạ độ điểm M thuộc sao cho MA2 MB2 28 . 1 1 2 A. Không có điểm M nào. B. .M 1; 2;0 C. .M 1;0;4 D. . M 2; 3; 2 Câu 14: Cho số phức z 2 i . Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , tìm điểm biểu diễn số phức w iz . A. .M 1;2 B. . C.M . 2; 1 D. . M 2;1 M 1;2 Câu 15: Tìm số giao điểm n của đồ thị hàm số y x2 x2 3 và đường thẳng y 2 . A. .n 6 B. . n 8 C. . n D.2 . n 4 x2 4x Câu 16: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y trên đoạn 0;3 . 2x 1 3 A. .m in y 0 B. . C.m . in y D. . min y 4 min y 1 0;3 0;3 7 0;3 0;3 Câu 17: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm A 1; 2;3 và đường thẳng d có phương trình x 1 y 2 z 3 . Tính đường kính của mặt cầu S có tâm A và tiếp xúc với đường thẳng d . 2 1 1 A. .5 2 B. . 10 2 C. . 2 5D. . 4 5 TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập Trang 2/24 – Mã đề 001
3. Cập nhật đề thi mới nhất tại Câu 18: Hàm số y sin x đạt cực đại tại điểm nào sau đây? A. .x B. . x C. . D.x .0 x 2 2 2 Câu 19: Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2z 5 0 . Tính z1 z2 . A. . z1 z2 B.5 . C. . z1 D. z.2 2 5 z1 z2 10 z1 z2 5 log 1 x Câu 20: Tính giới hạn A lim 2 . x 0 sin x A. .A e B. . A lnC.2 . D. . A log2 e A 1 Câu 21: Tính tổng T tất cả các nghiệm của phương trình 4.9x 13.6x 9.4x 0 . 13 1 A. .T 2 B. . T 3 C. . TD. . T 4 4 1 Câu 22: Cho số phức z a bi ab 0, a,b ¡ . Tìm phần thực của số phức w . z2 2ab a2 b2 b2 a2 b2 A. . B.2 . C. . 2D. . 2 2 a2 b2 a2 b2 a2 b2 a2 b2 Câu 23: Tính thể tích V của khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng a . a3 3 a3 3 a3 a3 3 A. . B. . C. . D. . 12 4 2 2 1 Câu 24: Cho hàm số f x có đạo hàm f x và f 0 1 . Tính f 5 . 1 x A. . f 5 2B.ln .2 C. . D. f. 5 ln 4 1 f 5 2ln 2 1 f 5 2ln 2 Câu 25: Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số y x2 4 và y x 4 . 43 161 1 5 A. .S B. . S C. . D. S. S 6 6 6 6 Câu 26: Gọi n là số mặt phẳng đối xứng của hình bát diện đều. Tìm n . A. .n 7 B. . n 5 C. . n D.3 . n 9 Câu 27: Hàm số nào sau đây có tập xác định không phải là khoảng 0; ? 2 3 A. .y x 3 B. . y xC.2 . D. .y x 2 y x 5 Câu 28: Xét hình trụ T có thiết diện qua trục của hình trụ là hình vuông có cạnh bằng a . Tính diện tích toàn phần S của hình trụ. 3 a2 a2 A. .S B. . SC. . D. . S 4 a2 S a2 2 2 Câu 29: Tìm tập nghiệm S của bất phương trình log 1 x 1 log 1 5 2x . 2 2 5 5 A. .S ;2B. . C. S. 2; D. . S ; S 1;2 2 2 Câu 30: Cho hình lăng trụ lục giác đều có cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng 2a . Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ. A. .R a 2 B. . R aC. . D. . R a 3 R 2a TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập Trang 3/24 – Mã đề 001
4. Cập nhật đề thi mới nhất tại x 3 Câu 31: Cho đồ thị C : y . Biết rằng, có hai điểm phân biệt thuộc đồ thị C và cách đều hai x 1 trục toạ độ. Giả sử các điểm đó lần lượt là M và N . Tìm độ dài của đoạn thẳng MN . A. .M N 4 2B. . C. M. N 2 D.2 . MN 3 5 MN 3 log x2 1 Câu 32: Tìm tập nghiệm S của bất phương trình 1 . log 1 x A. .S 2; B.1 . C. . S  2;D. 1 . S  2;1 S  2; 1 Câu 33: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng P đi qua điểm M 1;2;3 và cắt các tia Ox , Oy , Oz lần lượt tại các điểm A , B , C sao cho 1 1 1 T đạt giá trị nhỏ nhất. OA2 OB2 OC 2 A. . P : x 2y 3z 14B. 0. P : 6x 3y 2z 6 0 C. . P : 6x 3y 2z D.18 . 0 P : 3x 2y z 10 0 Câu 34: Cho hàm số y f x thỏa mãn hệ thức f x sin xdx f x cos x x cos xdx . Hỏi y f x là hàm số nào trong các hàm số sau? x x A. . f x B. . f x ln ln C. . f x x .ln D. . f x x .ln x 1 y z 2 Câu 35: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng d : và 1 2 1 1 x 1 y 1 z 3 d : . Đường vuông góc chung của d và d lần lượt cắt d , d tại A và B . 2 1 7 1 1 2 1 2 Tính diện tích S của tam giác OAB . 3 6 6 A. .S B. . S C.6 . D. . S S 2 2 4 Câu 36: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y mx m 1 cos x đồng biến trên ¡ . 1 1 A. không có m . B. . 1 mC. . D.m . m 1 2 2 Câu 37: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện z 2 z 2 10 . 2 2 2 2 x y A. Đường tròn x 2 y 2 100 . B. Elip 1 . 25 4 2 2 2 2 x y C. Đường tròn x 2 y 2 10 . D. Elip 1 . 25 21 2 Câu 38: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình 4 log2 x log2 x m 0 nghiệm đúng mọi giá trị x 1;64 . A. .m 0 B. . m 0 C. . mD. 0. m 0 TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập Trang 4/24 – Mã đề 001
