›
›
›

Bài tập trắc nghiệm Giới hạn dãy số

docx 37 trang hoanvuK 10/01/2023 2750
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài tập trắc nghiệm Giới hạn dãy số", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docxbai_tap_trac_nghiem_gioi_han_day_so.docx

Nội dung text: Bài tập trắc nghiệm Giới hạn dãy số

  1. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM GIỚI HẠN DÃY SỐ A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIỚI HẠN HỮU HẠN GIỚI HẠN VÔ CỰC 1. Giới hạn đặc biệt: 1. Giới hạn đặc biệt: 1 1 k lim 0 ; lim 0 (k ¢ ) lim n lim n (k ¢ ) n n n k n lim qn (q 1) n lim q 0 ( q 1) ; lim C C 2. Định lí: n n 2. Định lí : 1 a) Nếu lim un thì lim 0 a) Nếu lim un = a, lim vn = b thì un lim (un + vn) = a + b un lim (un – vn) = a – b b) Nếu lim un = a, lim vn = thì lim = 0 vn lim (un.vn) = a.b u a c) Nếu lim un = a 0, lim vn = 0 lim n (nếu b 0) un neáu a.vn 0 vn b thì lim = neáu a.v 0 vn n b) Nếu un 0, n và lim un= a d) Nếu lim u = + , lim v = a thì a 0 và lim u a n n n neáu a 0 thì lim(un.vn) = c) Nếu un vn ,n và lim vn = 0 neáu a 0 thì lim un = 0 * Khi tính giới hạn có một trong các dạng vô d) Nếu lim un = a thì lim un a 0 3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn định: , , – , 0. thì phải tìm cách khử 0 u 2 1 S = u1 + u1q + u1q + = q 1 dạng vô định. 1 q B – BÀI TẬP DẠNG 1: TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH NGHĨA Phương pháp: Để chứng minh limun 0 ta chứng minh với mọi số a 0 nhỏ tùy ý luôn tồn tại một số na sao cho un a n na . Để chứng minh limun l ta chứng minh lim(un l) 0 . Để chứng minh limun ta chứng minh với mọi số M 0 lớn tùy ý, luôn tồn tại số tự nhiên nM sao cho un M n nM . Để chứng minh limun ta chứng minh lim( un ) . Một dãy số nếu có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất. Câu 1. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau: A. Nếu lim un , thì limun . B. Nếu lim un , thì limun . C. Nếu limun 0 , thì lim un 0 . D. Nếu limun a , thì lim un a .
  2. 1 Câu 2. Giá trị của lim bằng: n 1 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 1 Câu 3. Giá trị của lim (k ¥ *) bằng: nk A. 0 B. 2 C. 4 D. 5 sin2 n Câu 4. Giá trị của lim bằng: n 2 A. 0 B. 3 C. 5 D. 8 Câu 5. Giá trị của lim(2n 1) bằng: A. B. C. 0 D. 1 1 n2 Câu 6. Giá trị của lim bằng: n A. B. C. 0 D. 1 2 Câu 7. Giá trị của lim bằng: n 1 A. B. C. 0 D. 1 cos n sin n Câu 8. Giá trị của lim bằng: n2 1 A. B. C. 0 D. 1 n 1 Câu 9. Giá trị của lim bằng: n 2 A. B. C. 0 D. 1 3n3 n Câu 10. Giá trị của lim bằng: n2 A. B. C. 0 D. 1 2 n Câu 11. Giá trị của lim bằng: n 1 A. B. C. 0 D. 1 2n 1 Câu 12. Giá trị của A lim bằng: n 2 A. B. C. 2 D. 1 2n 3 Câu 13. Giá trị của B lim bằng: n2 1 A. B. C. 0 D. 1 n2 1 Câu 14. Giá trị của C lim bằng: n 1 A. B. C. 0 D. 1 n 2 n Câu 15. Giá trị của A lim bằng: 2n 1 A. B. C. D. 1 2 nsin n 3n2 Câu 16. Giá trị của B lim bằng: n2 A. B. C. 3 D. 1
  3. 1 Câu 17. Giá trị của C lim bằng: n2 2 n 7 A. B. C. 0 D. 1 4n 1 Câu 18. Giá trị của D lim bằng: n2 3n 2 A. B. C. 0 D. 4 an Câu 19. Giá trị của lim 0 bằng: n! A. B. C. 0 D. 1 Câu 20. Giá trị của lim n a với a 0 bằng: A. B. C. 0 D. 1 DẠNG 2: TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ DỰA VÀO CÁC ĐỊNH LÝ VÀ CÁC GIỚI HẠN CƠ BẢN Phương pháp: Sử dụng các định lí về giới hạn, biến đổi đưa về các giới hạn cơ bản. f (n) Khi tìm lim ta thường chia cả tử và mẫu cho nk , trong đó k là bậc lớn nhất của g(n) tử và mẫu. k m Khi tìm lim f (n) g(n) trong đó lim f (n) lim g(n) ta thường tách và sử dụng phương pháp nhân lượng liên hơn. + Dùng các hằng đẳng thức: a b a b a b; 3 a 3 b 3 a2 3 ab 3 b2 a b Dùng định lí kẹp: Nếu un vn ,n và lim vn = 0 thì lim un = 0 Khi tính các giới hạn dạng phân thức, ta chú ý một số trường hợp sau đây: Nếu bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng 0. Nếu bậc của từ bằng bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng tỉ số các hệ số của luỹ thừa cao nhất của tử và của mẫu. Nếu bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó là + nếu hệ số cao nhất của tử và mẫu cùng dấu và kết quả là – nếu hệ số cao nhất của tử và mẫu trái dấu. n un 1 1 Câu 1. Cho dãy số un với un n và . Chọn giá trị đúng của limun trong các số sau: 4 un 2 1 1 A. . B. .C. 0 . D. 1. 4 2 ncos 2n Câu 2. Kết quả đúng của lim 5 2 là: n 1 1 A. 4. B. 5. C. –4. D. . 4 2n 1 Câu 3. Giá trị của. A lim bằng: 1 3n 2 A. B. C. D. 1 3
