Đề hi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 12 - Năm học 2017-2018

Nội dung text: Đề hi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 12 - Năm học 2017-2018

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2017 – 2018 MÔN THI: TOÁN ĐỀ THI CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 180 phút(không kể thời gian giao đề) (Đề thi gồm 01 trang) Câu 1( 2,0 điểm): 1) Cho I 2;1 . Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số y x3 3mx 1 có hai điểm cực trị A, B sao cho diện tích ΔIAB bằng 8 2 . 2) Một công ty muốn làm một đường ống dẫn dầu từ một kho B A ở trên bờ biển đến một vị trí B trên một hòn đảo. Hòn đảo cách bờ biển 6 km. Gọi C là điểm trên bờ sao cho BC vuông góc với bờ biển. Khoảng cách từ A đến C là 9 km. Người ta cần xác định một vị trí D trên AC để lắp ống dẫn theo đường 6km gấp khúc ADB. Tính khoảng cách AD để số tiền chi phí thấp D A nhất, biết rằng giá để lắp đặt mỗi km đường ống trên bờ là C 100.000.000 đồng và dưới nước là 260.000.000 đồng. 9km Câu 2 (2,0 điểm): 8 1) Giải phương trình tan x cot3 x. sin3 2x 3 2 3 x 6x 13x y y 10 2) Giải hệ phương trình . 3 2 2x y 2 5 x y x 3x 10y 8 Câu 3 (2,0 điểm): u 1) Cho dãy số (u ) có u 7,u 5u 12 (n ¥ * ) . Tìm lim n . n 1 n 1 n 5n 2) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (I) có hai đường kính AB và MN với A(1;3), B(3; 1) . Tiếp tuyến của (I) tại B cắt các đường thẳng AM và AN lần lượt tại E và F. Tìm tọa độ trực tâm H của MEF sao cho H nằm trên đường thẳng d : x y 6 0 và có hoành độ dương. Câu 4 (3,0 điểm): Cho hình chóp S.ABC có SA SB SC a , A· SB 600 ,C· SB 900 ,A· SC 1200 . 1) Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a. 2) Gọi I, J, G lần lượt là trung điểm SC, AB, IJ. Mặt phẳng (P) đi qua G cắt các cạnh SA, SB, SC lần lượt tại A’, B’, C’. Gọi VA.A'B'C ' ,VB.A'B'C ' ,VC.A'B'Clần' lượt là thể tích các khối chóp A.A' B 'C,' B.A' B 'C , ' C.A' B 'C '. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P VA.A'B'C ' VB.A'B'C ' VC.A'B'C ' theo a. CN AM 3) Gọi M, N là hai điểm thay đổi lần lượt trên cạnh AB và SC sao cho . Tìm giá trị nhỏ nhất SC AB của đoạn thẳng MN. Câu 5 (1,0 điểm): 1 8 Với các số thực dương a,b,c . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .P 2a b 8bc 2b2 2(a c)2 5 HẾT - Thí sinh không được sử dụng tài liệu - Giám thị không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Chữ ký của giám thị 1: Chữ ký của giám thị 2:
2. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH HẢI DƯƠNG LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2017 – 2018 MÔN THI: TOÁN HƯỚNG DẪN CHẤM Ngày thi: 04 tháng 10 năm 2017 (Hướng dẫn chấm gồm 05 trang) (Điểm toàn bài lấy điểm lẻ đến 0,25; thí sinh làm cách khác mà đúng vẫn cho điểm tối đa) Câu Nội dung Điểm 1) Tìm tất cả các giá trị của m để (C ) y x3 3mx 1 có hai điểm cực trị A, B sao cho m (1,0đ) diện tích ΔIAB bằng 8 2 với I(2;1). TXĐ: D=¡ ; y' 3x2 3m; y' 0 x2 m (1) 0,25 (Cm ) có hai điểm cực trị A, B PT (1) có 2 nghiệm phân biệt m 0 Khi đó: A m; 2m m 1 , B m;2m m 1 Phương trình AB: y 2mx 1 hay 2mx y 1 0 I.1 0,25 4m 4m Ta có: AB 4m 4m2 1 , d I; AB (Do m 0) 4m2 1 4m2 1 1 1 2 4m SV ABI .AB.d I; AB . 