5. Cập nhật đề thi mới nhất tại Câu 39: Một que kem ốc quế gồm hai phần: phần kem có dạng hình cầu, phần ốc quế có dạng hình nón. Giả sử hình cầu và hình nón có bán kính bằng nhau; biết rằng nếu kem tan chảy hết thì sẽ làm đầy phần ốc quế. Biết thể tích phần kem sau khi tan chảy chỉ bằng 75% thể tích kem đóng h băng ban đầu. Gọi h và r lần lượt là chiều cao và bán kính của phần ốc quế. Tính tỉ số . r h h h 4 h 16 A. . 3 B. . 2 C. . D. . r r r 3 r 3 a 2 Câu 40: Có bao nhiêu số thực a 0;10 thỏa mãn điều kiện sin5 x.sin 2xdx ? 0 7 A. 4số. B. số.6 C. số. 7 D. số. 5 y Câu 41: Cho hàm số y f x liên tục và C có đạo hàm cấp hai trên ¡ . Đồ 2 thị của các hàm số y f x , y f x và y f x lần lượt C3 là các đường cong nào trong hình vẽ bên? O x A. . C3 , C1 , C2 B. . C1 , C2 , C3 C. . C3 , C2 , C1 C1 D. . C1 , C3 , C2 Câu 42: Một điện thoại đang nạp pin, dung lượng pin nạp được tính theo công thức t 2 Q t Q0. 1 e với t là khoảng thời gian tính bằng giờ và Q0 là dung lượng nạp tối đa (pin đầy). Hãy tính thời gian nạp pin của điện thoại tính từ lúc cạn hết pin cho đến khi điện thoại đạt được 90% dung lượng pin tối đa (kết quả được làm tròn đến hàng phần trăm). A. tgiờ. 1, 65 B. giờ. t 1,C.61 giờ. D. giờ.t 1,63 t 1,50 Câu 43: Cho hình lập phương ABCD.A B C D có diện tích tam giác ACD bằng a2 3 . Tính thể tích V của hình lập phương. A. .V 3 3a3 B. . C.V . 2 2a3 D. . V a3 V 8a3 Câu 44: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z 1 2 . Tìm giá trị lớn nhất của T z i z 2 i . A. .m axT B.8 . 2 C. . maxTD. .4 maxT 4 2 maxT 8 2x 1 Câu 45: Biết rằng đường thẳng d : y 3x m cắt đồ thị C : y tại 2 điểm phân biệt A và B x 1 sao cho trọng tâm của tam giác OAB thuộc đồ thị C , với O 0;0 là gốc tọa độ. Khi đó giá trị của tham số m thuộc tập hợp nào sau đây? A. . ;3 B. . 3C.; . D. . 1;3 5; 2 Câu 46: Hỏi phương trình 2log3 cot x log2 cos x có bao nhiêu nghiệm trong khoảng 0;2017 ? A. 1nghiệm.009 B. nghiệm.100 8 C. nghiệm. 201D.7 nghiệm. 2018 TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập Trang 5/24 – Mã đề 001
6. Cập nhật đề thi mới nhất tại 4 2 Câu 47: Cho hàm số y x 3x m có đồ thị Cm với m là tham số thực. Giả sử Cm cắt trục Ox tại bốn điểm phân biệt như hình vẽ : y Cm S3 O x S1 S2 Gọi S1 , S2 và S3 là diện tích các miền gạch chéo được cho trên hình vẽ. Tìm m để S1 S2 S3 . 5 5 5 5 A. .m B. . m C. . D. .m m 2 4 2 4 Câu 48: Cho hai mặt cầu S1 , S2 có cùng bán kính R thỏa mãn tính chất: tâm của S1 thuộc S2 và ngược lại. Tính thể tích phần chung V của hai khối cầu tạo bởi (S1) và (S2 ) . R3 5 R3 2 R3 A. .V R3 B. . V C. . D. . V V 2 12 5 Câu 49: Trong không gian với hệ tọa độ , Ochoxyz các điểm A 2 ,; 0;0 B 0 và;3; 0 C 0; .0 Gọi; 4 H là trực tâm tam giác ABC . Tìm phương trình tham số của đường thẳng OH trong các phương án sau: x 6t x 6t x 6t x 6t A. . y 4t B. . C. y . 2 4t D. . y 4t y 4t z 3t z 3t z 3t z 1 3t Câu 50: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân, đáy lớn AB. Biết rằng AB 2a , AD DC CB a , cạnh bên SA vuông góc với đáy, mặt phẳng SBD hợp với đáy một góc 45. Gọi G là trọng tâm tam giác SAB . Tính khoảng cách d từ điểm G đến mặt phẳng SBD . a a 2 a a 2 A. .d B. . d C. . D. d. d 6 6 2 2 HẾT TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập Trang 6/24 – Mã đề 001
