155 Câu trắc nghiệm khoảng cách (Có đáp án và lời giải)

67 trang hoanvuK 10/01/2023 2950

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "155 Câu trắc nghiệm khoảng cách (Có đáp án và lời giải)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

155_cau_trac_nghiem_khoang_cach_co_dap_an_va_loi_giai.docx

Nội dung text: 155 Câu trắc nghiệm khoảng cách (Có đáp án và lời giải)

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM KHOẢNG CÁCH A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT 1. Khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng. M H Cho điểm M và một đường thẳng . Trong mp M , gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên . Khi đó khoảng cách MH được gọi là khoảng cách từ điểm M đến . d M , MH Nhận xét: OH OM,M 2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng Khoảng cách giữa hai đường thẳng D và D ' : - Nếu D và D ' cắt nhau hoặc trùng nhau thì d(D,D ') = 0. - Nếu D và D ' song song với nhau thì d(D,D ') = d(M ,D ') = d(N,D) M K ' H N 3. Khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng. M H d  Cho mặt phẳng và một điểm M , gọi H là hình chiếu của điểm M trên mặt phẳng . Khi đó khoảng cách MH được gọi là khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng . d M , MH 4. Khoảng cách từ một đường thẳng tới một mặt phẳng. M H Cho đường thẳng và mặt phẳng song song với nhau. Khi đó khoảng cách từ một điểm bất kì trên đến mặt phẳng được gọi là khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng . Trang 1
d , d M , , M . - Nếu D cắt (a) hoặc D nằm trong (a) thì d(D,(a)) = 0. 5. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng. M H  Cho hai mặt phẳng và  song song với nhau, khoảng cách từ một điểm bất kì trên mặt phẳng này đến mặt phẳn kia được gọi là khoảng cách giữa hai mặt phẳng và  . d ,  d M ,  d N, , M , N  . 6. Khoảng cách giữa hai đường thẳng. Cho hai đường thẳng chéo nhau a,b. Độ dài đoạn vuông góc chung MN của a và b được gọi là khoảng cách giữa hai đường thẳng a và b . M ' N B – BÀI TẬP Câu 1: Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau đây? A. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm M bất kỳ trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia. B. Nếu hai đường thẳng a và b chéo nhau và vuông góc với nhau thì đường vuông góc chung của chúng nằm trong mặt phẳng ( ) chứa đường này và ( ) vuông góc với đường kia. C. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b là khoảng cách từ một điểm M thuộc ( ) chứa a và song song với b đến một điểm N bất kì trên b. D. Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng ( ) song song với a là khoảng cách từ một điểm A bất kì thuộc a tới mặt phẳng ( ) Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A. Câu 2: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau thì vuông góc với mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia B. Một đường thẳng là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau nếu nó vuông góc với cả hai đường thẳng đó C. Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau thì nằm trong mặt phẳng chứa đường thẳng này và vuông góc với đường thẳng kia D. Một đường thẳng là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau nếu nó cắt cả hai đường thẳng đó. Hướng dẫn giải:  Đáp án A: Đúng  Đáp án B: Sai, do phát biểu này thiếu yếu tố cắt nhau.  Đáp án C: Sai, vì mặt phẳng đó chưa chắc đã tồn tại. Trang 2
 Đáp án D: Sai, do phát biểu này thiếu yếu tố vuông góc. Chọn đáp án D. Câu 3: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. Nếu hai đường thẳng a và b chéo nhau và vuông góc với nhau thì đường thẳng vuông góc chung của chúng nằm trong mặt phẳng (P) chứa đường thẳng này và vuông góc với đường thẳng kia. B. Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) song song với a là khoảng cách từ một điểm A bất kỳ thuộc a tới mp(P). C. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b là khoảng cách từ một điểm M thuộc mặt phẳng (P) chứa a và song song với b đến một điểm N bất kỳ trên b. D. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm M bất kỳ trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia. Hướng dẫn giải: Chọn đáp án C. DẠNG 1: TÍNH KHOẢNG CÁCH TỪ ĐIỂM M ĐẾN ĐƯỜNG THẲNG Δ . Phương pháp: Để tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng Δ ta cần xác định được hình chiếu H của điểm M trên đường thẳng Δ , rồi xem MH là đường cao của một tam giác nào đó để tính. Điểm H thường được dựng theo hai cách sau: Trong mp M,Δ vẽ MH  Δ d M,Δ MH Dựng mặt phẳng α qua M và vuông góc với Δ tại H d M,Δ MH . Hai công thức sau thường được dùng để tính MH 1 1 1 ΔMAB vuông tại M và có đường cao AH thì . MH2 MA2 MB2 2S MH là đường cao của ΔMAB thì MH MAB . AB Câu 1: Cho hình chóp tam giác S.ABC với SA vuông góc với ABC và SA 3a. Diện tích tam giác ABC bằng 2a2 , BC a . Khoảng cách từ S đến BC bằng bao nhiêu? A. 2a. B. 4a. C. 3a. D. 5a. Hướng dẫn giải: Kẻ AH vuông góc với BC : 1 2.S 4a2 S AH.BC AH ABC 4a ABC 2 BC a Khoảng cách từ S đến BC chính là SH Dựa vào tam giác vuông SAH ta có SH SA2 AH 2 (3a)2 (4a)2 5a Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD trong đó SA, AB, BC đôi một vuông góc và SA AB BC 1. Khoảng cách giữa hai điểm S và C nhận giá trị nào trong các giá trị sau ? 3 A. 2. B. 3. C. 2. D. . 2 Hướng dẫn giải: SA  AB Do nên SA  (ABC) SA  AC S SA  BC Như vậy SC SA2 AC 2 SA2 (AB2 BC 2 ) 3 Chọn đáp án B. A C B Trang 3
Câu 3: Cho hình chóp A.BCD có cạnh AC  BCD và BCD là tam giác đều cạnh bằng a. Biết AC a 2 và M là trung điểm của BD. Khoảng cách từ C đến đường thẳng AM bằng 7 4 6 2 A. a . B. a . C. a . D. a . 5 7 11 3 Hướng dẫn giải: A a 3 Do ABC đều cạnh a nên đường cao MC 2 AC.MC 66 H d C, AM CH a 2 2 11 AC MC C D Chọn đáp án C. M B Câu 4: Trong mặt phẳng P cho tam giác đều ABC cạnh a . Trên tia Ax vuông góc với mặt phẳng P lấy điểm S sao cho SA a . Khoảng cách từ A đến SBC bằng a 21 A. a 5. B. 2a. C. . D. a 3. 7 Hướng dẫn giải:  Gọi M là trung điểm của BC ; H là hình chiếu vuông góc của A trên SM.  Ta có BC  AM và BC  SA nên BC  SAM BC  AH. S Mà AH  SM , do đó AH  SBC . Vậy AH d A, SBC . a H a 3 AS.AM a 21 a  AM ; AH . A C 2 AS 2 AM 2 7 a Chọn đáp án C. M B Câu 5: Cho tứ diện SABC trong đó SA , SB , SC vuông góc với nhau từng đôi một và SA 3a , SB a , SC 2a . Khoảng cách từ A đến đường thẳng BC bằng: 3a 2 7a 5 8a 3 5a 6 A. . B. . C. . D. . 2 5 3 6 Hướng dẫn giải: Chọn đáp án B. B + Dựng AH  BC d A, BC AH . H AS  SBC  BC AS  BC a + , AH cắt AS cùng AH  BC nằm trong SAH . ? BC  SAH  SH BC  SH . S 2a 3a C Trang 4 A
Xét trong SBC vuông tại S có SH là đường cao ta có: 1 1 1 1 1 5 4a2 2a 5 SH 2 SH . SH 2 SB2 SC 2 a2 4a2 4a2 5 5 + Ta dễ chứng minh được AS  SBC  SH AS  SH ASH vuông tại S . Áp dụng hệ thức lượng trong ASH vuông tại S ta có: 4a2 49a2 7a 5 AH 2 SA2 SH 2 9a2 AH . 5 5 5 Câu 6: Cho hình chóp A.BCD có cạnh AC  BCD và BCD là tam giác đều cạnh bằng a . Biết AC a 2 và M là trung điểm của BD . Khoảng cách từ C đến đường thẳng AM bằng 2 6 7 4 A. a . B. a . C. a . D. a . 3 11 5 7 Hướng dẫn giải: Chọn đáp án B. Dựng CH  AM d C, AM CH . a 3 Vì BCD là tam giác đều cạnh a và M là trung điểm của BD nên dễ tính được CM . 2 Xét ACM vuông tại C có CH là đường cao, ta có: 1 1 1 1 1 11 6a2 A CH 2 CH 2 CA2 CM 2 2a2 3a2 6a2 11 4 6 CH a . a 2 11 ? H a a C D M a B Câu 7: Cho hình chóp S.ABCD có SA  ABCD , đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết AD 2a, SA a. Khoảng cách từ A đến SCD bằng: 3a 3a 2 2a 2a 3 A. . B. . C. . D. . 7 2 5 3 Hướng dẫn giải: SA  ABCD nên SA  CD; AD  CD . S Suy ra SAD  CD Trong SAD kẻ AH vuông góc SD tại H H . Khi đó AH  SCD SA.AD a.2a 2a 5 d A, SCD AH SA2 AD2 a2 (2a)2 5 A D Chọn đáp án C. Câu 8: Hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng 3a, cạnh bên B C bằng 2a. Khoảng cách từ S đến ABC bằng : S A. 2a. B. a 3. C. a. D. a 5. Hướng dẫn giải: Gọi O là chân đường cao của hình chóp. A C O H Trang 5 B
2 2 3 Ta có AO AH .3a. a 3 3 3 2 d O,(ABC) SO SA2 AO2 a Chọn đáp án C. Câu 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a . Đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA a . Gọi M là trung điểm của CD . Khoảng cách từ M đến SAB nhận giá trị nào trong các giá trị sau? a 2 A. . B. 2a. C. a 2. D. a. 2 Hướng dẫn giải:  Khoảng cách từ M đến SAB : d M , SAB d D, SAB a. Chọn đáp án D. S a a D a A M B C Câu 10: Cho hình chóp A.BCD có cạnh AC  BCD và BCD là tam giác đều cạnh bằng a . Biết AC a 2 và M là trung điểm của BD . Khoảng cách từ A đến đường thẳng BD bằng: 3a 2 2a 3 4a 5 a 11 A. . B. . C. . D. . 2 3 3 2 Hướng dẫn giải: Chọn D. AC  BD Ta có: BD  AM (Định lý 3 đường vuông CM  BD góc) d A; BD AM . a 3 CM (vì tam giác BCD đều). 2 3a2 a 11 Ta có: AM AC 2 MC 2 2a2 . 4 2 Câu 11: Cho hình chóp S.ABCD có SA  ABCD , đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng a và Bˆ 60. Biết SA 2a . Tính khoảng cách từ A đến SC . 3a 2 4a 3 2a 5 5a 6 A. . B. . C. . D. . 2 3 5 2 Hướng dẫn giải: Chọn C. Kẻ AH  SC , khi đó d A;SC AH . Trang 6
ABCD là hình thoi cạnh bằng a và Bˆ 60 VABC đều nên AC a . Trong tam giác vuông SAC ta có: 1 1 1 AH 2 SA2 AC 2 SA.AC 2a.a 2 5a AH . SA2 AC 2 4a2 a2 5 Câu 12: Cho hình chóp S.ABCD có SA  ABCD , SA 2a , ABCD là hình vuông cạnh bằng a . Gọi O là tâm của ABCD , tính khoảng cách từ O đến SC . a 3 a 3 a 2 a 2 A. . B. . C. . D. . 3 4 3 4 Hướng dẫn giải: Chọn A. Kẻ OH  SC , khi đó d O;SC OH . Ta có: VSAC : VOCH (g-g) OH OC OC nên OH .SA . SA SC SC 1 a 2 Mà: OC AC , SC SA2 AC 2 a 6 . 2 2 OC a a 3 Vậy OH .SA . SC 3 3 Câu 13: Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a và góc hợp bởi một cạnh bên và mặt đáy bằng . Khoảng cách từ tâm của đáy đến một cạnh bên bằng A. a 2 cot . B. a 2 tan . C. a 2 a 2 cos . D. sin . 2 2 Hướng dẫn giải: Chọn D. SO  ABCD , O là tâm của hình vuông ABCD . Kẻ OH  SD , khi đó d O;SD OH , S· DO . a 2 Ta có: OH ODsin sin . 2 Câu 14: Cho hình chóp S.ABC trong đó SA , AB , BC vuông góc với nhau từng đôi một. Biết SA 3a , AB a 3 , BC a 6 . Khoảng cách từ B đến SC bằng A. a 2 . B. 2a . C. 2a 3 . D. a 3 . Hướng dẫn giải: Chọn B. Vì SA , AB , BC vuông góc với nhau từng đôi một nên CB  SB . Kẻ BH  SC , khi đó d B;SC BH . Ta có: SB SA2 AB2 9a2 3a2 2 3a . Trong tam giác vuông SBC ta có: 1 1 1 SB.BC 2 2 2 BH 2a . BH SB BC SB2 BC 2 Câu 15: Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a và góc hợp bởi một cạnh bên và mặt đáy bằng . Khoảng cách từ tâm của đáy đến một cạnh bên bằng: a 2 a 2 A. cosα B. a 2 tan C. sinα D. a 2 cotα 2 2 Hướng dẫn giải: Trang 7