  4. 4n2 3n 1 Câu 4. Giá trị của. B lim bằng: (3n 1)2 4 A. B. C. D. 1 9 n2 2n 1 Câu 5. Kết quả đúng của lim là 3n4 2 3 2 1 1 A. . B. . C. . D. . 3 3 2 2 3n n4 Câu 6. Giới hạn dãy số u với u là: n n 4n 5 3 A. . B. . C. . D. 0 . 4 n3 2n 5 Câu 7. Chọn kết quả đúng của lim : 3 5n 2 A. 5 . B. .C. . D. . 5 2n2 3n 1 Câu 8. Giá trị của A lim bằng: 3n2 n 2 2 A. B. C. D. 1 3 n2 2n Câu 9. Giá trị của B lim bằng: n 3n2 1 1 A. B. C. 0 D. 1 3 4 2n2 1 n 2 9 Câu 10. Giá trị của C lim bằng: n17 1 A. B. C. 16 D. 1 n2 1 3 3n3 2 Câu 11. Giá trị của D lim bằng: 4 2n4 n 2 n 1 3 3 A. B. C. D. 1 4 2 1 4 3n3 1 n Câu 12. Giá trị của C lim bằng: 2n4 3n 1 n A. B. C. 0 D. 1 (n 2)7 (2n 1)3 Câu 13. Giá trị của. F lim bằng: (n2 2)5 A. B. C. 8 D. 1 n3 1 Câu 14. Giá trị của. C lim bằng: n(2n 1)2 1 A. B. C. D. 1 4
  5. n3 3n2 2 Câu 15. Giá trị của. D lim bằng: n4 4n3 1 A. B. C. 0 D. 1 n3 2n 1 Câu 16. Giá trị của. E lim bằng: n 2 A. B. C. 0 D. 1 4 n4 2n 1 2n Câu 17. Giá trị của. F lim bằng: 3 3n3 n n 3 A. B. C. D. 1 3 3 1 2n 2 Câu 18. Cho dãy sốu với u n 1 . Chọn kết quả đúng của limu là: n n n4 n2 1 n A. .B. 0 . C.1 .D. . 10 Câu 19. lim bằng : n4 n2 1 A. .B. 10.C. 0 .D. . n 1 4 Câu 20. Tính giới hạn: lim n 1 n 1 A.1. B. 0 . C. 1 D. . 2 1 3 5 2n 1 Câu 21. Tính giới hạn: lim 3n2 4 1 2 A. 0 .B. . C. .D. 1. 3 3 n2 1 1 Câu 22. Chọn kết quả đúng của lim 3 . 3 n2 2n 1 A. 4 . B. 3 . C. 2 . D. . 2 k ak n a1n a0 Câu 23. Giá trị của D lim p (Trong đó k, p là các số nguyên dương; bpn b1n b0 akbp 0 ). bằng: A. B. C. Đáp án khác D. 1 2 5n 2 Câu 24. Kết quả đúng của lim là: 3n 2.5n 5 1 5 25 A. . B. . C. . D. . 2 50 2 2 3n 4.2n 1 3 Câu 25. lim bằng: 3.2n 4n A. . B. . C. 0 . D. 1. 3.2n 3n Câu 26. Giá trị của C lim bằng: 2n 1 3n 1 1 A. B. C. D. 1 3
  6. Câu 27. Giá trị đúng của lim 3n 5n là: A. . B. . C. 2 . D. 2 . 3.2n 3n Câu 28. Giá trị của. K lim bằng: 2n 1 3n 1 1 A. B. C. 2 D. 1 3 5n 1 Câu 29. lim bằng : 3n 1 A. .B. 1 .C. 0 D. . 4n 2n 1 Câu 30. lim 4 bằng : 3n 4n 2 1 1 A. 0 .B. .C. .D. . 2 4 3.3n 4n Câu 31. Giá trị của. C lim bằng: 3n 1 4n 1 1 A. B. C. 0 D. 1 2 1 a a2 an Câu 32. Cho các số thực a,b thỏa a 1; b 1. Tìm giới hạn I lim . 1 b b2 bn 1 b A. B. C. D. 1 1 a k k 1 ak .n ak 1n a1n a0 Câu 33. Tính giới hạn của dãy số A lim p p 1 với akbp 0 . : bp .n bp 1n b1n b0 A. B. C. Đáp án khác D. 1 2 n 3 Câu 34. lim n sin 2n bằng: 5 A. . B. 0 . C. 2 . D. . Câu 35. Giá trị của. M lim n2 6n n bằng: A. B. C. 3 D. 1 Câu 36. Giá trị của. H lim n2 n 1 n bằng: 1 A. B. C. D. 1 2 Câu 37. Giá trị của B lim 2n2 1 n bằng: A. B. C. 0 D. 1 Bài 40. Giá trị của K lim n n2 1 n bằng: 1 A. B. C. D. 1 2 Câu 38. Giá trị đúng của lim n2 1 3n2 2 là: A. . B. . C. 0 . D. 1. Câu 39. Giá trị của A lim n2 6n n bằng:
  7. A. B. C. 3 D. 1 Câu 40. Giá trị của B lim 3 n3 9n2 n bằng: A. B. C. 0 D. 3 Câu 41. Giá trị của D lim n2 2n 3 n3 2n2 bằng: 1 A. B. C. D. 1 3 Câu 42. Giá trị của. M lim 3 1 n2 8n3 2n bằng: 1 A. B. C. 0 D. 1 12 Câu 43. Giá trị của. N lim 4n2 1 3 8n3 n bằng: A. B. C. 0 D. 1 Câu 44. Giá trị của. K lim 3 n3 n2 1 3 4n2 n 1 5n bằng: 5 A. B. C. D. 1 12 Câu 45. Giá trị của. N lim 3 n3 3n2 1 n bằng: A. B. C. 0 D. 1 Câu 46. Giá trị đúng của lim n n 1 n 1 là: A. 1. B. 0 . C. 1. D. . Câu 47. Giá trị của. H lim n 3 8n3 n 4n2 3 bằng: 2 A. B. C. D. 1 3 Câu 48. Giá trị của A lim n2 2n 2 n bằng: A. B. C. 2 D. 1 Câu 49. lim 5 200 3n5 2n2 bằng : A. 0 .B. 1.C. .D. . 2n3 sin 2n 1 Câu 50. Giá trị của. A lim bằng: n3 1 A. B. C. 2 D. 1 n n! Câu 51. Giá trị của. B lim bằng: n3 2n A. B. C. 0 D. 1 n 1 Câu 52. Giá trị của. D lim bằng: n2 ( 3n2 2 3n2 1) 2 A. B. C. D. 1 3 Câu 53. Giá trị của. E lim( n2 n 1 2n) bằng: A. B. C. 0 D. 1 Câu 54. Giá trị của. F lim n 1 n bằng:
  8. A. B. C. 0 D. 1 Câu 55. Giá trị của. H lim( k n2 1 p n2 1) bằng: A. B. C. Đáp án khác D. 1 1 1 1 Câu 56. Tính giới hạn của dãy số u : n 2 1 2 3 2 2 3 (n 1) n n n 1 A. B. C. 0 D. 1 (n 1) 13 23 n3 Câu 57. Tính giới hạn của dãy số u : n 3n3 n 2 1 A. B. C. D. 1 9 1 1 1 n(n 1) Câu 58. Tính giới hạn của dãy số un (1 )(1 ) (1 ) trong đó Tn . : T1 T2 Tn 2 1 A. B. C. D. 1 3 23 1 33 1 n3 1 Câu 59. Tính giới hạn của dãy số u . . : n 23 1 33 1 n3 1 2 A. B. C. D. 1 3 n 2k 1 Câu 60. Tính giới hạn của dãy số u . : n  k k 1 2 A. B. C. 3 D. 1 2 n Câu 61. Tính giới hạn của dãy số un q 2q nq với q 1 . : q q A. B. C. D. 1 q 2 1 q 2 n n Câu 62. Tính giới hạn của dãy số u . : n  2 k 1 n k A. B. C. 3 D. 1 3 n6 n 1 4 n4 2n 1 Câu 63. Tính giới hạn của dãy số B lim . : (2n 3)2 3 A. B. C. 3 D. 4 Câu 64. Tính giới hạn của dãy số C lim 4n2 n 1 2n . : 1 A. B. C. 3 D. 4 Câu 65. Tính giới hạn của dãy số D lim n2 n 1 2 3 n3 n2 1 n . : 1 A. B. C. D. 1 6 1 Câu 66. Cho dãy số (x ) xác định bởi x , x x2 x ,n 1 n 1 2 n 1 n n 1 1 1 Đặt Sn  . Tính lim Sn . x1 1 x2 1 xn 1 A. B. C. 2 D. 1