7. Cập nhật đề thi mới nhất tại BẢNG ĐÁP ÁN 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 D C A C B A C D B A A B C D A D B D B C A D B C C 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 D D A D A A B A B C A D C A D A C B B B A D C C B HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1: Trong không gian Oxyz, tìm phương trình tham số của trục Oz ? x t x t x 0 x 0 A. . y t B. . y 0C. . D. y. t y 0 z t z 0 z 0 z t Hướng dẫn giải Chọn D. Trục Oz qua điểm O và có véctơ chỉ phương k (0;0;1) . x 0 Do đó có phương trình tham số của trục Oz là y 0 . z t Câu 2: Hàm số y x3 3x2 nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. . 1;1 B. . ;1C. . D. 0; .2 2; Hướng dẫn giải Chọn C. Ta có y 3x2 6x 3x(x 2) . Do đó, y 0 0 x 2 . Theo dấu hiệu nhận biết tính đơn điệu của hàm số, hàm số nghịch biến trên (0;2) 1 Câu 3: Tính giá trị của biểu thức A log , với a 0 và a 1 . a a2 1 1 A. .A 2 B. . A C. . D.A . 2 A 2 2 Hướng dẫn giải Chọn A. 1 Ta có A log log a 2 2. a a2 a 1 Cách khác: Cho a 2 bấm máy tính A log 2. 2 22 3x 2 Câu 4: Tìm phương trình đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y . x 1 A. .x 1 B. . x 1 C. . y D. 3 . y 2 Hướng dẫn giải Chọn C. TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập Trang 7/24 – Mã đề 001
8. Cập nhật đề thi mới nhất tại 2 3 3x 2 Ta có lim y lim lim x 3 . x x x 1 x 1 1 x Suy ra đồ thị hàm số đã cho có đường tiệm cận ngang là y 3 . Câu 5: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng P : x y 3 0 . Véctơ nào sau đây không phải là véctơ pháp tuyến của mặt phẳng P ? A. .a 3; 3B.;0 . C. . a 1D.; 1 .;3 a 1;1;0 a 1; 1;0 Hướng dẫn giải Chọn B. Ta có mặt phẳng P : x y 3 0 có véctơ pháp tuyến là n 1; 1;0 . Trong các đáp án A, C, D lần lượt có a 3n ; a n ; a n nên các véctơ đó đều là véctơ pháp tuyến của mặt phẳng P . Đáp án: B (a 1; 1;3 không phải là véctơ pháp tuyến của mặt phẳng P ). Câu 6: Cho hai hàm số y f x và 1 y y f1 x y f2 x liên tục trên đoạn a;b và có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi S là S hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị trên và các đường thẳng x a , x b . Thể y f2 x tích V của vật thể tròn xoay tạo thành khi quay S quanh trục Ox được tính O a b x bởi công thức nào sau đây? b b A. .V f 2 x fB.2 . x dx V f x f x dx 1 2 1 2 a a b b 2 C. .V f 2 x f 2 D.x .dx V f x f x dx 1 2 1 2 a a Hướng dẫn giải. Chọn A.  Gọi V1 là thể tích của vật thể tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng S1 giới hạn bởi đồ thị b hàm số y f x , trục Ox và hai đường thẳng x a , x b . Khi đó V f 2 x dx . 1 1 1 a  Gọi V2 là thể tích của vật thể tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng S2 giới hạn bởi đồ thị b hàm số y f x , trục Ox và hai đường thẳng x a , x b . Khi đó V f 2 x dx . 2 2 2 a b  Ta có V V V nên V f 2 x f 2 x dx . 1 2 1 2 a Câu 7: Cho hàm số y f x liên tục trên đoạn x 3  2;3 , có bảng biến thiên như hình vẽ bên. 2 1 1 y 0 || Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ? 1 5 TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập y 0 Trang 8/24 – Mã đề 001 2
9. Cập nhật đề thi mới nhất tại A. Giá trị cực tiểu của hàm số là 0 . B. Hàm số đạt cực đại tại điểm x 1 . C. Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x 1 . D. Giá trị cực đại của hàm số là 5 . Hướng dẫn giải Chọn C. Khẳng định ở Phương án C đúng (theo Định lí 1- Điều kiện đủ để hàm số có cực trị) Câu 8: Hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào sau đây? y f x y 2x 1 A. .y x 1 2x 1 B. .y x 1 2x 1 C. .y 2 x 1 2x 1 D. .y x 1 1 O x Hướng dẫn giải. Chọn D.  Do hàm số đồng biến trên các khoảng xác định nên loại A, B.  Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x 1 , tiệm cận ngang y 2 nên chọn D. Câu 9: Cho số phức z 3i . Tìm phần thực của z . A. .3 B. . 0 C. . 3 D. không có. Hướng dẫn giải. Chọn B. Do z 3i là số thuần ảo nên có phần thực bằng 0 . Câu 10: Tìm nguyên hàm của hàm số f x cos3x . 1 A. . cos3x dx sin 3xB. C . cos3x dx sin 3x C 3 1 C. . cos3x dx 3sin 3x D.C . cos3x dx sin 3x C 3 Hướng dẫn giải. Chọn A. 1 1 Áp dụng công thức cos ax b dx sin ax b C ta có cos3x dx sin 3x C . a 3 Câu 11: Gọi C là đồ thị của hàm số y log x . Tìm khẳng định đúng ? A. Đồ thị C có tiệm cận đứng. B. Đồ thị C có tiệm cận ngang. C. Đồ thị C cắt trục tung. D. Đồ thị C không cắt trục hoành. Hướng dẫn giải Chọn A. Khảo sát hàm số logarit cơ số 10 . TXĐ :D 0; . TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập Trang 9/24 – Mã đề 001
