Bài tập trắc nghiệm hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác

Nội dung text: Bài tập trắc nghiệm hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác

1. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ GIẢI TAM GIÁC Vấn đề 1. GIẢI TAM GIÁC Câu 1. Tam giác ABC cĩ AB 5, BC 7, CA 8. Số đo gĩc µA bằng: A. 30. B. 45. C. 60. D. 90. Câu 2. Tam giác ABC cĩ AB 2, AC 1 và µA 60. Tính độ dài cạnh BC . A. BC 1. B. BC 2. C. BC 2. D. BC 3. Câu 3. Tam giác ABC cĩ đoạn thẳng nối trung điểm của AB và BC bằng 3, cạnh AB 9 và ·ACB 60 . Tính độ dài cạnh cạnh BC . 3 3 33 A. BC 3 3 6. B. BC 3 6 3. C. BC 3 7.D. BC . 2 Câu 4. Tam giác ABC cĩ AB 2, AC 3 và Cµ 45. Tính độ dài cạnh BC . 6 2 6 2 A. BC 5. B. BC . C. BC . D. BC 6. 2 2 Câu 5. Tam giác ABC cĩ Bµ 60, Cµ 45 và AB 5. Tính độ dài cạnh AC . 5 6 A. AC . B. AC 5 3. C. AC 5 2. D. AC 10. 2 Câu 6. Cho hình thoi ABCD cạnh bằng 1 cm và cĩ B· AD 60 . Tính độ dài cạnh AC . A. AC 3. B. AC 2. C. AC 2 3. D. AC 2. Câu 7. Tam giác ABC cĩ AB 4, BC 6, AC 2 7 . Điểm M thuộc đoạn BC sao cho MC 2MB . Tính độ dài cạnh AM . A. AM 4 2. B. AM 3. C. AM 2 3. D. AM 3 2. 6 2 Câu 8. Tam giác ABC cĩ AB , BC 3, CA 2 . Gọi D là chân đường phân giác trong 2 gĩc µA. Khi đĩ gĩc ·ADB bằng bao nhiêu độ? A. 45. B. 60. C. 75. D. 90. Câu 9. Tam giác ABC vuơng tại A, đường cao AH 32 cm . Hai cạnh AB và AC tỉ lệ với 3 và 4. Cạnh nhỏ nhất của tam giác này cĩ độ dài bằng bao nhiêu?
2. A. 38 cm. B. 40 cm. C. 42 cm. D. 45 cm. Câu 10. Tam giác MPQ vuơng tại P . Trên cạnh MQ lấy hai điểm E, F sao cho các gĩc M· PE, E· PF, F· PQ bằng nhau. Đặt MP q, PQ m, PE x, PF y . Trong các hệ thức sau, hệ thức nào đúng? A. ME EF FQ. B. ME 2 q2 x2 xq. C. MF 2 q2 y2 yq. D. MQ2 q2 m2 2qm. Câu 11. Cho gĩc x· Oy 30. Gọi A và B là hai điểm di động lần lượt trên Ox và Oy sao cho AB 1. Độ dài lớn nhất của đoạn OB bằng: 3 A. . B. 3. C. 2 2. D. 2. 2 Câu 12. Cho gĩc x· Oy 30. Gọi A và B là hai điểm di động lần lượt trên Ox và Oy sao cho AB 1. Khi OB cĩ độ dài lớn nhất thì độ dài của đoạn OA bằng: 3 A. . B. 3. C. 2 2. D. 2. 2 Câu 13. Tam giác ABC cĩ AB c, BC a, CA b. Các cạnh a, b, c liên hệ với nhau bởi đẳng thức b b2 a2 c a2 c2 . Khi đĩ gĩc B· AC bằng bao nhiêu độ? A. 30. B. 45. C. 60. D. 90. Câu 14. Tam giác ABC vuơng tại A, cĩ AB c, AC b . Gọi  a là độ dài đoạn phân giác trong gĩc · BAC . Tính  a theo b và c . 2bc 2 b c 2bc 2 b c A.  . B.  . C.  . D.  . a b c a bc a b c a bc Câu 15. Hai chiếc tàu thủy cùng xuất phát từ một vị trí A, đi thẳng theo hai hướng tạo với nhau gĩc 600 . Tàu B chạy với tốc độ 20 hải lí một giờ. Tàu C chạy với tốc độ 15 hải lí một giờ. Sau hai giờ, hai tàu cách nhau bao nhiêu hải lí? Kết quả gần nhất với số nào sau đây? A. 61 hải lí. B. 36 hải lí. C. 21 hải lí. D. 18 hải lí.
