›
›
›

Bài tập trắc nghiệm Hàm số liên tục

doc 25 trang hoanvuK 10/01/2023 3280
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài tập trắc nghiệm Hàm số liên tục", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docbai_tap_trac_nghiem_ham_so_lien_tuc.doc

Nội dung text: Bài tập trắc nghiệm Hàm số liên tục

  1. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM HÀM SỐ LIÊN TỤC A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP 1. Hàm số liên tục tại một điểm: y = f(x) liên tục tại x0 lim f (x) f (x0 ) x x0 Để xét tính liên tục của hàm số y = f(x) tại điểm x0 ta thực hiện các bước: B1: Tính f(x0). B2: Tính lim f (x) (trong nhiều trường hợp ta cần tính lim f (x) , lim f (x) ) x x0 x x0 x x0 B3: So sánh lim f (x) với f(x0) và rút ra kết luận. x x0 2. Hàm số liên tục trên một khoảng: y = f(x) liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó. 3. Hàm số liên tục trên một đoạn [a; b]: y = f(x) liên tục trên (a; b) và lim f (x) f (a), lim f (x) f (b) x a x b Hàm số đa thức liên tục trên R. Hàm số phân thức, các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng. Giả sử y = f(x), y = g(x) liên tục tại điểm x0. Khi đó: Các hàm số y = f(x) + g(x), y = f(x) – g(x), y = f(x).g(x) liên tục tại x0. f (x) Hàm số y = liên tục tại x0 nếu g(x0) 0. g(x) 4. Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b] và f(a). f(b)< 0 thì tồn tại ít nhất một số c (a; b): f(c) = 0. Nói cách khác: Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b] và f(a). f(b)< 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm c (a; b). Mở rộng: Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b]. Đặt m = min f (x) , M = max f (x) . Khi đó với mọi T (m; M) luôn tồn a;b a;b tại ít nhất một số c (a; b): f(c) = T. B – BÀI TẬP DẠNG 1: TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM Phương pháp: Tìm giới hạn của hàm số y f (x) khi x x0 và tính f (x0 ) Nếu tồn tại lim f (x) thì ta so sánh lim f (x) với f (x0 ) . x x0 x x0 Chú ý: 1. Nếu hàm số liên tục tại x0 thì trước hết hàm số phải xác định tại điểm đó 2. lim f (x) l lim f (x) lim f (x) l . x x0 x x0 x x0 f (x) khi x x0 3. Hàm số y liên tục tại x x0 lim f (x) k . x x k khi x x0 0 f1(x) khi x x0 4. Hàm số f (x) liên tục tại điểm x x0 khi và chỉ khi f2 (x) khi x x0 lim f (x) lim f (x) f (x ) . 1 2 1 0 x x0 x x0 Chú ý: f (x) khi x x0 Hàm số y liên tục tại x x0 khi và chỉ khi k khi x x0 lim f (x) k . x x0 Trang 1
  2. f (x) khi x x0 Hàm số y liên tục tại x x0 khi và chỉ khi g(x) khi x x0 lim f (x) lim g(x) . x x0 x x0 x2 1 Câu 1. Cho hàm số f x và f 2 m2 2 với x 2 . Giá trị của m để f x liên tục tại x 2 là: x 1 A. 3 . B. 3 . C. 3 . D. 3 Câu 2. Cho hàm số f x x2 4 . Chọn câu đúng trong các câu sau: (I) f x liên tục tại x 2 . (II) f x gián đoạn tại x 2 . (III) f x liên tục trên đoạn  2;2. A. Chỉ I và III . B. Chỉ I . C. Chỉ II . D. Chỉ II và III x2 1 x 3; x 2 Câu 3. Cho hàm số f x x3 x 6 . Tìm b để f x liên tục tại x 3. b 3 x 3; b ¡ 2 3 2 3 A. 3 . B. 3 . C. . D. . 3 3 x 1 Câu 4. Cho hàm số f x . Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau: x 1 I f x gián đoạn tại x 1. II f x liên tục tại x 1. 1 III lim f x x 1 2 A. Chỉ I . B. Chỉ I . C. Chỉ I và III . D. Chỉ II và III . 2x 8 2 x 2 Câu 5. Cho hàm số f x x 2 . Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau: 0 x 2 I lim f x 0 . x 2 II f x liên tục tại x 2. III f x gián đoạn tại x 2. A. Chỉ I và III . B. Chỉ I và II . C. Chỉ I . D. Chỉ I 4 x2 2 x 2 Câu 6. Cho hàm số f x . Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:. 1 x 2 I f x không xác định tại x 3. II f x liên tục tại x 2. III lim f x 2 x 2 A. Chỉ I . B. Chỉ I và II . Trang 2