10. Cập nhật đề thi mới nhất tại Cơ số a 1 thì lim loga x , BBT , đồ thị x Vậy phát biểu đúng là: Đồ thị C có tiệm cận đứng. Câu 12: Trong không gian Oxyz , điểm nào sau đây thuộc trục Oy ? A. .M 0;0;3 B. . C. M. 0; 2;D.0 . M 1;0;2 M 1;0;0 Hướng dẫn giải Chọn B. Điểm M xM ; yM ; zM Oy xM zM 0 . Câu 13: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1;4;2) , B( 1;2;4) và đường thẳng x 1 y 2 z : . Tìm toạ độ điểm M thuộc sao cho MA2 MB2 28 . 1 1 2 A. Không có điểm M nào. B. .M 1; 2;0 C. .M 1;0;4 D. . M 2; 3; 2 Hướng dẫn giải Chọn C. x 1 t Phương trình tham số đường thẳng : y 2 t z 2t +) M M 1 t; 2 t;2t . +) MA2 MB2 28 t 2 t 6 2 2t 2 2 2 t 2 t 4 2 2t 4 2 28 12t 2 48t 48 0 .t 2 Vậy M 1;0;4 . Câu 14: Cho số phức z 2 i . Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , tìm điểm biểu diễn số phức w iz . A. .M 1;2 B. . C.M . 2; 1 D. . M 2;1 M 1;2 Hướng dẫn giải Chọn D. w iz 1 2i điểm biểu diễn cho w iz 1 2i là M 1;2 . Câu 15: Tìm số giao điểm n của đồ thị hàm số y x2 x2 3 và đường thẳng y 2 . A. .n 6 B. . n 8 C. . n D.2 . n 4 Hướng dẫn giải Chọn A. x4 3x2 2 Phương trình hoành độ giao điểm x2 x2 3 2 x4 3x2 2 4 2 x 3x 2 TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập Trang 10/24 – Mã đề 001
11. Cập nhật đề thi mới nhất tại 3 17 x có 4 nghiệm phân biệt. Vậy có giao điểm. 2 6 2 2 x 2; x 1 Nhận xét: Ta cũng có thể giải bài toán trên theo cách sau Vẽ đồ thị (C) của hàm số y f (x) x2 x2 3 , suy ra đồ thị (G) hàm số 2 2 y f (x) x x 3 (cách vẽ (G) , kí hiệu (G) (G1)  (G2 ) , với (G1) là phần của (C) ở phía trên trục hoành kể cả các điểm thuộc trục hoành; (G2 ) là hình đối xứng của phần (C) ở dưới trục hoành qua trục hoành. Từ đó suy số điểm chung của đồ thị hàm số y x2 x2 3 và đường thẳng y 2 . x2 4x Câu 16: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y trên đoạn 0;3 . 2x 1 3 A. .m in y 0 B. . C.m . in y D. . min y 4 min y 1 0;3 0;3 7 0;3 0;3 Hướng dẫn giải Chọn D. 2x2 2x 4 Ta có: y . 2x 1 2 y 0 x 1 (do xét x 0;3 ). 3 y 0 0 , y 1 1 , y 3 . 7 Vậy: min y 1 . 0;3 Câu 17: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm A 1; 2;3 và đường thẳng d có phương trình x 1 y 2 z 3 . Tính đường kính của mặt cầu S có tâm A và tiếp xúc với đường thẳng d . 2 1 1 A. .5 2 B. . 10 2 C. . 2 5D. . 4 5 Hướng dẫn giải Chọn B. r Ta có: d qua M 1;2; 3 và có véctơ chỉ phương là u 2;1; 1 . uuur uuur r Ta có: MA 2; 4;6 , MA;u 2;14;10 . uuur r MA,u Bán kính mặt cầu R d A,d r 5 2 đường kính mặt cầu 2R 10 2 . u Câu 18: Hàm số y sin x đạt cực đại tại điểm nào sau đây? A. .x B. . x C. . D.x .0 x 2 2 Hướng dẫn giải Chọn D. TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập Trang 11/24 – Mã đề 001
12. Cập nhật đề thi mới nhất tại x 2m 2 y cos x , y 0 x k k ¢ ,m Z . 2 x 2m 1 2 Ta có: y sin x . y 2m y 1 hàm số đạt cực đại tại các điểm x m2 m ¢ . 2 2 2 3 y 2m 1 y 1 2 2 hàm số đạt cực tiểu tại các điểm x m2 m ¢ . 2 Nhận xét: Ta có thể giải bài toán trên đơn giản hơn theo cách sau f (x0 ) 0 Điều kiện đủ để hàm số f (x) đạt cực tiểu tại điểm x0 là . f (x0 ) 0 Ta có f (x) sin x, f (x) cos x, f (x) sin x Kiểm tra các giá trị của x ở mỗi phương án, ta có x thoả mãn Điều kiện đủ nói trên. 0 0 2 2 Câu 19: Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2z 5 0 . Tính z1 z2 . A. . z1 z2 B.5 . C. . z1 D. z.2 2 5 z1 z2 10 z1 z2 5 Hướng dẫn giải Chọn B. 2 z 2z 5 0 z 1 2i z1 z2 2 5 . log 1 x Câu 20: Tính giới hạn A lim 2 . x 0 sin x A. .A e B. . A lnC.2 . D. . A log2 e A 1 Hướng dẫn giải Chọn C. Cách 1 log2 1 x 1 ln 1 x x 1 A lim lim   log2 e . x 0 sin x x 0 ln 2 x sin x ln 2 Cách 2 Kí hiệu.f (x) log2 1 x , g(x) sin x f (x) f (0) log 1 x f (0) A lim 2 lim x 0 x 0 sin x x 0 g(x) g(0) g (0) x 0 1 x 1 1 f (x) f (0) log e 1 x ln 2 1 x ln 2 ln 2 2 g (x) cos x g (0) 1 . Vậy A log2 e Câu 21: Tính tổng T tất cả các nghiệm của phương trình 4.9x 13.6x 9.4x 0 . TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập Trang 12/24 – Mã đề 001
