27 Bài toán thực tế môn Toán Lớp 12 - Huỳnh Đức Khánh

Nội dung text: 27 Bài toán thực tế môn Toán Lớp 12 - Huỳnh Đức Khánh

1. Câu 1 (Gv Huỳnh Đức Khánh) Bạn Nam làm một cái máng thoát nước, mặt cắt hình thang cân có độ dài hai cạnh bên và cạnh đáy đều bằng 20 cm , thành máng nghiêng với mặt đất một góc j (0° 100 Û n > 5,47. èç 100ø÷ Vậy sau ít nhất 6 năm người đó nhận được số tiền nhiều hơn 100 triệu đồng. Chọn C. Câu 3 (Gv Huỳnh Đức Khánh) Litva tham gia vào cộng đồng chung châu Âu sử dụng đồng Euro vào ngày 01 tháng 01 năm 2015 và dùng Euro là đồng tiền chung. Để kỷ niệm thời khắc lịch sử này, chính quyền đất nước này quyết định dùng 1.225.500 đồng tiền xu Litas Lithuania cũ của đất nước để xếp một mô hình kim tự tháp (như hình vẽ). Biết rằng tầng dưới cùng có 49.010 đồng và cứ lên thêm một tầng thì số đồng xu giảm đi 1.000 đồng. Hỏi mô hình Kim tự tháp này có tất cả bao nhiêu tầng? A. 49. B. 50. C. 51. D. 52. Lời giải. Theo giả thiết bài toán, ta có
2. Tầng 1 có 49010 đồng xu; Tầng 2 có 49010- 1000 đồng xu; Tầng 3 có 49010- 1000´ 2 đồng xu; M Tầng n có 49010- 1000´ (n - 1) đồng xu. é ù Tổng số đồng xu: 49010´ n - 1000´ ë1+ 2 + 3+ + (n - 1)û= 1225500 . - 1 é = 49,02 loaïi n (n ) ên ( ) Û 49010n - 1000. = 1225500 Û ê . Chọn B. 2 ën = 50 Câu 4 (Gv Huỳnh Đức Khánh) Ông An quyết định bán một phần mảnh đất hình chữ nhật có chu vi 50m. Mảnh đất còn lại sau khi bán là một hình vuông cạnh bằng chiều rộng của mảnh đất hình chữ nhật ban đầu. Tìm số tiền lớn nhất mà ông An nhận được khi bán đất, biết giá tiền 1m2 đất khi bán là 1500000 VN đồng. A. 112687500 VN đồng. B. 114187500 VN đồng. C. 115687500 VN đồng. D. 117187500 VN đồng. Lời giải. Ông An thu được số tiền lớn nhất khi bán được diện tích đất nhiều nhất. 50 Gọi chiều rộng của mảnh đất là x (m) . Điều kiện 0 £ x £ . 4 Vì mảnh đất có chu vi 50m, suy ra chiều dài mảnh đất là 25- x (m). 2 Diện tích đất ban đầu S1 = x (25- x) (m ). 2 2 Diện tích đất còn lại S2 = x (m ). 2 2 2 Suy ra diện tích đất bán được là f (x)= S1 - S2 = x (25- x)- x = 25x - 2x (m ). é 50ù 625 Khảo sát hàm f (x)= 25x - 2x 2 trên đoạn ê0; ú, ta được max f (x)= . é 50ù ëê 4 ûú ê0; ú 8 ëê 4 ûú 625 Số tiền lớn nhất thu được là .1500000 = 117187500. Chọn D. 8 Câu 5 (Gv Huỳnh Đức Khánh) Nhà ông An cần sơn mặt trước của cổng có dạng như hình bên, các đường cong có dạng là parabol với các kích thước được cho như hình. Biết giá thuê nhân công là 100.000 đồng/ 1 (m2 ). Hỏi ông An phải trả cho bên 8 m thi công bao nhiêu tiền để sơn cổng? 6 m A. 1668653 (đồng).B. 1775361 (đồng). C. 1866 667 (đồng).D. 2 468650 3 m 4 m (đồng). 2 Lời giải. Công thức tính nhanh diện tích parabol: S = Bh với B là chiều rộng của đáy, h là 3 chiều cao. 2 56 Phần diện tích cần sơn: S = .(8.8- 6.6)= (m2 ). 3 3 56 ¾ ¾® số tiền cần phải trả: 100000. » 1866667 (đồng). Chọn C. 3 Câu 6 (Gv Huỳnh Đức Khánh) Tỷ lệ tăng dân số hàng năm ở Việt Nam duy trì ở mức 1,06% . Theo số liệu của Tổng cục thống kê dân số Việt Nam năm 2014 là 90.728.600 người. Với tốc độ tăng dân số như thế thì năm 2050 dân số Việt Nam là
