›
›
›

Bài tập trắc nghiệm Nguyên hàm tích phân - Diện tích hình phẳng - Thể tích khối tròn xoay

docx 121 trang hoanvuK 10/01/2023 2640
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài tập trắc nghiệm Nguyên hàm tích phân - Diện tích hình phẳng - Thể tích khối tròn xoay", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docxbai_tap_trac_nghiem_nguyen_ham_tich_phan_dien_tich_hinh_phan.docx

Nội dung text: Bài tập trắc nghiệm Nguyên hàm tích phân - Diện tích hình phẳng - Thể tích khối tròn xoay

  1. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN- DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG- THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY VẬN DỤNG VÀ VẬN DỤNG CAO I. NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN Câu 1: [2D3-3] [ĐỀ SỞ BẮC GIANG 2018] Cho hàm số f x có đạo hàm trên đoạn 0;1 thỏa mãn 1 1 2 1 2 x e 1 f 1 0 và f x dx x 1 e f x dx . Tính tích phân I f x dx. 0 0 4 0 e e 1 A. I 2 e. B. I e 2. C. I . D. I . 2 2 Lời giải Chọn B. 1 Xét tích phân x 1 ex f x dx 0 u f x du f x dx Đặt x x dv x 1 e dx v xe 1 1 1 1 Nên x 1 ex f x dx f x .xex xex . f x dx xex . f x dx . 0 0 0 0 1 ex 1 Do đó xex . f x dx . Lại có (theo BĐT tích phân) 0 4 2 1 1 1 2 2 1 2 2 x 2 x 2 e 1 x 1 e x.e f x dx x e dx. f x dx xe f x dx . 0 0 0 4 0 4 Dấu " " xảy ra khi f x k.xex . 1 2 2 1 e Suy ra kx2 ex dx k 1 f x xex 0 4 Do đó f x dx xexdx 1 x ex C f 1 C 0 . 1 1 Vậy I f x dx 1 x exdx e 2 . 0 0 1
  2. 1 1 Câu 2:Cho hàm số y f x liên tục và thoả mãn f x 2 f 3x với x ;2 . Tính x 2 2 f x dx . 1 x 2 3 3 9 9 A. . B. . C. . D. . 2 2 2 2 Lời giải Chọn A 2 f x Đặt I dx 1 x 2 1 f 1 1 f x x Với x ;2 , f x 2 f 3x 2 3 . 2 x x x 1 2 2 f 2 f x x dx 2 dx 3dx (1) 1 x 1 x 1 2 2 2 1 1 1 1 Đặt t dt dx dt dx . x x2 t x 1 2 f 2 x f t 2 dx 2 dt 2I . 1 x 1 t 2 2 2 3 1 3I 3dx I . 1 2 2 1 Câu 3: [2D3-3] [Sở GD&ĐT Hà Tĩnh - Lần 1 - năm 2018] Cho ò f (x)dx = 2018 . Tính tích phân 0 p 4 ò f (sin 2x)cos 2xdx 0 A. 2018 .B. - 1009 . C. - 2018 .D. 1009 . Lời giải Chọn D Đặt t = sin 2x Þ dt = 2cos 2xdx p Đổi cận: x = 0 Þ t = 0; x = Þ t = 1 4 p 1 4 1 1 ò f (sin 2x)cos 2xdx = ò f (t)dt = .2018 = 1009 0 2 0 2 2
  3. Câu 4: [2D3-3] [Sở GD&ĐT Phú Thọ, lần 1 năm 2018] Biết F x ax2 bx c 2x 3 ( 20x2 30x 11 3 a,b,c ¢ ) là một nguyên hàm của hàm số f x trên khoảng ; . 2x 3 2 Tính T a b c. A. T 11. B. T 10 . C. T 9 . D. T 8. Lời giải Chọn A. 2 2 t 3 20x 30x 11 2 x f x . Đặt 2x 3 t 2x 3 t 2 2x 3 dx tdt 2 2 t 3 2 20 15 t 3 11 2 I f x dx t.dt t 5t 4 15t 2 11 dt t t 4 5t 2 11 C 2x 3 4x2 2x 5 C a 4;b 2;c 5 a b c 11 6 2x 4 dx 5 4 Câu 5: [2D3-3] [Sở GD&ĐT Phú Thọ, lần 1 năm 2018] Biết a bln c ln 0 2x 5 2x 4 8 3 3 (a,b,c ¤ ). Tính T a b c. A. T 3. B. T 5. C. T 4. D. T 7. Lời giải Chọn A. 6 2x 4 6 2x 4 4 t 2 dx d 2x 4 dt với t 2x 4 . 2 0 2x 5 2x 4 8 0 2x 4 5 2x 4 4 2 t 5t 4 4 5t 4 4 1 4 1 16 4 1 1 5 16 4 . 1 dt 1dt dt dt 2 ln ln 2 t 1 t 4 2 3 2 t 1 3 2 t 4 3 3 3 3 1 16 Suy ra a 2, b , c a b c 3 . 3 3 Câu 6: [2D3-3] Cho f (x) là một hàm số liên tục trên  thỏa mãn f x f x 2 2cos 2x . 3 2 Tính tích phân I f x dx . 3 2 A. I 3 .B. I 4 . C. I 6 . D. I 8 . 3
  4. Lời giải Chọn C. 3 3 2 0 2 Ta có I f x dx f x dx f x dx . 3 3 0 2 2 0 3 3 Xét f x dx Đặt t x dt dx ; Đổi cận: x t ; x 0 t 0 . 3 2 2 2 3 3 0 0 2 2 Suy ra f x dx f t dt f t dt f x dx . 3 3 0 0 2 2 3 3 2 2 Theo giả thiết ta có: f x f x 2 2cos 2x f x f x dx 2 2cos xdx 0 0 3 3 3 2 2 2 f x dx f x dx 2 sin x dx 0 0 0 3 3 2 0 2 f x dx f x dx 2 sin x dx 2 sin x dx 3 0 0 0 2 3 2 f x dx 6. 3 2 Câu 7:[SỞ GD VŨNG TÀU-LẦN 2-NĂM 2018] Hàm số f x liên tục trên 1;2018 và : 2017 2017 f (2018 x) f (x) x [1;2018] , f (x)dx 10 . Tính I x. f (x)dx . 1 1 A. I 10100. B. I 20170. C. I 20180. D. I 10090. Lời giải Chọn.D. Đặt t 2018 x dt dx . x 1 t 2017, x 2017 t 1 1 2017 I (2018 t )f (2018 t )dt (2018 t )f (t )dt 2017 1 4
  5. 2017 2017 2018 f (x )dx xf (x )dx 1 1 I 2018.10 I I 10090. Câu 8:[2D3-3] Hàm số f x liên tục trên 0; và : f ( x) f (x) x [0; ] , f (x)dx . Tính 0 2 I x. f (x)dx . 0 2 2 A. I . B. I . C. I . D. I . 2 2 4 4 Lời giải Chọn.D. Đặt t x dt dx . x 0 t , x t 0 0 I ( t )f ( t )dt ( t )f (t )dt 0 f (x )dx xf (x )dx 0 0 2 I . I I . 2 4 b Câu 9:[2D3-3] Hàm số f x liên tục trên a;b và : f (a b x) f (x) x [a;b] ; f (x)dx a b a b Tính I x. f (x)dx . a 2 2 a b a b a b a b A. I . B. I . C. I . D. I . 2 4 4 2 Lời giải Chọn.D. Đặt t a b x dt dx . x a t b, x b t a. a I (a b t )f (a b t )dt b b (a b t )f (t )dt a 5
  6. b b (a b) f (x )dx xf (x )dx a a 2 a b I (a b).(a b) I I . 2 y f x 1;2 Câu 10: [2D3-3] [Chuyên ĐH Vinh lần 2 – 2018] Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên   f 1 4 f x x. f x 2x3 3x2 f 2 thỏa mãn và . Tính giá trị . A. 5 . B. 20 . C. 10. D. 15. Lời giải Chọn B f x f x Cách 1: + x 1;2 : f x x. f x 2x3 3x2 2x 3. x2 x f x f x 1 2 2x 3 f x . 2x 3. x x x 1 f x 2 Vậy f x . dx 2x 3 dx x 3x C . x x + Vì f 1 4 C 0 . Do đó f x x3 3x2 f 2 20 . xf x f x Cách 2: Từ giả thiết f x xf x 2x3 3x2 2x 3 x2 f x 2 x 3x . x 2 2 2 f x f 2 f 1 2 dx x2 3x dx x 3x f 2 20 . 1 1 x 1 2 1 Nhận xét: Đặc điểm chung của các bài toán này là đi từ khai thác đạo hàm của một thương, tích các hàm hoặc đạo hàm của hàm hợp. Ta có thể nêu một số dạng tổng quát sau: 1) Cho trước các hàm g x ,u x ,v x có đạo hàm liên tục trên a;b, g x 0,x a;b và hàm f x có đạo hàm liên tục trên a;b thỏa mãn: f x g x f x g x u x v x u x v x . Khi đó, u b v b u a v a f x g x u x v x f b f a . g b g a 6
  7. 2) Cho trước các hàm g x ,u x có đạo hàm liên tục trên a;b, g x 0,x a;b và hàm f x có đạo hàm liên tục trên a;b thỏa mãn: f x g x f x g x u x g 2 x . f x Khi đó, . u x f b f a u b g b u a g a g x 3) Cho trước các hàm g x ,u x ,v x có đạo hàm liên tục trên a;b và hàm f x có đạo hàm liên tục trên a;b thỏa mãn: u x f x f u x v x g x g v x . Khi đó, f u x g v x f u b f u a g v b g v a . Câu 11: [2D3-3] Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần đều với vận tốc v1 t 7t m/s . Đi được 5 s , người lái xe phát hiện chướng ngại vật và phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần đều với gia tốc a 70 m/s2 . Tính quãng đường S m đi được của ô tô từ lúc bắt đầu chuyển bánh cho đến khi dừng hẳn. A. S 87,50 m . B. S 94,00 m . C. S 95,70 m . D. S 96,25 m . Lời giải Chọn D. Vận tốc ô tô tại thời điểm bắt đầu phanh là: v1 5 35 m / s . Vận tốc của chuyển động sau khi phanh là: v2 t 70t C . Do v2 0 35 C 35 v2 t 70t 35 . 1 Khi xe dừng hẳn tức là v t 0 70t 35 0 t . 2 2 Quãng đường S m đi được của ô tô từ lúc bắt đầu chuyển bánh cho đến khi dừng hẳn là: 1 5 2 S m 7t.dt 70t 35 dt 96,25 m . 0 0 2 Câu 12: [2D3-2] Giả sử 2x 1 ln xdx aln 2 b , a;b ¤ . Tính a b . 1 5 3 A. . B. 2 . C. 1 . D. . 2 2 Lời giải Chọn D Đặt 7
  8. 1 u ln x du dx x dv 2x 1 dx 2 v x x 2 2 2 2 2 2 2 x x x 1 2x 1 ln xdx x x ln x dx 2ln 2 x 2ln 2 nên a 2 , 1 x 2 2 1 1 1 1 b . 2 3 Vậy a b . 2 Câu 13: [2D3-3] [Chuyên Lê Hồng Phong - TP HCM - năm 2018] 1 x3 3x Biết dx a bln 2 c ln 3 với a,b,c là các số hữu tỉ , tính S 2a b2 c2. 2 0 x 3x 2 A. S 515 . B. S 164 . C. S 436 . D. S 9 . Lời giải Chọn A. 1 x3 3x 1 10x 6 1 4 14 Xét : I dx x 3 dx x 3 dx 2 0 x 3x 2 0 x 1 x 2 0 x 1 x 2 2 1 x 1 1 1 1 I 3x 4ln x 1 14ln x 2 3 4ln 2 14ln 3 14ln 2 0 0 0 2 0 2 5 a 2 5 2 2 I 18ln 2 14ln 3 b 18 S 2a b c 515 . 2 c 14 Câu 14:[2D3-3] [SGD Thanh Hóa- KSCL 14/4- Mã đề 101] Cho hàm số f x liên tục trên ¡ và thỏa 2 16 f x 1 f 4x mãn cot x. f sin2 x dx dx 1. Tính tích phân I dx. 1 x 1 x 4 8 3 5 A. I 3. B. I . C. I 2 . D. I . 2 2 Lời giải Chọn D. dt Đặt t sin2 x dt 2sin x cos xdx cot xdx 2t 8
  9. 2 1 dt 1 1 f x 1 f x 1 cot x. f sin2 x dx f t dx dx 2 1 2t 2 1 x 1 x 4 2 2 2 2tdt dx Đặt t x 2 x t 16 f x 4 f t 4 f x 4 f x 1 1 dx 2tdt 2 dx dx 2 1 x 1 t 1 x 1 x 2 Đặt t 4x dt 4dx 1 f 4x 4 f t dt 4 f x 1 f x 4 f x 5 I dx dx dx dx t 1 x 1 4 1 x 1 x 1 x 2 8 2 4 2 2 Phân tích: Dạng bài này là dạng bài toán tìm tích phân của hàm f x nào đó không biết, nhưng sẽ cho thêm điều kiện, mỗi 1 điều kiện là 1 đoạn trong cận tích phân cần tìm, yêu cầu là đưa các tích phân đã biết về giống dạng chưa biết. 2 e f ln x Câu 15: [2D3-3] Cho hàm số f x liên tục trên ¡ và thỏa mãn dx 1 và e x ln x 3 2 f x f cos x tan xdx 2 . Tính dx. 0 1 x 2 5 A. 3 . B. . C. 2 . D. 1. 2 Lời giải Chọn A. dx Đặt t ln x dt x 2 e f ln x 2 f t 2 f x 1 dx dt dx e x ln x 1 t 1 x Đặt t cos x dt sin xdx 1 3 sin x 2 f t 1 f x 2 f cos x dx dt dx 0 cos x 1 t 1 x 2 Do đó 9
  10. 2 f x 1 f x 2 f x dx dx dx 3 1 x 1 x 1 x 2 2 /4 Câu 16: [2D3-3] (THPT Gang Thép Thái Nguyên Lần 3 – 2018) Tính tích phân I ln(tan x 1)dx 0 a ta được kết quả là I ln 2 c với với a,b,c ¥ ,b 0,(a,b) 1 . Khi đó P abc nhận giá b trị A. 9.B. 8. C. 1.D. 0. Lời giải Chọn D Đặt x t , ta có 4 0 4 1 tant I ln tan( t) 1 dt ln 1 dt 4 0 1 tant 4 4 2 4 4 ln dt ln 2dt ln tant 1 dt 0 1 tant 0 0 ln 2 I 4 I ln 2 a 1,b 8,c 0 P 0 8 2 2 Câu 17:Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên 0; và f 0 0 , f x dx , 2 0 4 2 2 sin x. f x dx . Tính I f x dx ? 0 4 0 A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 3 . Lời giải Chọn B. 2 2 2 Ta có f x dx f x d f x . 0 0 4 2 2 2 sin x. f x dx f x d cos x cos x. f x 2 f x cos x dx 0 0 0 0 4 2 2 2 2 1 cos 2x 1 sin 2x Mặt khác ta tính được: cos xdx dx x 0 0 2 2 2 0 4 10
  11. 4 2 2 2 Vậy  f '(x)2 dx 2 cos x. f (x)dx cos2 xdx  f '(x) cos x2dx 0 0 0 0 0 Suy ra f x cos x f x sin x C . Do f 0 0 C 0 . 2 2 Vậy I f x dx sin xdx cos x 2 1. 0 0 0 Câu 18: [2D3-3] [THPT chuyên Phan Bội Châu, tỉnh Nghệ An, lần 3, năm 2018 - Câu 35] ln 2 1 Biết rằng dx= lna 2 bln 3 ln 5c . Trong đó a , b , c là các số nguyên. Khi đó x 0 2e 1 S a b c bằng bao nhiêu. A. S 4 . B. S 3. C. S 5. D. S 2 . Lời giải Chọn B ln 2 1 ln 2 ex Ta có dx= dx x x x 0 2e 1 0 e 2e 1 Đặt ex t dt=exdx Đổi cận: khi x 0 thì t 1, khi x ln 2 thì t 2 . ln 2 ex 2 1 2 2t 1 2t 2 1 2 Vậy dx dt= dt= dt x x 0 e 2e 1 1 t 2t 1 1 t 2t 1 1 t 2t 1 2 ln t ln 2t 1 ln 2 ln 5 ln1 ln 3 ln 2 ln 3 ln 5 1 1 Vậy S 3. Hướng 2. Phân tích x x ln 2 1 ln 2 2e 1 2e ln 2 2ex ln 2 dx dx 1 dx x ln 2ex 1 x x x 0 2e 1 0 2e 1 0 2e 1 0 ln 2 1 1 1 Câu 19: Biết rằng dx= ln 2a ln 2 3 . Trong đó a , b là các số nguyên. 2x 0 2e 1 2 b Khi đó S a 2b bằng bao nhiêu. A. S 2 . B. S 3. C. S 1 . D. S 0 . Lời giải 11
