›
›
›

Đề cương Ôn tập môn Toán Lớp 11 - Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

docx 115 trang nhatle22 4130
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Đề cương Ôn tập môn Toán Lớp 11 - Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docxde_cuong_on_tap_mon_toan_lop_11_chuong_1_ham_so_luong_giac_v.docx

Nội dung text: Đề cương Ôn tập môn Toán Lớp 11 - Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

  1. CHỦ ĐỀ 1: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC BÀI: GÓC LƯỢNG GIÁC VÀ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC A. LÝ THUYẾT 1. Giá trị lượng giác của cung α . Ð Ð Trên đường tròn lượng giác (hình 1.1) cho cung AM có sđ AM : Hình 1.1 Gọi M x; y với tung độ của M là y OK , hoành độ là x OH thì ta có: sin OK cos OH sin cos tan ; cos 0 cot ; sin 0 cos sin Các giá trị sin , cos , tan , cot được gọi là các giá trị lượng giác của cung . Các hệ quả cần nắm vững 1. Các giá trị sin ; cos xác định với mọi ¡ . Và ta có: sin k2 sin ,k ¢ ; cos k2 cos ,k ¢ . 2. 1 sin 1 ; 1 cos 1 3.tan xác định với mọi k , k ¢ . 2 4.cot xác định với mọi k , k ¢ . Ð Dấu của các giá trị lượng giác của cung phụ thuộc vào vị trí điểm cuối của cung AM trên đường tròn lượng giác (hình 1.2). Hình 1.2 Ta có bảng xác định dấu của các giá trị lượng giác như sau Góc phần tư I II III IV Giá trị lượng giác
  2. cos + - - + sin + + - - tan + - + - cot + - + - Ở hình 1.3 là một cách nhớ khác để xác định dấu của các giá trị lượng giác 2. Công thức lượng giác Công thức cơ bản Cung đối nhau sin2 x cos2 x 1 sin x sin x 1 tan2 x 1 cos x cos x cos2 x 1 cot2 x 1 tan x tan x sin2 x Công thức cộng Cung bù nhau sin x y sin x cos y cos xsin y sin x sin x cos x y cos x cos y  sin xsin y cos x cos x tan x tan y tan x y tan x tan x 1 tan x tan y Công thức đặc biệt sin x cos x 2 sin x 2 cos x 4 4 sin x cos x 2 sin x 2 cos x 4 4 Góc nhân đôi Góc chia đôi 1 sin 2x 2sin x cos x sin2 x 1 cos 2x 2 1 cos 2x 2cos2 x 1 1 2sin2 x cos2 x sin2 x cos2 x 1 cos 2x 2 Góc nhân ba Góc chia ba 1 sin 3x 3sin x 4sin3 x sin3 x 3sin x sin 3x 4 1 cos3x 4cos3 x 3cos x cos3 x 3cos x cos3x 4
  3. 3tan x tan3 x tan 3x 1 3tan2 x STUDY TIP Ở đây từ các công thức góc nhân đôi, góc nhân ba ta có thể suy ra công thức góc chia đôi, chia ba mà không cần nhớ nhiều công thức. Biến đổi tích thành tổng Biến đổi tổng thành tích 1 x y x y cos x cos y cos x y cos x y cos x cos y 2cos cos 2 2 2 1 x y x y sin xsin y cos x y cos x y cos x cos y 2sin sin 2 2 2 1 x y x y sin x cos y sin x y sin x y sin x sin y 2sin cos 2 2 2 x y x y sin x sin y 2cos sin 2 2 3. Giá trị lượng giác của các cung đặc biệt (độ) 0 30 45 60 90 180 0 (radian) 6 4 3 2 sin 0 1 2 3 1 0 2 2 2 cos 1 3 2 1 0 1 2 2 2 tan 0 3 1 3 Không xác 0 định 3 STUDY TIP Từ bảng giá trị lượng giác các cung đặc biệt ở bên ta thấy một quy luật như sau để độc giả có thể nhớ các giá trị lượng giác của các cung đặc biệt: 30 45 60 90 sin 1 2 3 4 2 2 2 2 Các giá trị ở tử số tăng dần từ 0 đến 4 . Ngược lại đối với giá trị cos , tử số giảm dần từ 4 về 0 . BÀI: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC A. LÝ THUYẾT 1. Hàm số y sinx và hàm số y cos x . Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với sin của góc lượng giác có số đo rađian bằng x được gọi là hàm số sin , kí hiệu là y sinx . Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với cosin cos của góc lượng giác có số đo rađian bằng x được gọi là hàm số cos , kí hiệu là y cosx . Tập xác định của các hàm số y sinx; y cosx là ¡ . a) Hàm số y sinx
  4. Nhận xét: Hàm số y sinx là hàm số lẻ do hà số có tập xác định D ¡ là đối xứng và sinx sin x . Hàm số y sinx tuần hoàn với chu kì 2 . Sự biến thiên: Sự biến thiên của hàm số y sinx trên đoạn ; được biểu thị trong sơ đồ (hình 1.4) phía dưới: Bảng biến thiên: Từ đây ta có bảng biến thiên của hàm số y sinx trên đoạn ; như sau: STUTY TIP Khái niệm:
  5. Hàm số f x xác định trên D gọi là hàm tuần hoàn nếu tồn tại một số T 0 sao cho với mọi x T D;x T D x thuộc D ta có . f (x T) f x Số dương T nhỏ nhất (nếu có) thỏa mãn tính chất trên gọi là chu kì của hàm tuần hoàn. Đồ thị hàm số: Nhận xét: Do hàm số y sinx là hàm số lẻ trên ¡ và tuần hoàn với chu kì 2 nên khi vẽ đồ thị hàm số y sinx trên ¡ ta chỉ cần vẽ đồ thị hàm số trên đoạn 0; , sau đó lấy đối xứng đồ thị qua gốc tọa O , ta được đồ thị hàm số y sinx trên đoạn ; , cuối cùng tịnh tiến đồ thị vừa thu được sang trái và sang phải theo trục hoành ta được các đoạn có độ dài 2 ;4 , STUDY TIP Hàm số y sinx đồng biến trên khoảng ; . Do tính chất tuần hoàn với chu kì 2 , hàm 2 2 số y sinx đồng biến trên mỗi khoảng k2 ; k2 ,k Z . 2 2 Tương tự ta suy ra được hàm số y sinx nghịch biến trên mỗi khoảng 3 k2 ; k2 ,k Z. 2 2 GHI NHỚ Hàm số y sinx : - Có tập xác định là ¡ . - Có tập giá trị là 1;1 . - Là hàm số lẻ. - Đồ thị nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng. - Có đồ thị là một đường hình sin. - Tuần hoàn với chu kì 2 . - Đồng biến trên mỗi khoảng k2 ; k2 ,k ¢ . 2 2 3 - Nghịch biến trên mỗi khoảng k2 ; k2 ,k ¢ . 2 2 b) Hàm số y cosx
  6. Ta thấy cosx sin x nên bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số y sinx sang trái một đoạn có 2 độ dài , ta được đồ thị hàm số y cosx . 2 Bảng biến thiên của hàm số y cosx trên ; . Đồ thị hàm số y cos x : STUTY TIP Hàm số y cosx đồng biến trên khoảng ;0 . Do tính chất tuần hoàn với chu kì 2 , hàm số yđồng co biếnsx trên mỗi khoảng k2 ;k2 . ,k ¢ Tương tự ta suy ra được hàm số y cosx nghịch biến trên mỗi khoảng k2 ; k2 ,k ¢ . GHI NHỚ Hàm số y cosx : - Có tập xác định là ¡ . - Là hàm số chẵn. - Là một đường hình sin. - Đồng biến trên mỗi khoảng k2 ;k2 ,k ¢ . - Nghịch biến trên mỗi khoảng k2 ; k2 ,k ¢ . Đọc thêm 2 Hàm số y a.sin x b c, a,b,c, ¡ ,a 0 là một hàm tuần hoàn với chu kì cơ sở  vì: a.sin  x T b c a.sin x b c,x ¡ a.sin x b T a.sin x b ,x ¡ 2 T k2 , k ¢ T k , k ¢ .  Và đồ thị của nó cũng là một đường hình sin.
  7. Tương tự hàm số y a.cos x b c, a,b,c, ¡ ,a 0 cũng là một hàm tuần hoàn với chu 2 kì cơ sở và đồ thị của nó cũng là một đường hình sin.  Ứng dụng thực tiễn: Dao động điều hòa trong môn Vật lý chương trình 12. 2. Hàm số y tan x và hàm số y cot x trục côtang B S M T + x A' O A trục tang B' Hình 1.7  sin x Với D1 ¡ \ k k ¢  , quy tắc đặt tương ứng mỗi số x D1 với số thực tan x 2  cos x được gọi là hàm số tang, kí hiệu là y tan x . Hàm số y tan x có tập xác định là D1 . cos x Với D2 ¡ \ k k ¢  , quy tắc đặt tương ứng mỗi số x D2 với số thực cot x được sin x gọi là hàm số côtang, kí hiệu là y cot x . Hàm số y cot x có tập xác định là D2 . Nhận xét: - Hai hàm số y tan x và hàm số y cot x là hai hàm số lẻ. - Hai hàm số này là hai hàm số tuần hoàn với chu kì . a) Hàm số y tan x t B H A' O A x K + M B' T Hình 1.8 Sự biến thiên: Khi cho x OA,OM tăng từ đến thì điểm M chạy trên đường tròn 2 2 lượng giác theo chiều dương từ B đến B (không kể B và B ). Khi đó điểm T thuộc trục tang sao cho AT tan x chạy dọc theo At , nên tan x tăng từ đến (qua giá trị 0 khi x 0 ). MH AT AT Giải thích: tan x AT vì tan x AT OH OA 1
  8. Nhận xét: Hàm số y tan x đồng biến trên mỗi khoảng k ; k ,k ¢ . Đồ thị hàm 2 2 số y tan x nhận mỗi đường thẳng x k , k ¢ làm một đường tiệm cận. 2 Đồ thị hàm số:  Nhận xét: Do hàm số y tan x là hàm số lẻ trên ¡ \ k k ¢  và tuần hoàn với chu kì 2   nên khi vẽ đồ thị hàm số y tan x trên ¡ \ k k ¢  ta chỉ cần vẽ đồ thị hàm số trên 2  0; , sau đó lấy đối xứng đồ thị qua gốc tọa độ O , ta được đồ thị hàm số y tan x trên 2 0; , cuối cùng tịnh tiến đồ thị vừa thu được sang trái và sang phải theo trục hoành. 2 Hình 1.9 STUDY TIP Hàm số y tan x nhận mỗi đường thẳng x k , k ¢ làm một đường tiệm cận 2 GHI NHỚ Hàm số y tan x :  - Có tập xác định D1 ¡ \ k k ¢  - Là hàm số lẻ 2  - Là hàm số tuần hoàn với chu kì - Có tập giá trị là ¡ - Đồng biến trên mỗi khoảng k ; k ,k ¢ 2 2 - Đồ thị nhận mỗi đường thẳng x k , k ¢ làm một đường tiệm cận 2 b) Hàm số y cot x Hàm số y cot x có tập xác định D2 ¡ \ k k ¢  là một hàm số tuần hoàn với chu ki . Tương tự khảo sát như đối với hàm số y tan x ở trên thì ta có thể vẽ đồ thị hàm số y cot x như sau:
  9. Hình 1.10 GHI NHỚ Hàm số y cot x : - Có tập xác định: D2 ¡ \ k k ¢  - Là hàm số lẻ - Là hàm số tuần hoàn với chu kì - Có tập giá trị là ¡ - Đồng biến trên mỗi khoảng k ; k ,k ¢ - Đồ thị nhận mỗi đường thẳng x k , k ¢ làm một đường tiệm cận. B. Các dạng toán liên quan đến hàm số lượng giác Dạng 1: Bài toán tìm tập xác định của hàm số lượng giác Cách 1 Cách 2 Tìm tập D của x để f x có nghĩa, tức là Tìm tập E của x để f x không có nghĩa, tìm D x ¡ f x ¡  . khi đó tập xác định của hàm số là D ¡ \ E . CHÚ Ý A. Với hàm số f x cho bởi biểu thức đại số thì ta có: f1 x 1. f x , điều kiện: * f1 x có nghĩa f2 x * f2 x có nghĩa và f2 x 0 . 2m 2. f x f1 x , m ¥ , điều kiện: f1 x có nghĩa và f1 x 0 . f1 x 3. f x , m ¥ , điều kiện: f1 x , f2 x có nghĩa và f2 x 0 . 2m f2 x B. Hàm số y sin x; y cos x xác định trên ¡ , như vậy y sin u x ; y cos u x xác định khi và chỉ khi u x xác định. * y tan u x có nghĩa khi và chỉ khi u x xác định và u x k ;k ¢ . 2 * y cot u x có nghĩa khi và chỉ khi u x xác định và u x k ;k ¢ . STUDY TIP Ở phần này chúng ta chỉ cần nhớ kĩ điều kiện xác định của các hàm số cơ bản như sau: 1. Hàm số y sin x và y cos x xác định trên ¡ .  2. Hàm số y tan x xác định trên ¡ \ k k ¢  . 2  3. Hàm số y cot x xác định trên ¡ \ k k ¢  .
