Bài giảng Toán Lớp 10 Sách Kết nối tri thức - Bài tập cuối chương IV

Nội dung text: Bài giảng Toán Lớp 10 Sách Kết nối tri thức - Bài tập cuối chương IV

1. CHƯƠNGCHƯƠNG IV I.VECTƠ §7. Các khái niệm mở đầu §8. Tổng và hiệu của hai vectơ §9. Tích của một vectơ với một số §10. Vectơ trong mặt phẳng tọa độ §11. Tích vô hướng của hai vectơ Bài tập cuối chương 4
2. CHƯƠNGCHƯƠNG IV . IVECTƠ HÌNH HỌC ➉ BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG IV A BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM B TỰ LUẬN C BÀI TẬP THÊM D BÀI TẬP VỀ NHÀ
3. A BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 4.27 Trong mặt phẳng tọa độ, cặp vectơ nào sau đây có cùng phương? 풖 = ; và 풗 = ; . = ; và = ; . A B C 풊Ԧ = ; và 풋Ԧ = ; D = ; và 풅 = ; − Bài giải Có: = . Suy ra và cùng phương.
4. 4.28 Trong mặt phẳng tọa độ, cặp vectơ nào sau đây vuông góc với nhau? A 풖 = ; và 풗 = ퟒ; . B = ; − và = − ; . C 풛 = ; và 풕Ԧ = − ; . D 풏 = ; và 풌 = ; . Bài giải Có: . − + . = Suy ra 풛 ⊥ 풕Ԧ.
5. 4.29 Trong mặt phẳng tọa độ, vectơ nào sau đây có độ dài bằng ? A = ; . B = ; − . − C = ; D 풅 = ; Bài giải Có: 풅 = + =
6. 4.30 Góc giữa vectơ = ; − và vectơ = − ; có số đo bằng: A B C D ퟒ Bài giải . − + − . Có: 풐풔 , = + − . − − = ⇒ , = .
7. 4.31 Khẳng định nào sau đây là đúng? A . = . . B . = . . C . = . 풔풊풏 , D − = . − . Bài giải Chọn D
8. 4.32 Cho hình vuông 푪푫 có cạnh . Khẳng định nào sau đây là đúng? A , 푫 = ퟒ . B 푪, 푪 = ퟒ và 푪. 푪 = . C 푪. 푫 = . D . 푫 = − . Bài giải Có: 푪, 푪 = ퟒ . 푪. 푪 = . . 풐풔 ퟒ = .
9. B TỰ LUẬN 4.33 Trên cạnh 푪 của tam giác 푪 lấy điểm 푴 sao cho 푴 = 푴푪. a) Tìm mối liên hệ giữa hai vectơ 푴 và 푴푪. b) Biểu thị vectơ 푴 theo hai vectơ và 푪. Bài giải a) 푴 = − 푴푪. b) Gọi 푰 là trung điểm 푪. Có: 푴 = 푰 + 푪 = + 푪 + 푪 = + 푪. ퟒ ퟒ
10. C. BÀI TẬP THÊM DẠNG 1. CÁC CÂU HỎI LÝ THUYẾT Câu 1 Biết , ≠ và . = − . . Câu nào sau đây đúng và nằm trên hai đường thẳng và cùng hướng. A B hợp với nhau một góc 풐. C và ngược hướng. D A, B, C đều sai. Bài giải Ta có . = − . ⇔ . 풐풔 , = − . ⇔ 풐풔 , = − nên và ngược hướng
11. Câu 2 Cho hai véctơ và đều khác vectơ . Đẳng thức nào sau đây là sai ? . = . . 풐풔 , . = + − − A B C . = + − − D . = + − − ퟒ Bài giải Chọn C
12. Câu 3 Tích vô hướng của hai véctơ và cùng khác là số âm khi: A và cùng chiều B và cùng phương C ∘ < , < ∘ D ∘ < , < ∘ Bài giải Chọn D
13. Câu 4 Cho tam giác 푪. Lấy điểm 푴 trên 푪 sao cho . 푴 − 푪. 푴 = .Câu nào sau đây đúng A 푴 là trung điểm của 푪. B 푴 là đường phân giác của góc . C 푴 ⊥ 푪. D A, B, C đều sai. Bài giải Ta có . 푴 − 푪. 푴 = ⇔ 푴 − 푪 = ⇔ 푴. 푪 = nên 푴 ⊥ 푪.
14. Câu 5 Cho 2 vec tơ = ; , = ; , tìm biểu thức sai: A . = . + . . B . = . . 풐풔 , . . = + − + . . = + − − . C D Bài giải Chọn C
15. DẠNG 2. TÍNH GÓC GIỮA HAI VECTO BẰNG ĐỊNH NGHĨA Câu 1 Cho hình vuông 푪푫. Tính góc : 푶, 푶푪 , 푪 , 푶푪 A 푶, 푶푪 = °, 푪 , 푶푪 = °. B 푶, 푶푪 = °, 푪 , 푶푪 = °. C 푶, 푶푪 = °, 푪 , 푶푪 = °. D 푶, 푶푪 = °, 푪 , 푶푪 = °. Bài giải +) Hai vectơ 푶, 푶푪 cùng hướng, do đó 푶, 푶푪 = ° +) Hai vectơ 푪 , 푶푪 ngược hướng, do đó (푪 , 푶푪) = .
16. Câu 2 Cho tam giác ABC đều. G là trọng tâm tam giác ABC. Khi đó góc giữa 푪 và 푮푪 bằng: A °. B °. C °. D ퟒ °. Bài giải Ta có: 푪, 푮푪 = 푪 , 푪푮 = °
17. Câu 3 Cho tam giác đều 푪 có đường cao 푯. Góc 푯, và góc 푯, . A 푯, = °, 푯, = °. B 푯, = °, 푯, = °. C 푯, = °, 푯, = °. D 푯, = °, 푯, = °. Bài giải Ta có 푯, = 푯 ෣ = °. Vẽ 푬 = . Khi đó 푯, = 푯 푬෣ = 휶 = ° − 푯 ෣ = ° − ° = °.
18. Câu 4 Cho tam giác 푪 vuông tại có 푪 = 퐀퐂. Tính côsin của góc giữa hai vectơ 푪 và 푪 . − . . A B − . . C D Bài giải Ta có: 푪, 푪 = ° − 푪 , 푪 = ° − 푪 ෣. 푪 Mà 풐풔 푪 ෣ = = nên 푪 ෣ = °. 푪 Vậy 푪, 푪 = ° − ° = ° hay 풐풔 푪, 푪 = 풐풔 ° = − .
19. Câu 5 Cho hình thoi 푪푫 có góc A là °. Tính 푫 , 푪 A °. B °. C °. D °. Bài giải Vì 푪푫 là hình thoi nên 푪 là phân giác góc 푫. Ta có: 푫 , 푪 = ° − 푫 , 푪 = ° − ° = °
20. DẠNG 3. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTO THEO ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT Câu 1 Cho hình vuông 푪푫 tâm 푶 có độ dài cạnh là . Giá trị của 푶 . 푫푪 là : A . B . C − . D − . Bài giải Ta có: 푶 . 푫푪 = 푪 . 푫푪 = − 푪 . 푪푫 = − 푪 푪푫 풐풔 푪 , 푪푫 = − 푪 . 푪푫 풐풔 푪 , 푪푫 = − 푪푫 + 푫 . 푪푫 풐풔 푪 , 푪푫 = − . . 풐풔 ퟒ ° = − .
