15 Bài toán thực tế môn Toán Lớp 12 - Lê Tuấn Anh

Nội dung text: 15 Bài toán thực tế môn Toán Lớp 12 - Lê Tuấn Anh

1. Câu 1: (Gv Lê Tuấn Anh 2018) Một người gửi 15 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất 1,65% một quý, nếu hết quý người đĩ khơng rút tiền lãi ra thì số tiền lãi đĩ được tính là tiền gốc của quý tiếp theo. Nếu như người đĩ khơng rút lãi hàng quý, thì sau bao lâu người đĩ cĩ được ít nhất 20 triệu đồng (cả vốn lẫn lãi) từ số vốn ban đầu ? (Giả sử lãi suất khơng thay đổi). A. 4 năm.B. 3 năm và 3 quý.C. 4 năm và 2 quý.D. 3 năm 1 quý. Hướng dẫn: C Số tiền vốn lẫn lãi mà người gửi sẽ cĩ được sau n quý làS 15. 1 0.0165 n 15.1,0165n . n 20 Theo đề, ta cĩ 20 15. 1 0.0165 15.1,0165n n log 17,58 . 1,0165 15 Vậy sau khoảng 4 năm 6 tháng (4 năm 2 quý) người gửi sẽ được ít nhất 20 triệu đồng từ số vốn 15 triệu đồng ban đầu (vì hết quý thứ hai, người gửi mới nhận lãi của quý đĩ). Hoặc cĩ thể thử trực tiếp đáp án bằng cách liệt kê cụ thể số tiền cĩ được theo từng quý rồi cộng lại với nhau. Câu 2 (Gv Lê Tuấn Anh 2018): Cho đồ thị biểu diễn vận tốc của hai xe A và B khởi hành cùng một lúc, bên cạnh nhau và trên cùng một con đường. Biết đồ thị biểu diễn vận tốc của xe A là một đường Parabol, đồ thị biểu diễn vận tốc của xe B là một đường thẳng ở hình bên. Hỏi sau khi đi được 5 giây khoảng cách giữa hai xe là bao nhiêu mét. 250 A. 270m .B. .6C.0m .D. 80m . m 3 Hướng dẫn: D + Dựa vào đồ thị ta tính được
2. 2 2 S t 20t 2 80t dt m vA t at bt c 20t 80t m / s A v t e ft 20t m / s S t 20tdt m B B +Suy ra quãng đường đi được sau năm giây của hai xe bằng 5 2 500 S t 20 t 2 80t dt m A 0 3 5 S t 20tdt 250 m B 0 250 +Suy ra khoảng cách giữa hai xe sau ba giây sẽ bằng S S m . A B 3 Câu 3: (Gv Lê Tuấn Anh 2018) Cho một cái bể nước hình hộp chữ nhật cĩ ba kích thước 2m, 3m, 2m lần lượt là chiều rộng, chiều dài, chiều cao của lịng trong đựng nước của bể. Hàng ngày nước ở trong bể được lấy ra bởi một cái gáo hình trụ cĩ chiều cao là 5cm và bán kính đường trịn đáy là4cm . Trung bình một ngày được múc ra 170 gáo nước để sử dụng (Biết mỗi lần múc là múc đầy gáo). Hỏi sau bao nhiều ngày thì bể hết nước biết rằng ban đầu bể đầy nước ? A. 280 ngày.B. ngày.2C.81 ngày.D. ngày.282 283 Hướng dẫn: B
3. + Thể tích nước được đựng đầy trong hình bể là V 2.3.2 12 m3 . 2 3 3 + Thể tích nước đựng đầy trong gáo là Vg 4 .5 80 cm m . 12500 +Một ngày bể được múc ra 170 gáo nước tức trong một ngày lượng được được lấy ra bằng 17 3 Vm 170.Vg m 1250 V 12 Ta cĩ ; 280,8616643 sau281 ngày bể sẽ hết nước. V 17 m 1250 Câu 4: (Gv Lê Tuấn Anh 2018) Trong một đợt kiểm tra về vệ sinh an tồn thực phẩm của ngành y tế tại chợ X. Ban quản lý chợ lấy ra 15mẫu thịt lợn trong đĩ cĩ 4 mẫu ở quầy A, 5 mẫu ở quầy B và 6 mẫu ở quầy C. Mỗi mẫu thịt này cĩ khối lượng như nhau và để trong các hộp kín cĩ kích thước giống hệt nhau. Đồn kiểm tra lấy ra ngẫu nhiên ba hộp để phân tích, kiểm tra xem trong thịt lợn cĩ chứa hĩa chất “Super tạo nạc” (Clenbuterol) hay khơng. Xác suất để 3 hộp lấy ra cĩ đủ ba loại thịt ở các quầy A, B, C là 24 1 1 A. .B. Đáp án khác.C. .D. . 