  10. 1 Ví dụ 1. Tập xác định của hàm số y là: 2cos x 1 5   A. D ¡ \ k2 , k2 k ¢  . B. D ¡ \ k2 k ¢  . 3 3  3  5  5  C. D k2 , k2 k ¢  . D. D ¡ \ k .2 k ¢  3 3  3  Chọn A. Lời giải cos x cos x k2 3 3 Cách 1: Hàm số đã cho xác định khi 2cos x 1 0 ,k ¢ 5 5 cos x cos x k2 3 3 . 1 5 Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay tính giá trị của hàm số y tại x và x 2cos x 1 3 3 ta thấy hàm số đều không xác định, từ đây ta chọn A. STUDY TIP Đối với hàm côsin, trong một chu kỳ tuần hoàn của hàm số 0;2 tồn tại hai góc có số đo là 3 5 5 1 và cùng thỏa mãn cos cos chính vì thế ta kết luận được điều kiện như vậy. 3 3 3 2 Cách bấm như sau: 1 Nhập vào màn hình : 2cos X 1 Ấn r gán X thì máy báo lỗi, tương tự với trường hợp 3 5 X . 3 5 Từ đây suy ra hàm số không xác định tại và . 3 3 cot x Ví dụ 2. Tập xác định của hàm số y là: sin x 1   A. D ¡ \ k2 k ¢  . B. D ¡ \ k k ¢  . 3  2    C. D ¡ \ k2 ; k ¢ . D. D ¡ \ . k2 k ¢  2  2  Chọn C. Lời giải Hàm số đã cho xác định khi + cot x xác định sin x 0 + sin x 1 0 x k sin x 0 ,k ¢ . sin x 1 x k2 2 STUDY TIP
  11. Trong bài toán này, nhiều độc giả có thể chỉ sử dụng điều kiện để hàm phân thức xác định sin x 1 0 chứ không chú ý điều kiện để hàm cot x xác định, sẽ bị thiếu điều kiện và chọn D là sai. Ví dụ 3. Tập hợp ¡ \ k k ¢  không phải là tập xác định của hàm số nào? 1 cos x 1 cos x 1 cos x 1 cos x A. y . B. y .C. . y D. . y sin x 2sin x sin 2x sin x Chọn C. Lời giải x k sin 2x sin 0 2x k2 k sin 2x 0 x ,k ¢ sin 2x sin 2x k2 x k 2 2 sin x sin 0 x k2 sin x 0 x k ,k ¢ sin x sin x k2 Phân tích: Với các bài toán dạng này nếu ta để ý một chút thì sẽ thấy hàm cos x xác định với mọi x ¡ . Nên ta chỉ xét mẫu số, ở đây có đến ba phương án có mẫu số có chứa sin x như nhau là A; D và B . Do đó ta chọn được luôn đáp án C Trong ví dụ trên ta có thể gộp hai họ nghiệm k2 và k2 thành k dựa theo lý thuyết sau: y x π O 0 Hình 1.11 Mỗi cung (hoặc góc) lượng giác được biểu diễn bởi một điểm trên đường tròn lượng giác *x k2 ,k ¢ được biểu diễn bởi một điểm trên đường tròn lượng giác. *x k ,k ¢ được biểu diễn bởi hai điểm đối xứng nhau qua O trên đường tròn lượng giác. k2 *x ,k ¢ được biểu diễn bởi ba điểm cách đều nhau, tạo thành 3 đỉnh của một tam 3 giác đều nội tiếp đường tròn lượng giác. k2 *x ,k ¢ ,n ¥ * được biểu diễn bởi n điểm cách đều nhau, tạo thành n đỉnh của n một đa giác đều nội tiếp đường tròn lượng giác. Giải thích cách gộp nghiệm ở ví dụ 3 ta có Trên hình 1.11 hai chấm tròn đen là điểm biểu diễn hai nghiệm ta tìm được ở ví dụ 3. Từ đây k2 nếu gộp nghiệm lại thì ta sẽ có x 0 k ,k ¢ . 2
  12. 1 Ví dụ 4. Tìm tập xác định của hàm số y sin 2x x A. D  2;2 .B. D  .1;1 \ 0  C. .D. D ¡ . D ¡ \ 0 Lời giải Chọn D. 1 Hàm số đã cho xác định khi sin xác định x 0 x STUDY TIP Ở đây nhiều độc giả nhầm lẫn, thấy hàm số sin và chọn luôn C là sai. Cần chú ý đến điều 1 kiện để xác định. x Ví dụ 5. Tập xác định của hàm số y 2016 tan2017 2x là   A. D ¡ \ k k ¢  . B. D ¡ \ k k ¢  . 2  2   C. D ¡ .D. . D ¡ \ k k ¢  4 2  Lời giải Chọn D. Ta có y 2016 tan2017 2x 2016. tan 2x 2017 2017 là một số nguyên dương, do vậy hàm số đã cho xác định khi tan 2x xác định 2x k ,k ¢ x k ,k ¢ . 2 4 2 STUDY TIP Trong bài này, ta cần thêm kiến thức về tập xác định của hàm số lũy thừa ở lớp 12: Tập xác định của hàm số y x tùy thuộc vào giá trị của . * Với nguyên dương thì tập xác định là ¡ . * Với nguyên âm hoặc bằng 0 , tập xác định là ¡ \ 0 . * Với không nguyên, tập xác định là 0; . Ví dụ 6. Tập xác định của hàm số y 2016cot2017 2x là   A. D ¡ \ k k ¢  . B. D ¡ \ k k ¢  . 2  2   C. D ¡ .D. . D ¡ \ k k ¢  4 2  Lời giải Chọn B. Tương tự như ví dụ 5, ta có hàm số xác định khi cot 2x xác định 2x k x k ,k ¢ . 2 Ví dụ 7. Tập xác định của hàm số y 1 cos 2017x là A. D ¡ \ k k ¢  . B. D ¡ .   C. D ¡ \ k ; k k ¢  . D. D ¡ \ k2 k ¢  . 4 2  2 
  13. Lời giải Chọn B. Hàm số y 1 cos 2017x xác định khi 1 cos 2017x 0. Mặt khác ta có 1 cos 2017x 1 nên 1 cos 2017x 0,x ¡ . STUDY TIP Với các bài toán chứa căn thức ta chú ý các hệ số tự do để áp dụng các bất đẳng thức cơ bản như 1 sin x;cos x 1, 2 Ví dụ 8. Tập xác định của hàm số y là 2 sin 6x A. .D ¡ \ k | k ¢  B. D ¡ .   C. .D ¡ \ k | k D.¢ . D ¡ \ k2 | k ¢  4  4  Lời giải Chọn B. Ta có sin 6x 2 2 sin 6x 0 ,x ¡ . Vậy hàm số đã cho xác đinh với mọi x ¡ . Một dạng khác của bài toán liên quan đến tìm tập xác định của hàm lượng giác như sau: Ví dụ 9. Để tìm tập xác định của hàm số y tan x cos x , một học sinh đã giải theo các bước sau: sin x 0 Bước 1: Điều kiện để hàm số có nghĩa là . cos x 0 x k Bước 2: 2 ; k ¢ . x k  Bước 3: Vậy tập xác định của hàm số đã cho là D ¡ \ k ;k | k ¢  . 2  Bài giải của bạn đó đúng chưa? Nếu sai, thì sai bắt đầu ở bước nào? A. Bài giải đúng. B. Sai từ bước 1. C. Sai từ bước 2. D. Sai từ bước 3. Lời giải Chọn B. Nhận thấy hàm số đã cho xác định khi tan x xác định (do cos x xác định với mọi x ¡ ). Do vậy hàm số xác định khi cos x 0 x k ,k ¢ . 2 1 Ví dụ 10. Hàm số y xác định khi và chỉ khi sin x 1  A. x ¡ \ k2 | k ¢  . B. .x ¡ 2  C. .x D. . k ,k ¢ x k2 ,k ¢ 2 2 Lời giải Chọn A. Hàm số đã cho xác định sin x 1 0 sin x 1 sin x 1 (do sin x 1,x ¡ ) x k2 ,k ¢ . 2 Dạng chứa tham số trong bài toán liên quan đến tập xác định của hàm sô lượng giác.
  14. Với S  Df (là tập xác định của hàm số f x ) thì f x m,x S max f x m . f x m,x S min f x m . S S x0 S, f x0 m min f x m x0 S, f x0 m max f x m . S S Ví dụ 1. Cho hàm số h x sin4 x cos4 x 2msin x.cos x .Tất cả các giá trị của tham số m để hàm số xác định với mọi số thực x (trên toàn trục số) là 1 1 1 1 1 A. m . B. .0 m C. . D. . m 0 m 2 2 2 2 2 Lời giải Chọn A. 2 2 Xét hàm số g x sin2 x cos2 x msin 2x 2 sin2 x cos2 x 2sin2 x cos2 x msin 2x 1 1 sin2 2x msin 2x . 2 Đặt t sin 2x t  1;1 . 1 Hàm số h x xác định với mọi x ¡ g x 0,x ¡ t 2 mt 1 0,t  1;1 2 t 2 2mt 2 0,t  1;1 . Đặt f t t 2 2mt 2 trên  1;1 . Đồ thị hàm số có thể là một trong ba đồ thị trên. Ta thấy max f t f 1 hoặc max f t f 1  1;1  1;1 f 1 0 Ycbt f t t 2 2mt 2 0,t  1;1 max f t 0  1;1 f 1 0 1 2m 0 1 1 m . 1 2m 0 2 2 3x Ví dụ 2. Tìm m để hàm số y xác định trên ¡ . 2sin2 x msin x 1 A. .m 2 2;2 2 B. m 2 2;2 2 . C. .m ; 2 2 D. . 2 2; m 2 2;2 2 Lời giải Chọn B.
  15. Hàm số xác định trên ¡ khi và chỉ khi 2sin2 x msin x 1 0,x ¡ . Đặt t sin x t  1;1 Lúc này ta đi tìm điều kiện của m để f t 2t 2 mt 1 0,t  1;1 2 Ta có t m 8 2 TH 1: t 0 m 8 0 2 2 m 2 2 . Khi đó f t 0,t (thỏa mãn). 2 m 2 2 TH 2: t 0 m 8 0 (thử lại thì cả hai trường hợp đều không thỏa mãn). m 2 2 2 m 2 2 2 TH 3: t 0 m 8 0 khi đó tam thức f t 2t mt 1 có hai nghiệm m 2 2 phân biệt t1;t2 t1 t2 . m m2 8 t 1 1 m2 8 m 4 VN 1 4 Để f t 0,t  1;1 thì . 2 m m 8 t 1 1 m2 8 m 4 VN 2 4 Vậy m 2 2;2 2 thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chú ý: Với các bài toán dạng này ta cần chia ba trường hợp để tìm đủ các giá trị của m . Ở bài toán trên trong TH3 đã áp dụng qui tắc xét dấu tam thức bậc hai “trong trái ngoài cùng”. Tức là trong khoảng hai nghiệm thì cùng dấu với hệ số a , còn khoảng hai nghiệm thì trái dấu với hệ số a . Dạng 2: Xét Tính Chẵn Lẻ Của Hàm Số Lượng Giác. Định Nghĩa. Cho hàm số y f x xác định trên tập D . a, Hàm số y f x được gọi là hàm số chẵn nếu với mọi x thuộc D , ta có x D và f x f x . b, Hàm số y f x được gọi là hàm số lẻ nếu với mọi x thuộc D , ta có x D và f x f x . STUDY TIP: Để kết luận hàm số y f x không chẵn không lẻ thì ta chỉ cần chỉ ra điểm x0 D sao cho f x0 f x0 hoặc chỉ ra tập xác định của f x không phải là tập đối xứng. f x0 f x0 Phương pháp chung: Bước 1: Tìm tập xác định D của hàm số, khi đó Nếu D là tập đối xứng (tức x D x D ), thì ta thực hiện tiếp bước 2. Nếu D không phải tập đối xứng(tức là x D mà x D ) thì ta kết luận hàm số không chẵn không lẻ. Bước 2: Xác định f x : Nếu f x f x ,x D thì kết luận hàm số là hàm số chẵn.
  16. Nếu f x f x ,x D thì kết luận hàm số là hàm số lẻ. Nếu không thỏa mãn một trong hai điều kiện trên thì kết luận hàm số không chẵn không lẻ. Các kiến thức đã học về hàm lượng giác cơ bản: 1, Hàm số y sin x là hàm số lẻ trên D ¡ . 2, Hàm số y cos x là hàm số chẵn trên D ¡ .  3, Hàm số y tan x là hàm số lẻ trên D ¡ \ k | k ¢  . 2  4, Hàm số y cot x là hàm số lẻ trên D ¡ \ k | k ¢  . Ví dụ 1. Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn? A. y 2cos x . B. .y 2siC.n x . D. . y 2sin x y sin x cos x Lời giải Chọn A. Cách 1: Với các kiến thức về tính chẵn lẻ của hsố lượng giác cơ bản ta có thể chọn luôn A. Xét A: Do tập xác định D ¡ nên x ¡ x ¡ . Ta có f x 2cos x 2cos x f x . Vậy hàm số y 2cos x là hàm số chẵn. Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay. Ta có thể thử từng phương án bằng máy tính cầm tay, sử dụng CALC để thử trường hợp x và x . Với A: Nhập vào màn hình hàm số sử dụng CALC với trường hợp x 1 (hình bên trái) và trường hợp x 1 (hình bên phải) đều đưa kết quả giống nhau. Vì f x f x ta chọn luôn A. STUDY TIP: Khi sử dụng máy tính cầm tay ta nên chú ý cả tập xác định của hàm số xem có phải là tập đối xứng không. sin 2x Ví dụ 2. Xét tính chẵn lẻ của hàm số y thì y f x là 2cos x 3 A. Hàm số chẵn. B. Hàm số lẻ. C. Không chẵn không lẻ. D. Vừa chẵn vừa lẻ. Lời giải Chọn B. Cách 1: Tập xác định D ¡ . Ta có x D x D sin 2x sin 2x f x f x . Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ. 2cos x 3 2cos x 3 Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay. Ta có thể thử từng phương án bằng máy tính cầm tay, sử dụng CALC để thử trường hợp x và x .
  17. Với A: Nhập biểu thức của hàm số vào màn hình sử dụng CALC với trường hợp x 1 (hình bên trái) và trường hợp x 1 (hình bên phải), ta thấy f 1 f 1 hàm số đã cho là hàm số lẻ. STUDY TIP: Trong bài toán này, tập xác định D ¡ bởi 2cos x 3 0,x ¡ . Ví dụ 3. Xét tính chẵn lẻ của hàm số y f x cos 2x sin 2x , ta được y f x là: 4 4 A. Hàm số chẵn. B. Hàm số lẻ. C. Không chẵn không lẻ. D. Vừa chẵn vừa lẻ. Lời giải Chọn D. Cách 1: 1 1 Ta có y cos 2x sin 2x cos 2x sin 2x sin 2x cos 2x 0 . 4 4 2 2 Ta có tập xác định D ¡ . Hàm số y 0 vừa thỏa mãn tính chất của hàm số chẵn, vừa thỏa mãn tính chất của hàm số lẻ, nên đây là hàm số vừa chẵn vừa lẻ. Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay. Tương tự các bài toán trên ta nhập hàm số và sử dụng CALC để thử thì thấy cả hai trường hợp đều ra kết quả là 0. Mà y 0 vừa là hàm số chẵn, vừa là hàm số lẻ vừa là hàm hằng nên ta chọn D. STUDY TIP: Hàm số y 0 vừa là hàm số chẵn, vừa là hàm số lẻ vừa là hàm hằng. 1 Ví dụ 4. Cho hai hàm số f x 3sin2 x và g x sin 1 x . Kết luận nào sau đây đúng về tính x 3 chẵn lẻ của hai hàm số này? A. Hai hàm số f x ; g x là hai hàm số lẻ. B. Hàm số f x là hàm số chẵn; hàm số f x là hàm số lẻ. C. Hàm số f x là hàm số lẻ; hàm số g x là hàm số không chẵn không lẻ.
  18. D. Cả hai hàm số f x ; g x đều là hàm số không chẵn không lẻ. Lời giải Chọn D. 1 a, Xét hàm số f x 3sin2 x có tập xác định là D ¡ \ 3 . x 3 Ta có x 3 D nhưng x 3 D nên D không có tính đối xứng. Do đó ta có kết luận hàm số f x không chẵn không lẻ. b, Xét hàm số g x sin 1 x có tập xác định là D2 1; . Dễ thấy D2 không phải là tập đối xứng nên ta kết luận hàm số g x không chẵn không lẻ. Vậy chọn D. STUDY TIP: Khi xét tính chẵn lẻ của hàm số ta cần chú ý xét tập xác định đầu tiên để giải quyết bài toán một cách chính xác. Ví dụ 5. Xét tính chẵn lẻ của hàm số f x sin2007 x cos nx , với n ¢ . Hàm số y f x là: A. Hàm số chẵn. B. Hàm số lẻ. C. Không chẵn không lẻ. D. Vừa chẵn vừa lẻ. Lời giải Chọn C. Hàm số có tập xác định D ¡ . Ta có f x sin2007 x cos nx sin2007 x cos nx f x . Vậy hàm số đã cho không chẵn không lẻ. sin2004n x 2004 Ví dụ 6. Cho hàm số f x , với n ¢ . Xét các biểu thức sau: cos x 1, Hàm số đã cho xác định trên D ¡ . 2, Đồ thị hàm số đã cho có trục đối xứng. 3, Hàm số đã cho là hàm số chẵn. 4, Đồ thị hàm số đã cho có tâm đối xứng. 5, Hàm số đã cho là hàm số lẻ. 6, Hàm số đã cho là hàm số không chẵn không lẻ. Số phát biểu đúng trong sáu phát biểu trên là A. .1 B. 2 . C. .3 D. . 4 Lời giải Chọn B. Hàm số đã xác định khi cosx 0 x k , k ¢ . Vậy phát biểu 1 sai. 2 Ở đây ta cần chú ý : các phát biểu 2; 3; 4; 5; 6 để xác định tính đúng sai ta chỉ cần đi xét tính chẵn lẻ của hàm số đã cho.  Ta có tập xác định của hàm số trên là D ¡ \ k k ¢  là tập đối xứng. 2  sin2004n x 2004 sin2004n x 2004 f x f x . cos x cos x
  19. Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn. Suy ra đồ thị hàm số đối xứng qua trục Oy. Vậy chỉ có phát biểu 2 và 3 là phát biểu đúng. Từ đây ta chọn B. STUDY TIP Đồ thị hàm số lẻ thì đối xứng qua tâm O. Đồ thị hàm số chẵn thì đối xứng qua trục Oy. Ví dụ 7. Cho hàm số f x x sin x. Phát biểu nào sau đây là đúng về hàm số đã cho? A. Hàm số đã cho có tập xác định D ¡ \ 0. B. Đồ thị hàm số đã cho có tâm đối xứng. C. Đồ thị hàm số đã cho có trục xứng. D. Hàm số có tập giá trị là 1;1 . Lời giải Chọn B. Hàm số đã cho xác định trên tập D ¡ nên ta loại A. Tiếp theo để xét tính đối xứng của đồ thị hàm số ta xét tính chẵn lẻ của hàm số đã cho. f x x sin x x sin x f x . Vậy đồ thị hàm số đối xứng qua gốc tọa độ O. Vậy ta chọn đáp án B. STUDY TIP Với bài toán này ta nên xét B và C trước thay vì xét lần lượt A, B, C, D. Ví dụ 8. Xác định tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y f x 3msin4x cos 2x là hàm chẵn. A. m 0. B. m 1. C. m 0. D. m 2. Lời giải Chọn C. Cách 1: TXĐ: D ¡ . Suy ra x D x D. Ta có f x 3msin4 x cos2 x 3msin4x cos2x. Để hàm số đã cho là hàm chẵn thì f x f x ,x D 3msin4x cos2x 3msin4x cos2x,x D 4msin 4x 0,x D m 0. Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay. Với bài toán này ta có thể sử dụng máy tính cầm tay để thử các giá trị. Với A và C, ta thử một trường hợp để loại hai đáp án còn lại, tương tự với B và D. Ở đây ta sử dụng CALC để thử tại giá trị x và x. Ví dụ: Nhập vào màn hình như hình bên. Ấn CALC để gán các giá trị cho m. Ta thử với m 0 thì ấn 0 = Chọn x bất kì, sau đó làm lại lần nữa và gán x cho x ban đầu và so sánh (ở đây ta thử với x 5 và tại 5). Ta thấy f x f x . Vậy C đúng. Ta chọn luôn C và loại các phương án còn lại.