3. Câu 16. Để đo khoảng cách từ một điểm A trên bờ sơng đến gốc cây C trên cù lao giữa sơng, người ta chọn một điểm B cùng ở trên bờ với A sao cho từ A và B cĩ thể nhìn thấy điểm C . Ta đo được khoảng cách AB 40m , C· AB 450 và C· BA 700 . Vậy sau khi đo đạc và tính tốn được khoảng cách AC gần nhất với giá trị nào sau đây? A. 53 m . B. 30 m . C. 41,5 m . D. 41 m . Câu 17. Từ vị trí A người ta quan sát một cây cao (hình vẽ). Biết AH 4m, HB 20m, B· AC 450 . Chiều cao của cây gần nhất với giá trị nào sau đây? A. 17,5m. B. 17m . C. 16,5m . D. 16m . Câu 18. Giả sử CD h là chiều cao của tháp trong đĩ C là chân tháp. Chọn hai điểm A, B trên mặt đất sao cho ba điểm A, B và C thẳng hàng. Ta đo được AB 24 m , C· AD 630 , C· BD 480 . Chiều cao h của tháp gần với giá trị nào sau đây? A. 18m . B. 18,5m . C. 60m . D. 60,5m.
4. Câu 19. Trên nĩc một tịa nhà cĩ một cột ăng-ten cao 5 m . Từ vị trí quan sát A cao 7 m so với mặt đất, cĩ thể nhìn thấy đỉnh B và chân C của cột ăng-ten dưới gĩc 500 và 400 so với phương nằm ngang. Chiều cao của tịa nhà gần nhất với giá trị nào sau đây? A. 12m . B. 19m . C. 24m . D. 29m . Câu 20. Xác định chiều cao của một tháp mà khơng cần lên đỉnh của tháp. Đặt kế giác thẳng đứng cách chân tháp một khoảng CD 60m , giả sử chiều cao của giác kế là OC 1m . A Quay thanh giác kế sao cho khi ngắm theo thanh ta nhình thấy đỉnh A của tháp. Đọc trên giác kế số đo của gĩc ·AOB 600 . Chiều cao của ngọn tháp gần với giá trị nào sau đây: A. 40m . B. 114m . B 60° O 1m C. 105m . D 60m C D. 110m . Câu 21. Từ hai vị trí A và B của một tịa nhà, người ta quan sát đỉnh C của ngọn núi. Biết rằng độ cao AB 70m, phương nhìn AC tạo với phương nằm ngang gĩc 300 , phương nhìn BC tạo với phương nằm ngang gĩc 15030'. Ngọn núi đĩ cĩ độ cao so với mặt đất gần nhất với giá trị nào sau đây? A. 135m . B. 234m . C. 165m . D. 195m . Vấn đề 2. ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN Câu 22. Tam giác ABC cĩ AB 6cm, AC 8cm và BC 10cm . Độ dài đường trung tuyến xuất
5. phát từ đỉnh A của tam giác bằng: A. 4cm . B. 3cm . C. 7cm . D. 5cm . Câu 23. Tam giác ABC vuơng tại A và cĩ AB AC a . Tính độ dài đường trung tuyến BM của tam giác đã cho. a 5 A. BM 1,5a. B. BM a 2. C. BM a 3. D. BM . 2 Câu 24. Tam giác ABC cĩ AB 9cm, AC 12 cm và BC 15cm. Tính độ dài đường trung tuyến AM của tam giác đã cho. 15 13 A. AM cm.B. AM 10cm.C. AM 9 cm.D. AM cm. 2 2 15 Câu 25. Tam giác ABC cân tại C , cĩ AB 9cm và AC cm . Gọi D là điểm đối xứng của B 2 qua C . Tính độ dài cạnh AD. A. AD 6 cm.B. AD 9 cm.C. AD 12 cm.D. AD 12 2 cm. 5 13 Câu 26. Tam giác ABC cĩ AB 3, BC 8. Gọi M là trung điểm của BC . Biết cos ·AMB 26 và AM 3. Tính độ dài cạnh AC . A. AC 13 .B. AC 7 .C. AC 13.D. AC 7 . Câu 27*. Tam giác cĩ trọng tâm G . Hai trung tuyến BM 6, CN 9 và B· GC 1200 . Tính độ dài cạnh AB . A. AB 11 .B. AB 13 .C. AB 2 11. D. AB 2 13 . Câu 28 . Tam giác ABC cĩ độ dài ba trung tuyến lần lượt là 9; 12; 15. Diện tích của tam giác ABC bằng: A. 24 . B. 24 2 . C. 72. D. 72 2 . Câu 29*. Cho tam giác ABC cĩ AB c, BC a, CA b . Nếu giữa a, b, c cĩ liên hệ b2 c2 2a2 thì độ dài đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A của tam giác tính theo a bằng: a 3 a 3 A. . B. . C. 2a 3 . D. 3a 3 . 2 3 Câu 30*. Cho hình bình hành ABCD cĩ AB a, BC b, BD m và AC n . Trong các biểu thức sau, biểu thức nào đúng: A. m2 n2 3 a2 b2 . B. m2 n2 2 a2 b2 . C. 2 m2 n2 a2 b2 . D. 3 m2 n2 a2 b2 .