  12. Chọn B ln 2 1 ln 2 2e2x Ta có dx= dx 2x 2x 2x 0 2e 1 0 2e 2e 1 Đặt 2e2x 1 t 2e2x t 2 1 d 2e2x =d t 2 1 4e2xdx=2tdt Đổi cận: khi x 0 thì t 3 , khi x ln 2 thì t 3 . ln 2 2e2x 3 t Vậy dx dt 2x 2x 2 0 2e 2e 1 3 t t 1 3 1 1 1 1 3 dt ln t 1 ln t 1 3 2 3 t 1 t 1 2 1 1 1 1 ln 2 ln 4 ln 3 1 ln 3 1 ln 2 1 ln 2 3 2 2 2 2 Vậy S 3. 1 x2 x ex Câu 20:Biết rằng dx=a.e+bln e c . Trong đó a , b , c là các số nguyên. Khi đó x 0 x e S a 2b c bằng bao nhiêu. A. S 1. B. S 2 . C. S 1 . D. S 0 . Lời giải. Chọn B 1 x2 x ex 1 xex x 1 ex Ta có dx= dx x x 0 x e 0 xe 1 Đặt xex 1 t dt= x 1 exdx Đổi cận: khi x 0 thì t 1, khi x 1 thì t e 1. 1 2 x e 1 x x e t 1 e 1 Vậy dx= dt t ln t e ln e 1 x 1 0 x e 1 t Vậy S 2 . 12
  13. Câu 21: [THPT Lương Thế Vinh, Hà Nội, Lần 2 năm 2018] Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên 1; thỏa mãn f 1 1 và f x 3x2 2x 5 x 1; . Tìm số nguyên dương m lớn nhất sao cho min f x m với mọi hàm số y f x thỏa đề bài. x 3;10 A. m 15 . B. m 20 . C. m 25 . D. m 30 . Lời giải Chọn C. Do giả thiết cho một bất đẳng thức liên quan đến y f ' x nên ta sẽ lấy tích phân hai vế để được một bất đẳng thức liên quan đến y f x . Ta có t t f (x)dx (3x2 2x 5)dx f t f 1 t3 t 2 5t 3 t 1. 1 1 Suy ra f x x3 x2 5x 4 min f x min x3 x2 5x 4 25. x 3;10 x 3;10 Vậy m 25 . Câu 22:Cho các hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên 0; 1 thỏa mãn 1 3 f x xf x x2018 x 0; 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của f x dx .   0 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 2019.2020 2019.2021 2020.2021 2018.2020 Câu 23:[THPT Lương Thế Vinh, Hà Nội, Lần 2 năm 2018] Cho hàm số y f x có đạo hàm trên ¡ 7 3 2 2x thỏa mãn 3 f x .e f x x 1 0 và f 0 1. Tích phân x. f x dx bằng 2 f x 0 2 7 15 45 5 7 A. . B. . C. . D. 3 4 8 4 Lời giải Chọn C. 3 Phân tích: Nhận thấy e f x 3. f x . f 2 x nên ý tưởng là quy đồng chuyển vế để tích phân 2 vế 13
  14. 3 2 2x 3 2 Ta có: 3 f x .e f x x 1 0 3. f 2 x . f x .e f x 2x.ex 1 f 2 x 3 2 2 Lấy nguyên hàm 2 vế ta được: 3. f 2 x . f x .e f x dx 2x.ex 1dx ex 1d x2 1 3 2 e f x ex 1 C 0 Mặt khác: f 0 1 C 0 nên f 3 x x2 1 f x 3 x2 1 7 7 45 Tính: x. f x dx x.3 x2 1.dx . 0 0 8 1 2 1 Câu 24: Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 0;1 thỏa mãn f 1 0, f x dx và 0 11 1 1 1 x4 f x dx . Tích phân f x dx bằng 0 55 0 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. 7 7 55 11 Lời giải Chọn A. 1 1 5 1 5 1 4 x x 5 1 Ta có x f x dx f x f x dx x f x dx 5 5 11 0 0 0 0 1 1 1 1 1 5 2 1 2 5 5 2 5 2 mà x dx nên f x dx 2 x f x dx x dx 0 f x x dx 0 . 0 11 0 0 0 0 1 Suy ra f x x5 f x x6 C . 6 1 1 1 x6 1 1 Vì f 1 0 nên C . Vậy f x dx dx . 6 0 0 6 7 1 2 3 Câu 25: Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 0;1 thỏa mãn f 1 0, f x dx 2ln 2 0 2 1 f x 3 1 và dx 2ln 2 . Tích phân f x dx bằng 2 0 x 1 2 0 1 2ln 2 3 2ln 2 3 4ln2 1 ln 2 A. . B. . C. . D. 2 2 2 2 Lời giải 14
  15. Chọn A. 1 1 f x 1 1 1 1 1 Ta có 2 dx f x d 1 1 f x 1 f x dx x 1 x 1 x 1 0 x 1 0 0 0 1 1 3 Suy ra 1 f x dx 2ln 2 . 0 x 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 3 Mặt khác 1 dx 1 2 2 dx x 2ln x 1 2ln 2 . x 1 x 1 x 1 x 1 2 0 0 0 1 1 1 2 2 1 1 Do đó f x dx 2 1 f x dx 1 dx 0 0 0 x 1 0 x 1 2 3 1 f x 1 dx 0 . 0 x 1 1 f x 1 f x x ln x 1 C , vì f 1 0 nên C ln 2 1. x 1 1 1 1 Ta được f x dx x ln x 1 ln 2 1 dx ln 2 . 0 0 2 Câu 26: Xét hàm số f x liên tục trên 0;1 và thỏa mãn điều kiện 4x. f x2 3 f 1 x 1 x2 . Tích 1 phân I f x dx bằng: 0 A. I . B. I . C. I . D. I . 20 16 6 4 Lời giải: ChọnA. Vì f x liên tục trên 0;1 và 4x. f x2 3 f 1 x 1 x2 nên ta có 1 1 1 1 1 2 2 2 2 4x. f x 3 f 1 x dx 1 x dx 4x. f x dx 3 f 1 x dx 1 x dx 1 . 0 0 0 0 0 1 1 1 2 Mà 4x. f x2 dx 2 f x2 d x2 t x  2 f t dt 2I 0 0 0 1 1 1 và 3 f 1 x dx 3 f 1 x d 1 x u 1 x 3 f u du 3I 0 0 0 15
  16. 1 2 2 1 2 Đồng thời 1 x2 dx x sint 1 sin2 t.costdt cos2 tdt 1 cos2t dt . 0 0 0 2 0 4 Do đó, 1 2I 3I hay I . 4 20 Câu 27: Cho hàm số f (x) xác định, liên tục và có đạo hàm trên ¡ thỏa mãn f (x) 0,x ¡ và 3 f '(x) 2 f 2 (x) 0. Tính f (1) biết rằng f (0) 1. 1 2 3 4 A. . B. . C. . D. . 5 5 5 5 Lời giải Chọn C. Nhận xét: Từ giả thiết bài toán ta biến đổi về công thức đạo hàm và sử dụng định nghĩa tích phân. Phân tích: Từ giả thiết 3 f '(x) 2 f 2 (x) 0 và f (x) 0,x ¡ suy ra: 1 f '(x) 1 2 1 1 2 3 dx dx f (1) . 2 0 f (x) 0 3 f (1) f (0) 3 5 Câu 28: Cho hàm số f (x) xác định, liên tục và có đạo hàm trên (0; ) thỏa mãn f (x) xf '(x) 2x và f (1) 2 . Giá trị f (2) bằng: 5 e A. . B. 2. C. e. D. . 2 2 Lời giải Chọn A. Từ giả thiết f (x) xf '(x) 2x (xf (x))' 2x (xf (x))'dx 2xdx Suy ra xf (x) x2 C , thay x 1 vào hai vế ta được 1. f (1) 12 C 2 1 C C 1. x2 1 5 Khi đó xf (x) x2 1 f (x) . Vậy f (2) . x 2 Câu 29: Cho hàm số f (x) xác định, liên tục và có đạo hàm trên ¡ thỏa mãn f (x) f '(x) 2ex và f (0) 1. Giá trị f (2) bằng: A. e. B. ln 2 . C. e2. D. 1. 16
  17. Lời giải Chọn C. Từ f (x) f '(x) 2ex ex f (x) ex f '(x) 2e2x (ex f (x))' 2e2x Suy ra (ex f (x))'dx 2e2xdx ex f (x) e2x C . Thay x 0 vào hai vế ta được C 0. Suy ra f (x) ex . Vậy f (2) e2. f x ¡ \ 0; 1 f 1 2ln 2 Câu 30:Cho hàm số liên tục trên  thỏa mãn điều kiện và x x 1 f x f x x2 x f 2 a bln 3 . Giá trị , a,b ¤ .Tính a2 b2 . 25 9 5 13 A. . B. . C. . D. . 4 2 2 4 Lời giải Chọn B. x 1 x Ta có x x 1 f x f x x2 x f x f x x 1 x 1 2 x 1 x x f x . x 1 x 1 2 x 2 x Lấy tích phân từ 1 đến 2 hai vế ta được f x dx dx 1 x 1 1 x 1 2 x 2 2 1 f x x ln x 1 f 2 f 1 2 ln 3 1 ln 2 1 x 1 1 3 2 2 3 3 3 3 f 2 ln 2 1 ln 3 ln 2 f 2 ln 3 . Suy ra a và b . 3 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 9 Vậy a b . 2 2 2 2 1 1 1 a a Câu 31: Biết 3 x 2 3 dx 3 c , với a,b,c nguyên dương, tối giản và c a . Tính 2 8 11 1 x x x b b S a b c . A. S 51. B. S 67 . C. S 39 . D. S 75 . Lời giải Chọn B 2 1 1 1 2 1 2 Ta có I 3 x 2 3 dx 3 x 1 dx . 2 8 11 2 3 1 x x x 1 x x 17
  18. 7 3 1 2 4 21 Đặt t 3 x 3t 2dt 1 dx nên I 3t3dt 3 14 . 2 3 x x 0 32 Suy ra S 67 . Câu 32:[Sở Bắc Ninh Lần 2-2018] Cho hàm số f x liên tục và có đạo hàm tại mọi x 0; đồng thời thỏa mãn điều kiện: 3 2 f x x sin x f x cos x và f x sin xdx 4 . Khi đó, f nằm trong khoảng nào? 2 A. 6;7 . B. 5;6 . C. 12;13 . D. 11;12 . Lời giải Chọn B Từ giả thiết: f x x sin x f x cos x f x xsinx x f x cos x f x .x x . f x xsin x cos x f x .x x . f x (cos x) x x cos x (*). f x .x x . f x (cos x) x x cos x Vì x 0; , ta chia 2 vế của (*) cho x2 ta được x2 x2 f x cos x f x cos x c f x cos x cx . x x x x 3 2 Mặt khác lại có f x sin xdx 4 . 2 3 3 3 3 2 2 2 2 Xét f x sin xdx cos xsin x c xsin x dx cos x d cos x c xsin x dx 2 2 2 2 3 2 2 3 cos x 2 c x cos x sin x 2c . 2 2 2 3 2 Mà f x sin xdx 4 2c 4 c 2 f x cos x 2x . 2 Ta có: f 1 2 5,28 . Tổng quát: Gặp những bài toán mà giả thiết cho dạng a x . f x b x . f x g x 1 Ta sẽ nhân một lượng thích hợp để đưa 1 về dạng u x . f x u x . f x h x 2 18
  19. u (x) a x u x Với , kết hợp với giả thiết ta tìm được u(x) suy ra biểu thức nhân thêm là . u(x) b x b x Khi có 2 ta sẽ tìm được f x . Câu 33: Cho hàm số y f x có đạo hàm và liên tục trên ¡ thỏa mãn 2 f x 2xf x 2x.e x và f 0 1. Tính f 1 . 1 2 2 A. e .B. .C. .D. . e e e Câu 34: Cho hàm số f x có đạo hàm trên ¡ thỏa mãn x 2 f x x 1 f x ex và 1 f 0 . Tính f 2 . 2 e e e2 e2 A. f 2 . B. f 2 . C. f 2 . D. f 2 . 3 6 3 6 2 x3 Câu 35:Biết dx a 5 b 2 c, với a,b,c là các số hữu tỷ. Tính P a b c. 2 1 x 1 1 5 7 5 A. P B. P C. P D. P 2 2 2 2 Lời giải Chọn C. 2 3 2 2 x 1 3 1 5 2 3 Ta có dx x x2 1 1 dx x2 1 x2 5 2 . 2 1 x 1 1 1 3 2 1 3 3 2 5 2 3 5 Vậy a ,b ;c P . 3 3 2 2 3 ln sin x 3 3 Câu 36: Cho tích phân I dx a 3 ln ln 2 a,b,c ¢ . Tính giá trị của biểu thức 2 cos x 2 b c 6 S a b c. A. 3 B. 2 C. 1 D. 1 Lời giải Chọn B. u ln sin x dx cos x du dx Đặt 1 sin x v 2 cos x v tan x 19
  20. 3 ln sin x 3 3 3 3 1 Suy ra dx tan x.ln sin x dx 3 ln ln 2 cos x 2 3 2 6 6 6 6 3 3 3 ln ln 2 a 1;b 3;c 6 2 3 6 Do đó S a b c 2 2 2 1 Câu 37: Cho tích phân I 2x 1 .cos2 xdx a,b,c ¢ . Tính giá trị của biểu 0 a b c thức S a b c. A. 1 B. 2 C. 2 D. 1 Lời giải Chọn C. 2 2 2 1 1 x 1 1 2 Ta có I x x cos 2x cos 2x dx x sin 2x x cos 2xdx 0 2 2 2 2 4 0 0 2 J 8 4 du dx u x Đặt 1 dv cos 2xdx v sin 2x 2 2 1 2 1 1 2 1 Suy ra J xsin 2x sin 2xdx cos 2x 2 2 0 4 2 0 0 2 1 Do đó I a 8;b 4;c 2 S 2 8 4 2 4 Câu 38: Cho tích phân I x tan2 xdx a 2 b c ln 2 a,b,c ¤ . Tính giá trị của biểu thức 0 S a b c. 9 7 5 1 A. B. C. D. 32 31 16 32 Lời giải Chọn C. 4 1 2 4 x Ta có I x 1 dx dx 2 2 0 cos x 16 0 cos x 4 x Đặt J dx 2 0 cos x 20
  21. u x du dx Đặt 1 dv dx v tan xdx cos2 x 4 4 4 2 Suy ra J x tan x tan xdx ln cos x ln 0 4 4 2 0 0 2 1 1 1 1 5 Vậy I ln 2 S 16 4 2 16 4 2 16 2 Câu 39: Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên ¡ và thỏa mãn f 2 1, f 2x 4 dx 1. 1 0 Tính I x. f x dx . 2 A. I 1. B. I 0 . C. I 4 . D. I 4 . Câu 40: [THPT Chuyên Hùng Vương Phú Thọ Lần 4 - Năm 2017 - 2018] Cho hàm số y f x xác 2 2 2 2 định trên 0; thỏa mãn f x 2 2. f x sin x dx . Tính f x dx . 2 0 4 2 0 A. . B. 0 . C. 1. D. . 4 2 Lời giải ChọnB. 2 2 2 2 1 2 +) Ta có 2 sin x dx 1 cos 2x dx x sin 2x . 4 2 2 2 2 0 0 0 +) Từ đó 2 2 2 f x 2 2. f x .sin x dx . 0 4 2 2 2 2 2 2 2 f x 2 2. f x .sin x dx 2sin x dx 0 4 0 4 2 2 2 2 f x 2 sin x dx 0. 0 4 2 2 2 Do f x 2 sin x 0, x 0; nên f x 2 sin x dx 0 . 4 2 0 4 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi f x 2 sin x . 4 21
  22. 2 2 2 +) Vậy f x dx 2 sin x dx 2 cos x 0 . 0 0 4 4 0 Nhận xét: để đảm bảo tính khả tích, ta cần thêm điều kiện “ y f x liên tục trên 0; ” ở đề 2 bài. Khi đó điều kiện “xác định” không cần nữa. 1 9 1 e2 2 x Câu 41: Cho hàm số y f x liên tục trên 0;1 thỏa mãn f x 6. f x .e dx . 0 2 1 Tính x 1 f x dx . 0 A. .e 1 B. . 2e 5 C. . e D. . 3e Lời giải ChọnD. +) Ta có 1 9 1 e2 2 x f x 6. f x .e dx 0 2 1 1 9 1 e2 1 2 x 2x 2x f x 6. f x .e dx 9e dx 9e dx 0 0 2 0 1 x 2 f x 3e 0 0 f x 3ex . 1 1 1 +) Vậy x 1 f x dx 3 x 1 exdx 3xex 3e . 0 0 0 1 1 Câu 42: Cho hàm số y f x liên tục trên ; thỏa mãn 2 2 1 1 2 2 2 109 f x f x 2. f x . 3 x dx . Tính dx . 2 1 12 x 1 0 2 2 5 7 8 A. .l n B. . ln C. . ln D. . ln 9 9 9 9 Lời giải ChọnA. +) Ta có 1 2 2 109 f x 2. f x . 3 x dx 1 12 2 1 1 1 2 2 2 2 2 109 2 f x 2. f x . 3 x dx 3 x dx 3 x dx 1 1 12 1 2 2 2 22