  20. DẠNG 3. Xét tính đơn điệu của hàm số lượng giác Phương pháp chung: Ở phần lý thuyết, với các hàm số lượng giác cơ bản, ta đã biết rằng: 1. Hàm số y sin x : * Đồng biến trên các khoảng k2 ; k2 ,k ¢. 2 2  * Nghịch biến trên các khoảng k2 ; k2 ,k ¢. 2 2 2. Hàm số y cos x : * Đồng biến trên các khoảng k2 ; k2 ,k ¢. * Nghịch biến trên các khoảng k2 ; k2 ,k ¢. 3. Hàm số y tan x đồng biến trên các khoảng k ; k ,k ¢. 2 2 4. Hàm số y cot x nghịch biến trên các khoảng k ; k ,k ¢. Với các hàm số lượng giác phức tạp, để xét tính đơn điệu của nó ta sử dụng định nghĩa. Ví dụ 1. Xét hàm số y sin x trên đoạn ;0 . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Hàm số đồng biến trên các khoảng  và ;0 . 2 2 B. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng  ; nghịch biến trên khoảng ;0 . 2 2 C. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng  ; đồng biến trên khoảng ;0 . 2 2 D. Hàm số nghịch biến trên các khoảng  và ;0 . 2 2 Lời giải Chọn A. Cách 1: Từ lý thuyết về các hàm số lượng giác cơ bản ở trên ta có hàm số y sin x nghịch biến trên khoảng  và đồng biến trên khoảng ;0 . 2 2 Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay. Do ở đề bài, các phương án A, B, C, D chỉ xuất hiện hai khoảng là  và ;0 nên 2 2 ta sẽ dùng máy tính cầm tay chức năng MODE 7: TABLE để giải bài toán. Ấn Máy hiện f X thì ta nhập sin X . START? Nhập  END? Nhập 0. STEP? Nhập . 10
  21. Lúc này từ bảng giá trị của hàm số ta thấy hàm số nghịch biến trên khoảng  và đồng 2 biến trên khoảng ;0 . 2 Ví dụ 2. Xét hàm số y cos x trên đoạn ; . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Hàm số nghịch biến trên các khoảng 0 và 0; . B. Hàm số đồng biến trên khoảng 0 và nghịch biến trên khoảng 0; . C. Hàm số nghịch biến trên khoảng 0 và đồng biến trên khoảng 0; . D. Hàm số luôn đồng biến trên các khoảng 0 và 0; . Lời giải Chọn B. Theo lý thuyết ta có hàm số y cos x đồng biến trên mỗi khoảng k2 ;k2 ,k ¢ và nghịch biến trên khoảng k2 ; k2 ,k ¢. Từ đây ta có với k 0 hàm số y cos x đồng biến trên khoảng 0 và nghịch biến trên khoảng 0; . Tiếp theo ta đến với hàm số y tannx; n ¢ , Ta có ví dụ 3. Ví dụ 3. Xét sự biến thiên của hàm số y tan 2x trên một chu kì tuần hoàn. Trong các kết luận sau, kết luận nào đúng? A. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng  và ; . 4 4 2 B. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng  và nghịch biến trên khoảng ; . 4 4 2 C. Hàm số đã cho luôn đồng biến trên khoảng 0; . 2 D. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng  và đồng biến trên khoảng ; . 4 4 2 Lời giải Chọn A.  Tập xác định của hàm số đã cho là D ¡ \ k |k ¢ . 4 2  Hàm số y tan 2x tuần hoàn với chu kì , dựa vào các phương án A; B; C; D thì ta sẽ xét 2  tính đơn điệu của hàm số trên 0; \ . 2 4  Dựa theo kết quả khảo sát sự biến thiên của hàm số y tan x ở phần lý thuyết ta có thể suy ra với hàm số y tan 2x đồng biến trên khoảng  và ; . 4 4 2 STUDY TIP
  22. Ở đây ta không chọn C vì hàm số không liên tục trên 0; , hàm số bị gián đoạn tại x 2 4 (tức là hàm số không xác định tại x ). 4 Ví dụ 4. Xét sự biến thiên của hàm số y 1 sin x trên một chu kì tuần hoàn của nó. Trong các kết luận sau, kết luận nào sai? A. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng ;0 . 2 B. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng 0; . 2 C. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ; . 2  D. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng  . 2 2 Lời giải Chọn D. Hàm số đã cho tuần hoàn với chu kỳ 2 và kết hợp với các phương án đề bài thì ta sẽ xét sự 3 biến thiên của hàm số trên ; . 2 2 Ta có hàm số y sin x : * Đồng biến trên khoảng ; . 2 2  * Nghịch biến trên khoảng ; . 2 2 Từ đây suy ra hàm số y 1 sin x : * Nghịch biến trên khoảng ; . 2 2  * Đồng biến trên khoảng ; .Từ đây ta chọn D. 2 2 Dưới đây là đồ thị của hàm số y 1 sin x và hàm số y sin x trên ¡ . Ví dụ 5. Xét sự biến thiên của hàm số y sin x cos x. Trong các kết luận sau, kết luận nào đúng? 3 A. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ; . 4 4 3  B. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ; . 4 4
  23. C. Hàm số đã cho có tập giá trị là 1; 1 .  D. Hàm số đã cho luôn nghịch biến trên khoảng ; . 4 4 Lời giải Chọn B. Cách 1: Ta có y sin x cos x 2 sin x . 4 Từ đây ta có thể loại đáp án C, do tập giá trị của hàm số là 2; 2 . Hàm số đã cho tuần hoàn với chu kỳ 2 do vậy ta xét sự biến thiên của hàm số trên đoạn  ; . 4 4 Ta có:  * Hàm số đồng biến trên khoảng ; . 4 4   * Hàm số nghịch biến trên khoảng ; .Từ đây ta chọn A. 4 4 Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay Tương tự như ở ví dụ 1, ta sẽ sử dụng máy tính cầm tay chức năng MODE 7: TABLE để giải bài toán. Ấn Máy hiện f X thì ta nhập sinX cosX . Chọn STAR; TEND; STEP phù hợp ta sẽ có kết quả như hình dưới:  Từ bảng giá trị của hàm số f x trên ta thấy khi x chạy từ 0,785 đến 2,3561 thì 4 4 3 giá trị của hàm số tăng dần, tức là hàm số đồng biến trên khoảng ; . 4 4  7 Phân tích thêm: Khi x chạy từ đến 5,49778 thì giá trị của hàm số giảm dần, tức là 4 4   hàm số nghịch biến trên khoảng ; . 4 4 STUDY TIP 3  Ta chú ý ở đây có , 2 nên ta có thể suy ra STEP phù hợp. Trong 4 4 4 4 bài gán STEP . 4 Ví dụ 6. Chọn câu đúng?
  24. A. Hàm số y tan x luôn luôn tăng. B. Hàm số y tan x luôn luôn tăng trên từng khoảng xác định. C. Hàm số y tan x tăng trong các khoảng k ;2 k2 ,k ¢. D. Hàm số y tan x tăng trong các khoảng k ; k2 ,k ¢. Lời giải Chọn B. Với A ta thấy hàm số y tan x không xác định tại mọi điểm x ¡ nên tồn tại các điểm làm cho hàm số bị gián đoạn nên hàm số không thể luôn tăng. Với B ta thấy B đúng vì hàm số y tan x đồng biến trên mỗi khoảng k  k ,k ¢. 2 2 Từ đây loại C và D. Ví dụ 7. Xét hai mệnh đề sau: 1 3 y giảm. (I) x ; : Hàm số 2 s inx 3 1 (II) x ; : Hàm số y giảm. 2 cos x Mệnh đề đúng trong hai mệnh đề trên là: A. Chỉ (I) đúng . B. Chỉ (II) đúng . C. Cả 2 sai . D. Cả 2 đúng . Lời giải Chọn B. Cách 1: 3 Như bài toán xét xem hàm số tăng hay giảm. Ta lấy x1 x2 ; 2 1 1 sinx1 sinx2 Lúc này ta có f x2 f x1 sinx 2 sinx` sinx1 sinx2 3 Ta thấy x1 x2 ; thì sinx1 sinx2 sinx1 sinx2 0 2 sinx1 sinx2 1 0 sinx1 sinx2 0 f x1 f x2 . Vậy y là hàm tăng. sinx1.sinx2 s inx 1 Tương tự ta có y là hàm giảm. Vậy I sai, II đúng. cos x Cách 2: Sử dụng lệnh TABLE để xét xem hàm số tăng hay giảm trên máy tính. Với hàm 1 ta nhập MODE 7: TABLE ( ) MODE 7 s inx Nhập hàm f x như hình bên: n 1 SIN ALPHA ) ) = n 
  25. 3 START? ; END? . STEP? . 2 10 1 Của hàm số y như hình bên. Ta thấy giá trị của hàm số tăng dần khi x chạy từ đến sinx 3 3 1 . Nên ta kết luận trên ; hàm số y tăng. 2 2 sinx Tương tự với II và kết luận. Ví dụ 8. Khẳng định nào sau đây là đúng ? A. y tanx đồng biến trong . ; 2 2  B. y tanx là hàm số chẵn trên D. R \ k | k Z 2  C. y tanx có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ. D. y tanx luôn nghịch biến trong ; . 2 2 Lời giải Chọn B. Ta được đồ thị như hình vẽ trên. Ta thấy hàm số y tanx nghịch biến trên ;0 và đồng 2 biến trên 0; . Nên ta loại A và D. 2 Với B ta có f x tan x tan x f x hàm số y tanx là hàm số chẵn. Với C ta thấy đồ thị hàm số đã cho không đối xứng qua gốc tọa độ, từ đây ta chọn B. STUDY TIP Ta suy diễn đồ thị hàm hàm số y f x từ đồ thị hàm số y f x từ đó suy ra khoảng đơn điệu của hàm số y f x . -Giữ nguyên phần đồ thị hàm số y f x nằm phía trên trục Ox . -Lấy đối xứng phần đồ thị hàm số y f x phía dưới trục Ox qua Ox . -Hợp hai phần trên ta được đồ thị hàm số y f x .
  26. STUDY TIP Với bài toán này ta có thể không suy diễn đồ thị mà làm theo hướng tư duy sau: -Với A: y tanx không xác định tại x nên không thể đồng biến trên ; 2 2 2 -Từ B suy ra C;D sai. DẠNG 4. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số lượng giác. *Các kiến thức về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. Cho hàm số y f x xác định trên miền D  R . f x M,x D 1. Số thực M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y f x trên D nếu x0 D,f x0 M f x m,x D 2. Số thực N được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y f x trên D nếu x0 D,f x0 m Một số kiến thức ta sử dụng trong các bài toán này: 1. Tính bị chặn của hàm số lượng giác . 2. Điều kiện có nghiệm của phương trình bậc nhất giữa sin và cos . 3. Bảng biến thiên của hàm số lượng giác. 4. Kỹ thuật sử dụng máy tính cầm tay. 10 Ví dụ 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: y 2017cos(8x ) 2016. 2017 A. min y 1;maxy 4033. B. min y 1;maxy 4033. C.min y 1;maxy 4022. D. min y 1;max y 4022. Phân tích Ta có các bước để giải quyết bài toán như sau: Bước 1: Chỉ ra f x M,x D. Bước 2 : Chỉ ra x0 D sao cho f x0 M . Kết luận : max f x M D Tương tự với tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số. Lời giải Chọn B. Cách 1: Hàm số xác định trên R . 10 Ta có 1 cos 8x 1,R. 2017 10 2017 2017cos 8x 2016 4033, R . 2017 10 1 2017cos 8x 2016 4033, R 2017 10 10 Ta có y 1 khi cos 8x 1 ; y 4033 khi cos 8x 1 . 2017 2017 Vậy min y 1;maxy 4033 . Cách 2: sử dụng máy tính cầm tay. Trong bốn phương án chỉ có hai giá trị max là 4022;4033 . Chỉ có hai giá trị min là 1;-1. Lúc này ta sử dụng chức năng SHIFT CALC để thử giá trị:
  27. 10 Ví dụ ta nhập vào màn hình 2017cos 8x 2016 4033 ta thấy phương trình có 2017 nghiệm. 10 Tương tự nhập 2017cos 8x 2016 1 ta thấy phương trình có nghiệm. 2017 Từ đây ta chọn B. STUDY TIP Trong bài toán ta chọn thử hai giá trị trên vì 4033 là giá trị lớn hơn và 1 là giá trị nhỏ hơn nên ta thử trước. Nếu phương trình không có nghiệm thì sẽ là trường hợp còn lại. Ví dụ 2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: y 2cos2 x 2 3 sin x cos x 1 A. min y 0;maxy 4 B. min y 1 3;maxy 3 3. C. min y 4;maxy 0. D. min y 1 3;maxy 3 3 . Lời giải Chọn A. Để sử dụng tính bị chặn của hàm số ở trong STUDY TIP ta đưa ra ở trên, ta sẽ đưa y 2cos2 x 2 3 sin x cos x 1 về theo sin u x hoặc cosu x . Ta có y 2cos2 x 2 3 sin x cos x 1 2cos2 x 1 3 sin 2x 2 cos 2x 3 sin 2x 2 * 1 3 2cos 2x 2 2 cos 2x sin 2x 2 2 2 3 Mặt khác 1 2cos 2x 2 4,x R 0 y 4, x R . 3 Ta có bài toán tổng quát: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y asin u bcosu trên R . Với a,b R;a 2 b2 0. Lời giải tổng quát a b 2 2 y asinu+bcosu y sin u cosu a b a2 b2 a2 b2 2 a b a b Vì 1  R sao cho cos và sin 2 2 2 2 2 2 2 2 a b a b a b a b y a 2 b2 sin u.cos cos u.sin y a 2 b 2 .sin u Vì 1 sin u 1 a 2 b2 y a 2 b2 Ngoài ra ta có thể mở rộng bài toán như sau: 2 2 2 2 y a sin f x bcos f x c . Ta có a b c y a b c Từ bài toán tổng quát trên ta có thể giải quyết nhanh bài toán ví dụ 2 từ dòng (*) như sau: Ta có 1 3 2 y 1 3 2 0 y 4 . STUDY TIP Ngoài cách nhớ công thức ở bài toán tổng quát phía bên phải ta có thể nhớ theo điều kiện có nghiệm của phương trình bậc nhất theo sin và cos như sau: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y asin f x bcos f x c 2 2 2 asin f x bcos f x c y 0 điều kiện có nghiệm a b c y . Từ đây ta tìm được min,max của y.