6. Câu 31 . Tam giác ABC cĩ AB c, BC a, CA b . Các cạnh a, b, c liên hệ với nhau bởi đẳng thức a2 b2 5c2 . Gĩc giữa hai trung tuyến AM và BN là gĩc nào? A. 300 . B. 450 . C. 600 . D. 900 . 2 2 2 Câu 32 . Tam giác ABC cĩ ba đường trung tuyến ma , mb , mc thỏa mãn 5ma mb mc . Khi đĩ tam giác này là tam giác gì? A. Tam giác cân. B. Tam giác đều. C. Tam giác vuơng. D. Tam giác vuơng cân. Câu 33 . Tam giác ABC cĩ AB c, BC a, CA b . Gọi ma , mb , mc là độ dài ba đường trung tuyến, G trọng tâm. Xét các khẳng định sau: 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 I . ma mb mc a b c . II . GA GB GC a b c . 4 3 Trong các khẳng định đã cho cĩ A. I đúng. B. Chỉ II đúng. C. Cả hai cùng sai. D. Cả hai cùng đúng. Vấn đề 3. BÁN KÍNH ĐƯỜNG TRỊN NGOẠI TIẾP Câu 34. Tam giác ABC cĩ BC 10 và µA 30O . Tính bán kính R của đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC . 10 A. R 5.B. R 10 .C. R .D. R 10 3 . 3 Câu 35. Tam giác ABC cĩ AB 3, AC 6 và µA 60. Tính bán kính R của đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC . A. R 3.B. R 3 3 .C. R 3 . D. R 6 . Câu 36. Tam giác ABC cĩ BC 21cm, CA 17cm, AB 10cm . Tính bán kính R của đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC . 85 7 85 7 A. R cm .B. R cm .C. R cm .D. R cm . 2 4 8 2 Câu 37. Tam giác đều cạnh a nội tiếp trong đường trịn bán kính R . Khi đĩ bán kính R bằng: a 3 a 2 a 3 a 3 A. R .B. R .C. R .D. R . 2 3 3 4 12 AB 3 Câu 38. Tam giác ABC vuơng tại A cĩ đường cao AH cm và . Tính bán kính R của 5 AC 4 đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC .
7. A. R 2,5cm .B. R 1,5cm .C. R 2cm .D. R 3,5cm . Câu 39. Cho tam giác ABC cĩ AB 3 3, BC 6 3 và CA 9 . Gọi D là trung điểm BC . Tính bán kính R của đường trịn ngoại tiếp tam giác ABD. 9 9 A. R .B. R 3. C. R 3 3 .D. R . 6 2 Câu 40 . Tam giác nhọn ABC cĩ AC b, BC a , BB' là đường cao kẻ từ B và C· BB' . Bán kính đường trịn ngoại tiếp R của tam giác ABC được tính theo a, b và là: a2 b2 2abcos a2 b2 2abcos A. R .B. R . 2sin 2sin a2 b2 2abcos a2 b2 2abcos C. R .D. R . 2cos 2cos Vấn đề 4. DIỆN TÍCH TAM GIÁC Câu 41. Tam giác A 1;3 , B 5; 1 cĩ AB 3, AC 6, B· AC 60. Tính diện tích tam giác ABC . 9 3 9 A. S 9 3 .B. S .C. S 9 .D. S . ABC ABC 2 ABC ABC 2 Câu 42. Tam giác ABC cĩ AC 4, B· AC 30, ·ACB 75 . Tính diện tích tam giác ABC . A. S ABC 8.B. S ABC 4 3 .C. S ABC 4 . D. S ABC 8 3 . Câu 43. Tam giác ABC cĩ a 21, b 17, c 10. Diện tích của tam giác ABC bằng: A. S ABC 16 .B. S ABC 48.C. S ABC 24 .D. S ABC 84 . · Câu 44. Tam giác A 1;3 , B 5; 1 cĩ AB 3, AC 6, BAC 60. Tính độ dài đường cao ha của tam giác. 3 A. h 3 3 .B. h 3 .C. h 3.D. h . a a a a 2 Câu 45. Tam giác ABC cĩ AC 4, ·ACB 60 . Tính độ dài đường cao h uất phát từ đỉnh A của tam giác. A. h 2 3 .B. h 4 3 .C. h 2 .D. h 4 . Câu 46. Tam giác ABC cĩ a 21, b 17, c 10. Gọi B' là hình chiếu vuơng gĩc của B trên cạnh AC . Tính BB' .