  23. 1 2 2 f x 3 x dx 0 1 2 f x 3 x. 1 1 1 2 f x 2 3 x 2 1 2 1 2 +) Vậy dx dx dx ln x 1 2ln x 1 2 ln . 2 2 0 0 x 1 0 x 1 0 x 1 x 1 9 é ù Câu 43: Cho hàm số f (x) liên tục trên đoạn ë0;1û và thỏa mãn điều kiện 1 4x. f (x2 )+ 3. f (1- x) = 1- x2 . Tích phân I = ò f (x)dx bằng. 0 p A. .IB. I . C. I = .D. . I 4 6 20 16 Lời giải Chọn C 1 1 1 Lấy tích phân hai vế ta có: ò 4x. f (x2 )dx+ò 3 f (1- x)dx = ò 1- x2 dx 0 0 0 1 1 1 Û 2ò f (x2 )d(x2 ) - 3ò f (1- x)d(1-x) = ò 1- x2 dx 0 0 0 1 1 p Û 2ò f (t)d(t) + 3ò f (u)d(u) = 0 0 4 1 p 1 p Û 5ò f (x)d(x) = Þ ò f (x)d(x) = 0 4 0 20 Câu 44: [ THPT chuyên Quang Trung, Bình Phước, lần 4, năm 2018 - Câu 47] 1 1 a2 ln 2 bc ln 3 c Cho x ln x 2 dx , với a,b,c ¥ . Tính T a b c . 0 x 2 4 A. T 13 . B. .T 15 C. . T 17D. . T 11 Lời giải. Chọn A. Phân tích: Biểu thức trong tích phân có tổng của hàm logarit và hàm phân thức nên ta tách thành 2 tích phân dạng thường gặp. Một là tích phân của hàm đa thức và hàm logarit ta dùng tích phân từng phần, một là tích phân của hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất cơ bản. 1 1 1 1 x Ta có I x ln x 2 dx x ln x 2 dx dx 0 x 2 0 0 x 2 23
  24. 1 1 1 2 2 ln x 2 d x 2 1 dx 0 2 0 x 2 2 1 1 2 x 4 x 4 1 1 ln x 2 . dx x 2ln x 2 0 2 0 0 2 x 2 1 3 x2 7 7 42 ln 2 2.7ln 3 7 ln 3 2ln 2 x 1 2ln 3 2ln 2 ln 3 4ln 2 . 2 4 2 4 4 0 Ta có a 4 , b 2 , c 7 . Vậy T a b c 4 2 7 13 . 3 1 abc ln 2 bln 5 c Câu 45: Cho I x ln x 1 dx , với a,b,c ¥ . Tính 2 0 x 1 4 T a b c . A. .T 13 B. T 15 . C. T 10 . D. .T 11 Lời giải. Chọn C. 3 1 3 3 x Ta có I x ln x 1 dx x ln x 1 dx dx 2 2 0 x 1 0 0 x 1 2 3 3 x2 1 1 3 d x 1 x2 1 3 x 1 1 3 ln x 1 d ln x 1 dx ln x2 1 2 0 2 2 0 x 1 2 0 0 2 2 0 3 1 5.2.3ln 2 2ln 5 3 4ln 4 ln10 . 4 2 4 Vậy T a b c 10 . 1 1 abln 2 bc ln 3 c Câu 46: ChoI x ln x 2 dx , với a,b,c ¥ . Tính T abc . 2 0 x 1 4 A. T 18 . B. .T 16 C. . T 18D. . T 16 Lời giải. Chọn A. 1 1 1 1 x Ta có I x ln x 2 dx x ln x 2 dx dx 2 2 0 x 1 0 0 x 1 2 1 1 x2 4 1 1 d x 1 x2 4 1 x2 4 1 1 1 ln x 2 d ln x 2 . dx ln x2 1 2 0 2 2 0 x 1 2 0 0 2 x 2 2 0 3 3 1 3.2ln 2 2. 3 ln 3 3 ln 3 2ln 2 ln 2 2 4 2 4 Vậy T a.b.c 3.2. 3 18 . Câu 47: Cho f (x) là hàm liên tục và a 0 . Giả sử rằng với mọi x 0;a , ta có f (x) 0 và a dx f x f a x 1. Tính được kết quả bằng: 0 1 f (x) 24
  25. a a A. . B. . 2a C. a ln a 1 . D. . 3 2 Lời giải Chọn D. a dx a f (a x) Ta có: .I dx 1 f (a x) 1 0 1 0 f (a x) Đặt: a x t thì dx dt . Đổi cận 0 f (t) a f (x) Ta được: .I dt dx a f (t) 1 0 f (x) 1 a dx a f (x)dx a 1 f (x) dx a a Do đó: I I + = = dx a . Vậy: .I 0 1 f (x) 0 1 f (x) 0 1 f (x) 0 2 4 Câu 48: Cho hàm số f x liên tục trên ¡ và 3 f x 2 f x tan2 x . Tính f x dx . 4 A. .1 B. . 1 C. 1 . D. 2 . 2 2 4 2 Lời giải Chọn D. 3 f x 2 f x tan2 x 1 Thay x x. 1 3 f x 2 f x tan2 x tan2 x 2 1 .2 2 .3 5tan2 x 5 f x f x tan2 x 4 4 4 4 2 2 2 I f x dx tan x dx 2 tan x dx 2 1+tan x 1 dx 0 0 4 4 I 2 tan x x 4 2 . 0 2 25
  26. Câu 49: (Sở GD & ĐT Đồng Tháp 2018) Cho hàm số f x có đạo hàm và liên tục trên 0;1 và thỏa 1 1 mãn x f x 2 dx f 1 . Giá trị của I f x dx bằng 0 0 A. 1 . B. 2 . C. 1. D. . 2 Lời giải Chọn C u x du dx Đặt dv f x 2 dx v f x 2x 1 1 1 Khi đó f 1 x f x 2 dx x f x 2x f x 2x dx f 1 2 I 1 0 0 0 Suy ra I 1 . 1 Câu 50: Cho hàm số f x có đạo hàm và liên tục trên 0;1 và thỏa mãn x f x 4 dx f 1 . Giá trị 0 1 của I f x dx bằng 0 A. 0 . B. 2. C. . 1 D. . 2 Lời giải Chọn B u x du dx Đặt dv f x 4 dx v f x 4x 1 1 1 Khi đó f 1 x f x 4 dx x f x 4x f x 4x dx f 1 4 I 2 0 0 0 Suy ra I 2 . 1 Câu 51: Cho hàm số y f x liên tục trên ¡ thỏa mãn x 1 f x dx 10 và 2 f 1 f 0 2 . 0 1 Tính I f x dx 0 A. I 12. B. I 8. C. I 12. D. I 8. Lời giải 26
  27. Chọn D u x 1 du dx Đặt dv f x dx v f x 1 1 1 Khi đó 10 x 1 f x dx x 1 f x f x dx 2 f 1 f 0 I 0 0 0 Suy ra I 8 . 2 Câu 52: Biết rằng hàm số y f x liên tục trên ¡ thỏa mãn f 2 16; f x dx 4 . Tính 0 1 I xf 2x dx 0 A. I 13. B. I 12. C. I 20. D. I 7. Lời giải Chọn D du dx u x Đặt 1 dv f 2x dx v f 2x 2 1 1 1 1 1 1 1 2 Khi đó I xf 2x dx xf 2x f 2x dx f 2 f x dx 8 1 7 0 2 0 2 0 2 4 0 Suy ra I 7. Câu 53: Cho hàm số f (x) xác định, liên tục và có đạo hàm trên ¡ thỏa mãn x2 1 f (x) 2xf (x) xex và f (0) 1 . Giá trị f (1) bằng: A. e .B. 1. C lD n 2 0 Lời giải Chọn B. Từ giả thiết x2 1 f (x) 2xf (x) xex x2 1 f (x) xex Suy ra 1 1 x2 1 f (x) dx xexdx . 0 0 27
  28. 1 1 1 1 x2 1 f (x) xdex 2 f (1) f (0) xex exdx 0 0 0 0 1 2 f (1) f (0) e ex f (1) 1. 0 Câu 54: Cho hàm số f x liên tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn điều kiện f x 2 f 1 x 3x2 6x , 1 x 0;1. Tính tích phân I f 1 x2 dx . 0 4 2 2 A. .I B. I 1. C. I . D. .I 15 15 15 Lời giải Chọn C. Đặt t 1 x ,x 0;1 thì t 0;1 . Ta có f x 2 f 1 x 3x2 6x f x 2 f 1 x 3 x 1 2 3 f 1 t 2 f t 3t 2 3 2 f x f 1 x 3x2 3 . 2 2 f x 2 f 1 x 3x 6x f x 2 f 1 x 3x 6x Xét hệ phương trình: 2 2 2 f x f 1 x 3x 3 4 f x 2 f 1 x 6x 6 3 f x 3x2 6x 6 f x x 1 2 3, x 0;1 . 2 Khi đó f 1 x2 2 x2 3 x4 4x2 1 . 1 1 1 5 3 2 4 2 x 4x 2 Suy ra I f 1 x dx x 4x 1 dx x . 5 3 15 0 0 0 Phân tích: + Bước 1: Từ f x 2 f 1 x 3x2 6x ta giải phương trình hàm tìm hàm số f x . 1 + Bước 2: Xác định trực tiếp hàm f 1 x2 rồi tính I f 1 x2 dx . 0 Câu 55: [Chuyên Hùng Vương Bình Dương,thi lần 5,năm 2018]Cho hàm số y f x liên x 1 e 1 tục với mọi x 1 thỏa mãn f x 3, x 1 . Tính I f x dx . x 1 2 A. .I 4e 1 B. I e 2. C. I 4e 2. D. .I e 3 Lời giải x 1 t 1 t 1 2 2 Đặt t xt t x 1 x , suy ra f t 3 4 hay f (x) 4 x 1 t 1 t 1 t 1 x 1 28
  29. e 1 2 e 1 Ta có I 4 dx 4x 2ln x 1 4e 2 . 2 2 x 1 1 Câu 56: Cho hàm số y f x liên tục với mọi x 0 thỏa mãn f x 2 f 3x, x 0 . x 2 f x Tính I dx . 1 x 2 3 9 1 4 A. I . B. .I C. . I D. . I 2 2 2 3 Lời giải 2 Tương tự ta xác định được f x x . x 2 2 f x 2 2 2 3 Suy ra I dx 1 2 dx x . 1 1 x 1 x x 2 2 2 2 1 2 Câu 57: [Đặng Thúc Hứa – Lần 2 – 2018] Cho f 2x 1 dx 12 và f sin2 x sin 2xdx 3 . Tính 0 0 3 f x dx . 0 A. .2 6 B. 22 . C. 27 . D. .15 Lời giải Chọn C. dt + Đặt: 2x 1 t dx . 2 x 0 t 1 1 1 3 3 Với . Do đó: . f 2x 1 dx f t dt f x dx 24 x 1 t 3 0 2 1 1 + Đặt: sin2 x u 2sin xcos xdx du hay sin 2xdx du . x 0 u 0 2 1 1 2 Với . Do đó: f sin x sin 2xdx f u du f x dx 3 . x u 1 2 0 0 0 3 1 3 Vậy f x dx f x dx f x dx 27 . 0 0 1 5 2x 1 3 Câu 58: Biết I dx a bln 2 c ln , a, b, c Z . Khi đó, giá trị P a2 ab 2c 1 2x 3 2x 1 1 5 A. 10. B. .8 C. . 9 D. . 0 29
  30. Lời giải Chọn A. Ta có 2x 3 2x 1 1 2x 1 3 2x 1 2 Đặt t 2x 1 t 2 2x 1 tdt dx Đổi cận x 1 t 1; x 5 t 3 Khi đó 3 3 t 2 3 3t 2 3 1 4 I 2 dt 1 dt 1 dt t ln t 1 4ln t 2 t 3t 2 t 1 t 2 t 1 t 2 1 1 1 1 3 3 ln 4 4ln 5 1 ln 2 4ln 3 2 ln 2 4ln a 2, b 1, c 4 5 P a2 ab 2c 10 4 2x 1dx 5 a bln 2 c ln a,b,c ¢ 2x 3 2x 1 3 3 Câu 59: Biết 0 . Tính T 2a b c . A. .T 4 B. T 2 .C. T 1. D. .T 3 Lời giải Chọn C 4 2x 1dx 4 2x 1dx 4 2 2x 1 1 2x 1 2 dx I 0 2x 3 2x 1 3 0 2x 1 1 2x 1 2 0 2x 1 1 2x 1 2 4 2dx 4 dx . 0 2x 1 2 0 2x 1 1 Đặt u 2x 1 udu dx . Với x 0 u 1 , với x 4 u 3 . .3 2udu .3 udu .3 4 .3 1 Suy ra I 2 du 1 du 1 u 2 1 u 1 1 u 2 1 u 1 3 5 u 4ln u 2 ln u 1 2 4ln ln 2 1 3 a 2 , b 1 , c 1 T 2.1 1 4 1 . 30
  31. 2 dx Câu 60: Biết a b c với a , b , c là các số nguyên dương. Tính 1 x x 1 x 1 x P a b c . A. .P 44 B. . P C.42 P 46 .D. P 48 . Lời giải Chọn D 2 dx 2 dx Đặt I . 1 x x 1 x 1 x 1 x x 1 x x 1 x 1 x dx dt Đặt t x x 1 dt dx 2 . 2 x x 1 x x 1 t Khi x 1 thì t 2 1 , khi x 2 thì t 3 2 . 2 dx 3 2 dt 1 3 2 1 1 2 I 2 2 2 4 2 2 3 2 t t 3 2 2 1 1 x x 1 x x 1 2 1 2 1 32 12 4 a 32 , b 12 , c 4 . Vậy P a b c 48 . f x g x 1;4 Câu 61: Cho hai hàm và có đạo hàm trên đoạn   và thỏa mãn hệ thức f 1 g 1 4 4 . Tính I f x g x dx . g x x. f ' x ; f x x.g ' x 1 A. 8ln 2 . B. .3 ln 2 C. . 6ln 2 D. . 4ln 2 Lời giải Chọn A Ta có f (x) g(x) x f '(x) g '(x)  f (x) g(x)dx x f '(x) g '(x)dx . C x f (x) g(x)  f (x) g(x)dx x f (x) g(x) C f (x) g(x) x Vì f (1) g(1) C C 4 4 4 4 I  f (x) g(x)dx dx=8ln2 . 1 1 x Câu 62: [2D3-3] [THPT Chuyên Trần Phú, Hải Phòng, lần 2, 2018] Biết 2 x dx a b 2 c 35 , với a, b, c ¤ . Tính P a 2b c 7 . 2 1 3x 9x 1 1 86 67 A. . B. . C. . 2 D. . 9 27 27 31
  32. Lời giải Chọn A. 2 2 x 2 x 3x 9x 1 2 I dx dx 3x2 x 9x2 1 dx 2 2 2 1 3x 9x 1 1 3x 9x 1 3x 9x 1 1 2 2 2 1 2 3 1 16 35 3x2dx x 9x2 1dx 7 . . 9x2 1 7 35 35 16 2 7 2 35 . 1 1 18 3 1 27 27 27 16 35 1 Do đó a 7, b , c a 2b c 7 . 27 27 9 2 1 Câu 63: Biết dx a b c , với a, b, c ¥ *. Tính P a b c . 1 x 1 x x x 1 A. .2 4 B. . 12 C. 18 . D. 46 . 2 Câu 64: Cho biết ln 9 x2 dx a ln 5 bln 2 c , với a,b,c ¢ . Tính P a b c . 1 A. S 34. B. S 13. C. S 18. D. S 26. 2 4 f x f 2 16 x Câu 65: Cho hàm số liên tục trên ¡ và , f x dx 4 . Tính I xf dx. 0 0 2 A. I 12. B. C. I 11 D.2. I 28. I 144. Lời giải Chọn B x x Đăt u x , dv f dx du dx , v 2 f 2 2 4 2 x 4 x Suy ra I 2xf 2 f dx 8 f 2 4 f t dt 112. 2 2 0 0 0 1 dx 8 2 a b a x 2 x 1 3 3 * Câu 66: Cho 0 , a,b  . Tính a 2b A . a 2b 7 . B. a 2b 8 . C. a 2b 1 . D a 2b 5 Lời giải Chọn B. Theo giả thiết ta có: 32
  33. 1 dx 1 2 3 3 1 8 2 x 2 x 1 dx x 2 2 x 1 2 2 3 2 . 0 x 2 x 1 0 3 0 3 3 Do đó a 2;b 3 nên a 2b 8 . Câu 67: Cho hàm số y f x 0 xác định, có đạo hàm trên đoạn 0;1 và thỏa mãn: x 1 g x 1 2018 f t dt, g x f 2 x . Tính g x dx. 0 0 1011 1009 2019 A. . B. . C. . D. 505. 2 2 2 Lời giải Chọn A. Ta có g 0 1 x g x 1 2018 f t dt 0 g ' x t g ' x t g ' x 2018 f x 2018 g x 2018 dx 2018 dx. g x 0 g x 0 1 1011 2 g t 1 2018t g t 1009t 1 g t dt . 0 2 Câu 68: Cho hai hàm f x và g x có đạo hàm trên đoạn 1;4 và thỏa mãn hệ thức hệ thức sau với mọi x 1;4 f 1 2g 1 2 4 1 1 2 1 . Tính I  f (x).g(x)dx . f ' x . ; g ' x . 1 x x g(x) x x f (x) A. 4ln 2 . B. 4 . C. .2 ln 2 D. . 2 Lời giải Chọn B. 1 2 Từ giả thiết ta có f '(x).g(x) và g '(x). f (x) , suy ra x x x x 1 1 f '(x).g(x) g '(x). f (x) , hay  f (x).g(x) . x x x x 1 2 Do đó f x .g x dx C . Lại có f 1 .g 1 2.1 2 nên C 0 . x x x 33