  9. 1 2 k Câu 67. Cho dãy (x ) được xác định như sau: x k k 2! 3! (k 1)! n n n n Tìm limun với un x1 x2 x2011 . 1 1 A. B. C. 1 D. 1 2012! 2012! u 2011 0 3 un Câu 68. Cho dãy số (un ) được xác định bởi: 1 . Tìm lim . u u n 1 n 2 n un A. B. C. 3 D. 1 x 1 1 Câu 69. Cho dãy x 0 xác định như sau: f (x) . Tìm 0; . x A. B. C. 2010 D. 1 n. 1 3 5 (2n 1) Câu 70. Tìm limu biết u n n 2n2 1 1 A. B. C. D. 1 2 3 x 2 2x 1 khi x 1 Câu 71. Tìm limun biết f (x) x 1 3m 2 khi x 1 3 6 A. B. C. 2 D. 2 x 1 1 khi x 0 Câu 72. Tìm limun biết f (x) x 2 2x 3m 1 khi x 0 A. B. C. 2 D. 1 2x 4 3 khi x 2 Câu 73. Tìm limun biết f (x) x 1 trong đó x 1. khi x 2 x2 2mx 3m 2 1 A. B. C. D. 1 3 n 1 Câu 74. Tìm limu biết u n n  2 k 1 n k A. B. C. 3 D. 1 Câu 75. Tìm limu biết u 2 2 2 n n  n dau can A. B. C. 2 D. 1 Câu 76. Gọi g(x) 0, x 2 là dãy số xác định bởi . Tìm lim f (x) lim 2x 4 3 3. x 2 x 2 4 A. B. C. D. 1 3
  10. 2 2 2 1 1 2 1 2 2 Câu 77. Cho dãy số A x1 x1x2 x1x2 x2 x1 x2 3 0 được xác định như sau 2 4 2 x1 x2 . 3 Đặt x . Tìm x3 2x 3 3 2x 4 0 . 2 1 A. B. C. D. 1 2 å å å Câu 78. Cho a,b ¥ ,(a,b) 1;n ab 1,ab 2, . Kí hiệu rn là số cặp số (u,v) ¥ ¥ r 1 sao cho n au bv . Tìm lim n . n n ab 1 A. B. C. D. ab 1 ab 1 u 1 2 Câu 79. Cho dãy số có giới hạn (u ) xác định bởi : . Tìm kết quả đúng của n 1 un 1 , n 1 2 un limun . 1 A. 0 .B. 1.C. 1.D. 2 1 1 1 1 Câu 80. Tìm giá trị đúng của S 2 1 n . 2 4 8 2 1 A. 2 1 . B. 2 . C. 2 2 .D. . 2 1 1 1 Câu 81. Tính giới hạn: lim 1.2 2.3 n n 1 3 A. 0 B.1.C. . D. Không có 2 giới hạn. 1 1 1 Câu 82. Tính giới hạn: lim 1.3 3.5 n 2n 1 2 A.1. B. 0 . C. .D. 2 . 3 1 1 1 Câu 83. Tính giới hạn: lim 1.3 2.4 n n 2 3 2 A. . B.1. C. 0 .D. . 4 3 1 1 1 Câu 84. Tính giới hạn: lim . 1.4 2.5 n(n 3) 11 3 A. . B. 2 . C. 1. D. . 18 2 1 1 1 Câu 85. Tính giới hạn: lim 1 2 1 2 1 2 . 2 3 n
  11. 1 1 3 A. 1. B. .C. . D. . 2 4 2 ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIỚI HẠN HỮU HẠN GIỚI HẠN VÔ CỰC 1. Giới hạn đặc biệt: 1. Giới hạn đặc biệt: 1 1 k lim 0 ; lim 0 (k ¢ ) lim n lim n (k ¢ ) n n n k n lim qn (q 1) n lim q 0 ( q 1) ; lim C C 2. Định lí: n n 2. Định lí : 1 a) Nếu lim un thì lim 0 a) Nếu lim un = a, lim vn = b thì un lim (un + vn) = a + b un lim (un – vn) = a – b b) Nếu lim un = a, lim vn = thì lim = 0 vn lim (un.vn) = a.b u a c) Nếu lim un = a 0, lim vn = 0 lim n (nếu b 0) un neáu a.vn 0 vn b thì lim = neáu a.v 0 vn n b) Nếu un 0, n và lim un= a d) Nếu lim u = + , lim v = a thì a 0 và lim u a n n n neáu a 0 thì lim(un.vn) = c) Nếu un vn ,n và lim vn = 0 neáu a 0 thì lim un = 0 * Khi tính giới hạn có một trong các dạng vô d) Nếu lim un = a thì lim un a 0 3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn định: , , – , 0. thì phải tìm cách khử 0 u 2 1 S = u1 + u1q + u1q + = q 1 dạng vô định. 1 q B – BÀI TẬP DẠNG 1: TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH NGHĨA Phương pháp: Để chứng minh limun 0 ta chứng minh với mọi số a 0 nhỏ tùy ý luôn tồn tại một số na sao cho un a n na . Để chứng minh limun l ta chứng minh lim(un l) 0 . Để chứng minh limun ta chứng minh với mọi số M 0 lớn tùy ý, luôn tồn tại số tự nhiên nM sao cho un M n nM . Để chứng minh limun ta chứng minh lim( un ) . Một dãy số nếu có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất. Câu 1. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
  12. A. Nếu lim un , thì limun . B. Nếu lim un , thì limun . C. Nếu limun 0 , thì lim un 0 . D. Nếu limun a , thì lim un a . Hướng dẫn giải: Chọn C. Theo nội dung định lý. 1 Câu 2. Giá trị của lim bằng: n 1 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 Hướng dẫn giải: Chọn A. 1 1 1 1 Với a 0 nhỏ tùy ý, ta chọn na 1 ta có a n na nên có lim 0 . a n 1 na 1 n 1 1 Câu 3. Giá trị của lim (k ¥ *) bằng: nk A. 0 B. 2 C. 4 D. 5 Hướng dẫn giải: Chọn A. 1 1 1 1 k Với a 0 nhỏ tùy ý, ta chọn na ta có k k a n na nên có lim k 0 . a n na n sin2 n Câu 4. Giá trị của lim bằng: n 2 A. 0 B. 3 C. 5 D. 8 Hướng dẫn giải: Chọn A. 1 sin2 n 1 1 Với a 0 nhỏ tùy ý, ta chọn na 2 ta có a n na nên có a n 2 n 2 na 2 sin2 n lim 0 . n 2 Câu 5. Giá trị của lim(2n 1) bằng: A. B. C. 0 D. 1 Hướng dẫn giải: Chọn A. M 1 Với mọi số dương M lớn tùy ý ta chọn n M 2 Ta có: 2n 1 2nM 1 M n nM lim(2n 1) . 1 n2 Câu 6. Giá trị của lim bằng: n A. B. C. 0 D. 1 Hướng dẫn giải: Chọn B. 2 nM 1 Với mọi số dương M lớn tùy ý ta chọn nM thỏa M nM M M 2 4 n . M 2
  13. n2 1 n2 1 Ta có: M n n lim n M n 1 n2 Vậy lim . n 2 Câu 7. Giá trị của lim bằng: n 1 A. B. C. 0 D. 1 Hướng dẫn giải: Chọn C. 2 Với mọi a 0 nhỏ tùy ý, ta chọn na 1 1 a 2 2 Suy ra a n n lim 0 . n 1 a n 1 cos n sin n Câu 8. Giá trị của lim bằng: n2 1 A. B. C. 0 D. 1 Hướng dẫn giải: Chọn C. cos n sin n 2 1 cos n sin n Ta có mà lim 0 lim 0 n2 n2 n2 n2 1 n 1 Câu 9. Giá trị của lim bằng: n 2 A. B. C. 0 D. 1 Hướng dẫn giải: Chọn C. 1 Với mọi số thực a 0 nhỏ tùy ý, ta chọn na 1 1 a2 n 1 1 n 1 Ta có: a n n lim 0 . n 2 n 1 a n 2 3n3 n Câu 10. Giá trị của lim bằng: n2 A. B. C. 0 D. 1 Hướng dẫn giải: Chọn A. M Với mọi M 0 lớn tùy ý, ta chọn nM 1 3 3n3 n 1 Ta có: 3n M n n n2 n M 3n3 n Vậy lim . n2 2 n Câu 11. Giá trị của lim bằng: n 1 A. B. C. 0 D. 1 Hướng dẫn giải: Chọn B.