a 2  AC a 2 OC 2  Khoảng cách cần tìm là đoạn OH . a 2 OH OC sin sin . S 2 Chọn đáp án C. H D α C a O A B Câu 16: Cho tứ diện ABCD có cạnh bên AC vuông góc với mặt phẳng (BCD) và BCD là tam giác đều cạnh bằng a. Biết AC a 2 và M là trung điểm của BD. Khoảng cách từ điểm C đến đường thẳng AM bằng 2 6 7 4 A. a . B. a . C. a . D. a . 3 11 5 7 Hướng dẫn giải: Chọn đáp án B. Nối CM . Kẻ CH  AM A Suy ra d(C; AM ) CH Xét ACM có 1 1 1 1 1 11 CH 2 AC 2 CM 2 2 2 6a2 a 2 a 3 a 2 2 H 6 CH a 11 C B 6 Vậy d(C; AM ) CH a . M 11 D Câu 17: Cho tứ diện ABCD có cạnh bên AC vuông góc với mặt phẳng (BCD) và BCD là tam giác đều cạnh bằng a. Biết AC a 2 và M là trung điểm của BD. Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BD bằng 3a 2 2a 3 4a 5 a 11 A. . B. . C. . D. . 2 3 3 2 Hướng dẫn giải: Chọn đáp án D. a 11 Ta có d(A; BD) AC  BCD AC  BD 2 Lại có với M là trung điểm BD mà BCD đều nên CM  BD AC  BD Từ đó ta có AM  BD CM  BD Suy ra d(A;BD) AM Xét tam giác vuông ACM , ta có 2 2 2 2 a 3 a 11 AM AC CM a 2 2 2 Trang 8
a 11 Vậy d(A; BD) . 2 Câu 18: Cho hình chóp S.ABC trong đó SA, AB, BC vuông góc với nhau từng đôi một. Biết SA 3a, AB a 3, BC a 6. Khoảng cách từ B đến SC bằng A. a 2 . B. 2a . C. 2a 3 . D. a 3 . Hướng dẫn giải: Chọn đáp án B. Ta có SA  AB SB  BC AB  BC Suy ra SBC vuông tại B Kẻ BH  SC . Ta có d(B;SC) BH Lại có 1 1 1 1 1 1 BH 2 SB2 BC 2 SA2 AB2 BC 2 4a2 d(B;SC) BH 2a . Câu 19: Cho hình lập phương ABCD.A B C D có cạnh bằng a. Khoảng cách từ đỉnh A của hình lập phương đó đến đường thẳng CD bằng a 6 a 3 A. a 2 . B. . C. . D. a 3 . 2 2 Hướng dẫn giải: Gọi M là trung điểm của CD . Do ABCD.A B C D là hình lập B C phương nên tam giác ACD ' là tam giác đều cạnh a 2 . A D a 6 AM  CD d A,CD AM M 2 B' Đáp án: B. C' A' D' Câu 20: Cho hình lập phương ABCD.A B C D có cạnh bằng a. Khoảng cách từ đỉnh A của hình lập phương đó đến đường thẳng DB bằng a 6 a 3 a 6 A. a 2 . B. . C. . D. . 2 2 3 Hướng dẫn giải: Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ A xuống DB . B C Dễ thấy AD  ABB' A ADB'vuông đỉnh A . A D 1 1 1 a 6 AD a; AB a 2 AH AH 2 AD2 AB'2 3 Đáp án D. B' H C' A' D' Câu 21: Cho hình lập phương ABCD.A B C D có cạnh bằng a. Khoảng cách từ ba điểm nào sau đây đến đường chéo AC bằng nhau ? A. A , B,C . B. B,C, D . C. B ,C , D . D. A, A , D . Trang 9
Hướng dẫn giải: Dễ thấy các tam giác ABC ',C CA, ADC là các tam giác vuông B C bằng nhau nên các đường cao hạ từ đỉnh góc vuông xuống canh huyền cũng bằng nhau. A D Vậy: d B, AC d C, AC d D, AC Đáp án B. B' C' A' D' Trang 10
DẠNG 2: TÍNH KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN ĐƯỜNG THẲNG, MẶT PHẲNG. Để tính được khoảng từ điểm M đến mặt phẳng α thì điều quan trọng nhất là ta phải xác định được hình chiếu của điểm M trên . Phương pháp này, chúng tôi chia ra làm 3 trường hợp sau (minh hoạ bằng hình vẽ): TH 1: A là chân đường cao, tức là A º H . S P A K P Bước 1: Dựng AK   SAK  SAK và  SAK SK . Bước 2: Dựng AP  SK AP  d A, AP. TH 2: Dựng đường thẳng AH, AH P . A H A' H' Lúc đó: d A, d H, . TH 2: Dựng đường thẳng AH, AH Ç(a) = {I } . A H A' I H' d A, IA IA Lúc đó: d A, .d H, d H, IH IH Một kết quả có nhiều ứng dụng để tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng đối với tứ diện vuông (tương tư như hệ thức lượng trong tam giác vuông) là: Nếu tứ diện OABC có OA,OB,OC đôi một vuông góc và có đường cao OH thì 1 1 1 1 . OH 2 OA2 OB2 OC 2 Câu 1: Cho hình chóp S.ABC trong đó SA , AB , BC vuông góc với nhau từng đôi một. Biết SA a 3 , AB a 3 . Khoảng cách từ A đến SBC bằng: a 3 a 2 2a 5 a 6 A. . B. . C. . D. . 2 3 5 2 Hướng dẫn giải: Trang 11
Chọn D. Kẻ AH  SB . BC  SA Ta có: BC  SAB BC  AH . BC  AB Suy ra AH  SBC d A; SBC AH . Trong tam giác vuông SAB ta có: 1 1 1 SA.AB 6a 2 2 2 AH . AH SA AB SA2 AB2 2 Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD có SA  ABCD , đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết AD 2a , SA a . Khoảng cách từ A đến SCD bằng: 3a 2 2a 3 2a 3a A. . B. . C. . D. . 2 3 5 7 Hướng dẫn giải: Chọn C. Kẻ AH  SD , mà vì CD  SAD CD  AH nên d A;SCD AH . Trong tam giác vuông SAD ta có: 1 1 1 AH 2 SA2 AD2 SA.AD a.2a 2a AH . SA2 AD2 4a2 a2 5 Câu 3: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC cạnh đáy bằng 2a và chiều cao bằng a 3 . Tính khoảng cách từ tâm O của đáy ABC đến một mặt bên: a 5 2a 3 3 2 A. . B. . C. a . D. a . 2 3 10 5 Hướng dẫn giải: Chọn C. SO  ABC , với O là trọng tâm của tam giác ABC . M là trung điểm của BC . Kẻ OH  SM , ta có BC  SO BC  SOM BC  OH BC  MO nên suy ra d O; SBC OH . 1 a 3 Ta có: OM AM 3 3 1 1 1 OH 2 SO2 OM 2 a 3 a 3. SO.OM 3a 3 OH 3 a . 2 2 3 30 10 SO OM 3a2 a2 9 Câu 4: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a . Khoảng cách từ A đến BCD bằng: a 6 a 6 a 3 a 3 A. . B. . C. . D. . 2 3 6 3 Hướng dẫn giải: Trang 12
Chọn B. Ta có: AO  BCD O là trọng tâm tam giác BCD . 3a2 a 6 d A; BCD AO AB2 BO2 a2 . 9 3 Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O cạnh a và có góc B· AD 60o. Đường thẳng 3a SO vuông góc với mặt phẳng đáy ABCD và SO . Khoảng cách từ O đến mặt phẳng SBC 4 là: a 3a 3a a 3 A. . B. . C. . D. . 3 4 8 4 Hướng dẫn giải: Trong mặt phẳng ABCD : kẻ OK  BC K BC . Mà BC  SO nên suy ra hai mặt phẳng SOK và SBC vuông góc nhau theo giao tuyến SK. Trong mặt phẳng SOK : kẻ OH  SK H SK . Suy ra: OH  SBC d O, SBC OH. S Câu 6: Cho hai tam giác ABC và ABD nằm trong hai 3a/4 mặt phẳng hợp với nhau một góc 60o , ABC cân ở C, H ABD cân ở D. Đường cao DK của ABD bằng12cm. D a C Khoảng cách từ D đến ABC bằng a O 60 K 3 3 cm 6 3 cm A A. B. C. a B 6 cm D. 6 2 cm Hướng dẫn giải: Gọi M là trung điểm AB suy ra: Gọi H là hình chiếu vuông góc của D lên CM DH d(D,(ABC)) DH sin 600.DM 6 3 Chọn đáp án B. Câu 7: Cho hình lập phương ABCD.A B C D có cạnh bằng a. Khi đó khoảng cách từ tâm của hình lập phương đến mặt phẳng (BDA ) bằng Trang 13
a 3 a 3 A. a 2 . B. a 3 . C. . D. . 3 6 Hướng dẫn giải: Bài toán chứng minh AC  A BD trong sách giáo B C K khoa đã có. Không chứng minh lại. A D Dễ dàng tìm được AC a 3 J O 1 a 3 d O, A BD OJ AC B' C' 6 6 Đáp án: D A' D' Câu 8: Cho hình lập phương ABCD.A B C D cạnh a. Khoảng cách từ A đến (BDA ) bằng a 2 a 3 a 3 a 6 A. . B. . C. . D. . 2 3 2 3 Hướng dẫn giải: A AC '  BDA  1 D Ta có  d A, BDA AG AC B C AC ' BDA G 3  G a 3 d A, BCA 3 A' Đáp án B. D' B' C' Câu 9: Cho hình lập phương ABCD.A B C D cạnh a. Khoảng cách từ A đến (B CD ) bằng a 2 a 3 2a 3 a 6 A. . B. . C. . D. . 2 3 3 3 Hướng dẫn giải: Ta có: AB ' AC AD ' B ' D ' B 'C CD ' a 2 A' D' Nên tứ diện AB 'CD ' là tứ diện đều. Gọi I là trung điểm B 'C , G là trọng tâm tam giác B 'CD '. B' C' Khi đó ta có: d A; B 'CD ' AG G 3 a 6 I Vì tam giác B 'CD ' đều nên D ' I a 2. . A 2 2 D 2 a 6 Theo tính chất trọng tâm ta có: D 'G D ' I . 3 3 B C Trong tam giác vuông AGD ' có: 2 2 2 2 a 6 2a 3 AG D ' A D 'G a 2 . Chọn C 3 3 Câu 10: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A với AB a. Mặt bên chứa BC của hình chóp vuông góc với mặt đáy, hai mặt bên còn lại đều tạo với mặt đáy một góc 45 . Tính khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng đáy (ABC). a a 2 a 3 3a A. . B. . C. . D. . 2 2 2 2 Hướng dẫn giải: Trang 14
Gọi H là hình chiếu của S lên ABC , vì mặt bên SBC vuông S góc với (ABC) nên H BC. Dựng HI  AB,HJ  AC , theo đề bài ta có S· IH S· JH 450 . Do đó tam giác SHI SHJ (cạnh góc vuông - góc nhọn) A J C Suy ra HI HJ . Lại có Bµ Cµ 450 BIH CJH HB HC I H Vậy H trùng với trung điểm của BC . Từ đó ta có HI là đường AC a trung bình của tam giác ABC nên HI . 2 2 B Tam giác SHI vuông tại H và có S· IH 450 SHI vuông cân. a Do đó: SH HI .Chọn đáp án A. 2 Câu 11: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh bên bằng b, cạnh đáy bằng d , với d b 3. Hãy chọn khẳng định đúng trong các khẳng định bên dưới. 1 A. d S,(ABC) b2 d 2 . B. d S,(ABC) b2 d 2 . 2 1 C. d S,(ABC) b2 d 2 . D. d S,(ABC) b2 d 2 . 3 Hướng dẫn giải: Gọi I là trung điểm của BC , H là trọng tâm tam giác ABC . Do S.ABC là hình chóp đều nên SH  ABC d S, ABC SH . d 2 d 3 Ta có AI AB2 BI 2 d 2 . S 4 2 2 d 3 d 2 AH AI SH SA2 AH 2 b2 . ChọnC. 3 3 3 A C H I B a 3 Câu 12: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và đường cao SO . Khoảng 3 cách từ điểm O đến cạnh bên SA bằng a 6 a 3 A. a 6 . B. . C. a 3 . D. . 6 3 Hướng dẫn giải: S Vì hình chóp S.ABC đều có SO là đường cao O là tâm của ABC Gọi I là trung điểm cạnh BC . H a 3 2 a 3 Tam giác ABC đều nên AI AO AI . 2 3 3 A C O I Trang 15 B
Kẻ OH  SA . d O, SA OH . Xét tam giác SOA vuông tại O : 1 1 1 1 1 6 a 6 2 2 2 2 2 2 OH . OH SO OA a 3 a 3 a 6 3 3 Câu 13: Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm của AD. Khoảng cách từ A1 đến mặt phẳng C1D1M bằng bao nhiêu? 2a 2a 1 A. B. C. a D. a 5 6 2 Hướng dẫn giải: A M Gọi N là trung điểm cạnh DD1 và H A1N MD1 A M D D Khi đó ta chứng minh được A N  MD B C 1 1 N suy ra A1N  (C1D1M ) H N 2 2 D1 A1D1 A1D1 A1 d A1,(C1D1M ) AH A D A N 2 2 1 1 B C 1 A1D1 ND1 1 1 2a d A ,(C D M ) 1 1 1 5 Chọn đáp án A. Câu 14: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 3a, cạnh bên bằng 2a . Khoảng cách từ S đến mặt phẳng ABC bằng: A. 4a. B. 3a. C. a. D. 2a. Hướng dẫn giải: S  Gọi G là trọng tâm tam giác ABC . Do S.ABC là chóp đều nên SG  ABC . 2a 3a 3 2  AM AG AM a 3. 2 3 A C  SAG vuông tại SG SA2 AG2 4a2 3a2 a. G 3a M Chọn đáp án C. B Câu 15: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng a 2 . Tính khoảng cách từ tâm O của đáy ABCD đến một mặt bên: a 3 a 2 2a 5 a 10 A. . B. . C. . D. . 2 3 3 5 Hướng dẫn giải: Chọn B. SO  ABCD , với O là tâm của hình vuông ABCD . M là trung điểm của CD . Kẻ OH  SM , ta có: DC  SO DC  SOM DC  OH . DC  MO nên suy ra d O; SCD OH . 1 a Ta có: OM AD 2 2 1 1 1 SO.OM 2a 2 2 2 OH . OH SO OM SO2 OM 2 3 Trang 16
Câu 16: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là nửa lục giác đều ABCD nội tiếp trong đường tròn đường kính AD 2a và có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy ABCD với SA a 6 . Khoảng cách từ A và B đến mặt phẳng SCD lần lượt là: a 2 a 3 a 2 a 3 A. a 2 ; B. a 2 ; C. a 3 ; D. a 3 ; 2 2 2 2 Hướng dẫn giải: S 1 1 1 1  d A, SCD AH; AH a 2 . AH 2 6a2 3a2 2a2 H 1 a 2  d B, SCD d I, SCD .d A, SCD . 2 2 Chọn đáp án A. A I D B C Trang 17