  34. 4 4 2 I  f (x).g(x)dx dx=4 . 1 1 x Câu 69: [Chuyên Ngoại Ngữ - Hà Nội - 2018] Cho F x là một nguyên hàm của hàm số f (x) 1 x 1 x trên tập ¡ và thảo mãn F 1 3 . Tính tổng T F 0 F 2 F 3 . A. .8 B. 12. C. 14. D. .10 Lời giải Chọn C 2 khi x 1 Ta có f x 2x khi 1 x 1 . 2 khi x 1 2x m khi x 1 2 Hàm f x có nguyên hàm là F x x n khi 1 x 1 . 2x p khi x 1 Vì F 1 3 nên m 1 . Hàm F x liên tục tại x 1 nên suy ra n 2 . Hàm F x liên tục tại x 1 nên suy ra p 1 . Vậy ta có T F 0 F 2 F 3 2 5 7 14 . 1 Câu 70: Cho hàm số f x xác định trên ¡ \ 1;1 và thỏa mãn f x , f 3 f 3 0 và x2 1 1 1 f f 2 . Tính giá trị của biểu thức P f 2 f 0 f 4 . 2 2 9 6 1 9 1 6 A. .PB. ln 1 P 1 ln . C. P 1 ln .D. . P ln 5 5 2 5 2 5 Lời giải Chọn C. Ta có hàm số xác định trên các khoảng ; 1  1;1  1; . 34
  35. 1 x 1 ln C x 1 2 x 1 1 1 x 1 Khi đó f x ln C2 1 x 1 . 2 x 1 1 x 1 ln C3 x 1 2 x 1 1 1  Dễ thấy 3 ; 1 ; ;0;  1;1 ; 3;4 1; . 2 2 1 1 1 1 1 Nên f 3 ln 2 C1 ; f ln 3 C2 ; f 0 C2 ; f ln 3 C2 ; 2 2 2 2 2 1 1 3 f 3 ln 2 C và f 4 ln C . 2 3 2 5 3 1 3 1 3 Ta có P f 0 f 4 C ln C ln C C . 2 2 5 3 2 5 2 3 1 1 1 1 Mặt khác f f 2 ln 3 C2 ln 3 C2 2 C2 1 . 2 2 2 2 1 1 Và f 3 f 3 0 ln 2 C ln 2 C 0 C C 0 . 2 1 2 3 1 3 1 1 3 1 9 P f 2 f 0 f 4 ln 3 C C ln C 1 ln . 2 1 2 2 5 3 2 5 x2 Câu 71: Cho hàm số y f x liên tục trên 0; và f t dt x.sin x . Tính f 4 0  1 A. f .B. f .C. .D. . f f 4 2 4 2 Lời giải Chọn B. Ta có f t dt F t F t f t 2 x x2 f t dt x.sin x F t x.sin x 0 0 F x2 F 0 x.sin x F x2 .2x sin x x.cos x f x2 .2x sin x x.cos x 35
  36. f 4 2 2 sin x cos x Câu 72: [HSG,Bắc Giang, 2018] Tính tích phân I dx với a b 0 và a2 b2 . 2 2 2 2 0 a cos x b sin x 1 2 2 ab A. I . B. I . C. I . D. . a b a b a b a b Lời giải Chọn A. a 0 2 2 a b Do ab 0 và a b . b 0 a b 1 sin 2x 2 2 2 sin 2x Ta có I 2 dx dx . 2 2 2 2 2 2 0 a2 b2 a2 b2 cos 2x 0 a b a b cos 2x 2 2 2 2 2 2 2 tdt Đặt t a b a b cos 2x 2tdt 2 a b sin 2xdx 2 2 sin 2xdx . a b Đổi cận x 0 t 2a2 2 a , x t 2b2 2 b . 2 t 2 b 2 b 2 2 sin 2x 2 2 2 2 Khi đó I dx a b dt dt 2 2 2 2 2 2 t 2 a2 b2 0 a b a b cos 2x 2 a 2 a 2 1 2 b 2 a . 2 2 2 a b a b 2 Câu 73: Tính tích phân I sin sin x nx dx với n ¡ . 0 1 A. I 0 . B. I 2 . C. I 1 . D. . 2 Lời giải Chọn A. b Xét tích phân f a b x dx a Đặt t a b x dt dx b b b Đổi cận x a t b , x b t a . Khi đó f a b x dx f t dt f x dx a a a 2 2 2 Ta có I sin sin x nx dx sin sin 2 x n 2 x dx sin sin x nx dx 0 0 0 36
  37. 2 sin sin x nx dx I . 0 Do I I I 0 2 2 Câu 74: Tính tích phân cos mx cos nx dx với m , n ¥ và m n . 1 A. I 0 . B. I 2 . C. I 1 . D. . 2 Lời giải Chọn A. 1 Ta có cos mx cos nx dx cos m n x cos m n x dx 2 1 1 1 sin m n x sin m n x 0 2 m n m n Do sin m n sin m n sin m n sin m n 0 f x 1 f 1 1. Câu 75: Cho hàm số liên tục trên ¡ thỏa mãn f x x ,x ¡ và Tìm giá trị x f 2 . nhỏ nhất của 5 A. 3. B. 2. C. ln 2. D. 4. 2 Lời giải Chọn C. 1 Theo giả thiết f x x ,x ¡ nên lấy tích phân hai vế với cận từ 1 đến 2 ta được: x 2 2 1 3 f x dx x dx ln 2. 1 1 x 2 2 2 3 Mà f x dx f x f 2 f 1 f 2 1 nên f 2 1 ln 2. 1 1 2 5 Suy ra f 2 ln 2. 2 1 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi f x x , x 0. x 37
  38. x2 1 Suy ra f x ln x C, mà f 1 1 nên C . 2 2 x2 1 Do đó f x ln x . 2 2 5 x2 1 Vậy giá trị nhỏ nhất của f 2 ln 2 khi f x ln x . 2 2 2 Câu 76: [Trường THPT Quỳnh Lưu 1, tỉnh Nghệ An, lần 2, năm 2018 ] 1 Cho hàm số f x 0 thỏa mãn điều kiện f x 2x 3 f 2 x và f 0 . Biết rằng tổng 2 a a f 1 f 2 f 3 f 2017 f 2018 với a ¢ ,b ¥ * và là phân số tối b b giản. Mệnh đề nào sau đây đúng? a a A. . 1 B. . 1 C. . D. . a b 1010 b a 3029 b b Lời giải. Chọn D Do f x 0 nên ta chia cả hai vế của f x 2x 3 f 2 x cho f 2 x ta được f x 1 2 1 2x 3. nguyên hàm hai vế ta được x 3x C f x . f 2 x f x x2 3x C 1 1 1 1 Mà f 0 C 2 f x . 2 x 1 x 2 x 1 x 2 1 1 1 1 1 1 Khi đó f 1 f 2 f 3 f 2017 f 2018 2 3 3 4 2019 2020 1 1 1009 . Vậy a 1009;b 2020 . 2 2020 2020 Câu 77: Cho hàm số y f x dương có đạo hàm liên tục trên đoạn 0; 3 biết rằng 3 f x f x x2 1 0 và f 3 e3 . Tính I ln f x dx 0 7 7 A. 2 3 . B. 3 3 C. 3 3 D. 3 3 2 . 3 . 3 . Lời giải Chọn B f x Ta có f x x2 1 f x 0 x2 1 f x 38
  39. f ' x u ln f x du dx Đặt f x dv dx v x Áp dụng công thức tích phân từng phần ta được 3 3 xf ' x 3 I ln f x dx x ln f x 3 dx x ln f x 3 x x2 1 dx 0 0 0 0 f x 0 1 3 x ln f x 3 x2 1 d x2 1 0 2 0 3 1 2 2 3 xln f x 0 x 1 x 1 0 3 7 3 3 3 Câu 78: [THPT QUỲNH LƯU 2, NGHỆ AN, lần 1, 2018] Cho hàm số y f x có đạo hàm và liên 2 tục trên ¡ thỏa mãn f ' x 2xf x 2x.e x và f 0 1 . Tính f 1 . 1 2 2 A. .eB. .C. .D e e e Hướng dẫn giải Chọn C. 2 2 2 2 f ' x 2xf x 2x.e x ex . f ' x 2x.ex . f x 2x ex . f x ' 2x . Lấy tích phân cả hai vế ta được: 1 2 1 2 1 1 ex . f x 'dx 2xdx ex . f x x2 e. f 1 f 0 1 0 0 0 0 2 e. f 1 2 f 1 . e Câu 79: Cho hàm số y f x thỏa mãn f x . f x x4 x2. Biết f 0 2 Tính f 2 2 . 313 332 324 323 A. f 2 2 . B. f 2 2 . C. D.f 2 2 . f 2 2 . 15 15 15 15 Lời giải Chọn B. 2 2 2 1 Ta có x4 x2 dx f x . f x dx f x d f x f 2 2 f 2 0 0 0 0 2 39
  40. 2 332 Suy ra f 2 2 2 x4 x2 dx f 2 0 . 0 15 Câu 80: Cho hàm số y f x thỏa mãn f x . f x x.ex Biết f 1 e Tính f 2 2 . A. f 2 2 16. B. f 2 2 3e2. C. D.f 2 2 4e2. f 2 2 9. 2 Câu 81: Cho hàm số y f x thỏa mãn f x . f x x.sinx Biết f 0 . Tính f . 4 2 2 2 2 2 A. f 4e 2 . B. f 2e 2 . C. D.f e 2 . f 9e 2 . 2 2 2 2 1 3 Câu 82: Chuyên Lào cai 2018) Cho hàm số f x liên tục trên ¡ và có f x dx 2 ; f x dx 6 . 0 0 1 Tính f 2x 1 dx . 1 2 3 A. I . B. I 4 . C. .I D. . I 6 3 2 Lời giải Chọn B 1 1 2 1 Ta có I f 2x 1 dx f 1 2x dx f 2x 1 dx . 1 1 1 2 1 2 Tính I f 1 2x dx 1 1 1 Đặt t 1 2x dt 2dx ; Đổi cận: x 1 t 3 ; x t 0 . 2 0 1 1 3 1 3 I f t dt f t dt f x dx 3 . 1 3 2 2 0 2 0 1 Tính I f 2x 1 dx 2 1 2 1 Đặt t 2x 1 dt 2dx ; Đổi cận: x t 0 ; x 1 t 1 . 2 1 1 1 1 1 1 I f t dt f t dt f x dx 1 . 1 0 2 2 0 2 0 40
  41. Vậy I I1 I2 4 . Câu 83: Cho hàm số f (x) liên tục và có đạo hàm trên ¡ , có f (x) 0,x ¡ ,f 0 1 . Biết rằng f (x) 2 2x . Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình f (x) m có 2 nghiệm thực phân f (x) biệt. A. 1 m e B. 0 m e C. D.m e 1 m e Lời giải Chọn B Ta có: f (x) f (x) 2 2x dx (2 2x)d x ln | f (x) | 2x x2 c ln f (x) 2x x2 c f (x) f (x) (do f x >0) f (0) 1 ln( f (0)) ln1 C C 0 . 2 2 ln f (x) 2x x2 f (x) e2x x f (x) (2 2x).e2x x 0 x 1 Ta có bảng biến thiên 0 m e a b 1 Câu 84: Cho hàm số f x 2 , với a , b là hai số hữu tỉ thỏa điều kiện f x dx 2 3ln .2 2 x x 1 2 Tính T a b . A. .T 1 B. T 2 . C. T 2 . D. .T 0 Lời giải Chọn C. 41
  42. 1 1 1 a b a Ta có: f x dx + +2 dx bln x 2x = a 2 2a bln 2 1 2 1 1 x x x 1 2 2 2 a 1 a 1 bln 2 , suy ra a 1 bln 2 2 3ln 2 . Vậy T a b 2 . b 3 1 f 2 x Câu 85: [SGD Quảng Nam - 2018] Cho hàm số chẵn y f x liên tục trên và dx .8 ¡ x 1 1 2 2 Tính f x dx . 0 A. .2 B. . 4 C. 8 . D. 16. Lời giải Chọn D Vì f x là hàm số chẵn trên ¡ nên ta có f x f x , x ¡ . 1 f 2 x 1 f 2 x 0 f 2 x 1 f 2 x Đặt I dx . Ta có:I dx dx dx . x x x x 1 1 2 1 1 2 1 1 2 0 1 2 0 f 2 x Xét I dx . 1 x 1 1 2 0 f 2 x 0 f 2t 1 2t f 2t 1 2x f 2 x Đặt x t I dx d t dt dx . 1 x t t x 1 1 2 1 1 2 0 1 2 0 1 2 1 Do đó ta có I f 2 x dx . 0 1 1 2 1 2 Đặt u 2x . Ta có I f 2 x dx f u du f x dx . 0 2 0 2 0 2 Kết hợp với giả thiết ta được f x dx 16 . 0 Mở rộng: Làm tương tự ta có bài toán tổng quát: Cho hàm số chẵn y f x liên tục trên  a;a . Với k là một số thực khác 0 , m là một số a f k x 1 ka thực dương thìdx f x dx . x a 1 m k 0 Câu 86: [SGD Quảng Nam - 2018] Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 , f x và f x đều nhận giá trị dương trên đoạn 0;1 và thỏa mãn f 0 2 , 1 1 1 2 3 f x . f x 1 dx 2 f x . f x dx . Tính f x dx . 0 0 0 15 15 17 19 A. .B. . C. .D. . 4 2 2 2 Lời giải 42
  43. Chọn D Vì f x và f x đều nhận giá trị dương trên đoạn 0;1 nên từ 1 1 1 2 2 f x . f x 1 dx 2 f x . f x dx suy ra f x . f x 1 dx 0 . 0 0 0 2 2 Mà f x . f x 1 0 nên f x . f x 1, x 0;1 hay f x . f x 1, x 0;1     . 3 2 f x Vậy f x . f x dx dx x C (*) 3 8 3 Trong (*) thay x 0 được C , suy ra f x 3x 8 . 3 1 1 3 19 Vậy f x dx 3x 8 dx . 0 0 2 100 Câu 87: giá trị của tích phân x x 1 x 2 x 100 dx bằng 0 A.0. B. 1. C. 100.D. Kết quả khác. Lời giải Chọn A. Đặt x 100 t dx dt Đổi cận x 0 t 100; x 100 t 0 0 100 Khi đó I 100 t 99 t t dt 100 t 99 t t dt 100 0 100 t 100 t 99 t.dt 0 100 x 100 x 99 x.dt I 0 Suy ra I I 0 I 0. 2 sin x cos x Câu 88: Tính tích phân I dx với a b 0 và a2 b2 . 2 2 2 2 0 a cos x b sin x 1 2 2 ab A. I . B. I . C. I . D. . a b a b a b a b Lời giải Chọn A. a 0 2 2 a b Do ab 0 và a b . b 0 a b 43
  44. 1 sin 2x 2 2 2 sin 2x Ta có I 2 dx dx . 2 2 2 2 2 2 0 a2 b2 a2 b2 cos 2x 0 a b a b cos 2x 2 2 2 2 2 2 2 tdt Đặt t a b a b cos 2x 2tdt 2 a b sin 2xdx 2 2 sin 2xdx . a b Đổi cận x 0 t 2a2 2 a , x t 2b2 2 b . 2 t 2 b 2 b 2 2 sin 2x 2 2 2 2 Khi đó I dx a b dt dt 2 2 2 2 2 2 t 2 a2 b2 0 a b a b cos 2x 2 a 2 a 2 1 2 b 2 a . 2 2 2 a b a b 2 Câu 89: Tính tích phân I sin sin x nx dx với n ¡ . 0 1 A. I 0 . B. I 2 . C. I 1 . D. . 2 Lời giải Chọn A. b Xét tích phân f a b x dx a Đặt t a b x dt dx b b b Đổi cận x a t b , x b t a . Khi đó f a b x dx f t dt f x dx a a a 2 2 2 Ta có I sin sin x nx dx sin sin 2 x n 2 x dx sin sin x nx dx 0 0 0 2 sin sin x nx dx I . 0 Do I I I 0 2 2 Câu 90: Tính tích phân cos mx cos nx dx với m , n ¥ và m n . 1 A. I 0 . B. I 2 . C. I 1 . D. . 2 Lời giải Chọn A. 44
  45. 1 Ta có cos mx cos nx dx cos m n x cos m n x dx 2 1 1 1 sin m n x sin m n x 0 2 m n m n Do sin m n sin m n sin m n sin m n 0 3 1 a b Câu 91: [Nguyễn Khuyến, Bình Dương, 18/3,2018] Biết dx , trong đó a,b,c là các số tự 4 0 cos x c nhiên đôi một nguyên tố cùng nhau. Khi đó giá trị của T 2a2 3b2 4c2 bằng bao nhiêu? A. T 15 . B. .T 14 C. . T D.13 . T 17 Lời giải Chọn A. 3 1 3 1 dx 3 dx 3 Ta có I dx . 1 tan2 x . 1 tan2 x .d tan x 4 2 2 2 0 cos x 0 cos x cos x 0 cos x 0 tan3 x 3 tan x 2 3 a 2,b 3,c 1 3 0 Vậy T 2a2 3b2 4c2 2.22 3.32 4.12 15 . 3 sin2 x a b c Câu 92: Biết dx , trong đó a,b và c,d là các cặp số tự nhiên nguyên tố cùng nhau. 6 cos x d 6 Khi đó giá trị của T ab cd bằng bao nhiêu? A. T 6 . B. T 246 . C. .T 13 D. . T 17 Lời giải Chọn B. 3 sin2 x 3 1 3 1 1 Ta có I dx tan2 x dx tan2 x. . dx 6 4 2 2 cos x cos x cos x cos x 6 6 6 3 3 5 3 3 2 2 2 4 tan x tan x 42 3 8 tan x. 1 tan x .d tan x tan x tan x .d tan x 5 3 15 6 6 6 a 42,b 3,c 8,d 15 T 246 45