93 5 15 Hướng dẫn: B + Khơng gian mẫu  là tập hợp tất cả các tập con gồm 3 phần tử của tập hợp các hộp đựng 15! thịt gồm cĩ 4 5 6 15 phần tử, do đĩ n  C3 455 . 15 12!.3! + Gọi D là biến cố “Chọn được một mẫu thịt ở quầy A, một mẫu thịt ở quầy B, một mẫu thịt ở quầy C”. Tính n D . Cĩ 4 khả năng chọn được một hộp thịt ở quầy A Cĩ 5 khả năng chọn được một hộp thịt ở quầy B Cĩ 6 khả năng chọn được một hộp thịt ở quầy C Suy ra, cĩ 4.5.6 120 khả năng chọn được 3 hộp đủ loại thịt ở các quầy A, B, C n D 120 . 120 + Do đĩ.P D 455 1 Câu 5 (Gv Lê Tuấn Anh 2018): Một vật chuyển động theo quy luật S t3 6t 2với t s 3 là khoảng thời gian tính từ khi vật bắt đầu chuyển động và S m là quảng đường vật duy
4. chuyển được trong khoảng thời gian đĩ. Hỏi trong khoảng 9 giây, kể từ khi bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng bao nhiêu? A. 36 m / s .B. 2 .4C.3 m / s .D. 24 m . / s 39 m / s Chọn đáp án A 1 + Ta cĩ S t t3 6t 2 suy ra vận tốc của vật là v t S t t 2 12t . 3 + Trong khoảng 9 giây kể từ khi bắt đầu chuyển động, vận tốc của vật lớn nhất khi hàm số f t t 2 12t với t 0;9đạt giá trị lớn nhất. Khi đĩ f t 2t 12; f t 0 t 6 Bảng biến thiên t 0 6 9 f t 0 36 v t 0 27 + Dựa vào bảng biến thiên ta cĩ vật đạt vận tốc lớn nhất là 36 m / s khi t 6 . Câu 6: (Gv Lê Tuấn Anh 2018) Ơng Tuấn dự định gửi vào ngân hàng một số tiền với lãi suất 6,5% một năm. Biết rằng cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ gộp vào vốn ban đầu để tính lãi cho năm tiếp theo. Hỏi số tiền x (triệu đồng) mà ơng Tuấn sẽ phải gửi vào ngân hàng gần nhất với số tiền nào sau đây để sau 3 năm số tiền lãi vừa đủ mua một chiếc xe máy trị giá 60 triệu đồng? A. 300 triệu đồng.B. 2triệu80 đồng.C. triệu 2đồng.89 D. triệu đồng.308 Chọn đáp án C n + Áp dụng cơng thức lãi kép Sn x 1 r + Ta cĩS x 1 0,065 3 . Lãi thu được sau 3 năm làS x 1 0,065 3 x . Theo đề ra ta cĩ 3 60 x 1 0,065 x 60 x 288,53 . 1,0653 1
5. Câu 7 (Gv Lê Tuấn Anh 2018): Một cơ sở khoan giếng đưa ra định mức giá như sau. Giá từ mét khoan đầu tiên là 100000 đồng và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét sau tăng thêm 30000 đồng so với giá của mét khoan ngay trước đĩ. Một người muốn kí hợp đồng với cơ sở khoan giếng này để khoan một giếng sâu 20 mét lấy nước dùng cho sinh hoạt của gia đình. Hỏi sau khi hồn thành việc khoan giếng, gia đình đĩ phải thanh tốn cho cơ sở khoan giếng số tiền bằng bao nhiêu? A. 7700000 đồng.B. 15400đồng.000 C. 80đồng.0000D.0 đồng7400000 Chọn đáp án A Gọi un là giá của mét khoan thứ n , trong đĩ 1 n 20 . Theo giả thiết, ta cĩ u1 100000 và un 1 un 30000 với 1 n 19 . Ta cĩ un là cấp số cộng cĩ số hạng đầu u1 100000 và cơng sai d 30000 . Tổng số tiền gia đình thanh tốn cho cơ sở khoan giếng chính là tổng các số hạng của cấp số cộng un . Suy ra số tiền mà gia đình phải thanh tốn cho cơ sở khoan giếng là 20 2u 20 1 d 1 S20 u1 u2 u20 7700000 đồng . 