  3. C. Chỉ I và III . D. Cả I ; II ; III đều sai. sin 5x x 0 Câu 7. Cho hàm số f x 5x . Tìm a để f x liên tục tại x 0. a 2 x 0 A. 1. B. 1. C. 2 . D. 2. x 1 2 , x 1 2 Câu 8.Cho hàm số f x x 3 , x 1 . Tìm k để f x gián đoạn tại x 1. k 2 , x 1 A. k 2 . B. k 2 . C. k 2 . D. k 1. x 2 khi x 4 x 4 Câu 9.Cho hàm số f (x) . Khẳng định nào sau đây đúng nhất 1 khi x 4 4 A. Hàm số liên tục tại x 4 B. Hàm số liên tục tại mọi điểm trên tập xác định nhưng gián đoạn tại x 4 C. Hàm số không liên tục tại x 4 D. Tất cả đều sai x2 3x 2 2 khi x 1 Câu 10. Cho hàm số f (x) x 1 . Khẳng định nào sau đây đúng nhất 2 3x x 1 khi x 1 A. Hàm số liên tục tại x 1 B. Hàm số liên tục tại mọi điểm C. Hàm số không liên tục tại x 1 D. Tất cả đều sai x cos khi x 1 Câu 11. Cho hàm số 3. f x 2 . Khẳng định nào sau đây đúng nhất x 1 khi x 1 A. Hàm số liên tục tại tại x 1và x 1. B. Hàm số liên tục tại x 1, không liên tục tại điểm x 1. C. Hàm số không liên tục tại tại x 1và x 1. D. Tất cả đều sai 2x 1 1 Câu 12. Chọn giá trị f (0) để các hàm số f (x) liên tục tại điểm x 0 . x(x 1) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3 2x 8 2 Câu 13. Chọn giá trị f (0) để các hàm số f (x) liên tục tại điểm x 0 . 3x 4 2 2 1 A. 1 B. 2 C. D. 9 9 x x 2 khi x 1 Câu 14. Cho hàm số f (x) x 1 . Khẳng định nào sau đây đúng nhất 2x 3 khi x 1 A. Hàm số liên tục tại tại tại x0 1 B. Hàm số liên tục tại mọi điểm C. Hàm số không liên tục tại tại x0 1. D. Tất cả đều sai Trang 3
  4. x 1 3 x 1 khi x 0 Câu 15. Cho hàm số 3. f (x) x . Khẳng định nào sau đây đúng nhất 2 khi x 0 A. Hàm số liên tục tại x0 0 B. Hàm số liên tục tại mọi điểm như gián đoạn tại x0 0 C. Hàm số không liên tục tại x0 0 D. Tất cả đều sai 3 x 1 khi x 1 x 1 Câu 16. Cho hàm số f (x) . Khẳng định nào sau đây đúng nhất 1 khi x 1 3 A. Hàm số liên tục tại x 1 B. Hàm số liên tục tại mọi điểm C. Hàm số không liên tục tại tại x 1 D. Tất cả đều sai x2 x 2 2x khi x 2 Câu 17. Cho hàm số f (x) x 2 2 x x 3 khi x 2 . Khẳng định nào sau đây đúng nhất A. Hàm số liên tục tại x0 2 B. Hàm số liên tục tại mọi điẻm C. Hàm số không liên tục tại x0 2 D. Tất cả đều sai x 2a khi x 0 Câu 18. Tìm a để các hàm số f x 2 liên tục tại x 0 x x 1 khi x 0 1 1 A. B. C. 0 D. 1 2 4 4x 1 1 khi x 0 Câu 19. Tìm a để các hàm số f (x) ax2 (2a 1)x liên tục tại x 0 3 khi x 0 1 1 1 A. B. C. D. 1 2 4 6 3x 1 2 khi x 1 x2 1 Câu 20.Tìm a để các hàm số f (x) liên tục tại x 1 a(x2 2) khi x 1 x 3 1 1 3 A. B. C. D. 1 2 4 4 Trang 4
  5. DẠNG 2: TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TRÊN TẬP XÁC ĐỊNH Phương pháp: + Sử dụng các định lí về tính liên tục của hàm đa thức, lương giác, phân thức hữu tỉ + Nếu hàm số cho dưới dạng nhiều công thức thì ta xét tính liên tục trên mỗi khoảng đã chia và tại các điểm chia của các khoảng đó. Câu 1. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau: 1 I f x liên tục trên ¡ . x2 1 sin x II f x có giới hạn khi x 0. x III f x 9 x2 liên tục trên đoạn  3;3. A. Chỉ I và II . B. Chỉ II và III . C. Chỉ II . D. Chỉ III . Câu 2. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau: x 1 I . f x liên tục với mọi x 1. x 1 II . f x sin x liên tục trên ¡ . x III . f x liên tục tại x 1. x A. Chỉ I đúng. B. Chỉ I và II . C. Chỉ I và III . D. Chỉ II và III . x2 3 , x 3 Câu 3. Cho hàm số f x x 3 . Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau: 2 3 , x 3 I . f x liên tục tại x 3 . II . f x gián đoạn tại x 3 . III . f x liên tục trên ¡ . A. Chỉ I và II . B. Chỉ II và III . C. Chỉ I và III . D. Cả I , II , III đều đúng. Câu 4. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau: I . f x x5 – x2 1 liên tục trên ¡ . 1 II . f x liên tục trên khoảng –1;1 . x2 1 III . f x x 2 liên tục trên đoạn 2; . A. Chỉ I đúng. B. Chỉ I và II . C. Chỉ II và III . D. Chỉ I và III . 3 9 x , 0 x 9 x Câu 5. Cho hàm số f x m , x 0 . Tìm m để f x liên tục trên 0; là. 3 , x 9 x Trang 5
  6. 1 1 1 A. . B. .C. . D. 1. 3 2 6 x 2 1 Câu 6. Cho hàm số f (x) .Khi đó hàm số y f x liên tục trên các khoảng nào sau đây? x 2 5x 6 A. 3;2 . B. 2; . C. ;3 . D. 2;3 . x2 5x 6 khi x 2 Câu 7. Cho hàm số f x 2x3 16 . Khẳng định nào sau đây đúng nhất. 2 x khi x 2 A. Hàm số liên tục trên ¡ B. Hàm số liên tục tại mọi điểm C. Hàm số không liên tục trên 2 : D. Hàm số gián đoạn tại điểm x 2 . 3 x 1 khi x 1 x 1 Câu 8. Cho hàm số f (x) . Khẳng định nào sau đây đúng nhất. 3 1 x 2 khi x 1 x 2 A. Hàm số liên tục trên ¡ B. Hàm số không liên tục trên ¡ C. Hàm số không liên tục trên 1: D. Hàm số gián đoạn tại các điểm x 1. tan x , x 0  x k ,k ¢ Câu 9. Cho hàm số f x x 2 . Hàm số y f x liên tục trên các khoảng 0 , x 0 nào sau đây? A. 0; . B. ; . C. ; . D. ; . 