  28. sinx 2cos x 3 Ví dụ 3. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y 2 cos x 2 2 A. min y ;maxy 2 . B. min y ;maxy 2 3 3 1 3 1 3 B. min y ;maxy D. min y ;maxy 2 2 2 2 Lời giải Chọn B. Cách 1: Ta có cos x 2 0,x R . sinx 2cos x 3 y sinx 2cos x 3 2y y cos x sinx 2 y cos x 3 2y 0 2 cos x Ta sử dụng điều kiện ở STUDY TIP trong bài tổng quát trên. Ta có 12 2 y 2 3 2y 2 4y2 12y 9 y2 4y 4 1 0 3y2 8y 4 0 2 y 2 3 Cách 2 : sử dụng máy tính cầm tay sinx 2cos x 3 Tương tự như ở ví dụ 1 thì ta có thể sử dụng SHIFT SOLVE: 2 thì 2 cos x phương trình có nghiệm. Do 2 là số lớn nhất trong các phương án A;B;C;D nên ta không cần 3 thử trường hợp max . 2 2 Lúc này chỉ còn A và B. Thử với min y thì không có nghiệm. 3 Từ đây chọn B. STUDY TIP a sinx b cos x c Nếu hàm số có dạng y 1 1 1 ta tìm miền xác định của hàm số rồi quy a 2 sinx b2 cos x c2 đồng mẫu số, đưa về dạng phương trình trong STUDY TIP ở phía trên và tiếp tực lời giải. Ví dụ 4. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y 4 sinx cos x . A. .m in y 1;maxy 1 B. min y 0;maxy 1 C. .m in y 1;maxy 0 D. khôngmin tồny tại. 1;maxy Lời giải Chọn B. 0 4 sinx 1 0 4 sinx 1 Cách 1 : Ta có 1 y 1 . 0 cos x 1 1 cos x 0 Vậy khi sinx 1 x k2 ;k Z cos x 0 Cách 2 : sử dụng máy tính cầm tay STUDY TIP Nhiều độc giả không lưu ý đổi dấu của bpt thứ hai của hệ khi nhân các vế với 1 dẫn đến chọn đáp án sai. Ví dụ 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P cot4 a cot4 b 2 tan2 a.tan2 b 2 A. .m in y 2 B. . min y 6 C. .m in y 4 D. Không tồn tại GTLN.
  29. Lời giải Chọn B. 2 P cot2 a cot2 b 2cot2 a.cot2 b 2 tan2 a.tan2 b 2 2 cot2 a cot2 b 2 cot2 a.cot2 b tan2 a.tan2 b 2 6 2 cot2 a cot2 b 2 cot2 a.cot2 b tan2 a.tan2 b 2cot a.cotb.tan a.tan b 6 2 cot2 a cot2 b 2 cot a.cot b tan a.tan b 2 6 6 cot2 a cot2 b cot2 a 1 Dấu bằng xảy ra khi 2 cot a.cot b tan a.tan b cot b 1 k a b ,(k Z) . 4 2 STUDY TIP: Với các bài toán tìm GTLN – GTNN của hàm lượng giác ta có thể đưa về dạng y A2 (x) B B . Nhưng cần lưu ý xem dấu bằng có xãy ra hay không. Tiếp theo ta có ví dụ 6 là một câu hỏi khác cho ví dụ 2 như sau 7 Ví dụ 6. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y 2cos2 x 2 3 sin x.cos x 1 trên đoạn 0, 12 lần lượt là A. .m in y 2;max y 3 B. . min y 0;max y 2 7 7 7 7 0, 0, 0, 0, 12 12 12 12 C. .m in y 0;max y 4 D. . min y 0;max y 3 7 7 7 7 0, 0, 0, 0, 12 12 12 12 Lời giải Chọn B. Từ ví dụ 2 ta có y 2cos 2x 2 . Đặt u 2x 3 3 7 3 Từ đề bài ta xét x 0; u ; 12 3 2 3 Ta lập BBT của hàm số y 2cosu 2 trên ; . 3 2 Từ bảng biến thiên ta thấy min f (u) 0 khi u x 3 ; 3 3 2 max f (u) 3 khi u x 0 3 ; 3 3 2
  30. Hay min y 0; max y 3 . 7 7 0; 0; 12 12 STUDY TIP: Với các bài toán tìm min, max của hàm số lượng giác trên một đoạn ta thường phải xét nhanh BBT để giải quyết bài toán. Ở chương trình 11 ta chưa học đạo hàm nên chưa giải quyết được bài toán tìm GTLN – GTNN của hàm số sử dụng đạo hàm. Sau khi học xong đạo hàm ta sẽ giải quyết bài toán này nhanh chóng hơn. Ví dụ 7. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số y sin2 x sin x 2 . 7 7 A. .m in y ;max y 4 B. . min y ;max y 2 4 4 1 C. .m in y 1;max y 1 D. . min y ;max y 2 2 Lời giải Chọn A. Đặt sin x u; u  1;1 Xét hàm số: y u2 u 2 trên  1;1 . b 1 Ta có:  1;1 . Từ đây có bảng biến thiên 2a 2 7 Ta kết luận: min f u và max y 4 u 1 .  1;1 4  1;1 7 1 Hay min y sin x và max y 4 sin x 1 . 4 2 Ngoài các phương pháp giải các bài toán tìm GTLN – GTNN của hàm số lượng giác ta rút ra từ các ví dụ trên ta còn phương pháp sử dụng bất đẳng thức cơ bản. Phương pháp này được coi là một phương pháp khó vì đòi hỏi tính sang tạo và kĩ thuật trong việc sử dụng bất đẳng thức. Một số bất đẳng thức ta thường dung: 1.Bất đẳng thức AM – GM. a. Với hai số: a b Cho hai số thực a,b là hai số dương, ta có ab dấu bằng xảy ra khi a b . 2 b. Với n số: * Cho hai số thực x1; x2 ; x3; ; xn là các số dương n N , ta có x x x x 1 2 3 n n x .x .x x dấu bằng xảy ra khi x x x x . n 1 2 3 n 1 2 3 n 2. Bất đẳng thức Bunyakovsky a. Bất đẳng thuwcsBunyakovsky dạng thông thường. 2 a b a2 b2 c2 d 2 ac bd . Dấu bằng xảy ra khi c d
  31. b. Bất đẳng thức Bunyakovsky cho bộ hai số Với hai bộ số a1;a2 ; ;an và b1;b2 ; ;bn ta có 2 2 2 2 2 2 2 a1 a2 an b1 b2 bn a1b1 a2b2 anbn STUDY TIP Ta có thể sử dụng tính chất của tam thức bậc hai để giải các bài toán tìm min max hàm lượng giác như sau: Cho hàm số y ax2 bx c b + Nếu a 0 thì ax2 bx c dấu bằng xảy ra khi x . 4a 2a b + Nếu a 0 thì ax2 bx c dấu bằng xảy ra khi x . 4a 2a + Nếu hàm số đã cho là hàm bậc hai mà điều kiện không phải là x R thì ta phải lập BBT để tìm min max a1 a2 an Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi với quy ước nếu một số bi nào đó b1 b2 bn i 1,2,3 bằng 0 thì ai tương đương bằng 0 . c. Hệ quả của bất đẳng thức Bunyakopvsky ta có a2 b2 c2 d 2 4abcd 1 1 Ví dụ 8. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y 1 cos2 x 5 2sin2 x 2 2 5 22 11 A. .1 B. . C. . D. . 1 5 2 2 2 Đáp án B Lời giải Chọn B. 1 1 1 5 1 Ta có y 1 cos2 x 5 2sin2 x y 1 cos2 x sin2 x 2 2 2 4 2 1 5 1 Áp dụng bất đẳng thức Bunyakopvsky cho 4 số: 1; 1; 1 cos2 x ; sin2 x ta có: 2 4 2 1 5 1 1 5 1 9 1 22 1. 1 cos2 x 1. sin2 x 12 12 . 1 cos2 x sin2 x 2. 2 4 2 2 4 2 4 2.1 2 22 Hay y 2 1 5 1 Dấu bằng xảy ra khi 1 cos2 x sin2 x x k ,k ¢ 2 4 2 6 STUDY TIP Trong bài toán ta có thể nhanh chóng nhận ra sử dụng bất đẳng thức Bunyakopvsky bởi ở trong căn lần lượt có sin2 x và cos2 x . Ta cân bằng hệ số của sin2 x và cos2 x để áp dụng tính chất sin2 x cos2 x 1 . Áp dụng Bunyakopvsky thì vế phải sẽ là hằng số, từ đó giải quyết được bài toán. 1 1 Ví dụ 9. Cho hàm số y với x 0; . Kết luận nào sau đây là đúng? 2 cos x 1 cos x 2
  32. 4 2 A. mkhiin Ty xB. khi k ,k ¢ min y x 3 3 3 3 0; 0; 2 2 2 4 C. mkhiin y x k2 ,k ¢ D. khi m . in y x 3 3 3 3 0; 0; 2 2 Lời giải Chọn D. 1 Cách 1: Ta thấy 2 cos x 0,x R và 1 cos x 0,x 0; . Suy ra và 2 2 cos x 1 là hai số dương. Áp dụng vất đẳng thức AM- GM cho hai số dương ta có 1 cos x 1 1 2 2 cos x 1 cos x 2 cos x 1 cos x Mặt khác tiếp tục áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có 2 cos x 1 cos x 3 2 cos x 1 cos x 2 2 2 4 y 2 cos x 1 cos x 3 STUDY TIP Trong bài toán ta có thể nhanh chóng nhận ra sử dụng bất đẳng thức AM-GM bởi vì ta thấy mẫu số của hai phân thức cộng lại sẽ ra hằng số, nên ở đây ta có thể sử dụng bất đẳng thức AM-GM. Ta có thể giải quyết bài toán theo hướng khác đó là sử dụng bất đẳng thức cộng mẫu. 1 1 4 Với x, y là hai số thực dương ta có dấu bằng xảy ra khi x y x y x y 4 1 Vậy min y , dấu bàng xảy ra khi cos x x vì x 0; . 0; 3 2 3 2 2 Cách 2: Để ý đề bài hỏi tìm GTLN, GTNN của hàm số trên khoảng 0; . 2 Trên đây là hai ví dụ sử dụng bất đẳng thức tìm GTLN, GTNN của hàm số lượng giác mà không có liên hệ cho trước. Ví dụ 10 dưới đây là một ví dụ khó hơn về sử dụng bất đẳng thức kết hợp với lượng giác để giải quyết. Ví dụ 10. Cho x, y, z 0 và x y z . Tìm giá trị lớn nhất của 2 y 1 tan x.tan y 1 tan y.tan z 1 tan z.tan x A. .y max 1B. .2 2 C. . ymax D.3 3. ymax 4 ymax 2 3 Lời giải Chọn D. tan x tan y 1 Ta có x y z x y z tan x y tan z 2 2 2 1 tan x.tan y tan z tan x.tan z tan y.tan z 1 tan x.tan y tan x.tan z tan y.tan z tan x.tan y 1 Ta thấy tan x.tan z; tan y.tan z; tan x.tan y lần lượt xuất hiện trong hàm số đề cho dưới căn thức, tương tự như ví dụ 8, áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky cho 6 số ta có:
  33. 1. 1 tan x.tan y 1. 1 tan y.tan z 1. 1 tan z.tan x 12 12 12 . 1.tan x.tan z 1.tan y.tan z 1.tan x.tan y 3 3 tan x.tan z tan y.tan z tan x.tan y 2 3 Vậy ymax 2 3  Đọc thêm DẠNG 5: Dạng đồ thị của hàm số lượng giác Các kiến thức cơ bản về dạng của hàm số lượng giác được đưa ra ở phần 1: Lý thuyết cơ bản:Sau đây ta bổ sung một số kiến thức lý thuyết để giải quyết bài toán nhận dạng đồ thị hàm số lượng giác một cách hiệu quả. Sơ đồ biến đổi đồ thị hàm số cơ bản: Các kiến thức liên quan đến suy diễn đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối: Đồ thị hàm số y f x gồm *Phần từ trục hoành trở lên của đồ thị y f x . *Đối xứng phần đồ thị của hàm số y f x phía dưới trục hoành qua trục hoành. Đồ thị hàm số y f x gồm *Phần đồ thị của hàm số y f x nằm bên phải trục Oy . *Đối xứng phần đồ thị trên qua trục Oy . Đồ thị hàm số y u x .v x với *Phần đồ thị của hàm số y f x trên
  34. f x u x .v x gồm miền thỏa mãn u x 0 . Cho hàm số *Đối xứng phần đồ thị y f x trên trên miền u x 0 qua trục hoành. y f x . Từ đồ thị hàm số y f x ta suy diễn: Ở phần lý thuyết có đưa ra phần đọc thêm về hàm số y asin(x b) c với a;b;c; ¡ ;a 0. Hàm số y asin x b c,(a,b,c, R,a 0) cũng là một hàm tuần hoàn với chu kì 2 và đồ thị của nó cũng là một đường hình sin.  Tương tự hàm số y acos(x b),(a,b,c, ¡ ,a 0) cũng là một hàm tuần hoàn với 2 chu kì và đồ thị của nó cũng là một đường hình sin.  Ta có ví dụ sau: Ví dụ 11. Hình nào dưới đây biểu diễn đồ thị hàm số y f (x) 2sin 2x? A. B. C. D. Lời giải Chọn C. Ta thấy 2 2sin 2x 2 nên ta có loại A và B. Tiếp theo với C và D ta có: 2 Từ phần lý thuyết ở trên ta có hàm số tuần hoàn với chu kì . 2 Ta thấy với x 0 thì y 0 nên đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ. Từ đây ta chọn đáp án C.
  35. x Ví dụ 11. Hình vẽ nào sau đây biểu diễn đồ thị hàm số y cos ? 2 A B. . C D . . Lời giải Chọn D x Ta thấy 1 cos 1 nên ta loại B. 2 x 2 Tiếp theo ta có hàm số y cos có chu kì tuần hoàn là T 4 . 2 1 2 x Ta thấy với x 0 thì y cos cos0 1 nên ta chọn D. 2 Ví dụ 12. Cho đồ thị hàm số y cos x như hình vẽ : Hình vẽ nào sau đây là đồ thị hàm số y cos x 2? A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn A Ta thực hiện phép tịnh tiến đồ thị hàm số y cos x trên trục Oy lên trên 2 đơn vị (xem lại sơ đồ biến đổi đồ thị cơ bản ở bên trên). Ví dụ 13. Cho đồ thị hàm số y sin x như hình vẽ:
  36. Hình nào sau đây là đồ thị hàm số y sin x ? A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn C Suy diễn đồ thị hàm số y sin | x | từ đồ thị hàm số y sin x : Giữ nguyên phần đồ thị của hàm số y sin x nằm bên phải trục Oy. Lấy đối xứng phần đồ thị trên qua trục Oy. Dưới đây là đồ thị ta thu được sau khi thực hiện các bước suy diễn ở trên. Phần đồ thị nét đứt là phần bỏ đi của đồ thị hàm số y sin x. STUDY TIP Ngoài ra ở bài toán này, ta có thể áp dụng tính chất hàm chẵn lẻ mà tôi đã cung cấp ở phần xét tính chẵn lẻ của hàm số phía trước. Hàm số y sin x là hàm số chẵn có đồ thị đối xứng qua trục Oy. Nhìn các phương án A, B, C, D chỉ có phương án D là không có đồ thị đối xứng qua trục Oy. Tiếp theo ta tìm giá trị của một số điểm đặc biệt và chọn được C. Ví dụ 14. Hình nào sau đây là đồ thị hàm số y sin x ? A. . B. .