  14. 2 1 Với mọi M 0 lớn tùy ý, ta chọn nM 3 1 a n 2 3 Ta có: n 1 1 n 3 M n n 1 n n 1 M 2 n Suy ra lim . n 1 2n 1 Câu 12. Giá trị của A lim bằng: n 2 A. B. C. 2 D. 1 Hướng dẫn giải: Chọn C. 5 Với số thực a 0 nhỏ tùy ý, ta chọn n 2 2 a a 2n 1 5 5 Ta có: 2 a n na n 2 n 2 na 2 Vậy A 2 . 2n 3 Câu 13. Giá trị của B lim bằng: n2 1 A. B. C. 0 D. 1 Hướng dẫn giải: Chọn C. 2na 3 Với số thực a 0 nhỏ tùy ý, ta chọn na thỏa 2 a na 1 1 a2 4a 13 n a a 2n 3 Ta có: a n n B 0 . n2 1 a n2 1 Câu 14. Giá trị của C lim bằng: n 1 A. B. C. 0 D. 1 Hướng dẫn giải: Chọn D. 1 Với số thực a 0 nhỏ tùy ý, ta chọn n 1 a a n2 1 n 2 1 Ta có: 1 1 a n na n 1 n 1 na 1 Vậy C 1 . n 2 n Câu 15. Giá trị của A lim bằng: 2n 1 A. B. C. D. 1 2 Hướng dẫn giải: Chọn C. nsin n 3n2 Câu 16. Giá trị của B lim bằng: n2
  15. A. B. C. 3 D. 1 Hướng dẫn giải: Chọn C. 1 Câu 17. Giá trị của C lim bằng: n2 2 n 7 A. B. C. 0 D. 1 Hướng dẫn giải: Chọn C. 4n 1 Câu 18. Giá trị của D lim bằng: n2 3n 2 A. B. C. 0 D. 4 Hướng dẫn giải: Chọn D. an Câu 19. Giá trị của lim 0 bằng: n! A. B. C. 0 D. 1 Hướng dẫn giải: Chọn C. Gọi m là số tự nhiên thỏa: m 1 a . Khi đó với mọi n m 1 m n m an a a a a a a a Ta có: 0 . . . n! 1 2 m m 1 n m! m 1 n m a an Mà lim 0 . Từ đó suy ra: lim 0 . m 1 n! Câu 20. Giá trị của lim n a với a 0 bằng: A. B. C. 0 D. 1 Hướng dẫn giải: Chọn D. Nếu a 1 thì ta có đpcm n Giả sử a 1 . Khi đó: a 1 n a 1 n n a 1 a Suy ra: 0 n a 1 0 nên lim n a 1 n 1 1 Với 0 a 1 thì 1 lim n 1 lim n a 1 . a a Tóm lại ta luôn có: lim n a 1 với a 0 . DẠNG 2: TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ DỰA VÀO CÁC ĐỊNH LÝ VÀ CÁC GIỚI HẠN CƠ BẢN Phương pháp: Sử dụng các định lí về giới hạn, biến đổi đưa về các giới hạn cơ bản. f (n) Khi tìm lim ta thường chia cả tử và mẫu cho nk , trong đó k là bậc lớn nhất của g(n) tử và mẫu. k m Khi tìm lim f (n) g(n) trong đó lim f (n) lim g(n) ta thường tách và sử dụng phương pháp nhân lượng liên hơn.
  16. + Dùng các hằng đẳng thức: a b a b a b; 3 a 3 b 3 a2 3 ab 3 b2 a b Dùng định lí kẹp: Nếu un vn ,n và lim vn = 0 thì lim un = 0 Khi tính các giới hạn dạng phân thức, ta chú ý một số trường hợp sau đây: Nếu bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng 0. Nếu bậc của từ bằng bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng tỉ số các hệ số của luỹ thừa cao nhất của tử và của mẫu. Nếu bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó là + nếu hệ số cao nhất của tử và mẫu cùng dấu và kết quả là – nếu hệ số cao nhất của tử và mẫu trái dấu. n un 1 1 Câu 1. Cho dãy số un với un n và . Chọn giá trị đúng của limun trong các số sau: 4 un 2 1 1 A. . B. .C. . 0 D. . 1 4 2 Hướng dẫn giải: Chọn C. Chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học ta có n 2n ,n ¥ n n n n 1 n 1 Nên ta có : n 2 n 1 n n n n 2 2 .2 2 4 2 n n 1 1 Suy ra : 0 un , mà lim 0 limun 0 . 2 2 ncos 2n Câu 2. Kết quả đúng của lim 5 2 là: n 1 1 A. 4. B. 5. C. –4. D. . 4 Hướng dẫn giải: Chọn B. n ncos 2n n n2 1 n2 1 n2 1 n 1 1 n Ta có lim lim . 0 ;lim 0 n2 1 n 1 1/ n2 n2 1 ncos 2n ncos 2n lim 2 0 lim 5 2 5 . n 1 n 1 2n 1 Câu 3. Giá trị của. A lim bằng: 1 3n 2 A. B. C. D. 1 3 Hướng dẫn giải: Chọn C. 4n2 3n 1 Câu 4. Giá trị của. B lim bằng: (3n 1)2 4 A. B. C. D. 1 9 Hướng dẫn giải:
  17. Chọn C. n2 2n 1 Câu 5. Kết quả đúng của lim là 3n4 2 3 2 1 1 A. . B. . C. . D. . 3 3 2 2 Hướng dẫn giải: Chọn A. 2 n2 2n 1 1 2 / n 1/ n 1 0 0 3 lim lim . 3n4 2 3 2 / n2 3 0 3 3n n4 Câu 6. Giới hạn dãy số u với u là: n n 4n 5 3 A. . B. . C. . D. . 0 4 Hướng dẫn giải: Chọn A. 3n n4 3 / n3 1 limu lim lim n3 . n 4n 5 4 5 / n 3 / n3 1 1 Vì lim n3 ;lim . 4 5 / n 4 n3 2n 5 Câu 7. Chọn kết quả đúng của lim : 3 5n 2 A. .5 B. .C. . D. . 5 Hướng dẫn giải: Chọn D. 2 3 n3 2n 5 1 2 / n 5 / n lim lim n. . 3 5n 3 / n 5 2 3 1 2 / n 5 / n 1 Vì lim n ;lim . 3 / n 5 5 2n2 3n 1 Câu 8. Giá trị của A lim bằng: 3n2 n 2 2 A. B. C. D. 1 3 Hướng dẫn giải: Chọn C. 3 1 2 2 2 Ta có: A lim n n . 1 2 3 3 n n2 n2 2n Câu 9. Giá trị của B lim bằng: n 3n2 1 1 A. B. C. 0 D. 1 3
  18. Hướng dẫn giải: Chọn D. n2 n 1 1 1 Ta có: B lim n lim n 2 1 1 3 n 3n 1 1 3 n n2 4 2n2 1 n 2 9 Câu 10. Giá trị của C lim bằng: n17 1 A. B. C. 16 D. 1 Hướng dẫn giải: Chọn C. 8 1 4 9 2 9 1 4 2 9 n (2 2 ) .n (1 ) (2 2 ) .(1 ) Ta có: C lim n n lim n n 16 1 1 n17 (1 ) 1 n17 n17 n2 1 3 3n3 2 Câu 11. Giá trị của D lim bằng: 4 2n4 n 2 n 1 3 3 A. B. C. D. 1 4 2 1 Hướng dẫn giải: Chọn C. 1 2 n 1 3 3 n2 n3 1 3 3 Ta có: D lim . 1 2 4 2 1 4 n 2 3 4 1 n n 4 3n3 1 n Câu 12. Giá trị của C lim bằng: 2n4 3n 1 n A. B. C. 0 D. 1 Hướng dẫn giải: Chọn C. 3 1 1 4 5 8 Chia cả tử và mẫu cho n2 ta có được.C lim n n n 0 3 1 1 2 n3 n4 n (n 2)7 (2n 1)3 Câu 13. Giá trị của. F lim bằng: (n2 2)5 A. B. C. 8 D. 1 Hướng dẫn giải: Chọn C.