13. Cập nhật đề thi mới nhất tại 13 1 A. .T 2 B. . T 3 C. . TD. . T 4 4 Hướng dẫn giải: Chọn A. x 3 9 2x x 3 3 2 4 x 2 4.9x 13.6x 9.4x 0 4. 13. 9 0 . x 2 2 3 x 0 1 2 Vậy tổng T 2 0 2 . 1 Câu 22: Cho số phức z a bi ab 0, a,b ¡ . Tìm phần thực của số phức w . z2 2ab a2 b2 b2 a2 b2 A. . B.2 . C. . 2D. . 2 2 a2 b2 a2 b2 a2 b2 a2 b2 Hướng dẫn giải: Chọn D. 1 1 1 a2 b2 2abi w 2 2 2 2 2 . z a bi a b 2abi a2 b2 4a2b2 a2 b2 a2 b2 Phần thực của w là 2 2 . a2 b2 4a2b2 a2 b2 Câu 23: Tính thể tích V của khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng a . a3 3 a3 3 a3 a3 3 A. . B. . C. . D. . 12 4 2 2 Hướng dẫn giải: Chọn B. A' C' a2 3 S . ABC 4 B' a2 3 a3 3 V AA .S a  . ABC.A B C ABC 4 4 1 Câu 24: Cho hàm số f x có đạo hàm f x và f 0 1 . A C 1 x Tính f 5 . B A. . f 5 2B.ln .2 C. f 5 ln 4 1 f 5 2ln 2 1. D. .f 5 2ln 2 Hướng dẫn giải: Chọn C. 1 Ta có: f (x) dx ln 1 x C . 1 x Mà f (0) 1 C 1 nên f (x) ln 1 x 1 . TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập Trang 13/24 – Mã đề 001
14. Cập nhật đề thi mới nhất tại Suy ra: f (5) ln 4 1 2ln 2 1 . Câu 25: Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số y x2 4 và y x 4 . 43 161 1 5 A. .S B. . S C. . D. S. S 6 6 6 6 Hướng dẫn giải: Chọn C. 2 2 x 0 Xét phương trình hoành độ giao điểm: x 4 x 4 x x 0 . x 1 1 1 1 1 2 2 2 1 3 1 2 1 Khi đó: S x 4 x 4 dx x x dx x x x x x . 0 0 0 3 2 0 6 Câu 26: Gọi n là số mặt phẳng đối xứng của hình bát diện đều. Tìm n . A. .n 7 B. . n 5 C. . n D.3 . n 9 Hướng dẫn giải: Chọn D. Bát diện đều có 9 mặt phẳng đối xứng. Câu 27: Hàm số nào sau đây có tập xác định không phải là khoảng 0; ? 2 3 A. .y x 3 B. . y xC.2 . D. .y x 2 y x 5 Hướng dẫn giải: Chọn D. Vì số mũ 5 là số nguyên âm nên hàm số y x 5 có tập xác định là D ¡ \ 0 ( theo Tính chất của hàm số lũy thừa) Câu 28: Xét hình trụ T có thiết diện qua trục của hình trụ là hình vuông có cạnh bằng a . Tính diện tích toàn phần S của hình trụ. 3 a2 a2 A. .S B. . SC. . D. . S 4 a2 S a2 2 2 Hướng dẫn giải: Chọn A. Biết thiết diện qua trục là hình vuông cạnh a , vậy chiều cao hình trụ bằng h a , bán kính trụ 2 2 a 2 a a 3 a r . Diện tích toàn phần của hình trụ là: Stp 2 r 2 rh 2 2 .a . 2 2 2 2 Câu 29: Tìm tập nghiệm S của bất phương trình log 1 x 1 log 1 5 2x . 2 2 5 5 A. .S ;2B. . C. S. 2; D. . S ; S 1;2 2 2 Hướng dẫn giải: Chọn D. 5 Điều kiện.x 1; 2 Bất phương trình x 1 5 2x x 2 . TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập Trang 14/24 – Mã đề 001
15. Cập nhật đề thi mới nhất tại Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S 1;2 . Câu 30: Cho hình lăng trụ lục giác đều có cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng 2a . Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ. A. .R a 2 B. . R aC. . D. . R a 3 R 2a Hướng dẫn giải: Chọn A. Kí hiệu ABCDEF.A B C D E F là lăng trụ lục giác F' E' đều có cạnh đáy bằng a ; O B E  BE . Kkhi đó OA OB OC OD OE OF A' 2a OA OB OC OD OE OF D' Vậy tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ là O và bán kính BE B' bằng R . C' 2 Vì BEE B là hình vuông cạnh 2a , đường chéo O 2a F E BE 2 2a nên bán kính mặt cầu là R a 2 . A D a B C x 3 Câu 31: Cho đồ thị C : y . Biết rằng, có hai điểm phân biệt thuộc đồ thị C và cách đều hai x 1 trục toạ độ. Giả sử các điểm đó lần lượt là M và N . Tìm độ dài của đoạn thẳng MN . A. .M N 4 2B. . C. M. N 2 D.2 . MN 3 5 MN 3 Hướng dẫn giải: Chọn A. m 3 m 3 m 1 M 1; 1 Gọi M m; , ta có d M ,Ox d M ,Oy m . m 1 m 1 m 3 M 3;3 Suy ra MN = 4 2 . log x2 1 Câu 32: Tìm tập nghiệm S của bất phương trình 1 . log 1 x A. .S 2; B.1 . C. . S  2;D. 1 . S  2;1 S  2; 1 Hướng dẫn giải: Chọn B. TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập Trang 15/24 – Mã đề 001