Câu 17: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A1B1C1D1 có ba kích thước AB = a, AD = b, AA1 = c. Trong các kết quả sau, kết quả nào sai? A. khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CC1 bằng b. ab B. khoảng cách từ A đến mặt phẳng (B1BD) bằng . a2 b2 abc C. khoảng cách từ A đến mặt phẳng (B1BD) bằng . a2 b2 c2 2 2 2 D. BD1 a b c Hướng dẫn giải: A1 B1  d AB,CC1 BC b Câu A đúng.  c 2 2 1 1 1 a b ab D1 C1 d A, B1BD AH; 2 2 2 2 AH . AH a b ab a2 b2 A a Câu B đúng. B  Suy ra câu C sai. b  Suy ra câu D đúng, đường chéo hình chữ nhật bằng H 2 2 2 D C BD1 a b c . Chọn đáp án C. Câu 18: Cho hình chóp S.ABCD có mặt đáy là hình thoi tâm O, cạnh a và góc B· AD 120 , đường cao SO a. Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SBC) . a 67 a 47 a 37 a 57 A. . B. . C. . D. . 19 19 19 19 Hướng dẫn giải: Vì hình thoi ABCD có B· AD bằng 120 Suy ra tam giác ABC đều cạnh a . S Kẻ đường cao AM của tam giác ABC a 3 AM . 2 AM a 3 Kẻ OI  BC tại I OI . 2 4 Kẻ OH  SI OH  SBC A H B d O, SBC OH 120o Xét tam giác vuông SOI ta có: O M 1 1 1 a 57 I OH . D C OH 2 SO2 OI 2 19 Chọn D . Câu 19: Cho hình chóp S.ABCD có mặt đáy ABCD là hình chữ nhật với AB 3a; AD 2a. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt phẳng ABCD là điểm H thuộc cạnh AB sao cho AH 2HB. Góc giữa mặt phẳng SCD và mặt phẳng ABCD bằng 60 . Khoảng từ điểm A đến mặt phẳng SBC tính theo a bằng a 39 3a 39 6a 39 6a 13 A. . B. . C. . D. . 13 13 13 13 Trang 18
Hướng dẫn giải: S Kẻ HK  CD góc giữa hai mặt phẳng SCD và ABCD · là SKH 60 I Có HK AD 2a , SH HK.tan 60 2a 3 Có BC  SAB , J Kẻ HJ  SB , mà HJ  BC HJ  SBC B C d A, SBC BA 60o 3 d H, SBC BH H K d A, SBC 3.d H, SBC 3HJ A D 1 1 1 1 1 13 Mà HJ 2 HB2 SH 2 a2 12a2 12a2 2a 39 6a 39 HJ d A, SBC . 13 13 ChọnC. Câu 20: Cho hình chóp S.ABCD có mặt đáy ABCD là hình thoi cạnh a; A· BC 120 . Hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt phẳng ABCD là trọng tâm G của tam giác ABD, A· SC 90 . Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng SBD tính theo a bằng a 3 a 3 a 2 a 6 A. . B. . C. . D. . 6 3 3 3 Hướng dẫn giải: S Xác định khoảng cách: - Đặc điểm của hình: Có đáy là hình thoi, góc A· BC 120 a 3 nên tam giác ABD đều cạnh a; AC a 3; AG 3 Tam giác SAC vuông ở S , có đường cao SG nên H a 3 a 6 SA AG.AC .a 3 a ; SG 3 3 D C G Xét hình chóp S.ABD có chân đường cao trùng với tâm O A B của đáy nên SA SB SD a . - Dựng hình chiếu của Alên mặt phẳng SBD : Kẻ đường cao AH của tam giác SAO với O là tâm của hình thoi. BD  AC BD  SAO BD  AH BD  SG AH  BD AH  SBD . Vậy d A, SBD AH AH  SO - Tính độ dài AH SG.AO AH SO a 3 a 6 a 3 Với AO ; SG ; SO 2 3 2 a 6 AH . 3 Trang 19
Cách khác: Nhận xét tứ diện S.ABD có tất cả các cạnh bằng a; Do đó S.ABD là tứ diện đều, vậy a 6 AH SG . 3 Chọn đáp án D . Câu 21: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M , N lần lượt là trung điểm các cạnh AD, DC. Góc giữa mặt phẳng SBM và mặt phẳng ABCD bằng 45 . Khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng SBM bằng a 3 a 2 a 3 a 2 A. . B. . C. . D. . 3 3 2 2 Hướng dẫn giải: + Đặc điểm của hình: Đáy là hình vuông S ABCD nên AN  BM . Góc giữa mặt phẳng SBM và mặt phẳng ABCD là góc ·AIS 45 .Vậy tam giác ASI vuông cân tại A. AI a - Xác định khoảng cách: a d D, SBM d A, SBM AH . Với H là chân đường cao của tam giác ASI . 1 1 1 2 - Tính AH : AH 2 AS 2 AI 2 a2 A M D a 2 j AH . Chọn đáp án D 2 I N B C Câu 22: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng ABCD là trung điểm H của cạnh AD, góc giữa hai mặt phẳng SAC và ABCD bằng 60 . Khoảng cách từ H đến mặt phẳng SBC tính theo a bằng a 11 a 11 a 33 2a 33 A. . B. . C. . D. . 33 11 11 11 Hướng dẫn giải: - Đặc điểm của hình: Góc giữa hai mặt phẳng S SAC và ABCD là S· IH 60 . a 2 a 6 IH SH IH.tan 600 4 4 - Xác định khoảng cách: d H, SAC HK . Với HK là đường cao của tam giác SHM với M là trung K điểm BC . - Tính HK . Xét tam giác vuông SHM có D C 1 1 1 1 1 11 H 2 2 2 2 2 2 O M HK HS HM 6a a 3a A 4 B 33a HK . Chọn đáp án C 11 Trang 20
Câu 23: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ABCD trùng với trọng tâm của tam giác ABD. Cạnh bên SD tạo với mặt phẳng ABCD một góc bằng 60 . Khoảng cách từ A tới mặt phẳng SBC tính theo a bằng 3a 285 a 285 a 285 5a 285 A. . B. . C. . D. . 19 19 18 18 Hướng dẫn giải: 2 5a Đặc điểm hình: Góc giữa SD tạo với mặt phẳng ABCD là S· DE 60 . DE OD2 OE 2 ; 6 2 15 SE DE.tan 600 a 6 Xác định khoảng cách S 3 3 d A, SBC d E, SBC EH 2 2 Tính EH : 1 1 1 1 1 57 2 2 2 2 2 2 EH EK ES 2a 2 15a 20a 3 6 H 600 2 5a D EH . Vậy A 57 E 3 3 a 285 O d A, SBC d E, SBC EH . 2 2 19 B C Chọn đáp án B. K Câu 24: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm I với AB 2a 3; BC 2a . Biết chân đường cao H hạ từ đỉnh S xuống đáy ABCD trùng với trung điểm đoạn DI và SB hợp với mặt phẳng đáy ABCD một góc 60 . Khoảng cách từ D đến SBC tính theo a bằng a 15 2a 15 4a 15 3a 15 A. . B. . C. . D. . 5 5 5 5 Hướng dẫn giải: Đặc điểm của hình: Góc giữa SB tạo với mặt phẳng S 3 ABCD là S·BM 60 . BM BD 3a ; 4 SM BM.tan 600 3 3a Xác định khoảng cách: 4 4 d D, SBC d M , SBC MH 3 3 Tính khoảng cách MH : 1 1 1 1 1 5 H 2 2 2 2 2 2 MH MK MS 3 3 3a 27a .2 3a 4 A D M I 27 B MH a , vậy 5 K C 4 4 4 15 d D, SBC d M , SBC MH a 3 3 5 Chọn đáp ánC. Trang 21
Câu 25: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB a, AC 2a, SA vuông góc với mặt phẳng ABCD , SC tạo với mặt phẳng SAB một góc 30 . Gọi M là một điểm trên cạnh AB sao cho BM 3MA. Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng SCM là 34a 2 34a 3 34a 4 34a A. . B. . C. . D. . 51 51 51 51 Đặc điểm của hình: SC tạo với mặt phẳng S SAB góc C· SB 30 . BC 3a ; 0 SB BC.tan 30 a ; 300 2 3a 2 57 a MC 3a a ; MA ; 4 4 4 AC 2a ; AS 2 2a H 2S 19 AK AMC a MC 19 D A Xác định khoảng cách: d A, SBC AH M Tính AH K B 1 1 1 1 1 153 C 2 2 2 2 2 2 AH AK AS 19 2 2a 8a a 19 2 34 Vậy d A, SBC AH 51 Chọn đáp án B. Câu 26: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M , N và P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AD và DC. Gọi H là giao điểm của CN và DM , biết SH vuông góc ABCD , SH a 3 . Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng SBP tính theo a bằng a 2 a 3 a 3 a 2 A. . B. . C. . D. . 4 2 4 2 Hướng dẫn giải: Ta chứng minh : NC  MD Thật vậy : ADM DCM vì µA Dµ 900 ; AD DC; AM DN ·ADM D· CN; mà ·ADM M· DC 900 M· DC D· CN 900 NC  MD Ta có : BP  NC MD / /BP ; BP  SH BP  SNC SBP  SNC Kẻ HE  SF HE  SBP d H,(SBP) d(C,(SBP)) HE Trang 22
DC 2 2a 5 a 5 Do DC 2 HC.NC HC HF NC 5 5 SH.HF SH.HF a 3 Mà HE SF SH 2 HF 2 4 Câu 27: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân có hai đường chéo AC, BD vuông góc với nhau, AD 2a 2; BC a 2 . Hai mặt phẳng SAC và SBD cùng vuông góc với mặt đáy ABCD . Góc giữa hai mặt phẳng SCD và ABCD bằng 60 . Khoảng cách từ M là trung điểm đoạn AB đến mặt phẳng SCD là a 15 a 15 3a 15 9a 15 A. . B. . C. . D. . 2 20 20 20 Hướng dẫn giải: Do SAC  ABCD , SBD  ABCD , SAC  SBD SO SO  ABCD Dựng góc giữa SCD ,(ABCD) : SCD  ABCD DC . Kẻ OK  DC SK  DC ·SCD , ABCD S· KO Kéo dài MO cắt DC tại E Ta có : S µ ¶ µ ¶ ¶ ¶ µ ¶ µ µ · 0 µ 0 A1 D1; A1 M1;M1 M 2 O1 D1 O1;O1 EOD 90 E 90 E  K 2a.a AB a 5 9a 5 2a 2 Ta có: OK ;OM ;MK A D a 5 2 2 10 H 1 d(O,(SCD)) OE 9 1 d M ,(SCD) d(M ,(SCD)) ME 4 M 60° 2 K 9 9 1 d O,(SCD) OH O 1 4 4 E 2a 15 OS OK.tan 600 B a 2 C 5 OK.OS a 15 9a 15 OH d M ,(SCD) OK 2 OS 2 5 20 Câu 28: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, mặt bên SAD là tam giác vuông tại S, hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ABCD là điểm H thuộc cạnh AD sao cho HA 3HD. Gọi M là trung điểm của cạnh AB. Biết rằng SA 2 3a và đường thẳng SC tạo với mặt đáy một góc 30 . Khoảng cách từ M đến mặt phẳng SBC tính theo a bằng 2 66a 11a 2 66a 66a A. . B. . C. . D. . 11 66 11 11 Hướng dẫn giải: S SC có hình chiếu vuông góc lên mp ABCD là HC S·C, ABCD S· CH 300 Đặt AD 4x x 0 2 3a Ta có : K 2 2 2 SA AH.AD 12a 12x x a AD 4a, AH A3a, HD a H D M 30° Trang 23 B E C
Mà : SH SA2 AH 2 a 3 HC 3a DC 2 2a Kẻ HE  BC, SH  BC SHE  SBC HK Kẻ HK  SE HK  SBC d H, SBC HK d M ,(SBC) 2 SH.EH 2a 66 a 66 HK d M ,(SBC) SH 2 EH 2 11 11 Câu 29: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm I, AB a; BC a 3 , tam giác SAC vuông tại S. Hình chiếu vuông góc của S xuống mặt phẳng đáy trùng với trung điểm H của đoạn AI. Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng SAB tính theo a bằng a 3 a 3 3a 3 a 3 A. . B. . C. . D. . 2 4 4 2 Hướng dẫn giải: Ta có : AC AB2 BC 2 2a , mà SAC vuông S AB tại S SI a 2 a2 a 3 SH SI 2 HI 2 a2 4 2 Kẻ HK  AB; AB  SH AB  KHS SAB  (KHS) E Mà SAB  KHS SK . Kẻ A D HE  SK HE  SAB d(H,(SCD)) HE K H d C, SAB CA I A HC  SAB 4 d C,(SAB) 4d(H,(SAB)) 4HE a d H,(SAB) HA B C a 3 a 3 a 3 . HK.SH a 15 2a 15 HE 4 2 d C,(SAB) HK 2 SH 2 3a2 3a2 10 5 16 4 Câu 30: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a tâm O, hình chiếu vuông góc của S trên ABCD là trung điểm của AO, góc giữa SCD và ABCD là 60 . Khoảng cách từ trọng tâm của tam giác SAB đến mặt phẳng SCD tính theo a bằng 2a 3 a 2 2a 2 a 3 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3 Hướng dẫn giải: S Chọn D. Ta có: HI CH 3 3a HI AD CA 4 4 L SH 3 3 tan 600 SH a HI 4 G 2 2 A 600 3 3a 3a 3 K D SI SH 2 HI 2 a H I 4 4 2 J O B C Trang 24
3 2 2 4 d G, SCD d J, SCD d K, SCD . .d H, SCD 2 3 3 3 3 3 3a a. 8 8 8 SH.HI 8 3 d H, SCD HL . 4 4 a 9 9 9 SI 9 3a 3 2 Câu 31: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC cân tại A, AB AC a, B· AC 120 . Hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng ABC trùng với trọng tâm G của tam giác ABC. Cạnh 3 bên SC tạo với mặt phẳng đáy một góc sao cho tan . Khoảng cách từ điểm C đến mặt 7 phẳng SAB tính theo a bằng a 13 3a 13 5a 13 3a A. . B. . C. . D. . 13 13 13 13 Hướng dẫn giải: Chọn B. Ta có: Gọi H là hình chiếu của J lên AB Gọi G là hình chiếu của G lên AB S Gọi I là hình chiếu của G lên SZ 7 BJ BA2 AJ 2 2BA.AJ.cos1200 a 2 1 1 3a S .AB.AJ.sin1200 JH.AB JH BAJ 2 2 4 GZ BG 2 3 GZ a JH BJ 3 6 SG 3 SG 3 SG tan I GC 7 BG 7 2 B BJ C 3 a G 2 7 0 J SG . a a Z 120 a 7 2 A SG.GZ H d C, SAB 3d G, SAB 3GI 3. SZ 3 a. a SG.GZ 3 13 3 3. 6 a 2 2 2 13 SG GZ 3 a2 a 6 Câu 32: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 60 . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC. Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng SMN tính theo a bằng a 7a 3a a A. . B. . C. . D. . 7 3 7 3 Hướng dẫn giải: Chọn A. Ta có: 2 3a Trong SGC vuông tại G suy ra SG GC 3 a. 3 2 Trang 25
Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của G trên MN và SE . Khi đó d C, SMN 3d G, SMN 3GF 1 1 2 GE d G,AC . .d M ,AC 2 2 3 S Ta có : 1 1 a 3 d M ,AC d B,AC . 3 6 12 Trong SGE vuông tại H suy ra a 3 .a GE.SG a GF 12 GE 2 SG2 2 7 a 3 2 a F 12 600 B N E C a G M A Câu 33: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Gọi I là trung điểm của cạnh AB. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt phẳng đáy là trung điểm H của CI, góc giữa đường thẳng SA và mặt đáy bằng 60 . Khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng SBC là a 21 a 21 4a 21 a 21 A. . B. . C. . D. . 4 29 29 29 2 29 Hướng dẫn giải: Chọn A. S Ta có: Trong ACI có trung tuyến AH suy ra 2 2 2 2 AI AC CI 7a2 a 7 AH . 4 16 4 a 21 Trong SHA vuông tại H suy ra SH AH 3 4 Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của H trên BC và SE . Khi đó d H, SBC HF F 1 1 a 3 B Ta có : HE d I, BC d A, BC . C 2 4 8 H E Trong SHE vuông tại H suy ra 0 I 60 a a 3 a 21 . A HE.SH a 21 HF 8 4 . 2 2 2 2 4 29 HE SH a 3 a 21 8 4 Trang 26
DẠNG 3: KHOẢNG CÁCH GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG. Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD có SA  ABCD , đáy ABCD là hình thang vuông cạnh a . Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD . Tính khoảng cách giữa đường thẳng IJ và SAD . a 2 a 3 a a A. . B. . C. . D. . 2 3 2 3 Hướng dẫn giải: Chọn C. Ta có: Vì IJ // AD nên IJ // SAD a d IJ; SAD d I; SAD IA . 2 Câu 2: Cho hình thang vuông ABCD vuông ở A và D , AD 2a . Trên đường thẳng vuông góc tại D với ABCD lấy điểm S với SD a 2 . Tính khỏang cách giữa đường thẳng DC và SAB . 2a a a 3 A. . B. . C. a 2 . D. . 3 2 3 Hướng dẫn giải: Chọn A. Vì DC // AB nên DC // SAB d DC; SAB d D; SAB . Kẻ DH  SA , do AB  AD , AB  SAnên AB  SAD DH  AB suy ra d D;SC DH . Trong tam giác vuông SAD ta có: 1 1 1 SA.AD 2a 2 2 2 DH . DH SA AD SA2 AD2 3 2a Câu 3: Cho hình chóp O.ABC có đường cao OH . Gọi M 3 và N lần lượt là trung điểm của OA và OB . Khoảng cách giữa đường thẳng MN và ABC bằng: a a 2 a a 3 A. . B. . C. . D. . 2 2 3 3 Hướng dẫn giải: Chọn D. Vì M và N lần lượt là trung điểm của OA và OB nên MN // AB MN // ABC . 1 a 3 Ta có: d MN; ABC d M ; ABC OH (vì M 2 3 là trung điểm của OA). Câu 4: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB SA 2a. Khoảng cách từ đường thẳng AB đến SCD bằng bao nhiêu? S a 6 a 6 a A. . B. . C. . D. a. 2 3 2 Hướng dẫn giải: H A Gọi I, M lần lượt là trung điểm cạnh AB và CD thì CD  (SIM ) D I O TrangM 27 B C
Vẽ IH  SM tại H SM thì IH  (SCD) SO.IM d AB,(SCD) d I,(SCD) IH SM SAB đều cạnh 2a SI a 3 SM a 3 1 Và OM IM a SO SM 2 OM 2 a 2 2 SO.IM a 2.2a 2a 6 Cuối cùng d AB,(SCD) SM a 3 3 Chọn đáp án B. Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có SA  ABCD , đáy ABCD là hình thang vuông có chiều cao AB a . Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB vàCB . Tính khỏang cách giữa đường thẳng IJ và SAD . a 2 a a 3 a A. B. C. D. 2 2 3 3 Hướng dẫn giải: IJ / / AD IJ / /(SAD) a d IJ,(SAD) d I,(SAD) IA . 2 Chọn đáp án B. 2a Câu 6: Cho hình chóp O.ABC có đường cao OH . 3 Gọi M và N lần lượt là trung điểm của OA và OB . Tính khoảng cách giữa đường thẳng MN và ABC . a 3 a 2 a a A. . B. . C. . D. . 3 2 2 3 Hướng dẫn giải: Khoảng cách giữa đường thẳng MN và ABC : OH a 3 d MN, ABC d MNP , ABC . 2 3 2a Câu 7: Cho hình chóp O.ABC có đường cao OH . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của OA 3 và OB. Khoảng cách giữa đường thẳng MN và ABC bằng a a 2 a a 3 A. . B. . C. . D. . 2 2 3 3 Hướng dẫn giải: O Do MN // ABC d MN, ABC d M , ABC OA d O, ABC M P 2 d M , ABC MA d M , ABC Lại có N 1 OH a 3 d O, ABC A C 2 2 3 H Chọn D . B Trang 28
Chọn đáp án A. Câu 8: Cho hình chóp S.ABCD có SA  ABCD , mặt đáy ABCD là hình thang vuông có chiều cao AB a. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tính khoảng cách giữa đường thẳng IJ và SAD . a 2 a 3 a a A. . B. . C. . D. . 2 3 2 3 Hướng dẫn giải: S SA  ABCD SA  AI . Lại có AI  AD ( hình thang vuông) suy ra IA  SAD theo tính chất hình thang, nên IJ P AD D a A d IJ, SAD d I, SAD IA 2 I J B C Câu 9: Cho hình thang vuông ABCD vuông ở A và D, AD 2a. Trên đường thẳng vuông góc với ABCD tại D lấy điểm S với SD a 2. Tính khoảng cách giữa DC và SAB . 2a a a 3 A. . B. . C. a 2 . D. . 3 2 3 Hướng dẫn giải: S *Trong tam giác DHA, dựng DH  SA ; *Vì DC / / AB d DC; SAB d D; SAB DH Xét tam giác vuông SDA có : 1 1 1 a 12 2a H DH DH 2 SD2 AD2 3 3 D C Chọn A. A B Câu 10: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a. Khi đó khoảng cách giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (SCD) bằng a 6 a 6 2a 6 a 6 A. . B. . C. . D. . 2 4 9 3 Hướng dẫn giải: Gọi O là tâm hình vuông ABCD S Khi đó SO  ABCD . Kẻ OI  CD,OH  SI OH  SCD a 2 a 2 Ta tính được AO , SO SA2 AO2 2 2 AD a H OI A 2 2 D 1 1 1 a 6 a 6 OH d A, SCD . OH 2 SO2 OI 2 6 3 O I Chọn D . B C Trang 29
Câu 11: Cho hình lập phương ABCD.A B C D có cạnh bằng a. Khi đó, khoảng cách giữa đường thẳng BD và mặt phẳng (CB D ) bằng a 2 2a 3 a 3 a 6 A. . B. . C. . D. . 2 3 3 3 Hướng dẫn giải: Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ A 0;0;0 ; B 1;0;0 ; D 0;1;0 ; A 0;0;1 A' D' C 1;1;0 ; B 1;0;1 ; D 0;1;1 ;C 1;1;1   O' CB 0; 1;1 ;CD 1;0;1 Viết phương trình mặt phẳng CB D   B' C' Có VTPT n CB ;CD 1; 1; 1 A D CB D :1 x 1 1 y 1 1 z 0 0 x y z 2 0 H 1 0 0 2 1 3 O d BD; CB D d B; CB D a 12 12 12 3 3 a a 3 Vậy d BD; CB D . B C 3 Trang 30
DẠNG 4: KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI MẶT PHẲNG SONG SONG Câu 1: Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A B C D có cạnh đáy bằng a. Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của AD , DC , A ' D ' . Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng MNP và ACC ' . a 3 a a a 2 A. . B. . C. . D. . 3 4 3 4 Hướng dẫn giải: Chọn D. Ta có: MNP // ACA 1 a 2 d MNP ; ACA d P; ACA OD . 2 4 Câu 2: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A B C có các cạnh bên hợp với đáy những góc bằng 60 , đáy ABC là tam giác đều và A cách đều A , B , C . Tính khoảng cách giữa hai đáy của hình lăng trụ. a 3 2a A. a. B. a 2 . C. . D. . 2 3 Hướng dẫn giải: Chọn A. Vì VABC đều và AA A B A C A ABC là hình chóp đều. Gọi A H là chiều cao của lăng trụ, suy ra H là trọng tâm VABC , A AH 60 . a 3 A H AH.tan 60 3 a . 3 Câu 3: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 có cạnh bên bằng a. Các cạnh bên của lăng trụ tạo với o mặt đáy góc 60 . Hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng A1B1C1 là trung điểm của B1C1. Khoảng cách giữa hai mặt đáy của lăng trụ bằng bao nhiêu? 3 a 2 a A. a . B. . C. a . D. . 2 3 2 2 Hướng dẫn giải: Ta có: A 'H  ABC A· 'AH 60o. 3 d A'B'C ' , ABC A'H A' A.cos60o a . 2 Chọn đáp án A. Câu 4: Cho hình lăng trụ ABC.A B C có tất cả các cạnh đều bằng a. Góc tạo bởi cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng 30 . Hình chiếu H của A trên mặt phẳng A B C thuộc đường thẳng B C . Khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy là: Trang 31
a a 3 a a 2 A. . B. . C. . D. . 3 2 2 2 Hướng dẫn giải: A C  Do hình lăng trụ ABC.A B C có tất cả các cạnh đều bằng a suy ra a 3 a B AB AC B H HC A H AH . 2 2 Chọn đáp án C. A' C' H B' Câu 5: Cho hình lập phương ABCD.A B C D cạnh a. Khoảng cách giữa AB C và A DC bằng : a a 3 A. a 3 . B. a 2 . C. . D. . 3 3 Hướng dẫn giải: Ta có B C d AB C , A DC d B , A DC d D , A DC Gọi O là tâm của hình vuông A B C D . Gọi I là hình Chiếu của D trên O D , suy ra I là hình chiếu của D A trên A DC . D d AB C , A DC d D , A DC B C a 2 I .a D O .D D a 3 D I 2 . 2 2 2 3 O D O D D a 2 a2 A D 2 Chọn đáp án D. Câu 6: Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A B C D có cạnh đáy bằng a. Gọi M , N, P lần lượt là trung điểm của AD, DC, A D . Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng MNP và ACC . a a 2 a 3 a A. . B. . C. . D. . 3 4 3 4 Hướng dẫn giải: Nhận xét (ACC )  (ACC A ) Gọi O AC  BD, I MN  BD Khi đó, OI  AC, OI  AA OI  (ACC A ) 1 a 2 D' C' Suy ra d (MNP),(ACC ) OI AC 4 4 P Chọn đáp án B. D N C A' B' I M O D N C M A B A B Trang 32
Câu 7: Cho hình lập phương ABCD.A B C D có cạnh bằng a. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng (ACD ) và (BA C ) bằng A. khoảng cách từ điểm D đến đường thẳng A C . B. khoảng cách giữa hai điểm B và D . C. khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và A C . D. khoảng cách giữa trọng tâm của hai tam giác ACD và BA C Hướng dẫn giải: Ta có (ACD ) / /(BA C ) . A D DB  (ACD ) C (đã chứng minh trong SGK) B DB  (BA C ) Đáp án D. G G' A' D' B' C' Câu 8: Cho hình lập phương ABCD.A B C D có cạnh bằng a. Khi đó, khoảng cách giữa hai mặt phẳng (CB D ) và (BDA ) bằng a 2 a 3 2a 3 a 6 A. . B. . C. . D. . 2 3 3 3 Hướng dẫn giải: A D Vì A' BD / /(B 'CD ') nên ta có: d A' BD , B 'CD ' d C; A' BD d A; A' BD . B C Vì AB AD AA' a và A' B A' D BD a 2 nên G A.A' BD là hình chóp tam giác đều. I Gọi I là trung điểm A' B, G là trọng tâm tam giác A' BD . Khi đó ta có: d A; A' BD AG A' D' 3 a 6 Vì tam giác A' BD đều nên DI a 2. . 2 2 B' C' 2 a 6 Theo tính chất trọng tâm ta có: DG DI . 3 3 Trong tam giác vuông AGD có: 6a2 a 3 AG AD2 DG2 a2 . Chọn B 9 3 Câu 9: Cho hình lập phương ABCD.A B C D cạnh a. Khoảng cách giữa ACB và DA C bằng a 3 a A. a 3 . B. a 2 . C. . D. . 3 3 Hướng dẫn giải: Vì ACB ' / /(DA'C ') nên ta có: d ACB ' , DA'C ' d D; ACB ' d B; ACB ' . Vì BA BB ' BC a và AB ' AC CB ' a 2 nên A D B.ACB ' là hình chóp tam giác đều. I Gọi I là trung điểm AC, G là trọng tâm tam giác ACB ' . C Khi đó ta có: d B; ACB ' BG B 3 a 6 G Vì tam giác ACB ' đều nên B ' I a 2. . 2 2 A' D' B' TrangC' 33
2 a 6 Theo tính chất trọng tâm ta có: B 'G B ' I . 3 3 Trong tam giác vuông BGB ' có: 6a2 a 3 BG BB '2 B 'G2 a2 . Chọn C. 9 3 Câu 10: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A ' B 'C ' D ' có AB 4, AD 3. Mặt phẳng (ACD ') tạo với mặt đáy một góc 60 . Tính khoảng cách giữa hai mặt đáy của hình hộp. 6 3 12 3 4 3 5 3 A. . B. . C. . D. . 5 5 5 3 Hướng dẫn giải: Gọi O là hình chiếu của D lên AC . A' D' ACD'  ABCD AC Ta có AC DO B' C' AC D'O AC  ODD' OD' ·D ' AC , ABCD D· 'OD 600 A 3 2 2 AD.DC 12 D AC 3 4 5 ; DO 4 60 AC 5 O 12 3 Khoảng cách giữa hai mặt đáy là DD ' DO.tan 600 B C 5 Chọn đáp án B. Trang 34