  37. C. . D. . Lời giải Chọn B. Cách 1: Suy diễn đồ thị hàm số y | sin x | từ đồ thị hàm số y sin x : Giữ nguyên phần tử từ trục hoành trở lên của đồ thị y sin x. Lấy đối xứng phần đồ thị của hàm số y sin x phía dưới trục hoành qua trục hoành. Cách 2: Ta thấy | sin x | 0,x nên đồ thị hàm số y | sin x | hoàn toàn nằm trên trục Ox. Từ đây ta chọn B. C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG DẠNG 1. TÌM TẬP XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ 1 cos x Câu 1. Tìm tập xác định của hàm số y . sin x A. D R \ k | k Z . B. D R \ k | k Z . C. D R \ k2 | k Z .D. D . R \ k2 | k Z Câu 2. Tập xác định của hàm số y sin 5x tan 2x là:  k  A. R \ k ,k Z. B. R \ ,k Z. 2  4 2   C. D.R \ k 1 ,k Z. R. 2  1 cos3 x Câu 3. Tập xác định D của hàm số y tan x là 1 sin3 x   A. R \ k2 | k Z . B. R \ k | k Z . 2  2  k  k  C. D.R \ | k Z . R \ | k Z . 2 2  2  Câu 4. Tập xác định của hàm số y tan 2x là 3   A. R \ k | k Z . B. R \ k | k Z . 2  6 
  38.  k  C. D.R \ k | k Z . R \ | k Z . 12  12 2  Câu 5. Xét bốn mệnh đề sau (1) Hàm số y sin x có tập xác định là R. (2) Hàm số y cos x có tập xác định là R. (3) Hàm số y tan x có tập xác định là R \ k | k Z.  (4) Hàm số y cot x có tập xác định là R \ k | k Z . 2  Số mệnh đề đúng là A. 1. B. 2. C. 3.D. 4. Câu 6. Tập xác định của hàm số y cos x là A. D 0;2 . B. D 0; . C. D.D R. D R \ 0. 1 1 Câu 7. Tập xác định của hàm số y là sin x cos x A. R \ k | k Z. B. R \ k2 | k Z.   C. D.R \ k | k Z . R \ k | k Z . 2  2  Câu 8. Tìm tập xác định của hàm số y 3tan x 2cot x x.   A. D R \ k | k Z . B. D R \ k | k Z . 2  2   C. D.D R \ k | k Z . D R. 4 2  1 Câu 9. Tìm tập xác định của hàm số y . sin2 x cos2 x   A. R \ k | k Z . B. R \ k | k Z . 2  2   C. D.R. R \ k | k Z . 4 2  2017 tan 2x Câu 10. Tìm tập xác định của hàm số y . sin2 x cos2 x   A. R \ k | k Z . B. R \ . 2  2   C. D.R. R \ k | k Z . 4 2  sin x Câu 11. Tập xác định của hàm số y . sin x cos x   A. D R \ k | k Z . B. D R \ k | k Z . 4  4 
  39.   C. D.D R \ k ; k | k Z . D R \ k | k Z . 4 2  4  sin x Câu 12. Tìm tập xác định của hàm số y . sin x cos x   A. D R \ k2 | k Z . B. D R \ k | k Z . 4  4    C. D.D R \ k ; k | k Z . D R \ k | k Z . 4 2  4  Câu 13. Tập xác định của hàm số y sin 2x 1 là A. D R \ k | k Z. B. D R.   C. D.D R \ k ; k | k Z . D R \ k2 | k Z . 4 2  2  tan x Câu 14. Tìm tập xác định của hàm số y . 15 14cos13x A. D R \ k | k Z. B. D R.   C. D.D R \ k | k Z . . D R \ k | k Z  2  4  cot 2x Câu 15. Tìm tập xác định của hàm số: y . 2017 2016sin 2015x A. . D R \ k | k Z. B. D R. .   C. D R \ k | k Z . D. D R \ k | k Z . 2  2  20 19cos18x Câu 16. Tìm tập xác định của hàm số: y . 1 sinx A. D R \ k | k Z. B. D R \ k2 | k Z.   C. DD. R \ k2 | k Z . D R \ k | k Z . 2  2  Câu 17. Hàm số nào sau đây có tập xác định là R ? 1 A. y 2cos x . B. y cos . x tan 2x sin 2x 3 C. y .D. . y sin2 x 1 cos 4x 5 Câu 18. Hàm số nào sau đây có tập xác định khác với các hàm số còn lại? sin x cos x A. y tan x .B. . y cos x tan 2017x 2018 1 C. y . D. y . cos x 1 sin2 x Câu 19. Hàm số y cos x 1 1 cos2 x chỉ xác định khi: A. x k ,k Z . B. x 0 . 2
  40. C. x k ,k Z .D. . x k2 ,k Z Câu 20. Hàm số y 1 sin 2x 1 sin 2x có tập xác định là: A.  . B. R . 5 13 C. k2 ; k2 ,k Z .D. k2 ; . k2 ,k Z 6 3 6 6 Câu 21. Chọn khẳng định đúng: A. Hàm số y sin x có tập xác định là các đoạn . k2 ; k2 ,k Z 2 2 B. Hàm số y cos x có tập xác định là các đoạn k2 ; k2 ,k Z . C. Hàm số y sin x cos x có tập xác định là các đoạn k2 ; k2 ,k Z . 2 1 D. Hàm số y có tập xác định là các đoạn k2 ; k2 ,k Z . sin x 2 Câu 22. Xét hai mệnh đề: 1 (I): Các hàm số y và y cot x có chung tập xác định là R \ x | x k ,k Z . sin x 1  (II): Các hàm số y và y tan x có chung tập xác định là R \ x | x k ,k Z  . cos x 2  A. Chỉ (I) đúng.B. Chỉ (II) đúng.C. Cả hai đều sai . D. Cả hai đều đúng. Câu 23. Cho hàm số y f (x) sin x cos x với 0 x 2 . Tập xác định của hàm số là: 3 A. 0;  .B. .C. ; .D. . 0; 0; 2 2 2 2 tan x 1 Câu 24. Cho hàm số y f (x) , 0 x . Tập xác định: tan x 1   A. 0; .B. .C. ; . D. 0; \  . 0; \ ;  2 2 2  4 2  2 x Câu 25. Tập xác định của hàm số y 3tan là: 2 4  A. R .B. . R \ k ,k Z  2  3   C. R \ k2 ,k Z  .D. .R \ k2 ,k Z  2  2  Câu 26. Tập xác định của hàm số y 2cot 2x là: 3 2 k   A. R. \ ,k Z  B. . R \ k ,k Z  3 2  6   5 k  C. R. \ k2 ,k Z  D. . R \ ,k Z  6  12 2  cos 2x Câu 27. Cho hàm số y . Hãy chỉ ra khoảng mà hàm số không xác định (k Z) 1 tan x
  41. 3 A. . k2 ; k2 B. . k2 ; k2 2 4 2 2 3 3 3 C. .D. . k2 ; k2 k2 ; k2 4 2 2 Câu 28. Xét hai câu sau: (I): Các hàm số y sin x và y cosx có chung tập xác định là R. (II): Các hàm số y tan x và y cot x có chung tập xác định là   R \ x | x k   x | x k ,k Z . 2   A. Chỉ (I) đúng.B. Chỉ (II) đúng.C. Cả hai đều sai . D. Cả hai đều đúng. cos3x Câu 29. Tập xác định của hàm số y là: cos x.cos x .cos x 3 3 k 5  5  A. R. \ B. . ; k ; k ,k Z  R \ k ; k ,k Z  6 3 6 6  6 6  5  5 k  C. .R \ D. k . ; k ; k ,k Z  R \ k ; ,k Z  2 6 6  2 6 2  5sin 2x 3 cos2 x 5 Câu 30. Tập xác định của hàm số f (x) là: 12sinx cos x k  A. .D R \ k2 | k Z B. . D R \ | k Z  2   C. .D R \ k | k Z D. . D R \ k | k Z  2  1 cos x Câu 31. Tập xác định của hàm số là: 2sin x 1 7  7  A. .DB. .R \ k2 ; k 2 | k Z  D R \ k | k Z  6 6  6   7  C. D.D. .R \ k | k Z  D R \ k ; k | k Z  6  6 6  5 3cos 2x Câu 32. Tập xác định của hàm số là: 1 sin 2x 2 A. D R \ k | k Z . B. D R . k  C. D R \ | k Z  .D. . D R \ k2 | k Z 2  1 cos x Câu 33. Tập xác định của hàm số y cot x là: 6 1 cos x  7  A. D R \ k2 | k Z  . B. D R \ k ,k 2 | k Z  . 6  6   C. D R \ k 2 | k Z .D. D .R \ k | k Z  6 
  42. 1 Câu 34. Tập xác định của hàm số y 2 sin x là: tan2 x 1  k  A. D R \ k ; k | k Z  .B. D R \ | .k Z  4 2  2    C. D R \ k | k Z  .D. D R \ . k | k Z  4  4  1 tan 2x 3 Câu 35. Hàm số y có tập xác định là: cot2 x 1   A. D R \ k ,k | k Z  . B. D R \ k ,k | k Z  . 6 2  12 2    C. D R \ k ;k | k Z  .D. D R \ k .;k | k Z  12  12 2  Dạng 2: Xét tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác Câu 36. Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn? A. y 2cos x .B. y . C.2s in x .D.y 2sin( x) . y sin x cos x Câu 37. Hàm số nào sau đây là hàm số lẻ? A. y 2cos x .B. y . C.2s in x y . D.2 sin2 x 2 y . 2cos x 2 Câu 38. Hàm số y sin x.cos2 x tan x là: A. Hàm số chẵn. B. Hàm số lẻ C. Vừa chẵn vừa lẻ. D. Không chẵn không lẻ. 1 sin2 2x Câu 39. Xét tính chẳn lẻ của hàm số y ta kết luận hàm số đã cho là: 1 cos3x A. Hàm số chẵn. B. Hàm số lẻ . C. Vừa chẵn vừa lẻ D. Không chẵn không lẻ Câu 40. Xét các câu sau: I.Hàm số y sinx sin x là hàm số lẻ. II.Hàm số y cosx cos x là hàm số chẵn. III.Hàm số y sinx cos x là hàm số lẻ. Trong các câu trên, câu nào đúng? A. Chỉ (I).B. Chỉ (II).C. Chỉ (III) . D. Cả 3 câu . Câu 41. Hãy chỉ ra hàm số nào là hàm số lẻ: A. y sin x . B. y sin2 x . cot x tan x C. y . D. y . cos x sin x tan 2x Câu 42. Hàm số y có tính chất nào sau đây? sin3 x A. Hàm số chẵn. B.Hàm số lẻ. C. Hàm không chẵn không lẻ. D. Tập xác định D R .
  43. Câu 43. Hãy chỉ ra hàm số không có tính chẵn lẻ 1 A. y sinx tanx . B. y tan x . sin x 4 4 C. y 2 sin x .D. . y cos x sin x 4 Câu 44. Hàm số nào có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ? 1 A. y 2 sin x . B. y 2013 . 4 sin x C. y cos x . D. y 1 sin 2012x . 4 Câu 45. Hàm số nào có đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng? 1 A. y sin 2017x .B. y .C. . y D.c os x . y sin 2x sin x Câu 46. Hãy chỉ ra hàm nào là hàm số chẵn: cot x A. y sin2016 x.cosx . B. y . tan2 x 1 C. y sinx.cos6 x . D. y cos x.sin3 x . Câu 47. Xét hai mệnh đề: (I)Hàm số y f (x) tanx cotx là hàm số lẻ (II) Hàm số y f (x) tanx cotx là hàm số lẻ Trong các câu trên, câu nào đúng? A. Chỉ (I) đúng .B. Chỉ (II) đúng .C. Cả hai đúng. D. Cả hai sai. Câu 48. Xét hai mệnh đề: (I)Hàm số y f (x) tanx cosx là hàm số lẻ (II) Hàm số y f (x) tanx sinx là hàm số lẻ Trong các câu trên, câu nào đúng? A. Chỉ (I) đúng .B. Chỉ (II) đúng .C. Cả hai đúng. D. Cả hai sai. Câu 49. Hàm số y 1 sin2 x là: A. Hàm số chẵn. B.Hàm số lẻ. C. Hàm không chẵn không lẻ. D.Hàm số không tuần hoàn. Câu 50. Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn? A. y sin 2x . B. y x.cosx . tanx C. y cos x.cot x .D. . y sin x Câu 51. Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn? A. y sin x .B. . y x2 .sinx x C. y . D. y x sin x . cos x Câu 52. Hàm số nào sau đây là hàm số lẻ? 1 A. y sin x.cos 2 x . B. y 2cos 2x . 2 x C. y . D. y 1 tan x . sin x Câu 53. Khẳng định nào sau đây là sai? A. y sinx có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ . B. y cos x có đồ thị đối xứng qua trục Oy .
  44. C. y tan x có đồ thị đối xứng qua trục Oy . D. y cot x có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ. Câu 54. Cho hàm số y cos x xét trên ; . Khẳng định nào sau đây là đúng? 2 2 A. Hàm không chẳn không lẻ.B. Hàm lẻ. C. Hàm chẳn.D. Có đồ thị đối xứng qua trục hoành. Câu 55. Tìm kết luận sai: A. Hàm số y x.sin3 x là hàm chẵn . sin x.cosx B. Hàm số y là hàm lẻ . tan x cot x sin x tan x C. Hàm số y là hàm chẵn. sin x cot x D. Hàm số y cos3 x sin3 x là hàm số không chẵn không lẻ. Câu 56. Nhận xét nào sau đây là sai? sin x tan x A. Đồ thị hàm số y nhận trục Oy làm trục đối xứng. 2sin x 3cot x x2 B. Đồ thị hàm số y nhận góc tọa độ làm tâm đối xứng. sin x tan x sin2008n x 2009 C. Đồ thị hàm số y , n Z nhận trục Oy làm trục đối xứng. cos x D. Đồ thị hàm số y sin2009 x cos nx, n Z nhật góc tọa độ làm tâm đối xứng. Câu 57. Đồ thị của hàm số nào dưới đây có trục đối xứng. cos2008n x 2003 A. y . B. y tan x cot x . 2012sin x cos x 1 C. y .D. . y 6x6 4x4 2x2 15 2sin x 1 cos x 2 cot2 x Câu 58. Cho hàm số y . Hàm số trên là hàm số. sin 4x A. Hàm lẻ. B. Hàm không tuần hoàn. C. Hàm chẳn.D. Hàm không chẳn không lẻ. Câu 59. Hàm số y cos 2x.sin x là 4 A. Hàm lẻ. B. Hàm không tuần hoàn. C. Hàm chẳn.D. Hàm không chẳn không lẻ. Câu 60. Xác định tĩnh chẳn lẻ của hàm số: y 1 2x2 cos3x A. Hàm lẻ. B. Hàm không tuần hoàn. C. Hàm chẳn.D. Hàm không chẳn không lẻ. DẠNG 3: XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Câu 61. Trong khoảng 0; , hàm số y sin x cos x là hàm số: 2 A. Đồng biến. B. Nghịch biến. C. Không đổi.D. Vừa đồng biến vừa nghịch biến. Câu 62. Hàm số y sin 2x nghịch biến trên các khoảng nào sau đây k Z ?