  46. 4 3 1 a ln b Câu 93: Biết dx , trong đó a,b,c là các số tự nhiên đôi một nguyên tố cùng nhau. Khi đó x c sin 2 giá trị của T 4a3 3b2 2c bằng bao nhiêu? A. T 5 . B. T 29 . C. .T 7 D. . T 17 Lời giải Chọn B. 4 4 4 3 1 3 1 1 3 1 Ta có I dx dx dx x x x 2 x 2 x sin 2sin .cos tan .cos 2 4 4 4 4 4 4 3 1 x x 3 2 d tan 2ln tan ln 3 x 4 4 tan 4 a 1,b 3,c 1 T 29 x f (t)dt Câu 94: Nếu 6 2 x với x 0 thì hệ số a bằng 2 a t A. 9 .B. .C. .D. . 19 5 6 Lời giải Chọn A. f (t) f (t) Gọi F(t) là một nguyên hàm của , suy ra F '(t) . t 2 t 2 x f (t)dt Ta có 6 2 x F(t) |x 6 2 x F(x) F(a) 6 2 x 2 a a t 1 f (x) 1 F '(x) 2. f (x) x x 2 x x2 x x f (t)dt x t t x 1 dt dt 2 t |x 2 x 2 a 2 x 6 2 2 a (gt) a t a t a t Vậy a 3 a 9 . 46
  47. 1 2 1 Câu 95: Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 0;1 thỏa mãn f 1 0 , f x dx và 0 11 1 1 1 x4 f x dx . Tích phân f x dx bằng? 0 55 0 1 1 1 1 A. .B. . C. . D. . 7 7 55 11 Lời giải Chọn A. 1 Ta xét I x4 f x dx . 0 du f x dx u f x Đặt 5 4 x dv x dx v 5 x5 1 1 1 1 1 1 1 I f x 1 x5 f x dx x5 f x dx x5 f x dx 0 5 5 0 55 5 0 0 11 1 1 Mà x10dx 0 11 1 6 2 x x10 2x5 f x f x dx 0 f x x5 f x C 0 6 x6 1 Vì f 1 0 nên f x 6 1 1 x6 1 1 f (x)dx dx . 0 0 6 7 f x f 0 0 f x 10 Câu 96: Cho hàm số liên tục trên ¡ và có ; với mọi x ¡ . Tìm GTLN mà f 3 có thể đạt được? A. 30. B. 10. C. 60. D. 20. Lời giải Chọn A 47
  48. 3 3 Vì 10 f ' x 0 với mọi x ¡ nên: 10 f x dx 0 10x f x 0 0 0 10.3 f 3 10.0 f 0 0 f 3 30 Vậy GTLN mà f 3 có thể đạt được là 30. 2 2cot x Câu 97: Cho biểu thức S ln 1 2 sin 2x e dx , với số thực m 0 . Khẳng định đúng là. 4 m2 A. S 5 . B. S 2cot 2 2ln sin 2 . 4 m 4 m C. .S 9 D. . S tan 2 ln 2 4 m 4 m Lời giải Chọn.B. 2 2 2 Ta có 2 sin 2x e2cot xdx 2e2cot xdx sin 2xe2cot xdx I J . 4 m2 4 m2 4 m2 2 du .e2cot xdx u e2cot x sin2 x Đặt dv sin 2xdx 1 1 v cos 2x sin2 x 2 2 2 2cot 2 2cot x 2cot x 2 J sin x.e 2 2e dx 1 sin2 .e 4 m I . 2 4 m2 4 m 4 m2 2cot 2 Vậy S ln sin2 e 4 m 2cot 2ln sin . 2 2 2 4 m 4 m 4 m Cách 2: Thay m 1 ta có S 1,689976611, kiểm tra chỉ có đáp án B thỏa mãn Câu 98: [Hàn Thuyên,tỉnh Bắc Ninh,lần 3,năm 2018] Cho hàm số y f x , liên tục trên 0;1 và 1 1 thỏa mãn x 1 f ' x dx 10 và 2 f 1 f 0 2 . Tính I f x dx . 0 0 A. I 12 .B. . I 8 C. I 12 . D. I 8 . 48
  49. Lời giải Chọn D. u x 1 du dx Đặt . dv f ' x dx v f x Áp dụng công thức tính tích phân từng phần và giả thiết bài toán, ta được: 1 1 1 10 x 1 f ' x dx x 1 f x f x dx 2 f 1 f 0 I 2 I 0 0 0 I 2 10 8. 2 4 x Câu 99: Cho hàm số f x liên tục trên ¡ và f 2 16 ,f x dx 4 . Tính I xf dx . 0 0 2 A. I 12 . B. I 112. C. .ID. .28 I 144 Lời giải Chọn B x x 2t *) Đặt t ; với x 0 t 0; x 4 t 2 . 2 dx 2dt 2 2 2 *) I 2tf t 2dt 4 tdf t 4tf t |2 4 f t dt 0 0 0 0 2 4.2. f 2 4. f x dx 4.2.16 4.4 112 . 0 Câu 100: Biết F x là một nguyên hàm của f x , F x vàf x là các hàm liên tục trên ¡ , thỏa mãn 2 3 F x 1 dx 1; F 3 3. Tính I xf x dx 1 0 A. I 8 . B. .IC. .9D. . I 10 I 11 Lời giải Chọn A 2 2 3 3 *) Ta có : 1 F x 1 dx F x 1 d(x 1) F t dt F x dx 1 . 1 1 0 0 3 3 3 *) I xf x dx xdF x xF x |3 F x dx 3F 3 1 8 . 0 0 0 0 1 Câu 101: Cho hàm số f x liên tục trên ¡ và f 1 2 f 0 2 ,f x dx 5 . Tính 0 3 x I 6 x f dx . 0 3 A. I 61. B. I 63 .C. . ID. .65 I 67 Lời giải Chọn B 49
  50. x x 3t *) Đặt t ; với x 0 t 0; x 3 t 1 . 3 dx 3dt 1 1 1 *) I 6 3t . f t .3dt 9 2 t df t 9 2 t f t |1 9 f t d 2 t 0 0 0 0 1 9 f 1 2 f 0 9 f t dt 9.2 9.5 63 . 0 . Câu 102: Cho hàm số y f x liên tục trên ¡ và thỏa mãn f x 2018 f x xsin x. Tính 2 I f x dx? 2 1 2 1 1 A.  B.  C.  D.  1009 2019 2019 2018 Lời giải. Chọn B Theo giả thiết f x 2018 f x xsin x. f x 2018 f x xsin x. 1 suy ra 20182 1 f (x) 2017xsin x f x x.sin x . 2019 1 2 1 2 Do đó I x.sin x.dx x.d cos x 2019 2019 2 2 2 1 2 1 2 2 x cos x cos x.dx sin x . 2019 2 2019 2 2019 2 f x ¡ \ 1 3 f 0 1 Câu 103: Cho hàm số xác định trên thỏa mãn f ' x ; và x 1 f 1 f 2 2 f 3 . Giá trị của bằng A. .1 2ln 2 B. 1 ln 2. C. 1. D. .2 ln 2 Lời giải Chọn C. 3 Ta có f x f ' x dx dx 3ln x 1 C x 1 3ln x 1 C1 khi x 1 f x 3ln x 1 C2 khi x 1 50
  51. Theo giả thiết: f 0 1 C1 1 C1 1 3ln 2 C C 2 C 1 3ln 2 f 1 f 2 2 1 2 2 3ln x 1 1 khi x 1 f x 3ln x 1 1 3ln 2 khi x 1 Vậy f 3 3ln 2 1 3ln 2 1 . 1 x tan x a dx ln 2 2 x cos x x b Câu 104: Biết 3 , a,b ¢ . Tính P a b . A. .P 2 B. P 4 . C. P 4 . D. .P 2 Lời giải Chọn A. 1 x tan x cos x xsin x Ta có: dx dx 2 2 x cos x x 2 x cos x x cos x 1 3 3 Đặt t x cos x dt cos x xsin x dx . 2 Đổi cận: x t ; x t 3 3 1 x tan x dt 1 1 Do đó: dx dt ln t ln t 1 2 2 x cos x x t t 1 t t 1 3 3 3 3 3 3 ln ln ln 1 ln 1 ln a 3 ; b 1 . 3 3 1 Vậy P 4 . Câu 105: Cho hàm số f x có đạo hàm xác định, liên tục trên đoạn 0;1 đồng thời thỏa mãn các điều ' ' 2 kiện f 0 1 và f x f x . Đặt T f 1 f 0 , hãy chọn khẳng định đúng? A. 2 T 1. B. 1 T 0 . C. .0 T 1 D. . 1 T 2 Lời giải Chọn B ' f x d f x 1 Từ giả thiết ta có dx 1.dx dx 1.dx x c ' 2 ' 2 f ' x f x f x 51
  52. c 1 1 ' 1 Mà f 0 1 nên 1 T ln 2 f ' x x 1 x 1 0 3 x2 x 1 a 4 b Câu 106: Biết rằng dx với a,b,c là các số nguyên dương. Tính T a b c. 2 x x 1 c A. .T 31 B. T 29 . C. T 33. D. .T 27 Lời giải ChọnC. 3 2 3 x2 x 1 3 x2 x 1 3 x2 x 1 2 3 dx dx x x 1 dx 2 3 2 2 x x 1 2 x x 1 2 2 19 4 8 = . Vậy a b c 19 8 6 33 . 6 1 3 Câu 107: Cho hàm số f(x) liên tục trên [0;3] và f (x)dx 2 ; f (x)dx 8 . Giá trị của tích phân 0 0 1 f | 2x 1| dx là: 1 A. 6. B. 3. C. 4. D. 5. Lời giải Chọn D. 1 2x 1,x 2 Ta có: 2x 1 nên 1 2x 1,x 2 1 0,5 1 f | 2x 1| dx = f 2x 1 dx f (2x 1)dx E F 1 1 0,5 0,5 1 3 E f ( 2x 1)dx f (t)dt ta đổi biến t 2x 1, 1 2 0 1 1 1 F f (2x 1)dx f (t)dt, ta đổi biến t 2x 1, 2 0,5 0 1 1 3 1 1 Vậy f | 2x 1| dx f (x)dx f (x)dx 1 4 5 1 2 0 2 0 52
  53. Câu 108 (SGD VĨNH PHÚC) Gọi S t là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 1 y 2 , y 0, x 0, x t t 0 . Tìm lim S t . x 1 x 2 t 1 1 1 1 A. ln 2 .B. ln 2 . C. . ln 2 D. . ln 2 2 2 2 2 Lời giải Chọn B. 1 Vì trên 0;t , y 0 nên ta có diện tích hình phẳng x 1 x 2 2 t 1 t 1 x 3 t 1 1 1 S t dx dx dx 2 x 1 2 x 1 x 2 2 0 x 1 x 2 0 x 2 0 x 2 t x 1 1 t 1 1 1 ln ln ln 2 . x 2 x 2 0 t 2 t 2 2 t 1 t 1 1 Vì lim 1 limln 0 , lim 0 t t 2 t t 2 t t 2 t 1 1 1 1 Nên lim S t lim ln ln 2 ln 2 . t t t 2 t 2 2 2 1 Câu 109: Cho hàm số f x dx 4 , trong đó hàm số y f x là hàm số chẵn trên  1;1 . Tính 1 1 f x dx . x 1 2 1 A. 2 . B. .1 6 C. . 8 D. . 4 Lời giải Chọn A. Cách 1. Đặt t x dt dx . Đổi cận x 1 t 1 ; x 1 t 1 . 1 1 1 1 1 2t 1 2x Ta được: I f x dx f t dt f t dt f x dx . x t t x 11 2 1 1 2 11 2 11 2 1 1 1 2x 1 Do đó: 2I f x dx f x dx f x dx 4 I 2 . x x 11 2 11 2 1 53
  54. Cách 2. 1 2 4 Chọn h x x 2 là hàm số chẵn. Ta có: x2dx . Do đó: f x h x 6x2 . 2 1 3 3 1 f x 1 6x2 Khi đó: dx dx 2 . x x 1 2 1 1 2 1 Lời bình: Với cách làm này, chỉ cần học sinh nắm rõ nguyên tắc tìm một hàm số đại diện cho lớp hàm số thỏa mãn giả thiết bài toán là có thể dễ dàng tìm được kết quả bài toán bằng máy tính hoặc bằng phương pháp cơ bản với hàm số y f x khá đơn giản. Đối với bài toán này ta có thể chọn hàm số h x 1 cho đơn giản. 8 Câu 110: Cho hàm số f (x) thỏa mãn x 3 f x dx 25 và 33 f 8 18 f 3 83 . 3 8 Giá trị f x dx là: 3 8 3 A. .I 83 B. I 38 . C. I . D. . 3 8 Lời giải Chọn C. 8 Ta có x 3 f x dx 25 . 3 u x 3 du dx 8 8 Đặt A x 3 f x f x dx 3 3 dv f x dx v f x 8 11f 8 6 f 3 f x dx 3 83 Ta có 33. f 8 18 f 3 83 11f 8 6 f 3 . 3 83 8 8 83 8 Suy ra A f x dx . Mà A 25 f x dx 25 . 3 3 3 3 3 9 3 4 3 2 3 cos x Câu 111: Giá trị I x sin x e dx gần bằng số nào nhất trong các số sau đây: 1 3 6 A 0B.,046 0,036 . C. 0,037 D 0,038 Lời giải Chọn C. 54
  55. Ta có: 9 9 3 4 3 4 9 2 3 3 3 3 2 3 cos x 1 cos x 3 1 cos x 3 1 I x sin x e dx e dsin x e 4 e 2 e 2 1 3 3 3 3 1 1 6 3 6 3 6 0,371 2 4 x 1 ln x 2x 2 1 Câu 112: Biết I dx lnc a lnc b , với a,b,c là các số nguyên dương. Tính 2 2 x 2x 2 4 a b2 c3 . A. 3 . B. 22 . C. .1 4 D. . 20 Lời giải Chọn B. 2 4 x 1 ln x 2x 2 1 4 Ta có: I dx ln x2 2x 2 d ln x2 2x 2 2 2 x 2x 2 2 2 1 2 2 4 1 2 2 ln x 2x 2 2 ln 10 ln 2 . 4 4 Vậy a 10,b 2,c 2 a b2 c3 22 . 2 Câu 113:Cho hàm số y f (x) liên tục và có đạo hàm trên ¡ thỏa mãn f (2) 2 , f (x)dx 1 . Tính 0 4 tích phân I f x dx . 0 A. I 10 .B. I 5 .C. I .D. 0 . I 18 Lời giải Chọn A Đặt x t dx 2tdt . Đổi cận : x 0;4 t 0;2 2 I t. f '(t)dt sử dụng phương pháp tính tích phân từng phần ta được : 0 2 2 I 2 tf (t) 2 f (t).dt 10. ( Vì tích phân không phụ thuộc vào biến số nên f (t).dt 1 ). 0 0 0 1 Câu 114:Cho a là số thực dương. Biết rằng F(x) là một nguyên hàm của hàm số f x e x ln ax x 1 thỏa mãn F 0 và F 2018 e 2018 . Mệnh đề nào sau đây đúng? a 55
  56. 1 1 A. a ;1 . B. .a 0C.; . D. . a 1;2018 a 2018; 2018 2018 Lời giải. ChọnA. 2017x Câu 115: Biết rằng F x là một nguyên hàm trên ¡ của hàm số f x 2018 thỏa mãn F 1 0 . x2 1 Tìm giá trị nhỏ nhất m của F x . 1 1 22017 22017 1 1 A. m . B. m . C. .m D. . m 2 22018 22018 2 Lời giải. ChọnB. 2017x 2017 d x2 1 1 1 Ta có F x dx . C . 2018 2018 2017 x2 1 2 x2 1 2 x2 1 1 1 1 1 1 1 1 22017 Do F 1 0 nên C F x . 2017 . 22018 2 x2 1 22018 2 22018 22018 1 1 Câu 116: Biết rằng x cos 2xdx asin 2 bcos 2 c , với a,b,c ¢ . Khẳng định nào sau đây đúng ? 0 4 A. a b c 1. B. a b c 0. C. 2a b c 1. D. a 2b c 1. Lời giải ChọnB. du dx u x Đặt 1 . dv cos2xdx v sin 2x 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x cos 2xdx xsin 2x sin 2xdx sin 2 cos2x 2sin 2 cos 2 1 . 0 2 0 2 0 2 4 0 4 Suy ra a 2,b 1,c 1 a b c 0 5 1 Câu 117: Giả sử tích phân I dx a b.ln 3 c.ln 5. Lúc đó: 1 1 3x 1 4 5 7 8 A. a b c .B. a b .C. c .D.a b c . a b c 3 3 3 3 Lời giải 56
  57. Chọn A 5 1 Xét I dx 1 1 3x 1 Đặt t 3x 1 t 2 3x 1 2tdt 3dx x 1 5 t 2 4 4 2 t 2 4 4 4 4 4 Do đó I dt t ln t 1 ln 3 ln 5 a b c . 2 3 2 1 t 3 3 3 3 3 a Câu 118: Cho hàm số f (x) bxex . Tìm a và b biết rằng f '(0) 22 x 1 3 1 và f (x)dx 5 . 0 A. .a 2,b B. 8 a 2,b 8. C. a 8,b 2. D. a 8,b 2 Lời giải Chọn C 3a Ta có f '(x) b(x 1)ex x 1 4 Suy raf '(0) 22 3a b 22 (1) 1 1 1 a a 3 Ta có f (x)dx bxex dx b(x 1)ex a b . 3 2 0 0 x 1 2 x 1 8 0 1 3 Theo bài ra f (x)dx 5 a b 5 (2). 0 8 3a b 22 a 8 Từ (1) và (2) ta có hệ 3 . a b 5 b 2 8 Câu 119: Cho hàm số y f x liên tục trên ¡ và thỏa mãn f x 2018 f x xsin x. Tính 2 I f x dx? 2 57