2 4 4 4 2 2 a x , x 2,a ¡ Câu 10. Cho hàm số f x . Giá trị của a để f x liên tục trên ¡ là: 2 2 a x , x 2 A. 1 và 2 . B. 1 và –1. C. –1 và 2 . D. 1 và –2 . x2 , x 1 2x3 Câu 11. Cho hàm số f x , 0 x 1. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau: 1 x xsin x , x 0 A. f x liên tục trên ¡ . B. f x liên tục trên ¡ \ 0 . C. f x liên tục trên ¡ \ 1 . D. f x liên tục trên ¡ \ 0;1 . x 2 Câu 12. Cho hàm số f (x) . Khẳng định nào sau đây đúng nhất. x2 x 6 A. Hàm số liên tục trên ¡ B. TXĐ : D ¡ \ 3; 2.Ta có hàm số liên tục tại mọi x D và hàm số gián đoạn tại x 2, x 3 C. Hàm số liên tục tại x 2, x 3 D. Tất cả đều sai Câu 13. Cho hàm số f (x) 3x2 1 . Khẳng định nào sau đây đúng nhất. A. Hàm số liên tục trên ¡ Trang 6
  7. 1 1 B. Hàm số liên tục tại mọi điểm x ;  ; 3 3 1 1 C. TXĐ : D ;  ; 2 2 1 1 D. Hàm số liên tục tại mọi điểm x ; . 3 3 Câu 14. Cho hàm số f (x) 2sin x 3tan 2x . Khẳng định nào sau đây đúng nhất. A. Hàm số liên tục trên ¡ B. Hàm số liên tục tại mọi điểm  C. TXĐ : D ¡ \ k ,k ¢  D. Hàm số gián đoạn tại các điểm 2 2  x k ,k ¢ 4 2 x2 3x 2 khi x 1 Câu 15. Cho hàm số f x x 1 . Khẳng định nào sau đây đúng nhất. a khi x 1 A. Hàm số liên tục trên ¡ B. Hàm số không liên tục trên ¡ C. Hàm số không liên tục trên 1: D. Hàm số gián đoạn tại các điểm x 1. 2x 1 1 khi x 0 Câu 16. Cho hàm số f x x . Khẳng định nào sau đây đúng nhất. 0 khi x 0 A. Hàm số liên tục trên ¡ B. Hàm số không liên tục trên ¡ C. Hàm số không liên tục trên 0; D. Hàm số gián đoạn tại các điểm x 0 . 2x 1 khi x 0 3 Câu 17. Cho hàm số f (x) (x 1) khi 0 x 2 . Khẳng định nào sau đây đúng nhất. x 1 khi x 2 A. Hàm số liên tục trên ¡ B. Hàm số không liên tục trên ¡ C. Hàm số không liên tục trên 2; D. Hàm số gián đoạn tại các điểm x 2 . 2 2x x 1 khi x 1 Câu 18. Cho hàm số f (x) . Khẳng định nào sau đây đúng nhất. 3x 1 khi x 1 A. Hàm số liên tục trên ¡ B. Hàm số không liên tục trên ¡ C. Hàm số không liên tục trên 2; D. Hàm số gián đoạn tại các điểm x 1. sin x khi x 2 Câu 19. Xác định a,b để các hàm số f x liên tục trên ¡ ax b khi x 2 2 2 1 2 a a a a A. B. C. D. b 1 b 2 b 0 b 0 Trang 7
  8. x3 3x2 2x khi x(x 2) 0 x(x 2) Câu 20. Xác định a,b để các hàm số f (x) a khi x 2 liên tục trên ¡ b khi x 0 a 10 a 11 a 1 a 12 A. B. C. D. b 1 b 1 b 1 b 1 3 x 2 2x 1 khi x 1 Câu 21. Tìm m để các hàm số f (x) x 1 liên tục trên ¡ 3m 2 khi x 1 4 A. m 1 B. m C. m 2 D. m 0 3 x 1 1 khi x 0 Câu 22. Tìm m để các hàm số f (x) x liên tục trên ¡ 2 2x 3m 1 khi x 0 1 A. m 1 B. m C. m 2 D. m 0 6 2x 4 3 khi x 2 Câu 23. Tìm m để các hàm số f (x) x 1 liên tục trên ¡ khi x 2 x2 2mx 3m 2 1 A. m 1 B. m C. m 5 D. m 0 6 Trang 8
  9. DẠNG 3: ÁP DỤNG TÍNH LIÊN TỤC XÉT SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH Phương pháp : Để chứng minh phương trình f (x) 0 có ít nhất một nghiệm trên D, ta chứng minh hàm số y f (x) liên tục trên D và có hai số a,b D sao cho f (a). f (b) 0 . Để chứng minh phương trình f (x) 0 có k nghiệm trên D, ta chứng minh hàm số y f (x) liên tục trên D và tồn tại k khoảng rời nhau (ai ;ai 1) (i=1,2, ,k) nằm trong D sao cho f (ai ). f (ai 1) 0 . Câu 1. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau: I. f x liên tục trên đoạn a;b và f a . f b 0 thì phương trình f x 0 có nghiệm. II. f x không liên tục trên a;b và f a . f b 0 thì phương trình f x 0 vô nghiệm. A. Chỉ I đúng. B. Chỉ II đúng. C. Cả I và II đúng. D. Cả I và II sai. Câu 2. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau: I f x liên tục trên đoạn a;b và f a . f b 0 thì tồn tại ít nhất một số c a;b sao cho f c 0 . II f x liên tục trên đoạn a;b và trên b;c nhưng không liên tục a;c A. Chỉ I . B. Chỉ II . C. Cả I và II đúng. D. Cả I và II sai. Câu 3. Cho hàm số f x x3 –1000x2 0,01. Phương trình f x 0 có nghiệm thuộc khoảng nào trong các khoảng sau đây? I. 1;0 . II. 0;1 . III. 1;2 . A. Chỉ I. B. Chỉ I và II. C. Chỉ II. D. Chỉ III. ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP 1. Hàm số liên tục tại một điểm: y = f(x) liên tục tại x0 lim f (x) f (x0 ) x x0 Để xét tính liên tục của hàm số y = f(x) tại điểm x0 ta thực hiện các bước: B1: Tính f(x0). B2: Tính lim f (x) (trong nhiều trường hợp ta cần tính lim f (x) , lim f (x) ) x x0 x x0 x x0 B3: So sánh lim f (x) với f(x0) và rút ra kết luận. x x0 2. Hàm số liên tục trên một khoảng: y = f(x) liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó. 3. Hàm số liên tục trên một đoạn [a; b]: y = f(x) liên tục trên (a; b) và lim f (x) f (a), lim f (x) f (b) x a x b Hàm số đa thức liên tục trên R. Hàm số phân thức, các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng. Giả sử y = f(x), y = g(x) liên tục tại điểm x0. Khi đó: Các hàm số y = f(x) + g(x), y = f(x) – g(x), y = f(x).g(x) liên tục tại x0. f (x) Hàm số y = liên tục tại x0 nếu g(x0) 0. g(x) 4. Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b] và f(a). f(b)< 0 thì tồn tại ít nhất một số c (a; b): f(c) = 0. Nói cách khác: Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b] và f(a). f(b)< 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm c (a; b). Mở rộng: Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b]. Đặt m = min f (x) , M = max f (x) . Khi đó với mọi T (m; M) luôn tồn a;b a;b tại ít nhất một số c (a; b): f(c) = T. Trang 9
  10. B – BÀI TẬP DẠNG 1: TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM Phương pháp: Tìm giới hạn của hàm số y f (x) khi x x0 và tính f (x0 ) Nếu tồn tại lim f (x) thì ta so sánh lim f (x) với f (x0 ) . x x0 x x0 Chú ý: 1. Nếu hàm số liên tục tại x0 thì trước hết hàm số phải xác định tại điểm đó 2. lim f (x) l lim f (x) lim f (x) l . x x0 x x0 x x0 f (x) khi x x0 3. Hàm số y liên tục tại x x0 lim f (x) k . x x k khi x x0 0 f1(x) khi x x0 4. Hàm số f (x) liên tục tại điểm x x0 khi và chỉ khi f2 (x) khi x x0 lim f (x) lim f (x) f (x ) . 1 2 1 0 x x0 x x0 Chú ý: f (x) khi x x0 Hàm số y liên tục tại x x0 khi và chỉ khi k khi x x0 lim f (x) k . x x0 f (x) khi x x0 Hàm số y liên tục tại x x0 khi và chỉ khi g(x) khi x x0 lim f (x) lim g(x) . x x0 x x0 x2 1 Câu 1. Cho hàm số f x và f 2 m2 2 với x 2 . Giá trị của m để f x liên tục tại x 2 là: x 1 A. 3 . B. 3 . C. 3 . D. 3 Hướng dẫn giải: Chọn C Hàm số liên tục tại x 2 lim f x f 2 . x 2 x2 1 Ta có lim lim x 1 1. x 2 x 1 x 2 m 3 Vậy m2 2 1 . m 3 Câu 2. Cho hàm số f x x2 4 . Chọn câu đúng trong các câu sau: (I) f x liên tục tại x 2 . (II) f x gián đoạn tại x 2 . (III) f x liên tục trên đoạn  2;2. A. Chỉ I và III . B. Chỉ I . C. Chỉ II . D. Chỉ II và III Hướng dẫn giải: Trang 10
  11. Chọn B. Ta có: D ; 22; . lim f x lim x2 4 0 . x 2 x 2 f 2 0 . Vậy hàm số liên tục tại x 2 . x2 1 x 3; x 2 Câu 3. Cho hàm số f x x3 x 6 . Tìm b để f x liên tục tại x 3. b 3 x 3; b ¡ 2 3 2 3 A. 3 . B. 3 . C. . D. . 3 3 Hướng dẫn giải: Chọn D. Hàm số liên tục tại x 3 lim f x f 3 . x 3 x2 1 1 lim . x 3 x3 x 6 3 f 3 b 3 . 1 1 2 Vậy: b 3 b 3 . 3 3 3 x 1 Câu 4. Cho hàm số f x . Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau: x 1 I f x gián đoạn tại x 1. II f x liên tục tại x 1. 1 III lim f x x 1 2 A. Chỉ I . B. Chỉ I . C. Chỉ I và III . D. Chỉ II và III . Hướng dẫn giải: Chọn C. D ¡ \ 1 x 1 1 1 lim lim x 1 x 1 x 1 x 1 2 Hàm số không xác định tại x 1. Nên hàm số gián đoạn tại x 1 2x 8 2 x 2 Câu 5. Cho hàm số f x x 2 . Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau: 0 x 2 I lim f x 0 . x 2 II f x liên tục tại x 2. III f x gián đoạn tại x 2. A. Chỉ I và III . B. Chỉ I và II . C. Chỉ I . D. Chỉ I Hướng dẫn giải: Chọn B. Trang 11