16. Cập nhật đề thi mới nhất tại x 1 x 1 Đk: x 1 x 1 log 1 x 0 BPT log x2 1 log 1 x (vì log 1 x 0,x 1 ) x2 1 1 x x2 x 2 0 2 x 1 Kết hợp đk ta được  2; 1 là tập nghiệm của bất phương trình đã cho. Câu 33: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng P đi qua điểm M 1;2;3 và cắt các tia Ox , Oy , Oz lần lượt tại các điểm A , B , C sao cho 1 1 1 T đạt giá trị nhỏ nhất. OA2 OB2 OC 2 A. . P : x 2y 3z 14B. 0. P : 6x 3y 2z 6 0 C. . P : 6x 3y 2z D.18 . 0 P : 3x 2y z 10 0 Hướng dẫn giải: z Chọn A. Gọi H là hình chiếu của O lên AB , C K là hình chiếu của O lên HC . Ta có OK  P và 1 1 1 1 1 1 1 T (hằng số) K OA2 OB2 OC 2 OH 2 OC 2 OK 2 OM 2 B y Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi K  M . O 1 H Do đó, GTNN của T bằng (đạt được khi và chỉ khi K  M ) A OM 2 x  Suy ra P đi qua M và có VTPT là OM . Vậy, P : x 1 2 y 2 3 z 3 0 x 2y 3z 14 0 . Câu 34: Cho hàm số y f x thỏa mãn hệ thức f x sin xdx f x cos x x cos xdx . Hỏi y f x là hàm số nào trong các hàm số sau? x x A. . f x B. . f x ln ln C. . f x x .ln D. . f x x .ln Hướng dẫn giải: Chọn B. u f x du f x dx Chọn . dv sin xdx v cos x x f (x)sin xdx f (x)cos x f x cos xdx f x x f x . ln TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập Trang 16/24 – Mã đề 001
17. Cập nhật đề thi mới nhất tại x 1 y z 2 Câu 35: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng d : và 1 2 1 1 x 1 y 1 z 3 d : . Đường vuông góc chung của d và d lần lượt cắt d , d tại A và B . 2 1 7 1 1 2 1 2 Tính diện tích S của tam giác OAB . 3 6 6 A. .S B. . S C.6 . D. . S S 2 2 4 Hướng dẫn giải: Chọn C. x 1 2t1  Phương trình tham số d1 : y t1 , a1 2; 1;1 là VTCP của d1 . z 2 t1 x 1 t2  Phương trình tham số d2 : y 1 7t2 , a2 1;7; 1 là VTCP của d2 . z 3 t2 A d1  d A 1 2a; a; 2 a . B d2  d B 1 b;1 7b;3 b .  AB 2 b 2a;1 7b a;5 b a . AB là đường vuông góc chung của d1 và d2   AB  d1 AB.a1 0   AB  d 2 AB.a2 0 2 2 b 2a 1 7b a 5 b a 0 2 b 2a 7 1 7b a 5 b a 0 6b 6a 0 A 1;0; 2 a b 0 . 52b 6a 0 B 1;1;3     Ta có OA 1;0; 2 ;OB 1;1;3 ; OA,OB 2; 1;1 . 1   6 Vậy S OA,OB . OAB 2 2 Câu 36: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y mx m 1 cos x đồng biến trên ¡ . 1 1 A. không có m . B. . 1 mC. . D.m . m 1 2 2 Hướng dẫn giải Chọn A. Ta có y m m 1 sin x . Hàm số y = mx- (m + 1)cos x đồng biến trên ¡ khi và chỉ khi y 0, x ¡ (dấu “ ” không được xảy ra trên một khoảng) m m 1 sin x 0, x ¡ (dấu “ ” không được xảy ra trên một khoảng) m 1 sin x sin x 0 1 , x ¡ (điều kiện trong dấu ngoặc đơn ở trên được thoả mãn) TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập Trang 17/24 – Mã đề 001
18. Cập nhật đề thi mới nhất tại Với sin x 1 0 x k2 thì m 1 sin x sin x 1 0, m ¡ . 2 Vậy, không có giá trị nào của tham số m để hàm số y = mx- (m + 1)cos x đồng biến trên ¡ . Cách 2 Ta có y m m 1 sin x . Hàm số y = mx- (m + 1)cos x đồng biến trên ¡ khi và chỉ khi y 0, x ¡ (dấu “ ” không được xảy ra trên một khoảng) m m 1 sin x 0, x ¡ (dấu “ ” không được xảy ra trên một khoảng) m 1 sin x sin x 0 1 , x ¡ (điều kiện trong dấu ngoặc đơn ở trên được thoả mãn) Ta nhận thấy: sin x  1;1,x ¡ mà sin x 1 không thoả 1 nên sin x 1 0 . sin x Vậy, YCBT m , với mọi x sao cho sin x 1 0 . sin x 1 Đặt t sin x , 1 t 1 . t YCBT m,t 1;1 , với mọi x sao cho sin x 1 0 . t 1 t 1 Xét hàm số f (t) trên 1;1 . Ta có f (t) 0 , t 1;1 t 1 t 1 2 1 Suy ra f (t) nghịch biến trên 1;1 . Mặt khác, lim f (t) và f (1) , nên tập giá trị t ( 1) 2 1 của hàm số f (t) (xác định trên là 1;1 ) là T ; . Từ đây suy ra không tồn tại giá trị 2 m thoả mãn YCBT Bình luận: Nếu đề bài yêu cầu tìm để hàm nghịch biến trên ¡ thì phải giải như ở Cách 2. Câu 37: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện z 2 z 2 10 . 2 2 2 2 x y A. Đường tròn x 2 y 2 100 . B. Elip 1 . 25 4 2 2 2 2 x y C. Đường tròn x 2 y 2 10 . D. Elip 1 . 25 21 Hướng dẫn giải Chọn D. Gọi M x; y là điểm biểu diễn số phức z x yi , x, y ¡ . Gọi A là điểm biểu diễn số phức 2 Gọi B là điểm biểu diễn số phức 2 Ta có: z 2 z 2 10 MB MA 10 . Ta có AB 4 . Suy ra tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là Elip với 2 tiêu điểm là A 2;0 , B 2;0 , tiêu cự AB 4 2c , độ dài trục lớn là 10 2a , độ dài trục bé là 2b 2 a2 c2 2 25 4 2 21 . Vậy, tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện z 2 z 2 10 là elip có x2 y2 phương trình 1. 25 21 TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập Trang 18/24 – Mã đề 001