21. Câu 2 Cho hình thoi 푪푫 tâm 푶, cạnh và 푪෣ = °. Tính 푪푫 . − . − . A B − . − . C ퟒ D Bài giải Chọn D Ta có 푪෣ = ° nên 푫෣ = °. 푪푫 = 푫 + 푫푪 푫 = 푫푫 + 푫푪푫 = − 푫 + 푫 = − 푫 − 푫 = − 푫 − 푫 풐풔 , 푫 = − − 풐풔 ° = − .
22. Câu 3 Cho tam giác 푪 vuông tại biết = ퟒ , 푪 = . Tính 푪 + 푪 푪. A ퟒ . B . C . D . Bài giải Ta có: 푪 + 푪 푪 = 푪 + 푪 + 푪 = 푪 + 푪 + 푪 푪 = 푪 + 푪 = 푪 + . Ta có: tam giác 푪 vuông tại nên ⊥ 푪 nên 풐풔 , 푪 = ° Nên 푪 = . Suy ra 푪 + 푪 푪 = .
23. Câu 4 Trong mặt phẳng tọa độ 푶풙풚, cho hai vector , thỏa mãn đồng thời các điều kiện = , = và , = °. Tính giá trị của − + : A − . B . C − . D − . Bài giải Chọn B Ta có: − + = − + = − + 풐풔 , = . − . + . . 풐풔 ° = .
24. Câu 5 Trong mặt phẳng tọa độ 푶풙풚, cho hai vector , thỏa mãn đồng thời các điều kiện = , = và + = . Tính . A . B . C . D − . Bài giải Ta có: + = ⇔ + = ⇔ + = ⇔ + + = ⇔ + + = − + ⇔ = = .
25. DẠNG 4. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTO BẰNG BIỂU THỨC TỌA ĐỘ Câu 1 Trong mặt phẳng 푶풙풚, cho hai vectơ = ; − , = − ; − , khi đó: A . D > . Bài giải = − + − − = .
26. Câu 2 Trong mặt phẳng tọa độ 푶풙풚, cho hai vectơ = ; , = − ; , khi đó bằng: A . B . C . D ퟒ. Bài giải Ta có: = . − + . = .
27. Câu 3 Trong mặt phẳng tọa độ 푶풙풚, cặp vectơ nào sau đây vuông góc với nhau: A = ퟒ; , = − ; . B = ; , = − ; . C = ; , = − ; D = ; , = − ; ퟒ . Bài giải Ta có: = ; , = − ; thì = . − + . = .
28. Câu 4 Trong mặt phẳng tọa độ 푶풙풚, cho ; − , ; − ,푪 ; , giá trị 푪 là: A − . B . C . D . Bài giải Ta có: = ; , 푪 = ; . Ta có: . 푪 = . + . = .
29. Câu 5 Trong mặt phẳng tọa độ 푶풙풚, cho ba điểm ퟒ; − , ; ,푪 ; , có bao nhiêu giá trị để tam giác 푪 vuông tại 푪: A . B . C . D . Bài giải Ta có: 푪 = − ퟒ; ퟒ , 푪 = − ; − . Để tam giác 푪 vuông tại 푪 ⇔ 푪. 푪 = ⇔ − ퟒ − − ퟒ = = ⇔ − = ⇔ . =
30. DẠNG 5. CHỨNG MINH CÁC ĐẲNG THỨC VỀ TÍCH VÔ HƯỚNG Câu 1 Cho nửa đường tròn đường kính AB= 2R. Có AC và BD là hai dây thuộc nửa đường tròn cắt nhau tại E. khi đó giá trị của 푬. 푪 + 푬. 푫 bằng A 0 B 푹 C 푹 D ퟒ푹 Bài giải Ta có 푽푻 = 푬. + 푪 + 푬. + 푫 = 푬. + 푬. 푪 + 푬. + 푬. 푫 Vì AB là đường kính nên 푫 ෣ = , 푪 ෣ = Suy ra 푬. 푪 = , 푬. 푫 = Do đó 푬. + 푬. = 푬 + 푬 = = ퟒ푹 .
31. Câu 2 Cho tam giác 푪 với ba trung tuyến AD, BE, CF. Đẳng thức nào sau đây đúng ? A 푪. 푫 + 푪 . 푬 + . 푪푭 = B 푪. 푫 + 푪 . 푬 + . 푭푪 = C 푪. 푫 + 푪 . 푬 + . 푪푭 = D 푪. 푫 + 푪 . 푬 + . 푭푪 = Bài giải Sử dụng các đẳng thức về trung điểm 푫 = + 푪 , 푬 = 푪 + , 푪푭 = 푪 + 푪 Ta có: 푪. 푫 + 푪 . 푬 + . 푪푭 = 푪. + 푪 + 푪 . 푪 + + . 푪 + 푪 =
32. Câu 3 Cho tam giác đều 푪 cạnh a nội tiếp đường tròn (O).M là điểm bất kỳ nằm trên đường tròn 푶 . Khi đó 푴 + 푴 + 푴푪 bằng A B C ퟒ D Bài giải Ta có 푴 = 푴푶 + 푶 = + 푴푶. 푶 Tương tự: 푴 = + 푴푶. 푶 , 푴푪 = + 푴푶. 푶푪 Suy ra 푴 + 푴 + 푴푪 =
33. Câu 4 Cho hai điểm M, N nắm trên đường tròn đường kính = 푹. Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng AM và BN. Khi đó giá trị của 푴. 푰 + 푵. 푰 bằng A B 푹 C 푹 D ퟒ푹 Bài giải Ta có: 푴. 푰 = + 푴 . 푰 = . 푰 + 푴. 푰 = . 푰 (Vì 푴 ⊥ 푰) 푵. 푰 = 푵 + 푵 . 푰 = 푵. 푰 + 푵 . 푰 = 푵. 푰 Từ đó ta có : 푴. 푰 + 푵. 푰 = . 푰 + . 푰 = 푰 − 푰 = = ퟒ푹
34. Câu 5 Cho hình bình hành 푪푫. Gọi M là một điểm tùy ý. Đẳng thức nào sau đây đúng ? A 푴 . 푴푪 − 푴 . 푴푫 = . 푪 B 푴 . 푴푪 − 푴 . 푴푫 = . 푪 C 푴 . 푴푪 − 푴 . 푴푫 = . 푪 D 푴 . 푴푪 − 푴 . 푴푫 = Bài giải Gọi O là tâm hình bình hành khi đó +) 푴 . 푴푪 = 푶 − 푶푴 푶푪 − 푶푴 = 푶 − 푶푴 −푶 − 푶푴 = 푶 + 푶푴 푶푴 − 푶 = 푴푶 − 푶 +) 푴 . 푴푫 = 푴푶 − 푶 ⇒ 푴 . 푴푪 − 푴 . 푴푫 = 푴푶 − 푶 − 푴푶 − 푶 = 푶 − 푶 . 푪 = 푶 − 푶 푶푪 − 푶 = 푶 − 푶 −푶 − 푶 = 푶 − 푶
35. DẠNG 6. ỨNG DỤNG TÍCH VÔ HƯỚNG XÁC ĐỊNH GÓC GIỮA HAI VECTO Câu 1 Trong mặt phẳng tọa độ 푶풙풚, cho hai vectơ = − ; − và = ퟒ; − . Tính cosin của góc giữa hai vectơ và . A 풐풔 , = − . B 풐풔 , = . C 풐풔 , = . D 풐풔 , = . Bài giải . Ta có 풐풔 , = . − .ퟒ+ − . − = = − . ퟒ+ . +
36. Câu 2 Trong mặt phẳng tọa độ 푶풙풚, cho hai vectơ 풖 = ퟒ; và 풗 = ; ퟒ . Tìm để vectơ = . 풖 + 풗 tạo với vectơ = 풊Ԧ + 풋Ԧ một góc ퟒ . = ퟒ. = − . A B = − . = . C ퟒ D Bài giải = . 풖 + 풗 = ퟒ + ; + ퟒ + Ta có . ⇔ = = 풊Ԧ + 풋Ԧ = ; + + Yêu cầu bài toán ⇔ + = + + + ≥ ⇔ 풐풔 , = 풐풔 ퟒ = ⇔ + + = + + ퟒ + + + ퟒ ⇔ = ⇔ = − . ퟒ + + + ퟒ ퟒ
37. Câu 3 Cho hai véc tơ và biết = ; = ퟒ; + ⊥ − . Tính 풐풔 ; . A 0 B 1 C D Bài giải Ta có = ⇔ = ; = ퟒ ⇔ = ; + ⊥ − ⇔ + − = ⇔ − . − = ⇔ − . 풐풔 ; − = ⇔ − . ퟒ. 풐풔 ; − . = ⇔ 풐풔 ; =
38. Câu 4 Cho hình thang vuông ABCD có hai đáy 푫 = ; 푪 = ퟒ , đường cao = . Góc giữa hai đường thẳng AC và BD bằng A B ퟒ C D Bài giải Ta có : 푪. 푫 = + 푪 + 푫 = . + . 푫 + 푪. + 푪. 푫 = . . 풐풔 + + + 푪. 푫. 풐풔 = − + ퟒ . = ⇒ 푪 ⊥ 푫 Suy ra góc giữa hai đường thẳng AC và BD bằng 900.