8. 84 168 84 A. BB' 8. B. BB' .C. BB' .D. BB' . 5 17 17 Câu 47. Tam giác ABC cĩ AB 8 cm, AC 18 cm và cĩ diện tích bằng 64 cm2 . Giá trị sin A ằng: 3 3 4 8 A. sin A .B. sin A . C. sin A . D. sin A . 2 8 5 9 Câu 48. Hình bình hành ABCD cĩ AB a, BC a 2 và B· AD 450 . Khi đĩ hình bình hành cĩ diện tích bằng: A. 2a2 .B. a2 2 .C. a2 .D. a2 3 . Câu 49*. Tam giác ABC vuơng tại A cĩ AB AC 30cm. Hai đường trung tuyến BF và CE cắt nhau tại G . Diện tích tam giác GFC bằng: A. 50 cm2 .B. 50 2 cm2 .C. 75 cm2 .D. 15 105 cm2 . Câu 50*. Tam giác đều nội tiếp đường trịn bán kính R 4 cm cĩ diện tích bằng: A. 13 cm2 B. 13 2 cm2 C. 12 3 cm2 D. 15 cm2 . Câu 51*. Tam giác ABC cĩ BC 2 3, AC 2AB và độ dài đường cao AH 2. Tính độ dài cạnh AB . 2 3 A. AB 2 . B. AB . 3 2 21 2 3 C. AB 2 hoặc AB . D. AB 2 hoặc AB . 3 3 Câu 52*. Tam giác ABC cĩ BC a, CA b, AB c và cĩ diện tích S . Nếu tăng cạnh BC lên 2 lần đồng thời tăng cạnh AC lên 3 lần và giữ nguyên độ lớn của gĩc C thì khi đĩ diện tích của tam giác mới được tạo nên bằng: A. 2S . B. 3S . C. 4S . D. 6S . Câu 53*. Tam giác ABC cĩ BC a và CA b . Tam giác ABC cĩ diện tích lớn nhất khi gĩc C bằng: A. 600 .B. 900 .C. 1500 .D. 1200 . Câu 54*. Tam giác ABC cĩ hai đường trung tuyến BM , CN vuơng gĩc với nhau và cĩ BC 3, gĩc B· AC 300 . Tính diện tích tam giác ABC . 3 3 A. S 3 3 . B. S 6 3 .C. S 9 3 .D. S . ABC ABC ABC ABC 2 Vấn đề 5. BÁN KÍNH ĐƯỜNG TRỊN NỘI TIẾP
9. Câu 55. Tam giác ABC cĩ AB 5, AC 8 và B· AC 600 . Tính bán kính r của đường trịn nội tiếp tam giác đã cho. A. r 1. B. r 2. C. r 3 . D. r 2 3 . Câu 56. Tam giác ABC cĩ a 21, b 17, c 10. Tính bán kính r của đường trịn nội tiếp tam giác đã cho. 7 A. r 16. B. r 7 . C. r . D. r 8. 2 Câu 57. Tính bán kính r của đường trịn nội tiếp tam giác đều cạnh a . a 3 a 2 a 3 a 5 A. r .B. r . C. r .D. r . 4 5 6 7 Câu 58. Tam giác ABC vuơng tại A cĩ AB 6cm, BC 10cm. Tính bán kính r của đường trịn nội tiếp tam giác đã cho. A. r 1 cm.B. r 2 cm.C. r 2 cm. D. r 3 cm. Câu 59. Tam giác ABC vuơng cân tại A, cĩ AB a . Tính bán kính r của đường trịn nội tiếp tam giác đã cho. a a a a A. r .B. r .C. r .D. r . 2 2 2 2 3 Câu 60. Tam giác ABC vuơng cân tại A và nội tiếp trong đường trịn tâm O bán kính R . Gọi r là bán R kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC . Khi đĩ tỉ số bằng: r 2 2 2 1 1 2 A. 1 2 .B. .C. .D. . 2 2 2 ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI AB2 AC 2 BC 2 52 82 72 1 Câu 1. Theo định lí hàm cosin, ta cĩ cos µA . 2AB.AC 2.5.8 2 Do đĩ, µA 60. Chọn C. Câu 2. Theo định lí hàm cosin, ta cĩ BC 2 AB2 AC 2 2AB.AC.cos µA 22 12 2.2.1.cos60 3 BC 3 . Chọn D. Câu 3. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB, BC . A M B N C
10.  MN là đường trung bình của ABC . 1  MN AC . Mà MN 3 , suy ra AC 6 . 2 Theo định lí hàm cosin, ta cĩ AB2 AC 2 BC 2 2.AC.BC.cos ·ACB 92 62 BC 2 2.6.BC.cos60 BC 3 3 6 Chọn A. Câu 4. Theo định lí hàm cosin, ta cĩ 2 2 AB2 AC 2 BC 2 2.AC.BC.cosCµ 2 3 BC 2 2. 3.BC.cos45 6 2 BC . Chọn B. 2 AB AC 5 AC 5 6 Câu 5. Theo định lí hàm sin, ta cĩ AC . sinCµ sin Bµ sin 45 sin 60 2 Chọn A. Câu 6. B Do ABCD là hình thoi, cĩ B· AD 60 ·ABC 120 . A C Theo định lí hàm cosin, ta cĩ D AC 2 AB2 BC 2 2.AB.BC.cos ·ABC 12 12 2.1.1.cos120 3 AC 3 Chọn A. Câu 7. 2 2 2 AB2 BC 2 AC 2 4 6 2 7 1 Theo định lí hàm cosin, ta cĩ : cos B . 2.AB.BC 2.4.6 2 1 Do MC 2MB  BM BC 2. A 3 Theo định lí hàm cosin, ta cĩ B M C
11. AM 2 AB2 BM 2 2.AB.BM.cos Bµ 1 42 22 2.4.2. 12 AM 2 3 2 Chọn C. Câu 8. Theo định lí hàm cosin, ta cĩ: A AB2 AC 2 BC 2 1 cos B· AC 2.AB.AC 2 B· AC 120 B· AD 60 B D C AB2 BC 2 AC 2 2 cos ·ABC ·ABC 45 2.AB.BC 2 Trong ABD cĩ B· AD 60, A· BD 45 ·ADB 75 . Chọn C. Câu 9. Do tam giác ABC vuơng tại A, cĩ tỉ lệ 2 cạnh gĩc vuơng AB : AC là 3: 4 nên AB là cạnh nhỏ nhất trong tam giác. AB 3 4 Ta cĩ AC AB . AC 4 3 Trong ABC cĩ AH là đường cao 1 1 1 1 1 1 1 9 2 2 2 2 2 2 2 AB 40. Chọn B. AH AB AC AB 4 2 32 AB 16AB AB 3 Câu 10. M· PQ Ta cĩ M· PE E· PF F· PQ 30 M· PF E· PQ 60 . 3 Theo định lí hàm cosin, ta cĩ P ME 2 AM 2 AE 2 2.AM.AE.cos M· AE q2 x2 2qx.cos30 q2 x2 qx 3 M E F Q MF 2 AM 2 AF 2 2AM.AF.cos M· AF q2 y2 2qy.cos60 q2 y2 qy MQ2 MP2 PQ2 q2 m2 . Chọn C.