  45. 3 A. k2 ; k2 . B. k ; k . 4 4 3 C. k2 ; k2 .D. . k ; k 2 2 4 4 Câu 63. Hàm số y cos 2x nghịch biến trên khoảng k Z ? A. k ; k . B. k ; k . 2 2 3 C. k2 ; k2 .D. . k2 ; k2 2 2 2 2 Câu 64. Xét các mệnh đề sau: 3 1 (I): x ; :Hàm số y giảm. 2 sin x 3 1 (II): x ; :Hàm số y giảm. 2 cos x Hãy chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên: A. Chỉ (I) đúng .B. Chỉ (II) đúng .C. Cả hai đúng. D. Cả hai sai. Câu 65. Cho hàm số y 4sin x cos x sin 2x . Kết luận nào sau đây là đúng về sự biến 6 6 thiên của hàm số đã cho? 3 A. Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng 0; và ; . 4 4 B. Hàm số đã cho đồng biến trên 0; . 3 C. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng 0; . 4 D. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng 0; và nghịch biến trên khoảng. ; 4 4 Câu 66. Với k Z , kết luận nào sau đây về hàm số y tan 2x là sai? A. Hàm số y tan 2x tuần hoàn với chu kỳ T . 2 k k B. Hàm số y tan 2x luôn dống biến trên mỗi khoảng ; . 2 2 2 2 k C. Hàm số y tan 2x nhận đường thẳng x là một đường tiệm cận. 4 2 D. Hàm số y tan 2x là hàm số lẻ. Câu 67. Để hàm số y sin x cos x tăng, ta chọn x thuộc khoảng nào? 3 3 A. k2 ; k2 . B. k ; k . 4 4 4 4 C. k2 ; k2 .D. . k 2 ;2 k 2 2 2 Câu 68. Xét hai mệnh đề sau: 2 (I): x ; :Hàm số y tan x tăng. 2 2 2 (II): x ; :Hàm số y sin x tăng. 2 2
  46. Hãy chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên: A. Chỉ (I) đúng .B. Chỉ (II) đúng .C. Cả hai đúng. D. Cả hai sai. Câu 69. Hãy chọn câu sai: Trong khoảng k2 ; k2 ,k Z thì: 2 A. Hàm số y sin x là hàm số nghịch biến . B. Hàm số y cos x là hàm số nghịch biến. C. Hàm số y tan x là hàm số đồng biến. D. Hàm số y cot x là hàm số đồng biến . 3 Câu 70. Bảng biến thiên của hàm số y f (x) cos 2x trên đoạn ; là: 2 2 A. B. C. D. x Câu 71. Cho hàm số y cos . Bảng biến thiên của hàm số trên đoạn  ; là: 2 A. B. C. D. TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Câu 72. Giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số y 4cos x là: A. 0 và 4.B. 4 và 4.C. 0 và 1.D. 1 và 1. Câu 73. Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y 1 cos2 x 2 là: A. 0 và 2 1 . B. 1 và 2 1 .C. và 2 1 D. và 1 1 Câu 74. Cho hàm số y sin x . Giá trị lớn nhất của hàm số là: 4 A. 1 .B. .C. .D. . 0 1 4 Câu 75. Giá trị lớn nhất của hàm số y sin6 x cos6 x là:
  47. 2 A. .B. .C. . 1 D. . 2 2 2 sin x 1 Câu 76. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y là: cos x 2 1 2 2 A. .B. .C. .D. . 0 2 2 2 cos x 2sin x 3 Câu 77. Giá trị lớn nhất của hàm số là: y 2cosx sinx 4 A. 0 .B. .C. 3 .D.2 3. . 2 2 2. 1. 1 Câu 78. Giá trị nhỏ nhất của hàm số f x 3 sin2 x cos2 x là 5 59 14 29 A. B. C. 3 D. 20 5 10 Câu 79. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y 4sin x 2cos x là A. 2 5 B. 2 5 C. 0 D. 20 Câu 80. Hàm số y 4sin x 4cos2 x đạt giá trị nhỏ nhất là 5 A. 1 B. 4 C. D. 5 4 3 1 tan2 x Câu 81. Hàm số y 4cot2 2x đạt giá trị nhỏ nhất là tan x A. 0 B. 3 2 3 C. 2 2 2 D. 1 Câu 82. Hàm số y 2cos x sin x đạt giá trị lớn nhất là 4 A. 5 2 2 B. 5 2 2 C. 5 2 2 D. 5 2 2 Câu 83. Tổng của giá trị nhỏ nhất của hàm số y sin4 x cos4 x sinx cos x là 9 5 4 A. B. C. 1 D. 8 4 3 Câu 84. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y sin x cos x cos x sin x là A. 0 B. 2 C. 4 2 D. 6 Câu 85. Giá trị lớn nhất của hàm số y cos2 x 7sin2 x sin2 x 7cos2 x là A. 1 7 B. 1 7 C. 4 D. 14
  48. Hướng dẫn giải chi tiết Dạng 1: Tìm tập xác định của hàm số Câu 1. Đáp án A. x k2 Hàm số đã cho xác định khi sin x 0 ,k ¢ x k2 Nếu giải đến đây ta có thể dễ dàng loại B,C,D vì: Với C thì thiếu x k2 ,k ¢ Với B,D thì không thõa mãn. Với A ta kết hợp gộp nghiệm thì ta được x k ,k ¢ Câu 2. Đáp án B. Ở đây sin 5x xác định với mọi số thực x . Nên ta đi tìm điều kiện cho tan 2x xác định khi k 2x k ,k ¢ x ,k ¢ 2 4 2 Câu 3. Đáp án B. Hàm số đã cho xác định khi x k ,k ¢ cos x 0 x k ,k ¢  2 D \ x k ,k 3 2 ¡ ¢  sin x 1 2  sin x 1 x k2 ,k ¢ 2 Câu 4. Đáp án D. Hàm số đã cho xác định khi k k  cos 2x 0 2x k x ,k ¢ D ¡ \ ,k ¢  3 3 2 12 2 12 2  Câu 5. Đáp án B. Mệnh đề 1 và 2 là đúng Mệnh đề 3 và 4 là sai Sửa lại cho đúng như sau  3 Hàm số y tan x có TXĐ là ¡ \ k ,k ¢  2  4 Hàm số y tan x có TXĐ là ¡ \ k ,k ¢  Câu 6. Đáp án B. Hàm số đã cho xác định khi x 0 Câu 7. Đáp án D. x k sin x 0 k Hàm số đã cho xác định khi x ,k ¢ cos x 0 x k 2 2 Câu 8. Đáp án B. x k sin x 0 k Hàm số đã cho xác định khi x ,k ¢ cos x 0 x k 2 2 Câu 9. Đáp án D. k Hàm số đã cho xác định khi sin2 x cos2 x 0 cos 2x 0 x ,k ¢ 4 2 Câu 10. Đáp án D.
  49. sin2 x cos2 x 0 k Hàm số đã cho xác định khi cos 2x 0 x ,k ¢ cos 2x 0 4 2 Câu 11. Đáp án A. Hàm số đã cho xác định khi sin x cos x 0 2 sin x 0 sin x 0 x k ,k ¢ 4 4 4  Vậy TXĐ D ¡ \ k ,k ¢  4  Câu 12. Đáp án D. Hàm số đã cho xác định khi sin x cos x 0 2 sin x 0 sin x 0 x k ,k ¢ 4 4 4  Vậy TXĐ D ¡ \ k ,k ¢  4  Câu 13. Đáp án B. Ta có sin 2x 1,x ¡ sin 2x 1 0,x ¡ . Vậy hàm số đã cho xác định với mọi x ¡ Câu 14. Đáp án C. 15 Ta có cos13x 1 15 14cos13x 0 . 14 Vậy hàm số đã cho xác định khi cos x 0 x k ,k ¢ 2 Câu 15. Đáp án D. k Tương tự câu 14, hàm số đã cho xác định khi sin 2x 0 x ,k ¢ 2 Câu 16. Đáp án C. 20 19cos18x 0 Hàm số đã cho xác định khi 1 sin x 1 sin x 0 Mà 19 20cos18x 0,x ¡ nên hàm số đã cho xác định 1 sin x 0 sin x 1 x k2 ,k ¢ 2 Vậy hàm số đã cho xác định khi cos x 0 x k ,k ¢ 2 Câu 17. Đáp án D. Với A thì hàm số xác định khi x 0 Với B thì hàm số xác định khi tan 2x xác định 2x k ,k ¢ . 2 Với C thì hàm số xác định khi x 0 sin 2x 3 Với D thì 0,x ¡ cos 4x 5 Vậy ta chọn D vì các phương án trên không có phương án nào thỏa mãn hàm số có tập xác định là ¡ . Câu 18. Đáp án C. Với A thì hàm số xác định khi cos x 0 Với B thì hàm số xác định khi cos x 0
  50. cos x 0 Với C thì hàm số xác định khi cos 2017x 0 Từ đây ta chọn C do khác với A và B Câu 19. Đáp án D. Hàm số đã cho xác định khi cos x 1 0 , mà cos x 1 0,x ¡ , do vậy để hàm số xác định thì cos x 1 x k2 ,k ¢ Câu 20. Đáp án B. 1 sin 2x 0 Cách 1: Hàm số đã cho xác định khi 1 sin 2x 1 đúng với mọi x ¡ 1 sin 2x 0 Cách 2: y sin x cos x sin x cos x ,tập xác định là ¡ Câu 21. Đáp án C. Với A thì hàm số y sin x xác định khi sin x 0 k2 x k2 ,k ¢ . vậy A sai. Với B thì hàm số y cos x xác định khi cos x 0 k2 x k2 ,k ¢ cos x 0 2 2 Với C thì hàm số xác định khi y cos x sin x xác định khi cos x 0 k2 x k2 ,k ¢ . Vậy C đúng. sin x 0 2 Câu 22. Đáp án D. 1 Ta thấy cả hai hàm số y và y cot x đều xác định khi sin x 0 . tương tự thì hai hàm số sin x ở mệnh đề II đều xác định khi cos x 0 . Câu 23. Đáp án C. x 0;2  0 x 2 Hàm số xác định khi sin x 0 0 x 0 x 2 cos x 0 x 2 2 Câu 24. Đáp án D. 0 x 0 x  Hàm số xác định khi cos x 0 x x 0; \ ;  2 4 2  tan x 1 x 4 Câu 25. Đáp án C. x 3 Hàm số xác định khi cos 0 x k2 ,k ¢ 2 4 2 Câu 26. Đáp án A. 2 k Hàm số xác định khi sin 2x 0 x ,k ¢ 3 3 2 Câu 27. Đáp án B.
  51. x k cos x 0 2 Hàm số đã cho xác định khi ,k ¢ tan x 1 x k 4 Khoảng k2 ; k2 chứa x k2 nên hàm số không xác định trong khoảng 2 2 4 này Câu 28. Đáp án A.  Hàm số y tan x tập xác định là ¡ \ x / x k ,k ¢  , Hàm số y cot x tập xác định là 2  ¡ \ x / x k ,k ¢  , suy ra (II) sai Câu 29. Đáp án A. Hàm số đã cho xác định khi cos3x.cos x .cos x 0 3 3 k k cos3x 0 x x 6 3 6 3 5 cos x 0 x k x k ,k Z 3 3 2 6 x k cos x 0 x k 3 3 2 6 Câu 30. Đáp án B. 5sin 2x 3 cos2 x 5 Hàm số f x xác định khi 12sin x cos x sin x 0 x k k 2 ;k Z x ,k Z . cos x 0 2 x k Câu 31. Đáp án A. x k2 1 6 ĐK: 2sin x 1 0 sin x . 2 7 x k2 6 7  Tập xác định D R \ k2 ; k2 | k Z  . 6 6  Câu 32. Đáp án A. Ta có 1 cos2x 1 nên 5 3cos2x 0,x R . Mặt khác 1 sin 2x 0 . 2 Hàm số đã cho xác định 1 sin 2x 0 2 A. sin 2x 1 2x k2 x k ,k Z. 2 2 2 Tập xác định D R \ k ,k Z . Câu 33. Đáp án B.
  52. 1 cos x Vì 1 cos x 1 nên 1 cos x 0 và 1 cos x 0 0 . 1 cos x sin x 0 x k Hàm số xác định 6 6 ,k Z . 1 cos x 0 x k2  Tập xác định của hàm số là R \ k ,k2 | k Z  . 6  Câu 34. Đáp án A. Vì 1 sin x 1 neen 2 sin x 0,x R . 2 sin x 0 x k 2 tan x 1 4 Hàm số xác định tan x 1 0 ,k Z . cos x 0 cos x 0 x k 2  Vậy D R \ k , k ,k Z  . 4 2  Câu 35. Đáp án D. cot2 x 1 0 Hàm số xác định khi cos 2x 0 3 sin x 0 2x k x k 3 2 12 2 ,k Z . x k x k  Vậy tập xác định của hàm số là D R \ k ,k ,k Z  . 12 2  Dạng 2: Xét tính chẵn, lẻ của hàm số lượng giác. Câu 36. Đáp án A. Với A: TXĐ: D R . Ta có với x R x R 2cos x 2cos x. Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn. Câu 37. Đáp án B. Với A: Ta có 2cos x 2cos x. Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn. Với B: Ta có: 2sin x 2. sin x 2sin x f x . Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ. Vậy ta chọn B. Câu 38. Đáp án B.  Hàm số đã cho có tập xác định D R \ k ,k Z  . 2  Vậy với x D x D . Ta có f x sin x cos2 x tan x sin x.cos2 x tan x f x . Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ. Đáp án B. Câu 39. Đáp án A.
  53.  Tập xác định của hàm số là D R \ 2k 1 | k Z  là tập đối xứng. 3  2 1 sin2 2x 1 sin 2x 1 sin2 2x Ta có f x . 1 cos 3x 1 cos 3x 1 cos3x Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn. Câu 40. Đáp án C. Ta loại I và II do khi sin x 0 thì sin x sin x 0 , do đó sin x không tồn tại. Với III: Hàm số xác định khi cos x 0 k2 x k2 ,k Z . 2 2 Tập xác định của hàm số là tập đối xứng. Do vậy, ta xét f x sin x . cos x sin x. cos x f x . Vậy III đúng. Câu 41. Đáp án C. Với A: Tương tự như câu 26, thì ta loại A. Với B: Tập xác định D R là tập đối xứng. Ta có f x sin2 x sin x 2 sin2 x. Vậy hàm sô ở phương án C là hàm số lẻ. Câu 42. Đáp án A. cos2x 0 Ta loại D vì để hàm số đã cho xác định thì nên tập xác định của hàm số đã cho sin x 0 không thể là hàm số chẵn. tan 2x tan 2x Do f x f x . sin3 x sin3 x Câu 43. Đáp án B. Ta thấy các hàm số ở phương án A,C là các hàm số lẻ, còn ở phương án D là hàm số chẵn. Do vậy, ta chọn B. Thật vậy 2 sin x 2 sin x 2 sin x . 4 4 4 Câu 44. Đáp án C. Hàm số lẻ có đồ thị nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng, do đó ta đi tìm hàm số lẻ trong bốn hàm số đã cho. Với bài toán này ta đi tìm hàm số là hàm số lẻ. Với các bạn tinh ý thì ta có thể chọn luôn C. Lý giải: Tập xác định D R \ k | k Z là tập đối xứng. 1 1 f x f x . Vậy hàm số ở phương án C là hàm số lẻ có đồ thị đối sin2013 x sin2013 x xứng qua gốc tọa độ. Câu 45. Đáp án B. Hàm số chẵn có đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng do đó ta đi tìm hàm số chẵn trong bốn hàm số đã cho. Hàm số ở D loại vì lí do tương tự câu 26. Hàm số A và C là hàm số lẻ. Do vậy ta chọn B. Câu 46. Đáp án A. Với A: TXĐ: D R . 2016 Ta có f x sin x .cos x sin2016 x.cos x . Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn.