3. A. 125.663.675 người.B. người. 132.616.875 C. 134.022.614 người. D. người. 153.712.400 Lời giải. ÁP DỤNG CÔNG THỨC LÃI KÉP Từ 2014 đến 2050 là 36 năm ¾ ¾® Số dân năm 2050 là: 90728600(1+ 0,0106)36 = 132616875 người. Chọn B. Câu 7 (Gv Huỳnh Đức Khánh) Kim tự tháp Kê-ốp ở Ai Cập có dạng một khối chóp tứ giác đều, biết rằng cạnh đáy dài 230 m và chiều cao 147 m. Thể tích của khối kim tự tháp đó bằng 3 3 A. 2592100 m . B. 25921000 m . 3 3 C. 7776300 m . D. 77763000 m . Lời giải. Diện tích mặt đáy S = 2302 = 52900 m2 . 1 1 Thể tích khối kim tự tháp V = S.h = .52900.147 = 2592100 m3. Chọn A. 3 3 Câu 8. (Gv Huỳnh Đức Khánh) Có một bể hình hộp chữ nhật chứa đầy nước. Người ta cho ba khối nón giống nhau có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân vào bể sao cho ba đường tròn đáy của ba khối nón tiếp xúc với nhau, một khối nón có đường tròn đáy chỉ tiếp xúc với một cạnh của đáy bể và hai khối nón còn lại có đường tròn đáy tiếp xúc với hai cạnh của đáy bể (tham khảo hình vẽ bên dưới). Sau đó người ta đặt lên đỉnh của ba khối nón một khối cầu có bán kính bằng 4 lần bán kính đáy của khối nón. Biết khối cầu vừa đủ ngập trong 3 337p nước và lượng nước tràn ra là (cm3 ). Tính thể tích nước ban đầu ở trong bể. 3 A. » 885,2 (cm3 ). B. » 1106,2 (cm3 ). C. » 1174,2(cm3 ). D. » 1209,2 (cm3 ). Lời giải. Gọi bán kính đường tròn đáy của khối nón là r (cm), suy ra chiều cao của khối nón 4 là h = r (do thiết diện là tam giác vuông cân) và bán kính mặt cầu là r (cm). 3 A H B Suy ra chiều dài hình chữ nhật (mặt đáy) là 4r (cm) ; chiều rộng hình chữ nhật (mặt đáy) là 2r + CH = 2r + 3r = (2 + 3)r (cm). C Mặt phẳng (a) đi qua ba đỉnh của khối nón cắt mặt cầu theo thiết diện là một đường tròn có bán kính bằng bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
4. 2r 3 và bằng (cm)¾ ¾® khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng (a) bằng 3 2 æ ö2 æ ö ç4 ÷ ç2r 3 ÷ 2r ç r÷ - ç ÷ = . èç3 ø èç 3 ø÷ 3 2r 4r Suy ra chiều cao của hình hộp chữ nhật bằng r + + = 3r. 3 3 3 gia thiet 3 4 æ4 ö 337p 3 337p Thể tích ba khối nón và khối cầu V ' = pr + p.ç r÷ = r = ¾ ¾® r = 3. 3 èç3 ø÷ 81 3 Thể khối hình hộp chữ nhật V = 12(2 + 3)r 3 = 324(2 + 3)» 1209,2 (cm3 ). Chọn D. Câu 9 (Gv Huỳnh Đức Khánh)Từ độ cao 55,8m của tháp nghiêng Pisa nước Italia người ta thả một quả bóng cao su chạm xuống đất. Giả sử mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên độ cao bằng 1 độ cao mà quả bóng đạt trước đó. Tổng 10 độ dài hành trình của quả bóng được thả từ lúc ban đầu cho đến khi nó nằm yên trên mặt đất thuộc khoảng nào trong các khoảng sau đây? A. (60m;63m). B. (64m;66m). C. (67m;69m). D. (69m;72m). Lời giải. Quảng đường từ khi bắt đầu thả đến khi chạm đất lần thứ nhất là 55,8m; Quả bóng nảy lên với độ cao bằng 1 độ cao mà quả bóng đạt trước đó, vì nảy lên và rơi 10 xuống nên quảng đường từ khi nảy lên lần thứ nhất đến khi chạm đất lần thứ hai là æ 1 ö 2´ ç55,8. ÷m; èç 10ø÷ M Tương tự, quảng đường từ khi nảy lên lần thứ n đến khi chạm đất lần thứ n + 1 là æ 1 ö 2´ ç55,8. ÷m. èç 10n ø÷ æ 1 ö æ 1 ö Tổng độ dài hành trình của quả bóng là S = 55,8 + 2´ ç55,8. ÷+ + 2´ ç55,8. ÷ èç 10ø÷ èç 10n ø÷ æ 1 1 1 ö = 2´ 55,8ç1+ + + ÷- 55,8 = 68,2. Chọn C. èç 10 102 10n ø÷ Câu 10 (Gv Huỳnh Đức Khánh)Một người lần đầu gửi vào ngân hàng 100 triệu đồng với kì hạn 3 tháng, lãi suất 2% một quý. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi quý số tiền lãi sẽ được nhập vào gốc để tính lãi cho quý tiếp theo. Sau đúng 6 tháng, người đó gửi thêm 100 triệu đồng với kỳ hạn và lãi suất như trước đó. Tổng số tiền người đó nhận được 1 năm sau khi gửi tiền (cả vốn lẫn lãi) gần nhất với kết quả nào sau đây? A. 210 triệu. B. 212 triệu. C. 216 triệu. D. 220 triệu. Lời giải. Số tiền nhận về sau 1 năm của 100 triệu gửi trước là 100(1+ 2%)4 triệu. Số tiền nhận về sau 6 tháng của 100 triệu gửi sau là 100(1+ 2%)2 triệu. Vậy tổng số tiền là 100(1+ 2%)4 + 100(1+ 2%)2 = 212,283216(» 212,283)triệu.Chọn B. Câu 11 (Gv Huỳnh Đức Khánh)Ông An làm lan can ban công của ngôi nhà bằng một miếng kính cường lực. Miếng kính này là
5. một phần của mặt xung quanh một lăng trụ như hình bên. Biết AB = 4m, A·EB = 150° (E là điểm chính giữa cung AB ) và DA = 1,4m. Biết giá tiền loại kính này là 500.000 đồng cho mỗi mét vuông. Số tiền (làm tròn tới hàng chục nghìn) mà ông An phải trả là: A. 5đồng 820.0 00 B. 2.840.000 đồng. C. 3đồng 200.0 00 D. 2.930.000 đồng. Lời giải. Xét phần cung AEB như trên hình vẽ. Ta có A·EB = 150° Þ sđ A¼đều.EB = 60° Þ A·OB = 60° ¾ ¾® DOAB Suy ra OA = OB = AB = 4m. 60°p 4p Khi độ dài cung tròn AEB là l = ´ 4 = . 180° 3 4p 28p Diện tích tấm kính cần dùng là: S = l .AD = .1,4 = (m2 ). 3 15 28p Số tiền mà ông An phải trả: T = 500000. » 2930000 đồng. Chọn D. 15 Câu 12(Gv Huỳnh Đức Khánh)Một thợ thủ công muốn vẽ trang trí trên một hình vuông kích thước 4m´ 4m bằng cách vẽ một hình vuông mới với các đỉnh là trung điểm các cạnh của hình vuông ban đầu, và tô kín màu lên hai tam giác đối diện (tham khảo hình vẽ). Quá trình vẽ và tô theo qui luật đó được lặp lại 5 lần. Tính số tiền nước sơn để người thợ thủ công đó hoàn thành trang trí hình vuông như trên. Biết tiền nước sơn để sơn 1m2 là 50.000 đ. A. 378.500 đ.B. đ.C. 375.000đ.D. đ. 385.000 387.500 Lời giải. Gọi Si là diện tích tam giác được tô sơn màu ở lần vẽ hình vuông thứ i với i = 1;2;3;4;5. Diện tích hình vuông ban đầu S = 4´ 4 = 16. Ta có æ ö ç1 ÷ 1 S1 = 2´ ç .2.2÷= 4 = S; èç2 ø÷ 4 æ ö ç1 ÷ 1 S2 = 2´ ç . 2. 2÷= 2 = S; èç2 ø÷ 8 1 1 1 Theo quy luật, suy ra S = S; S = S; S = S. 3 16 4 32 3 64 æ1ö5 1- ç ÷ 5 æ ö ç ÷ æ ö ç1 ÷ è2ø ç1 ÷ 31 31 31 Khi đó Si = ç S÷. = ç S÷. = . Vậy số tiền nước sơn: đ .50000 = 387500 å èç4 ø÷ 1 èç4 ø÷ 16 4 4 i= 1 1- 2 . Chọn D. Câu 13 (Gv Huỳnh Đức Khánh)Một người đã thả một lượng bèo hoa dâu chiếm 4% diện tích mặt hồ. Biết rằng cứ sau đúng một tuần bèo phát triển thành 3 lần lượng đã có và tốc độ phát triển của bèo ở mọi thời điểm như nhau. Sau bao nhiêu ngày, lượng bèo sẽ vừa phủ kín mặt hồ?