39. Câu 5 Cho biết ; = ; = . Độ dài của véctơ − = góc ; bằng A . B ퟒ . C . D . Bài giải Ta có ( − ) = − . . + = + − . . . 풐풔( ; ) = ⇔ + − . . . 풐풔 ; = ⇔ 풐풔 ; = − ⇒ ; =
40. DẠNG 7. ỨNG DỤNG TÍCH VÔ HƯỚNG CHỨNG MINH VUÔNG GÓC Câu 1 Trong mặt phẳng tọa độ, cho = ; . Vectơ nào sau đây không vuông góc với vectơ ? A 풗 = ; − . B 풗 = ; − . C 풗 = ; . D 풗 = − ; . Bài giải . 풗 = . + . = ≠ ⇒ ⊥ӏ 풗
41. Câu 2 Trong mặt phẳng tọa độ 푶풙풚, cho hai vectơ 풖 = 풊Ԧ − 풋Ԧ và 풗 = 풌풊Ԧ − ퟒ풋Ԧ. Giá trị của 풌 để 풖 ⊥ 풗 là A 풌 = . B 풌 = − . C 풌 = −ퟒ . D 풌 = ퟒ . Bài giải Từ giải thiết suy ra 풖 = ; − , 풗 = 풌; −ퟒ . Để 풖 ⊥ 풗 ⇔ 풖. 풗 = ⇔ 풌 + − −ퟒ = ⇔ 풌 = −ퟒ .
42. Câu 3 Trong mặt phẳng tọa độ 푶풙풚, cho bốn điểm ; − , ; , 푪 ; và 푫 − ; . Tứ giác 푪푫 là hình gì? A Hình chữ nhật. B Hình thoi. C Hình bình hành. D Hình vuông. Bài giải Ta có: = ; , 푫푪 = ; , 푪 = − ; = 푫푪 ⇒ . 푪 = = 푪 = ⇔ ⊥ 푪 ⇒ Tứ giác 푪푫 là hình vuông.
43. DẠNG 8. ỨNG DỤNG TÍCH VÔ HƯỚNG VÀO BÀI TOÁN THỰC TẾ Câu 1 Tác dụng lực không đổi 150N theo phương hợp với phương ngang một góc ° vào vật có khối lượng 80kg làm vật chuyển động được quãng đường 20m. Công của lực tác dụng bằng A 푱. B 푱. C 푱. D 푱. Bài giải = 푭. 풔. 풐풔 휶 = . . 풐풔 ° = 푱
44. Câu 2 Một vật có trọng lượng 50N được thả rơi tự do từ độ cao 풉 = ퟒm xuống một hồ nước sâu 2m. Công của trọng lực khi vật rơi tới đáy hồ bằng A 푱. B 푱. C ퟒ 푱. D 푱. Bài giải = . ퟒ + . 풐풔 ° = 푱
45. Câu 3 Một thang máy có trọng lượng 8000N chuyển động thẳng đứng lên trên cao 10m. Nếu thang máy đi lên đều thì công của động cơ kéo thang máy đi lên bằng A 푱. B 푱. C 푱. D 푱. Bài giải Thang máy đi lên đều nên 푭 = N ⇒ = 푭. 풔. 풐풔 휶 = . . 풐풔 ° = 푱
46. Câu 4 Một đầu tàu kéo một đoàn tàu chuyển động từ ga A tới ga B trong phút với vận tốc km/h. Tại ga B đoàn tàu được mắc thêm toa và do đó chuyển động đều từ ga B đến ga C với vận tốc nhỏ hơn trước km/h. Thời gian đi từ ga B đến ga C là 30 phút. Biết rằng lực kéo của đầu tàu không đổi là 40000N, công của lực kéo của đầu tàu sinh ra bằng A . 푱. B . 푱. C . 푱. D . 푱. Bài giải Khoảng cách từ ga A đến ga B bằng: 푺 = . = , 풌 ퟒ Khoảng cách từ ga B đến ga C bằng: 푺 = − . = 풌 푪 Công của lực kéo đầu tàu bằng: = ퟒ . + . 풐풔 ° = . 푱
47. DẠNG 9. TÌM TỌA ĐỘ CÁC ĐIỂM ĐẶC BIỆT TRONG TAM GIÁC Câu 1 Cho tam giác 푪 có ; , ; − , 푪 − ; . Tìm tọa độ trực tâm 푯 của tam giác 푪. A 푯 − ; . B 푯 − ; − . C 푯 ; . D 푯 ; − . Bài giải 푯 = 풙 − ; 풚 − Gọi 푯 풙; 풚 là tọa độ cần tìm. . Nên 푯. 푪 = ⇔ − 풙 + 풚 − = . 푪 = − ; 푯 = 풙 − ; 풚 + . Suy ra 푯. 푪 = ⇔ − 풙 + 풚 + ퟒ = . 푪 = − ; − 풙 + 풚 = 풙 = Từ và ta có hệ phương trình ⇔ . − 풙 + 풚 = − ퟒ 풚 = Vậy 푯 ; là tọa độ cần tìm.