  58. 1 2 1 1 A.  B.  C.  D.  1009 2019 2019 2018 Lời giải. Chọn B Theo giả thiết f x 2018 f x xsin x. f x 2018 f x xsin x. 1 suy ra 20182 1 f (x) 2017xsin x f x x.sin x . 2019 1 2 1 2 Do đó I x.sin x.dx x.d cos x 2019 2019 2 2 2 1 2 1 2 2 x cos x cos x.dx sin x . 2019 2 2019 2 2019 2 1 25x2 7x 4 Câu 120: Biết rằng trên khoảng ; hàm số f (x) có một nguyên hàm 2 2x 1 F (x) (a x 2 bx c) 2x 1 ( trong đó a,b,c là các số nguyên). Tổng S a b c bằng A. 3. B. 3. C. 4. D. 5. Lời giải. Chọn B 5ax2 ( 2a 3b)x b c Ta tính được F '(x) . Do F(x) là một nguyên hàm của f (x) nên ta 2x 1 1 5ax2 ( 2a 3b)x b c 25x2 7x 4 có F '(x) f (x),x thuộc khoảng ; suy ra . 2 2x 1 2x 1 Đồng nhất hệ số ta được a 5,b 1,c 3. 15x2 9x 3 Câu 121: Biết rằng trên khoảng 1; hàm số f (x) có một nguyên hàm 2 x 1 F(x) (a x2 bx c) x 1 (trong đó a,b,c là các số nguyên). Tổng S a b c bằng A. 3. B. 3. C. 4. D. 4. Lời giải. Chọn B 58
  59. 5ax2 ( 4a 3b)x 2b c Ta tính được F '(x) . Do F(x) là một nguyên hàm của f (x) nên 2 x 1 5ax2 ( 4a 3b)x 2b c 15x2 9x 9 ta có F '(x) f (x),x thuộc khoảng 1; hay 2 x 1 2 x 1 Đồng nhất hệ số ta được a 3,b 1,c 7 . Câu 122: Xét hàm số f (x) liên tục trên đoạn 0;1 và thỏa mãn 2 f (x) 3 f (1 x) 1 x . Tích phân 1 f (x)dx bằng 0 2 1 2 3 A. . B. . C. . D. . 3 6 15 5 Lời giải Chọn C. Ta có: 2 f (x) 3 f (1 x) 1 x (1) . Đặt t 1 x , thay vào (1) , ta được: 2 f (1 t) 3 f (t) t hay 2 f (1 x) 3 f (x) x (2) . 3 2 Từ (1) & (2) , ta được: f (x) x 1 x . 5 5 1 3 1 2 1 2 4 2 Do đó, ta có: f (x)dx x dx 1 x dx . 0 5 0 5 0 5 15 15 2 Câu 123: Cho F x là một nguyên hàm của hàm số f x ex x3 4x . Số cực trị của hàm F x là A. 2. B. 3 . C. .1 D. . 4 Lời giải Chọn B. x2 3 x 0 F f x . Ta có F 0 e x 4x . x 2 Bảng xét dấu: x 2 0 2 F 0 0 0 Vậy hàm số F x có 3 cực trị 59
  60. 0 Câu 124: Cho hàm số y f x là hàm lẻ và liên tục trên  4;4 , biết f x dx 2 và 2 2 4 f 2x dx 4. Tính I f x dx. 1 0 A. I 10. B. I 6 . C. .I 6 D. . I 10 Lời giải Chọn B. Vì f x là hàm lẻ nên ta có f x f x . 0 0 2 2 Ta có: f x dx 2 t x f t dt 2 f t dt 2 f x dx . 2 2 0 0 2 2 1 4 4 4 f 2x dx f 2x dx u 2x f u du 4 f u du 8 f x dx 8 . 1 1 2 2 2 2 4 2 4 Do đó: f x dx f x dx f x dx 2 8 6. 0 0 2 Câu 125: [Trường chuyên Thái Bình,tỉnh Thái Bình,lần 4,năm 2018] Cho 1 x2 x ex dx ae bln e c với a , b , c ¢ . Tính P a 2b c . x 0 x e A. .P 1 B. .C. P 1 P 2 . D. P 0 . Lời giải Chọn D. 1 2 x 1 x x 1 x x 1 x x e xe x 1 e xe 1 1 x 1 e 1 x Ta có: dx dx dx 1 d xe 1 x x x x 0 x e 0 e x 1 0 e x 1 0 xe 1 1 xex 1 ln xex 1 e ln e 1 . Suy ra a 1 , b 1 , c 1 . 0 Vậy, P a 2b c 0 . Câu 126: [2D3-3][Trường chuyên Thái Bình,tỉnh Thái Bình,lần 4,năm 2018]Cho tích phân e x 1 ln x 2 e 1 a dx ae bln trong đó a , b là các số nguyên. Khi đó tỉ số bằng: 1 1 x ln x e b 1 A. . B. 1.C. . D.3 . 2 2 Lời giải 60
  61. Chọn B. e x 1 ln x 2 e ln x 1 Ta có: dx 1 dx x ln 1 x ln x e e ln e 1 1 1 1 1 x ln x 1 1 x ln x e 1 a e ln . Suy ra: a b 1 1 . e b Câu 127: [Trường chuyên Thái Bình,tỉnh Thái Bình,lần 4,năm 2018] Cho tích phân 2 sin x I dx a bln 2 , với a , b Q . Khi đó a b bằng: 0 2sin x cos x 1 A. .1 B. .C.2 . D. 0 . 2 Lời giải Chọn D. sin x A 2sin x cos x B 2cos x sin x 2A B sin x A 2B cos x Ta có: 2sin x cos x 2sin x cos x 2sin x cos x 2 A 2A B 1 5 . A 2B 0 1 B 5 2 sin x 2 2 1 2cos x sin x 2 1 Khi đó: I dx dx x ln 2sin x cos x 2 2sin x cos x 5 5 2sin x cos x 5 5 0 0 0 1 ln 2 . 5 5 1 1 Suy ra: a , b . Vậy, a b 0 . 5 5 Câu 128: [Trường chuyên Thái Bình,tỉnh Thái Bình,lần 4,năm 2018] Cho hàm số y f x có đạo 5 5 hàm trên ¡ và f 5 10 , x f x dx 30 .Tính f x dx . 0 0 A B.20 70 .C. 20 .D 30 Lời giải Chọn C. 5 Xét I x f x dx 30 1 0 u x du dx Đặt dv f x dx v f x 61
  62. 5 5 5 5 Vậy I x f x dx xf x f x dx 5 f 5 f x dx 1 0 0 0 0 5 Mà I 30 và f 5 10 vậy f x dx 20 . 1 0 Câu 129: [Trường chuyên Thái Bình,tỉnh Thái Bình,lần 4,năm 2018] Cho hàm số y f x có đạo 2 5 hàm trên ¡ và f 2 15, x f x dx 60 .Tính f x dx . 0 0 A. 30.B C D 70 30 50 Lời giải Chọn A. 5 Xét I x f x dx 60 1 0 u x du dx Đặt dv f x dx v f x 2 2 2 2 Vậy I x f x dx xf x f x dx 2 f 2 f x dx 1 0 0 0 0 2 Mà I 60 và f 2 15 vậy f x dx 30 . 1 0 Câu 130: [Trường chuyên Thái Bình,tỉnh Thái Bình,lần 4,năm 2018] Cho hàm số y f x có đạo 4 4 hàm trên ¡ và f 4 13, x f x dx 24 .Tính f x dx . 0 0 A B.1.1C. 28 76 .D. 28 . Lời giải Chọn D. 4 Xét I x f x dx 24 1 0 u x du dx Đặt dv f x dx v f x 62
  63. 4 4 4 4 Vậy I x f x dx xf x f x dx 4 f 4 f x dx 1 0 0 0 0 4 Mà I 24 và f 4 13 vậy f x dx 28 . 1 0 Câu 131: [Trường chuyên Thái Bình,tỉnh Thái Bình,lần 4,năm 2018] Cho hàm số 1 f x x4 4x3 2x2 x 1,x ¡ . Tính f 2 x f x dx 0 2 2 A. . B. . 2 C. . D. . 2 3 3 Lời giải Chọn C. 1 1 f 3 x 1 f 3 1 f 3 0 2 Ta có f 2 x f x dx f 2 x df x 0 0 3 0 3 3 Câu 132: [Trường chuyên Thái Bình,tỉnh Thái Bình,lần 4,năm 2018] Cho hàm số 1 f x x3 3x2 3x 2, x ¡ . Tính f 3 x f x dx 0 3 15 1 15 A. . B. . C. . D. . 4 4 4 4 Lời giải Chọn D. 1 1 f 4 x 1 f 4 1 f 4 0 15 Ta có f 3 x f x dx f 3 x df x 0 0 4 0 4 4 Câu 133: [Trường chuyên Thái Bình,tỉnh Thái Bình,lần 4,năm 2018] Cho hàm số 1 f x x6 5x4 3x2 1, x ¡ . Tính f 2017 x f x dx . 0 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 2018 1009 2018 1009 Lời giải Chọn C. 1 1 f 2018 x 1 f 2018 1 f 2018 0 1 Ta có f 2017 x f x dx f 2017 x df x 0 0 2018 0 2018 2018 63
  64. Câu 134: [Trường chuyên Thái Bình,tỉnh Thái Bình,lần 4,năm 2018] Cho F x là một nguyên hàm 1  của hàm số y với x R \ k ,k Z , biết F 0 1 ; F 0 . Tính 1 sin 2x 4  11 P F F . 12 12 A. .P 2 3B. . P C.0 Không tồn tại P . D. P 1. Lời giải Chọn D. Cách 1: 1 1 Ta có F (x)= ò dx = ò dx 1+ sin 2x 2 æ pö 2sin çx + ÷ èç 4ø÷ ïì 1 æ pö æ p 3p ö ï - cotçx + ÷+ C khi x Î ç- + k2p; + k2p÷ ï ç ÷ 1 ç ÷ ï 2 è 4ø è 4 4 ø = í ï 1 æ pö æ3p 7p ö ï - cotçx + ÷+ C khi x Î ç + k2p; + k2p÷ ï ç ÷ 2 ç ÷ îï 2 è 4ø è 4 4 ø ì 3 ïì 1 æ pö 3 æ p 3p ö ï ï - cotçx + ÷+ khi x Î ç- + k2p; + k2p÷ ì ï C1 = ï ç ÷ ç ÷ ï F (0)= 1 ï 2 ï 2 è 4ø 2 è 4 4 ø Để í Þ í .Vậy F (x)= í . ï F (p)= 0 ï 1 ï 1 æ pö 1 æ3p 7p ö îï ï C = ï - cotçx + ÷+ khi x Î ç + k2p; + k2p÷ ï 2 ï ç ÷ ç ÷ îï 2 îï 2 è 4ø 2 è 4 4 ø 11 Khi đó P F F 1 12 12 Cách 2: 11 11 Ta có P F F F 0 F F F F 0 F 12 12 12 12 0 1 1 dx dx 1. 1 sin 2x 11 1 sin 2x 12 12 1 1 1 Ta có 2 nên 1 sin 2x sin x cos x 2 2cos x 4 64
  65. 0 0 1 1 1 dx tan x 1 3 ; 1 sin 2x 2 4 2 12 12 1 1 1 dx tan x 1 3 . 11 1 sin 2x 2 4 11 2 12 12 Vậy P 1 . F x Câu 135: [Trường chuyên Thái Bình,tỉnh Thái Bình,lần 4,năm 2018] Cho là một nguyên hàm y = 2x- 4 ¡ \ {2} f (1)= 1 f (3)= - 2 của hàm số xác định trên thỏa mãn và . Giá trị của biểu F (- 1)+ F (4) thức bằng A. - 6. B. .7 C. . - 14 D. . 0 Lời giải Chọn A. ïì (2x- 4)dx khi x > 2 ïì 2 ï ò ï (x- 2) + C1 khi x > 2 Ta có F (x)= 2x- 4 dx = ï = ï . ò í í 2 ï - (2x- 4)dx khi x 2 ï ( ) ï - 1+ C2 = 1 ï C1 = - 3 ï ( ) Do í Þ í Û í nên F (x)= íï . ï F (3)= - 2 ï 1+ C = - 2 ï C = 2 ï 2 îï îï 1 îï 2 îï - (x- 2) + 2 khi x < 2 Vậy F (- 1)+ F (4)= - 9+ 2+ 4- 3 = - 6 . Câu 136: [Trường chuyên Thái Bình,tỉnh Thái Bình,lần 4,năm 2018] Cho hàm số f (x) xác định trên 2 æ 1ö æ1ö ¡ \ {- 1;1} và thỏa mãn f ¢(x)= , f (- 3)+ f (3)= 0 và f ç- ÷+ f ç ÷= 2 . Giá trị của x2 - 1 èç 2ø÷ èç2ø÷ biểu thức f (- 2)+ f (0)+ f (4) bằng A. 2ln2- 2ln3- ln5 . B. 6ln2- 2ln3- ln5 . C. - ln5+ 2ln3+ 2ln2+ 1. D. 2ln3- ln5+ 6 . Lời giải Chọn C. 1 1 Có f ¢(x)= - . x - 1 x + 1 65
  66. ïì æx - 1ö ï lnç ÷+C khi x 1 ï ç ÷ 1 ï èx + 1ø Khi đó f (x)= f ¢(x)dx = í . ò ï æ1- xö ï lnç ÷+C khi - 1 1 ï ç ÷ ï èx + 1ø Khi đó: f (x)= í . ï æ1- xö ï lnç ÷+ 1 khi - 1< x < 1 ï ç ÷ îï èx + 1ø Vậy f (- 2)+ f (0)+ f (4)= ln3+ ln2+ 1+ ln3- ln5+ ln2 = - ln5+ 2ln3+ 2ln2+ 1. Câu 137: Một vật chuyển động với vận tốc 10m/ sthì tăng tốc với gia tốc được tính theo thời gian là a t t 2 3t. Tính quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 3 giây kể từ khi vật bắt đầu tăng tốc. 45 201 81 65 A. m. B. m. C. m. D. m. 2 4 4 2 Lời giải Chon B t3 3t 2 v t a t dt t 2 3t dt C 3 2 t3 3t 2 Dov 10m / s C 10 v t 10 0 3 2 3 t3 3t 2 201 S 10 dt m 0 3 2 4 201 Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 3 giây kể từ khi vật bắt đầu tăng tốc là m 4 Câu 138: Một ô tô đang chạy với tốc độ 10(m/s) thì người lái đạp phanh, từ thời điểm đó ô tô chuyển động chậm dần đều với v(t) 5t 10(m/s) , trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển được bao nhiêu mét. 66
  67. A. 8m. B. 10m. C. 5m. D. 20m. Lời giải Chọn B. Thời điểm đạp phanh ứng với t 0 . Thời điểm xe dừng hẳn ứng với v(t) 5t 10 0 t 2 . 2 Quãng đường ô tô đi được từ lúc xe được phanh đến khi dừng hẳn bằng v(t)dt 10(m) 0 Câu 139: Một vật chuyển động với vận tốc 10m/ sthì tăng tốc với gia tốc được tính theo thời gian là a t t 2 3t. Tính quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 3 giây kể từ khi vật bắt đầu tăng tốc. 45 201 81 65 A. m. B. m. C. m. D. m. 2 4 4 2 Lời giải Chon B t3 3t 2 v t a t dt t 2 3t dt C 3 2 t3 3t 2 Dov 10m / s C 10 v t 10 0 3 2 3 t3 3t 2 201 S 10 dt m 0 3 2 4 201 Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 3 giây kể từ khi vật bắt đầu tăng tốc là m 4 3 20x2 30x 7 Câu 140: Biết rằng trên khoảng ; hàm số f (x) có một nguyên hàm 2 2x 3 F(x) (a x2 bx c) 2x 3 (trong đó a,b,c là các số nguyên). Tổng S a b c bằng A. 4. B. 3. C. 5. D. 6. Lời giải. Chọn B 1 (2ax b)(2x 3) (a x2 bx c) Ta có: F '(x) (2ax b) 2x 3 (a x2 bx c). 2x 3 2x 3 67
  68. 5ax2 (6a 3b)x 3b c Từ đó rút gọn tử thức ta được: F '(x) 2x 3 Do F(x) là một nguyên hàm của f (x) nên ta có: 5ax2 (6a 3b)x 3b c 20x2 30x 7 3 F '(x) f (x) trên khoảng ; 2x 3 2x 3 2 5a 20 a 4 Đồng nhất hệ số hai vế ta được hệ sau: 6a 3b 30 b 2 3b c 7 c 1 Suy ra S a b c 3 . 2x f '(x) Câu 141: Cho đa thức bậc bốn y = f (x) đạt cực trị tại x = 1 và x = 2. Biết lim 2 . Tích phân x 0 2x 1 f '(x)dx 0 3 1 3 A. B. C. D. 1 2 4 4 Lời giải Chọn B Phương pháp: Từ giả thiết biến đổi để có f'(0 ) = 0 Từ đó tìm được hàm f'(x) và tính tích phân. Cách giải: 2x f '(x) Ta có lim 2 mà lim 2x 0 nên lim 2x f '(x) 0 lim f '(x) 0 f '(0) 0 (vì nếu x 0 2x x 0 x 0 x 0 2x f '(x) lim 2x f '(x) 0 thì lim 2 ) x 0 x 0 2x Từ đó x = 0; x = 1; x = 2 là ba cực trị của hàm số đã cho. Hay phương trình f'(x) = 0 có ba nghiệm x = 0; x = 1; x = 2 Vì f(x) là hàm đa thức bậc 4 nên ta giả sử hàm f '(x) m.x x 1 x 2 2x mx x 1 x 2 2 m x 1 x 2 2 2m Từ đề bài ta có lim 2 lim 2 2 m 1 x 0 2x x 0 2 2 Nên f '(x) x x 1 x 2 x3 3x2 2x 1 1 1 Từ đó f '(x)dx x3 3x2 2x dx . 0 0 4 Chọn B. 68