6. 25 24 A. 7´ log 25. B. 3 7 . C. 7´ . D. log 25. 3 3 3 100 Lời giải. Gọi A là lượng bèo ban đầu, để phủ kín mặt hồ thì lượng bèo là A. 4 Sau một tuần số lượng bèo là 3A ¾ ¾® sau n tuần lượng bèo là 3n A. 100 Để lượng bèo phủ kín mặt hồ thì 3n.A = .A 4 100 ¾ ¾® n = log = log 25 ¾ ¾® thời gian để bèo phủ kín mặt hồ là t = 7 log 25 . Chọn A. 3 4 3 3 Câu 14(Gv Huỳnh Đức Khánh). Trên tia Ox lấy các điểm A1, A2 , , An sao cho với mỗi số nguyên dương n thì OAn = n. Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng chứa tia Ox vẽ các nửa đường tròn có đường kính OAn (n = 1,2, ). Kí hiệu S1 là diện tích hình tròn đường kính OA1 với n ³ 2 ta kí hiệu Sn là diện tích của hình giới hạn bởi hai nửa đường tròn đường kính OAn- 1 và OAn và trục Ox. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau? 2n - 1 p p A. S = p. B. S - S = (n - 2). C. S = S + . D. n 8 n 2 4 4 2 2 S3 + S9 = 2S2 + 3p. Lời giải. Dễ dàng tính được æ ö2 æ ö2 1 ç2÷ 1 ç1÷ p 2 2 S2 = ´ ç ÷ p - ´ ç ÷ p = (2 - 1 ); 2 èç2ø÷ 2 èç2ø÷ 8 æ ö2 æ ö2 1 ç3÷ 1 ç2÷ p 2 2 S3 = ´ ç ÷ p - ´ ç ÷ p = (3 - 2 ); 2 èç2ø÷ 2 èç2ø÷ 8 M p 2 p S = n2 - (n - 1) = (2n - 1). n 8 ( ) 8 Từ đó suy ra A đúng và dễ dàng kiểm tra được B và C đều đúng. Vậy D sai. Chọn D. Câu 15(Gv Huỳnh Đức Khánh)Một vật chuyển động trong 5 giờ với vận tốc v (km/h) phụ thuộc vào khoảng thời gian t (h) có đồ thị của vận tốc như hình bên. Trong khoảng thời gian 3 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị đó là một phần của parapol có đỉnh I (2;8) và trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian còn lại đồ thị là những đoạn thẳng (như hình vẽ). Tính quãng đường s mà vật di chuyển được trong 5 giờ đó. A. B.s = 25 (km). s = 26 (km). C. D.s = 33 (km). s = 41 (km). ïì - 2t 2 + 8t khi 0 £ t £ 3 ï Lời giải. Dựa vào đồ thị suy ra v(t)= íï 2t khi 3 £ t £ 4 . ï îï 8 khi 4 £ t £ 5 3 4 5 Vậy quảng đường s = ò(- 2t 2 + 8t)dt + ò 2tdt + ò8dt = 33 (km). Chọn C. 0 3 4 Câu 16(Gv Huỳnh Đức Khánh)Để đầu tư dự án trồng rau sạch theo công nghệ mới, bác A đã làm hợp đồng xin vay vốn ngân hàng với số tiền 100 triệu đồng với lãi suất x% trên một
7. năm. Điều kiện kèm theo của hợp đồng là số tiền lãi tháng trước sẽ được tính làm vốn để sinh lãi cho tháng sau. Sau hai năm thành công với dự án rau sạch của mình, bác A đã thanh toán hợp đồng ngân hàng số tiền làm tròn là 129.512.000 đồng. Khẳng định nào sau đây đúng? A. x = 12 .B. .C. .xD.= 13 . x = 14 x = 15 2 Lời giải. Tổng số tiền phải trả là: T = 100(1+ x%) . 2 129,512 Theo đề bài ta có 100(1+ x%) = 129,512 Û x% = - 1 » 14% ¾ ¾® x = 14. Chọn C. 100 Câu 17(Gv Huỳnh Đức Khánh)Một chiếc guồng nước có dạng hình tròn bán kính 2,5m, trục của nó cách mặt nước 2m . Khi guồng quay đều, khoảng cách h (mét) từ một chiếc gầu gắn tại điểm A của guồng đến mặt nước được tính theo công thức h = y trong đó: é æ 1öù = 2,5sin ê2pç - ÷ú+ 2 ³ 0 y çx ÷ với x là thời gian quay của guồng với x ëê è 4øûú tính bằng phút. Ta quy ước rằng y > 0 khi gầu ở trên mặt nước và y < 0 khi gầu ở dưới nước. Vậy chiếc gầu ở vị trí cao nhất khi nào? 1 1 A. B.x = C.0. D. x = . x = . x = 1. 4 2 é æ 1öù 1 sin ê2pç - ÷ú= 1 ¾ ¾® = . Lời giải. Gầu ở vị trí cao nhất khi: çx ÷ x Chọn C. ëê è 4øûú 2 Cách trắc nghiệm thay từng đáp án vào và bấm máy so sánh.