  12. 2x 8 2 2x 8 4 2 x 2 lim lim lim 0. x 2 x 2 x 2 2x 8 2 x 2 x 2 2x 8 2 Vậy lim f x f 2 nên hàm số liên tục tại x 2 x 2 4 x2 2 x 2 Câu 6. Cho hàm số f x . Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:. 1 x 2 I f x không xác định tại x 3. II f x liên tục tại x 2. III lim f x 2 x 2 A. Chỉ I . B. Chỉ I và II . C. Chỉ I và III . D. Cả I ; II ; III đều sai. Hướng dẫn giải: Chọn B. D  2; 2 f x không xác định tại x 3. lim 4 x2 0 ; f 2 0 . Vậy hàm số liên tục tại x 2. x 2 lim f x lim 4 x2 0 ; lim f x 1. Vậy không tồn tại giới hạn của hàm số khi x 2 x 2 x 2 x 2 sin 5x x 0 Câu 7. Cho hàm số f x 5x . Tìm a để f x liên tục tại x 0. a 2 x 0 A. 1. B. 1. C. 2 . D. 2. Hướng dẫn giải: Chọn B. sin 5x Ta có: lim 1; f 0 a 2 . x 0 5x Vậy để hàm số liên tục tại x 0 thì a 2 1 a 1. x 1 2 , x 1 2 Câu 8.Cho hàm số f x x 3 , x 1 . Tìm k để f x gián đoạn tại x 1. k 2 , x 1 A. k 2 . B. k 2 . C. k 2 . D. k 1. Hướng dẫn giải: Chọn A. TXĐ: D ¡ . Với x 1 ta có f 1 k 2 Với x 1 ta có 2 lim f x lim x2 3 4 ; lim f x lim x 1 4 suy ra lim f x 4 . x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 Vậy để hàm số gián đoạn tại x 1khi lim f x k 2 k 2 4 k 2 . x 1 x 2 khi x 4 x 4 Câu 9.Cho hàm số f (x) . Khẳng định nào sau đây đúng nhất 1 khi x 4 4 A. Hàm số liên tục tại x 4 Trang 12
  13. B. Hàm số liên tục tại mọi điểm trên tập xác định nhưng gián đoạn tại x 4 C. Hàm số không liên tục tại x 4 D. Tất cả đều sai Hướng dẫn giải: Chọn C. x 2 1 1 Ta có : lim f (x) lim lim f (4) x 4 x 4 x 4 x 4 x 2 4 Hàm số liên tục tại điểm x 4 . x2 3x 2 2 khi x 1 Câu 10. Cho hàm số f (x) x 1 . Khẳng định nào sau đây đúng nhất 2 3x x 1 khi x 1 A. Hàm số liên tục tại x 1 B. Hàm số liên tục tại mọi điểm C. Hàm số không liên tục tại x 1 D. Tất cả đều sai Hướng dẫn giải: Chọn C. (x 1)(x 2) lim f (x) lim 2 2 x 1 x 1 x 1 lim f (x) lim 3x2 x 1 3 lim f (x) x 1 x 1 x 1 Hàm số không liên tục tại x 1. x cos khi x 1 Câu 11. Cho hàm số 3. f x 2 . Khẳng định nào sau đây đúng nhất x 1 khi x 1 A. Hàm số liên tục tại tại x 1và x 1. B. Hàm số liên tục tại x 1, không liên tục tại điểm x 1. C. Hàm số không liên tục tại tại x 1và x 1. D. Tất cả đều sai Hướng dẫn giải: Chọn B. Hàm số liên tục tại x 1, không liên tục tại điểm x 1. 2x 1 1 Câu 12. Chọn giá trị f (0) để các hàm số f (x) liên tục tại điểm x 0 . x(x 1) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Hướng dẫn giải: Chọn A. 2x 1 1 2x Ta có : lim f (x) lim lim 1 x 0 x 0 x(x 1) x 0 x(x 1) 2x 1 1 Vậy ta chọn f (0) 1 3 2x 8 2 Câu 13. Chọn giá trị f (0) để các hàm số f (x) liên tục tại điểm x 0 . 3x 4 2 2 1 A. 1 B. 2 C. D. 9 9 Hướng dẫn giải: Chọn C. Trang 13
  14. 2 3x 4 2 2 Ta có : lim f (x) lim x 0 x 0 3 3 (2x 8)2 2.3 2x 8 4 9 2 Vậy ta chọn f (0) . 9 x x 2 khi x 1 Câu 14. Cho hàm số f (x) x 1 . Khẳng định nào sau đây đúng nhất 2x 3 khi x 1 A. Hàm số liên tục tại tại tại x0 1 B. Hàm số liên tục tại mọi điểm C. Hàm số không liên tục tại tại x0 1. D. Tất cả đều sai Hướng dẫn giải: Chọn C. Ta có: f ( 1) 1 và lim f (x) lim 2x 3 1 x 1 x 1 x x 2 x2 x 2 lim f (x) lim lim x 1 x 1 x 1 x 1 (x 1)(x x 2) x 2 3 lim x 1 x x 2 2 Suy ra lim f (x) lim f (x) x 1 x 1 Vậy hàm số không liên tục tại x0 1. x 1 3 x 1 khi x 0 Câu 15. Cho hàm số 3. f (x) x . Khẳng định nào sau đây đúng nhất 2 khi x 0 A. Hàm số liên tục tại x0 0 B. Hàm số liên tục tại mọi điểm như gián đoạn tại x0 0 C. Hàm số không liên tục tại x0 0 D. Tất cả đều sai Hướng dẫn giải: Chọn C. Ta có: f (0) 2 x 1 3 x 1 1 3 x 1 lim f (x) lim lim 1 x 0 x 0 x 0 x x 1 lim 1 2 f (0) x 0 1 3 x 1 x 1 Vậy hàm số liên tục tại x 0 . 3 x 1 khi x 1 x 1 Câu 16. Cho hàm số f (x) . Khẳng định nào sau đây đúng nhất 1 khi x 1 3 A. Hàm số liên tục tại x 1 B. Hàm số liên tục tại mọi điểm C. Hàm số không liên tục tại tại x 1 D. Tất cả đều sai Trang 14
  15. Hướng dẫn giải: Chọn C. 3 x 1 1 1 Ta có : lim f (x) lim lim f (1) x 1 x 4 x 1 x 4 3 x2 3 x 1 3 Hàm số liên tục tại điểm x 1. x2 x 2 2x khi x 2 Câu 17. Cho hàm số f (x) x 2 2 x x 3 khi x 2 . Khẳng định nào sau đây đúng nhất A. Hàm số liên tục tại x0 2 B. Hàm số liên tục tại mọi điẻm C. Hàm số không liên tục tại x0 2 D. Tất cả đều sai Hướng dẫn giải: Chọn C. (x 1)(x 2) Ta có : lim f (x) lim 2x 4 x 2 x 2 x 2 lim f (x) lim x2 x 3 5 lim f (x) x 2 x 2 x 2 Hàm số không liên tục tại x0 2 . x 2a khi x 0 Câu 18. Tìm a để các hàm số f x 2 liên tục tại x 0 x x 1 khi x 0 1 1 A. B. C. 0 D. 1 2 4 Hướng dẫn giải: Chọn A. Ta có : lim f (x) lim(x2 x 1) 1 x 0 x 0 lim f (x) lim(x 2a) 2a x 0 x 0 1 Suy ra hàm số liên tục tại x 0 a . 2 4x 1 1 khi x 0 Câu 19. Tìm a để các hàm số f (x) ax2 (2a 1)x liên tục tại x 0 3 khi x 0 1 1 1 A. B. C. D. 1 2 4 6 Hướng dẫn giải: Chọn C. 4x 1 1 Ta có : lim f (x) lim x 0 x 0 x ax 2a 1 4 2 lim x 0 ax 2a 1 4x 1 1 2a 1 2 1 Hàm số liên tục tại x 0 3 a . 2a 1 6 Trang 15