48. Câu 2 Trong mặt phẳng tọa độ 푶풙풚, cho tam giác 푪 có − ; , ; và 푪 ; . Gọi 푯 ; là tọa độ trực tâm của tam giác đã cho. Tính + . A + = . B + = . C + = . D + = . Bài giải Gọi 푯 ; là tọa độ trực tâm của tam giác đã cho khi đó ta có: 푯 = + ; , 푪 = − ; ⇒ 푯. 푪 = ⇔ − − + = . 푯 = − ; , 푪 = ; ⇒ 푯. 푪 = ⇔ − + = . − + = = Từ đó ta có hệ phương trình ⇔ ⇒ + = . = + =
49. Câu 3 Trong mặt phẳng tọa độ 푶풙풚 , cho 휟 푪 có ; , − ; , 푪 ; ퟒ . Xác định tọa độ trực tâm 푯 của 휟 푪. 푯 ; − . 푯 − ; . A B 푯 − ; − . 푯 ; . C D Bài giải Gọi 푯 풙; 풚 . Ta có 푯 = 풙 − ; 풚 − , 푪 = ; ퟒ , 푯 = 풙 + ; 풚 , 푪 = ; . 풙 = 푯. 푪 = ퟒ풙 + 풚 = ퟒ Vì 푯 là trực tâm nên ⇔ ⇔ . 푯. 푪 = 풙 + 풚 = − 풚 = − Vậy 푯 ; − .
50. Câu 4 Cho 휟 푪 có ; , ퟒ; − , 푪 − ; − . Tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp 휟 푪là − ; − . ; − . A B − ; . − ; . C D Bài giải 푰 풙; 풚 là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác 푪 khi và chỉ khi: 풙 − + 풚 − = 풙 − ퟒ + 풚 + 푰 = 푰 ⇔ 푰 = 푰푪 풙 − + 풚 − = 풙 + + 풚 + 풙 = 풙 − 풚 − = ⇔ ⇔ ⇒ 푰 ; − . 풙 + 풚 + = 풚 = −
51. DẠNG 7. ỨNG DỤNG TÍCH VÔ HƯỚNG CHỨNG MINH VUÔNG GÓC Câu 1 Trên mặt phẳng tọa độ 푶풙풚, cho ; , ; − , 푴 ∈ 푶풚 và 푴 = 푴 . Khi đó tọa độ điểm 푴 là A ; . B − ; . C ; − . D ; − . Bài giải Do 푴 ∈ 푶풚, đặt 푴 ; 풚 suy ra 푴 = ; − 풚 , 푴 = ; − − 풚 . Vì 푴 = 푴 . Suy ra + − 풚 = + + 풚 ⇔ 풚 = − . Vậy 푴 ; − .
52. Câu 2 Cho ba điểm ( ; ퟒ), ( ; ) và 푪(− ; − ). Tìm điểm 푴 trên đường thẳng 푪 để góc 푴 ෣ = ퟒ . A 푴 ; ퟒ . B 푴 ; . C 푴 − ; ퟒ . D 푴 ; − . Bài giải Giả sử 푴 풙; 풚 suy ra 푴 = − 풙; ퟒ − 풚 , 푴 = − 풙; − 풚 , 푪 = − ; − . Vì 푴 ෣ = ퟒ suy ra 풐풔 푴 ෣ = 풐풔 푴 ; 푪 푴 . 푪 − − 풙 − ퟒ − 풚 ⇔ 풐풔 ퟒ = ⇔ = 푴 . 푪 − 풙 + ퟒ − 풚 + ⇔ − 풙 + ퟒ − 풚 = 풙 + 풚 − (*). Mặt khác M thuộc đường thẳng BC nên hai vectơ 푴 , 푪 cùng phương. −풙 −풚 Suy ra = ⇔ 풙 = 풚 + thế vào (*) ta được: − − − 풚 + ퟒ − 풚 = 풚 − ⇔ 풚 − 풚 + = ⇔ 풚 = hoặc 풚 = ퟒ. + Với 풚 = ⇒ 풙 = , ta có 푴 = ; , 푴 = − ; − ⇒ 풐풔 푴 ෣ = 풐풔 푴 ; 푴 = − .
53. Câu 2 Cho ba điểm ( ; ퟒ), ( ; ) và 푪(− ; − ). Tìm điểm 푴 trên đường thẳng 푪 để góc 푴 ෣ = ퟒ . A 푴 ; ퟒ . B 푴 ; . C 푴 − ; ퟒ . D 푴 ; − . Bài giải Khi đó 푴 ෣ = (không thỏa mãn). + Với 풚 = ퟒ ⇒ 풙 = , 푴 = − ; , 푴 = − ; − ⇒ 풐풔 푴 ෣ = 풐풔 푴 ; 푴 = . Khi đó 푴 ෣ = ퟒ . Vậy 푴 ; ퟒ là điểm cần tìm.
54. Câu 3 Cho hai điểm − ; , ퟒ; . Tìm điểm 푴 thuộc trục 푶풙 và có hoành độ dương để tam giác 푴 vuông tại 푴. A 푴 ; . B 푴 ; . C 푴 ; . D 푴 ; . Bài giải 푴 ∈ 푶풙 ⇔ 푴 ; (theo giả thiết thì > ) Ta có 푴 = + ; − , 푴 = − ퟒ; − . Tam giác 푴 vuông tại 푴 ⇔ 푴. 푴 = ⇔ + − ퟒ + − − = = ⇔ − − = ⇔ (nhận = ) = − Như vậy 푴 ; .
55. Câu 4 Trong mp tọa độ 푶풙풚 cho 2 điểm (− ; ퟒ), ; ퟒ . Tìm tọa độ điểm 푪 trên 푶풚 sao cho tam giác 푪 vuông tại 푪 ? A ; và ; . B ; ퟒ . C ; − . D ; . Bài giải Ta có 푪 ∈ 푶풚 nên 푪 ; và 푪 = − ; ퟒ − ; 푪 = ; ퟒ − Do tam giác 푪 vuông tại 푪nên 푪 . 푪 = ⇔ − . + ퟒ − = ⇔ − = = ⇔ . =
56. DẠNG 11. TÍNH ĐỘ DÀI VECTO KHI BIẾT ĐỘ DÀI VECTO Câu 1 [NB] Trong mặt phẳng tọa độ 푶풙풚, cho vectơ = − ; ퟒ . Độ dài của vectơ bằng A . B . C . D . Bài giải Áp dụng công thức tính độ dài của vectơ ta có : = − + ퟒ = = ⋅
57. Câu 2 [TH] Trong mặt phẳng tọa độ 푶풙풚, cho hai điểm ; , ; − . Điểm 푪 nằm trên trục 푶풚sao cho tam giác 푪 cân tại 푪. Khi đó tọa độ điểm 푪 là 푪 ; ⋅ 푪 − ; ⋅ A ퟒ B ퟒ 푪 ; − ⋅ 푪 ; ⋅ C ퟒ D ퟒ Bài giải Điểm 푪 thuộc trục 푶풚 nên tọa độ điểm 푪 ; 풚푪 . Vì tam giác 푪 cân tại 푪 nên ta có : 푪 = 푪 ⇔ − + − 풚푪 = − + − − 풚푪 ⋅ ⇔ − + − 풚푪 = − + − − 풚푪 ⋅ ⇔ + − 풚푪 + 풚푪 = + + 풚푪 + 풚푪 ⋅ ⇔ 풚 = − ⋅ 푪 ퟒ Vậy 푪 ; − ⋅ ퟒ
58. Câu 3 [VD] Trong mặt phẳng tọa độ 푶풙풚, cho hai điểm − ; , ퟒ; , 푴 là một điểm nằm trên trục 푶풙. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 푷 = 푴 + 푴 ? A . B . C . D . Bài giải Nhật xét hai điểm và nằm cùng phía so với trục 푶풙 ⋅ Gọi ′ là điểm đối xứng với qua trục 푶풙, kho đó ′ − ; − . Khi đó 푷 = 푴 + 푴 = 푴 ′ + 푴 ≥ ′ = ퟒ + + + = Vậy GTNN của 푷 = , đạt được khi ba điểm ′, 푴, ​​​ thẳng hàng theo thứ tự này.