DẠNG 5: KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU. Phương pháp: Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ta có thể dùng một trong các cách sau: Dựng đoạn vuông góc chung MN của a và b . Khi đó d a,b MN . Sau đây là một số cách dựng đoạn vuông góc chung thường dùng : Phương pháp 1 Chọn mặt phẳng ( ) chứa đường thẳng và song song với ' . Khi đó d(D,D ') = d(D ',(a)) M ' H Phương pháp 2 Dựng hai mặt phẳng song song và lần lượt chứa hai đường thẳng. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng đó là khoảng cách cần tìm. '  Phương pháp 3 Dựng đoạn vuông góc chung và tính độ dài đoạn đó. Trường hợp 1: và ' vừa chéo nhau vừa vuông góc với nhau Bước 1: Chọn mặt phẳng ( ) chứa ' và vuông góc với tại I . Bước 2: Trong mặt phẳng ( ) kẻ IJ  '. Khi đó IJ là đoạn vuông góc chung và d( , ') IJ . ' I J Trường hợp 2: và ' chéo nhau mà không vuông góc với nhau Bước 1: Chọn mặt phẳng ( ) chứa ' và song song với . Bước 2: Dựng d là hình chiếu vuông góc của D xuống ( ) bằng cách lấy điểm M dựng đoạn MN  , lúc đó d là đường thẳng đi qua N và song song với . Bước 3: Gọi H d  ', dựng HK PMN Khi đó HK là đoạn vuông góc chung và d( , ') HK MN . Trang 35
K M d H N ' Hoặc Bước 1: Chọn mặt phẳng ( )  tại I . Bước 2: Tìm hình chiếu d của ' xuống mặt phẳng ( ) . Bước 3: Trong mặt phẳng ( ) , dựng IJ  d , từ J dựng đường thẳng song song với cắt ' tại H , từ H dựng HM PIJ . Khi đó HM là đoạn vuông góc chung và d( , ') HM IJ . ' M H d I J Sử dụng phương pháp vec tơ   AM xAB   CN yCD a) MN là đoạn vuông góc chung của AB và CD khi và chỉ khi   MN.AB 0   MN.CD 0   OH  u1     b) Nếu trong có hai vec tơ không cùng phương u1,u2 thì OH d O, OH  u2 H   OH.u1 0   OH.u2 0 . H Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA vuông góc với đáy ABCD . Gọi K, H theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của A và O lên SD. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau? A. Đoạn vuông góc chung của AC và SD là AK. B. Đoạn vuông góc chung của AC và SD là CD. C. Đoạn vuông góc chung của AC và SD là OH. D. Các khẳng định trên đều sai. Hướng dẫn giải: Trang 36
Nếu AK  AC, do AK  AB AK  (ABC) S AK  SA (vì SA  (ABC) SA  SD SAD có 2 góc vuông (vô K lý). H Theo tính chất của hình vuông CD  AC . Nếu AC  OH, do AC  BD AC  (SBD) AC  SO SOA có A D 2 góc vuông (vô lý) O Như vậy AC  AK, AC  CD, AC  OH B C Chọn đáp án D. Câu 2: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Tính khoảng cách giữa AB và CD . a 3 a 2 a 2 a 3 A. B. . C. . D. . 2 3 2 3 Hướng dẫn giải: Chọn C. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB và CD . a 3 Khi đó NA NB nên tam giác ANB cân, suy ra 2 NM  AB . Chứng minh tương tự ta có NM  DC , nên d AB;CD MN . Ta có: SABN p p AB p BN p AN (p là nửa chu vi). a a 3 a a 3 a a 2a . . . . 2 2 2 2 4 1 1 2a Mặt khác: S AB.MN a.MN MN . ABN 2 2 2 3a2 a2 a 2 Cách khác. Tính MN AN 2 AM 2 . 4 4 2 Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD có SA  ABCD , đáy ABCD là hình chữ nhật với AC a 5 và BC a 2 . Tính khoảng cách giữa SD và BC . 3a 2a a 3 A. . B. . C. . D. a 3 . 4 3 2 Hướng dẫn giải: Chọn D. Ta có: BC // SAD d BC;SD d BC; SAD d B; SAD . AB  AD Mà AB  SAD d B; SAD AB . AB  SA Ta có: AB AC 2 BC 2 5a2 2a2 3a . Câu 4: Cho hình lập phương ABCD.A B C D có cạnh bằng a. Khoảng cách giữa BB ' và AC bằng: a a a 2 a 3 A. . B. . C. . D. . 2 3 2 3 Hướng dẫn giải: Chọn C. 1 a 2 Ta có: d BB ; AC d BB ; ACC ' A DB . 2 2 Trang 37
Câu 5: Cho hình lập phương ABCD.A B C D có cạnh bằng 1 (đvdt). Khoảng cách giữa AA' và BD ' bằng: 3 2 2 2 3 5 A. . B. . C. . D. . 3 2 5 7 Hướng dẫn giải: Chọn B. 1 2 Ta có: d AA ; BD d BB ; DBB D AC . 2 2 Câu 6: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Khoảng cách giữa hai cạnh đối AB và CD bằng a 2 a 3 a a A. . B. . C. . D. . 2 2 2 3 Hướng dẫn giải: Chọn A. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB và CD . a 3 Khi đó NA NB nên tam giác ANB cân, suy ra 2 NM  AB . Chứng minh tương tự ta có NM  DC , nên d AB;CD MN . Ta có: SABN p p AB p BN p AN (p là nửa chu vi). a a 3 a a 3 a a 2a . . . . 2 2 2 2 4 1 1 2a Mặt khác: S AB.MN a.MN MN . ABN 2 2 2 Câu 7: Cho khối lập phương ABCD.A'B'C 'D '. Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau AD và A'C ' là : A. AA'. B. BB'. C. DA '. D. DD '. Hướng dẫn giải: AA'  A' B 'C ' D ' AA'  A'C ' A'C '  A' B 'C ' D ' AA'  ABCD AA'  AD AD  (ABCD Chọn đáp án A. Câu 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CD nhận giá trị nào trong các giá trị sau? A. a. B. a 2. C. a 3. D. 2a. Trang 38
Hướng dẫn giải: Ta có: d CD, SB d CD, SAB AD a. Chọn phương án A. Câu 9: Cho tứ diện OABC trong đó OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau, OA OB OC a. Gọi I là trung điểm BC. Khoảng cách giữa AI và OC bằng bao nhiêu? a a 3 a A. a B. C. D. 5 2 2 Hướng dẫn giải: Gọi J là trung điểmOB . Kẻ OH vuông góc AJ tại H . Tam giác AOJ vuông tại O , có OH là đường cao A a a. OA.OJ a OH 2 2 2 2 5 OA OJ 2 a a 2 Ta có: OC//IJ nên OC// AIJ H Do đó: O C a 5 d AI,OC d OC, AIJ d O, AIJ OH . J I 5 Chọn đáp án B. B Câu 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B, AB BC a, AD 2a, SA vuông góc với mặt đáy và SA a. Tính khoảng cách giữa SB và CD. a 2 a a 3 a 2 A. . B. . C. . D. . 4 2 3 2 Hướng dẫ giải: Gọi H là trung điểm AD ta có: d(CD;SB) d(D;(SBH)) d(A;(SBH)) Mà 1 1 1 1 3 a 3 d(CD;SB) d2 (A;(SBH)) AS2 AB2 AH2 a 2 3 Chọn đáp án C Câu 11: Cho hình vuông ABCD và tam giác đều SAD nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau và AD a. Tính khoảng cách giữa AD và SB. a 21 a 21 a 15 a 15 A. . B. . C. . D. . 3 7 5 3 Hướng dẫn giải: Trang 39
Gọi E,F lần lượt là trung điểm AD,BC . Ta có: AD,BC  (SFE) , suy ra SF là hình chiếu của SB lên mặt phẳng (SEF) Nên 3 a a SE.FE 21 d(AD;SB) d(E;SF) 2 a 2 2 3 7 SE FE a 2 a 2 4 Chọn đáp án B Câu 12: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A1B1C1D1 có AA1 2a, AD 4a . Gọi M là trung điểm AD. Khoảng cách giữa hai đường thẳng A1B1 và C1M bằng bao nhiêu? A. 3a. B. 2a 2. C. a 2. D. 2a. B C Hướng dẫn giải: M Ta có A1B1 //C1D1 suy ra A D d A1B1,C1M d A1B1, C1D1M d A1, C1D1M B1 Vì AA1 2a, AD 4a và M là trung điểm AD nên A1M  D1M , C1 suy ra A1M  C1D1M A1 D1 d A1, C1D1M A1M 2a 2 . Chọn đáp án B. Câu 13: Cho hình lập phương ABCD.A B C D cạnh bằng a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và A B bằng bao nhiêu ? a 2 a 3 a 3 A. a 2 . B. . C. . D. . 2 3 2 Hướng dẫn giải: A' B '  A' A Ta có A' B '  ADD ' A' . A' B '  A' D ' Gọi H là giao điểm của AD ' với A' D . A' H  AD ' A' H  AD ' a 2 d A' B '; AD ' A' H . A' H  A' B ' 2 Chọn B. Câu 14: Cho hình lập phương ABCD.A B C D có cạnh bằng a. Khoảng cách giữa BB và AC bằng a a a 2 a 3 A. . B. . C. . D. . 2 3 2 3 Hướng dẫn giải: B C AA C C  AC Vì nên d BB ; AC d BB ; AA C C . AA C C //BB I Gọi I AC  BD . Vì ABCD.A B C D là hình A D lập phương nên BI  AA C C . B C a 2 Suy ra d BB ; AC d BB ; AA C C IB . 2 A D Trang 40
Chọn đáp án C. Câu 15: Hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D có AB 3, AD 4, AA 5. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và B D bằng bao nhiêu ? A. . 34 B. . 41 C. . 5 D. . 8 B Hướng dẫn giải: C ABCD // A B C D Ta có AC  ABCD ; B D  A B C D A D d AC; B D d ABCD ; A B C D AA 5 B C Chọn đáp án C. A D Câu 16: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng h. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau SA và BD. ah ah ah ah A. . B. . C. . D. . 3a2 h2 a2 h2 2a2 h2 a2 2h2 Hướng dẫn giải: Gọi O AC  BD . Gọi H là hình chiếu của O lên SA . Vì S.ABCD là hình chóp đều nên S BD  SAC BD  OH . Suy ra OH là đoạn vuông góc chung của BD, SA. OS.OA a 2.h ah OH . H OS 2 OA2 2h2 a2 2h2 a2 2 2 A D Chọn đáp án D. O B C Câu 17: Cho hai tam giác đều ABC và ABD cạnh x nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Khi đó khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD bằng x 6 x 3 x 3 x 6 A. . B. . C. . D. . 4 4 3 2 Hướng dẫn giải: C Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB, CD . ABC  ABD và hai tam giác ABC và ABD đều nên AB  CDI và CI DI suy ra IJ là đoạn vuông góc J chung Của hai đường thẳng AB, CD . Vì tam giác CDI vuông tại I và J là trung điểm của A D CD 2 I x 3 2. CD 2CI 2 2 x 6 B Nên IJ . 2 2 2 4 Chọn đáp án A. Câu 18: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt đáy (ABCD) và SA a. Tính theo a khoảng cách giữa SB và CD. Trang 41
a 2 a 3 A. .a 2 B. . a C. . D. . 2 2 Hướng dẫn giải: Ta có S d SB;CD d CD; SAB d D; SAB DA a . Chọn đáp án B. A D B C Câu 19: Cho hình chóp S.ABCD có mặt đáy ABCD là hình chữ nhật với AB a, AD 2a, SA vuông góc với mặt đáy và SA a. Tính khoảng cách giữa SA và BD theo a. a 3 2a 2a A. . B. . a 2 C. . D. . 2 3 5 Hướng dẫn giải: Vì SA  ABCD tại A và BD  ABCD nên S AB.AD 2a2 2a 5 d SA; BD d A; BD . AB2 AD2 5a2 5 Chọn đáp án D. A D B C Câu 20: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B, AB BC a, AD 2a, SA vuông góc với mặt đáy và SA a. Tính khoảng cách giữa AD và SB. a 2 a a 3 a 2 A. . B. . C. . D. . 4 2 3 2 Hướng dẫn giải: S Vì AD  SAB tại A và SB  SAB nên AS.AB a 2 d AD;SB d A;SB . 2 2 2 AS AB H Chọn đáp án D. A D B C Câu 21: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Biết hai mặt bên (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy và SA a 2. Khoảng cách giữa AD và SB là Trang 42
a 2 a 6 a 3 A. .a B. . C. . D. . 2 3 4 Hướng dẫn giải: Vì hai mặt bên (SAB) và (SAD) cùng vuông góc S với mặt phẳng đáy nên SA  ABCD . Vì AD  SAB tại A và SB  SAB nên AS.AB a 6 d AD;SB d A;SB AH . AS 2 AB2 3 H Chọn đáp án C. A D B C Câu 22: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a .Biết hai mặt bên (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy và SA a 2. Khoảng cách giữa SO và AB là a 2 a 6 a 3 A. .a B. . C. . D. . 3 3 4 Hướng dẫn giải: S Gọi E là trung điểm của AD khi đó d SO; AB d AB; SOE AH , với H là hình chiếu của A lên SE . a a 2. H EA.ES 2 a 2 Ta có AH . A E EA2 ES 2 a2 3 D 2a2 4 O Chọn đáp án B. B C Câu 23: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a .Biết hai mặt bên (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy và SA a 2. Khoảng cách giữa BD và SC là A. độ dài của đoạn thẳng OA . B. độ dài của đoạn thẳng BC . C. khoảng cách từ điểm O đến cạnh SC . D. khoảng cách từ điểm S đến đoạn BD . Hướng dẫn giải: S Vì hai mặt bên (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy nên SA  ABCD . Suy ra BD  SAC tại O , mà SC  SAC nên Khoảng cách giữa BD và SC bằng khoảng cách từ điểm O đến cạnh SC . Chọn đáp án C. A D O B C Câu 24: Cho hình chóp S.ABCD có SA  ABCD , đáy ABCD là hình chữ nhật với AC a 5 và BC a 2. Tính khoảng cách giữa SD và BC. 3a 2a a 3 A. . B. . C. . D. . a 3 4 3 2 Hướng dẫn giải: Trang 43