  19. 7 3 2 1 1 2 n n Ta có: F lim 5 8 5 1 2 n n3 1 Câu 14. Giá trị của. C lim bằng: n(2n 1)2 1 A. B. C. D. 1 4 Hướng dẫn giải: Chọn C. n3 3n2 2 Câu 15. Giá trị của. D lim bằng: n4 4n3 1 A. B. C. 0 D. 1 Hướng dẫn giải: Chọn C. n3 2n 1 Câu 16. Giá trị của. E lim bằng: n 2 A. B. C. 0 D. 1 Hướng dẫn giải: Chọn A. 4 n4 2n 1 2n Câu 17. Giá trị của. F lim bằng: 3 3n3 n n 3 A. B. C. D. 1 3 3 1 Hướng dẫn giải: Chọn C. 2n 2 Câu 18. Cho dãy số uvới u n 1 . Chọn kết quả đúng của limu là: n n n4 n2 1 n A B. . 0C. .D 1 Hướng dẫn giải: Chọn B. 2n 2 Ta có: limu lim n 1 n n4 n2 1 n 1 2 2n 2 lim n4 n2 1 2n3 2n2 2n 2 lim n4 n2 1 ` 2 2 2 2 2 3 4 lim n n n n 0. 1 1 1 n2 n4 10 Câu 19. lbằngim : n4 n2 1
  20. A B. . C.1.D.0 . 0 Hướng dẫn giải: Chọn C. 10 10 Ta có: lim lim 4 2 1 1 n n 1 n2 1 n2 n4 1 1 10 Nhưng lim 1 1 và lim 0 n2 n4 n2 10 Nên lim 0. n4 n2 1 n 1 4 Câu 20. Tính giới hạn: lim n 1 n 1 A 1B C.0 D. .1 2 Hướng dẫn giải: Chọn B. 1 1 4 n 1 4 2 0 Ta có: lim lim n n n 0 . n 1 n 1 1 1 1 n n2 1 3 5 2n 1 Câu 21. Tính giới hạn: lim 3n2 4 1 2 A 0B C D 1 3 3 Hướng dẫn giải: Chọn B. 1 3 5 2n 1 n2 1 1 Ta có: lim lim lim . 2 2 4 3n 4 3n 4 3 3 n2 n2 1 1 Câu 22. Chọn kết quả đúng của lim 3 . 3 n2 2n 1 A. .4 B. . 3 C. . 2 D. . 2 Hướng dẫn giải: Chọn C. 1 2 1 n 1 1 2 1 1 lim 3 lim 3 n 3 0 2 2 n 3 n 3 n 2 1 2 1 n2 k ak n a1n a0 Câu 23. Giá trị của D lim p (Trong đó k, p là các số nguyên dương; bpn b1n b0 akbp 0 ). bằng: A. B. C. Đáp án khác D. 1 Hướng dẫn giải:
  21. Chọn C. Ta xét ba trường hợp sau a a a k 1 0 k k if a b 0 k n n k p k p . Chia cả tử và mẫu cho n ta có:D lim . b b if a b 0 p 0 k p n p k nk a a a k 1 0 k k a k p . Chia cả tử và mẫu cho nk ta có:D lim n n k . b b b 0 k k nk ak a0 p k p k p . Chia cả tử và mẫu cho n p : D lim n n 0 . b b 0 p n p 2 5n 2 Câu 24. Kết quả đúng của lim là: 3n 2.5n 5 1 5 25 A. . B. . C. . D. . 2 50 2 2 Hướng dẫn giải: Chọn B. 2 1 1 n 2 0 2 5 5n 25 25 1 lim n n lim n . 3 2.5 3 0 2 50 2. 5 3n 4.2n 1 3 Câu 25. lbằng:im 3.2n 4n A. . B. . C. . 0 D. . 1 Hướng dẫn giải: Chọn C. n n n 2 1 3 1 4. 3. 3n 4.2n 1 3 3n 2.2n 3 3 3 lim lim lim 3.2n 4n 3.2n 4n n n 2 4 3. 1 4 n n 2 1 1 4. 3. n 3 3 3 lim 0 . n 4 2 3. 1 4 3.2n 3n Câu 26. Giá trị của C lim bằng: 2n 1 3n 1 1 A. B. C. D. 1 3 Hướng dẫn giải: Chọn C.
  22. n 2 n n 3. 1 3.2 3 3 1 Ta có: C lim n 1 n 1 lim n 2 3 2 3 2. 3 3 Câu 27. Giá trị đúng của lim 3n 5n là: A. . B. . C. . 2 D. . 2 Hướng dẫn giải: Chọn B. n 3 lim 3n 5n lim5n 1 . 5 n 3 Vì lim5n ;lim 1 1 . 5 3.2n 3n Câu 28. Giá trị của. K lim bằng: 2n 1 3n 1 1 A. B. C. 2 D. 1 3 Hướng dẫn giải: Chọn A. n 2 3 1 3 1 K lim n 2 3 2 3 3 5n 1 Câu 29. lbằngim : 3n 1 A B. . 1C. D 0 Hướng dẫn giải: Chọn A. n 1 n 1 5 1 5 Ta có: lim n lim n n 3 1 3 1 5 5 n n n n n 1 3 1 3 1 Nhưng lim 1 1 0 , lim 0 và 0 n * ¥ 5 5 5 5 5 5n 1 Nên lim . 3n 1 4n 2n 1 Câu 30. lbằngim 4 : 3n 4n 2 1 1 A. 0 .B C D. . 2 4 Hướng dẫn giải: Chọn B.