4m 4m 1 . 8 2 0,25 2 2 4m2 1 4m m 8 2 m m 2 2 m 2(TM ) 0,25 Kết luận: m = 2 2) Một công ty muốn làm một đường ống dẫn dầu từ một kho A ở trên bờ đến một vị trí B trên một hòn đảo. Hòn đảo cách bờ biển 6 km. Gọi C là điểm trên bờ sao cho BC vuông góc với bờ biển. Khoảng cách từ A đến C là 9 km. Người ta cần xác định một vị (1,0đ) trí D trên AC để lắp ống dẫn theo đường gấp khúc ADB. Tính khoảng cách AD để số tiền chi phí thấp nhất, biết rằng giá để lắp đặt mỗi km đường ống trên bờ là 100.000.000 đồng và dưới nước là 260.000.000 đồng. + Đặt CD x km , x [0;9] B CD x2 36 ; AD 9 x nên chi phí xây dựng đường ống là : 6km 0,25 D C A 9km I.2 T x 260000000 x2 36 100000000(9 x) đồng + Xét hàm số T(x) trên đoạn [0 ; 9] ta có : 13x T '(x) 20000000 5 T’(x) = 0 13x 5 x2 36 x2 36 0,25 25 5 168x2 25 x2 36 x2 x . 4 2 5 + Lại cóT(0) 2460000000 ; T( ) 2340000000 ; T(9) 260000000 117 2 0,25 5 Suy ra T(x) đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn [0 ; 9] bằng 2340000000 khi x = . 2 5 + Vậy chi phí lắp đặt thấp nhất bằng 2340000000đồng khi x = hay điểm D cách A một 0,25 2
3. khoảng bằng 6,5 km. 8 1) Giải phương trình tan x cot3 x. (1,0đ) sin3 2x 8 cos4 x sin4 x Điều kiện: sin 2x ¹ 0 . PT tương đương với 0,25 sin3 2x sin3 x cos x 1 II.1 cos2 x sin2 x 1 cos2x.cos2 x 0,25 cos2 x cos2 2x cos2x 2 0 0,25 cos2x 1 kết hợp với điều kiện : phương trình vô nghiệm 0,25 cos2x 2 3 2 3 x 6x 13x y y 10 (1) 2) Giải hệ phương trình 3 2 (1,0đ) 2x y 2 5 x y x 3x 10y 8 (2) 2x y 2 0 * ĐK: 5 x y 0 0,25 1 x 2 3 x 2 y3 y (*) Xét hàm số f t t3 t . Ta có f ' t 3t 2 1 0t R f t đồng biến trên R 0,25 Do đó (*) y x 2 . Thay y x 2 vào (2) ta được : 3x 7 2x x3 3x2 10x 28 II.2 3 x 3 2 x 3 3x 3 1 7 2x x3 3x2 10x 30 x 3 x2 10 3x 3 1 7 2x 0,25 x 3 3 2 x2 10 (3) 3x 3 1 7 2x 7 3 2 PT (3) vô nghiệm vì với 0 x thì 1 2 3, x2 10 10 . Vậy hệ 2 3x 3 1 7 2x 0,25 x 3 có nghiệm duy nhất . y 1 u 1) Cho dãy số (u ) có u 7,u 5u 12 (n ¥ * ) . Tìm lim n . (1,0đ) n 1 n 1 n 5n un 1 5un 12 un 1 3 5(un 3) 0,25 * Đặt vn un 3 vn 1 5vnn ¥ dãy số (vn ) lập thành cấp số nhân có công bội III.1 0,25 q 5,v1 u1 3 10 n 1 n 1 n vn v1q 10.5 un 2.5 3 0,25 n n un 2.5 3 1 lim n lim n lim[ 2 3 ]=-2 0,25 5 5 5 3) 2) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (I) có hai đường kính AB và MN với (1,0đ) A(1;3), B(3; 1) . Tiếp tuyến của (I) tại B cắt các đường thẳng AM và AN lần lượt tại E và F. Tìm tọa độ trực tâm H của MEF sao cho H nằm trên đường thẳng d : x y 6 0 và có hoành độ dương. Đường tròn (I) có tâmI 2;1 ,bán kính r 5 . AF là E đường cao tam giác MEF nên H,A,F thẳng hàng H M AI NI 1 AI song song với HM nên HM 2AI HM NM 2 B III.2 I' A I 0,25 N F