Dễ thấy BA  SAD S BC / / AD BC / / SAD d BC,SD d BC, SAD BA Xét tam giác vuông ABC có AB 5a2 2a2 a 3 Đáp án D B A D C Câu 25: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a, SA  ABCD và SA a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau SC và BD bằng a 6 A. . B. . a 6 C. . a 3 D. . a 6 Hướng dẫn giải: Dựng Cx / /BD , SC,Cx S BD / / d BD,SC d BD, 1 d BD, d O, d A, K 2 Dựng AK  SC . Dễ thấy AK  d A, AK B 1 1 1 1 1 1 a 6 A AK 2 2 2 2 2 2 AK SA AC AK a 2a 3 O a 6 D C Vậy d O, 6 Đáp án A. Câu 26: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a, SA  ABCD và SA a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau SB và CD bằng A. .a B. . a 2 C. . a 3 D. . a 6 Hướng dẫn giải: Dễ thấy AD  SAD S CD / / AB CD / / SAB d SB,DC d CD, SAB AD a Xét tam giác vuông ABC có AB 5a2 2a2 a 3 B Đáp án A A D C Câu 27: Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A1B1C1 có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng b. Tính khoảng cách giữa AB và CC1. a 2 a 3 ab 3 ab 3 A. . B. . C. . D. . 2 2 4a2 3b2 3a2 2b2 Hướng dẫn giải: Trang 44
Gọi M là trung điểm của AB A a C CC1 / AA1 CC1 / ABB1A1 d AB,CC1 . M a 3 B d CC1, ABB1A1 CM b 2 Đáp án B. A1 C1 B1 Câu 28: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và AB 2a, BC a. Các cạnh bên của hình chóp bằng nhau và bằng a 2 . Gọi E và F lần lượt là trung điểm của AB và CD; K là điểm bất kỳ trên AD. Khoảng cách giữa hai đường thẳng EF và SK là: a 3 a 6 a 15 a 21 A. . B. . C. . D. . 3 3 5 7 Hướng dẫn giải: Gọi O AC  BD, I là trung điểm cạnh đáy BC. Do SA SB SC SD nên SO  (ABCD) Từ đó ta chứng minh được BC  (SOI) S OH  (SBC) (với OH  BC tại SI ) EF //(SBC) Do nên d EF, SK d EF,(SBC) OH SK  (SBC) E H 1 a 5 a 3 A Thực hiện tính toán để được OC AC SO B 2 2 2 SO.OI a 21 O I Cuối cùng d EF, SK OH 2 2 SO OI 7 D F C Chọn đáp án D. Câu 29: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB a, cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA a 2. Gọi M là trung điểm của AB. Khoảng cách giữa SM và BC bằng bao nhiêu? a 2 a a 3 a 3 A. B. C. D. 3 2 3 2 Hướng dẫn giải: N AC. BC//(SMN) Gọi là trung điểm của cạnh đáy Khi đó S Nên d SM , BC d B,(SMN) d A,(SMN) Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên đoạn SM. Ta có thể chứng minh được MN  (SAM ), từ đó SA.AM a 2 AH  (SMN) d A,(SMN) AH H SA2 AM 2 3 N Chọn đáp án A. A C M B Câu 30: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a .Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và C Dbằng bao nhiêu? a a a A. B. C. a D. 2 2 3 Hướng dẫn giải: Trang 45
Gọi M , N lần lượt là trung điểm các cạnh CD, AB Tam giác MAB cân tại M và NCD cân tại N do đó MN  AB, MN  CD 2 2 A 2 2 a 3 a a 2 d AB,CD MN BM NB 2 2 2 N Chọn đáp án B. B D O M C Câu 31: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D có AB AA a , AC 2a . Tính khoảng cách giữa AC và CD : a 2 a a 3 a A. . B. . C. . D. . 2 3 2 2 Hướng dẫn giải: A' B' D' K C' A A a 2 B' a B H a 3 K a 3 2a D a C D H C'  Ta có hình chiếu của AC trên mặt phẳng DCC D là DC  D C nên AC  D 'C ADC B '  D 'C tại điểm H là trung điểm CD . Từ H ta kẻ HK  AC d AC , D C HK . 1 1 1 5a2 6 30 30  Ta có d a a HK a d 2 3a2 2a2 6a4 5 5 10 Chọn đáp án D. Câu 32: Cho hình lập phương ABCD.A B C D có cạnh bằng 1 (đvd). Khoảng cách giữa AA và BD bằng: 2 2 3 5 3 2 A. B. C. D. 5 7 3 2 Hướng dẫn giải: AA'/ /BB ' AA'/ /(DBB'D') Ta có : 2 d(AA') d A,(DBB ' D ') AO . 2 Trang 46
Câu 33: Khoảng cách giữa hai cạnh đối trong một tứ diện đều cạnh a là : a 2 A. .a 2 B. . a 3 C. . a 5 D. . 2 Hướng dẫn giải: Gọi M là trung điểm DC , H là hình chiếu vuông góc của M lênAB . BM  CD Ta có: CD  (ABM) AM  CD CD  MH MH d(AB,CD) AB  MH 2S a 2 MH ABM AB 2 Chọn đáp án D. Câu 34: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AC a 5 , BC a 2 . Đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính khoảng cách giữa SD và BC. 2a a 3 3a A. . B. . C. . D. a 3. 3 2 4 Hướng dẫn giải: S  Khoảng cách giữa SD và BC : d BC, SD CD a 3. Chọn đáp án D. D A a 3 B a 2 C Câu 35: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a . Các cạnh bên SA SB SC SD a 2 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SB là: a 7 a 42 a 6 a 6 A. B. C. D. 2 6 7 2 Hướng dẫn giải: S  Khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SB là: HK . a2 a 7 7a2 a2 a 6  SH SM 2a2 ;SO . 4 2 4 4 2 K 6 a .a SO.MH a 42  Có : HK 2 . SM 7 7 C a M D 2 O H Chọn đáp án C. B A a 17 Câu 36: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SD . Hình chiếu vuông góc 2 H của đỉnh S lên mặt phẳng ABCD là trung điểm của cạnh AB. Gọi K là trung điểm của AD . Tính khoảng cách giữa hai đường SD và HK theo a. Trang 47
3a a 3 a 21 a 7 A. . B. . C. . D. . 7 5 7 5 Hướng dẫn giải: S Ta có: HK / /BD HK / / SBD d HK, SD d HK, SBD d H, SBD Kẻ HI  BD , HJ  SI J A K D Khi đó: BD  HI , BD  SH BD  SHI BD  HJ H O Nên HJ  SBD d H, SBD HJ I 1 a 2 B Ta có: HI AO và C 2 2 5 HD2 HA2 AD2 a2 SH 2 SD2 HD2 3a2 4 SH 2.HI 2 3 a 21 a 21 Do đó: HJ 2 a2 HJ . Vậy d SD, HK SH 2 HI 2 7 7 7 Chọn đáp án C. Câu 37: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy là tam giác vuông tại A, AB AC b và có cạnh bên bằng b. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và BC bằng b 2 b 3 A. .b B. . C. . b 3 D. . 2 3 Hướng dẫn giải: A C Kẻ Ax / /BC BC / / AB x d BC, AB d BC, AB x d B, AB x B Kẻ BD  Ax, BK  DB Ta có: AD  BD, AD  BB AD  BDB K AD  BK . Dó đó: A BK  ADB d B, ADB BK C b 2 D Khi đó: BD AH H 2 x BD2.BB 2 b 3 Nên BK 2 B BD2 BB 2 3 Chọn đáp án D. Câu 38: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và ·ABC 60 . Hai mặt phẳng SAC và SBD cùng vuông góc với đáy, góc giữa hai mặt phẳng SAB và ABCD bằng 30 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA,CD theo a bằng: a 3 a 3 a 3 A. . B. . C. . D. . a 3 2 4 3 Hướng dẫn giải: Gọi O AC  BD . Kẻ OI  AB , OH  SI Ta có: S SAC  ABCD , SBD  ABCD SO  ABCD SAB  ABCD AB 0 Ta lại có: AB  OI S· AO 30 H AB  SI C B O TrangI 48 D A
Khi đó: CD / / AB CD / / SAB d CD, SA d CD, SAB d C, SAB 2d O, SAB Ta có: AB  SO, AB  OI AB  SOI AB  OH Nên OH  SAB d O, SAB OH 1 1 a 3 Mà OC AB a nên ·ABC O· CD 600 OI OC.sin 600 . 2 2 4 a 3 a 3 Do đó: OH OI.sin 300 d CD, SA 2OH 8 4 Chọn đáp án B. Câu 39: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm I, AB 2a; BD 3AC , mặt bên SAB là tam giác cân đỉnh A, hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng đáy trùng với trung điểm H của AI. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CD bằng: a 35 2a 35 2a 7 2a 35 A. . B. . C. . D. . 7 7 7 35 Hướng dẫn giải: S Ta có: CD / / AB CD / / SAB d CD, SB d CD, SAB d C, SAB 4d H, SAB Kẻ MH  AB, HK  SM Ta có: AB  HM , AB  SH AB  SHM HK  AB K Khi đó: HK  SAB d H, SAB HK A BI D Ta có:tan B· AC 3 B· AC 600 ABC đều M IA H 1 1 I AC 2a AH AC a B 4 2 C a 3 15a2 Mà HM AI.sin 600 và SH 2 SA2 AH 2 4 4 HM 2.SH 2 5a2 a 35 2a 35 Do đó: HK 2 HK d CD, SB 4HK HM 2 SH 2 28 14 7 Chọn đáp án B. Câu 40: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng ABC là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA 2HB. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ABC bằng 60 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo a là: a 42 a 42 3a 42 3a 42 A. . B. . C. . D. . 8 4 8 4 Hướng dẫn giải: Kẻ Ax / /BC, HI  Ax, HK  SI . Ta có: BC / / Ax BC / / SAx 3 d BC, SA d BC, SAx d B, SAx d H, SAx S 2 Ta lại có: AI  HI, AI  SH AI  SHI AI  HK Nên HK  SAI d H, SAI HK Gọi M là trung điểm của AB K C B H Trang 49 x I A
1 2 1 1 a 3 Khi đó: BH a, AH a, AM a, HM a,CM 3 3 2 6 2 a 7 và HC CM 2 MH 2 3 Mà SH  ABC CH là hình chiếu của SC lên ABC nên S· CH 600 a 21 Suy ra SH HC.tan 600 3 a 3 Do ·ABC H· AI 600 nên HI AH.sin 600 3 HI 2.SH 2 7 a 42 3 a 42 Khi đó: HK 2 a2 HK d BC, SA HK HI 2 SH 2 24 12 2 8 Chọn đáp án Câu 41: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , SA vuông góc với mặt phẳng ABC , gọi I là trung điểm cạnh BC . Biết góc giữa đường thẳng S Ivà mặt phẳng ABC bằng 600 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC. 4a 3a a a A. . B. . C. . D. . 3 4 4 3 Hướng dẫn giải: Hình chiếu vuông góc của SI trên mặt phẳng ABC là AI nên góc giữa SI và mặt phẳng ABC là S¶IA (vì tam giác SIA vuông tại A nên S¶IA nhọn). Suy ra S¶IA 600 . a 3 Xét tam giác SIA vuông tại A , S¶IA 600 , AI 2 3a nên SA . 2 Dựng hình bình hành ACBD , tam giác ABC đều nên tam giác ABD đều. Ta có AC / /BD, AC  SBD AC / / SBD mà SBD  SB d AC, SB d A, SBD . a 3 Gọi K là trung điểm đoạn BD, tam giác ABD đều suy ra AK  BD và AK mà BD  SA nên 2 BD  SAK . Dựng AH  SK, H SK lại có AH  BD suy ra AH  SBD Vậy d A, SBD AH. Xét tam giác SAK vuông tại vuông tại A , đường cao AH ta có 1 1 1 3a AH AH 2 AK 2 AS 2 4 3a d AC, SB d A, SBD . 4 Đáp án B. Câu 42: Cho hình chóp S.ABC tam giác ABC vuông tại B, BC a, AC 2a, tam giác SAB đều. Hình chiếu của S lên mặt phẳng ABC trùng với trung điểm M của AC Khoảng. cách giữa hai đường thẳng SA và BC là: Trang 50
a 66 2a 11 2a 66 a 66 A. . B. . C. . D. . 11 11 11 11 Hướng dẫn giải: Tam giác ABC vuông tại B, BC a, AC 2a suy ra AB a 3 . Tam giác SAM vuông tại M , SA a 3, AM a SM a 2 . Dựng hình bình hành ABCD , gọi N là trung điểm của AD . Do ·ABC 900 suy ra ABCD là hình chữ nhật suy raMN  AD. Lại có SM  AD nên AD  SMN . Dựng MH  SD, H SN . S Theo trên có AD  SMN MH  AD MH  SAD . Vậy d M , SAD MH . Ta có BC / / AD, BC  SAD BC / / SAD d SA, BC d BC, SAD B C Mà SA  SAD . d C, SAD 2d H, SAD 2MH. M H Xét tam giác SMN vuông tại M , đường cao A D a N MH, SM a 2, MN có 2 1 1 1 a 66 2a 66 MH d SA, BC MH 2 MN 2 MS 2 11 11 Câu 43: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành với AB 2a ; BC a 2 ; BD a 6 . Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ABCD là trọng tâm G của tam giác BCD, biết SG 2a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB theo a là: a a A. .a B. . 2a C. . D. . 2 3 Hướng dẫn giải: Ta có ABCD là hình bình hành, S AB 2a, BC a 2, BD a 6 nên ABCD là hình chữ nhật. Dựng hình bình hành ACEB . Ta có AC / /BE, AC  SBE AC / / SBE mà SBE  SB vậy d SB, AC d AC, SBE d G, SBE . Dựng GK  BE, K BE lại có SG  BE nên BE  SGK A D . H Dựng GH  SK, H SK lại có GH  BE nên G B C GH  SBE d G, SBE GH. K Ta có GK d B, AC . Tam giác ABC vuông tại B suy ra E 1 1 1 2a vậy GK d B, AC . d 2 B, AC BA2 BC2 3 2a Xét tam giác SGK vuông tại G , đường cao GH, SG 2a,GK có 3 Trang 51