  16. 3x 1 2 khi x 1 x2 1 Câu 20.Tìm a để các hàm số f (x) liên tục tại x 1 a(x2 2) khi x 1 x 3 1 1 3 A. B. C. D. 1 2 4 4 Hướng dẫn giải: Chọn C. 3x 1 2 3 Ta có : lim f (x) lim 2 x 1 x 1 x 1 8 a(x2 2) a lim f (x) lim x 1 x 1 x 3 2 a 3 3 Suy ra hàm số liên tục tại x 1 a . 2 8 4 Trang 16
  17. DẠNG 2: TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TRÊN TẬP XÁC ĐỊNH Phương pháp: + Sử dụng các định lí về tính liên tục của hàm đa thức, lương giác, phân thức hữu tỉ + Nếu hàm số cho dưới dạng nhiều công thức thì ta xét tính liên tục trên mỗi khoảng đã chia và tại các điểm chia của các khoảng đó. Câu 1. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau: 1 I f x liên tục trên ¡ . x2 1 sin x II f x có giới hạn khi x 0. x III f x 9 x2 liên tục trên đoạn  3;3. A. Chỉ I và II . B. Chỉ II và III . C. Chỉ II . D. Chỉ III . Hướng dẫn giải: Chọn B. Dễ thấy kđ (I) sai, Kđ (II) là lí thuyết. Hàm số: f x 9 x2 liên tục trên khoảng 3;3 . Liên tục phải tại 3 và liên tục trái tại 3 . Nên f x 9 x2 liên tục trên đoạn  3;3. Câu 2. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau: x 1 I . f x liên tục với mọi x 1. x 1 II . f x sin x liên tục trên ¡ . x III . f x liên tục tại x 1. x A. Chỉ I đúng. B. Chỉ I và II . C. Chỉ I và III . D. Chỉ II và III . Hướng dẫn giải: Chọn D. Ta có II đúng vì hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng của tập xác định. x , khi x 0 x x Ta có III đúng vì f x . x x , khi x 0 x Khi đó lim f x lim f x f 1 1. x 1 x 1 x Vậy hàm số y f x liên tục tại x 1. x x2 3 , x 3 Câu 3. Cho hàm số f x x 3 . Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau: 2 3 , x 3 I . f x liên tục tại x 3 . II . f x gián đoạn tại x 3 . III . f x liên tục trên ¡ . Trang 17
  18. A. Chỉ I và II . B. Chỉ II và III . C. Chỉ I và III . D. Cả I , II , III đều đúng. Hướng dẫn giải: Chọn C. x2 3 Với x 3 ta có hàm số f x liên tục trên khoảng ; 3 và 3; , 1 . x 3 x2 3 Với x 3 ta có f 3 2 3 và lim f x lim 2 3 f 3 nên hàm số liên tục tại x 3 x 3 x 3 x 3 , 2 Từ 1 và 2 ta có hàm số liên tục trên ¡ . Câu 4. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau: I . f x x5 – x2 1 liên tục trên ¡ . 1 II . f x liên tục trên khoảng –1;1 . x2 1 III . f x x 2 liên tục trên đoạn 2; . A. Chỉ I đúng. B. Chỉ I và II . C. Chỉ II và III . D. Chỉ I và III . Hướng dẫn giải: Chọn D. Ta có I đúng vì f x x5 x2 1 là hàm đa thức nên liên tục trên ¡ . Ta có III đúng vì f x x 2 liên tục trên 2; và lim f x f 2 0 nên hàm số liên tục trên x 2 2; . 3 9 x , 0 x 9 x Câu 5. Cho hàm số f x m , x 0 . Tìm m để f x liên tục trên 0; là. 3 , x 9 x 1 1 1 A. . B. .C. . D. 1. 3 2 6 Hướng dẫn giải: Chọn C. TXĐ: D 0; . Với x 0 ta có f 0 m . 3 9 x 1 1 Ta có lim f x lim lim . x 0 x 0 x x 0 3 9 x 6 1 Vậy để hàm số liên tục trên 0; khi lim f x m m . x 0 6 x 2 1 Câu 6. Cho hàm số f (x) .Khi đó hàm số y f x liên tục trên các khoảng nào sau đây? x 2 5x 6 A. 3;2 . B. 2; . C. ;3 . D. 2;3 . Hướng dẫn giải: Chọn B. 2 x 3 Hàm số có nghĩa khi x 5x 6 0 . x 2 Trang 18
  19. x2 1 Vậy theo định lí ta có hàm số f x liên tục trên khoảng ; 3 ; 3; 2 và 2; . x2 5x 6 x2 5x 6 khi x 2 Câu 7. Cho hàm số f x 2x3 16 . Khẳng định nào sau đây đúng nhất. 2 x khi x 2 A. Hàm số liên tục trên ¡ B. Hàm số liên tục tại mọi điểm C. Hàm số không liên tục trên 2 : D. Hàm số gián đoạn tại điểm x 2 . Hướng dẫn giải: Chọn D. TXĐ : D ¡ \ 2 x2 5x 6 Với x 2 f (x) hàm số liên tục 2x3 16 Với x 2 f (x) 2 x hàm số liên tục Tại x 2 ta có : f (2) 0 lim f (x) lim 2 x 0 ; x 2 x 2 (x 2)(x 3) 1 lim f (x) lim 2 lim f (x) x 2 x 2 2(x 2)(x 2x 4) 24 x 2 Hàm số không liên tục tại x 2 . 3 x 1 khi x 1 x 1 Câu 8. Cho hàm số f (x) . Khẳng định nào sau đây đúng nhất. 3 1 x 2 khi x 1 x 2 A. Hàm số liên tục trên ¡ B. Hàm số không liên tục trên ¡ C. Hàm số không liên tục trên 1: D. Hàm số gián đoạn tại các điểm x 1. Hướng dẫn giải: Chọn A. Hàm số xác định với mọi x thuộc ¡ 1 x 2 Với x 1 f (x) hàm số liên tục x 2 3 x 1 Với x 1 f (x) hàm số liên tục x 1 2 Tại x 1 ta có : f (1) 3 3 x 1 (x 1)( x 1) 2 lim f (x) lim lim ; x 1 x 1 x 1 x 1 (x 1)( 3 x2 3 x 1) 3 1 x 2 2 lim f (x) lim lim f (x) f (1) x 2 x 1 x 2 3 x 1 Hàm số liên tục tại x 1. Vậy hàm số liên tục trên ¡ . Trang 19