59. DẠNG 12. TÌM TẬP HỢP ĐIỂM Câu 1 Cho 2 điểm và có = ퟒ퐜퐦. Tập hợp những điểm M sao cho 푴 . 푴 = là: A Đường thẳng vuông góc với . B Đường tròn đường kính . C Đoạn thẳng vuông góc với . D Kết quả khác. Bài giải 푴 . 푴 = nên 푴 và 푴 vuông góc hay điểm 푴 nằm trên đường tròn đường kính .
60. Câu 2 Cho ba điểm , , 푪 phân biệt. Tập hợp những điểm 푴 mà 푪푴. 푪 = 푪 . 푪 là Đường thẳng đi qua và vuông góc Đường tròn đường kính . A B với 푪. Đường thẳng đi qua và vuông góc Đường thẳng đi qua 푪 và vuông góc C với 푪. D với . Bài giải Ta có 푪푴. 푪 = 푪 . 푪 ⇔ 푪 + 푴 푪 = 푪 . 푪 ⇔ 푴. 푪 = . Suy ra tập hợp các điểm 푴 là đường thẳng đi qua điểm và vuông góc với 푪.
61. Câu 3 Cho tam giác 푪. Tập hợp các điểm 푴 thỏa mãn 푴 푴 + 푴푪 = là A một điểm. B đường thẳng. C đoạn thẳng. D đường tròn. Bài giải Gọi 푰 là trung điểm 푪 푴 + 푴푪 = 푴푰. Ta có 푴 푴 + 푴푪 = ⇔ 푴 . 푴푰 = ⇔ 푴 . 푴푰 = ⇔ 푴 ⊥ 푴푰. ∗ Biểu thức ∗ chứng tỏ 푴 ⊥ 푴푰 hay 푴 nhìn đoạn 푰 dưới một góc vuông nên tập hợp các điểm 푴 là đường tròn đường kính 푰.
62. DẠNG 13. CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ Câu 1 Cho đoạn thẳng AB cố định và = . Gọi M là điểm thỏa mãn 푴. = . Giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn 푴 là A B C D Bài giải Ta có: 푴. = ⇔ + 푴 = ⇔ + 푴. = ⇔ 푴. = . Do đó điểm 푴 nằm trên đường thẳng d vuông góc với tại B Vậy AM nhỏ nhất ⇔M là hình chiếu vuông góc của A lên d ⇔ 푴 ≡ .Khi đó 푴 풊풏
63. Câu 2 Cho đoạn AB có độ dài bằng . Một điềm 푴 di động sao cho |푴 + 푴 | = 푴 − 푴 . Gọi 푯 là hình chiếu của 푴 lên AB. Tính độ dài lớn nhất của đoạn thẳng 푴푯. . A B C . D 2a. Bài giải Gọi O là trung điểm của AB. Khi đó 푴 + 푴 = 푴푶. Ta có: |푴 + 푴 | = |푴 − 푴 | ⇔ | 푴푶| = ⇔ 푶푴 = ⇔ 푶푴 = 푶 = 푶 Do đó 푴 nằm trên đường tròn tâm 푶 đường kính AB. Từ đó MH lớn nhất khi 푯 trùng với tâm 푶 hay 푴푯 . 풙
64. D BÀI TẬP VỀ NHÀ Câu 1 Cho hình chữ nhật 푪푫 biết = ퟒ và 푫 = thì độ dài + 푫 bằng: A . B . C D Bài giải Ta có: + 푫 = 푪 = 푪 = ퟒ + = . Chọn A
65. Câu 2 Cho hình vuông 푪푫 cạnh , độ dài vectơ − 푪 + 푫 bằng: A B . C D Bài giải Giải. Ta có: − 푪 + 푫 = 푪 + 푫 = 푪푫 = 푪푫 = . Chọn A
66. Câu 3 Cho tam giác 푪 có 푴 là trung điểm của 푪. Tính theo 푴 và 푪. = 푴 + 푪. = 푪 + 푴 A B C = 푴 − 푪. D = 푪 − 푴. Bài giải Ta có = 푴 + 푴 = 푴 − 푪. Chọn C
67. Câu 4 Cho tam giác 푪, gọi 푴 là trung điểm và 푵 là một điểm trên cạnh 푪 sao cho 푵푪 = 푵 . Gọi 푲 là trung điểm của 푴푵. Khi đó 푲 = + 푪. 푲 = − 푪 A ퟒ B ퟒ C 푲 = + 푪. D 푲 = − 푪. ퟒ ퟒ Bài giải Giải. Ta có 푲 = 푴 + 푵 = + 푪 = + 푪. ퟒ Chọn C
68. Câu 5 Cho = − ; , = ퟒ; 풙 . Hai vectơ và cùng phương nếu số 풙 là A − . B ퟒ. C − . D . Bài giải , cùng phương ⇔ ∃풌: = 풌 ⇒ 풙 = 풌. = . Chọn D
69. Câu 6 Cho 3 điểm ; , − ; , 푪 ; ퟒ điểm 푫 ; thỏa mãn 푪 푫 là hình bình hành. Khi đó giá trị biểu thức 푷 = + là A . B . C . D . Bài giải Ta có 푪 = ; ; 푫 = − − ; − ; 푪 푫 là hình bình hành = − − ⇒ 푪 = 푫 ⇔ = − = −ퟒ ⇔ ⇒ 푷 = + = . = − Chọn A
70. Câu 7 Trong mặt phẳng 푶풙풚, cho các điểm − ; , ; ퟒ , 푪 ; − . Tọa độ điểm 푴 thỏa mãn 푴 − 푪 = ퟒ푪푴 là 푴 ; . 푴 − ; − . A B 푴 ; − . 푴 ; − . C D Bài giải Ta có: 푴 − 푪 = ퟒ푪푴 − − 풙 − − = ퟒ 풙 − ⇔ 푴 푴 − 풚푴 − − − ퟒ = ퟒ 풚푴 + 풙 = 푴 ⇔ ⇒ 푴 ; − . 풚 = − 푴 Chọn C
71. Câu 8 Cho tam giác 푪có 푪෣ = , = , 푪 = . Tính . 푪 A 88. B 44. C 20. D − . Bài giải Ta có . 푪 = . 푪. 풐풔 ° = ퟒퟒ. Chọn B
72. Câu 9 Cho tam giác 푪 có = 푪 = , 푪 = . Tích vô hướng 푪. 푪 bằng A −ퟒ . B ퟒ . C . D − . Bài giải Vì + 푪 = 푪 ; = 푪 nên 휟 푪 vuông cân ở Do đó 푪. 푪 = −푪 . 푪 = −푪 . 푪 . 풐풔 푪 ෣ = − . . 풐풔 ퟒ 풐 . Chọn A
73. Câu 10 Cho hai véc tơ = − ; ; = ; . Góc giữa hai véc tơ , là A ퟒ °. B °. C °. D °. Bài giải − . + . Áp dụng công thức: 퐜퐨퐬 , = = − . ퟒ Suy ra góc giữa hai véc tơ , bằng °. Chọn D
74. Câu 11 Trong mặt phẳng tọa độ 푶풙풚, cho 풖 = ; ; 풗 = − ; ퟒ . Tính 풖. 풗. A . B . C − . D . Bài giải Ta có: 풖. 풗 = . (− ) + . ퟒ = . Chọn D
75. Câu 12 Trong mặt phẳng tọa độ 푶풙풚, cho hai vectơ 풖 = 풊Ԧ − 풋Ԧ và 풗 = 풌풊Ԧ − ퟒ풋Ԧ. Tìm 풌 để hai vectơ 풖 và 풗 vuông góc với nhau. A 풌 = − . B 풌 = −ퟒ . C 풌 = ퟒ . D 풌 = . Bài giải Ta có 풖 = ; − và 풗 = 풌; −ퟒ . Vì 풖 và 풗 vuông góc với nhau nên 풖. 풗 = ⇔ 풌 + − . −ퟒ = ⇔ 풌 = −ퟒ .