  23. n 1 n n 1 1 n 1 2. 4 2 1 2 2 1 4 Ta có: lim n n 2 . lim n lim 4 n 3 4 4 3 2 3 2 2 4 4 4 4 n n 1 3 Vì lim 0; lim 0. 2 4 3.3n 4n Câu 31. Giá trị của. C lim bằng: 3n 1 4n 1 1 A. B. C. 0 D. 1 2 Hướng dẫn giải: Chọn B. 1 a a2 an Câu 32. Cho các số thực a,b thỏa a 1; b 1 . Tìm giới hạn.I lim 1 b b2 bn 1 b A. B. C. D. 1 1 a Hướng dẫn giải: Chọn C. 1 an 1 Ta có 1,a,a2 , ,an là một cấp số nhân công bội a 1 a a2 an 1 a 1 bn 1 Tương tự 1 b b2 bn 1 b 1 an 1 1 b Suy ra lim I lim 1 a 1 bn 1 1 a 1 b ( Vì a 1, b 1 lim an 1 limbn 1 0 ). k k 1 ak .n ak 1n a1n a0 Câu 33. Tính giới hạn của dãy số A lim p p 1 với akbp 0 . : bp .n bp 1n b1n b0 A. B. C. Đáp án khác D. 1 Hướng dẫn giải: Chọn C. Ta chia làm các trường hợp sau a a a k 1 0 k k a TH 1: n k , chia cả tử và mẫu cho nk , ta được.A lim n n k b b b b p 1 0 p p n nk TH 2: k p , chia cả tử và mẫu cho nk , ta được ak 1 a0 ak k khi a b 0 n n k p A lim b b b khi a b 0 p p 1 0 k p nk p nk p 1 nk
  24. ak ak 1 a0 p k p k 1 p TH 3: k p , chia cả tử và mẫu cho n p , ta được.A lim n n n 0 b b b p 1 0 p n n p 2 n 3 Câu 34. lbằng:im n sin 2n 5 A. . B. . 0 C. . 2 D. . Hướng dẫn giải: Chọn C. n sin 2 n 3 3 5 lim n sin 2n lim n 2 5 n n sin 3 5 Vì lim n ;lim 2 2 n n n sin sin 5 1 1 5 ;lim 0 lim 2 2 . n n n n Câu 35. Giá trị của. M lim n2 6n n bằng: A. B. C. 3 D. 1 Hướng dẫn giải: Chọn C. 6n M lim 3 n2 6n n Câu 36. Giá trị của. H lim n2 n 1 n bằng: 1 A. B. C. D. 1 2 Hướng dẫn giải: Chọn C. 1 1 n 1 1 Ta có: H lim lim n 2 1 1 2 n n 1 n 1 1 n n2 Câu 37. Giá trị của B lim 2n2 1 n bằng: A. B. C. 0 D. 1 Hướng dẫn giải: Chọn A. 1 Ta có: B lim n 2 1 n Bài 40. Giá trị của K lim n n2 1 n bằng:
  25. 1 A. B. C. D. 1 2 Hướng dẫn giải: Chọn C. Câu 38. Giá trị đúng của lim n2 1 3n2 2 là: A. . B. . C. . 0 D. . 1 Hướng dẫn giải: Chọn B. lim n2 1 3n2 2 lim n 1 1/ n2 3 2 / n2 . Vì lim n ;lim 1 1/ n2 3 2 / n2 1 3 0 . Câu 39. Giá trị của A lim n2 6n n bằng: A. B. C. 3 D. 1 Hướng dẫn giải: Chọn C. n2 6n n2 Ta có A lim n2 6n n lim n2 6n n 6n 6 lim lim 3 2 6 n 6n n 1 1 n Câu 40. Giá trị của B lim 3 n3 9n2 n bằng: A. B. C. 0 D. 3 Hướng dẫn giải: Chọn D. Ta có: B lim 3 n3 9n2 n 9n2 lim 2 3 n3 9n2 n 3 n3 9n2 n2 9 lim 3 . 2 9 9 3 1 1 1 n n Câu 41. Giá trị của D lim n2 2n 3 n3 2n2 bằng: 1 A. B. C. D. 1 3 Hướng dẫn giải: Chọn C. Ta có: D lim n2 2n n lim 3 n3 2n2 n 2n 2n2 lim lim n2 2n n 3 (n3 2n2 )2 n 3 n3 2n2 n2
  26. 2 2 1 lim lim . 2 2 2 3 1 1 3 (1 )2 3 1 1 n n n Câu 42. Giá trị của. M lim 3 1 n2 8n3 2n bằng: 1 A. B. C. 0 D. 1 12 Hướng dẫn giải: Chọn A. 1 n2 1 Ta có: M lim 3 (1 n2 8n3 )2 2n 3 1 n2 8n3 4n2 12 Câu 43. Giá trị của. N lim 4n2 1 3 8n3 n bằng: A. B. C. 0 D. 1 Hướng dẫn giải: Chọn C. Ta có: N lim 4n2 1 2n lim 3 8n3 n 2n 1 Mà: lim 4n2 1 2n lim 0 4n2 1 2n n lim 3 8n2 n 2n lim 0 3 (8n2 n)2 2n 3 8n2 n 4n2 Vậy N 0 . Câu 44. Giá trị của. K lim 3 n3 n2 1 3 4n2 n 1 5n bằng: 5 A. B. C. D. 1 12 Hướng dẫn giải: Chọn C. Ta có: K lim 3 n3 n2 1 n 3lim 4n2 n 1 2n 1 1 Mà: lim 3 n3 n2 1 n ; lim 4n2 n 1 2n 3 4 1 3 5 Do đó: K 3 4 12 Câu 45. Giá trị của. N lim 3 n3 3n2 1 n bằng: A. B. C. 0 D. 1 Hướng dẫn giải: Chọn D. 3n2 1 N lim 1 3 (n3 3n2 1)2 n.3 n3 3n2 1 n2 Câu 46. Giá trị đúng của lim n n 1 n 1 là: A. . 1 B. . 0 C. . 1 D. . Hướng dẫn giải:
  27. Chọn C. n n 1 n 1 2 n lim n n 1 n 1 lim lim 1. n 1 n 1 n 1 1/ n 1 1/ n Câu 47. Giá trị của. H lim n 3 8n3 n 4n2 3 bằng: 2 A. B. C. D. 1 3 Hướng dẫn giải: Chọn C. 2 H lim n 3 8n3 n 2n lim n 4n2 3 2n 3 Câu 48. Giá trị của A lim n2 2n 2 n bằng: A. B. C. 2 D. 1 Hướng dẫn giải: Chọn A. 2 2 Ta có A lim n 1 1 2 n n 2 2 Do lim n ;lim 1 1 2 . 2 n n Câu 49. lbằngim 5 2:00 3n5 2n2 A 0B C.1 .D Hướng dẫn giải: Chọn D. 200 2 Ta có: lim 5 200 3n5 2n2 lim n 5 3 n5 n3 200 2 Nhưng lim 5 3 5 3 0 và lim n n5 n3 Nên lim 5 200 3n5 2n2 2n3 sin 2n 1 Câu 50. Giá trị của. A lim bằng: n3 1 A. B. C. 2 D. 1 Hướng dẫn giải: Chọn C. sin 2n 1 2 3 A lim n 2 1 1 n3 n n! Câu 51. Giá trị của. B lim bằng: n3 2n A. B. C. 0 D. 1 Hướng dẫn giải: Chọn C.