2 Câu 8 (Gv Lê Tuấn Anh 2018): Các nhà khoa học thực hiện nghiên cứu trên một nhĩm học sinh bằng cách cho họ xem một danh sách các lồi động vật và sau đĩ kiểm tra xem họ nhớ được bao nhiêu % mỗi tháng. Sau t tháng, khả năng nhớ trung bình của nhĩm học sinh tính theo cơng thức M t 75 20 ln t 1,t 0 (đơn vị %). Hỏi khoảng thời gian ngắn nhất là bao nhiêu tháng thì số học sinh trở nên nhớ được danh sách đĩ dưới 10% A. 23 thángB. 24 thángC. 42 thángD. 46 tháng Chọn đáp án C Theo bài ra, ta cĩ 75 20 ln t 1 10% ln t 1 3,745 t 41,30900 . Khoảng 42 tháng Câu 9 (Gv Lê Tuấn Anh 2018): Một vật đang chuyển động với vận tốc 10m/s thì tăng tốc với gia tốc a(t) 2t t2(m / s2 ) . Tính quãng đường S(m) mà vật đi được trong khoảng thời gian 12 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc. A. S 120 B. C.S 2424 D. S 720 S 3576 Chọn đáp án B t3 Gọi v(t) là vận tốc của vật, ta cĩ v'(t) a(t) 2t t2 v(t) (2t t2 )dt t2 C 3
6. t3 Do v(0) 10 0 0 C 10 C 10 v(t) t2 10 3 12 12 t3 t3 t4 Khi đĩ S t2 10 dt 10t 2424(m) 3 3 12 0 0 Câu 10 (Gv Lê Tuấn Anh 2018): Cho hình nĩn trịn xoay cĩ chiều cao h 20(cm) , bán kính đáy r 25(cm) . Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nĩn cĩ khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện là 12(cm) . Tính diện tích của thiết diện đĩ. A. S 500(cm2 ) B. S 460( cC.m 2 ) S D.36 0(cm2 ) S 200(cm2 ) Chọn đáp án A + Hình nĩn cĩ Chiều cao h SO 20cm, bán kính đáy r OB 25cm , thiết diện qua đỉnh là tam giác SBC. + Gọi M là trung điểm BC, H là hình chiếu của O trên SM Ta cĩ BC  SO,BC  OM BC  OH , mà OH  SM OH  (SBC) d O;(SBC) OH 12cm Trong tam giác vuơng SOM cĩ 1 1 1 OM 15cm OM2 OH 2 SO2 SM SO2 OM2 25cm,BC 2BM 2 OB2 OM2 40cm 1 S SM.BC 500cm2 VABC 2 Câu 11: (Gv Lê Tuấn Anh 2018) Anh An vay ngân hàng 1 tỷ đồng với lãi suất 0,5%/tháng để làm kinh doanh, anh An sẽ trả tiền ngân hàng theo hình thức trả gĩp (chịu lãi suất số tiền chưa trả). Hỏi số tiền anh An phải trả ngân hàng mỗi tháng thuộc khoảng nào dưới đây để sau đúng 20 tháng anh An trả xong nợ ngân hàng (giả sử lãi suất khơng thay đổi trong suốt thời kỳ anh An vay nợ)? A. (131 000 000; 132 878 700) đồngB. (132 878 700; 134 878 780) đồng C. (40 000 000;131 000 000) đồngD. (134 878 780; 250 000 000) đồng Chọn đáp án C