  69. II. DIỆN TÍCH THỂ TÍCH Câu 142: Cho hình (H ) là hình phẳng giới hạn bởi các đường y x 1 ,y 1 x và trục Ox. Diện tích của hình H (H) bằng 4 7 3 5 A. . B. . C. . D. . 3 6 2 4 Lời giải ChọnB. Gọi H1 là sình phẳng giới hạn bởi các đường y(Tam xgiác 1; congy 0 ; x 0 ). OAB H2 là sình phẳng giới hạn bởi các đường y(Tam 1 giácx; y 0; x ). 0 OBC Diện tích hình hình phẳng cần tính là: 0 1 2 3 0 x2 1 2 1 7 S S S x 1dx 1 x dx x 1 x H1 H2 1 0 3 1 2 0 3 2 6 Câu 143: Cho hình chữ nhật ABCD có AB 4 , AD 8(như hình vẽ). B M C E F A N D Gọi M , N, E, F lần lượt là trung điểm của BC , AD , BN và .N TínhC thể tích củaV vật thể tròn xoay khi quay hình tứ giác BEFC quanh trục .AB A.100 .B. 96 .C D 84 90 Lời giải Chọn B. 69
  70. Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho B  O, AB  Ox, BC  Oy. Bài toán trở thành: Tính thể tích của vật thể tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi: y x; y 8 x; x 0; x 2 quay quanh trục Ox. 2 2 2 V x2 8 x dx 16x 64dx 96 . 0 0 Cách khác: Gọi I là trung điểm AB . Gọi V1 là thể tích khối nón cụt tạo bởi CFIB quay quanh AB , 1 2 2 296 V1 có chiều cao là 2 , bán kính đáy là r 6 và R 8. V1 .2 6 6.8 8 3 3 Gọi V2 là thể tích khối nón tạo bởi BEI quay quanh AB , V2 có chiều cao là 2 và bán kính đáy là 2. 8 V . 2 3 Ta có thể tích cần tính V V1 V2 96 . ˆ ˆ ˆ Câu 144: Cho hình thang vuông ABCD có A D 90 , CD 2AB , C 45 . Gọi M là trung điểm CD , gọi H, K lần lượt là trung điểm các cạnh AM , BM . Biết CD 8 , tính thể tích V của vật thể tròn xoay khi quay tứ giác HKCD quanh trục AD . A 9B.6 84 .C. 72 .D 60 Lời giải Chọn B. 70
  71. Ta có AB 4 , BMC vuông cân tại M nên AD BM 4 . Gọi O là trung điểm của AD . Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho OD  Ox, OK  Oy. Bài toán trở thành: Tính thể tích của vật thể tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi: y 2 x; y 2x 4; x 0; x 2 quay quanh trục Ox. 2 2 2 2 V 2x 4 2 x dx 32x2 20x 12dx 72 . 0 0 Câu 144: Có một vật thể là hình tròn xoay có dạng giống như một cái ly như hình vẽ dưới đây. 4 cm A B O 6 cm I Người ta đo được đường kính của miệng ly là 4cm và chiều cao là 6cm . Biết rằng thiết diện của chiếc ly cắt bởi mặt phẳng đối xứng là một parabol. Tính thể tích V cm3 của vật thể đã cho. 72 72 A. .V B. V .C. V 12 .D. .V 12 5 5 Lời giải 71
  72. Chọn C. Chọn hệ trục Oxy như hình vẽ. 4 cm A B O 6 cm I 3 Gọi phương trình của Parabol là y ax2 6 . Do P qua điểm B 2;0 nên a . 2 3 2 y 6 Vậy P : y x2 6 suy ra x . 2 3 0 2 y 6 Thể tích vật thể cần tính bằng V dy 12 . 6 3 Câu 145: Một chiếc đồng hồ cát như hình vẽ, gồm hai phần đối xứng nhau qua mặt nằm ngang và đặt trong một hình trụ. Thiết diện thẳng đứng qua trục của nó là hai parabol chung đỉnh và đối xứng nhau qua mặt nằm ngang. Ban đầu lượng cát dồn hết ở phần 3 trên của đồng hồ thì chiều cao h của mực cát bằng chiều cao của bên đó (xem hình). 4 72
  73. Cát chảy từ trên xuống dưới với lưu lượng không đổi 2,90 cm3 / phút. Khi chiều cao của cát còn 4cm thì bề mặt trên cùng của cát tạo thành một đường tròn chu vi 8 cm (xem hình). Biết sau 30 phút thì cát chảy hết xuống phần bên dưới của đồng hồ. Hỏi chiều cao của khối trụ bên ngoài là bao nhiêu cm ? A. 8cm . B. 12cm .C. 10cm .D. . 9cm Lời giải Chọn C. 8 Chiều cao khối trụ bằng h . 3 Xét thiết diện chứa trục theo phương thẳng đứng của đồng hồ cát là parabol . Gọi P là đường Parabol phía trên. Chọn hệ trục Oxy như hình vẽ . Đường tròn thiết diện có chu vi bằng 8 suy ra bán kính của nó bằng 4 . Do (P) có đỉnh là O(0;0) nên phương trình (P) : y ax2 . 1 1 (P) đi qua A(4;4) nên a . Vậy phương trình (P) : y x2 . 4 4 Thể tích phần cát ban đầu chính bằng thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay nhánh phải của (P) quay quanh trục Oy và bằng lượng cát đã chảy trong thời gian 30 p . h Ta có V (2 y )2dy 2 h2 . 0 73
  74. Lượng cát chảy trong 30 p là 2,9.30 87(m3 ) . 87 Vậy V 87 2 h2 87 h . 2 4 Chiều cao hình trụ bên ngoài là l 2. h 10cm. 3 Chọn đáp án C. Câu 146: Một thùng rượu có bán kính các đáy là 30cm , thiết diện vuông góc với trục và cách đều hai đáy có bán kính là 40cm , chiều cao thùng rượu là 1m (hình vẽ). Biết rằng mặt phẳng chứa trục và cắt mặt xung quanh thùng rượu là các đường parabol, hỏi thể tích của thùng rượu là bao nhiêu? A. 425162 lít. B. 21258 lít.C. 212,6 lít. D. 425,2 lít. Lời giải Chọn D. 74
  75. + Đổi dữ liệu sang đơn vị dm : 30cm 3dm; 40cm 4dm + Chọn hệ toạ độ như hình vẽ Gọi phương trình (P) : x ay2 by c a 4 (P) đi qua các điểm A(4;0); B(3;5) và C(3; 5) nên ta có b 0 1 c 25 1 Vậy phương trình của (P) : x y2 4 25 Thể tích của thùng rượu là : 5 1 V ( y2 4)2 dy 425,2dm3 425,2l 5 25 Suy ra đáp án D. Câu 147: Ông An muốn làm cửa rào sắt có hình dạng và kích thước như hình vẽ bên, biết đường cong phía trên là một Parabol. Giá 1 m2 của rào sắt là 700.000 đồng. Hỏi ông An phải trả bao nhiêu tiền để làm cái cửa sắt như vậy (làm tròn đến hàng phần nghìn). 2m 1,5m 5m A. 6đồng 520. 00B.0 6.320.000 đồng. C. 6.417.000 đồng. D. 6đồng 620.000 Lời giải Chọn C. 75
  76. Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Trong đó A 2,5;1,5 , B 2,5;1,5 , C 0;2 . Giả sử đường cong trên là một Parabol có dạng y ax2 bx c , với a;b;c ¡ . Do Parabol đi qua các điểm A 2,5;1,5 , B 2,5;1,5 , C 0;2 nên ta có hệ phương trình 2 2 a a( 2,5) b( 2,5) c 1,5 25 2 a( 2,5) b(2,5) c 1,5 b 0 . c 2 c 2 2 Khi đó phương trình Parabol là y x2 2 . 25 Diện tích S của cửa rào sắt là diện tích phần hình phẳng giới bởi đồ thị hàm số 2 y x2 2 , trục hoành và hai đường thẳng x 2,5 , x 2,5 . 25 2,5 2 2 55 Ta có S x 2 dx . 2,5 25 6 55 Vậy ông An phải trả số tiền để làm cái cửa sắt là S. 700.000 .700000 6.417.000 6 (đồng). Câu 148: Tính thể tích V của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x 0 và x , biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x 0 x là một tam giác đều có cạnh là 2 sin x . A. V 3 B. V 3 C. V 2 3 D. V 2 3 Lời giải Chọn D. 76
  77. 2 2 sin x 3 Diện tích thiết diện là S x 3 sin x 4 b Áp dụng công thức V S x dx 3 sin xdx 2 3 . ChọnD. a 0 Câu 149: Một mảnh vườn hình elip có trục lớn bằng 100m, trục nhỏ bằng 80m . Người ta thiết kế một mảnh nhỏ hình thoi có bốn đỉnh là bốn đỉnh của eip trên để trồng hoa, phần còn lại trồng rau. Biết lợi nhuận thu được là 5000 đồng mỗi m2 trồng rau và 10.000 đồng mỗi m 2trồng hoa. Hỏi thu nhập từ cả mảnh vườn là bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng nghìn). A. 25.708.000 .B. 51.416.000 . C 3D.1 415.000 17.635.000 Lời giải Chọn B Diện tích phần hoa là: S2 4000 Diện tích phần rau là: S1 2000 4000 Vậy thu nhập đến từ mảnh vườn là: T S1.5000 S2 .10.000 51.416.000. Câu 150: Ở quảng trường một thành phố A có một miếng đất hình tròn đường kính 30m. Trong lòng hình tròn đó người ta dự định trồng hoa hồng trên một miếng là hình elip có trục lớn bằng đường kính và trục bé bằng một phần ba đường kính đường tròn trên ( tâm của đường tròn và elip trùng nhau), phần còn lại làm hồ. Biết chi phí để trồng một 1m2 hoa hồng là 500.000đồng, chi phí làm 1m2 hồ là 2.000.000 đồng. Hỏi thành phố đó phải bỏ ra chi phí là bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng nghìn). A. 706.858.000 B. 514.160.000 C. 1.413.717.000 D. 680.340.000 Lời giải Chọn B Diện tích hình tròn là: 225 . Diện tích elip hay diện tích trồng hoa là: S1 ab 75 Diện tích phần làm hồ là: S2 150 . Vậy chi phí để thành phố phải bỏ ra là: T S1.500.00 S2.2.000.000 514.160.000. Câu 151: Cho H là hình phẳng giới hạn bởi parabol y 3x 2và nửa đường tròn có phương trình y 4 x2 với 2 x 2 (phần tô đậm trong hình vẽ). Diện tích của H bằng 77
  78. y 2 x -2 O 2 2 5 3 4 5 3 4 3 2 3 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3 Lời giải Chọn D. Phương trình hoành độ giao điểm: 3x2 4 x2 , Đk: 2 x 2 3x4 x2 4 0 x2 1 x 1. P : y 3x2 2 Hình H giới hạn bởi: C : y 4 x có diện tích là: x 1; x 1 1 1 1 S 4 x2 3x2 dx 4 x2 dx 3x2dx . 1 1  1 I1 I2 1 3 2 3 * Ta có: I x3 . 2 3 3 1 1 2 * Xét I 4 x dx :Đặt x 2sin t,t ; ; dx 2costdt . 1 1 2 2 Khi x 1 t và x 1 t . 6 6 6 6 2 2 Ta có: I 4 1 sin x 2costdt 4 cos tdt (Do cost 0 khi t ; ) 1 2 2 6 6 6 1 6 3 2 1 cos2t dt 2 t sin 2t 2 . 2 3 2 6 6 78
  79. 3 2 3 2 3 Vậy S 2 . 3 2 3 3 Cách khác: y 2 M' M A' A -2 O 1 2 x - Giao điểm của P : y 3x2 và C : y 4 x2 là M 1; 3 ,M ' 1; 3 . - Có ·AOM 60 M· OM ' 2 30 60 . Suy ra diện tích hình quạt OMM ' là 60 2 S . .R2 . 1 360 3 OM : y 3x 1 2 2 3 - Gọi S2 là diện tích giới hạn bởi P : y 3x . Suy ra S 3x 3x dx . 2 6 x 0, x 1 0 2 3 - Diện tích hình H là: S S 2S . 1 2 3 Câu 152: (Chuyên hạ long – Quảng Ninh – Lần 2 – 2018- mã 108) Cho các số p,q thỏa mãn các điều 1 1 kiện: p 1,q 1, 1 và các số dương a,b . Xét hàm số y x p 1 (x 0) có đồ thị là C . p q Gọi S1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi C , trục hoành, đường thẳng x a ; S2 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các C , trục tung, đường thẳng y b; S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục tung, trục hoành và hai đường thẳng x a, y b . Khi so sánh S1 S2 và S , ta nhận được bất đẳng thức nào trong các bất đẳng thức dưới đây? 79
  80. a p bq a p 1 bq 1 a p 1 bq 1 a p bq A. ab B. ab C. ab D. ab p q p 1 q 1 p 1 q 1 p q Lời giải Chọn D. a a p p p 1 x a S x dx Ta có 1 . 0 p 0 p 1 p 1 p 1 p 1 Ta lại có: y x (x 0) x y y . 1 1 1 p 1 p 1,q 1, 1 Mặt khác: p q p q . 1 p b p b p 1 p 1 bq S y p 1dy .y p 1 b p 1 2 p p q . 0 0 S a.b aP bq Do S S S ab . 1 2 p q Câu tương tự: Câu 153: Cho hình thang cong H giới hạn bởi các đường y e ,x y 0 ,x 0 ,x ln 4 . Đường thẳng x k 0 k ln 4 chia H thành hai phần có diện tích là S1 và S2 như hình vẽ bên. Tìm k để S1.S2 lớn nhất. 25 9 8 5 A. .k ln B. . k C. l n k ln . D. .k ln 4 4 3 2 Lời giải: Chọn D k ln 4 x k k k x k Ta cóS1 e dx e e 1 và S2 e dx 4 e 0 0 k 2 k k k k Ta có S1.S2 e 1 4 e e 5e 4 2 k 5 9 9 e 2 4 4 80