  28. n n! n nn n Ta có: 0 B 0 n3 2n n3 2n n3 2n n 1 Câu 52. Giá trị của. D lim bằng: n2 ( 3n2 2 3n2 1) 2 A. B. C. D. 1 3 Hướng dẫn giải: Chọn C. Câu 53. Giá trị của. E lim( n2 n 1 2n) bằng: A. B. C. 0 D. 1 Hướng dẫn giải: Chọn B. Câu 54. Giá trị của. F lim n 1 n bằng: A. B. C. 0 D. 1 Hướng dẫn giải: Chọn A. Câu 55. Giá trị của. H lim( k n2 1 p n2 1) bằng: A. B. C. Đáp án khác D. 1 Hướng dẫn giải: Chọn C. Xét các trường hợp TH1: k p H TH 2: k p H TH 3: k p H 0 . 1 1 1 Câu 56. Tính giới hạn của dãy số u : n 2 1 2 3 2 2 3 (n 1) n n n 1 A. B. C. 0 D. 1 Hướng dẫn giải: Chọn D. 1 1 1 Ta có: (k 1) k k k 1 k k 1 1 Suy ra u 1 limu 1 n n 1 n (n 1) 13 23 n3 Câu 57. Tính giới hạn của dãy số u : n 3n3 n 2 1 A. B. C. D. 1 9 Hướng dẫn giải: Chọn C. 2 n(n 1) Ta có: 13 23 n3 3 n(n 1)2 1 Suy ra u limu . n 3(3n3 n 2) n 9
  29. 1 1 1 n(n 1) Câu 58. Tính giới hạn của dãy số utrongn (1 đó . :)(1 ) (1 ) Tn T1 T2 Tn 2 1 A. B. C. D. 1 3 Hướng dẫn giải: Chọn C. 1 2 (k 1)(k 2) Ta có: 1 1 Tk k(k 1) k(k 1) 1 n 2 1 Suy ra u . limu . n 3 n n 3 23 1 33 1 n3 1 Câu 59. Tính giới hạn của dãy số .u : . n 23 1 33 1 n3 1 2 A. B. C. D. 1 3 Hướng dẫn giải: Chọn C. k 3 1 (k 1)(k 2 k 1) Ta có k 3 1 (k 1)[(k 1)2 (k 1) 1] 2 n2 n 1 2 Suy ra u . limu n 3 (n 1)n n 3 n 2k 1 Câu 60. Tính giới hạn của dãy số .u : n  k k 1 2 A. B. C. 3 D. 1 Hướng dẫn giải: Chọn C. 1 1 1 1 1 2n 1 Ta có: un un 2 n 1 n 1 2 2 2 2 2 2 1 3 2n 1 u limu 3. 2 n 2 2n 1 n 2 n Câu 61. Tính giới hạn của dãy số uvớin q 2q nq . :q 1 q q A. B. C. D. 1 q 2 1 q 2 Hướng dẫn giải: Chọn C. 2 3 n n 1 Ta có: un qun q q q q nq n 1 q n 1 q (1 q)un q nq . Suy ra limun . 1 q 1 q 2 n n Câu 62. Tính giới hạn của dãy số u . : n  2 k 1 n k A. B. C. 3 D. 1 Hướng dẫn giải: Chọn D. n n n 1 Ta có: n u n u 1 n2 n n n2 1 n2 1 n n2 1
  30. n u 1 0 limu 1. n n2 1 n 3 n6 n 1 4 n4 2n 1 Câu 63. Tính giới hạn của dãy số .B : lim (2n 3)2 3 A. B. C. 3 D. 4 Hướng dẫn giải: Chọn D. Chia cả tử và mẫu cho n2 ta có được: 1 1 2 1 3 1 4 1 n5 n6 n3 n4 1 4 3 B lim 2 . 3 4 4 2 n Câu 64. Tính giới hạn của dãy số .C : lim 4n2 n 1 2n 1 A. B. C. 3 D. 4 Hướng dẫn giải: Chọn D. 1 1 n 1 1 Ta có: C lim lim n 2 1 1 4 4n n 1 2n 4 2 n n2 Câu 65. Tính giới hạn của dãy số .D : lim n2 n 1 2 3 n3 n2 1 n 1 A. B. C. D. 1 6 Hướng dẫn giải: Chọn C. Ta có: D lim n2 n 1 n 2lim 3 n3 n2 1 n 1 1 n 1 1 Mà: lim n2 n 1 n lim lim n n2 n 1 n 1 1 2 1 1 n n2 n2 1 lim 3 n3 n2 1 n lim 3 (n3 n2 1)2 n.3 n3 n2 1 n2 1 1 2 1 lim n 1 1 2 1 1 3 3 3 1 4 6 1 3 1 n n n n 1 2 1 Vậy D . 2 3 6 1 Câu 66. Cho dãy số (x ) xác định bởi x , x x2 x ,n 1 n 1 2 n 1 n n
  31. 1 1 1 Đặt Sn  . Tính lim Sn . x1 1 x2 1 xn 1 A. B. C. 2 D. 1 Hướng dẫn giải: Chọn C. Từ công thức truy hồi ta có: xn 1 xn , n 1,2, Nên dãy (xn ) là dãy số tăng. Giả sử dãy (xn ) là dãy bị chặn trên, khi đó sẽ tồn tại lim xn x 2 Với x là nghiệm của phương trình : x x x x 0 x1 vô lí Do đó dãy (xn ) không bị chặn, hay lim xn . 1 1 1 1 Mặt khác: xn 1 xn (xn 1) xn xn 1 1 1 1 Suy ra: xn 1 xn xn 1 1 1 1 1 Dẫn tới: Sn 2 lim Sn 2 lim 2 x1 xn 1 xn 1 xn 1 1 2 k Câu 67. Cho dãy (x ) được xác định như sau: x k k 2! 3! (k 1)! n n n n Tìm limun với un x1 x2 x2011 . 1 1 A. B. C. 1 D. 1 2012! 2012! Hướng dẫn giải: Chọn C. k 1 1 1 Ta có: nên x 1 (k 1)! k! (k 1)! k (k 1)! 1 1 Suy ra x x 0 x x k k 1 (k 2)! (k 1)! k k 1 n n n n n Mà: x2011 x1 x2 x2011 2011x2011 1 Mặt khác: lim x lim n 2011x x 1 2011 2011 2011 2012! 1 Vậy limu 1 . n 2012! u 2011 0 3 un Câu 68. Cho dãy số (un ) được xác định bởi: 1 . Tìm lim . u u n 1 n 2 n un A. B. C. 3 D. 1 Hướng dẫn giải: Chọn C. Ta thấy un 0, n 3 3 3 1 Ta có: un 1 un 3 3 6 (1) un un 3 3 3 3 Suy ra: un un 1 3 un u0 3n (2)
  32. 3 3 1 1 3 1 1 Từ (1) và (2), suy ra: un 1 un 3 un 3 u3 3n 3 2 3n 9n2 0 u0 3n 1 n 1 1 n 1 Do đó: u3 u3 3n (3) n 0   2 3 k 1 k 9 k 1 k n 1 1 1 1 1 n 1 n 1 Lại có: 1 2 2 . n 2n  2   2 k 1 k 1.2 2.3 (n 1)n n k 1 k k 1 k 2 2n Nên: u3 3n u3 u3 3n 0 n 0 9 3 u3 u3 u3 2 2 Hay 3 0 n 3 0 . n n n 9n 3 n u3 Vậy lim n 3 . n x 1 1 Câu 69. Cho dãy x 0 xác định như sau: f (x) . Tìm 0; . x A. B. C. 2010 D. 1 Hướng dẫn giải: Chọn C. 2 un un 1 un un Ta có un 1 un 2010 un 1.un 2010un 1 u 1 1 n 2010. un 1 un un 1 u 1 1 1 Ta có  n 2010( ) 2010(1 ) un 1 u1 un 1 un 1 Mặt khác ta chứng minh được: limun . u Nên lim( u ) 2010 . un 1 n. 1 3 5 (2n 1) Câu 70. Tìm limu biết u n n 2n2 1 1 A. B. C. D. 1 2 Hướng dẫn giải: Chọn C. 1 Ta có: 1 3 5 2n 1 n2 nên limu n 2 3 x 2 2x 1 khi x 1 Câu 71. Tìm limun biết f (x) x 1 3m 2 khi x 1 3 6 A. B. C. 2 D. 2 Hướng dẫn giải: Chọn D.