12. Câu 11. Theo định lí hàm sin, ta cĩ: OB AB AB 1 OB .sinO· AB .sinO· AB 2sinO· AB sinO· AB sin ·AOB sin ·AOB sin30 Do đĩ, độ dài OB lớn nhất khi và chỉ khi y B sinO· AB 1 O· AB 90 . x Khi đĩ OB 2 . O A Chọn D. Câu 12. Theo định lí hàm sin, ta cĩ OB AB AB · 1 · · OB .sinOAB .sinOAB y2sinOAB sinO· AB sin ·AOB sin ·AOB sin30 B Do đĩ, độ dài OB lớn nhất khi và chỉ khi x sinO· AB 1 O· AB 90 . O A Khi đĩ OB 2 . Tam giác OAB vuơng tại A OA OB2 AB2 22 12 3 . Chọn B AB2 AC 2 BC 2 c2 b2 a2 Câu 13. Theo định lí hàm cosin, ta cĩ cos B· AC . 2.AB.AC 2bc Mà b b2 a2 c a2 c2 b3 a2b a2c c3 a2 b c b3 c3 0 b c b2 c2 a2 bc 0 b2 c2 a2 bc 0 (do b 0, c 0 ) b2 c2 a2 bc b2 c2 a2 1 Khi đĩ, cos B· AC B· AC 60. Chọn C. 2bc 2 Câu 14. Ta cĩ BC AB2 AC 2 b2 c2 . A Do AD là phân giác trong của B· AC 2 2 AB c c c b cB D C BD .DC .DC .BC . AC b b c b c Theo định lí hàm cosin, ta cĩ
13. c2 b2 c2 BD2 AB2 AD2 2.AB.AD.cos A· BD c2 AD2 2c.AD.cos45 b c 2 2 2 2 c b c 2bc3 AD2 c 2.AD c2 0 AD2 c 2.AD 0. 2 2 b c b c 2bc 2bc AD hay  . Chọn A. b c a b c Câu 15. Sau 2 giờ tàu B đi được 40 hải lí, tàu C đi được 30 hải lí. Vậy tam giác ABC cĩ AB 40, AC 30 và µA 600. Áp dụng định lí cơsin vào tam giác ABC, ta cĩ a2 b2 c2 2bccos A 302 402 2.30.40.cos600 900 1600 1200 1300. Vậy BC 1300 36 (hải lí). Sau 2 giờ, hai tàu cách nhau khoảng 36 hải lí. Chọn B. AC AB Câu 16. Áp dụng định lí sin vào tam giác ABC, ta cĩ sin B sinC AB.sin  40.sin 700 Vì sinC sin  nên AC 41,47 m. Chọn C. sin  sin1150 AH 4 1 Câu 17. Trong tam giác AHB , ta cĩ tan ·ABH  ·ABH 11019'. BH 20 5 Suy ra ·ABC 900 ·ABH 78041'. Suy ra ·ACB 1800 B· AC ·ABC 56019'. Áp dụng định lý sin trong tam giác ABC , ta được AB CB AB.sin B· AC  CB 17m. Chọn B. sin ·ACB sin B· AC sin ·ACB AD AB Câu 18. Áp dụng định lí sin vào tam giác ABD, ta cĩ . sin  sin D Ta cĩ Dµ  nên Dµ  630 480 150. AB.sin  24.sin 480 Do đĩ AD 68,91 m. sin  sin150
14. Trong tam giác vuơng ACD, cĩ h CD AD.sin 61,4 m. Chọn D. Câu 19. Từ hình vẽ, suy ra B· AC 100 và A· BD 1800 B· AD ·ADB 1800 500 900 400 . Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC , ta cĩ BC AC BC.sin ·ABC 5.sin 400  AC = 18,5 m . sin B· AC sin ·ABC sin B· AC sin100 CD Trong tam giác vuơng ADC , ta cĩ sinC· AD  CD AC.sinC· AD 11,9 m. AC Vậy CH CD DH 11,9 7 18,9 m. Chọn B. AB Câu 20. Tam giác OAB vuơng tại B, cĩ tan ·AOB AB tan 600.OB 60 3 m. OB Vậy chiếu cao của ngọn tháp là h AB OC 60 3 1 m. Chọn C. Câu 21. Từ giả thiết, ta suy ra tam giác ABC cĩ C· AB 600 , ·ABC 105030 và c 70. Khi đĩ µA Bµ Cµ 1800 Cµ 1800 µA Bµ 1800 165030 14030 . b c b 70 Theo định lí sin, ta cĩ hay sin B sinC sin105030 sin14030 70.sin105030 Do đĩ AC b 269,4 m. sin14030 Gọi CH là khoảng cách từ C đến mặt đất. Tam giác vuơng ACH cĩ cạnh CH đối diện với gĩc AC 269,4 300 nên CH 134,7 m. 2 2 Vậy ngọn núi cao khoảng 135 m. Chọn A. Câu 22. A b2 c2 a2 Áp dụng cơng thức đường trung tuyến m2 ta được: a 2 4 B C M AC 2 AB2 BC 2 82 62 102 m2 25 a 2 4 2 4 ma 5. Chọn D. Câu 23.