19. Cập nhật đề thi mới nhất tại 2 Câu 38: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình 4 log2 x log2 x m 0 nghiệm đúng mọi giá trị x 1;64 . A. .m 0 B. . m 0 C. . mD. 0. m 0 Hướng dẫn giải Chọn: C 2 +BPT log2 x log2 x m 0 , x 1;64 . + Đặt t log x, t 0;6 . Bất phương trình thành t 2 t m 0, t 0;6 . 2 +YCBT t 2 t m, t 0;6 . 1 + Đặt f (t) t 2 t f (t) 2t 1 0 t . 2 Bảng biến thiên: t 0 6 f ¢(t) + 42 f (t) 0 + Dựa vào bảng biến thiên m 0 m 0 . Câu 39: Một que kem ốc quế gồm hai phần: phần kem có dạng hình cầu, phần ốc quế có dạng hình nón. Giả sử hình cầu và hình nón có bán kính bằng nhau; biết rằng nếu kem tan chảy hết thì sẽ làm đầy phần ốc quế. Biết thể tích phần kem sau khi tan chảy chỉ bằng 75% thể tích kem đóng h băng ban đầu. Gọi h và r lần lượt là chiều cao và bán kính của phần ốc quế. Tính tỉ số . r h h h 4 h 16 A. . 3 B. . 2 C. . D. . r r r 3 r 3 Hướng dẫn giải Chọn: A 4 + Thể tích khối cầu (thể tích kem ban đầu) V r3 . c 3 1 + Thể tích khối nón (phần ốc quế) V r 2h . N 3 3 1 2 3 4 3 h + Theo đề: VN VC r h r 3 . 4 3 4 3 r a 2 Câu 40: Có bao nhiêu số thực a 0;10 thỏa mãn điều kiện sin5 x.sin 2xdx ? 0 7 A. 4số. B. số.6 C. số. 7 D. số. 5 Hướng dẫn giải Chọn D. TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập Trang 19/24 – Mã đề 001
20. Cập nhật đề thi mới nhất tại a 2 a 2 Ta có sin5 x.sin 2xdx 2 sin6 x.cos xdx 0 7 0 7 a 1 a sin6 x.d sinx sin7 x 1 0 0 7 sin7 a 1 sin a 1 a k2 , k Z 2 1 19 a 0;10 0 k2 10 k , k Z 2 4 4 5 9 13 17  k 0;1;2;3;4 a ; ; ; ;  . 2 2 2 2 2  y Câu 41: Cho hàm số y f x liên tục và C có đạo hàm cấp hai trên ¡ . Đồ 2 thị của các hàm số y f x , y f x và y f x lần lượt C3 là các đường cong nào trong hình vẽ bên? O x A. . C3 , C1 , C2 B. . C1 , C2 , C3 C C. . C3 , C2 , C1 1 D. . C1 , C3 , C2 Hướng dẫn giải Chọn A Từ điều kiện cần để hàm số có cực trị, ta có nhận xét sau Nhận xét. Nếu M 0 (x0 ; f (x0 )) là điểm cực trị của của đồ thị hàm số y f (x) thì hình chiếu của M 0 (x0 ; f (x0 )) trên trục hoành là giao điểm của đồ thị hàm số y f (x) với trục hoành. Từ đồ thị ở hình vẽ, ta thấy hình chiếu của các điểm cực trị của C3 trên Ox là giao điểm của C1 với Ox , hình chiếu của các điểm cực trị của C1 trên Ox là giao điểm của C2 với Ox . Do đó C3 là đồ thị của y f x , C1 là đồ thị của y f x và C2 là đồ thị của y f x . Câu 42:Một điện thoại đang nạp pin, dung lượng pin nạp được tính theo công thức t 2 Q t Q0. 1 e với t là khoảng thời gian tính bằng giờ và Q0 là dung lượng nạp tối đa (pin đầy). Hãy tính thời gian nạp pin của điện thoại tính từ lúc cạn hết pin cho đến khi điện thoại đạt được 90% dung lượng pin tối đa (kết quả được làm tròn đến hàng phần trăm). A. tgiờ. 1, 65 B. giờ. t 1,C.61 giờ. D. giờ.t 1,63 t 1,50 Hướng dẫn giải Chọn C Theo bài ta có t 2 t 2 t 2 Q0. 1 e 0,9.Q0 1 e 0,9 e 0,1 ln 0,1 t 1,63 . 2 TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập Trang 20/24 – Mã đề 001
21. Cập nhật đề thi mới nhất tại Câu 43: Cho hình lập phương ABCD.A B C D có diện tích tam giác ACD bằng a2 3 . Tính thể tích V của hình lập phương. A. .V 3 3a3 B. . C.V . 2 2a3 D. . V a3 V 8a3 Hướng dẫn giải Chọn B A' Giả sử cạnh của hình lập phương có độ dài là x . D' x 6 Ta có AC x 2; OD OD2 A A2 2 Diện tích tam giác ACD là B' C' 1 1 x 6 x2 3 S OD  AC x 2  . ACD 2 2 2 2 D x2 3 x2 A Khi đó, ta có a2 3 a2 x a 2 . 2 2 O Vậy, V x3 2a3 2 . B C Câu 44: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z 1 2 . Tìm giá trị lớn nhất của T z i z 2 i . A. .m axT B.8 . 2 C. . maxTD. .4 maxT 4 2 maxT 8 Hướng dẫn giải Chọn B T z i z 2 i z 1 1 i z 1 1 i . Đặt w z 1 . Ta có w 1 và T w 1 i w 1 i . Đặt w x y.i . Khi đó w 2 1 x2 y2 . T x 1 y 1 i x 1 y 1 i 1. x 1 2 y 1 2 1. x 1 2 y 1 2 12 12 x 1 2 y 1 2 x 1 2 y 1 2 2 2x2 2y2 4 4 Vậy maxT 4 . 2x 1 Câu 45: Biết rằng đường thẳng d : y 3x m cắt đồ thị C : y tại 2 điểm phân biệt A và B x 1 sao cho trọng tâm của tam giác OAB thuộc đồ thị C , với O 0;0 là gốc tọa độ. Khi đó giá trị của tham số m thuộc tập hợp nào sau đây? A. . ;3 B. . 3C.; . D. . 1;3 5; 2 Hướng dẫn giải Chọn B. x 1 Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và C là 2 3x m 1 x m 1 0 * m 11 Để d cắt C tại 2 điểm phân biệt khi * có hai nghiệm phân biệt x 1 m 1 m 1 Gọi A x ; 3x m ; B x ; 3x m . Ta có x x . 1 1 2 2 1 2 3 TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập Trang 21/24 – Mã đề 001