  54. Các hàm số ở B, C, D đều là hàm số lẻ. Câu 47. Đáp án D. (I) Tập xác định của hàm số đã cho là tập đối xứng. Ta có f x tan x cot x tan x cot x f x . Vậy (I) đúng. (II) Tập xác định của hàm số đã cho là tập đối xứng. Ta có f x tan x cot x tan x cot x f x . Vậy (II) đúng. Câu 48. Đáp án A. - Với (I) ta có f x tan x cos x tan x cos x f x f x . Vậy hàm số ở (I) không phải hàm số chẵn cũng không phải hàm số lẻ. - Với (II) ta có f x tan x sin x tan x sin x f x . Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn. Câu 49. Đáp án C. Tập xác định của hàm số D R . 2 Ta có f x 1 sin2 x 1 sin x 1 sin2 x f x . Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn. Câu 50. Đáp án D. Dễ thấy hàm số y sin 2x là hàm số lẻ. Với B ta có f x x .cos x x.cos x f x . Vậy hàm số ở B là hàm số lẻ. Với C ta có TXĐ D R \ k | k Z là tập đối xứng. f x cos x .cot x cos x. cot x f x . Vậy hàm số ở C là hàm số lẻ. Vậy ta chọn D. Câu 51. Đáp án A. Ta chọn luôn A vì ở phần ví dụ ta có đưa ra hàm số y f x là hàm số chẵn trên D. Câu 52. Đáp án A. Với A: Tập xác định D R . 1 1 Ta có f x sin x .cos 2x sin x.cos2x f x . 2 2 Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ. Câu 53. Đáp án A. Ta thấy hàm số ở phương án A là hàm số chẵn thì ta có đồ thị đối xứng qua trục tung, chứ không phải đối xứng qua gốc tọa độ. Câu 54. Đáp án C. Tập D ; là tập đối xứng. 2 2 Ta có f x cos( x) cos x f x . Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn Câu 55. Đáp án B. Vói A: Ta có f x x sin3 x xsin3 x f x . vậy A đúng. Với B : Tập xác định D là tập đối xứng . sin x cos x sin x cos x sin x cos x Ta có f x = f x . tan x cot x tan x cot x tan x cot x
  55. Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn. Vậy B sai. Câu 56. Đáp án D. sin( x) tan( x) Với A : Tập xác định của hàm số đã cho là tập đối xứng . Ta có f x 2sin( x) 3cot( x) sin x tan x sin x tan x = f (x) . Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn có đồ thị nhận 2sin x 3cot x 2sin x 3cot x trục oy làm trục đối xứng . Vậy A đúng. ( x)2 x2 Với B : Ta có f ( x) f (x) . Vậy hàm số đã cho là hàm sin( x) tan( x) sin x tan x số lẽ có đồ thị nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng . vậy B đúng . sin2008n ( x) 2009 sin2008n x 2009 Với C : Ta có f ( x) f (x). Vậy hàm số đã cho là cos( x) cos x hàm số chẵn có đồ thị nhận trục Oy làm trục đối xứng . Vậy C đúng . Từ đây ta chọn D. Câu 57. Đáp án C. Bài toán trở thành tìm hàm số chẵn trong bốn hàm số đã cho phần phương án . cos2008n ( x) 2003 cos2008n x 2003 Với A : Ta có f ( x) f (x). Vậy hàm số đã cho là 2012sin( x) 2012sin x hàm số lẽ, (loại). Với B : Ta có f ( x) tan( x) cot( x) tan x cot x f (x). Vậy hàm số đã cho là hàm số lẽ (loại). cos( x) cos x Với C : Ta có f ( x) = f (x). vậy ta 6( x)6 4( x)4 2( x)2 15 6x6 4x4 2x2 15 chon C Câu 58. Đáp án A. x k sin x 0 k Vì cos x 2 0, x ¡ . Do đó điều kiện là k x , k ¢ . vậy tập sin 4x 0 x 4 4 xác định của D là tập đối xứng. cos x 2 cot2 ( x) cos x 2 cot2 ( x) Ta có f ( x) f (x) . Vậy hàm số đã cho là sin( 4x) sin 4x hàm số lẽ. Câu 59. Đáp án D. Tập xác định D ¡ . Với x D x D. Ta có f ( x) cos( 2x).sin( x ) = cos 2x.sin( x ) = cos 2x.sin(x ) 4 4 4 f ( x) f (x) Ta thấy . Vậy hàm số đã cho không chẵn không lẻ. f ( x) f (x) Câu 60. Đáp án C. Tập xác định D ¡ là tập đối xứng . f ( x) 1 2( x)2 cos3( x) 1 2x2 cos3x f (x) . Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn. Dạng 3 : Xét tính đơn điệu của hàm số lượng giác. Câu 61. Đáp án A.
  56. Cách 1 : Ta thấy trên khoảng 0; hàm f (x) sin x đồng biến và hàm g(x) cos x đồng 2 biến , suy ra trên 0; hàm số y sin x cos x đồng biến. 2 Cách 2 : Sử dụng máy tính . Dùng TABLE ta xác định được hàm số y sin x cos x tăng trên 0; 2 Câu 62. Đáp án C . 3 Ta thấy hàm số y sin 2x nghịch biến trên k2 ; k2 , k ¢ , suy ra hàm số 2 2 3 3 y sin 2x nghịch biến khi k2 2x k2 , k ¢ k x k , k ¢ 2 2 4 4 3 Vậy hàm số y sin 2x nghịch biến trên mỗi khoảng k ; k ,k ¢ 4 4 Câu 63. Đáp án A. Hàm số y cos 2x nghịch biến khi k2 2x k2 k x k , k ¢ 2 Câu 64. Đáp án B. 3 3 1 x ; : Hàm y sin x giảm và sin x 0 ,x ; suy ra y tăng : 2 2 sin x 3 3 Câu (I) sai, x ; : Hàm y cos x tăng và cos x 0 , x ; , suy ra hàm 2 2 1 y giảm. cos x Câu (II) đúng. Câu 65. Đáp án A. Ta có y 4sin x cos x sin 2x = 2 sin 2x sin sin 2x sin 2x 3 . Xét sự 6 6 3 biến thiên của hám số y sin 2x 3 , ta sử dụng TABLE để xét các mệnh đề . Ta thấy với A. Trên 0; thì giá trị của hàm số luôn tăng. 4 3 Tương tự trên ; thì giá trị của hàm số cũng luôn tăng. 4 Câu 66. Đáp án B. Ta thấy hàm số y tan x luôn đồng biến trên mỗi khoảng k ; k , suy ra hàm số 2 2 y tan 2x luôn đồng biến tren mỗi khoảng k 2x k 2 2 k k x . Vậy B là sai. 4 2 4 2 Câu 67. Đáp án A.
  57. Ta có y sin x cos x 2 sin x . Để hàm số y sin x cos x tăng thì 4 3 k2 x k2 , k ¢ . k2 x k2 , k ¢ . 2 4 2 4 4 Câu 68. Đáp án C. Bài toán có hai hàm số mà cùng xét trên một khoảng nên ta sẽ sử dụng chức năng TABLE cho hai hàm Ấn MODE7 : Nhập f x là hàm tan2 x. nhập g x là hàm sin2 x thì ta có kết quả . Ta thấy cả hai hàm số đều không là hàm tăng trên cả khoảng ; . Vì khi x chạy từ 2 2 2 đến 0 thì giá trị của hai hàm số đều giảm . Khi x chạy từ 0 đến thì giá trị của hai hàm số đều 2 tăng , vậy cả hai mệnh đề đều sai. Câu 69. Đáp án D. 2 3 2 3 2 3 3 D sai , thật vậy với ; ; , ta có : cot 1 cot 3 4 2 3 4 3 3 4 Câu 70. Đáp án A. Ta có thể loại phương án B ;C ;D luôn do tại f 0 cos0 1 và f cos 2 1 . Các bảng biến thiên B ;C ;D đều không thỏa mãn. Câu 71. Đáp án C. 2 Tương tự như câu 70 thì ta có thể loại A và B do f cos . tiếp theo xét giá trị 2 4 2 hàm số tại hai đâu mút thì ta loại được D. Dạng 4 : Tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của hàm lượng giác . Câu 72. Đáp án B. Tập xác định D 0; .Ta có 1 cos x 1 , x D . 4 y 4 . Vậy min y 4 cos x 1. ma xy 4 cos x 1. D D Câu 73. Đáp án C . Ta có y 1 cos2 x 2 sin2 2 sin x 2 0 sin x 1 2 y 1 Câu 74. Đáp án C. Ta có 1 sin(x ) 1 4 Câu 75. Đáp án B. 3 5 3 3 5 3 5 3 Ta có sin6 x cos6 x 1 sin2 2x sin2 2x = 1 2sin2 2x cos 4x 4 8 8 4 8 8 8 8 5 3 Ta có cos 4x 1, x ¡ cos 4x 1, x ¡ . Dấu bằng xảy ra khi cos 4x 1. 8 8 Câu 76. Đáp án D. Cách 1 : Tương tự như phần lý thuyết đã giới thiệu thì ta thấy cos x 2 0,x . Vậy sin x 1 y sin x 1 y(cos x 2) sin x y cos x 1 2y 0 . Ta có cos x 2 2 4 12 ( y)2 1 2y y2 1 4y2 4y 1 3y2 4y 0 0 y . Vậy min y = 0. 3
  58. sin x 1 0 Cách 2 : Ta có y 0 min y 0 khi sin x 1 . cos x 2 0 Câu 77. Đáp án C. cos x 2sin x 3 Ta có 2cos x sin x 4 0,x ¡ . y 2cos x sin x 4 2y cos x y sin x 4y cos x 2sin x 3 2y 1 cos x y 2 sin x 4y 3 0 . Ta có 2y 1 2 y 2 2 4y 3 2 5y2 5 16y2 24y 9 2 11y2 24y 4 0 y 2. Vậy GTLN của hàm số đã cho là 2. 11 Câu 78. Đáp án A. 1 1 2 1 1 59 Ta có f x 3 sin2 x cos2 x 3 . 2sin x.cos x 3 sin2 x 3 . Vậy 5 20 20 20 20 59 GTNN của hàm số là . 20 Câu 79. Đáp án B. Ta có 42 22 y2 2 5 y 2 5. Câu 80. Đáp án D. 2 1 5 Ta có y 4 sin x (1 sin2 x) 4 sin2 x sin x 1 4 sin x 5. 2 4 1 Dấu bằng xảy ra khi sin x min y 5 2 Câu 81. Đáp án D. 2 1 tan2 x 2 3 1 tan x Ta có cot 2x . Từ đó suy ra y 3cot2 2x 3cot2 2x 2 3 cot 2x = 2 tan x 2 tan x 2 1 3 cot 2x 1 1 1, x ¡ . Vậy min y 1 cot 2x . 3 Câu 82. Đáp án C. 1 1 Ta có y 2cos x sin x 2cos x 2 sin x 2cos x sin x cos x 4 2 4 2 2 2 1 1 2 1 1 2 y 2 cos x sin x . Ta có y 2 y 5 2 2 . Do đó ta có 2 2 2 2 5 2 2 y 5 2 2 . Vậy giá trị lớn nhát của hàm số là 5 2 2 . Câu 83. Đáp án A. Ta có y sin4 x cos4 x sin x cos x y 1 2sin2 x cos2 x sin x cos x 2 2 1 2 1 1 1 1 9 1 1 9 1 sin 2x sin 2x y 1 sin 2x y sin 2x . 2 2 2 2 4 8 2 2 8 1 Dấu bằng xảy ra khi sin 2x . 2 Câu 84. Đáp án A. 1 1 Ta có sin x cos x cos x sin x 2 sin x.cos x sin x.cos x y 2. sin 2x sin 2x 0 . 2 2 Dấu bằng xảy ra sin 2x 0. Câu 85. Đáp án C.
  59. Ta có y2 12 12 cos2 x 7sin2 x sin2 x 7cos2 x y2 2 1 7 16 y 4 . Dấu k bằng xảy ra khi x , k ¢ . Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 4. 4 2 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC I. CONG THỨC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRINH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN f x g x k2 a) sin f x sin g x k ¢ f x g x k2 f x g x k2 b) cos f x cos g x k ¢ f x g x k2 c) tan f x tan g x f x g x k , k ¢ d) cot f x cot g x f x g x k , k ¢ Không được dùng đồng thời 2 đơn vị độ và radian cho một công thức về nghiệm phương trình lượng giác.
  60. 2 Ví dụ 1. Trong các phương trình sau, phương trình nào nhận x k k ¢ làm nghiệm 6 3 A. sin 3x sin 2x . B. cos x sin 2x. 4 C. cos 4x cos6x. D. tan 2x tan . 4 Lời giải Chọn B 2 3x 2x k2 x k 4 20 5 A. sin 3x sin 2x 4 3 3x ( 2x) k2 x k2 4 4 x 2x k2 2 B. cos x sin 2x cos x cos 2x (k ¢ ) 2 x 2x k2 2 2 x k 6 3 (k ¢ ) x k2 2 STUDY TIP ( sin f (x)) sin( f (x)) ( tan f (x)) tan( f (x)) ( cos f (x)) cos( f (x)) ( cot f (x)) cot( f (x)) C. cos 4x cos6x cos 4x cos 6x x k 4x 6x k2 10 5 k ¢ 4x 6x k2 x k 2 D. tan 2x tan tan 2x tan( ) x k (k ¢ ). 4 4 8 2 So sánh ta được đáp án là B. LƯU Ý: Bạn có thể biểu diễn nghiệm trên đường tròn lượng giác rồi dùng máy tính để thử nghiệm và kết luận . Phần này sẽ được trình bày kỹ hơn trong cuốn công phá kỹ thuật giải toán CASIO. Ví dụ 2. Phương trình sin 2x sin có nghiệm dạng x k và 3 3 x  k k ¢ , ; . Khi đó tích . bằng : 4 4 2 4 2 2 A. . B. . C. . D. . 9 9 9 9 Lời giải Chọn A
  61. 2x k2 3 Ta có sin 2x sin sin 2x sin( ) 3 3 2x ( ) k2 3 x k 6 2 . . 2 9 x k 3 II. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN Dạng sin x m, cos x m, tan x m, cot x m, (m ¡ ) 1. Phương trình sin x m (1) - Nếu m 1 Phương trình (1) vô nghiệm do sin x 1x ¡ . - Nếu m 1: + Xác định sao cho m sin . x k2 Vậy phương trình sin x m sin x sin k ¢ . x k2 + Nếu số thực thỏa mãn điều kiện 2 2 thì ta viết arcsin m (đọc là sin m x arcsin m k2 ac-sin-m). Khi đó sin x m k ¢ . x arcsin m k2 STUDY TIP +) sin x m có nghiệm m 1 +) arc sin m là cung thuộc ; mà có sin bằng m. 2 2 Ví dụ 1. Trong các phương trình sau đây,phương trình nào có tập nghiệm là 4 x k2 và x k2 , (k ¢ ). 3 3 2 1 3 2 A. sin x B. .s in x C.sin x D. . sin x 2 2 2 3 Lời giải Chọn A Cách 1 2 2 A. sin x vô nghiệm do 1 . 2 2
  62. x k2 1 1 2 4 B. sin x sin x sin ( vì sin ) (k ¢ ) . 2 4 2 2 4 3 x k2 4 x k2 3 3 3 C. sin x . sin x sin( ) ( vì sin( ) ) (k ¢ ) 2 3 2 3 4 x k2 3 2 x arcsin k2 2 2 3 D. sin x sin x (k ¢ ). 3 3 2 x arcsin k2 3 Vậy phương án đúng là C. Cách 2 : Sử dụng máy tính cầm tay ( MTCT). 3 4 4 3 Ta có sin k2 sin và sin k2 sin . 3 3 2 3 3 2 Đặc biệt Phương trình Biểu diễn nghiệm trên đường tròn lượng giác + sin x 1 x k2 ,k ¢ . 2 Ð sđ.AM k2 ,k ¢ 2 + sin x 1 x k2 ,k ¢ 2 . Ð sđ.AM k2 ,k ¢ 2 + sin x 0 x k ,k ¢ . Ð = sđ AM k2 ;k ¢ Ð = sđ AM 2k 1 ;k ¢ x k2 Để ý: x 2k 1 x k ;k ¢ 2. Phương trình cos x m 2 - Nếu m 1 Phương trình (2) vô nghiệm (do cos x 1,x ¡ ).