  33. n(n 1) n(n 1)(2n 1) Ta có: 1 2 n và 12 22 n2 2 6 3 6 Nên limu n 2 x 1 1 khi x 0 Câu 72. Tìm limun biết f (x) x 2 2x 3m 1 khi x 0 A. B. C. 2 D. 1 Hướng dẫn giải: Chọn D. 1 1 1 1 Ta có: Suy ra u 1 limu 1 (k 1) k k k 1 k k 1 n n 1 n 2x 4 3 khi x 2 Câu 73. Tìm limun biết f (x) x 1 trong đó x 1 . khi x 2 x2 2mx 3m 2 1 A. B. C. D. 1 3 Hướng dẫn giải: Chọn C. 1 2 (k 1)(k 2) 1 n 2 1 Ta có: 1 1 Suy ra un . limun . Tk k(k 1) k(k 1) 3 n 3 n 1 Câu 74. Tìm limu biết u n n  2 k 1 n k A. B. C. 3 D. 1 Hướng dẫn giải: Chọn D. 1 1 1 n n Ta có: , k 1,2, ,n Suy ra un n2 n n2 k n2 1 n2 n n2 1 n n Mà lim lim 1 nên suy ra limun 1 . n2 n n2 1 Câu 75. Tìm limu biết u 2 2 2 n n  n dau can A. B. C. 2 D. 1 Hướng dẫn giải: Chọn C. n n 1 1 1 1 1 1 1 2 22 2n 2 2 Ta có: un 2 2 ,nên limun lim 2 2 . Câu 76. Gọi g(x) 0, x 2 là dãy số xác định bởi . Tìm lim f (x) lim 2x 4 3 3 . x 2 x 2 4 A. B. C. D. 1 3 Hướng dẫn giải: Chọn C.
  34. 4 8 4 8 Ta có 0 u u u 3u 3u u nên dãy (u ) là dãy tăng. 1 2 3 9 9 1 9 9 2 3 n 4 4 Dễ dàng chứng minh được u ,n ¥ * .Từ đó tính được limu . n 3 n 3 2 2 2 1 1 2 1 2 2 Câu 77. Cho dãy số A x1 x1x2 x1x2 x2 x1 x2 3 0 được xác định như sau 2 4 2 x1 x2 . 3 Đặt x . Tìm x3 2x 3 3 2x 4 0 . 2 1 A. B. C. D. 1 2 Hướng dẫn giải: Chọn C. 2 2 2 2 Ta có: un 1 (un 3un )(un 3un 2) 1 (un 3un 1) 2 un 3un 1 1 1 1 Suy ra: un 1 1 (un 1)(un 2) un 1 1 un 1 un 2 1 1 1 Suy ra: un 2 un 1 un 1 1 n 1 1 1 1 1 1 Do đó, suy ra: vn  i 1 ui 1 ui 1 1 u1 1 un 1 1 2 un 1 1 2 n Mặt khác, từ un 1 un 3un 1 ta suy ra: un 1 3 . 1 1 Nên lim 0 . Vậy limvn . un 1 1 2 å å å Câu 78. Cho a,b ¥ ,(a,b) 1;n ab 1,ab 2,  . Kí hiệu rn là số cặp số (u,v) ¥ ¥ r 1 sao cho n au bv . Tìm lim n . n n ab 1 A. B. C. D. ab 1 ab Hướng dẫn giải: Chọn C. n 1 Xét phương trình 0; (1). n Gọi (u0 ,v0 ) là một nghiệm nguyên dương của (1). Giả sử (u,v) là một nghiệm nguyên dương khác (u0 ,v0 ) của (1). Ta có au0 bv0 n,au bv n suy ra a(u u0 ) b(v v0 ) 0 do đó tồn tại k nguyên dương v 1 sao cho u u kb,v v ka . Do v là số nguyên dương nên v ka 1 k 0 . (2) 0 0 0 a Ta nhận thấy số nghiệm nguyên dương của phương trình (1) bằng số các số k nguyên dương v 1 n u 1 cộng với 1. Do đó 0 0 . rn 1 1 a ab b a
  35. n u 1 n u 1 Từ đó ta thu được bất đẳng thức sau: 0 r 0 1. ab b a n ab b a 1 u 1 r 1 u 1 1 Từ đó suy ra : 0 n 0 . ab nb na n ab nb na n r 1 Từ đây áp dụng nguyên lý kẹp ta có ngay lim n . n n ab 1 u 1 2 Câu 79. Cho dãy số có giới hạn (u ) xác định bởi : . Tìm kết quả đúng của n 1 un 1 , n 1 2 un limun . 1 A 0B C.1 .D. 1 2 Hướng dẫn giải: Chọn B. 1 2 3 4 5 Ta có: u ; u ; u ; u ; u .; 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 n Dự đoán u với n ¥ * n n 1 Dễ dàng chứng minh dự đoán trên bằng phương pháp quy nạp. n 1 Từ đó limu lim lim 1 . n 1 n 1 1 n 1 1 1 1 Câu 80. Tìm giá trị đúng của.S 2 1 n 2 4 8 2 1 A. 2 1 . B. 2 .C. .D. 2 2 . 2 Hướng dẫn giải: Chọn C. 1 1 1 1 1 Ta có: S 2 1 2. 2 2 . n 1 2 4 8 2 1 2 1 1 1 Câu 81. Tính giới hạn: lim 1.2 2.3 n n 1 3 A.0 B 1 C D. Không có 2 giới hạn. Hướng dẫn giải: Chọn B. Đặt : 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n A 1 1 1.2 2.3 n n 1 2 2 3 n n 1 n 1 n 1 1 1 1 n 1 lim lim lim 1 1 1.2 2.3 n n 1 n 1 1 n
  36. 1 1 1 Câu 82. Tính giới hạn: lim 1.3 3.5 n 2n 1 2 A 1B C.0.D 2 3 Hướng dẫn giải: Chọn B. Đặt 1 1 1 A 1.3 3.5 n 2n 1 2 2 2 2A 1.3 3.5 n 2n 1 1 1 1 1 1 1 1 2A 1 3 3 5 5 7 n 2n 1 1 2n 2A 1 2n 1 2n 1 n A 2n 1 1 1 1 n 1 1 Nên lim lim lim . 1 1.3 3.5 n 2n 1 2n 1 2 2 n 1 1 1 Câu 83. Tính giới hạn: lim 1.3 2.4 n n 2 3 2 A B. 1. C 0D 4 3 Hướng dẫn giải: Chọn A. 1 1 1 1 2 2 2 Ta có : lim lim 1.3 2.4 n n 2 2 1.3 2.4 n n 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 lim 1 lim 1 . 2 3 2 4 3 5 n n 2 2 2 n 2 4 1 1 1 Câu 84. Tính giới hạn: lim . 1.4 2.5 n(n 3) 11 3 A. . B. . 2 C. . 1 D. . 18 2 Hướng dẫn giải: Chọn A. Cách 1: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 lim lim 1 1.4 2.5 n(n 3) 3 4 2 5 3 6 n n 3 1 1 1 1 1 1 lim 1 3 2 3 n 1 n 2 n 3
  37. 11 3n2 12n 11 11 lim . 18 n 1 n 2 n 3 18 100 1 Cách 2: Bấm máy tính như sau:  và so đáp án (có thể thay 100 bằng số nhỏ hơn hoặc 1 x x 3 lớn hơn). 1 1 1 Câu 85. Tính giới hạn: lim 1 2 1 2 1 2 . 2 3 n 1 1 3 A. .1 B. .C. . D. . 2 4 2 Hướng dẫn giải: Chọn B. Cách 1: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 lim 1 2 1 2 1 2 lim 1 1 1 1 1 1 2 3 n 2 2 3 3 n n 1 3 2 4 n 1 n 1 1 n 1 1 lim . . . . lim . 2 2 3 3 n n 2 n 2 100 1 Cách 2: Bấm máy tính như sau: 1 và so đáp án (có thể thay 100 bằng số nhỏ hơn hoặc  2 2 x lớn hơn).