22. Cập nhật đề thi mới nhất tại 0 x x m 1 x 1 2 G 3 9 Suy ra 0 3x m 3x m m 1 y 1 2 G 3 3 m 1 2 1 m 1 Vì G C nên 9 m 1 3 1 9 15 5 13 m 16,51 2 2 m 15m 25 0 (thỏa mãn ĐK). 15 5 13 m 1,51 2 Câu 46: Hỏi phương trình 2log3 cot x log2 cos x có bao nhiêu nghiệm trong khoảng 0;2017 ? A. 1nghiệm.009 B. nghiệm.100 8 C. nghiệm. 201D.7 nghiệm. 2018 Hướng dẫn giải Chọn A Điều kiện: cos x 0 và sin x 0 . 2 Ta có 2log3 cot x log2 cos x log3 cot x log2 cos x (*) t Đặt t log2 cos x cos x 2 . Từ đó phương trình (*) trở thành t t t 4 4 t 4 t log3 t t t 3 4 1 t 1 (dùng đơn điệu hàm số) 1 4 1 4 3 1 Như vậy cos x và sin x 0 nên x k2 k ¢ . 2 3 Từ đó trên khoảng 0;2017 phương trình có 1009 nghiệm. 4 2 Câu 47: Cho hàm số y x 3x m có đồ thị Cm với m là tham số thực. Giả sử Cm cắt trục Ox tại bốn điểm phân biệt như hình vẽ : y Cm S3 O x S1 S2 Gọi S1 , S2 và S3 là diện tích các miền gạch chéo được cho trên hình vẽ. Tìm m để S1 S2 S3 . 5 5 5 5 A. .m B. . m C. . D. .m m 2 4 2 4 Hướng dẫn giải Chọn D Giả sử x b là nghiệm dương lớn nhất của phương trình x4 3x2 m 0 . Khi đó ta có TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập Trang 22/24 – Mã đề 001
23. Cập nhật đề thi mới nhất tại b4 3b2 m 0 (1) Nếu xảy ra S1 S2 S3 thì b b5 b4 x4 3x2 m dx 0 b3 mb 0 b2 m 0 (2) do b 0 0 5 5 4 5 Từ (1) và (2), trừ vế theo vế ta được b4 2b2 0 b2 (do b 0) . 5 2 5 Thay trở ngược vào (1) ta được m . (đến đây ta đã chọn được đáp án, không cần giải tiếp) 4 Chú ý: nếu là giải tự luận phải kiểm lại xem phải phương trình y 0 có 4 nghiệm phân biệt, 5 đồng thời x là nghiệm dương lớn nhất hay không. 2 Câu 48: Cho hai mặt cầu S1 , S2 có cùng bán kính R thỏa mãn tính chất: tâm của S1 thuộc S2 và ngược lại. Tính thể tích phần chung V của hai khối cầu tạo bởi (S1) và (S2 ) . R3 5 R3 2 R3 A. .V R3 B. . V C. . D. . V V 2 12 5 Hướng dẫn giải y Chọn C 2 2 2 Gắn hệ trục Oxy như hình vẽ (C) : x y R Khối cầu S O, R chứa một đường tròn lớn là C : x2 y2 R2 O R R x Dựa vào hình vẽ, thể tích cần tính là 2 R R 3 3 2 2 2 x 5 R V 2 R x dx 2 R x . R 3 R 12 2 2 Câu 49: Trong không gian với hệ tọa độ , Ochoxyz các điểm A 2 ,; 0;0 B 0 và;3; 0 C 0; .0 Gọi; 4 H là trực tâm tam giác ABC . Tìm phương trình tham số của đường thẳng OH trong các phương án sau: x 6t x 6t x 6t x 6t A. . y 4t B. . C. y . 2 4t D. . y 4t y 4t z 3t z 3t z 3t z 1 3t Hướng dẫn giải Chọn C y Do A Ox, B Oy, C Oz nên OA, OB, OC vuông góc từng đôi một. B AC  OB Ta có nên AC  OH . AC  BH H Tương tự AB  OH do đó OH  ABC . z O C Như vậy đường thẳng OH có một véctơ chỉ phương là   u AB, BC 12; 8;6 hay u 6;4; 3 M A x TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập Trang 23/24 – Mã đề 001
24. Cập nhật đề thi mới nhất tại   AB ( 2;3;0), BC (0; 3; 4) x 6t Phương trình tham số của OH : y 4t . z 3t Câu 50: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân, đáy lớn AB. Biết rằng AB 2a , AD DC CB a , cạnh bên SA vuông góc với đáy, mặt phẳng SBD hợp với đáy một góc 45. Gọi G là trọng tâm tam giác SAB . Tính khoảng cách d từ điểm G đến mặt phẳng SBD . a a 2 a a 2 A. .d B. . d C. . D. d. d 6 6 2 2 Hướng dẫn giải Chọn B Gọi O là trung điểm cạnh AB thì OB//CD, OB BC CD . Do đó OBCD là hình thoi BD  OC (1) Tương tự OADC cũng là hình thoi nên OC//AD (2) Từ (1) và (2) ta suy ra BD  AD . O Ngoài ra BD  SA nên ta có BD  SAD A B ·(SBD),(ABC) S· DA S· DA 45. Vẽ AH  SD tại H SD thì AH  SBD D C S a 2 d A,(SBD) AH AD.sin 45 . 2 Gọi E AG  SB thì AG  SBD E . E G H GE a 2 Do đó d G,(SBD) d A,(SBD) . AE 6 A B HẾT 45 D C TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập Trang 24/24 – Mã đề 001