  63. - Nếu m 1 : + Xác định sao cho cos m . x k2 Vậy phương trình cos x m cos x cos k ¢ . x k2 0 + Nếu số thực thỏa mãn điều kiện thì ta viết arccos m (đọc là ac-cos- m). cos m x arccos m k2 Khi đó cos x m k ¢ . x arccos m k2 Ð Ð sđ AM k2 ; sđ AM k2 STUDY TIP + arccos m là cung thuộc 0;  mà có cos bằng m . + Phương trình cos x m có nghiệm m 1 . Ví dụ 1. Phương trình nào trong các phuương trình sau có 2 nghiệm thuộc 0;180 ? 2 3 A. cos x . B. cos x 50 . 2 2 1 4 C. cos x 30 . D. cos x . 2 3 Lời giải Chọn C 2 A. cos x cos x cos135 x 135 k360 chỉ có một nghiệm thuộc 0;180 . 2 3 x 20 k360 B. cos x 50 cos x 50 cos30 2 x 80 k360 Phương trình không có nghiệm nào thuộc 0;180 '
  64. 1 C. cos x 30 cos x 30 cos60 2 2x 30 60 k360 x 15 k180 2x 30 60 k360 x 45 k180 Phương trình có hai nghiệm thuộc 0;180 . 4 4 D. cos x vô nghiệm do 1 . 3 3 3 Ví dụ 2. Chọn đáp án sai: Nghiệm của phương trình cos x là: 2 3 A. x k2 ,k . B. . ¢ x arccos k2 ,k ¢ 6 2 5 C. x k2 ,k ¢ . D. x 150 k360,k ¢ . 6 Lời giải Chọn A 3 Dễ dàng kiểm tra trên đường tròn lượng giác cos . 6 2 Đặc biệt Phương trình Biểu diễn nghiệm trên đường tròn lượng giác + cos x 1 M  A x k2 ,k ¢ . Ð sđ AM 0 k2 k2 ,k ¢ . + cos x 1 Ð sđ.AM k2 ,k ¢ x 2k 1 ,k ¢ 2k 1 ;k ¢ . . + cos x 0 Ð = sđ AM k2 ;k ¢ 2 x k2 ,k ¢ 2 Ð = sđ AM' k2 ;k ¢ 2 x k ,k ¢ 2 x k2 2 Để ý: x k2 2 x k ;k ¢ 2 3. Phương trình tan x m,cot x m
  65. a) Phương trình tan x m Điều kiện: x k k ¢ 2 - Ta xác định sao cho m tan . Khi đó phương trình tan x m tan x tan x k k ¢ . + Nếu số thực thỏa mãn điều kiện 2 2 thì ta viết tan m arctan m (đọc là ac - tan - m). Khi đó phương trình tan x m x arctan m k k ¢ AT m b) Phương trình cot x m Điều kiện: x k k ¢ - Ta xác định sao cho m cot . Khi đó phương trình cot x m cot x cot x k k ¢ . 0 + Nếu số thực thỏa mãn điều kiện thì ta viết cot m AS m arccot m (đọc là ac - cotang - m). Khi đó phương trình cot x m x arccot m k k ¢ . STUYDY TIP Phương trình tan x m,cot x m luôn có nghiệm với m ¡ Ví dụ 1. Trong các nghiệm dương bé nhất của các phương trình sau, phương trình nào có nghiệm dương nhỏ nhất? A. tan 2x 1 . B. tan x 3 . C. cot x 0 . D. cot x 3 . 4 Lời giải Chọn A A. tan 2x 1 tan 2x tan 2x k x k k ¢ . 4 4 8 2 (Với k 0 nên nghiệm dương bé nhất là x ) 8 7 B. tan x 3 x k x k k ¢ . 4 4 3 12 7 Nghiệm dương bé nhất là x . 12 C. cot x 0 cos x 0 x k k ¢ Nghiệm dương bé nhất là x . 2 2
  66. D. cot x 3 cot x cot x k k ¢ . 6 6 5 Chọn k 1 Nghiệm dương bé nhất là x . 6 Vậy giá trị nhỏ nhất là x nên ta chọn đáp án A. 8 Ví dụ 2. Phương trình tan 3x 15 3 có các nghiệm là: A. .x 60B. . k180C. . D. .x 75 k180 x 75 k60 x 25 k60 Lời giải Chọn D Ta có: tan 3x 15 3 tan 3x 15 tan 60 3x 15 60 k180 x 25 k60 k ¢ . * Kĩ năng biểu diễn và tổng hợp nghiệm trên đường tròn lượng giác 1 điểm trên đường tròn lượng giác 2 điểm đối xứng qua gốc O x k2 ;k ¢ x k ;k ¢ 2 4 điểm cách đều: x k ;k ¢ 3 điểm cách đều: x k ;k ¢ 2 3
  67. 2 n điểm cách đều: x k ;k ¢ n III. MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP. DẠNG 1: PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Có dạng at b 0 với a,b ¡ ,a 0 , t là một hàm số lượng giác Phương pháp giải b at b 0 t (đây là phương trình lượng giác cơ bản đã học) a STUDY TIP 1. asin f x b 0 . 2. a cos f x b 0 3. a tan f x b 0 . 4. a cot f x b 0 . Ví dụ 1. Trong các phương trình sau, phương trình nào có 2 nghiệm thuộc 0; ? A. 3 sin x 2 0 . B. 2cos x 1 0 . C. 3 tan x 1 0 . D. 2 sin x 1 0 . Lời giải Chọn D 2 A. 3 sin x 2 0 sin x vô nghiệm (loại phương án A). 3 1 2 B. 2cos x 1 0 cos x x k2 k ¢ Có 1 nghiệm thuộc 0; . 2 3 1 C. 3 tan x 1 0 tan x x k k ¢ Có 1 nghiệm thuộc 0; . 3 6 x k2 1 4 D. 2 sin x 1 0 sin x k ¢ Có hai nghiệm thuộc 0; . 2 3 x k2 4 LƯU Ý: Để giải nhanh các bạn có thể biểu diễn nghiệm trên đường tròn lượng giác rồi so sánh để đưa ra đáp án một cách dễ dàng.
  68. 1 1 1 B. cos x C. tan x D. sin x 2 3 2 STUDY TIP Một số phương trình phải qua một vài bước biến đổi đưa về phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác. 7 Ví dụ 2. Tổng hai nghiệm dương liên tiếp nhỏ nhất của phương trình sin6 x cos6 x là: 16 5 7 A. , B. . C. . D. . 6 2 6 6 Lời giải Chọn B Ta có: sin6 x cos6 x sin2 x cos2 x sin4 x sin2 x cos2 x cos4 x 3 3 1 cos 4x 5 3cos 4x sin2 x cos2 x 3sin2 x cos2 x 1 sin2 2x 1 . 4 4 2 8 5 3cos 4x 7 1 2 cos 4x cos 4x cos 8 16 2 3 2 4x k2 x k 3 6 2 k ¢ 2 4x k2 x k 3 6 2 Suy ra phương trình có 2 nghiệm dương nhỏ nhất là x và x 1 6 2 3 Vậy x x 1 2 2 DẠNG 2.PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI (HOẶC PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2) ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Có dạng: at 2 bt c 0 với a,b,c ¡ ;a 0,t là một hàm số lượng giác. Phương pháp giải: - Bước 1: Đặt ẩn phụ, tìm điều kiện của ẩn phụ. - Bước 2: Giải phương trình ẩn phụ. - Bước 3: Từ nghiệm tìm được đưa về phương trình lượng giác cơ bản. Ví dụ 15. Các điểm A, A', B, B ' được biểu diễn trên đường tròn lượng giác thì các nghiệm của phương trình sin2 x 4sin x 3 0 là: A. sđ »AB .B. sđ .C. sđ ¼A .A ' D. sđ ¼A vàB sđ' . »AB ¼AB ' Lời giải Chọn C. Đặt sin t t  1;1x ¡ 2 2 t 1 Phương trình sin x 4sin x 3 0 t 4t 3 0 t 3(l) Với t 1 sinx 1 x k2 ;k ¢ 2 Vậy nghiệm của phương trình là sđ ¼AB '
  69. 3 Ví dụ 16. Nghiệm âm lớn nhất của phương trình 3cot x 3 là: sin2 x 5 2 A. .B. .C. . D. . 2 6 6 3 Lời giải Chọn A. Điều kiện: sinx 0 x k k ¢ Phương trình 3 1 cot2 x 3cot x 3 3 cot2 x 3cot x 0 x k cot x 0 2 k ¢ cot x 3 x k 6 Vậy nghiệm âm lớn nhất là 2 x x Ví dụ 17. Tổng các nghiệm thuộc khoảng 0;2018 của phương trình sin4 cos4 1 2sin x là: 2 2 A. 207046 .B. .C.2.0 6403 D. . 205761 204603 Lời giải Chọn B. 2 2 x 2 x 2 x 2 x Phương trình sin cos 2sin cos 1 2sin x 2 2 2 2 1 2 1 2 sinx 0 1 sin x 1 2sin x sin x 2sin x 0 x k k ¢ 2 2 sinx 4(VN) 2018 0 x 2018 0 kx 2018 0 k k 1,2,3, ,642 Vậy tổng các nghiệm cần tìm là: 642 642 1 S 2 3 642 1 2 3 642 206403 2 DẠNG 3. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SINX, COSX: a,b,c ¡ Có dạng a sin x bcos x c 1 trong đó 2 2 a b 0 Phương pháp giải: Chia 2 vế cho a2 b2 ta được: a b c 1 sinx cos x a2 b2 a2 b2 a2 b2 a cos a2 b2 c Đặt 1 sinx.cos cos x.sin b 2 2 sin a b a2 b2 c sin x 2 . Đây là phương trình lượng giác cơ bản. a2 b2 c + Phương trình sin x có nghiệm khi: a2 b2
  70. 2 c c 2 2 2 1 2 2 1 a b c a2 b2 a b a sin a2 b2 + Bạn có thể đặt: b cos a2 b2 c c 1 cos x.cos sin x.sin cos x a2 b2 a2 b2 Việc đặt thế nào thì tùy từng bài để được lời giải hợp lý nhất. Ví dụ 1. Phương trình msin x cos x 1 với m là tham số vô nghiệm khi: A. m 0; .B. m . C.¡ \ 0 .D. .m  m 0 Lời giải: Chọn C. + Ta đi tìm m để phương trình msin x cos x 1 có nghiệm rồi lấy phần bù 2 + Ta có: Phương trình msin x cos x 1 * có nghiệm m2 1 12 m2 0m ¡ Vậy phương trình * có nghiệm m ¡ suy ra phương trình msin x cos x 1 vô nghiệm khi m  Ví dụ 2. Nghiệm của phương trình sinx 3 cos x 1 là: x k2 6 A. k ¢ . B x k2 k ¢ 6 x k2 2 x k x k2 6 C. k ¢ .D. . k ¢ x k2 x k 3 2 Lời giải Chọn A. 1 3 1 Phương trình sinx cos x ( chia 2 vế cho a2 b2 1 3 2 ) 2 2 2 1 1 cos sinx sin cos x sin x sin x sin 3 3 2 3 2 3 6 x k2 x k2 3 6 6 k ¢ 5 x k2 x k2 3 6 2 Ví dụ 3. Gọi a,b lần lượt là nghiệm dương nhỏ nhất và nghiệm âm lớn nhất của phương trình cos x sin 2x 3 , ta có: 2cos2 x sinx 1 11 2 11 2 2 A. ab 0 .B. .C. ab .D. ab . ab 6 6 36 Lời giải: Chọn C. + Điều kiện: 2cos2 x sinx 1 0 2sin2 x sinx 1 0
  71. x k2 2 sinx 1 1 x k2 k ¢ sinx 6 2 5 x k2 6 + Phương trình cos x sin 2x 3 2cos2 x 1 sin x cos x sin 2x 3 cos 2x sinx 3 1 1 3 3 sinx cos x sin 2x 3 cos 2x sinx cos x sin 2x cos 2x 2 2 2 2 cos sinx sin cos x cos sin 2x sin cos 2x sin x sin 2x 6 6 3 3 6 3 x 2x k2 x k2 6 3 6 k ¢ x 2x k2 x 2k 2 6 3 6 3 Kết hợp điều kiện suy ra phương trình có các nghiệm x k2 k ¢ 6 11 11 2 Chọn k 1 a ;k 0 b a.b 6 6 36 3 Ví dụ 4. Phương trình 3sin 3x 3 cos9x 2cos x 4sin 3x có số nghiệm trên 0; là: 2 A. 2 .B. .C. .D. . 3 4 5 Lời giải: Chọn D. Phương trình 3sin 3x 4sin3 3x 3 cos9x 2cos x 1 3 sin 9x 3 cos9x 2cos x sin 9x cos9x cos x 2 2 sin sin 9x cos cos9x cos x cos 9x cos x 6 6 6 9x x k2 x k 6 48 4 k ¢ 9x x k2 x k 6 60 5 13  - TH1: x k . Chọn k 0;1 x ;   0; 48 4 48 48  2 13 5  - TH2: x k . Chọn k 0;1;2 x ; ;   0; 60 5 60 60 12  2 Vậy phương trình có 5 nghiệm thuộc 0; 2 DẠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP Là phương trình dạng f sin x;cosx 0 trong đó lũy thừa của sinx và cos x cùng bậc chẵn hoặc lẻ. Phương pháp giải: - Bước 1: Xét cos x 0 Kết luận nghiệm
  72. - Bước 2: Xét cos x 0, ta chia 2 vế của phương trình cho cosn x(n là bậc cao nhất) đưa về phương trình bậc cao của tanx. Ví dụ 1. Nghiệm của phương trình 2sin2 x 5sin x cos x cos2 x 2 1 là: 3 3 A. x arctan k k ¢ . B. x arctan k2 k ¢ . 5 5 x k x k2 2 2 C. k ¢ .D. . k ¢ 3 3 x arctan k x arctan k2 5 5 Lời giải: Chọn C. + Với cos x 0 sin2 x 1 . Thay vào phương trình 1 2 2 luôn đúng cos x 0 x k là nghiệm của 1 2 + Với cos x 0, chia 2 vế cho cos2 x ta được: 2 1 2 2 1 2 tan x 5tan x 1 2. 2 2 tan x 5tan x 1 2 1 tan x cos x 3 3 tan x x arctan x k k ¢ 5 5 x k 2 Kết luận: Nghiệm của phương trình 1 là k ¢ 3 x arctan k 5 LƯU Ý: - Khi nhìn các phương án trả lời của bài này bạn phải chia 2 vế cho cos2 x 0 để đưa về phương trình bậc 2 theo tan x. - Tuy nhiên đối với các phương án trả lời có nghiệm biểu diễn dạng khác. Bạn đọc có thể giải theo các cách sau: + Xét sinx 0 không thỏa mãn phương trình 1 + Với sinx 0 , chia 2 vế cho sin2x đưa về phương trình bậc 2 theocot x . Hoặc dùng công thức hạ bậc để đưa về phương trình bậc nhất với sin và cos: 1 cos 2x 1 1 cos 2x 1 2 5. sin 2x 2 2 2 2 5sin 2x 3cos 2x 3 (đây là phương trình bậc nhất đối với sin 2x ,cos 2x đã học trong phần trước) Hoặc 1 2sin2 x 5sin x cos x cos2 x 2 sin2 x cos2 x 5sin x cos x 3cos2 x 0 (đây là phương trình đẳng cấp bậc 2) Ví dụ 2. Tổng 2 nghiệm âm liên tiếp lớn nhất của phương trình 4sin3 x sin x cos x 0 bằng: 5 5 5 A. .B. .C. .D. . 2 2 4 Lời giải Chọn B. 2 sin x 1 Trường hợp 1: cos x 0 sin x 1 sin x 1 Với sin x 1 phương trình 3 0 (vô nghiệm).