1 1 1 GH a d SB, AC a . GH 2 GK 2 GS 2 Đáp án A. Câu 44: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB 4a; BC 3a, gọi I là trung điểm của AB, hai mặt phẳng SIC và SIB cùng vuông góc với ABC ,góc giữa hai mặt phẳng SAC và ABC bằng 60 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC theo a là: 12a 3 3a 3 2a 3 5a 3 A. . B. . C. . D. . 5 5 5 3 Hướng dẫn giải: Ta có SIC , SIB cùng vuông góc với mặt phẳng ABC nên SI  ABC . Dựng hình bình hành ACBE . Ta có AC / /BE, AC  SBE AC / / SBE mà SBE  SB vậy d SB, AC d AC, SBE d A, SBE . 2d I, SBE Dựng IK  BE, K BE lại có SI  BE nên BE  SGK . Dựng IH  SK, H SK lại có IH  BE nên IH  SBE d I, SBE IH. S Kéo dài IK cắt AC tại D mà SI  AC SID  AC . Lại có SAC  ABC AC . SAD  ABC AD SAD  ASC SD · · 0 A 600 D Góc giữa SAC và ABC bằng SDI suy ra SDI 60 . C 1 H Ta có ID IK d B, AC I 2 E Mà tam giác ABC vuông tại B suy ra K B 1 1 1 vậy d 2 B, AC BA2 BC2 12a ID IK d B, AC . 5 12a 12a 3 Xét tam giác SID vuông tại I , ID , S· DI 600 suy ra SI . 5 5 Xét tam giác SIK vuông tại I , đường cao IH có 1 1 1 6a 3 12a 3 IH d SB, AC . IH 2 IK 2 IS 2 5 5 Đã sửa đáp án A. Câu 45: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A. Gọi H, M lần lượt là trung điểm các cạnh BC và SC, SH vuông góc với ABC , SA 2a và tạo với mặt đáy góc 60 .Khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và BC là: a 3 a 7 a 21 a 7 A. . B. . C. . D. . 7 7 7 21 Trang 52
Hình chiếu vuông góc của SA trên mặt phẳng ABC là HA . S Vậy góc giữa SA và ABC là S· AH . Ta có S· AH 600 suy ra AH a, SH a 3 . Gọi N, I lần lượt là trung điểm của SB, SI . M I Ta có mặt phẳng AMN song song với BC và chứa AM . Vậy K N d AM , BC d BC, SAM d H, SAM . A C Dựng HK  AI, K AI . Ta có BC  SH, BC  MH BC  SMH . H BC  HK mà MN / /BC HK  MN B Do HK  AI (cách dựng). Suy ra HK  AMN d H, AMN HK . Xét tam giác IAH vuông tại H , đường cao HK 1 1 1 a 21 a 21 HK , d H, AMN HK HK 2 HA2 HI 2 7 7 Đáp án C. Câu 46: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB a, AD 2 2a . Hình chiếu vuông góc của điểm S trên mặt phẳng ABCD trùng với trọng tâm tam giác BCD. Đường thẳng SA tạo với mặt phẳng ABCD một góc 45 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SD theo a là: 2a 22 a 22 a 11 2a 11 A. . B. . C. . D. . 11 11 11 11 Hướng dẫn giải: Chọn A. Gọi M là trung điểm của SB . Mặt phẳng ACM chứa AC và song song SD . Do đó d(SD, AC) d(SD,(ACM )) d(D,(ACM )) . Chọn hệ tọa độ Oxyz như hình vẽ. Khi đó 2a 4 2a A 0;0;0 , B a;0;0 , D 0;2 2a;0 , S ; ;2a ,C a;2 2a;0 3 3 5a 2 2a   5a 2 2a M ; ;a . AC a;2 2a;0 , AM ; ;a 6 3 6 3   AC  AM 2 2a2; a2; 2a2 Mặt phẳng ACM đi qua điểm A và có vtpt n 2 2; 1; 2 nên có phương trình là 2 2a 2a 22 2 2x y 2z 0 d(D;(ACM )) . 8 1 2 11 Câu 47: Cho tứ diện ABCD có DA DB DC, tam giác ABC vuông tại A, AB a, AC a 3 . Ngoài ra DBC là tam giác vuông. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và CD, với M là trung điểm của BC . a 21 a 3 a 7 a 17 A. . B. . C. . D. . 7 7 7 7 Hướng dẫn giải: Trang 53
Chọn A. Gọi N là trung điểm BD. Ta chứng minh được CD / / AMN . Do đó d CD, AM d CD, AMN d C, AMN . Xét tứ diện ACMN . Thể tích tứ diện này là : 1 1 VACMN d C, AMN .S AMN d N, ACM .S ACM 3 3 d N, ACM .S ACM Suy ra d C, AMN (*) S AMN Gọi H là trung điểm BM . Khi đó, NH / /DM suy ra NH  ACM nên 1 1 NH d N, ACM DM a. (1) 2 2 1 a2 3 S S . (2) ACM 2 ABC 4 2 1 2 2 1 2 2 Áp dụng công thức trung tuyến AN AB AD DB a AN a. 2 2 1 Ta có AM BC a nên AMN cân tại A. Gọi K là trung điểm MN thì AK  MN. 2 CD a 2 a 14 MN . Trong tam giác vuông AKM , ta có AK . 2 2 4 1 a2 7 Suy ra S AK.MN . (3) AMN 2 8 a 21 a 21 Thay (1), (2), (3) vào (*) ta được d C, AMN . Vậy d CD, AM . 7 7 Câu 48: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a , hình chiếu của Smặt phẳng ABC là trung điểm H của cạnh AB . Góc tạo bởi SA và mặt phẳng ABC bằng 60 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC . 2 15 3 5 15 A. . a B. . a C. . D.a . a 5 5 5 5 Hướng dẫn giải: Chọn D. Ta có: Từ A Kẻ Ax song song với BC .Từ H kẻ HI  Ax .Từ H Kẻ KH  SI với SI thì: d SA, BC d B, SAx 2d H, SAx 2HK a 3 IH AH.sin 600 và 4 a a 3 SH AH.ta n 600 . 3 2 2 1 1 1 a 15 HK HK 2 SH 2 IH 2 10 a 15 d SA, BC 2d H, SAx 2HK 5 Trang 54
3a Câu 49: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SD . Hình chiếu vuông góc H 2 của đỉnh S lên mặt phẳng ABCD là trung điểm của đoạn AB. Gọi K là trung điểm của đoạn AD . Khoảng cách giữa hai đường thẳng HK và SD . a 2a a 3a A. . B. . C. . D. . 3 3 2 2 Hướng dẫn giải: Chọn A. Ta có: SD cắt ABCD tại D . Từ H kẻ HI  BD , HM  SI .Ta thấy HK song song BD : d HK, SD d H, SBD HM SHD : 9a 2 9a 2 a 2 SH SD2 HD2 AD2 AH 2 a2 a 4 4 4 AC a 2 IH 4 4 1 1 1 a HM HM 2 SH 2 IH 2 3 a d SA, BC d H, SBD HM 3 Câu 50: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB BC a , SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng 60 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC . 13 78 13 78 A. .2 a. B. . 2a. C. . D. a a. 13 13 13 13 Hướng dẫn giải: Chọn D. Gọi I là trung điểm của AC . Qua B kẻ đường thẳng d song song với AC , trong mặt phẳng ABC kẻ AE vuông góc với d tại E . Khi đó AE  BE và AE  AC . Ta có: AC//BE AC// SBE d AC, SB d A, SBE . Gọi AH là đường cao của SAE , ta có BE  SA BE  SAE BE  AH BE  AE Mặt khác AH  SE nên AH  SBE Do đó d AC, SB d A, SBE AH Vì SA  ABC nên hình chiếu của SC trên mặt phẳng (ABC) là AC suy ra gó giữa SC và mặt phẳng (ABC) là S· CA 60o Trang 55
a 2 Xét SAE vuông tại A có: AH là đường cao, SA tan 60o.AC 3.a 2 a 6 , AE BI 2 1 1 1 2 1 13 nên AH 2 AE 2 SA2 a2 6a2 6a2 6a2 a 78 AH 2 AH 13 13 a 78 Vậy d AC, SB 13 . Câu 51: Cho hình chóp S.ABC có cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy ABC , SA a 6 , AB AC a 3 , góc B· AC 120 , lấy điểm M trên cạnh BC sao cho MC 2MB. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SM và AC . 2a 42 a 42 a 3a A. . B. . C. . D. . 7 7 7 7 Hướng dẫn giải: Chọn B. Dựa vào định lý Côsin trong tam giác ta có: BC 2 AB2 AC 2 2AB.AC.cos B· AC BC 2 3a2 3a2 2.a 3.a 3.cos120 BC 2 9a2 BC 3a 2 CM BC 2a . 3 AM 2 CM 2 CA2 2CM.CA.cos M· CA AM 2 4a2 3a2 2.2a.a 3.cos30 AM 2 a2 AM a Xét tam giác ACM có CM 2 AM 2 AC 2 4a2 nên tam giác ACM vuông tại A suy ra AC  AM mà AC  SA nên AC  SAM Gọi H là hình chiếu của A trên SM , ta có AH  AC d AC, SM AH AH  SM Xét tam giác SAM có SA a 6 , AM a , AH là đường cao nên 1 1 1 1 1 7 AH 2 AM 2 SA2 a2 6a2 6a2 6a2 a 42 AH 2 AH 7 7 a 42 d AC, SM 7 Câu 52: Trong không gian cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, mặt phẳng SAB vuông góc với đáy, tam giác SAB vuông cân tại S. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC . 21 21 7 7 A. .a B. . 3a C. . aD. . 2a 7 7 7 7 Hướng dẫn giải: Chọn A. Trang 56
Kẻ SH ^ AB Þ SH ^ (ABC). Kẻ BM / / AC Þ AC/ / (SBM ) Þ d(AC,SB) = d(AC,(SBM )) = d(A,(SBM )) = 2d(H,(SBM )). Kẻ HK ^ BM, ta có: SH ^ BM Î (ABC) Þ BM ^ (SHK). Kẻ HQ ^ SK , ta có:BM ^ HQ Î (SHK) Þ HQ ^ (SBM) Þ d(H,(SBM )) = HQ. 1 1 1 Xét tam giác vuông SHK ta có: = + . HQ2 HK 2 SH 2 a a 3 a 3 Trong đó: SH= AH= (do tam giác SAB vuông cân tại S ), HK= HB.sin60o = . = . 2 2 2 4 1 16 4 28 a 21 a 21 Þ = + = Þ HQ = Þ d(AC,SB) = 2HQ = . HQ2 3a2 a2 3a2 14 7 Câu 53: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O, SD vuông góc với mặt phẳng ABCD , AD a, góc ·AOB 120 , góc giữa hai mặt phẳng SBC và ABCD bằng 45 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB . a 3 a 6 3a 3 5a 6 A. . B. . C. . D. . 4 4 4 4 Hướng dẫn giải: Chọn B. Vì: BC ^ DCïü ï · o ý Þ BC ^ (SDC) Þ SCD = 45 S BC ^ SD ï þï AD Þ SD = DC = = a 3. o tan 60 I Kẻ K a 3 OI / / SB(I Î SD) Þ ID= SI= , SB/ / (IAC) Þ 2 D C d(AC,SB) = d(SB,(IAC)) = d(B,(IAC)) H = d(D,(IAC)). O A Kẻ IH ^ AC Þ AC ^ (IDH ) Þ DH ^ AC. B Kẻ DK ^ IH, ta có: DK ^ AC(AC ^ (DIH)) Þ DK ^ (IAC) Þ d(D,(IAC))= DK. a 3 Xét tam giác vuông DHA : ta cóDH = a.sin 60o = Þ tam giác DHI vuông cân tại 2 a 6 DK = DH.sin 45o = . 4 Câu 54: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, BC a 3, AB a ; hai mặt phẳng SAC và SBD cùng vuông góc với mặt đáy ABCD và đường thẳng SC tạo với mặt đáy ABCD một góc 60 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC . 2 5a 3 15a 5a 15a A. . B. . C. . D. . 5 5 5 5 Hướng dẫn giải: Chọn D. Trang 57
Gọi O là giao điểm của AC và BD . Ta có SAC  SBD SO, SAC  ABCD , SBD  ABCD SO  ABCD . OC là hình chiếu vuông góc của SC trên mặt phẳng ABCD ·SC, ABCD S· CO 600 Gọi M là trung điểm của SD OM PSB SB P ACM Trong mặt phẳng SBD kẻ MH PSO MH  ABCD Khi đó d SB, AC d SB, ACM d B, ACM 2d H, ACM 2HI . 1 a 3 Ta có HK d D, AC 2 4 AC a 3 Có OC a SO OC.tan 600 a 3 MH 2 2 1 1 1 20 a 15 HI . Vậy HI 2 HM 2 HK 2 3a2 10 a 15 d SB, AC 2HI . 5 Câu 55: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B với AB BC a, AD 2a. Các mặt phẳng SAC và SBD cùng vuông góc với mặt đáy ABCD . Biết góc giữa hai mặt phẳng SAB và ABCD bằng 60 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng CD và SB . a 3 2a 3 2a 3 a 3 A. . B. . C. . D. . 5 5 3 3 Hướng dẫn giải: Chọn B. Gọi O là giao điểm của AC và BD . SAC  SBD SO, SAC  ABCD , Ta có . SBD  ABCD SO  ABCD Gọi E là trung điểm của AD , H AC  BE BE PCD CD P SBE d CD, SB d C, SBE . 3d O, SBE 3OI OM  AB, SO  AB SM  AB Kẻ SAB , ABCD S·MO 600 1 a 2 1 2a 2a 3 Tính AC a 2 OH AC , OM AD SO OM.tan 600 6 6 3 3 3 1 1 1 75 2a 2a 3 OI d CD, SB . OI 2 OH 2 SO2 4a2 5 3 5 Trang 58
Câu 56: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông. Đường thẳng SD tạo với đáy 3a 5 ABCD một góc 60 . Gọi M là trung điểm AB. Biết MD , mặt phẳng SDM và mặt phẳng 2 SAC cùng vuông góc với đáy. Khoảng cách giữa hai đường thẳng CD và SM theo a là: a 5 3a 5 a 15 3a 15 A. . B. . C. . D. . 4 4 4 4 Hướng dẫn giải: Chọn D. Ta có SMD  SAC SG suy ra SG  ABCD S Kẻ GH  AB , GK  SH Khi đó, d DC,SM d DC, SAB d D, SAB GD 3a 15 A B .d G, SAB 3GK M GM 4 G O D C Câu 57: Một hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh bên bằng 2 2 và tạo với mặt đáy một góc 45 . Tính khoảng cách giữa SA và BC . 3 2 3 2 3 3 3 2 A. . B. . C. . D. . 2 4 2 4 Hướng dẫn giải: Chọn A . S + Vì SABC là hình chóp tam giác đều nên SO  ABC ( Với O là trọng tâm của ABC ). + Xét SOA Vuông tại O có: J · 0 - SAO 45 mà H SA 2 2 nên OA SO 2. AI 3. - Với H là chân đường cao hạ từ O 1 1 1 A C Ta có: 2 2 2 OH 2. OH OA SO O + Trong SIA Gọi J là chân đường cao hạ từ I xuống I SA. Lại có BC  SAI nên BC  IJ . Từ đó IJ là đương vuông góc chung của SA & BC. B OH OA OH.AI 3 2 + Xét trong AIJ : IJ . IJ AI OA 2 3a Câu 58: Cho hình chóp S.ABCD có mặt đáy là hình thoi tâm O, cạnh a, B· AD 60 và SO . 4 Biết SA SC và SB SD. Hỏi khoảng cách giữa SA và BD bằng bao nhiêu ? 3a 3a 7 3a 7 3a A. . B. . C. . D. . 7 14 7 14 Hướng dẫn giải: SO  AC Ta có:  SO  (ABCD) DB  SO SO  DB S H DB  SO  Ta có:  BD  (SAC) A D BD  AC O Trang 59 B C