  20. tan x , x 0  x k ,k ¢ Câu 9. Cho hàm số f x x 2 . Hàm số y f x liên tục trên các khoảng 0 , x 0 nào sau đây? A. 0; . B. ; . C. ; . D. ; . 2 4 4 4 Hướng dẫn giải: Chọn A.  TXĐ: D ¡ \ k ,k ¢  . 2  Với x 0 ta có f 0 0 . tan x sin x 1 lim f x lim lim .lim 1 hay lim f x f 0 . x 0 x 0 x x 0 x x 0 cos x x 0 Vậy hàm số gián đoạn tại x 0 . 2 2 a x , x 2,a ¡ Câu 10. Cho hàm số f x . Giá trị của a để f x liên tục trên ¡ là: 2 2 a x , x 2 A. 1 và 2 . B. 1 và –1. C. –1 và 2 . D. 1 và –2 . Hướng dẫn giải: Chọn D. TXĐ: D ¡ . Với x 2 ta có hàm số f x a2 x2 liên tục trên khoảng 2; . Với x 2 ta có hàm số f x 2 a x2 liên tục trên khoảng ; 2 . Với x 2 ta có f 2 2a2 . lim f x lim 2 a x2 2 2 a ; lim f x lim a2 x2 2a2 . x 2 x 2 x 2 x 2 Để hàm số liên tục tại a 1 x 2 lim f x lim f x f 2 2a2 2 2 a a2 a 2 0 . x 2 x 2 a 2 Vậy a 1hoặc a 2 thì hàm số liên tục trên ¡ . x2 , x 1 2x3 Câu 11. Cho hàm số f x , 0 x 1. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau: 1 x xsin x , x 0 A. f x liên tục trên ¡ . B. f x liên tục trên ¡ \ 0 . C. f x liên tục trên ¡ \ 1 . D. f x liên tục trên ¡ \ 0;1 . Hướng dẫn giải: Chọn A. TXĐ: TXĐ: D ¡ . Với x 1 ta có hàm số f x x2 liên tục trên khoảng 1; . 1 2x3 Với 0 x 1 ta có hàm số f x liên tục trên khoảng 0;1 . 2 1 x Với x 0 ta có f x xsin x liên tục trên khoảng ;0 . 3 2x3 Với x 1 ta có f 1 1; lim f x lim x2 1; lim f x lim 1 x 1 x 1 x 1 x 1 1 x Trang 20
  21. Suy ra lim f x 1 f 1 . x 1 Vậy hàm số liên tục tại x 1. 2x3 sin x Với x 0 ta có f 0 0 ; lim f x lim 0 ; lim f x lim x.sin x lim x2. lim 0 x 0 x 0 1 x x 0 x 0 x 0 x 0 x suy ra lim f x 0 f 0 . x 0 Vậy hàm số liên tục tại x 0 . 4 Từ 1 , 2 , 3 và 4 suy ra hàm số liên tục trên ¡ . x 2 Câu 12. Cho hàm số f (x) . Khẳng định nào sau đây đúng nhất. x2 x 6 A. Hàm số liên tục trên ¡ B. TXĐ : D ¡ \ 3; 2.Ta có hàm số liên tục tại mọi x D và hàm số gián đoạn tại x 2, x 3 C. Hàm số liên tục tại x 2, x 3 D. Tất cả đều sai Hướng dẫn giải: Chọn B. TXĐ : D ¡ \ 3; 2. Ta có hàm số liên tục tại mọi x D và hàm số gián đoạn tại x 2, x 3 Câu 13. Cho hàm số f (x) 3x2 1 . Khẳng định nào sau đây đúng nhất. A. Hàm số liên tục trên ¡ 1 1 B. Hàm số liên tục tại mọi điểm x ;  ; 3 3 1 1 C. TXĐ : D ;  ; 2 2 1 1 D. Hàm số liên tục tại mọi điểm x ; . 3 3 Hướng dẫn giải: Chọn B. 1 1 TXĐ : D ;  ; 3 3 1 1 Ta có hàm số liên tục tại mọi điểm x ;  ; 3 3 1 1 lim f (x) 0 f hàm số liên tục trái tại x 1 3 x 3 3 1 1 lim f (x) 0 f hàm số liên tục phải tại x 1 3 x 3 3 1 1 Hàm số gián đoạn tại mọi điểm x ; . 3 3 Câu 14. Cho hàm số f (x) 2sin x 3tan 2x . Khẳng định nào sau đây đúng nhất. A. Hàm số liên tục trên ¡ B. Hàm số liên tục tại mọi điểm  C. TXĐ : D ¡ \ k ,k ¢  D. Hàm số gián đoạn tại các điểm 2 2  x k ,k ¢ 4 2 Trang 21
  22. Hướng dẫn giải: Chọn D.  TXĐ : D ¡ \ k ,k ¢  4 2  Ta có hàm số liên tục tại mọi điểm thuộc D và gián đoạn tại các điểm x k ,k ¢ . 4 2 x2 3x 2 khi x 1 Câu 15. Cho hàm số f x x 1 . Khẳng định nào sau đây đúng nhất. a khi x 1 A. Hàm số liên tục trên ¡ B. Hàm số không liên tục trên ¡ C. Hàm số không liên tục trên 1: D. Hàm số gián đoạn tại các điểm x 1. Hướng dẫn giải: Chọn D. Hàm số liên tục tại mọi điểm x 1 và gián đoạn tại x 1 2x 1 1 khi x 0 Câu 16. Cho hàm số f x x . Khẳng định nào sau đây đúng nhất. 0 khi x 0 A. Hàm số liên tục trên ¡ B. Hàm số không liên tục trên ¡ C. Hàm số không liên tục trên 0; D. Hàm số gián đoạn tại các điểm x 0 . Hướng dẫn giải: Chọn D. Hàm số liên tục tại mọi điểm x 0 và gián đoạn tại x 0 2x 1 khi x 0 3 Câu 17. Cho hàm số f (x) (x 1) khi 0 x 2 . Khẳng định nào sau đây đúng nhất. x 1 khi x 2 A. Hàm số liên tục trên ¡ B. Hàm số không liên tục trên ¡ C. Hàm số không liên tục trên 2; D. Hàm số gián đoạn tại các điểm x 2 . Hướng dẫn giải: Chọn D. Hàm số liên tục tại mọi điểm x 2 và gián đoạn tại x 2 2 2x x 1 khi x 1 Câu 18. Cho hàm số f (x) . Khẳng định nào sau đây đúng nhất. 3x 1 khi x 1 A. Hàm số liên tục trên ¡ B. Hàm số không liên tục trên ¡ C. Hàm số không liên tục trên 2; D. Hàm số gián đoạn tại các điểm x 1. Hướng dẫn giải: Chọn D. Hàm số liên tục tại mọi điểm x 1và gián đoạn tại x 1. sin x khi x 2 Câu 19. Xác định a,b để các hàm số f x liên tục trên ¡ ax b khi x 2 Trang 22