76. CHƯƠNGCHƯƠNG IV . IVECTƠ TOÁN HÌNH HỌC ➉ ÔN CHƯƠNG IV 1 BÀI TẬP SKG 2 BÀI TẬP THÊM 3 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
77. 1. BÀI TẬP ❖4.34. Cho hình bình hành 푪푫. ➢ Hướng dẫn: Chứng minh rằng với mọi điểm 푴 Ta có: ta có: 푴 + 푴푪 = 푴 + 푴푫. 푴 + 푴푪 = 푴 + + 푴푫 + 푫푪 = 푴 + 푴푫 + + 푫푪 = 푴 + 푴푫. Vì 푪푫là hình bình hành nên = 푫푪 ⇒ + 푫푪 = + =
78. 1. BÀI TẬP ❖4.35. Trong mặt phẳng tọa độ ➢ Hướng dẫn: 푶풙풚 , cho ; ; − ; và a. = ퟒ; −ퟒ ; 푪 = − ; − . ퟒ −ퟒ 푪 − ; . b. Ta thấy ≠ nên 2 vec-tơ và − − a. Tìm tọa độ của các vectơ và 푪 không cùng phương suy ra 3 điểm 푪. , , 푪 không thẳng hàng do đó chúng là 3 đỉnh của 1 tam giác. b. Chứng minh rằng , , 푪 là ba đỉnh của một tam giác vuông. Lại có: . 푪 = ퟒ. − + −ퟒ − = Tính diện tích và chu vi của tam nên ⊥ 푪 suy ra 휟 푪 vuông tại . giác đó.
79. 1. BÀI TẬP ❖4.35. Trong mặt phẳng tọa độ ➢ Hướng dẫn: 푶풙풚 , cho ; ; − ; và = ퟒ + −ퟒ = ퟒ ; 푪 − ; . 푪 = − + − = ; a. Tìm tọa độ trọng tâm 푮 của 푪 = − + = . ∆ 푪. 푺 = . 푪 = . ퟒ . = (đvdt) b. Tìm tọa độ của điểm 푫 sao cho 푪 tứ giác 푪 푫 là một hình bình Chu vi tam giác 푪 bằng hành. + 푪 + 푪 = ퟒ + + = (đvcv).
80. 1. BÀI TẬP ❖4.35. Trong mặt phẳng tọa độ ➢ Hướng dẫn: c. 푮 là trọng tâm của tam giác 푪 nên 푶풙풚 , cho ; ; − ; và 풙 +풙 +풙 − − − 푪 − ; . 풙 = 푪 = = 푮 c. Tìm tọa độ trọng tâm 푮 của 풚 +풚 +풚푪 + + 풚푮 = = = ∆ 푪. Vậy 푮 − ; . d. Tìm tọa độ của điểm 푫 sao cho tứ giác 푪 푫 là một hình bình hành.
81. 1. BÀI TẬP ❖4.35. Trong mặt phẳng tọa độ ➢ Hướng dẫn: d. Gọi 푫 , . Do 푪 là một tam giác 푶풙풚 , cho ; ; − ; và nên tứ giác 푪 푫 là hình bình hành 푪 − ; . 풙 − 풙 = 풙 − 풙 ⇔ 푪 = 푫 ⇔ 푪 푫 c. Tìm tọa độ trọng tâm 푮 của 풚푪 − 풚 = 풚 − 풚푫 ∆ 푪. − = − = ⇔ ⇔ . − = − = ퟒ d. Tìm tọa độ của điểm 푫 sao cho tứ giác 푪 푫 là một hình bình Vậy 푫 ; ퟒ . hành.
82. 1. BÀI TẬP ❖4.36. Trong mặt phẳng tọa độ ➢ Hướng dẫn: 푶풙풚, cho ; ; ; ퟒ ; 푪 − ; − a. = ; ; 푪푫 = ; . và 푫 ; . b. Ta thấy = nên 2 vec-tơ và 푪푫 a. Tìm tọa độ của vec-tơ và 푪푫. cùng phương. b. Hãy giải thích vì sao các vec-tơ c. 푪 = − ; −ퟒ ; 푬 = − ; − . và 푪푫 cùng phương. 푪 và 푬 cùng phương c. Giả sử 푬 là điểm có tọa độ ; . ⇔ − − = −ퟒ − ⇔ = . Tìm để các vec-tơ 푪 và 푬 cùng phương.
83. 1. BÀI TẬP ❖4.36. Trong mặt phẳng tọa độ ➢ Hướng dẫn: d. Khi = thì 푬 ; . 푶풙풚, cho ; ; ; ퟒ ; 푪 − ; − và 푫 ; . Giả sử tồn tại bộ , 풏 ∈ ℝ thỏa mãn c. Giả sử 푬 là điểm có tọa độ ; . 푬 = + 풏 푪 Tìm để các vec-tơ 푪 và 푬 cùng = − 풏 = phương. ⇔ ⇔ . 풏 = − = − ퟒ풏 ퟒ d. Với vừa tìm được, hãy biểu thị Vậy 푬 = + 푪. vec-tơ 푬 theo các vectơ và 푪. ퟒ
84. 1. BÀI TẬP ➢ Hướng dẫn: ❖4.37. Cho vectơ ≠ . Chứng Ta có: = = và > nên minh rằng (hay còn được viết là một vectơ đơn vị, cùng hướng là ) là một vectơ đơn vị, cùng với vectơ . hướng với vectơ .
85. 1. BÀI TẬP ❖4.38. Cho ba vectơ , , 풖 với ➢ Hướng dẫn: = = và ⊥ . Xét một hệ Giả sử: 풖 = 풙 + 풚 , 풙, 풚 ∈ ℝ . trục 푶풙풚 với các vectơ đơn vị 풊Ԧ Ta có: = , 풋Ԧ = . Chứng minh rằng: 풖 = 풖 . 풐풔 풖, + 풖 . 풐풔 풖, a) Vectơ 풖 có toạ độ là 풖 ⋅ ; 풖 ⋅ . = 풖 . . 풐풔 풖, + 풖 . . 풐풔 풖, b) 풖 = 풖 ⋅ + 풖 ⋅ . = 풖 ⋅ + 풖 ⋅ Vậy vectơ 풖 có toạ độ là 풖 ⋅ ; 풖 ⋅ và 풖 = 풖 ⋅ + 풖 ⋅ .