Trong mp (SAC) , kẻ OH  SA (H SA) , ta có: OH  SA,OH  BD 2 2 3a a 3 a 21 Do đó: d(SA, DB) OH . Ta có: SA SO2 OA2 4 2 4 Tam giác SOA vuông tại O, có OH là đường cao, ta có: SO.OA 3a a 3 4 3a 7 OH . . SA 4 2 a 21 14 3a 7 Vậy d(SA, DB) OH . 14 Chọn B. Câu 59: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đường cao SO 2, mặt bên hợp với mặt đáy một góc 60 . Khi đó khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SD bằng 4 3 3 2 A. . B. 2. C. 2 3 . D. . 3 2 Hướng dẫn giải: Gọi I là trung điểm của CD . Ta có: S SCD  (ABCD) CD  H (SOI)  CD  A D (SOI)  (ABCD) OI,(SOI)  (SCD) SI  600 (·SCD),(ABCD) (·OI,SI) 600 O I B Ta có: AB / /CD AB / /(SCD) C d(AB,SD) d(AB,(SCD)) d(A,(SCD)) 2d(O,(SCD)) SO 2 3 Trong mp (SOI) , kẻ OH  SI (H SI) , ta có: OH  (SCD) và OI tan 600 3 Do đó: d(O,(SCD)) OH . 4 4 Ta có: SI SO2 OI 2 22 3 3 SO.OI 2 3 3 Tam giác SOI vuông tại O, có đường cao OH nên OH 2. . 1 SI 3 4 Do đó: d(AB,SD) 2d(O,(SCD)) 2OH 2.1 2. Chọn B. Câu 60: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB 3a; AD 2a. Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ABCD là điểm H thuộc cạnh AB sao cho AH 2HB. Góc giữa mặt phẳng SCD và mặt phẳng ABCD bằng 60 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và AD theo a là 6a 39 6a 13 a 39 a 13 A. . B. . C. . D. . 13 13 13 13 Hướng dẫn giải: S Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ABCD là điểm H nên SH  (ABCD) . Kẻ HM  CD(M CD) , ta có: A D 3a I 600 H M B 2a C Trang 60
(ABCD)  (SCD) CD  (SHM )  CD 0  (·ABCD),(SCD) S·MH 60 Ta có: AD / /BC AD / /(SBC) và (SHM )  (ABCD) HM (SHM )  (SCD) SM  d(AD,SC) d(A,(SBC)) 3d(H,(SBC)) Kẻ HI  SB (I SB) , ta có: HI  (SBC) và d(H,(SBC)) HI Ta có: SH HM.tan600 2a. 3 và SB SH 2 HB2 a 13 SH.HB 2a 39 6a 39 Suy ra: IH . Vậy d(AD,SC) 3HI . Chọn A. SB 13 13 Câu 61: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại C, AB 5a; BC 4a. Cạnh SA vuông góc với đáy và góc giữa mặt phẳng SBC với mặt đáy ABC bằng 60 . Gọi D là trung điểm của cạnh AB. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và BC là: 3a 39 3a 13 a 13 a 39 A. . B. . C. . D. . 13 13 13 13 Hướng dẫn giải: Gọi M là trung điểm AC , ta có: BC / /(SMD) S d(BC,SD) d(C,(SMD)) d(A,(SMD)) Kẻ AH  SM (H SM ) , ta có: AH  (SMD) SA.AM 3a 39 d(A,(SMD)) AH SM 13 H 3a 13 A D B Với SM SA2 AM 2 . 5a 2 M Chọn A. 4a Câu 62: hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông ở C A và B, AB BC a, AD 2a, tam giác SAB cân tại đỉnh S nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, mặt phẳng SCD tạo với đáy một góc 60 . Khoảng cách AB và SD là: a 177 6a 177 2a 177 3a 177 A. . B. . C. . D. . 59 59 59 59 Hướng dẫn giải: S Dựng hình chữ nhật ABED , ta có tam giác ACD vuông cân I tại C . Gọi H, K lần lượt là trung điểm AB, ED , ta có: D A 2a SH  (ABCD) . H K Gọi F là đối xứng của A qua B, kẻ HM  DF (M DF) a B a E · · 0 C Suy ra: (SHM )  DF và (SCD),(ABCD) SMH 60 M 3 3a 2 F Ta có: HM / / AC HM AC 4 4 Ta có: AB / /ED AB / /(SED) và d(AB,SD) d(H,(SED)) Kẻ HI  SK , ta có: HI  (SED) và d(H,(SED)) HI a 59 Ta có: SK SH 2 HK 2 2 2 SI.IK 6a 3 6a 177 Suy ra: HI . SK 59 59 Chọn B. Trang 61
Câu 63: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) , góc giữa SB và mặt phẳng (ABC) bằng 60 , M là trung điểm của AB. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SM và BC là: 4a 51 2a 51 a 51 a 51 A. . B. . C. . D. . 51 3 51 17 Hướng dẫn giải: Gọi N, I lần lượt là trung điểm của AC, BC . S MN là đường trung bình của ABC MN€ BC BC€ SMN Ta có: d BC;SM d BC; SMN d I; SMN d A; SMN . K Dễ thấy A C BC  SAI MN  SAI SMN  SAI theo giao tuyến SH N . H Trong mặt phẳng SAI kẻ AK  SH AK  SMN M I Vậy d BC;SM d A; SMN AK B a 3 1 a 3 Ta có: AI AH AI 2 2 4 Vì SA  ABC nên SB; ABC SB; AB S· BA 60 SA AB.tan60 a 3. 1 1 1 1 16 17 AK 2 SA2 AH 2 3a2 3a2 3a2 a 51 AK . 17 Câu 64: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh bằng 2a. Mặt bên SAB là tam giác đều, SI vuông góc với SCD và I là trung điểm AB. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SO và AB là: 3a 3 a 2 a 3 a 3 A. . B. . C. . D. . 2 2 2 3 Kẻ MN / / AB S d SO, AB d AB, SMN d I,(SMN) Ta có AB  SI MN  SI, AB  OI MN  OI MN  (SOI) SMN  SOI .Kẻ a 3 IH  SO IH  SMN H IH d I; SMN A D Gọi J là trung điểm của CD N JI J Do SI  SCD SI  SJ SO a I O 2 C + Do SIO cân tại O . kẻ OE  SI B 2a M 3a2 a OE OI 2 IE 2 a2 4 2 1 1 a a2 3 2S a 3 + S OE.SI .a 3 IH OSI IH OSI 2 2 2 4 SO 2 Trang 62
Câu 65: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm I, AB a, AD 2a. Gọi M là trung điểm của cạnh AB và N là trung điểm đoạn MI. Hình chiếu vuông góc của điểm S lên mặt phẳng ABCD trùng với điểm N. Biết góc tạo bởi đường thẳng SB với mặt phẳng ABCD bằng 45 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và SD theo a là: a 6 a 6 a 6 A. a 6 . B. . C. . D. . 2 3 6 Hướng dẫn giải: S MN / / AD MN / / SAD d MN, SD Do d(MN,(SAD)) d(N,(SAD)) Kẻ NE  AD, SN  AD AD  SNE SAD  SNE H NH  SE NH  (SAD) Kẻ A 2a d N, SAD d MN,(SAD) NH E D a · · 0 Ta có : SB; ABCD SBN 45 M N I 45° Xét BMN C B a2 a2 a 2 a 2 BN BM 2 NM 2 SN 4 4 2 2 a a 2 . NE.NS a 6 Do NH 2 2 NE 2 NS 2 a 3 6 2 Câu 66: hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B ; AB BC a; AD 2a ; SA vuông góc với mặt phẳng ABCD , góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 45 . Gọi M là trung điểm của cạnh AD . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SM và BD là: a 22 a 2 a 11 a 11 A. . B. . C. . D. . 11 11 22 2 Hướng dẫn giải: Ta có : S·C, ABCD S· CA 450 Gọi E, K lần lượt là giao điểm của AC với BD, NM Kẻ MN / /BD BD / / SMN d SM , BD d BD, SMN d E, SMN Do MN / /BD K trung điểm AE d E; SMN d A, SMN Kẻ AE  MN, SA  MN MN  SAE SAE  SMN Kẻ AF  SE FA  SMN d A,(SMN) FA S Xét ABC AC a 2 SA a 2 a .a AN.AM a 5 AE 2 AN 2 AM 2 a2 5 a2 4 F 2a D a 5 A a 2. M SA.AE 5 a 22 a FA K 2 2 11 E SA AE 55 N 45° 5 E B a C Trang 63
Câu 67: Cho hình thoi ABCD cạnh a, góc B· AD 60 . Gọi G là trọng tâm tam giác ABD, a 6 SG  (ABCD) và SG . Gọi M là trung điểm CD. Tính khoảng cách giữa các đường thẳng 3 AB và SM theo a. a 2 a 3 a 5 a 7 A. . B. . C. . D. . 2 2 2 2 Hướng dẫn giải: Chọn A. Ta có: Gọi J, K lần lượt là hình chiếu của H lên DC, SJ 3 d AB, SM d AB, SDC d A, SDC d G, SDC 2 3 3 SG.GJ 3 SG.GC.sin G· CJ GK . . 2 2 SJ 2 SG2 GJ 2 3 SG.GC.sin G· CJ . 2 2 S SG2 GC.sin G· CJ a 6 2 . .AC.sin 300 3 . 3 3 2 2 2 a 6 2 0 .AC.sin 30 3 3 a 6 2 0 . .2AO.sin 30 a 6 3 3 3 . 3 2 2 2 a 6 2 0 .2AO.sin 30 K 3 3 A H a 6 2 a 3 0 B . .2. .sin 300 60 3 a 2 G . 3 3 2 2 2 2 2 O a 6 2 a 3 .2. .sin 300 D 3 3 2 J M C Câu 68: Cho hình chóp S.ABCD , có đáy ABCD là hình vuông, tam giác SAB vuông tại S và nằm trên mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Biết SA a và cạnh bên SB tạo với mặt đáy ABCD một góc 30 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BD là: a 21 2a 7 2a 21 a 7 A. . B. . C. . D. . 7 7 7 7 Hướng dẫn giải: S Chọn C. Ta có: Vẽ đường thẳng d qua A và song song với AC a Gọi L, M lần lượt là hình chiếu của H lên d, SL M d SA, BD d BD, SAL d B, SAL L 300 BA BA A B .d H, SAL .HM H HA HA O D C Trang 64
a BA SH.HL BA SH.HL 0 SH.HL SH.HL . . sin 30 . 4. HA SL HA 2 2 a.cos600 2 2 2 2 SH HL . SH HL SH HL SH 3 sin 600 SH a SA 2 HL HL sin L· AH sin ·ABO AH AH AH a cos600 AH SA 2 a 3 2 . .a AO HL AO.AH 2 2 SH.HL 2 21 HL AH a 4. 4. 2 4 a AB AH AB 2 4 2 2 3 1 7 SH HL a2 a2 4 8 Câu 69: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB a, AD a 2 . Gọi H là trung điểm của cạnh AB ; tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy ; góc giữa hai mặt phẳng SAC và ABCD bằng 60 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng CH và SD là : 2a 5 2a 10 a 5 2a 2 A. . B. . C. . D. . 5 5 5 5 Hướng dẫn giải: Chọn D. Vì H là trung điểm của cạnh AB ; tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy nên SH  ABCD . S A a B H a 2 I O D C Gọi I là hình chiếu của H trên AC suy ra góc giữa hai mặt phẳng SAC và ABCD là góc S· IH 600 . IH BC a 2 a a 6 Ta có ABC : AIH IH . . AH AC a 3 2 6 a 2 Trong SHI vuông tại H có SH IH 3 . 2 Gọi K là điểm đối xứng của H qua A ta có tứ giác CDKH là hình bình hành suy ra CH song song với mặt phẳng SDK  SD . Nên ta có: d CH,SD d CH, SDK d H, SDK Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của H trên DK và SE. Khi đó ta có d H, SDK HF. Trang 65
a .a 2 BH.BC 2a 2 Ta có HE 2d B,HC 2 2 2 BH 2 BC 2 a 2 3 2a2 4 a 2 2a 2 SH.HE 2a2 3 2 2a 2 Trong SHE vuông tại H có HF 2 3 . .Chọn D. SH 2 HE 2 a2 8a2 3 5a 5 2 9 Câu 70: hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB a, AD 2a , tam giác SAB cân 2a tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Khoảng cách từ D đến SBC bằng . Khoảng 3 cách giữa hai đường thẳng SB và AC là : a 10 a 10 2a 10 2a 5 A. . B. . C. . D. . 10 5 5 5 Hướng dẫn giải: S Chọn B. Ta có: Vẽ đường thẳng d qua A và song song với AC Gọi K, I lần lượt là hình chiếu của H lên d, SK 2a 2a L d D, SBC d A, SBc I 3 3 a a d H, SBC HI A K 3 3 2a a H B O 1 1 1 D 2 2 2 C HI SH HB 9 1 4 1 5 a 5 SH a2 SH 2 a2 SH 2 a2 5 HK HK sin K· BH sin C· AB HB HB a .2a CB HK HB.CB 5a HK 2 AC HB AC 5.a 5 d AC, SB d A, SBK 2d H, SBK 2HL SH.HK SH.HK SH 2 SH a 10 = 2 2 2. 2 SK SH 2 HK 2 SH 2 2 5 Câu 71: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 3a, có SH  (ABC) với H thuộc cạnh AB sao cho AB 3AH. Góc tạo bởi SA và mặt phẳng ABC bằng 60 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC là: a 5 3a 15 a 15 3a 5 A. . B. . C. . D. . 5 5 5 5 Hướng dẫn giải: Chọn B. Ta có: Trang 66
Vẽ đường thẳng d qua A và song song với BC S Gọi F,G lần lượt là hình chiếu của H lên d, SF SH tan 600 SH a 3 a HF HF a 3 sin F· AH sin 600 HF AH a 2 G a 3 a 3. F SH.HF 15 600 HG 2 a A 2 2 3 5 H B SH HF 3a2 a2 4 3a d BC, SA d B, SAF C 15 3d H, SAF 3HG 3 a 5 Câu 72: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ABCD là trung điểm của AD, góc giữa đường thẳng SB và mặt đáy bằng 60 . Gọi M là trung điểm của DC. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BM là : a 285 3a 285 a 285 2a 285 A. . B. . C. . D. . 9 19 19 9 Hướng dẫn giải: S Chọn C. Vẽ đường thẳng d qua A và song song với BM Gọi O,P lần lượt là hình chiếu của H lên d, SO P Ta có: a2 a 5 2 2 2 O BH AB AH a A N D 4 2 H 600 M B SH a 15 C tan 600 SH BH 2 a a . OH OH CM OH CM.AH 5 sin O· AH sin M· BC OH 2 2 a AH AH BM AH BM a2 10 a2 4 2 2 a 15 a 5 95a 2 2 SO SH OH 2 10 5 a 15 a 5 . SH.OH 285 d SA, BM d N, SAO 4d H, SAO 4HP 4. 4. 2 10 a SO 95a 19 5 Trang 67