  23. 2 2 1 2 a a a a A. B. C. D. b 1 b 2 b 0 b 0 Hướng dẫn giải: Chọn D. a b 1 2 2 a Hàm số liên tục trên ¡ a b 1 b 0 2 x3 3x2 2x khi x(x 2) 0 x(x 2) Câu 20. Xác định a,b để các hàm số f (x) a khi x 2 liên tục trên ¡ b khi x 0 a 10 a 11 a 1 a 12 A. B. C. D. b 1 b 1 b 1 b 1 Hướng dẫn giải: Chọn C. a 1 Hàm số liên tục trên ¡ . b 1 3 x 2 2x 1 khi x 1 Câu 21. Tìm m để các hàm số f (x) x 1 liên tục trên ¡ 3m 2 khi x 1 4 A. m 1 B. m C. m 2 D. m 0 3 Hướng dẫn giải: Chọn B. 3 x 2 2x 1 Với x 1 ta có f (x) nên hàm số liên tục trên khoảng ¡ \ 1 x 1 Do đó hàm số liên tục trên ¡ khi và chỉ khi hàm số liên tục tại x 1 Ta có: f (1) 3m 2 3 x 2 2x 1 lim f (x) lim x 1 x 1 x 1 x3 x 2 lim 1 x 1 (x 1) x2 x 3 x 2 3 (x 2)2 x2 x 2 lim 1 2 x 1 2 3 3 2 x x x 2 (x 2) 4 Nên hàm số liên tục tại x 1 3m 2 2 m 3 4 Vậy m là những giá trị cần tìm. 3 Trang 23
  24. x 1 1 khi x 0 Câu 22. Tìm m để các hàm số f (x) x liên tục trên ¡ 2 2x 3m 1 khi x 0 1 A. m 1 B. m C. m 2 D. m 0 6 Hướng dẫn giải: Chọn B. x 1 1 Với x 0 ta có f (x) nên hàm số liên tục trên 0; x Với x 0 ta có f (x) 2x2 3m 1 nên hàm số liên tục trên ( ;0) . Do đó hàm số liên tục trên ¡ khi và chỉ khi hàm số liên tục tại x 0 Ta có: f (0) 3m 1 x 1 1 1 1 lim f (x) lim lim x 0 x 0 x x 0 x 1 1 2 lim f (x) lim 2x2 3m 1 3m 1 x 0 x 0 1 1 Do đó hàm số liên tục tại x 0 3m 1 m 2 6 1 Vậy m thì hàm số liên tục trên ¡ . 6 2x 4 3 khi x 2 Câu 23. Tìm m để các hàm số f (x) x 1 liên tục trên ¡ khi x 2 x2 2mx 3m 2 1 A. m 1 B. m C. m 5 D. m 0 6 Hướng dẫn giải: Chọn C. Với x 2 ta có hàm số liên tục Để hàm số liên tục trên ¡ thì hàm số phải liên tục trên khoảng ;2 và liên tục tại x 2 . Hàm số liên tục trên ;2 khi và chỉ khi tam thức g(x) x2 2mx 3m 2 0, x 2 ' m2 3m 2 0 3 17 3 17 TH 1: m g(2) m 6 0 2 2 2 2 m 3m 2 0 ' m 3m 2 0 TH 2: m 2 x1 m ' 2 2 ' (m 2) 3 17 m 3 17 2 m 6 2 m 6 3 17 Nên m 6 (*) thì g(x) 0, x 2 2 lim f (x) lim 2x 4 3 3 x 2 x 2 x 1 3 lim f (x) lim 2 x 2 x 2 x 2mx 3m 2 6 m Trang 24
  25. 3 Hàm số liên tục tại x 2 3 m 5 (thỏa (*)) 6 m DẠNG 3: ÁP DỤNG TÍNH LIÊN TỤC XÉT SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH Phương pháp : Để chứng minh phương trình f (x) 0 có ít nhất một nghiệm trên D, ta chứng minh hàm số y f (x) liên tục trên D và có hai số a,b D sao cho f (a). f (b) 0 . Để chứng minh phương trình f (x) 0 có k nghiệm trên D, ta chứng minh hàm số y f (x) liên tục trên D và tồn tại k khoảng rời nhau (ai ;ai 1) (i=1,2, ,k) nằm trong D sao cho f (ai ). f (ai 1) 0 . Câu 1. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau: I. f x liên tục trên đoạn a;b và f a . f b 0 thì phương trình f x 0 có nghiệm. II. f x không liên tục trên a;b và f a . f b 0 thì phương trình f x 0 vô nghiệm. A. Chỉ I đúng. B. Chỉ II đúng. C. Cả I và II đúng. D. Cả I và II sai. Hướng dẫn giải: Chọn A. Câu 2. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau: I f x liên tục trên đoạn a;b và f a . f b 0 thì tồn tại ít nhất một số c a;b sao cho f c 0 . II f x liên tục trên đoạn a;b và trên b;c nhưng không liên tục a;c A. Chỉ I . B. Chỉ II . C. Cả I và II đúng. D. Cả I và II sai. Hướng dẫn giải: Chọn D. KĐ 1 sai. KĐ 2 sai. Câu 3. Cho hàm số f x x3 –1000x2 0,01. Phương trình f x 0 có nghiệm thuộc khoảng nào trong các khoảng sau đây? I. 1;0 . II. 0;1 . III. 1;2 . A. Chỉ I. B. Chỉ I và II. C. Chỉ II. D. Chỉ III. Hướng dẫn giải: Chọn B. TXĐ: D ¡ . Hàm số f x x3 1000x2 0,01 liên tục trên ¡ nên liên tục trên 1;0, 0;1 và 1;2, 1 . Ta có f 1 1000,99 ; f 0 0,01 suy ra f 1 . f 0 0 , 2 . Từ 1 và 2 suy ra phương trình f x 0 có ít nhất một nghiệm trên khoảng 1;0 . Ta có f 0 0,01; f 1 999,99 suy ra f 0 . f 1 0 , 3 . Từ 1 và 3 suy ra phương trình f x 0 có ít nhất một nghiệm trên khoảng 0;1 . Ta có f 1 999,99 ; f 2 39991,99 suy ra f 1 . f 2 0 , 4 . Từ 1 và 4 ta chưa thể kết luận về nghiệm của phương trình f x 0 trên khoảng 1;2 . Trang 25