86. 1. BÀI TẬP ❖4.39. Trên sông, một ➢ Hướng dẫn: ca nô chuyển động Gọi 풗 là vận tốc dòng thẳng đều theo hướng nước; 풗 là vận tốc ca nô 푺 ∘푬 với vận tốc có độ có sức cản của nước; 풗 lớn bằng 퐤퐦/풉. Tính là vận tốc riêng của ca vận tốc riêng của ca nô. nô, biết rằng, nước trên sông chảy về Từ đề bài ta có hướng đông với vận 풗 = 푶푫 = 풌 /풉; tốc có độ lớn bằng 퐤퐦/풉. 풗 = 푶 = 풌 /풉 và 풗 = 풗 + 풗 .
87. 1. BÀI TẬP ❖4.39. Trên sông, một ca nô chuyển ➢ Hướng dẫn: ∘ động thẳng đều theo hướng 푺 푬 với Ca nô chuyển động thẳng đều theo vận tốc có độ lớn bằng 퐤퐦/풉. Tính hướng 푺 °푬 thì 푶푫෣ = °. vận tốc riêng của ca nô, biết rằng, nước trên sông chảy về hướng đông Suy ra 풗 = 푶 = 푫 với vận tốc có độ lớn bằng 퐤퐦/풉. = 푶 + 푶푫 − 푶 . 푶푫. 풐풔 ° = ퟒ + − . 푶 +푶 − 퐜퐨퐬 푶 ෣ = ≈ . .푶 .푶 Suy ra 푶 ෣ ≈ °.
88. 1. BÀI TẬP ❖4.39. Trên sông, một ca nô chuyển ➢ Hướng dẫn: ∘ động thẳng đều theo hướng 푺 푬 với Suy ra 푶 ෣ ≈ °. vận tốc có độ lớn bằng 퐤퐦/풉. Tính vận tốc riêng của ca nô, biết rằng, Vậy Cano đi một mình theo hướng nước trên sông chảy về hướng đông 푺 °푬 với vận tốc: với vận tốc có độ lớn bằng 퐤퐦/풉. ퟒ + − 풌 /풉.
89. 2. BÀI TẬP THÊM ❑Bài 1. Chứng minh rằng điểm 푰 là ➢ Hướng dẫn: • Nếu 푰 là trung điểm của đoạn thẳng trung điểm của đoạn thẳng thì 푰 = 푰 và hai vec tơ 푰 , 푰 khi và chỉ khi 푰 = −푰 . ngược hướng. Vậy 푰 = −푰 . • Ngược lại, nếu 푰 = −푰 thì 푰 = 푰 và hai vec tơ 푰 , 푰 ngược hướng. Do đó , 푰, thẳng hàng. Vậy 푰 là trung điểm của đoạn thẳng .
90. 2. BÀI TẬP THÊM ➢ Hướng dẫn: ❑Bài 2. Cho tam giác 푪 có a) Vì 푰 là trung điểm của 푪 nên trọng tâm 푮. Gọi 푰 là trung điểm 푰 = 푪푰 và 푰 cùng hướng với 푰푪 do đó của 푪. Dựng điểm ′ sao cho hai vectơ 푰,푰푪 bằng nhau hay 푰 = 푰푪. ′ = 푮. b) Ta có ′ = 푮 ⇒ ′ = 푮 và ′ ∥ 푮. Do đó 푱, 푰푮 cùng hướng. (1) a) Chứng minh rằng 푰 = 푰푪. Vì 푮 là trọng tâm tam giác 푪 nên b) Gọi 푱 là trung điểm của ′. Chứng minh rằng 푱 = 푰푮. 푰푮 = 푮, 푱 là trung điểm ′ suy ra A B' 푱 = ′. Vì vậy 푱 = 푰푮. (2) G J C Từ (1) và (2) ta có 푱 = 푰푮. B I
91. 2. BÀI TẬP THÊM ❑Bài 3. Cho tam giác 푪 có 푯 là ➢ Hướng dẫn: • Vì ′ là đường kính của đường tròn trực tâm và 푶 là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác 푪 nên ngoại tiếp. Gọi ′ là điểm đối ෣′ = 푪 ෣′ = °. xứng của qua 푶. Chứng minh • Do đó 푪푯 ∥ ′ và 푯 ∥ ′푪 푯 = ′푪, ′ • Suy ra tứ giác ′푪푯 là hình bình = 푯푪. hành • Vậy 푯 = ′푪, ′ = 푯푪.
92. 2. BÀI TẬP THÊM ❑Bài 4. Cho năm điểm , , 푪, 푫, 푬. ➢ Hướng dẫn: a) Biến đổi vế trái ta có Chứng minh rằng: 푽푻 = 푪 + 푪 + 푪푫 + 푬푫 + 푫 a) + 푪푫 + 푬 = 푪 + 푬푫. = 푪 + 푬푫 + 푪 + 푪푫 + 푫 b) 푪 + 푪푫 − 푬푪 = 푬 − 푫 + 푪 . = 푪 + 푬푫 + 푫 + 푫 = 푪 + 푬푫 = 푽푷. b) Đẳng thức tương đương với 푪 − 푬 + 푪푫 − 푪 − 푬푪 + 푫 = ⇔ 푬푪 + 푫 − 푬푪 + 푫 = ⇔ 푫 + 푫 = (đúng với mọi , 푫) ⇒ (đpcm).
93. 2. BÀI TẬP THÊM ➢ Hướng dẫn: ❑Bài 5. Cho 풖 = 풊Ԧ − 풋Ԧ Ta có 풖 = ; − , 풗 = 풌; −ퟒ . và 풗 = 풌풊Ԧ − ퟒ풋Ԧ. Tìm 풌 để a) 풖 ⊥ 풗 ⇔ 풌 + − −ퟒ = ⇔ 풌 = −ퟒ . a) 풖 ⊥ 풗. b) 풖 = 풗 . b) 풖 = + = và 풗 = 풌 + . ퟒ Do đó 풖 = 풗 ⇔ 풌 + = ⇔ 풌 + = ⇔ 풌 = ⇔ 풌 = ± . ퟒ ퟒ
94. 2. BÀI TẬP THÊM ❑Bài 6. Trong mặt phẳng ➢ Hướng dẫn: toạ độ 푶풙풚, cho các điểm a) Ta có = ퟒ; ; 푪 = ; . ퟒ − ; − , ; , 푪 ; . Vì ≠ nên ; 푪 không cùng phương, suy ra a) Chứng minh ba điểm ba điểm , , 푪 không thẳng hàng. , , 푪 không thẳng hàng. b) Ta có = −ퟒ; − , 푪 = ; − . −ퟒ + − − b) Tính góc và diện tích 풐풔 = 풐풔 , 푪 = = − . +ퟒ. + của tam giác 푪. Vậy ෡ = °. Hạ đường cao 푯 ta có 푺 = 푪. 푯 = 푪. . 풔풊풏 ퟒ ° = + . + ퟒ. = .