  81. 9 k 5 5 Suy ra S1.S2 lớn nhất bằng khi e k ln . 4 2 2 Câu 154: Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường y x2 , y 0, x 0, x 4. Đường thẳng y k 0 k 16 chia hình H thành hai phần có diện tích S1, S2 (hình vẽ). Tìm k để S1 S2 A. k 3. B. k 4 . C. k 5. D. k 8 Lời giải : Chọn B Phương trình hoành độ giao điểm: x2 k x k Ta có 4 4 x3 64 S S x2dx . ● 1 2 0 3 0 3 k 4 3 2 x 2k k 64 ● S1 x k dx kx 4k . 3 3 3 k 0 1 2k k 64 32 Yêu cầu bài toán S S S 4k 2k k 12k 32 0 1 2 1 2 3 3 3 t k 0 t 4 2t3 12t 2 32 0 t 2 k 4. Câu 155: Cho parabol P : y x2 2x , có đỉnh S và A là giao điểm khác O của P và trục hoành. M (x0 ; y0 ) là điểm di động trên SA ( M (x0 ; y0 ) không trùng với S ) . Tiếp tuyến d của P tại M cắt Ox ,Oy lần lượt tại E và F . S1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi P , đường thẳng d và trục 0y , S2 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi P , đường thẳng d và trục 0x . Khi tổng S1 S2 nhỏ nhất, giá trị của P x0 y0 bằng: 23 44 20 A. B. C. D. 4 9 9 9 Lời giải: 81
  82. Chọn C Tiếp tuyến tại M m;2m m2 ,1 m 2 có phương trình: y 2 2m x m 2m m2 y 2 2m x m2 2 2 m Ta có: E 0;m ;F ;0 với 1 m 2 2m 2 2 4 Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi P và trục hoành: S x2 2x dx . 0 3 1 m4 m4 S OEF 2 2m 2 4 m 1 Tathấy, S1 S2 SOEF S, S1 S2 min SOEF min 3 m4 4 4 Khảo sát hàm f m 1 m 2 ta được Min f m khi m . 4 m 1 3 3 3 4 4 28 4 4 8 S1 S2 min khi m . Khi đó M ( ; ) . 3 3 27 3 3 9 20 Vậy x y . 0 0 9 Câu 156: [Hàn Thuyên,tỉnh Bắc Ninh,lần 3,năm 2018] Gọi V là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y x , y 0 và x 4 quanh trục Ox. Đường thẳng x a 0 a 4 cắt đồ thị hàm y x tại M. Gọi V1 là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay tam giác OMH quanh trục Ox. Biết V 2V1 . Tìm giá trị a 82
  83. 5 A. .a 2 B. . a 2 C.2 a . D. a 3 . 2 Lời giải Chọn D. y x Gọi V là thể tích khối tròn xoay do H : y 0 quay quanh Ox x 4 4 4 2 V x dx xdx 8 0 0 Gọi V1 là thể tích khối tròn xoay do H1 : OMH quay quanh Ox Khi OMH quay quanh Ox tạo ra 2 khối nón tròn xoay là khối nón đỉnh O , trục ON , bán kính đáy NM và khối nón đỉnh H , trục HN , bán kính đáy NM 1 2 1 2 V a a a 4 a 1 3 3 1 V .a.4 1 3 4 V 2V 8 2. .a a 3 . 1 3 Câu 157: [Chuyên KHTN, Hà Nội, lần 2, năm 2018 - Câu 9] Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị y x2 vày x 2 bằng 13 21 9 1 A. . B. . C. . D. . 12 2 2 2 Lời giải Chọn C +) Ta có phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị y x2 vày x 2 là x2 x 2 suy ra x 2 và x 1 . 83
  84. +) Nhận xét rằng đồ thị y x2chỉ cắt đồ thị y x 2 trên ;2 (có thể dựa vào đồ thị vẽ ra). Bài toán đưa về tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y x2 vày 2 x . 1 1 2 3 2 x x 9 +) Ta có S 2 x x dx 2x . ChọnC. 2 3 2 2 2 1 Câu 158: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường x ; x 1; y 0 và đồ thị hàm số 2 y log 2 x. 1 1 1 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 2 2ln 2 2ln 2 2 ln 2 2 2ln 2 Lời giải Chọn A 1 1 +) Đồ thịy log 2 x cắt đường thẳng x tại A ; 1 và cắt đường thẳng x 1 tại B(1;0). 2 2 1 1 S | log x |dx log x dx. +) Diện tích hình phẳng cần tính 2 2 1 1 2 2 1 1 1 +) S x log x x. dx 2 1 1 x ln 2 2 2 1 1 1 1 1 x 1 2 1 1 +) S log 2 1 . ChọnA. 2 2 ln 2 2 ln 2 2 2ln 2 2 Câu 159: Cho hàm số y ax4 bx2 c có đồ thị C , biết rằng C đi qua điểm A 1;0 . Tiếp tuyến d tại A của C cắt C tại 2 điểm có hoành độ lần lượt là 0 và 2, diện tích hình 28 phẳng giới hạn bởi d , đồ thị C và hai đường thẳng x 0; x 2 có diện tích bằng (phần 5 gạch chéo trong hình vẽ). 84
  85. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng d , đồ thị C và hai đường thẳng x 1; x 0 bằng 1 1 2 2 A. . B. . C. . D. . 5 9 5 9 Lời giải Chọn A +) Điểm A 1;0 thuộc đồ thị C a b c 0 +) Phương trình tiếp tuyến tại A 1;0 là d : y y ' 1 x 1 y 4a 2b x 1 . +) Phương trình hoành độ giao điểm của d và đồ thị C là 4a 2b x 1 ax4 bx2 c * 4a 2b c +) Mà x 0, x 2 là nghiệm của (*) suy ra 1 12a 6b 16a 4b c 2 28 4 2 32 8 28 +) Có 4a 2b x 1 ax bx c dx 4 4a 2b a b 2c 2 5 0 3 3 5 +) Từ 1 , 2 ta được a 1,b 3,c 2 suy ra y x4 3x2 2 . 0 1 +) Vậy diện tích cần tính là S 2x 2 x4 3x2 2 dx . ChọnA. 1 5 Câu 160: Cho parabol P : y x2 và hai điểm A, B thuộc P sao cho AB 2 . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi P và đường thẳng AB đạt giá trị lớn nhất bằng: 2 3 4 3 A. . B. . C. . D. . 3 4 3 2 Lời giải y A B x 1 Chọn C. 85
  86. +) Gọi đường thẳng d : y ax b Xét phương trình hoành độ giao điểm của P và d là: x2 ax b 0 Đường thẳng cắt P tại hai điểm phân biệt A, B khi a2 4b 0 . x1 x2 a Gọi hai nghiệm của phương trình là x1, x2 ; x1 x2 . Khi đó ta có x1.x2 b Gọi giao điểm của d và P là A x1, y1 , B x2 , y2 . Ta có: AB 2 x x 2 y y 2 4 x x 2 4x x a2 x x 2 4x x 4 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 4 a 4b a a 4b 4 a 4b 2 * a 1 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng d và P là: x 2 3 2 x2 x2 ax x S x2 ax b dx ax b x2 dx bx x x 1 1 2 3 x1 2 3 2 3 2 2 ax2 x2 ax1 x1 a x2 x1x2 x1 bx2 bx1 x2 x1 x2 x1 b 2 3 2 3 2 3 3 3 2 2 2 2 2 a 4b 2 2 a a b a 4b a 1 4 1 x x b a2 4b. . . 2 1 3 2 3 6 6 6 3 a2 1 1 4 Vì a2 1 1,a 1 nên S . 3 a2 1 3 Câu 161: [THPT Chuyên Trần Phú, Hải Phòng, lần 2, 2018] Thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi hình phẳng giới hạn bởi các đường x y, y x 2, x 0 quay quanh Ox có giá trị là kết quả nào sau đây 1 3 32 11 A. .V B. V . C. V . D. .V 3 2 15 6 Lời giải Chọn C. x2 y Ta có x y . x; y 0 86
  87. Phương trình hoành độ giao điểm là 2 x 1 (TM ) x x 2 . x 2(L) 1 2 32 Thể tích cần tìm là: V x 2 x4 dx 0 15 Câu 162: Một mảnh vườn hình elip có trục lớn bằng 100 m , trục nhỏ bằng 80 m được chia thành 2 phần bởi một đoạn thẳng nối hai đỉnh liên tiếp của elip. Phần nhỏ hơn trồng cây con và phần lớn hơn 2 2 trồng rau. Biết lợi nhuận thu được là 2000 mỗi m trồng cây con và 4000 mỗi m trồng rau. Hỏi thu nhập từ cả mảnh vườn là bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng nghìn ). A. 31904000. B. 23991000 . C. .1 0566000D. . 17635000 Lời giải Chọn B x2 y2 Chứng minh: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi elip E : 2 2 1 (với a b 0 ) là ab a b x2 Thật vậy, phần đường elip nằm trên trục hoành có phương trình y b 1 . Do Ox,Oy là a2 a x2 trục đối xứng của elip E nên diện tích hình phẳng giới hạn bởi elip E là S 4 b 1 dx 2 0 a . 2 2 2 2 Đặt x asin t với t ; ta được S 4b 1 sin td asin t 4ab cos tdt ab . 2 2 0 0 Xét mảnh vườn: a 50,b 40 2 Diện tích trồng cây con là: Sc .40.50 S OAB 2 500 m 4 Diện tích trồng rau là: Sr .40.50 2 500 3 2 500 Thu nhập từ mảnh vườn là: 2 500.2000 3 2 500.4000 23991000 . Câu 163: Một quả đào hình cầu có đường kính 6cm . Hạt của nó là khối tròn xoay sinh ra bởi hình Elip khi quay quanh đường thẳng nối hai tiêu điểm F1 , F2 . Biết tâm của Elip trùng với tâm của khối 87
  88. cầu và độ dài trục lớn, trục nhỏ lần lượt là 4cm , 2cm . Thể tích phần cùi (phần ăn được) của a a quả đào bằng cm3 với a,b là các số thực và tối giản, khi đó a b bằng b b A. 97 . B. .3 6 C. . 5 D. . 103 Lời giải Chọn A Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho tâm Elip trùng với gốc tọa độ O , hai tiêu điểm nằm trên trục 2 2 x y x2 Ox . Khi đó phương trình Elip là 1 , xét y = 1- . 4 1 4 Thể tích khối tròn xoay khi quay Elip trên quanh trục lớn là: 2 2 2 x 8 V 2 y2dx 2 1 dx . 1 0 0 4 3 4 Thể tích quả đào hình cầu V .33 36 . 3 100 Do đó thể tích phần cùi của quả đào là V V . Do đó a b 97 . 1 3 Câu 164: Trong mặt phẳng cho đường Elip có độ dài trục lớn là AA' ,8 độ dài trục nhỏ là BB ' ; 6 đường tròn tâm O đường kính là BB ' như hình vẽ. Tính thể tích vật thể tròn xoay có được bằng cách cho miền hình phẳng giới hạn bởi đường Elip và đường tròn (phần hình phẳng được tô đậm trên hình vẽ) quay xung quanh trục AA' . 88
  89. B A A' O B' 64 A. 36 .B. 12 . C. .1 6 D. . 3 Lời giải Chọn B Gắn hệ trục toạ độ Oxy sao cho O là tâm của đường tròn, A, A' Ox , B, B ' Oy . x2 y2 x2 Phương trình elip là 1 , xét y 3 1 . 16 9 16 2 4 x Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay Elip quanh trục Ox là: V 2 9 1 dx 48 . 1 0 16 4 Thể tích khối cầu là: V .33 36 . 3 Suy ra thể tích khối tròn xoay cần tìm là: V V1 12 . 55 Câu 165: Từ một tấm tôn hình chữ nhật ABCD với AB 30cm, AD cm . Người ta cắt miếng tôn 3 theo đường hình sin như hình vẽ bên để được hai miếng tôn nhỏ. Biết AM 20cm , CN 15cm ,BE 5 cm .Tính thể tích của lọ hoa được tạo thành bằng cách quay miếng tôn lớn quanh trục AD (kết quả làm tròn đến hàng trăm). 89
  90. A. .8 1788cm3 B. 87388cm3 .C. 83788cm3 . D. .7883cm3 Lời giải Chọn C Chọn hệ trục Oxy sao cho A  O , D Ox ,B Oy . Ta có BE 5 suy ra hàm số tuần hoàn với chu kì T 20 . x Suy ra phương trình đồ thị hình Sin cần tìm có dạng: y asin b . 10 55 Do đồ thị hình sin đi qua M 0;20 , N ;15 nên ta có: 3 1 asin .0 b 20 10 a 10 . 1 55 b 20 asin . b 15 10 3 x Ta có phương trình đồ thị hình sin cần tìm là y 10sin 20 . 10 2 55 x Thể tích cần tìm là: 3 10sin 20 dx ; 83788cm3 . 0 10 Câu 166: [THPT CHUYÊN LQĐ, LAI CHÂU, lần 1, 2018] Một vật chuyển động trong bốn giờ với vận tốc v (km/h) phụ thuộc vào thời gian t (h) có đồ thị vận tốc như hình vẽ bên. Trong khoảng thời gian 1 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị đó là một phần của đường parabol có đỉnh I(2;9) và trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian còn lại vật chuyển động chậm dần đều. Tính quãng đường S mà vật di chuyển được trong 4 giờ đó ( kết quả làm tròn đến hàng phần trăm). A. S 23,71km . B. S 23,58km . C. S 23,56km . D S 23,72km Lời giải Chọn A 90
  91. Với t 0;1 , gọi v(t) at 2 bt c. Ta có : v(0) 4;v(2) 9; hoành độ đỉnh parabol bằng 2 nên ta có hệ phương trình: 5 a c 4 4 4a 2b c 9 b 5 . b c 4 2 2a Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian từ 0 đến 1 giờ bằng : 1 5 73 S t 2 5t 4 dt km . 1 0 4 12 Với t (1;4], gọi v(t) mt n. Ta có hệ phương trình : 31 5 m n m 4 4 . Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian từ 1 đến 4 giờ 4m n 4 n 9 4 5 141 bằng : S t 9 dt km 2 1 4 8 Quãng đường S mà vật di chuyển được trong 4 giờ bằng : S S1 S2 23,71km . Câu 167: Biết diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y sin x , y cos x , x 0, x a với 1 a ; là 3 4 2 3 hỏi số a thuộc khoảng nào sau đây? 4 2 2 7 51 11 11 3 51 A. ;1 . B. ; . C. . ; D. 1; 10 50 10 10 2 50 Lời giải Chọn B. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y sin x , y cos x , x 0, x a là a S sin x cos x dx 0 4 a 4 a sin x cos x dx+ sin x cos x dx cos x sin x dx sin x cos x dx 0 0 4 4 91