7. Gọi A là số tiền người đĩ vay ngân hàng (đồng), a là số tiền phải trả hàng tháng và r(%) là lãi suất kép. Ta cĩ - Số tiền nợ ngân hàng tháng thứ nhất. R1 A(1 r) 2 - Số tiền nợ ngân hàng tháng thứ hai. R2 (A(1 r) a)(1 r) A(1 r) a(1 r) - Số tiền nợ ngân hàng tháng thứ ba. 2 3 2 R3 (A(1 r) a(1 r) a)(1 r) A(1 r) a(1 r) a(1 r) n n 1 - Số tiền nợ ngân hàng tháng thứ Rn A(1 r) a(1 r) a(1 r) A.r.(1 r)n Tháng thứ n trả xong nợ Rn a a (1 r)n 1 Áp dụng với A 1.109 đồng, r 0,005 và n 20 , ta cĩ a 5266645205 Câu 12: (Gv Lê Tuấn Anh 2018) Năm 2001 dân số Việt Nam vào khoảng 786858000 người và tỉ lệ tăng dân số năm đĩ là 1,7% và sự tăng dân số được ước tính theo cơng thức S A.eNr trong đĩ A là dân số ban đầu, r là tỉ lệ tăng dân số và S là số dân sau N năm tính từ thời điểm ban đầu. Hỏi cứ tăng dân số như vậy thì sau bao nhiêu năm thì dân số nước ta sẽ là 100 triệu dân? A. 15B. 12C. 13D. 10 Chọn đáp án A ln100 ln 78,6858 Ta cĩ 100 78,68580,017N ln100 ln 78,68580,017N N 14.1 0,017 Vậy dân số Việt Nam sẽ đạt 100 triệu dân sau 15 năm. Câu 13 (Gv Lê Tuấn Anh 2018): Một đám vi trùng tại ngày thứ t cĩ số lượng là N(t). Biết 2000 rằng N '(t) và lúc đầu đám vi trùng cĩ 300000 con. Ký hiệu L là số lượng vi trùng 1 2t sau 10 ngày. Tìm L A. L 306089 B. L 30 C.30 44 D.L 301522 L 300761 Chọn đáp án B 2000 2000 Ta cĩ N '(t) N(t) dt 1000 ln(1 2t) C 1 2t 1 2t Lúc đầu đám vi trùng cĩ 300000 con N(0) 300000
8. 1000 ln(1 2.0) C 300000 C 300000 N(t) 1000 ln(1 2) 300000 Khi đĩ L N(10) 1000 ln 21 300000 303044 Câu 14 (Gv Lê Tuấn Anh) Một xưởng in cĩ 15 máy in được cài đặt tự động và giám sát bởi một kĩ sư, mỗi máy in cĩ thể in được 30 ấn phẩm trong 1 giờ, chi phí cài đặt và bảo dưỡng cho mỗi máy in cho 1 đợt hàng là 48 000 đồng, chi phí trả cho kĩ sư giám sát là 24 000 đồng/ giờ. Đợt hàng này xưởng nhận in 6000 ấn phẩm thì số máy in cần sử dụng để chi phi in ít nhất là A. 10 máyB. 11 máyC. 12 máyD. 9 máy Chọn đáp án A Gọi x 0 x 15 là số máy in cần sử dụng để in lơ hàng Chi phí cài đặt và bảo dưỡng là: 48000x 6000 6000 4800000 Số giờ in hết số ấn phẩm là , chi phí giám sát là: .24000 30x 30x x Tổng chi phí in là 4800000 P x 48000x x 4800000 P x 48000 x2 2 x 10(L) P x 0 x 100 x 10 BBT x 0 10 15 P x 0 + P x P 10 Vậy chi phí in nhỏ nhất khi số máy in sử dụng là 10 máy. Câu 15: (Gv Lê Tuấn Anh) Để kỷ niệm ngày 26-3. Chi đồn 12A dự định dựng một lều trại cĩ dạng parabol (nhìn từ mặt trước, lều trại được căng thẳng từ trước ra sau, mặt sau trại cũng là parabol cĩ kích thước giống như mặt trước) với kích thước: nền trại là một hình chữ nhật cĩ chiều rộng là 3 mét, chiều sâu là 6 mét, đỉnh của parabol cách mặt đất là 3 mét. Hãy tính
9. thể tích phần khơng gian phía trong trại để lớp 12A cử số lượng người tham dự trại cho phù hợp. A. 30m3 B. C. D. 36m3 40m3 41m3 Chọn đáp án B Giả sử nền trại là hình chữ nhật ABCD cĩ AB = 3 mét, BC = 6 mét, đỉnh của parabol là I. Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho: O là trung điểm của cạnh AB, A(-1,5;0), B(1,5;0) và I(0;3), phương trình của parabol cĩ dạng: y ax2 b a 0 , Do I, A, B thuộc (P) nên ta cĩ: 4 y x2 3 . 3 Vậy thể tích phần khơng gian phía trong trại là: (sử dụng cơng thức Thể tích dựa vào 4 thiết diện vuơng gĩc với trục ox là một hình chữ nhật cĩ cạnh là 6 và x2 3 ) 3 3 2 4 2 V 6.2 x 3 dx 36 0 3