4. Gọi I’đối xứng với I qua A nên I '(0;5) . I I’ 2AI HM, I I’ / /HM nên HMI I’ là hình bình 0,25 hành I’H=IM=r= 5 H d H (t;t 6),t 0 ; I ' H 5 (t 0)2 (t 6 5)2 5 0,25 2 t 1 2t 2t 4 0 . Vậy H (1;7) . 0,25 t 2(l) Cho hình chóp S.ABC có SA SB SC a , A· SB 600 ,C· SB 900 ,A· SC 1200 . (1,0đ) 1) Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a. Xét tứ diện SABC có : SA SB SC a S · 0 ABS đều :do SA=SB, ASB 60 AB a 120 SBC vuông tại S BC a 2 a a SAC : AC SA2 SC 2 2SA.SC.Cos1200 a 3 a 0,25 IV.1 C H A B Có : AC 2 AB2 BC 2 ABC vuông tại B 0,25 Hình chóp S.ABC có SA SB SC a . Hạ SH  (ABC) H là tâm đường tròn ngoại tiếp 0,25 tam giác ABC H là trung điểm của AC a a2 2 1 a3 2 Xét SAC:SH= ; Có :S V SH.S 0,25 2 ABC 2 S.ABC 3 ABC 12 2) Gọi I, J, G lần lượt là trung điểm SC, AB, IJ. Mặt phẳng (P) đi qua G cắt các cạnh SA, SB, SC lần lượt tại A’, B’, C’. Gọi VA.A'B'C ' ,VB.A'B'C ' ,VA.A'B'C ' lần lượt là thể tích các (1,0đ) khối chóp A.A' B 'C ', B.A' B 'C ', A.A' B 'C '. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P V V V theo a. A.A'B'C ' B.A 'B'C ' C .A'B'C '  Đặt a SA,b SB,c SC, SA' xSA xa,     S SB ' ySB yb, SC ' zSC zc(0 x, y, z 1)       C ' A' SA' SC ' xa zc,C ' B ' SB ' SC ' yb zc c       GA GB GC GS 2GI 2GJ 0 I A'      b C' 0,25 C ' A C ' B C 'C C 'S 4C 'G G a  1     1 1 1 A IV.2 C 'G (SA SB SC 4SC ') a b c( z)(1) C 4 4 4 4 B' J B    Do A’, B’, C’, G đồng phẳng nên C 'G mC ' A' nC ' B ' mxa nyb c( mz nz)(2) 1 mx 4 1 1 1 1 0,25 Mà a,b,c không đồng phẳng nên từ (1) và (2) ta có ny 4 4 x y z 1 mz nz z 4
5. V AA ' SA SA' 1 Ta có A.A'B'C ' 1 VS.A'B'C ' SA' SA' x V V V 1 1 1 Tương tự ta có A.A'B'C ' B.A'B'C ' C.A'B'C ' 1 1 1 1 VS.A'B'C ' VS.A'B'C ' VS.A'B'C ' x y z 0,25 VA.A'B'C ' VB.A'B'C ' VC.A'B'C ' VS.A'B'C ' VS.A'B'C ' SA' SB ' SC ' . . xyz VS.A'B'C ' xyzVS.ABC VS.ABC SA SB SC Theo bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân 1 1 1 1 27 27 9a3 2 3 4 xyz P VA.A'B'C ' VB.A'B'C ' VC.A'B'C ' VS.ABC x y z xyz 64 64 256 0,25 3 9a3 2 9a3 2 khi x y z thì P nên giá trị nhỏ nhất của P là 4 256 256 CN AM (1,0đ) 3)Gọi M, N là hai điểm thay đổi lần lượt trên cạnh AB và SC sao cho . Tìm giá trị SC AB nhỏ nhất của đoạn thẳng MN. CN AM Đặt m(0 m 1) S SC AB   NC mSC mc, AM mAB m(b a)      c 0,25 MN MA AS SC CN m(b a) a c mc (m 1)a mb (1 m)c N b a A IV.3 C M B a2 a2 Do a.b ,b.c 0,a.c nên MN 2 (3m2 5m 3)a2 2 2 0,25 5 11 11 a 33 0,25 3a2 (m ) a2 a2 MN m [0;1] 6 12 12 6 5 a 33 0,25 Dấu đẳng thức xẩy ra khi m . Vậy giá trị nhỏ nhất của MN là 6 6 V Với các số thức dương a,b,c . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1,0 1 8 P . 2a b 8bc 2b2 2(a c)2 5 1 1 0,25 Ta có 8bc 2 b.2c b 2c . 2a b 8bc 2(a b c) 8 8 0,25 Mặt khác 2(a c)2 2b2 (a c) b . 5 2(a c)2 2b2 5 a b c 1 8 Do đó P . 2(a b c) 5 a b c Đặt t a b c, t 0. 0,25 1 8 Xét f (t) , t 0. 2t 5 t Ta có
6. 1 8 (3t 5)(5t 5) 5 f '(t) 2 2 2 2 , t 0. 0 + 2t (5 t) 2t (5 t) t 3 5 f '(t) 0 t f'(t) - 0 + 3 Bảng biến thiên f(t) 9 - 10 Từ bảng biến thiên 0,25 5 9 9 f (t) f ( ) t 0 P f (a b c) 3 10 10 5 5 9 9 Khi a c ,b thì P .Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 12 6 10 10