15. AC a B M là trung điểm của AC AM . 2 2 Tam giác BAM vuơng tại A C A M a2 a 5 BM AB2 AM 2 a2 . Chọn D. 4 2 Câu 24. b2 c2 a2 Áp dụng hệ thức đường trung tuyến m2 ta được:A a 2 4 2 2 2 2 2 2 AC AB BC 12 9 15 225 B C m2 . M a 2 4 2 4 4 15 m . Chọn A. a 2 Câu 25. Ta cĩ: D là điểm đối xứng của B qua C C là trung điểm của BD. D AC là trung tuyến của tam giác DAB. BD 2BC 2AC 15. C Theo hệ thức trung tuyến ta cĩ: B A AB2 AD2 BD2 BD2 AC 2 AD2 2AC 2 AB2 2 4 2 2 2 2 15 15 2 AD 2. 9 144 AD 12. Chọn C. 2 2 Câu 26. BC Ta cĩ: M là trung điểm của BC BM 4. 2 AM 2 BM 2 AB2 Trong tam giác ABM ta cĩ: cos ·AMB 2AM.BM AM 2 2AM.BM.cos ·AMB BM 2 AB2 0. AM 13 3 (thoả mãn) 2 20 13 AM AM 7 0 7 13 13 AM 3 (loại) 13
16. AM 13. A Ta cĩ: ·AMB và ·AMC là hai gĩc kề bù. 5 13 cos ·AMC cos ·AMB B C 26 M Trong tam giác AMC ta cĩ: AC 2 AM 2 CM 2 2AM.CM.cos ·AMC 5 13 13 16 2. 13.4. 49 AC 7. Chọn D. 26 Câu 27*. Ta cĩ: B· GC và B· GN là hai gĩc kề bù mà B· GC 1200 B· GN 1200. G là trọng tâm của tam giác ABC A 2 BG BM 4. 3 M N G 1 GN CN 3. 3 B C Trong tam giác BGN ta cĩ: BN 2 GN 2 BG2 2GN.BG.cos B· GN 1 BN 2 9 16 2.3.4. 13 BN 13. 2 N là trung điểm của AB AB 2BN 2 13. Chọn D. 2 2 2 2 b c a ma 81 2 4 a2 292 a 2 73 2 2 2 2 a c b 2 Câu 28 . Ta cĩ: mb 144 b 208 b 4 13 2 4 2 2 2 2 c 100 c 10 2 a b c mc 225 2 4 b2 c2 a2 208 100 292 1 Ta cĩ: cos A 2bc 2.4 13.10 5 13 2 2 1 18 13 sin A 1 cos A 1 . Chọn C. 5 13 65
17. 1 1 18 13 Diện tích tam giác ABC : S bcsin A .4 13.10. 72 ABC 2 2 65 b2 c2 a2 Câu 29*. Hệ thức trung tuyến xuất phát từ đỉnh A của tam giác: m2 a 2 4 2a2 a2 3a2 a 3 Mà: b2 c2 2a2 m2 m . Chọn A. a 2 4 4 a 2 1 m Câu 30*. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Ta cĩ: BO BD . 2 2 BO là trung tuyến của tam giác ABC BA2 BC 2 AC 2 m2 a2 b2 n2 BO2 m2 n2 2 a2 b2 . Chọn B. 2 4 4 2 4 Câu 31 . Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. 2 2 AC 2 AB2 BC 2 b2 c2 a2 4 2 b c a2 Ta cĩ: AM 2 AG2 AM 2 2 4 2 4 9 9 9 BA2 BC 2 AC 2 c2 a2 b2 1 c2 a2 b2 BN 2 GN 2 BN 2 2 4 2 4 9 18 36 Trong tam giác AGN ta cĩ: 2 2 2 b c a2 c2 a2 b2 b2 2 2 2 AG GN AN cos ·AGN 9 9 18 36 4 2 2 2.AG.GN 2 b c a2 c2 a2 b2 2. . 9 9 18 36 2 2 2 b c a2 c2 a2 b2 b2 10c2 2 a2 b2 9 9 18 36 4 0 2 2 2 2 2 b c a2 c2 a2 b2 2 b c a2 c2 a2 b2 2. . 36.2. . 9 9 18 36 9 9 18 36 ·AGN 900. Chọn D. 2 2 2 2 b c a ma 2 4 2 2 2 2 a c b Câu 32 . Ta cĩ: mb 2 4 2 2 2 2 a b c mc 2 4
18. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 b c a a c b a b c Mà: 5ma mb mc 5 2 4 2 4 2 4 10b2 10c2 5a2 2a2 2c2 b2 2a2 2b2 c2 b2 c2 a2 tam giác ABC vuơng. Chọn C. 2 2 2 2 b c a ma 2 4 2 2 2 2 a c b 2 2 2 3 2 2 2 Câu 33 . Ta cĩ: mb ma mb mc a b c 2 4 4 2 2 2 2 a b c mc 2 4 2 2 2 4 2 2 2 4 3 2 2 2 1 2 2 2 GA GB GC ma mb mc . a b c a b c . Chọn D. 9 9 4 3 BC BC 10 Câu 34. Áp dụng định lí sin, ta cĩ 2R R 10. sin B· AC 2.sin µA 2.sin300 Chọn B. Câu 35. Áp dụng định lí Cosin, ta cĩ BC 2 AB2 AC 2 2AB.AC.cos B· AC 32 62 2.3.6.cos600 27 BC 2 27 BC 2 AB2 AC 2. AC Suy ra tam giác ABC vuơng tại B, do đĩ bán kính R 3. Chọn A. 2 AB BC CA Câu 36. Đặt p 24. Áp dụng cơng thức Hê – rơng, ta cĩ 2 2 S ABC p p AB p BC p CA 24. 24 21 . 24 17 . 24 10 84 cm . AB.BC.CA AB.BC.CA 21.17.10 85 Vậy bán kính cần tìm là S ABC R cm. 4R 4.S ABC 4.84 8 Chọn C. Câu 37. Xét tam giác ABC đều cạnh a, gọi M là trung điểm của BC. 1 1 a2 3 Ta cĩ AM  BC suy ra S .AM.BC . AB2 BM 2 .BC . ABC 2 2 4 AB.BC.CA AB.BC.CA a3 a 3 Vậy bán kính cần tính là S R . ABC 4R 4.S a2 3 3 ABC 4. 4
19. Chọn C. Câu 38. Tam giác ABC vuơng tại A, cĩ đường cao AH AB.AC AH 2 . 2 AB 3 3 3 2 12 8 3 Mặt khác AB AC thế vào , ta được AC AC . AC 4 4 4 5 5 3 8 3 6 3 Suy ra AB . BC AB2 AC 2 2 3. 4 5 5 BC Vậy bán kính cần tìm là R 3 cm. 2 AB2 AC 2 BC 2 Câu 39. Vì D là trung điểm của BC AD2 27 AD 3 3. 2 4 Tam giác ABD cĩ AB BD DA 3 3 tam giác ABD đều. 3 3 Nên cĩ bán kính đường trịn ngoại tiếp là R AB .3 3 3. Chọn B. 3 3 B C Câu 40 . Xét tam giác BB C vuơng tại B , cĩ sinC· BB B C a.sin . BC Mà AB B C AC AB b a.sin và BB 2 a2.cos2 . Tam giác ABB vuơng tại B , cĩ AB BB 2 AB 2 b a.sin 2 a2.cos2 b2 2ab.sin a2 sin2 a2 cos2 a2 b2 2absin . Bán kính đường trịn ngoại tiếp cần tính là AB a2 b2 2absin 2R R . sin ·ACB 2cos 1 1 9 3 Câu 41. Ta cĩ S .AB.AC.sin µA .3.6.sin 600 . Chọn B. ABC 2 2 2 Câu 42. Ta cĩ ·ABC 1800 B· AC ·ACB 75 ·ACB . Suy ra tam giác ABC cân tại A nên AB AC 4. 1 Diện tích tam giác ABC là S AB.AC sin B· AC 4. Chọn C. ABC 2 21 17 10 Câu 43. Ta cĩ p 24 . 2
20. Do đĩ S p p a p b p c 24 24 21 24 17 24 10 84 . Chọn D. Câu 44. Áp dụng định lý hàm số cơsin, ta cĩ BC 2 AB2 AC 2 2AB.AC cos A 27  BC 3 3 . 1 1 9 3 Ta cĩ S .AB.AC.sin µA .3.6.sin 600 . ABC 2 2 2 1 2S Lại cĩ S .BC.h  h 3. Chọn C. ABC 2 a a BC Câu 45. Gọi H là chân đường cao xuất phát từ đỉnh A. AH 3 Tam giác vuơng AHC , cĩ sin ·ACH  AH AC.sin ·ACH 4. 2 3. AC 2 Chọn A. 21 17 10 Câu 46. Ta cĩ p 24 . 2 Suy ra S p p a p b p c 24 24 21 24 17 24 10 84 . 