95. 2. BÀI TẬP THÊM ❑Bài 7. Trong mặt phẳng ➢ Hướng dẫn: Gọi 푰 풙; 풚 là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ 푪, ta toạ độ 푶풙풚, cho các có: điểm 푰 = 푰 = 푰푪 ⇔ 푰 = 푰 = 푰푪 ퟒ; , ; , 푪 ; . 풙 − ퟒ + 풚 − = 풙 − + 풚 − ⇔ Tìm tọa độ tâm và bán 풙 − ퟒ + 풚 − = 풙 − + 풚 + 풙 − 풚 = − kính đường tròn ngoại ⇔ ⇔ 풙 = − và 풚 = . − 풙 − 풚 = −ퟒ tiếp tam giác 푪. Vậy tâm 푰 − ; . Bán kính 푰 = − − ퟒ + − = .
96. 2. BÀI TẬP THÊM ❑Bài 8. Trong mặt phẳng toạ độ ➢ Hướng dẫn: a) Tứ giác 푪푫 là hình bình hành khi 푶풙풚, cho tam giác 푪 với 풙 − = + ; ퟒ , − ; , 푪 ; − . 푫 = 푪 ⇔ ቊ 푫 ⇔ 풚푫 − ퟒ = − − a) Tìm toạ độ điểm 푫 để tứ giác 풙 = 푫 ቇ. 푪푫 là hình bình hành. 풚푫 = b) Tìm toạ độ chân đường cao vẽ Vậy 푫 ; . từ đỉnh của tam giác 푪.
97. 2. BÀI TẬP THÊM ➢ Hướng dẫn: ❑Bài 8. Trong mặt phẳng b) Gọi ′ 풙; 풚 là chân đường cao ′ của tam toạ độ 푶풙풚, cho tam giác 푪. Ta có ′ ⊥ 푪 ⇔ ′. 푪 = (*) ′ ∈ 푪 ′ = 풌 푪 giác 푪 với ; ퟒ , ′ = 풙 − ; 풚 − ퟒ , 푪 = ; − ; − ; , 푪 ; − . ′ = 풙 + ; 풚 − . a) Tìm toạ độ điểm 푫 để tứ giác 푪푫 là hình bình 풙 = 풙 − 풚 = ퟒ Hệ (*) ⇔ ⇔ . hành. − 풙 − 풚 = 풚 = − b) Tìm toạ độ chân đường cao vẽ từ đỉnh của tam Vậy ′ ; − . giác 푪.
98. 3. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM ➢Câu 1. Cho tam giác 푪. Gọi 푴, 푵 ➢ Hướng dẫn: Chọn A. lần lượt là trung điểm của các cạnh , 푪. Hỏi cặp véctơ nào A sau đây cùng hướng? M N A. và 푴 . B. 푴푵 và 푪 . B C C. 푴 và 푴 . D. 푵 và 푪 .
99. 3. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM ➢Câu 2. Cho hình chữ nhật 푪푫 ➢ Hướng dẫn: có = 퐜퐦, 푪 = 퐜퐦 . Độ dài 푪 = 푪 = + 푫 = + ퟒퟒ = . của véctơ 푪 là Chọn D. A. ퟒ. B. . C. . D. .
100. 3. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM ➢Câu 3. Cho hình bình hành 푪푫 ➢ Hướng dẫn: với 푰 là giao điểm của 2 đường A B chéo. Khẳng định nào sau đây là I khẳng định sai? D C A. 푰 + 푰푪 = . B. = 푫푪. 푪 và 푫 không cùng phương nên 푪 = 푫 sai. C. 푪 = 푫. D. + 푫 = 푪. Chọn C.
101. 3. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM ➢Câu 4. Cho tam giác 푪. Gọi 푴 ➢ Hướng dẫn: và 푵 lần lượt là trung điểm của và 푪. Trong các mệnh đề sau tìm mệnh đề sai? A. = 푴. B. 푪 = 푵푪. Ta có: 푪 = 푴푵 và 푪; 푴푵 cùng hướng C. 푪 = − 푴푵. D. 푪푵 = − 푪. nên 푪 = 푴푵. Chọn C.
102. 3. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM ➢Câu 5. Cho tam giác 푪, điểm 푰 thoả mãn: ퟒ 푰 = 푪. Nếu 푰 = + 풏 푪 thì cặp số ; 풏 bằng A. ; ퟒ . B. ; . ퟒ ퟒ Ta phân tích được 푰 = + 푰 C. ; − . D. ; . = + 푪 = + 푪 − ퟒ ퟒ ퟒ ퟒ Hướng dẫn: = + 푪. ퟒ ퟒ Chọn B.
103. 3. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM ➢Câu 6. Cho hai điểm 푴 ; − và ➢ Hướng dẫn: • Giả sử 푷 풙 ; 풚 . 푵 ; . Nếu 푷là điểm đối xứng 푷 푷 • Vì 푷 là điểm đối xứng với điểm 푴 qua với điểm 푴 qua điểm 푵 thì 푷 có 풙풑 = 풙푵 − 풙푴 tọa độ là điểm 푵, ta có: 풚푷 = 풚푵 − 풚푴 A. − ; . B. ; − . 풙 = − ⇔ 풑 풚푷 = C. ; − . D. ; . • Vậy 푷 − ; Chọn A.
104. 3. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM ➢Câu 7. Véc-tơ đối của ➢ Hướng dẫn: • Vec-tơ đối của vecto 풗 = −ퟒ; − là 풗 = −ퟒ; − là −풗 = ퟒ; . A. 풖 = − ; −ퟒ . • Chọn A. B. 풖 = ퟒ; − . C. 풖 = ퟒ; . D. 풖 = −ퟒ; .
105. 3. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM ➢Câu 8. Trong mặt phẳng 푶풙풚, cho ➢ Hướng dẫn: • Gọi 푴 풙; 풚 . hai điểm − ; , ; ퟒ . Tìm tọa • Ta có: 푴 = 풙 + ; 풚 − , = ퟒ; độ điểm 푴 thỏa 푴 = − là 풙 + = − 풙 = − • 푴 = − ⇒ ⇒ 풚 − = −ퟒ 풚 = − A. 푴 ; . B. 푴 ; −ퟒ . • Vậy 푴 − ; − . • Chọn D. C. 푴 ; − . D. 푴 − ; − .
106. 3. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM ➢Câu 9. Trong mặt phẳng 푶풙풚, cho ➢ Hướng dẫn: − ; , ; − , 푪( Do , , 푪 thẳng hàng nên cùng phương với 푪 + ; ) . Tìm giá trị của để = − ; − , 푪 = ; . , , 푪 thẳng hàng Khi đó : A. = . B. = . − − = ⇔ = C. = . D. = . Chọn B.
107. 3. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM ➢Câu 10. Cho tam giác 푪 ➢ Hướng dẫn: • TN: Biểu diễn toạ độ các điểm trên mặt có −ퟒ; − , ; , phẳng toạ độ, bằng trực quan ta chọn được 푪 ퟒ; − . Toạ độ chân ngay đáp án B. đường phân giác trong • Tự luận: Gọi 푫 ; là chân đường phân giác 푫 của góc là trong của góc thì = = = 푫푪 푪 A. ; . B. ; − . • Do 푫 nằm trong đoạn 푪 nên 푫 = − 푫푪 −ퟒ − = − ퟒ − = ⇔ ⇔ . C. ; − . D. ; . = − − − = − − − • Chọn B.