1 1 168 Lại cĩ S b.BB' 84 .17.BB'  BB' . Chọn C. 2 2 17 1 1 8 Câu 47. Ta cĩ S .AB.AC.sin B· AC 64 .8.18.sin A sin A . Chọn D. ABC 2 2 9 1 1 a2 Câu 48. Diện tích tam giác ABD là S .AB.AD.sin B· AD .a.a 2.sin 450 . ABD 2 2 2 a2 Vậy diện tích hình bình hành ABCD là S 2.S 2. a2. Chọn C. ABCD ABD 2 1 Câu 49*. Vì F là trung điểm của AC FC AC 15 cm. 2 Đường thẳng BF cắt CE tại G suy ra G là trọng tâm tam giác ABC. d B; AC BF 1 AB Khi đĩ 3 d G; AC d B; AC 10 cm. d G; AC GF 3 3 Vậy diện tích tam giác GFC là: 1 1 2 S GFC .d G; AC .FC .10.15 75 cm . Chọn C. 2 2
21. Câu 50*. Xét tam giác ABC đều, cĩ độ dài cạnh bằng a. BC a Theo định lí sin, ta cĩ 2R 2.4 a 8.sin 600 4 3. sin B· AC sin 600 1 1 2 Vậy diện tích cần tính là S .AB.AC.sin B· AC . 4 3 .sin 600 12 3 cm2. ABC 2 2 Chọn C. AB BC CA 2 3 3AB Câu 51*. Ta cĩ p . 2 2 3AB 2 3 3AB 2 3 2 3 AB 2 3 AB Suy ra S . 2 2 2 2 1 Lại cĩ S BC.AH 2 3. 2 3AB 2 3 3AB 2 3 2 3 AB 2 3 AB Từ đĩ ta cĩ 2 3 2 2 2 2 2 2 AB 2 9AB 12 12 AB  12  2 21. Chọn C. 16 AB 3 1 1 Câu 52*. Diện tích tam giác ABC ban đầu là S .AC.BC.sin ·ACB .ab.sin ·ACB. 2 2 Khi tăng cạnh BC lên 2 lần và cạnh AC lên 3 lần thì diện tích tam giác ABC lúc này là 1 1 S . 3AC . 2BC .sin ·ACB 6. .AC.BC.sin ·ACB 6S. Chọn D. ABC 2 2 1 1 Câu 53*. Diện tích tam giác ABC là S .AC.BC.sin ·ACB .ab.sin ·ACB. ABC 2 2 ab Vì a, b khơng đổi và sin ·ACB 1, C nên suy ra S . ABC 2 Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi sin ·ACB 1 ·ACB 900. ab Vậy giá trị lớn nhất của diện tích tam giác ABC là S . Chọn B. 2 Câu 54*. Vì BM  CN  5a2 b2 c2 . (Áp dụng hệ quả đã cĩ trước) 2a2 Trong tam giác ABC , ta cĩ a2 b2 c2 2bc.cos A 5a2 2bccos A  bc . cos A
22. 1 1 2a2 Khi đĩ S bcsin A . .sin A a2 tan A 3 3 . Chọn A. 2 2 cos A Câu 55. Áp dụng định lý hàm số cơsin, ta cĩ BC 2 AB2 AC 2 2AB.AC cos A 49  BC 7 . 1 1 3 Diện tích S AB.AC.sin A .5.8. 10 3 . 2 2 2 S 2S Lại cĩ S p.r  r 3 . Chọn C. p AB BC CA 21 17 10 Câu 56. Ta cĩ p 24 . 2 Suy ra S 24 24 21 24 17 24 10 84 . S 84 7 Lại cĩ S p.r  r . Chọn C. p 24 2 a2 3 Câu 57. Diện tích tam giác đều cạnh a bằng: S . 4 a2 3 S a 3 Lại cĩ S pr  r 4 . Chọn C. p 3a 6 2 AB BC CA Câu 58. Dùng Pitago tính được AC 8, suy ra p 12 . 2 1 S Diện tích tam giác vuơng S AB.AC 24 .Lại cĩ S p.r  r 2 cm. 2 p Chọn C. Câu 59. Từ giả thiết, ta cĩ AC AB a và BC a 2 . AB BC CA 2 2 Suy ra p a . 2 2 1 a2 Diện tích tam giác vuơng S AB.AC . 2 2 S a Lại cĩ S p.r  r . Chọn C. p 2 2
23. BC a 2 Câu 60. Giả sử AC AB a  BC a 2 . Suy ra R . 2 2 AB BC CA 2 2 Ta cĩ p a . 2 2 1 a2 Diện tích tam giác vuơng S AB.AC . 2 2 S a R Lại cĩ S p.r  r . Vậy 1 2 . Chọn A. p 2 2 r